Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Mőszaki Kar Környezetmérnöki Tanszék H-7624 Pécs, Boszorkány út 2. Tel/Fax: 72/503-650/3965
TARTÓZKODÁSI IDİ ELOSZLÁS VIZSGÁLATA (Oktatási segédanyag)
Készítette: Dittrich Ernı egyetemi adjunktus
1
1.
Problémafelvetés
A környezetvédelmi gyakorlatban használatos berendezések, mőtárgyak üzemeltetése során felmerülı problémák okai sokfélék lehetnek. Jelen oktatási segédanyagban ezek közül egy lehetséges problémakörre - a hidraulikai problémákra - fókuszálunk. Ennek a vizsgálata kiemelt jelentıségő, hiszen amennyiben egy reaktor áramlástani szempontból nem megfelelıen mőködik, az általában magával vonja más fontos üzemelési paraméterek (pl. tisztítási hatékonyság) kedvezıtlen alakulását is. Az ilyen jellegő problémák feltárása és számszerősítése nem egyszerő feladat. Számos vizsgálati mód közül az egyik gyakran alkalmazott eljárás a tartózkodási idı eloszlásának vizsgálatán alapuló módszer, mellyel kapcsolatos alapok átadása jelen oktatási segédanyag célja. Az egyszerőség kedvéért a témakört a folyadékok áramlásának vizsgálatára szőkítjük.
2.
Fontosabb alapfogalmak
A környezetvédelemben használt leválasztási célú berendezések esetében a tartózkodási idınek általában kiemelt jelentıssége van. Gondoljunk például egy biológiai reaktorra, ahol a tisztítandó folyadék és a mikroorganizmusok közötti kontaktidı és a tisztítási hatásfok között egyértelmő összefüggés van. Az ideális eset ezért az lenne, ha a bevezetett folyadék összes részecskéje azonos – a tervezés során meghatározott – ideig tartózkodna a rendszerben. Ez sajnos a valóságban pl. csak pasztaszerő anyagok csıvezetékben történı lassú áramoltatása esetében képzelhetı el. A gyakorlatban alkalmazott mőveleti egységek esetében a reaktorokban az egyes folyadék részecskék különbözı ideig tartózkodnak, és a legkisebb illetve a leghosszabb tartózkodási idı között jelentıs mértékő eltérés lehet. Ennek alapvetı oka, hogy az átáramló közeg, különbözı részecskéi különbözı útvonalakon, és különbözı sebességgel haladnak keresztül a reaktor egyes részein. Ebbıl következıen az egyes részecskék tartózkodási ideje különbözı lesz. Természetesen itt fontos kihangsúlyoznunk, hogy ez csak a folyamatos üzemő berendezésekre igaz, hiszen szakaszos üzem esetén a tartózkodási idı minden folyadék részecskére vonatkozóan közel azonos. A rektor adott pontjában a koncentráció idıbeli alakulását szemléltetı függvényeket nevezzük tartózkodási idı eloszlás-, illetve sőrőségfüggvényeknek. Joggal tehetjük fel a kérdést, hogy milyen folyamatok okozzák a tartózkodási idı egy bizonyos intervallumban történı szóródását? A kérdésre teljes részletességgel választ adni nem egyszerő feladat, és jelen oktatási segédanyag terjedelmi korlátai nem is teszik lehetıvé. Az alábbiakban csak a fıbb mechanizmusok bemutatására kerül sor. Advektív mechanizmusok: Advekción a rendszerben kialakuló átlagsebesség által generált transzportot értük. Amennyiben egy reaktorokban csak advektív transzport létezne, akkor ún. dugószerú áramlás lépne fel. Ebben az esetben a tervezett tartózkodási idıvel azonos lenne a technológiái elembe bevezetett összes részecske tartózkodási ideje. Azonban a valós reaktorokban az advekción kívül konvektív és diffúziós mechanizmusok is fellépnek, melyek közvetve a tartózkodási idı szóródását okozzák az advekció által meghatározott tartózkodási idıérték környezetében. Konvektív mechanizmusok: A konvekción a hidrosztatikus instabilitásból eredı keresztirányú transzportot értjük. Azaz a konvektív mechanizmusok hatására a reaktorba kerülı részecskék különbözı tartózkodási idejét a rendszerre jellemzı sebességtér különbségei okozzák, melyet
2
egyirányú áramlás esetén a reaktorban kialakuló sebességprofillal jellemezhetünk. Azonban elıfordulhatnak a rendszerben ún. cirkulációs folyamatok is, amely esetben a visszaforgó folyadékhányad leválik az elıre mozgóról, és ismét elegyedik a késıbb betáplált közeggel. Diffúziós mechanizmusok: Diffúzión a részecskék véletlenszerő mozgásából eredı transzportot értjük. A környezetvédelmi gyakorlatban vizsgált reaktorok esetében a molekuláris diffúzió mértéke általában elhanyagolható. Az ilyen reaktorok áramlástani vizsgálata szempontjából az ún. turbulens diffúzió folyamatai a mértékadóak. A leggyakoribb megoldási mód az, amikor a kétféle diffúziót egy diffúziós tényezıbe „sőrítve” határozzák meg. A gyakorlatban a diffúziós, a konvektív és az advektív mechanizmusok együttesen játszódnak le, és általában szuperponálódnak. Az advektív hatások a fı áramlási irányban történı haladást biztosítják, míg a konvektív és diffúzív hatások a rendszerben történı keveredésért felelısek inkább. Ezek közül egyes elemek lehetnek részlegesen korlátozottak. A korlátozottság két szélsı értéke az ún. tökéletesen kevert reaktor, illetve a dugószerő áramlású reaktort eredményezi, melyek két szélsıséget szemléltetı idealizált esetet jelentenek. A tökéletesen kevert reaktor teljes mértékő átkeveredés mellett elhanyagolja az advekció jelenlétét, míg a dugószerő áramlású reaktor idealizációja esetén csak advektív transzport révén haladnak át közeg részecskéi a vizsgálati egységen. Az áramlástani folyamatokat tovább bonyolítja az ún. holtterek jelenléte. A holttér a készülék térfogatának azon része, melyben a kialakuló áramlás elhanyagolható mértékő. A holttér az áramló közeggel diffúziós kapcsolatba kerülhet, tehát korlátozott mértékben a keveredési folyamatok részese lehet. Áramlástanilag a holtterek azonban csak a tartózkodási idı nagyságát befolyásolják, hiszen a konvektív-advektív áramlási téren kívül esnek. Stacionárius folyamatok esetén, holttér-mentes készülékben az ún. elméleti átlagos tartózkodási idıt az alábbi összefüggéssel definiálhatjuk: t=
V Q
(1)
Ahol: -
V [m3]: a vizsgált berendezés holttér-mentes térfogata Q [m3/s]: a berendezésen áthaladó térfogat áram
A holtteret tartalmazó készülékben a holttér térfogatát le kell vonni az össztérfogatból. Így a valóságban mindig kisebb átlagos tartózkodási idı értéket kapunk, mint az elıbb definiált elméleti maximális érték. A holtterek általában hirtelen keresztmetszet változásnál alakulnak ki. Ennek szemléltetésére szolgálnak az alábbi ábrák.
3
1. ábra: Áramlás képe sarkos vezetékben
2. ábra: Íves csıkönyökben kialakuló sebességtér Az 1. és a 2. számú ábrák íves illetve sarkos csıben kialakuló áramlási rendszert szemléltetik. Az ilyen esetekben a holttér gyakorlatilag nem kerül ki teljesen az áramlásból, mert benne örvénylés keletkezi. Így a holttérben levı közeg is mozog, de mozgása örvénylı, cirkulációs mozgás. A benne lévı közeg az áramlási térrel diffúziós kapcsolatban van, amennyiben az örvénydiffúziót is diffúziós folyamatként definiáljuk.
3. ábra: Áramlási kép szegletben
4
A 3. ábra egy szegletben mutatja a kialakuló áramképet. Ezen az ábrán jól látható, hogy a szeglet határréteg leválást okoz, és a fellépı nyomáskülönbségek miatt visszaáramlás jön létre. Áramlástanilag egy cirkulációs és egy haladó mozgás szuperponálódik. A körüláramlott testek környezetében kialakuló áramképet esetében is jól jellemzı az áramló folyadékba helyezett test mögötti holtér kialakulása. Ilyen esetekben a holtér kevésbé függetlenedik az áramlástól, mert a nyomáskülönbségek hatására olyan erıs örvénylés lép fel, melynek hatására konvektív áramlással a fı áramlási térhez kapcsolódik.
3.
Tartózkodási idıfüggvények definíciója és fıbb típusai
A tartózkodási idı függvények segítségével történı vizsgálatkor, valamilyen – a technológia szempontjából – konzervatív nyomjelzı anyagot juttatunk be a reaktor bemeneti szelvényébe. Ezt követıen a kilépési szelvényben – vagy a reaktor más pontjain – azt mérjük, hogy a beadagolt nyomjelzı anyag jelre a reaktor az idı függvényében milyen koncentrációváltozással reagál. Így a tartózkodási idı függvények mindig eltelt idı – koncentrációváltozás kapcsolatot szemléltetnek - tengelyenként vagy fajlagos, vagy abszolút értékben - egy adott helyre vagy szelvényre vonatkozóan. Kétféle tartózkodási idı függvényt különböztetünk meg, melyek egymással egyszerő matematikai kapcsolatban állnak. Az egyik az ún. koncentrációugrásra-, míg a másik az ún. koncentráció impulzusra adott válasz függvény. Jól látható, hogy a tartózkodási idı függvények két alaptípusa a konzervatív nyomjelzı anyag segítségével generált ún. bemeneti jel kialakítási módjának függvénye. A koncentráció impulzust, mint bemeneti jelet úgy állítjuk elı, hogy adott M0 tömegő konzervatív nyomjelzı anyagot egy pillanatnyi idı alatt injektálunk a belépési szelvénybe. A koncentráció impulzus idı-koncentráció síkon ábrázolva egy tőhegy függvény, melyet matematikailag az ún. Dirac-delta függvénnyel írhatunk le. Amennyiben t=0 idıpillanatban x=0 helyen injektáljuk be a koncentráció impulzust, akkor a Dirac-delta függvény definíciója: 0, 0 2 és 1, 0 2 A koncentrációugrás, mint bemeneti jel elıállítására a kezdeti idıpillanat elıtti idıben konstans bemeneti koncentrációt, megemelünk úgy, hogy az azt követı idıpillanattól már ezt a növelt koncentráció értéket tartjuk a vizsgálati idıtartam hátralevı részében a bemeneti szelvényben. A koncentrációugrást koncentráció-idı (c-t) síkon ábrázolva egy lépcsı alakú függvényt kapunk, melyet matematikailag így definiálhatunk: cbe(t)=c0 ha t
5
1 ·
3
Mivel ennek a függvénynek az idı szerinti integrálja 1, ezért 1-re normált sőrőség függvénynek hívjuk. A függvény fizikai tartalmát tekintve egy adott t idıpontban, megadja azoknak a részecskének a hányadát, melyek pontosan t ideig tartózkodnak a rendszerben, ezt relatív gyakoriságnak hívjuk. Képzeljük el, hogy méréssel határozzuk meg a koncentráció impulzusra adott válaszfüggvényt. Tételezzük fel továbbá, hogy a ∆ti idıintervallumok alatt kifolyó folyadék mennyiségeket külön-külön edényekben fogjuk fel, és mindegyik edényben megmérjük a benne lévı Mi jelzıanyag tömeget. Amennyiben a kapott mérési eredményeket ábrázoljuk, az alábbi ún. sőrőségi hisztogramot kapjuk:
∆t
t
t
t+∆t
4. ábra: Tartózkodási idı valószínőségi eloszlás-sőrőségének hisztogramja
∆t
t
t t+∆t
t
5. ábra: Tartózkodás idı valószínőségi eloszlás sőrőségfüggvénye Az ábrázolt sőrőségi hisztogram minden ∆t intervallumhoz tartozó hasábja megadja, hogy a nyomjelzıanyag hányadrésze tartózkodott a vizsgált mőveleti egységben ti – ti+∆t
6
idıintervallum ideig. Amennyiben ∆t→0 akkor a hisztogram átalakul valószínőségi sőrőség függvénnyé (lásd. 5. ábra). A gyakorlati mérések általában a fentebb leírt módon nem valósíthatóak meg. Célszerőbbnek tőnik, a vizsgálati szelvényben a koncentráció (c(t)) mérése. Vizsgáljuk meg, hogy ez milyen módosulást jelen a sőrőségi hisztogram, és az abból generált sőrőségi függvény szempontjából! Az rendszerbıl kilépı nyomjelzıanyag tömeg relatív változása az alábbi egyenlettel írható fel, amennyiben a rendszeren átfolyó térfogat áramot Q-val jelöljük: é" # $ö&ö á()&ó +,)-./0&ő +, 2 -/++,3"é2 4 · 5 · · 4 ö""&/" +,)-./0&ő +, 2 -/++,3"é2
Mivel t=∞ idıpillanatig a bevezetett nyomjelzı anyag teljes mennyisége biztosan kilép a vizsgált rendszerbıl, ezért: 78
78 4 · 5
(5)
Stacionárius esetben (3)-as és (4)-es számú egyenletek összevonásából következik, hogy: 5
5
6
Tehát a koncentráció mérés segítségével kapott válaszfüggvény egyenesen arányos a tömegarány elven történı mérésbıl kapott sőrőségfüggvénnyel. A koncentrációugrásra adott válaszfüggvény matematikailag valószínőségi eloszlás függvény, mely ebbıl következıen a sőrőségfüggvény integrálja: 7
:
7
Amennyiben az integrálás felsı határaként t=∞ értéket helyettesítünk be, akkor könnyen belátható, hogy a rendszerbe belépı teljes anyagmennyiségnek el kell hagynia a rendszert, azaz az integrál értéke 1 lesz:
: = 1 (8) Tehát az eloszlás függvény maximális értéke 1 és a kezdeti idıpillanatban felvett értéke mindig 0 kell hogy legyen. A függvény további jellemzıje, hogy t=0-tıl t=∞ felé haladva a függvény monoton növekszik. Az F(t) függvény fizikai tartalmát tekintve megadja egy adott t idıpontban azoknak a részecskéknek a hányadát, melyek kisebb, mint t ideig tartózkodnak a rendszerben. Az alábbi fejezetekben egy két reaktor fıtípusban kialakuló áramképpel, és az általuk generált tartózkodási idı függvények bemutatására kerül sor. Az alábbi ábra ezeket a reaktor fı típusokat szemlélteti.
7
6. ábra: A vizsgált reaktor fıtípusok származtatási sémái
A képen látható számok az alábbi reaktor típust jelentik: 1. dugószerő áramlású csı 2. tökéletesen kevert reaktor 3. tökéletesen kevert reaktorokból sorba kapcsolt kaszkád 4. diffúziós keveredéső csı 5. csı sebességprofillal 6. visszavezetéses csı
4.
Tartózkodási idı eloszlás- és sőrőségfüggvénye tökéletesen kevert reaktorban
A tökéletesen kevert reaktor egy olyan idealizált mőveleti egység, melyben a keverés stacioner üzem mellett olyan tökéletes, hogy a tartály minden pontjában azonos koncentráció uralkodik egy adott idıpillanatban. Tételezzük fel hogy egy ilyen reaktorba konzervatív nyomjelzı anyaggal t=0 idıpillanatban ∆c koncentrációugrást generálunk a belépési szelvényben. Továbbá tételezzük fel, hogy a t=0 idıpillanat elıtt a befolyó térfogatáramú folyadék nyomjelzı anyag koncentrációja c0=0 volt. Ebben az esetben t=0 idıpillanat után a belépési koncentráció (cbe) egyenlı a ∆c koncentrációugrás értékével. Állandó átfolyó térfogatáram (Q) feltételezésével írjuk fel a nyomjelzı anyagra vonatkozóan az anyagmegmaradás egyenletét a reaktor belépési és kilépési szelvénye között: 4 · 5=> · ? 4 · 5@ · = V· 5 Az egyenletet rendezve: A 1 · 5 4 5=> ? 5@
8
10
(9)
Az (1)-es számú egyenlet és a (10)-es számú egyenlet összevonásával: 1 B · 5 5=> ? 5@
11
Rendezzük az egyenletet és integráljuk mindkét oldalát. Így cki=c bevezetésével: 7 C 1 1 · 5 B 7 C 5=> ? 5 D
12
D
Az integrálás elvégzésével az alábbi eredményt kapjuk: 7 |?ln 5=> ? 5|C H H 13 B Melybıl az integrálási határok behelyettesítésével és az egyenlet rendezésével az alábbi eredményt kapjuk: : C
C
IJ
K
1 ? / KL
Az levezetés eredményeként kapott koncentrációugrásra adott válaszfüggvénye.
(14)
függvény
a
tökéletesen
kevert
reaktor
A (7)-es számú egyenlet alapján a fentebbi eloszlásfüggvény sőrőségfüggvénye egy egyszerő idı szerinti deriválással számítható: K
M
P
K
:, M7 N1 ? / KL O 7B · / KL
(15)
Így megkaptuk a tökéletesen kevert mőveleti egység koncentráció impulzusra adott válaszfüggvényét is. Belátható, hogy a függvény 0-tól ∞-ig vett idı szerinti integrálja egy egység.
5.
Tartózkodási idı függvények tökéletesen kevert reaktor-kaszkádban
Kapcsoljunk sorba tökéletesen kevert reaktorokat, stacioner áramlás mellett. Mindegyik reaktor legyen egyenlı térfogatú (Vi) és az azokat összekötı csıvezetékek térfogata legyen elhanyagolhatóan kicsi. Vezessük be a tökéletes elkeveredés következtében az a beinjektálást követı idıpillanatban az elsı reaktorra jellemzı koncentrációt: 5P,
16 AP
Levezethetı, hogy n számú sorba kapcsolt reaktor esetén a koncentráció impulzusra adott válaszfüggvény:
9
5Q
5P, QP 7 S T / 7B 17 + ? 1! B
A sorba kapcsolt egyenlı térfogatú reaktorok együttes térfogata: ∑A + ·A
18
Egyszerően belátható hogy ilyen elrendezésnél, a teljes reaktor kaszkád átlagos tartózkodási ideje, megegyezik a keverıs reaktorok tartózkodási idejének n-szeresével: LLLLL ∑ W = B · + 19 Az 7. ábra az n darabból álló keverıs tartály kaszkád koncentráció impulzus függvényeit mutatja. A viszonyíthatóság érdekében a függvény relatív t*=t/LLLLL ∑ W relatív idıléptékben került feltüntetésre.
f(t)
t* 7.
ábra: Tartózkodási idı sőrőség függvények a kaszkád-modell szerint
A tárgyi függvény eloszlás függvénye parciális integrálással egyszerően elıállítható, n darabszám ismeretében. Ennek függvényeit az alábbi ábra szemlélteti:
10
F(t)
t* 8. ábra: A tartózkodási idı eloszlás függvényei a kaszkád-modell szerint A fentebbi két ábra mindegyikébıl látható, hogy ha a kaszkád kevés lépcsıbıl áll, akkor a fluidom-elemek tartózkodási ideje erısen eltér a közepes tartózkodási idıtıl. A keverıs tartályok számának növekedésével az egyes fluidum elemek tartózkodási ideje egyre inkább megközelíti LLLLL ∑ W -t. Tehát végtelen számú sorba kapcsolt tökéletesen kevert reaktor egy olyan csıvezetékkel egyenértékő, melyben a fluidom részecskéi dugószerően áramlik. Ezt a reaktor típust a továbbiakban dugószerő áramlású reaktornak vagy csınek hívjuk, mely a vizsgált transzport folyamatok szempontjából a másik szélsıértéket képviselı idealizáció. Amennyiben egy áramlástani reaktor vizsgálatára használjuk fel a mért tartózkodási idı függvényt, akkor meghatározható, hogy hány darab tökéletesen kevert reaktorral – mint modellel – helyettesíthetı. A helyettesítési darabszámot effektív cellaszámnak hívjuk, és a továbbiakban neff-el jelöljük.
6.
Tartózkodási idı függvények dugós áramlású csıben
A dugószerő áramlás esetén a csıben nem lépnek fel konvektív és diffúziós mechanizmusok. Így csak advektív transzport létezik az áramlási térben. Ebben a reaktorban minden részecske tartózkodási ideje megegyezik az elméleti átlagos tartózkodási idıvel. Természetesen ez a valóságban nem lehetséges, hiszen ehhez súrlódásmentes közeg áramoltatására, és tökéletes csı kialakításra lenne szükség. Az ilyen reaktorokhoz legjobban közelít a nagy sőrőségő paszták csıben történı kényszer áramoltatása, illetve a nagyon vékony hosszú egyenes csıben létrehozott erısen turbulens áramlású rendszer. Mivel a tartózkodási idı az átlagértékkel egyenlı, ezért a bemeneti jelre a rendszer a kimeneti jellel azonos függvénnyel reagál. Tehát a koncentráció impulzusra adott válaszfüggvény tőhegy függvény, míg a koncentrációugrásra adott válaszfüggvény lépcsıs függvény lesz. Tehát a válaszfüggvény sőrőség függvénye az alábbiak szerint definiálható: - f(t)=0 , ha t*≠1 - f(t)=∞, ha t*=1 A válaszfüggvény eloszlásfüggvénye pedig: 11
-
F(t)=0, ha t*‹1 F(t)=1, ha t*›1
Ezeket a válaszfüggvényeket a 9-es és 10-es ábra szemlélteti.
7.
Tartózkodási idı alakulása diffúziós keveredéső csıben
Ebben az esetben, a csıben a beadagolt jel nem tartja meg alakját, hanem a diffúziós folyamatok révén bizonyos mértékig szétterül. A szétterülés mértéke a diffúziós együttható nagyságától függ, az alábbiak szerint: Y/
ZL·[ \J
(20)
Ahol: -
Pe [-]: az ún. Pelcet-szám (B [m/s]: átlagos áramlási sebesség ] [m]: a jellemzı diffúziós útszakasz hossza De [m2/s]: effektív hossz-menti diffúziós tényezı mely tartalmazza a turbulens diffúziót is
Az 9. ábra mutatja a diffúziós mechanizmusú keveredés hatását a sőrőségfüggvényre, a 10. ábra pedig az eloszlásfüggvényre. Nagy Pe értéknél a keveredés szimmetrikus függvényt eredményez mivel kismértékő szétterülés áll elı. Kis Pe értékeknél a függvények aszimmetrikussá válnak és Pe=0 értéknél a tökéletesen kevert reaktor esete áll elı. A Pelcetszám tehát fordított arányban áll a függvény szétterülésének mértékével. Az angolszász szakirodalom inkább ennek a számnak a reciprokát, az ún. diszperziós számot használja: 1 ^ 21 Y/
12
f(t)
t* 9. ábra: Tartózkodási idı spektrum függvények a diffúziós modell szerint A 9-es és 10-es ábrákon az egyes görbékhez rendelt számok az alábbiakat jelentik: 1. Pe=∞: dugós áramlású csı 2. Pe=500: kismértékő visszakeveredés 3. Pe=40: közepes visszakeveredés 4. Pe=5: nagymértékő visszakeveredés 5. Pe=0 teljes visszakeveredés
F(t)
10. ábra: Tartózkodási idı eloszlás függvények a diffúziós modell szerint
13
8.
Tartózkodás idı alakulása konvekciós folyamatok révén
Amennyiben a tartózkodási idı függvény kialakulásában jelentékeny szerepe van konvekciós folyamatoknak, akkor a függvény felírásához a sebességtér teljes ismerete szükséges. Ezekkel az esetekkel terjedelmi korlátok miatt és a feladat megoldás összetettsége miatt nem foglalkozunk. Azonban bemutatjuk két speciális esetét: Visszavezetéses csı: Ebben az esetben a fluidum egy része a recirkulációs vezetéken visszatér, és újra átmegy a konvekciós csövön, ahol elkeveredik. Ennek következtében a függvények összeolvadnak, és hullámosan lecsengı spektrumot kapunk. Nagy visszavezetési arány esetén a keveredés nagy, és határesetben a tökéletesen kevert reaktorhoz jutunk. Sebességprofilból származó keveredés: Ha a csıben radiális sebességeloszlás alakul ki, akkor a reaktor, keveredést mutat. Turbulens áramlás esetén a diffúziós keveredéső csı spektrumához hasonló válaszfüggvényt észlelünk. a turbulencia mértékének növekedése azt okozza, hogy a mag sebessége egyre közelebb kerül az átlagsebességhez, így az ettıl eltérı sebességek súlyozó faktora kicsi. Az ilyen görbe csaknem szimmetrikus nagy Pe-számnak (kis D-nek), illetve nagy neff cellaszámnak felel meg. Lamináris áramlás esetén olyan spektrumot kapunk, mely kis Pe-számokkal (nagy Dvel) illetve neff-el jellemezhetı. Ezt az okozza, hogy lamináris áramlás esetén a csıben parabolikus sebesség eloszlás alakul ki, míg turbulens esetben egy a falhoz viszonylag közel eléri a sebesség eloszlás a fluktuáló maximális sebesség értéket. Szükséges még megjegyeznünk, hogy a sebességprofilból származó keveredésnél a vizsgált térfogatban nincs hosszirányú keveredés, mint a diffúziós keveredéső csıben. Természetesen ez szintén csak a modell peremfeltételeire utaló idealizáció. Ebben az esetben az egyes különbözı sebességő közegrétegek egymás mellett mozdulnak el, és nincs közöttük diffúziós kapcsolat. A valóságban azonban mindig van diffúziós kapcsolat az egyes rétegek között, mely következtében a sugárirányú diffúziós további keveredést okoz, a hosszirányú diffúzió fellépése mellett. Ezért a valóságos válaszfüggvények által létrehozott tartózkodási idı spektrumok igen bonyolult finomszerkezetet mutathatnak. Így a gyakorlatban a függvények legfeljebb jól megközelítik valamelyik – az elızıekben bemutatott – ideális típust.
10. A mért tartózkodási idı függvények elemzése A továbbiakban arra kérdésre keressük a választ, hogy hogyan lehet egy reaktor kifolyási szelvényében mért tartózkodási idı függvénybıl, a rendszer hidraulikai viselkedésére vonatkozó következtetéseket levonni. Az elemzés módjára vonatkozóan számos elemzési lehetıség kínálkozik. Itt az elızıekben bemutatott elméleti alapokra építve csak a legegyszerőbb elemzési módok kerülnek bemutatásra. Gyakran elıfordulhat, hogy az alábbiakban bemutatott módszerekkel nem jutunk megfelelı eredményre. Ezekben az esetekben összetettebb modellek alkalmazása szükséges, ehhez javasoljuk a szakirodalomban történı további elmélyülést.
14
10.1. A tartózkodási idı függvény alakja A tartózkodási idı függvény alakjából a reaktor bizonyos geometriai jellemzıinek ismeretében sok esetben értékes következtetések vonhatóak le. Az alábbi ábra bemutatja néhány készülék típusra vonatkozóan a reaktortípusokra jellemzı sőrőség illetve eloszlás függvényeket.
f(t)
F(t)
11. ábra: Néhány készüléktípusra jellemzı tartózkodási idı eloszlás és sőrőség függvény A függvényalak és a saját mérésbıl kapott görbe összehasonlításából – figyelembe véve az ismert geometriai és áramlástani jellemzıket – általában kizárhatóak bizonyos reaktortípusok. Egyes esetekben akár 1-2 reaktor típusra szőkíthetı az áramlástani rendszerre jellemzı elrendezés. Bizonyos esetekben az is elképzelhetı, hogy meg tudjuk azt határozni, hogy mely reaktortípusok sorba illetve párhuzamos kapcsolása generálhat általunk mért függvényformákat. Ez az elemzési mód azonban önmagában nem elég, mert ezzel egzaktul számszerően nem igazolható az elképzelésünk. A függvényformák elemzése arra való, hogy csökkentsük a lehetséges megoldások, a kipróbálandó modellek számát.
15
10.2. Tényleges tartózkodási idı és a hidraulikai hatásfok A tartózkodási idı görbék alakja jól jellemezhetı az eloszlás ún. momentumaival. A szempontunkból az egyik legfontosabb az elsı közönséges momentum, mely nem más, mint az eloszlás középértéke. Az idıfüggvények fizikai tartalmát tekintve ez a tényleges vagy más néven az effektív átlagos tartózkodási idıt jelenti: LLLLL >__
· 5 ·
∑Q8P · 5 · ∆ ` ∑Q8P 5 · ∆
5 ·
22
(A fentebbi képlet második felében feltüntettük a mért sőrőségi hisztogram esetében alkalmazható numerikus alakot is.) A hidraulikai hatásfok az effektív és az elméleti átlagos tartózkodási idı hányadosa: bc
LLLLL >__ B
23
Az alábbi ábrán jól látható, hogy azonos reaktortérfogat esetén a legkisebb a tartózkodási idı a tökéletesen kevert reaktorban. Sorba kapcsolt tökéletesen kevert tartálykaszkád esetén neff növelésével a >__ egyre közelebb kerül -B hez. a dugószerő áramlású reaktor (ábrán csıreaktor) esetén pedig >__ B azaz bc 1. A gyakorlatban a jelentıs elkeveredésbıl eredı hidraulikai hatásfok csökkenést nagyobb reaktor térfogat tervezésével szokták megoldani.
f(t)
12. ábra: effektív tartózkodási idı alakulása egyes reaktortípusok esetén
10.3 Effektív cellaszám meghatározása A vizsgálandó idıfüggvény ún. második centrális momentuma a függvény szórásnégyzetével egyenlı. A szórásnégyzet kiemelt fontosságú paraméter, mert az, az idıfüggvények esetében arányos az effektív cellaszámmal, illetve diszperziós számmal. Az arányosságra jellemzı függvénykapcsolat az alkalmazott közelítı modell függvénye.
16
e f g+>__ h 24 e f ^ 24 A szórásnégyzet természetesen a kapott válaszfüggvény alakját jelentékenyen befolyásolja. A karcsú függvényalakra kis szórásnégyzet (+>__ értéke nagy, D értéke kicsi), míg a lapos elnyújtott görbékre nagy szórásnégyzet (+>__ értéke kicsi, D értéke nagy) a jellemzı. Amennyiben a vizsgált mőveleti egységünket sorba kapcsolt tökéletesen kevert reaktor kaszkáddal akarjuk modellezni, akkor egyszerően meghatározható az effektív cellaszám az alábbi összefüggés segítségével: +>__
f LLLLL ∑ W ef
25
A szórásnégyzet az alábbi összefüggésbıl számítható: f · 5 ·
∑Q8P f · 5 f f B e ? ` ? Bf 26 ∑Q8P 5
5 ·
Az effektív cellaszámnak természetesen az alábbi két szélsıértéke van: - 1 db tökéletesen kevert reaktor: neff=1 - dugószerő áramlású csı: neff=∞ A valós reaktorok effektív cellaszáma valahol a két szélsıérték között helyezkedik el. A meghatározott tényleges érték ismeretében következtetések vonhatóak le a rendszer hidraulikai mőködésével kapcsolatban.
10.4. Elemzés diffúziós modellel A diffúziós keveredéső csı modellje a fentebbiekben már ismertetésre került. Abban az esetben, ha a modell jól közelíti a valóságot, a (20)-as és (21)-es számú összefüggések segítségével számítható a De [m2/s] effektív hossz-menti diffúziós tényezı, és a D [-] diszperziós szám. A két érték abban az esetben számítható, ha ismerjük a Pe-szám értékét. Diffúziós csı esetén amennyiben a belépési szelvény elıtt és a kilépési szelvény után elhanyagolható a jel változása, a szórásnégyzet és a Pe-szám között az alábbi összefüggés a jellemzı: ef 2 1 f ? 2 · S T 1 ? / j> 27 Bf Y/ Y/ A fenti összefüggésbıl a Pe-szám iterációval számítható ki. A D, Pe és De paraméterek a vizsgált reaktor mőködésére jellemzı paraméterek. Dugószerő áramlású csı esetén D=0, Pe=∞ és De=0. Tökéletesen kevert reaktor esetén: D=∞, Pe=0 és De pedig nagy érték.
17
9.
Felhasznált irodalom
Szolcsányi Pál: Transzportfolyamatok. Tankönyvkiadó, Budapest 1972. Tettemanti Károly (szerk.): Vegyipari félüzemi praktikum. BME Vegyészmérnöki Kar egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest 1979. Szabó Imre (szerk.): Szennyezett területek kármentesítése. Miskolci Egyetem Kiadó, Miskolc 2002. Benedek Pál, Valló Sándor: Víztisztítás-szennyvíztisztítás zsebkönyv. Mőszaki Könyvkiadó, Budapest 1990. Kucsera Gyula: Környezetvédelmi Mőszaki Praktikum I. - PMMF-jegyzet, 1995. Kucsera Gyula: Környezetvédelmi Mőszaki Mőveletek I. - PMMF-jegyzet, 1995. Kucsera Gyula: Környezetvédelmi Mőszaki Praktikum II. - PMMF-jegyzet, 1995. Kucsera Gyula: Környezetvédelmi Mőszaki Mőveletek II. - PMMF-jegyzet, 1995. Hugo B. Fischer et al.: Mixing in Inland and Coastal Waters. Academic Press, New York, 1979. Horváth Imre (szerk.): Víz- és szennyvíztisztító mőtárgyak hidraulikai vizsgálata. Vízügyi mőszaki gazdasági tájékoztató 38. Vízdok kiadó, Budapest, 1972. Octave Levenspiel: Chemical Reaction Engineering. Second Edition. John Wiley and Sons Inc. New York, USA, 1972. Benedek-Lászó: A vegyészmérnöki tudomány alapjai. Mőszaki könyvkiadó, Budapest, 1967. Bogárdi-Kozák: Hidraulika II. Tankönyvkiadó, Budapest 1987.
18
