Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti

2

-P av el

M

áš a

Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti

X3 1

EO

EO2 – Přednáška 6 Pavel Máša

X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

ÚVODEM Pokud v obvodu dojde ke změně

áš a

Připojení zdroje Odpojení zdroje Připojení nebo odpojení obvodového prvku (R, L, C, …) Změně velikosti některého z obvodových parametrů (R, L, C, zesílení, …)

M

– – – –

-P av el

•

V obvodu musí dojít ke změně velikosti napětí a proudů Tato změna není přitom okamžitá Tyto změny budeme nazývat přechodnými ději

X3 1

EO

2

S přechodnými ději se setkáváme zcela běžně, kdykoli je libovolná fyzikální soustava vychýlena ze své rovnovážné polohy, a síla, která tuto výchylku způsobila, pak přestane působit – kmity kyvadla, houpání houpačky, kmity pružiny, tlumičů automobilu, …

Jak vypočítat časový průběh těchto přechodných dějů? Co vše přechodné děje ovlivňují? Kolik forem mohou přechodné děje mít? X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

•

U ideálního rezistoru, ale i ideálního řízeného zdroje, kde je vztah mezi napětím a proudem určen násobením konstantou, jsou jakékoliv změny okamžité

•

Nenulovou dobu trvají pouze jevy, spojené s dodávkou energie – kdyby byly tyto děje nekonečně rychlé, musely by zdroje dodávat nekonečný okamžitý výkon

áš a

Aby v obvodu došlo k přechodnému ději, musí obvod obsahovat prvky, akumulující energii – C, L

Řád přechodného děje

-P av el

M

Každý obvod můžeme popsat soustavou integro‐diferenciálních rovnic Eliminací obvodových veličin (postupným derivováním původních obvodových rovnic a dosazováním obvodových veličin a jejich derivací do ostatních rovnic) dostaneme pro vybranou obvodovou veličinu diferenciální rovnici n‐tého řádu

– –

2

EO

kde

dny dn¡1y dy an n + an¡1 n¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 + a0 y = x(t) dt dt dt konstanty a0 ; a1 ; : : : an jsou kombinací R, L, C, M parametrů pasivních prvků a K, R, G, H parametrů řízených zdrojů x(t) je lineární kombinací napětí a proudů nezávislých zdrojů a jejich derivací

X3 1

• •

Řád výsledné diferenciální rovnice (přechodného děje) je roven nejvýše počtu energii akumulujících prvků v obvodu (L, C) – počtu neslučitelných induktorů a kapacitorů Oba rezistory i kapacitory mohou být sloučeny každý do jednoho prvku

⇒


OBECNÝ POSTUP ŘEŠENÍ PŘECHODNÝCH DĚJŮ V ČASOVÉ OBLASTI Nalezení energetických počátečních podmínek (ustálený stav před změnou) Eliminace proměnných Nalezneme obecné řešení y0 (t) homogenní rovnice

nejlépe řešením charakteristické rovnice

-P av el

an¸n + an¡1¸n¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1¸ + a0 = 0

M

áš a

dn y dn¡1 y dy an n + an¡1 n¡1 + ¢ ¢ ¢ + a1 + a0 y = 0 dt dt dt

obecné řešení se liší v závislosti na charakteru kořenů char. rovnice:

EO

Jednoduché reálné

2

kořeny

X3 1

1. 2. 3.

Násobný reálný (násobnost m)

Komplexně sdružený

n X

y0(t) =

A k e¸ k t

k=1

¡ ¢ y0m(t) = A1 + A2t + A3 t2 + ¢ ¢ ¢ + Amtm¡1 e¸t ¸1;2 = ¡® § j! K1 e¸1t + K2 e¸2t = e¡®t (A sin !t + B cos !t) = = D sin (!t + Ã)

Nezávisí na charakteru budících zdrojů, jen na prvcích obvodu λ < 0 F (asymptoticky) stabilní obvod (pasivní vždy) X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

4.

Komplementární řešení přechodného děje obsahuje dále partikulární řešení yp(t)

y(t) = yo (t) + yp (t) partikulární řešení je určeno charakterem zdrojů (je to ustálený stav po změně) x(t)

yp(t)

‐

0

0

Stejnosměrný

X0

Sin

Xm sin(!t + ') 1 P X0 + Xmk sin(k!t + 'k )

M

k=1

Y0 Ym sin(!t + Ã) 1 P Y0 + Ymk sin(k!t + Ãk ) k=1

EO

2

Nalezení konstant Ak – Je nutné n × zderivovat řešení rovnice (kde n je řád přechodného děje) – Potřebujeme znát řešení rovnice v určitém čase – ale my ho známe – počáteční podmínky! – Nejprve ale musíme najít řešení derivací komplementárního řešení – matematické počáteční podmínky – Nakonec řešíme n soustavu rovnic o n neznámých

X3 1

5.

-P av el

PNUS

áš a

zdroj


OBVOD 1. ŘÁDU S KAPACITOREM Připojení zdroje ke kapacitoru bez energie Intuitivní popis chování obvodu: • V okamžiku připojní zdroje je na rezistoru napětí zdroje U, protéká jím proud I =

áš a

• Za čas Δt proteče rezistorem náboj q = I Δt, napětí na kapacitoru vzroste o ¢U = • Napětí na rezistoru ale o ΔU kleslo, takže se snížil proud, a tedy i rychlost nabíjení

M

Matematické řešení:

-P av el

1. Počáteční podmínka – uvažujeme obvod bez energie ⇒ uc(0) = 0 2. Obvodová rovnice – MUN pro obecné řešení by bylo možné použít i MSP, počáteční podmínka by ale nebyla spojitá

duc (t) uc (t) ¡ U duc (t) + =0 ) RC + uc (t) = U dt R dt 3. Charakteristická rovnice, a její řešení metodou variace konstant → obecné řešení ¡1 RC ¸ + 1 = 0 ) ¸= RC ¡t ¸t uco = Ke = Ke RC

X3 1

EO

2

C

4. Ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje → partikulární řešení a) Stejnosměrný zdroj ucp = uc(1) = U


U R q C

=

I¢t C

5. Do komplementárního řešení dosadíme t = 0 → počáteční podmínku a vypočítáme konstantu K uc (0) = Ke0 + U = K + U ³ ´ ¡t RC uc (t) = U 1 ¡ e

)

0=K +U

)

K = ¡U

¡1 = RC ¸

M

¿=

áš a

Definujeme časovou konstantu obvodu

2 EO

% ustáleného stavu 63.21 95.02 99.33

X3 1

čas τ 3τ 5τ

-P av el

Přechodný děj sice teoreticky odezní po nekonečně dlouhé době, prakticky ale:

• Přechodný děj obvykle považujeme za ukončený za dobu 3τ • Časová konstanta je jedním z kritických faktorů, limitujících maximální frekvence zesilovačů, sběrnic a jiných obvodů • Časová konstanta je průsečíkem tečny k časovému průběhu v počátku s ustáleným stavem


4. Ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje → partikulární řešení a) Sinusový zdroj Porovnejme řešení přechodného děje v RC obvodu v obvodu R = 850 Ω, C = 1 μF se a) Stejnosměrným buzením U = 90 V b) Harmonickým buzením u(t) = 90 sin(2¼ 5000 t) V )

1 1 = 90 = 3:37e¡1:53j ¡6 1 + j!RC 1 + j ¢ 2¼ ¢ 5000 ¢ 850 ¢ 10

2

1 R + j!C

b =U

-P av el

1 j!C

up(t) = 3:37 sin(31416t ¡ 1:53) [V] nyní položíme t = 0

EO

HUS

bC = U b U

¡1 = ¡1176:47 0:00085

uc(t) = 90(1 ¡ e¡1176:47t) V

up (t) = U

X3 1

SUS

¸=

M

áš a

Časová konstanta obvodu ¿ = RC = 850 ¢ 10¡6 = 0:85 ms uc(t) = Ke¡1176:47t + up(t) Komplementární řešení

0 = K + 3:37 sin(¡1:53)

)

: K = 3:37

uc(t) = 3:37e¡1176:47t + 3:37 sin(31416 t ¡ 1:53) V


áš a M -P av el 2 EO

X3 1

• Maximální hodnota časového průběhu je ale zpočátku téměř dvojnásobná, nežli je pak ustálený stav • Exponenciální průběh je reakcí obvodu na připojení zdroje; je charakteristickou vlastností daného obvodu, na časovém průběhu napětí zdroje vlastně nezáleží • Amplituda této exponenciely závisí na počátečním stavu obvodu (jak byl nabit kapacitor a jaké napětí je na zdroji v okamžiku připojení – u harmonického zdroje to může být cokoli v intervalu h¡Um ; Um i


Odpojení zdroje od kapacitoru Kapacitor je nabit, počáteční podmínka je nyní (většinou) nenulová předpokládejme ustálený stav v obvodu

uc(t) = 90 e¡1176:47t V

t=0

-P av el

u(t) = 3:37 sin(31416t ¡ 1:53) V : uc (0) = 3:37 sin(¡1:53) = ¡3:37 V

HUS t < 0

up = 0

t!1

áš a

90 = K + 0

up = 0

M

SUS uc(0) = U

uc(t) = ¡3:37 e¡1176:47t V

0 -1

4

2 0

1

t[s]

SUS

2

3

0 -2

4 x 10

2 uc(t)

EO

50

X3 1

u c (t)

100

-3

-4 -1

0

1

t[s]

2

3

4 -3

x 10

HUS


Obecné řešení v RC obvodu ¡t

uc(t) = [uC (0+) ¡ up(0)] e ¿ + up(t)

Ustálený stav – zde je to stejnosměrno, sinusovka, nebo 0

M

áš a

Napětí, na které byl nabit kapacitor před připojením / odpojením zdroje

-P av el

Napětí ustáleného stavu na kapacitoru v okamžiku připojení / odpojení – dáno fázovým posunem zdroje a napětí v obvodu

EO

2

Složitější obvod s jedním kapacitorem

X3 1

Obvod z hlediska svorek kapacitoru nahradíme Théveninovým náhradním obvodem řešení je pak stejné, jako výše

⇒


Příklad: Obvod podle obrázku je napájen z obdélníkového zdroje o napětí 2V. Za platnou úroveň logické 1 budeme považovat napětí větší jak 75% maximálního napětí. Přípustná doba náběhu na platnou úroveň logické 1 nechť je max. 20 % doby trvání hodinového impulsu. Jaká může být nejvyšší hodinová frekvence datové linky?

áš a

100

t

¿ = RC = 100 ¢ 4 ¢ 10¡12 = 400 ps

EO

u(t) 1:5 ) = ¡4 ¢ 10¡10 ¢ ln(1 ¡ ) = 554 ps U 2

X3 1

f=

2

u(t) = U (1 ¡ e¡ ¿ )

t = ¡¿ ln(1 ¡

4p

-P av el

C1

V1

M

R1

1 = 180:38 MHz 2¢5¢t


Příklad: USB sběrnice v režimu plné rychlosti (12 Mb/s) pracuje s napětím 1.8 V. Impedance linky je 90 Ω. Maximální povolená kapacitní zátěž je 18 pF. Maximální přípustná doba přeběhu z nízké na vysokou úroveň a zpět je 10 ns (z 0,45 na 1,35 V). Vyhovuje linka této specifikaci?

¿ = 1:62 ns

-P av el

2

q =I ¢t

U=

EO

•

Maximální povolená kapacitní zátěž vysokorychlostní (240 MHz, 480 Mb/s) USB sběrnice je 14 pF. Může tato sběrnice pracovat s napěťovým buzením? NE, časová konstanta je příliš velká Může tato sběrnice pracovat s buzením zdrojem proudu 17.78 mA? ANO, a pracuje – proudový zdroj nabije kapacitu přes odpor rychleji

I ¢t q = C C

X3 1

•

1:35 ¡ 1:8 = 1:78 ns 0:45 ¡ 1:8

M

z 0.45 V na 1.35 V p·reb·ehne za t = ¡1:65 ¢ ln

áš a

ANO;

14 ¢ 10¡12 ¢ 0:9 CU = t= = 0:7 ns I 17:78 ¢ 10¡3


Obvod, ve kterém počítáme jinou obvodovou veličinu, nežli napětí na kapacitoru uc (0)

i2 (t)

u2(t)

áš a

i1 (t)

V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u2(t) po sepnutí a po rozepnutí spínače

Řešení:

-P av el

M

Časový průběh napětí na rezistoru R3 je dán protékajícím proudem i2(t) – steným proudem, který protéká kapacitorem. Nejprve vypočítáme časový průběh napětí na kapacitoru. Sepnutí: uc (0) = 0 V

R2 2000 = 15 = 10 V R1 + R2 1000 + 2000

X3 1

EO

2

Ui = up = U

Ri = R3 +

i2(t) = 0 žádný úbytek napětí na rezistoru R3, UR2 = Uc

R1 ¢ R 2 2000 = 1000 + = 1666:6 Ð R1 + R2 3 ¢ 106

¿ = RiC = 1:6 ms

uc (t) = [0 ¡ 10] e¡600 t + 10 £ ¤ duc (t) i2(t) = C = 10¡6 ¡10 ¢ (¡600)e¡600 t = 6e¡600 t mA dt u2(t) = R3 ¢ i2 (t) = 6 e¡600 t V X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

R2 2000 = 15 = 10 V R1 + R2 1000 + 2000 up = 0 V

uc(0) = U

Ri = R3 + R2 = 1000 + 2000 = 3000 Ð

áš a

¿ = Ri C = 3 ms

-P av el

M

uc(t) = [10 ¡ 0] e¡333:3 t + 0 h i duc (t) ¡6 ¡333:3 t i2 (t) = C 10 ¢ (333:3)e = 3:3 e¡333:3 t mA = 10 dt

EO

2

u2 (t) = R3 ¢ i2 (t) = 3:3 e¡333:3 t V

X3 1

Rozepnutí:


RC obvod s řízeným zdrojem V obvodu na obrázku vypočítejte časový průběh napětí u2(t) po připojení zdroje napětí U

Uv = K Ux

áš a

ux(t)

M

1. Théveninův teorém Ui

-P av el

Uv

Ux

¿ = RiC = RC(1 ¡ K)

uc(t) = [0 ¡ U (1 ¡ K)] e

ux(t) = uc(t)+K ux(t)

EO

Ui = U (1 ¡ K)

Ik =

U R

)

Ri =

Ui U (1 ¡ K) = = R(1 ¡ K) U Ik R

X3 1

¡U + 0 + Ux = 0

2

) Ui + K Ux ¡ U = 0

Ik

¡t RC(1¡K)

)

h i ¡t RC(1¡K) + U (1 ¡ K) = U(1 ¡ K) 1 ¡ e

ux(t)¢(1¡K) = uc(t)

)

³ ´ ¡t ux(t) = U 1 ¡ e RC(1¡K) X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

2. Přímé řešení

uc(0) = 0 V

Uv = K Ux

uc(0) + K ux(0) ¡ ux(0) = 0

)

ux(t)

ux (0) = 0 V

uxp = ux (1) = U

ux (t) ¡ U d + C [ux (t) ¡ Kux (t)] = 0 R dt

¡1 RC(1 ¡ K) ³ ´ ¡t RC(1¡K) +U =U 1¡e )

¸=

¡t

X3 1

ux(t) = [0 ¡ U ] e RC(1¡K)

EO

2

RC(1 ¡ K)¸ + 1 = 0

M

)

-P av el

¡U + R ¢ 0 + uxp = 0

áš a

Počáteční podmínku je nutné s pomocí obvodových rovnic vypočítat


Periodický obdélníkový zdroj – integrační obvod ¿ = 1 ms

R = 1 kÐ; C = 1 ¹F

T = 20 ms

!0 = 100¼

¿ ¿T

Um = 1 V

PNUS:

^ 2k = U ^ 1k U02 = 0:5, U

^ 1k = U01 = 0:5, U

2 (2k ¡ 1)¼

áš a

)

M

k=1

2 sin(2k¡1)!0 t (2k ¡ 1)¼

2 1 1 = ¢ 1 + j(2k ¡ 1)!0RC (2k ¡ 1)¼ 1 + j(2k ¡ 1)0:1¼

-P av el

1 X u1(t) = 0:5+

u2 (t) = 0:5 + 0:607 sin(314:16t ¡ 0:304) + 0:154 sin(942:48t ¡ 0:756) + 0:068 sin(1570:79t ¡ 1:004) + ¢ ¢ ¢

Přechodný děj:

2

u2(t) = 1 ¡ e

EO

t 2 (0; 0:1)

1

¡1000t

X3 1

u2(0:01) = 0:9999546 V

0.5 0 0.05

0.06

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 V tomto případě můžeme každou změnu napětí obdélníkového průběhu řešit jako samostatný přechodný děj – napětí přechodného děje na konci půlperiody je počáteční podmínkou pro následující přechodný děj zde můžeme zanedbat

0.06

t 2 (0:1; 0:2)

u2 (t) = 0:9999546 e¡1000(t¡0:1)

u2(0:02) = 0:0000454 V t 2 (0:2; 0:3)

u2 (t) = 1 ¡ 0:9999546 e¡1000(t¡0:2)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

1 0.5 0


¿ ÀT

¿ = 1 ms

R = 1 kÐ; C = 1 ¹F

T = 0:2 ms

!0 = 10000¼

0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

PNUS:

0.15

-4

-P av el

x 10

0.1

1

2

3

4

EO

2

0.05 0 0

5

u1 (t) =

^ 1k ejk!0 t U

)

k=¡1

^ 2k = U ^ 1k U02 = U01, U

6 -4

PNUS neřeší přechodný děj, pouze ustálenou složku – ta je rovna střední hodnotě obdélníkového signálu Exponenciální trend odpovídá průběhu „pomalého“ přechodného děje s časovou konstantou τ

X3 1

x 10

1 X

M

áš a

1

U01 =

£ ¤ ¤ Um ¢ t0 1 £ ¡jk0:24¼ ^ 1k = Um e¡jk!0 t0 ¡ 1 = e ¡1 = 0:12, U T ¡jk2¼ ¡jk2¼

¤ 1 £ ¡jk0:24¼ 1 1 = e ¡1 ¢ 1 + jk!0RC ¡jk2¼ 1 + jk10¼

k = ¡1; : : :¡1; 1 : : : 1


t 2 (0; 24 ¹s) t 2 (24 ¹s; 200 ¹s)

u2 (24 ¹s) = 0:0237143 V

u2 (t) = 1 ¡ e¡1000t

u2(200 ¹s) = 0:01988723 V

u2 (t) = 0:0237143 e¡1000(t¡0:000024)

u2(224 ¹s) = 0:04312991 V u2(t) = 1 ¡ 0:9801127 e¡1000(t¡0:0002) ::: Ustálený stav – jak z rovnice přechodného děje určit napětí, mezi kterými časový průběh osciluje:

áš a

t 2 (200 ¹s; 224 ¹s)

u

-P av el

176 μs

u(24 ¹s) = u2 = (u1 ¡ 1) e¡0:024 + 1

X3 1

1. úsek – stoupající exponenciela uc(0) = u1 ; up = 1; t = 24 ¹s

2

1 24 μs

EO

u

M

2

2. úsek – klesající exponenciela uc (0) = u2; up = 0; t = 176 ¹s

u(176 ¹s) = u1 = u2 e¡0:176

Soustava rovnic 2 ¡0:024 3 " # " # e ¡1 e¡0:024 ¡ 1 u1 4 5¢ = 0 u2 ¡1 e¡0:176

)

u1 = 0:109711 u2 = 0:130824 X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

Nulová střední hodnota Umax = 1 Umin = ‐1

Záporná střední hodnota Umax = 1 Umin = ‐1

X3 1

EO

2

-P av el

M

áš a

Kladná střední hodnota Umax = 1 Umin = 0

Kladná střední hodnota Umax = 1 Umin = ‐1


Periodický obdélníkový zdroj – derivační obvod

R = 1 kÐ; C = 1 ¹F

RC obvod se chová jako „derivační“, pouze pokud ¿ ¿ T

¿ = 1 ms

Um = 1 V 1 X

0.5

k=1

0.03

0.04

1

0.05

¿ ¿T

^ 2k = U ^ 1k U

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

EO

2

0.01

X3 1

T ¿> 2

2 (2k ¡ 1)¼

U02 = 0

0

-1 0

^ 1k = U01 = 0:5, U

0.06

M

0.02

-P av el

0.01

2 sin(2k ¡ 1)!0 t (2k ¡ 1)¼

áš a

u1 (t) = 0:5 +

0 0

!0 = 100¼

T = 20 ms

1

=

j(2k ¡ 1)!0 RC 1 + j(2k ¡ 1)!0 RC

j(2k ¡ 1)0:1¼ 2 ¢ (2k ¡ 1)¼ 1 + j(2k ¡ 1)0:1¼ ¡t

uc (t) = [uc (0) ¡ ucp (0)] e ¿ + ucp(t) i(t) = C

¡t duc (t) ¡C = [uc (0) ¡ ucp (0)] e ¿ dt ¿

u2 (t) = Ri(t) =

¡t ¡RC [uc (0) ¡ ucp (0)] e ¿ ¿ ¡t

¡t

= [ucp (0) ¡ uc (0)] e ¿ = uR (0) e ¿ ucp (0) je partikulární řešení na kapacitoru – střídavě 1 V (první půlperioda) a 0V ¡ ¢ uR (0) je kladné při náběžné hraně obdélníka, záporné při týlové uR (0)n = §1 ¨ uR T2 n¡1


¿ ÀT

T = 0:2 ms

t0 = 176 ¹s

-P av el

M

áš a

¿ = 1 ms

derivační obvod

Napětí je téměř obdélníkové, pokud jsou doby trvání napětí Um: t0 a 0: T – t0, pak má časový průběh mezní napětí Um tT0 a ¡Um (1 ¡ tT0 )

•

Amplituda skoků je stále rovna Um

•

„Pomalý“ exponenciální přechodný děj je obalovou křivkou časového průběhu

•

Napětí na kondenzátoru má časový průběh výše studovaného integračního obvodu (součet obou napětí musí být v každém časovém okamžiku Um).

X3 1

EO

2

•


OBVOD 1. ŘÁDU S INDUKTOREM

Ri(t) + L

di(t) ¡ u(t) = 0 dt

-P av el

M

áš a

• Energetická počáteční podmínka – proud tekoucí induktorem v čase t = 0. I kdybychom hledali napětí na induktoru, je vhodnější zvolit za počáteční podmínku proud – je spojitý. • ⇒ obvodová rovnice – metoda smyčkových proudů

• Metodou variace konstant hledáme řešení obvodové rovnice

X3 1

EO

2

L di(t) u(t) + i(t) = R dt R L ¡R ¸+1=0 ) ¸= R L

)

¿=

L R

R

iLo(t) = Ke¸t = Ke¡t L

• Vypočítáme ustálený stav v obvodu po odeznění přechodného děje • Dosazením za t = 0 vypočítáme integrační konstantu K ¡t

iL(t) = [iL(0+) ¡ ip(0)] e ¿ + ip(t) X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

Napětí na induktoru R1 = 1 kÐ; R2 = 1 Ð; L = 0:5 H; U = 1 V iL (0)

uL(t)

Energetická počáteční podmínka je proud ⇒ nejprve spočítáme proud, pak teprve napětí U 1 = = 1A R2 1

-P av el

di(t) ¡U =0 dt i(t) = Ke¸t + ip

Rovnice a její řešení:

R2 i(t) + L

Časová konstanta:

¿=

t = 0:

iL(0) = K + ip

)

R2 + L¸ = 0

)

¸=

¡R2 L

X3 1

EO

2

L 0:5 = = 0:5 s R2 1 )

K = iL(0) ¡ ip

i(t) = 1 ¡ e¡2t

Řešení pro proud:

uL(t) = L

Řešení pro napětí: I [A]

ip =

M

Ustálené stavy pro t < 0 a t > 0: iL(0) = 0;

áš a

Sepnutí spínače:

i(t)

¢ d ¡ di(t) =L 1 ¡ e¡2t = e¡2t dt dt uL(t) U [V ]

t [s]

t [s]


Ustálené stavy pro t < 0 a t > 0: iL(0) = Rovnice a její řešení:

(R1 +R2) i(t)+L

Časová konstanta:

¿=

Řešení pro proud:

i(t) = e¡2002t

Řešení pro napětí:

uL(t) = L

U 1 = = 1 A; R2 1

ip = 0

di(t) =0 dt

R1 +R2+L¸ = 0

)

¸=¡

R1 + R2 L

M

0:5 L = = 499:5 ¹s R1 + R2 1001

)

áš a

Rozepnutí spínače:

-P av el

d ¡ ¡2002t ¢ di(t) =L e = ¡1001 e¡2002t V dt dt

i(t)

U [V ]

X3 1

EO

2

I [A]

t [ms] uL(t)

t [ms]

Proud je spojitá veličina – napětí vzroste na takovou hodnotu, aby proud prošel skrz libovolně velký odpor (teoreticky i nekonečné napětí) jiskra / oblouk při prostém odpojení cívky od zdroje!!! X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

áš a

Napětí na induktoru – ochrana proti přepětí

Rezistor paralelně zapojený k vypínači

Takové řešení samozřejmě nemůže být použito pro bezpečné elektrické odpojení cívky od zdroje; dá se tedy použít pouze tam, kde proud tekoucí cívkou pouze omezujeme

X3 1

EO

2

-P av el

R2 po celou dobu, kdy je obvod zapnut spotřebovává výkon = nechtěné ztráty; čím je tento odpor větší, tím jsou sice ztráty menší, ale současně roste velikost přepětí při odpojení zdroje; u velkých cívek velký ztrátový výkon na tomto rezistoru!!!

M

Rezistor paralelně zapojený k cívce

Kondenzátor paralelně zapojený k cívce

Dioda paralelně zapojená k cívce

Účinné omezení přepětí, kondenzátor může kompenzovat účiník obvodu, akumulovaná energie se změní na teplo ve vinutí cívky (R1)

Vhodná pouze pro stejnosměrné napájení – např. ochrana vinutí relé; důležitý správný výběr diody (mezní proud), maximální proud případně omezit odporem X31EO2 - Pavel Máša - Přechodné děje 1. řádu

Přechodné děje 1. řádu v časové oblasti

Recommend Documents