INSTITUT EKONOMICKÝCH STUDIÍ Fakulta sociálních věd University Karlovy

OPCE

Studijní text č.2 k předmětu Nástroje finančních trhů Doc. Ing. Oldřich Dědek CSc.

2

A. MECHANIKA OPČNÍCH TRHŮ 1. Základní pojmy Finanční opce (option) je cenný papír, jehož zakoupením držitel opce získává právo, nikoli povinnost, koupit nebo prodat určité podkladové aktivum (underlying asset) za pevně stanovenou uplatňovací cenu (strike price, exercise price) buď kdykoli do doby dospělosti opce (americká opce) nebo v okamžiku splatnosti opce (evropská opce) základní odlišnosti od futuritního kontraktu: - při uzavření kontraktu platí kupující opce (investor,držitel) prodávajícímu (vypisovateli) opce cenu opce (opční prémii), kdežto u futuritního kontraktu v okamžiku jeho uzavření k žádným peněžním tokům mezi prodávajícím a kupujícím nedochází (po odhlédnutí od složení počáteční zálohy) - držitel opce má právo odstoupit od plnění kontraktu, považuje-li to za výhodné, futuritní kontrakt naopak vyžaduje na kupujícím i prodávajícím striktní plnění kupní opce (call option, call): právo na zakoupení podkladového aktiva prodejní opce (put option, put): právo na prodej podkladového aktiva ♦ investor kupuje kupní opci na 100 akcií firmy ABC, která vyprší za 2 měsíce momentální cena akcie (S) = 138, uplatňovací cena (X) = 140, cena kupní opce (C) = 5 velikost počáteční investice 5 × 100 = 500 a) při expiraci S = 155 (právo koupit za 140) opce bude uplatněna se ziskem (155 - 140) × 100 = 1500 a celkovým výnosem 1500 - 500 = 1000 b) při expiraci S = 135 opce nebude uplatněna, investor utrpí ztrátu 500 pro prodávajícího (vypisovatele) kupní opce je situace opačná opce uplatněna ⇒ čistá ztráta 1000 opce neuplatněna ⇒ čistý zisk 500

3 ♦ investor kupuje prodejní opci na 100 akcí firmy XYZ, která vyprší za 2 měsíce momentální cena akcie (S) = 86, uplatňovací cena (X) = 90, cena prodejní opce (P) = 7 velikost počáteční investice 7 × 100 = 700 a) při expiraci S = 65 (právo prodat za 90) opce bude uplatněna se ziskem (90 - 65) × 100 = 2500 a celkovým výnosem 1800 b) při expiraci S = 95 opce nebude uplatněna, investor utrpí ztrátu 700 pro prodávajícího (vypisovatele) prodejní opce je situace zrcadlová opce uplatněna ⇒ čistá ztráta 1800 opce neuplatněna ⇒ čistý zisk 700 ♦ cena opce = vnitřní hodnota + časová hodnota vnitřní hodnota (intrinsic value): hotovostní tok pro držitele opce za předpokladu jejího okamžitého uplatnění kupní opce: max (S - X, 0) prodejní opce: max (X - S, 0)

V = max[ω ( S − X ),0], ω = +1 pro kupní opci, ω = −1 pro prodejní opci časová hodnota (time value): ocenění možnosti, že opce zvýší do doby dospělosti svoji vnitřní hodnotu u aktiv nenesoucích do doby splatnosti opce žádný hotovostní tok (dividenda, kupón, aj.) neznamená výhoda dřívějšího uplatnění americké opce dodatečnou hodnotu, neboť v důsledku časové hodnoty je vždy výhodnější opci prodat než uplatnit u aktiv nesoucích do doby splatnosti nějaký hotovostní tok se prodejem opce o tento tok přichází, kdežto uplatněním opce se tento tok získává (uplatnit opci je výhodné pouze před dnem bez dividendy) bezprostřední uplatnění opce by vedlo ke - kladnému hotovostnímu toku pro držitele ⇒ opce je při penězích (in-the-money option) - nulovému hotovostnímu toku ⇒ opce je u peněz (at-the-money option)

4 - zápornému hotovostnímu toku ⇒ opce je bez peněz (out-of-the-money option) 2. Hokejkové diagramy a) hodnota opční pozice při vypršení opce kupující kupní opce (long call) max (ST - X, 0) - C

X

prodávající kupní opce (short call) - max (ST - X, 0) + C = min (X - ST, 0) + C

ST

C

ST X

-C

kupující prodejní opce (long put) max (X - ST, 0) - P

prodávající prodejní opce (short put) - max (X - ST , 0) + P = min (ST - X, 0) + P P ST X

ST

X -P

b) okamžitá hodnota opční pozice držitel kupní opce

držitel prodejní opce A A

B

X -C

C

ST

B

ST

X -P

C

AB ... časová hodnota, BC ... vnitřní hodnota s blížící se dospělostí opce časová hodnota konverguje k nule (čárkovaná křivka se přimyká k lomené čáře)

5 3. Praktické aspekty opčních obchodů a) kotace Uplatňovací

Cena kupní opce

Cena prodejní opce

cena

červen

září

prosinec

červen

září

prosinec

105

12

22

31

4

11

15

115

9

17

22

8

16

20

125

3

4

5

21

26

30

aktuální tržní cena S = 115 pravidelnosti: - pro každou danou uplatňovací cenu cena opce roste s délkou doby do expirace (čím pozdější splatnost, tím více opce může být při penězích, přičemž riziko maximální ztráty se nemění) - pro každou danou dospělost cena kupní opce klesá a cena prodejní opce roste se zvyšováním uplatňovací ceny (čím vyšší uplatňovací cena, tím menší (call), resp. větší (put) šance, že opce bude při penězích operativní přidávání uplatňovacích cen v návaznosti na cenový pohyb podkladového aktiva b) zálohování OTC: kupující zaplatí opční prémii (nelze platit zálohově) a z jeho strany nevzniká riziko nedodržení závazků prodávající má bezprostřední příjem hotovosti a také povinnost dostát závazku z opce ( prodat (call) či koupit (put) podkladové aktivum za uplatňovací cenu burza: bývá aplikován systém zálohování a tržního přeceňování v rozsahu denní změny hodnoty opční pozice z důvodu minimalizace rizika nedodržení závazků (rozdílné požadavky při kryté a nekryté pozici)

6

B. PŘÍKLADY OPČNÍCH KONTRAKTŮ 1. Akciová opce (stock option) podkladovým aktivem je individuální akcie kontrakt zní na větší počet akcií (např. 100 kusů) členění do kontraktačních cyklů:

1, 4, 7, 10; 2, 5, 8, 11; 3, 6, 9, 12;

interval uplatňovacích cen různý pro různé akcie existence pozičních limitů a) obnažená kupní opce (naked call): vypisovatel neprovádí jistící obchod s podkladovým aktivem (tj. zakoupení akcie při vypsání opce) počáteční záloha 30 % tržní hodnoty akcií v kontraktu ± element při penězích (bez peněz) platby variační zálohy dány jako každodenní dopočet podle formule počáteční zálohy ♦ Vypsány byly 4 kontrakty obnažené kupní opce cena opce = 5 $, uplatňovací cena = 40 $, cena akcie = 42 $, 1 kontrakt zní na 100 akcií počáteční záloha pro vypisovatele 0,3 × 42 × 100 × 4 + 2 × 100 × 4 = 5 840 $ vypisovatel obdrží hotovost 5 × 100 × 4 = 2 000 $ ⇒ pro vypisovatele znamená vypsání opce bezprostřední odliv hotovosti Kontrakty byly vypsány jako prodejní opce (opce je bez peněz ve výši 2) počáteční záloha pro vypisovatele 0,3 × 42 × 100 × 4 - 2 × 100 × 4 = 4 240 $ ♦ b) krytá kupní opce (covered call) vypisovatel opce kupuje akcie, které jsou předmětem plnění opce počáteční záloha: element opce při penězích (nevyžaduje se pro opce bez peněz podkladové akcie lze zakoupit zálohově (např. ve výši 50 % hodnoty akcií) režim denního tržního přeceňování

7 ♦ Vypsány byly 2 kontrakty na kupní opce (1 kontrakt zní na 100 akcií) cena opce = 7 $, cena akcie = 63 $, uplatňovací cena = 60 $ velikost počáteční investice = zálohová platba za nakoupené akcie (0,5 × 63 × 200) - příjem za prodané opce (7 × 200) + element opce při penězích (3 × 200) = 5 500 $ ♦ 2. Měnová opce (currency option) ISE: šterlinkový kontrakt (dolar je fakturační měna) velikost: 12 500 £ kotace: počet centů za libru (175 = 1,75 $ za libru) tik: 0,05 centů za libru (= 6,25 $ za kontrakt) interval uplatňovacích cen = 5 centů dospělosti: t + 1, 2, 3, 6, 9, 12 (měsíce) zálohování: 8 % hodnoty kontraktu (v dolarech) ± element při penězích (bez peněz) kupující kontraktu šterlinkové kupní opce obdrží 12 500 £ proti dodání dolarů, bude-li opce uplatněna prodávající kontraktu šterlinkové prodejní opce obdrží dolary proti dodání 12 500 £, bude-li opce uplatněna ♦ Byl vypsán 1 kontraktu šterlinkové kupní opce při spotovém kurzu 1,80 GBP/USD, s uplatňovací cenou 175 (centů za libru) počáteční záloha (platí vypisovatel): 12 500 × 1,80 × 0,08 + 12 500 × (1,80 - 1,75) = 2 425 $ druhého dne libra posílila na 1,82 dolarů za libru, proto následuje platba variační zálohy: 12 500 × 1,82 × 0,08 + 12 500 × (1,82 - 1,75) - 2 425 = 270 $ ♦

8 měnové opce v měnové politice: - testovaní kredibility fluktuačního pásma (je-li pásmo kredibilní, opce s uplatňovacími cenami mimo fluktuační pásmo by neměly být vůbec kótovány resp. jejich prémie by měly být téměř nulové) - testování blížící se měnové turbulence (očekávání vyšší kurzové nestability by se mělo projevit ve výrazném nárůstu implicitní volatility podkladové měny) 3. Futuritní opce (option on futures) opce na měnový futuritní kontrakt kupující kupní futuritní opce v případě jejího uplatnění zaujme dlouhou pozici v podkladovém futuritním kontraktu a obdrží hotovost ve výši rozdílu aktuální a uplatňovací ceny prodávající kupní futuritní opce v případě jejího uplatnění má povinnost vytvořit krátkou pozici v podkladovém futuritním kontraktu a uhradit rozdíl mezi aktuální futuritní a uplatňovací cenou ♦ Vypsána byla librová futuritní kupní opce (podkladovým aktivem je futuritní kontrakt znějící na 25000 £) s prémií 4,40 centů (tj. 25000 × 0,044 = 1100 $ za kontrakt) a s uplatňovací cenou 175 (tj. s právem otevřít dlouhou pozici ve futuritním měnovém kontraktu při kurzu 1,75 $ za libru). Je-li při vypršení opce aktuální cena měnové futurity např. 1,80 dolarů za libru, kupující opce zaujímá dlouhou pozici ve futuritním kontraktu a současně obdrží částku (1,8 – 1,75) × 25000 = 1250 $. Po odečtení opční prémie činí celkový čistý zisk 1 250 - 1 100 = 150 $. Jestliže futuritní cena dále vzrostla na 1,83, investor může uzavřít futuritní kontrakt a realizovat další zisk ve výši (1,83 – 1,8) × 25 000 = 750 $. ♦ poznámky: - většina futuritních opcí je amerického typu, načež po jejichž dřívějším uplatnění obvykle následuje i uzavření podkladového futuritního kontraktu (a realizace zisku či ztráty z tržního přeceňování) - časové označení futuritní opce se vztahuje k okamžiku dospělosti podkladového futuritního kontraktu, nikoli k okamžiku dospělosti opce (futuritní opce většinou maturují těsně před či při splatnosti podkladového futuritního kontraktu)

9 systém záloh: - počáteční záloha pro dlouhou stranu = počáteční záloha futuritního kontraktu × delta opce pro krátkou stranu = počáteční záloha futuritního kontraktu × delta opce + opatrnostní záloha - variační záloha ± změna počáteční zálohy ± změna hodnoty opčního kontraktu ♦ futuritní počáteční záloha = 1 500 $ delta opce = 0,88 (při zakoupení) = 0,90 (druhý den) cena opce = 0,08 $ (při zakoupení) = 0,10 $ (druhý den) opatrnostní záloha = 100 $ počáteční záloha: 1 500 × 0,88 = 1 320 $

kupující: prodávající:

1 500 × 0,88 + 100 = 1 420 $

variační záloha (druhý den): kupující:

změna počáteční zálohy = 1 500 × 0,90 - 1 320 = 30 $ (k tíži) změna hodnoty opčního kontraktu = (0,10 - 0,08) × 25 000 = 500 $ (k dobru) saldo zálohového účtu = 1 320 + 500 - 30 = 1 790 $

prodávající: saldo na zálohového účtu = 1 420 - 500 - 30 = 890 $ ♦ 4. Úroková opce (interest-rate option) a) dlouhodobá úroková opce podkladovým aktivem je vybraná dlouhodobá obligace právo prodat resp. koupit obligaci za uplatňovací cenu b) dlouhodobá futuritní úroková opce

10 kupující kupní (prodejní) opce má právo vytvořit dlouhou (krátkou) pozici v příslušném futuritním kontraktu za uplatňovací cenu opčního kontraktu vypisovatel opce je povinen v případě uplatnění opce vytvořit opačnou pozici ve futuritním kontraktu ♦ Podkladovým aktivem futuritní úrokové opce je dlouhodobá úroková futurita s následujícími parametry: nominální hodnota = 50 000 £, tik = 1/32 z 1 £ na 100 £ nominále, hodnota tiku = 15,625 £. Zakoupena byla futuritní prodejní opce za prémii 2-03 (= 67 tiků) a s uplatňovací cenou 96-00. náklady opční pozice = 67 × 15,625 = 1 046,88 £ cena březnového kontraktu klesla na 93-00, opce je uplatněna (prodej futuritního kontraktu za uplatňovací cenu 96-00) futuritní zisk = [(96-93) × 32] × 15,625 = 1 500 £ čistý zisk = 1 500 - 1 046,88 = 453,12 £ ♦ c) krátkodobá úroková opce podkladovým aktivem je FRA kontrakt (spotové aranžmá) nebo krátkodobá úroková futurita 5. Opce na akciový index (stock index option) opce na akciový index FTSE100 index (obchodovaná na ISE) podkladovým aktivem kontraktu je 1 index (= 1000 indexních jednotek) hodnota kontraktu: číselná hodnota indexu × 10 £ (index má číselnou hodnotu 1 850, takže kontrakt má hodnotu 18 500 £) kotace: počet indexních bodů (kotace 51 znamená zaplacenou opční prémii 510 £) velikost tiku: ½ indexního bodu (= 5 £ za kontrakt) interval uplatňovacích cen = 25 indexních bodů možné pouze finanční vypořádání ♦ zakoupení červnové kupní opce FTSE 100 uplatňovací cena = 1 800 (indexních bodů), cena opce = 30 (indexních bodů)

11 náklad zaujetí opční pozice = 10 £ × 30 = 300 £ uplatnění opce při velikosti indexu 1 870 ⇒ vypisovatel opce zaplatí držiteli opce částku 10 × (1 870 - 1 800) = 700 £ čistý zisk = 700 - 300 = 400 £ ♦ trojnásobná hodina duchů (triple witching hour) současné vypršení indexové futurity, opce na indexovou futuritu a individuální opce na podkladové akcie indexu období hektických obchodů při likvidování pozic, možný chaos a nestabilita trhů 6. Swapce opce na uzavření swapového kontraktu 7. Warrant právo zakoupit (počínaje jistým budoucím okamžikem) podkladový cenný papír (akcii, obligaci) za stanovenou cenou warrant bývá oddělitelný od svého hostitele a samostatně obchodovatelný na burzách N S … počet emitovaných akcií, PS … cena akcie N W … počet emitovaných warrantů, PW … cena warrantu, X … uplatňovací cena akcie γ … velikost předkupního práva 1 warrantu, V … hodnota firmy X × N W × γ … příjem firmy z prodaných akcií při uplatnění warrantů

V + X × NW × γ … hodnota jedné akcie N S + NW × γ

⎡⎛ V + X × N W × γ ⎤ ⎞ ⎛ V ⎞ NS ×γ výplata = max ⎢⎜⎜ − X ⎟⎟ × γ ,0⎥ = × max⎜⎜ − X ,0 ⎟⎟ ⎠ ⎝ NS ⎠ ⎣⎝ N S + N W × γ ⎦ N S + NW × γ

8. Další příklady vestavěných opcí termínový vklad s možností předčasné výpovědi

12 předsplacení hypotéky akcie zaúvěrované firmy vlastní jmění akcionářů = max (hodnota firmy – dluh, 0) = max (S – X, 0) důsledek omezeného ručení akcionářů

13

C. ZÁKLADY OCEŇOVÁNÍ OPČNÍCH KONTRAKTŮ korektní cena (fair price) = teoretická cena opce dosažená na dokonale konkurenčním trhu při zabezpečení podmínky neexistující arbitráže 1. Binomický model předpoklady: evropská kupní opce na akcii nevyplácející dividendy cena akcie koná náhodnou procházku (random walk) s danou pravděpodobností cenového růstu a poklesu a s danou velikostí horního i dolního kroku symbolika: C ... cena kupní opce (hledaná veličina) S ... cena akcie (= 500) X ... uplatňovací cena (= 450) q ... pravděpodobnost zhodnocení akcie (nevstupuje do ocenění) u ... násobitel zhodnocení akcie (= 1,3) d ... násobitel znehodnocení akcie (= 0,7) r ... bezriziková sazba (=10 %) binomické schéma ceny akcie q uS (650)

q S (500))

1-q

q

1-q dS (350))

1-q

binomické schéma výplaty opce q C

u2 S (845)

Cu = max[ 0, uS - X] (200)

1-q Cd = max[ 0, dS - X] (0)

duS (455)

d2 S (245)

14 stanovení opční prémie: - konstrukce bezrizikového zajišťovacího portfolia (delta-neutrální portfolio) dlouhá pozice u akcie (zakoupení 1 akcie) & krátká pozice u h kupních opcí (vypsání h kusů opcí) důvod: - rostoucí cena akcie hodnotu zajišťovacího portfolia zvyšuje (zhodnocení akcie) i snižuje (ztráta z uplatnění kupních opcí) - klesající cena akcie hodnotu zajišťovacího portfolia snižuje znehodnocení akcie) i zvyšuje (příjem z prodaných opcí) hodnota na konci období: a) cena akcie roste: Vu = uS - hCu b) cena akcie klesá: Vd = dS - hCd - využití předpokladu bezrizikového portfolia uS - hCu = dS - hCd h=

S (u − d ) = 1,5 Cu − Cd

(potřebný počet opcí v zajišťovacím portfoliu)

Vu = Vd = 350 - podmínka bezrizikové arbitráže (diskontováno bezrizikovou sazbou)

S − hC = C=

uS − hCu dS − hC d = ⇒ C = 121,2 1+ r 1+ r

pCu + (1 − p ) Cd , 1+ r

p=

(1 + r ) − d u−d

korektní hodnota opce je dána jako diskontovaná očekávaná hodnota hotovostního toku z opce (jako diskontní sazba slouží bezriziková sazba a jako váhy vystupují „zajišťovací pravděpodobnosti“ p) - riziková neutralita zajišťovacích pravděpodobností E ( S ) = pS u + (1 − p ) S d = puS 0 + (1 − p )dS 0 = (1 + r ) S 0 očekáváno je zhodnocení akcie ve výši bezrizikového výnosu (p je rizikověneutrální pravděpodobnost cenového růstu) rizikově neutrální prostředí je takové, ve kterém se v průměru očekává zhodnocení investic ve výši bezrizikové sazby (vyšší než bezrizikové hodnocení investice je doprovázeno odpovídajícím zvýšením kompenzace za podstoupené riziko, tj. vyšší diskontní sazbou)

15 - rekurzívním postupem lze odvodit cenu opce pro n kroků ceny akcie n T −n ⎧T ⎫ T! X n T −n n d C = S ⎨∑ p (1 − p) − T ⎬ (1 + r ) ⎭ (1 + r )T ⎩n = a (T − n)!n!

T

T!

∑ (T − n)!n! p

n

(1 − p)T − n

n=a

a ... vyloučení stavů, kdy opce je bez peněz 2. Black-Scholesova formule při zkracování časového intervalu mezi dvěma cenovými změnami k nule (n → ∞) konverguje binomické rozdělení k normálnímu rozdělení

C = S N (d1 ) − Xe − rT N (d 2 ) P = Xe − rT N (− d 2 ) − SN (−d1 ) d1 =

ln(S X ) + rT

σ T d 2 = d1 − σ T x

N ( x) =

∫

−∞

1 2π

e

1 − t2 2

1 + σ T 2

dt

σ = var (ln S t S t −1 ) 2

kromě volatility σ jsou všechny proměnné Black-Scholesova vzorce přímo pozorovatelné (odhad z historických dat, propočet implikované volatility) ♦ Cena akcie S = 500 $, uplatňovací cena X = 450 $, bezriziková sazba r = 6 %, doba do splatnosti T = 3 měsíce, σ2 = 20 %.

d1 =

ln(500 450) + 0,06 × 0,25 0,2 × 0,25

+

1 0,2 × 0,25 = 0,65 2

d 2 = 0,65 − 0,2 × 0,25 = 0,4264 N (d1 ) = 0,742, N (d 2 ) = 0,6651 C = 500 × 0,742 − 450e −0, 06×0, 25 × 0,6651 = 76,2 $ ♦

16 aplikace Black-Scholesovy formule na další opční kontrakty a) akcie vyplácející dividendy cena akcie = bezriziková složka (ve výši dividend vyplacených během zbývající doby života opce) + riziková složka (vyplývající ze stochastické povahy ceny podkladové akcie) Black-Scholesova formule je aplikovatelná po odstranění bezrizikové složky z ceny akcie, tj. po odstranění současné hodnoty dividend vyplacených během zbývající doby života opce (diskontováno je bezrizikovou sazbou ve dnech bez dividendy) ♦ Akcie s parametry z předchozího příkladu vyplatí za jeden měsíc dividendu ve výši 6 $. Riziková složka ceny akcie tak činí 500 −

6 = 494 $. 1 + 0,06 × 121

Tato hodnota bude dosazena do Black-Scholesovy formule jako cena akcie S. ♦ b) opce na akciový index na index lze nazírat jako na cenný papír vyplácející známý dividendový výnos, aplikovat lze proto postup jako u akcie vyplácející známý dividendový tok namísto prosté hodnoty indexu S bude do vzorce dosazeno Se − qT (q je anualizovaný dividendový výnos indexu, T je doba do splatnosti opce) c) měnová opce na zahraniční měnu lze nazírat jako na aktivum vyplácející známý dividendový výnos ve výši zahraniční úrokové sazby d) futuritní opce futuritní cena se modelově chová jako cena akcie vyplácející dividendový výnos ve výši domácí bezrizikové sazby

3. Parametry citlivosti C = f (S, X, T, r,σ ) - kupní opce má tím větší hodnotu, čím vyšší je cena podkladového aktiva a čím nižší je uplatňovací cena - opce má tím větší hodnotu, čím déle má do splatnosti

17 - hodnota opce roste s velikostí bezrizikové sazby (zakoupením opce namísto aktiva se uspoří peníze, které lze do doby splatnosti investovat) - hodnota opce roste s variabilitou podkladového aktiva (roste šance, že cena podkladového aktiva dostane opci ještě více do peněz při limitované maximální ztrátě a neomezeném zisku) a) opční delta citlivost ceny opce na změnu ceny podkladového aktiva (aproximace prvního řádu změny ceny opce) ∆=

změna ceny opce ∂C = ; 0 ≤ ∆ ≤1 změna ceny podkladového aktiva ∂S

∆ = N (d1 ) resp. − N (−d1 )

pro kupní resp. prodejní akciovou opci

nevyplácející dividendy ∆C =

∂C ∆S = delta × ∆S ∂S

delta-neutrální zajištění je taková kombinace počtu opcí a podkladového aktiva, která zajišťuje výsledné portfolio proti malým cenovým výkyvům podkladového aktiva (zajištěné portfolio má nulové delta) V = C − n× S ∆P =

∂V ∂C = −n =0 ∂S ∂S

⇒n=∆ ♦ Banka vypsala 30 kupních opčních kontraktů, z nichž každý zní na 100 akcií firmy ABC. Opční delta činí 0,6. Tato opční pozice bude zajištěna nákupem 30 × 100 × 0,6 = 1800 akcií. ♦ dynamické delta neutrální zajištění spočívá v pravidelném obnovování delta neutrální pozice, která je narušována cenovým pohybem podkladového aktiva ♦ Banka, která vypsala 100 000 kupních opcí, se rozhodla zajistit svoji pozici technikou dynamického delta-neutrálního zajištění. K vyvažování portfolia dochází jednou týdně. Týden

Cena akcie

Delta

Jistící obchod

Náklad zajištění

0

49,00

0,522

+52200

2577800

1

48,12

0,458

-6400

-308000

18 2

47,37

0,400

-5800

-274700

3

50,25

0,596

+19600

+984900

4

51,75

0,693

+9700

+502000

možné scénáře dynamického zajištění: a) růst ceny akcie zvyšuje pravděpodobnost uplatnění opcí, načež uvedená technika tíhne k případu pokryté kupní opce b) pokles ceny akcie snižuje pravděpodobnost uplatnění opcí, načež uvedená technika tíhne k případu obnažené kupní opce b) opční gama, zakřivení (curvature) citlivost delta opce na změnu ceny podkladového aktiva (aproximace druhého řádu změny ceny opce) Γ=

∂ ∆ ∂ 2C změna opčního delta = = změna ceny podkladového aktiva ∂ S ∂ S 2

∆C =

∂C 1 ∂ 2C 2 1 ∆S + ∆S = delta × ∆S + gama × ∆S 2 2 2∂ S 2 ∂S

gama-neutrální zajištění je taková kombinace opcí a podkladového aktiva, která zajišťuje delta neutrální portfolio proti větším cenovým výkyvům podkladového aktiva (delta i gama portfolia je nulové) podkladové portfolio: P = Σni C i − nS delta portfolia: ∆ P = Σni ∆ i − n = 0 gama portfolia: ΓP = Σni Γi ♦ Portfolio opcí s nulovým delta vykazuje portfoliové gama ΓP = −60 . Pro vytvoření gama neutrálního zajištění je k dispozici opce, která má delta 0,5 a gama 0,6. Gama neutrální portfolio by mělo splňovat podmínku ΓP = −60 + nO × 0,6 = 0 ⇒ nO = 60 0.6 = 100 K vytvoření gama neutrálního portfolia je tudíž zapotřebí zakoupit 100 kusů zajišťovacích opcí. Aby takto rozšířené portfolio mělo i nadále nulové delta, splněna musí být podmínka ∆ P = 0 + nO × 0,5 + δn S = 0 ⇒ δn S = −100 × 0,5 = −50

19 K obnove ní de l t a ne ut r á l ní ho z a j i š t ě ní j e z a pot ř ebí pr oda t 50 kus ů podkl a dovýc h a kc i í . ♦ c) opční theta, časový úbytek opce (time decay) citlivost ceny opce na změnu doby do dospělosti opce (pokles ceny opce po uplynutí jednoho dne) Θ=

∂C změměceny opce = změmědoby do splatnosti ∂ T

d) opční kapa (epsilon, eta, vega) citlivost ceny opce na změnu volatility podkladového aktiva

κ=

změna ceny opce ∂ C = změna volatility ∂ σ 2

stojí za volatilitou náhodný příchod nových informací či spíše techniky obchodování ? e) opční ró

ρ=

∂C změna ceny opce = změna úrokové sazby ∂ r

4. Parita prodejní a kupní opce (put-call parity) vztah mezi kupní a prodejní evropskou opcí za předpokladu: - téhož podkladového aktiva - téže uplatňovací ceny - téže doby do dospělosti odvození: portfolio A: [evropská kupní opce] & [hotovost Xe − rT ] portfolio B: [evropská prodejní opce] & [akcie] hodnota portfolia A při vypršení opce ST > X ⇒ V A = ST

(zakoupení akcie za cenu X)

ST < X ⇒ V A = X

(propadnutí opce)

⇒ V A = max ( S T , X ) hodnota portfolia B při vypršení opce

20 S T > X ⇒ VB = S T

(propadnutí opce)

S T < X ⇒ VB = X

(prodej akcie za cenu X)

⇒ V B = max ( S T , X ) dvě portfolia s identickými budoucími výnosy musí mít na dokonalém kapitálovém trhu stejnou současnou hodnotu rovnice parity:

C + Xe − rT = P + S C+B= P+S

B je současná hodnota bezrizikové obligace, která v okamžiku splatnosti obou opcí vyplácí jistinu ve výši uplatňovací ceny ♦ S = 31, X = 30, r = 10 %, C = 3, P = 2,25, T = 3 měsíce C + Xe − rT = 3 + 30e −0,1× 0, 25 = 32,26 P + S = 2,25 + 31 = 33,25 Parita prodejní a kupní opce je porušena, existuje tudíž arbitrážová příležitost. obchodní strategie: - při uzavření kontraktů : zakoupení kupní opce, prodej prodejní opce, krátký prodej akcie (zakoupení levnějšího a prodej dražšího portfolia) čistý zisk (− 3 + 2,25 + 31 = 30,25) investován za bezrizikovou sazbu disponibilní částka za 3 měsíce činí 30,25e0,1× 0, 25 = 31,02 - v okamžiku dospělosti i) ST > X ⇒ uplatnění kupní opce a vrácení akcie celkový zisk = 31,02 – 30 = 1,02 ii) ST < X ⇒ plnění závazku z prodejní opce a vrácení akcie celkový zisk = 31,02 – 30 = 1,02 ♦ C = 3, P = 1, ostatní veličiny jako v předchozím případě C + Xe − rT = 3 + 30e −0,1× 0, 25 = 32,26 P + S = 1 + 31 = 32,00 Parita prodejní a kupní opce je porušena, existuje tudíž arbitrážová příležitost obchodní strategie:

21 - při uzavření kontraktů: vypsání kupní opce, zakoupení prodejní opce a akcie počáteční výdaj (31 + 1− 3 = 29) je financován dluhem nutno vrátit 29e0,1×0, 25 = 29,73 - v okamžiku dospělosti i) ST > X ⇒ plnění závazku z kupní opce (příjem za prodanou akcii) celkový zisk = 30 − 29,73 = 0,27 ii) ST < X ⇒ uplatnění prodejní opce celkový zisk = 30 − 29,73 = 0,27 ♦ syntetické vytváření opcí: P = C − S + B ⇒ syntetická dlouhá prodejní opce dlouhá kupní opce & krátká akcie & dlouhá obligace C = P + S − B ⇒ syntetická dlouhá kupní opce dlouhá prodejní opce & dlouhá akcie & krátká obligace grafické ověření parity

Σ

Σ

dlouhá obligace dlouhá akcie dlouhá kupní opce X

X

dlouhá prodejní opce

22

D. KOMBINOVÁNÍ OPCÍ základní typologie: - kombinace (seskupování kupních a prodejních opcí) - spread (seskupování pouze kupních nebo pouze prodejních opcí) - seskupování opce s podkladovým aktivem

1. Kombinace a) vidlička (straddle) dlouhá vidlička: zakoupení kupní opce (long call) a zakoupení prodejní opce (long put) se stejnou uplatňovací cenou a stejnou splatností krátká vidlička: zrcadlově opačná pozice (short call & short put) koncová výplata z dlouhé vidličky

long call

X

S

long put

užití: kupující očekává výrazný pohyb akcie, neví však v jakém směru prodávající neočekává žádný výraznější cenový pohyb b) proužek (strip), řemínek (strap) agresivnější varianty vidličky dlouhý proužek: zakoupení 1 kupní a 2 prodejních opcí dlouhý řemínek: zakoupení 2 kupních a 1 prodejní opce

23 dlouhý proužek

dlouhý řemínek

X

X

c) škrtič (strangle, combination) vidlička modifikovaná zakoupením opcí s rozdílnými uplatňovacími cenami zisková pozice vyžaduje vyšší volatilitu ceny podkladového aktiva, proti tomu vystupují nižší náklady na vytvoření opční pozice (levnější call pro vyšší X)

long call X1

X2

long put

d) syntetická futurita dlouhá syntetická futuritní pozice

krátká syntetická futuritní pozice

short call

short put

X X

long call

long put

24 e) rotovaný spread býčí rotovaný spread

medvědí rotovaný spread

short put

short call X1

X1

X1

X2 long call

X2

long put

2. Spreadové obchody nákup spreadu: zakoupení dražší a prodej levnější opce prodej spreadu: prodej dražší a nákup levnější opce a) vertikální spread je tvořen opcemi se stejnou splatností ale s různými uplatňovacími cenami i) býčí vertikální spread - nákup kupní opce s nižší uplatňovací cenou a prodej kupní opce s vyšší uplatňovací cenou (počáteční výdaj) - nákup prodejní opce s nižší uplatňovací cenou a prodej prodejní opce s vyšší uplatňovací cenou (počáteční příjem) kupní opce (long call spread)

prodejní opce (short put spread)

short put

short call X1

X2

X1

X2 long put

long call

užití: spekulace na růst ceny podkladového aktiva long call spread: zakoupená kupní opce vydělává na cenovém růst a prodaná kupní opce snižuje počáteční investici výměnou za zastropování zisku

25 short put spread: prodaná prodejní opce vydělává opční prémii při cenové růstu a zakoupená prodejní opce snižuje počáteční příjem výměnou za zastropování ztráty ii) medvědí vertikální spread - nákup kupní opce s vyšší uplatňovací cenou a prodej kupní opce s nižší uplatňovací cenou (počáteční příjem) - nákup prodejní opce s vyšší uplatňovací cenou a prodej prodejní opce s nižší uplatňovací cenou (počáteční výdaj) kupní opce (short call spread)

prodejní opce (long put spread)

short call short put X1

X2

X1

X2

long call

long put

užití: spekulace na pokles ceny podkladového aktiva (zrcadlová logika býčího spreadu) b) horizontální (kalendářní) spread je tvořen opcemi se stejnou uplatňovací cenou ale s rozdílnou splatností (opce s delší splatností jsou dražší) výplata horizontálního spreadu (v okamžiku splatnosti opce s kratší splatností) je dána jakou součet vnitřní hodnoty opce s kratší splatností a aktuální hodnoty opce (zahrnující i časovou hodnotu) s delší splatností short call

X long call

26 pozice je mírně zisková při cenové stabilitě okolo uplatňovací ceny a ztrátová při výraznějším cenovém pohybu oběma směry horizontální spread má užití např. při obchodování s volatilitou (očekává-li se zvýšení krátkodobé a snížení dlouhodobé volatility, lze kupovat opce s kratšími splatnostmi a prodávat opce s delšími splatnostmi) c) diagonální spread je tvořen opcemi s rozdílnými uplatňovacími cenami i rozdílnými splatnostmi d) motýlí spread (butterfly) dlouhý motýlek sestavený z kupních opcí: 1 dlouhá kupní opce X1 2 krátké kupní opce X2 1 dlouhá kupní opce X3 dlouhý motýlek sestavený z prodejních opcí: 1 dlouhá prodejní opce X1 2 krátké prodejní opce X2 1 dlouhá prodejní opce X3 alternativní vyjádření: 1 dlouhý vertikální býčí spread (X1, X2) 1 krátký vertikální býčí spread (X2, X3) pomocí motýlků lze teoreticky aproximovat libovolný profil koncové výplaty výplata z dlouhého motýlku

X1

X3 X2

pozice je zisková při cenové stabilitě podkladového aktiva okolo středové uplatňovací ceny a mírně ztrátová při cenové volatilitě

27 e) kondor dlouhý kondor: 1 dlouhá kupní opce X1 1 krátká kupní opce X2 1 krátká kupní opce X3 1 dlouhá kupní opce X4 alternativní vyjádření: 1 dlouhý vertikální býčí spread (X1, X2) 1 krátký vertikální býčí spread (X3, X4) výplata z dlouhého kondora:

X4

X1

X3

X2

3. Kombinace opcí s podkladovým aktivem a) pokrytá kupní opce (covered call) prodej kupní opce (short call) je spojen se zakoupením podkladové akcie (long stock) dochází k syntetickému vytvoření krátké prodejní opce (synthetic short put)

synthetic short put short call X long stock

uplatňovací cena opce se rovná aktuální tržní ceně podkladové akcie (at-the-money covered call)

28 užití: - posílení výnosů portfolia akcií o příjem z prodaných opcí a současně zajištění portfolia proti mírnému poklesu hodnoty akcí (investor však neparticipuje na výrazném růstu cen akcií) - ochrana proti ztrátě při uplatnění opce jejím držitelem (podkladová akcie je k dispozici pro případ plnění opčního kontraktu) b) ochranná prodejní opce (protective put) k zakoupené akcii (long stock) je zakoupena prodejní opce (long put) dochází k syntetickém vytvoření dlouhé kupní opce (synthetic long call)

long put synthetic long call X

long stock

při příznivém vývoji je koncová hodnota portfolia nižší o “zaplacené pojistné”, při nepříznivém vývoji je zastropována potenciální ztráta (analogie pojištění)

29

E. OBCHODNÍ STRATEGIE S OPCEMI 1. Spekulační opční obchody výhody opcí: - asymetrická citlivost opční prémie na změnu ceny podkladového aktiva neomezený horní potenciál (pro opci hluboko při penězích je ∆ ≅ 1, takže držení opce je téměř stejně výhodné jako držení podkladového aktiva) limitovaná ztráta (pro opci hluboko bez peněz je ∆ ≅ 0) - finanční páka lze zaujímat investiční pozice za cenu daleko nižší než je tržní hodnota podkladových aktiv - pozitivní ocenění vyšší volatility podkladového aktiva (nový prvek spekulace) a) otevřené poziční obchody sázka na absolutní změnu ceny podkladového aktiva ♦ Je očekáván růst ceny akcie ABC, spekulant kupuje 10 kontraktů kupní opce (opční kontrakt zní na 1000 akcií). výchozí situace: cena akcie = 115 pencí, opční prémie = 1 p, uplatňovací cena = 135 p (opce je bez peněz) ⇒ počáteční investice: 10 × 1000 × 0,01 = 100 £ pozdější situace : cena akcie = 125 pencí, opční prémie = 5 pencí růst akciového trhu =

125 115

= 8,7 %

zhodnocení opční pozice =

5 1

= 400 %

⇒ zisk = 10 × 1 000 (0,05 - 0,01) = 400 £ v případě nepříznivého vývoje spekulant maximálně přijde o zaplacenou prémii 100 £ ♦

30 b) spreadové obchody současný nákup a prodej různých opčních kontraktů téže třídy (sázka na změnu relativních cen opčních kontraktů) vertikální (cylindrický) spread: stejné expirace, různé uplatňovací ceny horizontální (kalendářní) spread: různé expirace, stejné uplatňovací ceny diagonální spread: různé expirace, různé uplatňovací ceny motýlí spread: spread dvou spreadů ♦ motýlí spread šterlinkových kupních opcí (1 tik = 0,05 centu, velikost kontraktu = 12 500 £) výchozí situace: uplatňovací ceny (centy)

165

170

175

ceny opcí (centy)

6,30

5,25

1,70

165-170 spread: 1,05 (= 21 tiků) 170-170 spread: 3,55 (= 71 tiků) motýlí spread: 71 - 21 = 50 tiků střední kontrakt se zdá být nadhodnocen - předpokládané rozšíření 165-170 spreadu => jeho zakoupení nákup 165 opce & prodej 170 opce - předpokládané zúžení 170-175 spreadu => jeho prodej prodej 170 opce & nákup 175 opce počáteční příjem: 12 500 × (− 0,0630 + 2 × 0,0525 − 0,0170) = 312,50 $ pozdější situace: uplatňovací ceny (centy)

165

170

175

ceny opcí (centy)

4,10

2,40

0,90

165-170 spread: 1,70 (= 34 tiků) 170-175 spread: 1,50 (= 30 tiků) motýlí spread: 30 - 34 = - 4 tiky výsledný příjem: 12 500 × (+ 0,0410 − 2 × 0,0240 + 0,0090) = 25 $ celkový zisk: 25 + 312,50 = 337,50 $ ♦

31 c) obchodování s volatilitou (volatility trading) i) zakoupení opce při očekávaném zvýšení volatility podkladového aktiva (kladné vega opce) riziko: vyšší volatilita zvyšuje pravděpodobnost nepříznivé cenové změny podkladového aktiva a tím i pokles opční prémie ♦ cena akcie ABC = 115p, cena 125 kupní opce = 3p investor kupuje opční kontrakt v očekávání vyšší opční prémie odrážející zvýšenou volatilitu podkladové ceny akcie jestliže ale cena akcie klesla na 105p a opční prémie na 2p, investor utrpí čistou ztrátu ♦ ii) propočty implicitní volatility dvě různé opce k témuž podkladovému aktivu by měly implikovat stejnou volatilitu (volatilita je vlastnost podkladového aktiva a nikoli vlastnost opce) ci = f ( S , X i , Ti , r , σ ) , i = 1,2.

σ 1 > σ 2 ⇒ identifikováno je nadhodnocení opce s vyšší implicitní volatilitou a podhodnocení opce s nižší implicitní volatilitou zaujata bude dlouhá pozice u podhodnocené opce a krátká pozice u nadhodnocené opce iii) úsměv volatility (volatility smile) empirické výzkumy ukazují, že Black-Scholesův model nevystihuje dobře konce pravděpodobnostního rozdělení cenových změn podkladového aktiva (pravděpodobnost extrémních cenových výkyvů se výrazně liší od predikce BS modelu) úsměv volatility je empiricky vypozorovaná závislost mezi velikostí volatility a velikostí uplatňovací ceny

32 měnová opce

akciová opce Implikovaná volatilita

Implikovaná volatilita

Uplatňovací cena

Uplatňovací cena

zdroje úsměvu: - volatilita měnových kurzů není konstantní a kurzy samotné často podléhají skokovým změnám (v rozporu s BS modelem) -volatilita akcií je ovlivněna velikostí relativní zadluženosti firmy (pokles akcie zvyšuje pravděpodobnost pokračujícího poklesu ceny, naopak cenový růst akcie tuto pravděpodobnost snižuje) - vyšší (resp. nižší) empirická pravděpodobnost horního extrému zvyšuje (resp. snižuje) cenu opce s vyšší uplatňovací cenou, což se odráží ve zvýšení (resp. snížení) implikované volatility této opce - podobně pro pravděpodobnost dolního extrému časová struktura volatility (volatility term structure) je empiricky postulovaná závislost mezi implikovanou volatilitou a dobou do splatnosti závislost je rostoucí, považují-li se aktuální krátkodobé volatility za historicky příliš nízké závislost je klesající, považují-li se aktuální krátkodobé volatility za historicky příliš vysoké

2. Arbitrážové opční obchody a) rámečková arbitráž (box arbitrage) i) kreditní rámečková arbitráž kombinace opcí umožňující uhradit z příjmů za prodané opce (plus úroku) výdaje při vypršení opcí podmínka ziskovosti: koncový výdaj < počáteční příjem × (1 + úroková sazba)

33 zisk garantován v okamžiku vytvoření opční pozice ♦ uplatňovací cena

kupní opce

prodejní opce

105

12

6

115

9

12

125

3

21

arbitrážová strategie (4 nohy): A. prodej 105 kupní opce (+12) B. nákup 105 prodejní opce (-6) C. nákup 125 kupní opce (-3) D. prodej 125 prodejní opce (+21) čistý výtěžek: 24 pencí koncová výplata: - 20 pencí (za všech okolností jako rozdíl uplatňovacích cen) výsledná cena akcie je 120 ⇒

A(-15) + B(0) + C(0) + D(-5) = - 20 ♦

A & B ... syntetická krátká pozice u akcie s aktuální cenou 105 C & D ... syntetická dlouhá pozice u akcie s aktuální cenou 125 B

C

0 A

D

-20 syntetická dlouhá akcie

syntetická krátká akcie

ii) debetní rámečková arbitráž kombinace opcí umožňující z příjmů při vypršení opcí uhradit počáteční dluh (spolu s úroky) vzniklý při zakoupení opcí

34

b) konverzní arbitráž (conversion arbitrage) kombinace synteticky vytvořeného aktiva a téhož fyzického aktiva ♦ cena akcie S = 115, doba arbitráže T = 2 měsíce, úroková sazba r = 12 %, ceny opcí dle předchozího příkladu arbitrážová strategie:

- krátký prodej akcie za stávající cenu (115) ⇒ k dispozici částka 115 × [1 + 0,12 × (60/365)] = 117,27 - vytvoření syntetické dlouhé akcie (nákup 105 kupní opce & prodej 105 prodejní opce) ⇒ výše dluhu (- 12 + 6) × [1 + 0,12 × (60/365)] = - 6,12 - zisk/ztráta z opční pozice ⇒ S – 105 - vrácení vypůjčené akcie ⇒ odliv finanční hotovosti ve výši tržní hodnoty akcie, tj – S

garantovaný zisk = 117,27 – 6,12 + (S – 105) – S = 6,15 ♦ garantované platby platí pouze pro evropské opce v okamžiku jejich vypršení, u amerických opcí hrozí riziko dřívějšího uplatnění

3. Zajišťovací opční obchody přednosti opcí: - lze zajišťovat pozice poznamenané nejistotou ohledně velikosti i časování rizikové expozice - nabízejí ochranu proti nepříznivému cenovému vývoji a současně profitují na příznivém cenovém vývoji - umožňují zajištění specifického rizika individuálních cenných papírů a) zajišťování pomocí akciových opcí fixní zajištěni: vytvoření jednorázové opční pozice neměnné po celé období zajištění a zlikvidované uplatněním opcí nebo jejich prodejem počet opčních kontraktů =

počet zajišťovaných akcií počet akcií v opčním kontraktu

35 (počet opcí : počet akcií = 1 : 1) i) ochranná prodejní opce (protective put, synthetic long call) ochrana hodnoty akcie prostřednictvím zakoupení prodejní opce zajištění uzamyká velikost ztráty při cenovém poklesu (akcie prodána za X a následně zakoupena za nižší tržní hodnotu, popř. pokles ceny akcie je kompenzován zhodnocováním opce) a ponechává prostor pro realizaci ziskového potenciálu při cenové růstu

long put synthetic long call

X

long stock

ii) pokrytá kupní opce (covered call, synthetic short put) ochrana hodnoty akcie prostřednictví prodeje kupní opce zajištění vykazuje ztrátu při větším poklesu ceny akcie (při malém poklesu je pozice zisková díky příjmu za prodanou opci) a uzamyká velikost zisku při cenovém růstu synthetic short put

short call

X long stock

výslednou výplatu zajištěné pozice je nutné též konfrontovat s velikostí držebného ♦ cena akcie = 115p, cena kupní opce = 12p, cena prodejní opce = 10p, uplatňovaní cena kupní i prodejní opce = 115p, dividendový výnos akcie = 6 %, úroková sazba = 10 %, doba zajištění = 3 měsíce. ochranná prodejní opce

36 držebné: -10 × [1 + 0,1(91/365)] 115 × [0,06(91/365)]

splacení úvěru na nákup opce dividendový výnos

celkem: - 8,53p pokrytá prodejní opce držebné: 115 × [0,06(91/365)] 12 × [1 + 0,1(91/365)]

dividendový výnos příjem za prodanou opci

celkem: 12,30p ♦ delta neutrální zajištění: udržování poměru mezi počtem opčních kontraktů a počtem podkladových akcií s ohledem na opční delta počet opčních kontraktů =

počet zajišťovaných akcií 1 × počet akcií v opčním kontraktu opční delta (počet opcí : počet akcií = h : 1)

výplata z delta-neutrálního zajištění (ochranná prodejní opce) k jedné akcii zakoupeno h = 1 / ∆ > 1 prodejních opcí (∆ = 0,75 ⇒ h = 1,33)

výplata při expiraci X

long stock

okamžitá výplata

1/∆ × long put

změna ceny akcie ⇒ změna opčního delta ⇒ přeskupení delta-neutrální pozice prodej stávajících opcí a nákup nových prodejních opcí v souladu s novým ∆ a s novou uplatňovací cenou (rovnou aktuální tržní ceně akcie) nová cena akcie je nižší ⇒ nakoupené prodejní opce jsou levnější než prodané (mají nižší uplatňovací cenu) b) zajišťování pomocí opcí na akciový index rozšířené jsou techniky tzv. pojišťování portfolia, které zabraňují poklesu hodnoty akciového portfolia pod stanovenou mez

37

fixní zajištění: zaujetí ochranné prodejní opce, v níž pokles hodnoty akciového portfolia pod stanovenou mez je kompenzován zhodnocením opční pozice

VH … pojištěná hodnota akciového portfolia, VT … hodnota portfolia při splatnosti opce,

β … beta portfolia, X… uplatňovací cena prodejní opce, I T … hodnota akciového indexu při splatnosti opce, N… počet opčních kontraktů, c… hodnotový násobitel indexu velikost ztráty hodnoty portfolia vůči pojištěné hodnotě portfolia: I −X ⎛ V H − VT = V H − V H ⎜1 + β × T X ⎝

X − IT ⎞ ⎟ = VH × β × X ⎠

zisk z opční pozice:

( X − IT ) × c × N počet opčních kontraktů:

N=

VH β cX ♦

Akciové portfolio má aktuální tržní hodnotu 750 000 £, přičemž jeho manažer jej chce pojistit na hodnotu 700 000 £. K dispozici je prodejní opce na akciový index FTSE100 s uplatňovací cenou 1700 a dobou do splatnosti 2 měsíce. Aktuální hodnota indexu činí 1800. Výnos akciového portfolia poměrně přesně kopíruje výnos akciového indexu ( β = 1 ). Počet opcí potřebných k pojištění portfolia na zadané hladině bude N=

700 000 × 1 = 41 10 × 1700

Akciový index při splatnosti opce klesl na hodnotu 1650. hodnota akciového portfolia = 750 000 ×

1650 = 687 500 £ 1800

zisk z opcí = (1700 − 1650) × 10 × 41 = 20 500 £ hodnota pojištěného portfolia = 708 000 £ ♦ dynamické (delta neutrální) zajištění: je zjištění proti malým výkyvům akciového indexu

V H = Vt + N × c × P ⎛ ∂ V H ∂ Vt ∂ P Vt δI ⎞ = + N ×c× = × β − N × c × ∆ P = 0, δ Vt = Vt ⎜⎜1 + β ⎟⎟ − Vt ∂I ∂I ∂I It It ⎠ ⎝

38

∆ P … delta ochranné prodejní opce počet opčních kontraktů = N =

Vt β × c × It ∆ P ♦

Manažer výše uvedeného akciového portfolia se rozhodl pro techniku delta-neutrálního zajištění. Pomocí BS formule zjistil, že opční delta prodejní opce s uplatňovací cenou ve výši aktuálního akciového indexu činí -0,33. počet zakoupených prodejních opcí =

750 000 1 × = 126 10 × 1800 0,33

♦ syntetické delta neutrální zajištění na delta zajištěné akciové portfolio lze nazírat jako na portfolio tvořené jednou složenou akcií S (s hodnotou rovnou hodnotě akciového portfolia) a jednou složenou prodejní opcí P vypsanou na složenou akcii (s určitým opčním delta ∆ ) změna hodnoty portfolia vyvolaná malou změnou složené akcie: ∂ ( S + P) = 1 − ∆ ∂S

změna hodnoty portfolia tvořeného z (1- ∆ ) % složenou akcií S a z ∆ % bezrizikovými obligacemi B

δ ∂S

[(1 − ∆ ) S + ∆B ] = 1 − ∆

efektu delta neutrálního zajištění lze dosáhnout též udržováním poměru rizikových akcií a bezrizikových obligací v souladu s opčním delta ♦ Manažer výše uvedeného akciového portfolia se rozhodl pro techniku syntetického delta neutrálního zajištění. Podle BS formule má složená prodejní opce (pro uplatňovací cenu X = 750 000 $ a aktuální cenu podkladového aktiva S = 750 000 $) opční delta ve výši -0,12. Na tomto základě se rozhodl konvertovat 12 % akciového portfolia do vládních obligací. ♦ syntetického pojišťování portfolia obchází problémy spojené s: - nízkou likviditou opčních trhů s ohledem na objemy obchodů vyžadovaných technikami pojišťování portfolia

39 - neexistencí opcí s potřebnými uplatňovacími cenami a splatnostmi syntetické pojišťování může zesilovat volatilitu akciových trhů při poklesu akciového trhu, který zvyšuje delta souhrnné opce, je doporučováno zvyšovat proporcionální zastoupení obligací na úkor akcií (tj. při klesajícím akciovém trhu je doporučováno prodávat akcie a kupovat obligace) značně ztížená realizovatelnost obchodů při vysokých objemech programového obchodování c) zajišťování pomocí krátkodobých úrokových opcí možné spotové i futuritní (častější) aranžmá zajišťovací pravidlo: - pozice by byla poškozena růstem sazeb (tj. poklesem ceny CP) ⇒ nákup úrokové prodejní opce (long put) nebo prodej úrokové kupní opce (short call) - pozice by byla poškozena poklesem sazeb (tj. růstem ceny CP) ⇒ prodej úrokové prodejní opce (short put) nebo nákup úrokové kupní opce (long call) dlouhé opční pozice inkasují zisk z příznivého cenového pohybu (opce jsou uplatněny), krátké opční pozice těží z příjmu za vypsání opcí (opce nejsou uplatněny) ♦ Podnik uvažuje o přijetí úvěru 2 mil £ ode dneška za 3 měsíce (shodný termín s vypršením červnových opcí). Má obavu z nárůstu krátkodobých úrokových sazeb. Volí nákup prodejních opcí na 3M šterlinkový úrokový futuritní kontrakt. Aktuální 3M sazba je 10 %, aktuální futuritní cena je 89 (tj. futuritní sazba je 11 %). K dispozici jsou následující opce (opce s vyšší uplatňovací cenou uzamykají výhodnější (tj. nižší úrokovou sazbu, jsou však dražší).

Uplatňovací cena 88,75 89,00 89,25 počet kontraktů =

Opční prémie (p.b.) 0,20 0,50 0,75

2 000 000 =4 500 000

zaplacená opční prémie = 4 (počet kontraktů) × 75 (cena opce v ticích) × 12,5

40 (hodnota tiku) = 3 750 £ (nákup nejdražší opce uzamyká nejvýhodnější výpůjční sazbu 10,75 %) futuritní cena při splatnosti opcí nechť je 88 opce uplatněny ⇒ vytvoření krátké pozice ve futuritním kontraktu za cenu 89,25 zisk = 4 (počet kontraktů) × [8925 – 8800] (zisk v ticích) × 12,5 (hodnota tiku) - 3750 (zaplacená prémie) = 6 250 – 3 750 = 2 500 £ efektivní výpůjční sazba = 10,75 +

3 750 × (12 / 3) = 11,5 % 2 000 000

výlohy na zakoupení opcí zvyšují faktické výpůjční náklady ♦

41

F. EXOTICKÉ OPCE 1. Základní typologie znaky obyčejné opce (plain vanilla): jedno podkladové aktivum, platnost opčního kontraktu okamžikem uzavření, výplata závisí na ceně podkladového aktiva, předem je znám typ opce (kupní vs. prodejní), aj. exotická opce jistým způsobem překonává omezení obyčejné opce, čímž se zvyšuje flexibilitu opčních kontraktů i) opce závislé na cestě (path-dependent options) výplata z opce nezávisí pouze na rozdílu uplatňovací ceny a aktuální tržní ceny podkladového aktiva, v úvahu se rovněž bere chování tržní ceny během určitého období příklady: Asian average-price, Asian average-strike, look-back o, shout, forward-start, barrier, binary ii) korelační opce výplata konstruována na bázi alespoň dvou pokladových aktiv (multiasset o.), v oceňovacích formulích důležitou funkci mají korelační koeficienty příklady: exchange, best-cash, worst-cash, cash-or-nothing, quotient, product, quanto, rainbow, spread, dual-strike, out-performance, either-or, best-of-two, basket iii) hybridní opce kombinace opčního principu s nějakým jiným prvkem (limitování výplaty, oddalování platby opční prémie, volba typu opce) příklady: ladder, capped call, floored put, Boston, compound, as-youlike, pay-later, money-back

2. Asijské opce v opční výplatě se uplatňuje zprůměrování ceny podkladového aktiva v průběhu stanoveného období před vypršením opce výplata je méně manipulovatelná (odpadá závislost na hodnotách jednoho konkrétního časového okamžiku) opce jsou levnější z důvodu nižší volatility

42

average-price o. = zprůměrována tržní cena aktiva V = max [A(S) – X, 0] A(S) … průměr cen podkladového aktiva average-strike o. = uplatňovací cena stanovena jako průměr cen podkladového aktiva V = max [ST – A(S), 0] aritmetická vs. geometrická asijská o. (v návaznosti na použitou formuli průměrování) fixní vs. flexibilní asijská o.(v návaznosti na přiřazení stejné či proměnlivé váhy jednotlivým pozorováním při konstrukci aritmetického nebo geometrického průměru) příklad vážícího pravidla: w(n, i ) =

q (i ) n

∑ q(i)

, q (i ) = e −0,5i

i =1

3. Dozadu hledící opce (look-back o.) na velikosti opční výplaty se spolupodílí maximální či minimální cena podkladového aktiva dosažená v průběhu života opce - floating strike look-back call (put) o. výplata z opce je dána jako rozdíl mezi cenou podkladového aktiva při splatnosti opce a minimální (call) resp. maximální (put) cenou podkladového aktiva v průběhu života opce V = max [ST – min S(t), 0]

(pro call, zakoupení aktiva za nejnižší

cenu dosaženou během života opce)

V = max[max S (t ) − ST ,0] (pro put, prodej aktiva za nejvyšší cenu dosaženou během života opce) největší možná výplata mezi všemi opcemi, proto vysoká opční prémie - fixed strike look-back call (put) o. výplata z opce je dána jako rozdíl mezi maximální (call) resp. minimální (put) cenou podkladového aktiva v průběhu života opce a pevnou uplatňovací cenou V = max [max S(t) - X, 0]

(pro call)

43 - výkřiková opce (shout o.) výplatu tvoří buď regulérní výplata (vnitřní hodnota při splatnosti opce) nebo vnižní hodnota opce v okamžiku výkřiku V = max[ S T − X , Sτ − X ,0] ( τ značí okamžik výkřiku) - partial look-back o. extrémní hodnoty brané pro výpočet výplaty jsou monitorovány pouze za dílčí úsek života opce při konstrukci výplaty se bere pouze určitá procentní část extrémní hodnoty uvedená omezení zlevňují opční prémii

4. Náběhové opce (forward-start o.) uplatňovací cena opce je stanovena ve výši ceny podkladového aktiva ve stanoveném okamžiku náběhu opce (při zakoupení opce není známa uplatňovací cena) V = max [ω(ST – S(τ)), 0] τ … okamžik náběhu opce ω = ± 1 (v závislosti na typu call nebo put) použití v zaměstnaneckých pobídkových programech opce s jedním kliknutím (one-click o.) držitel opce případně obdrží rozdíl ceny podkladového aktiva platné v určitém okamžiku před splatností opce a uplatňovací ceny (hybrid evropské a americké opce) V = max [ω(ST – X), ω(Sτ – X), 0] τ … okamžik kliknutí

5. Bariérové opce podmíněné nabytí opce v závislosti na tom, zda cena podkladového aktiva prolomí v průběhu života bariérové opce nastavenou bariéru atraktivnost bariérových opcí pramení z toho, že jsou levnější opotit standardním opcím 8 základních typů bariérové opce: knock-in vs. knock-out down vs. up call vs. put

44 aktivační opce (knock-in): při prolomení bariéry je držitel opce oprávněn k nabytí dané opce (opce začíná existovat), v opačném případě obdrží určitou refundaci zaplacené opční prémie - dolní resp. horní aktivační o. (down resp. up knock-in): bariéra je umístěna pod resp. nad počáteční spotovou cenu (dochází k prolomení bariéry shora resp. zdola) - kupní resp. prodejní aktivační o. (call resp. put knock-in): při prolomení bariéry je aktivována evropská kupní resp. evropská prodejní opce deaktivační opce (knock-out): při prolomení bariéry držitel opce obdrží určitou refundaci za zaplacenou opční prémii (opce přestane existovat), v opačném případě je oprávněn k nabytí dané opce - dolní resp. horní deaktivační o. (down resp. up knock-out) - kupní resp. prodejní aktivační o. (call resp. put knock-out) horní aktivační kupní opce (up knock-in call): S

S bariéra

H S0

bariéra

H S0

t

t T t* * t … nabytí evropské kupní opce

T T … obdržení refundace

výplata: max [ST – X, 0] pokud S0 < H a St ≥ H pro nějaké t0 < t < T nebo refundace R(T) pokud S0 < H a St < H pro všechna t0 < t < T refundační funkce R(τ) je obyčejně rostoucí v čase dolní aktivační kupní opce (down knock-in call): výplata: max [ST – X, 0] pokud S0 > H a St ≤ H pro nějaké t0 < t < T nebo R(T)

45 pokud S0 > H a St > H pro všechna t0 < t < T dolní deaktivační prodejní opce (down knock-out put): výplata: refundace R(T) pokud S0 > H a St ≤ H pro nějaké t0 < t < T nebo max [X - ST, 0] pokud S0 > H a St > H pro všechna t0 < t < T exotické bariérové opce (bariérové opce se sofistikovanější konstrukcí bariéry) - plovoucí bariérová opce plynulá změna bariéry v čase (rostoucí, klesající, aj.) H = H(t), pro t0 < t < T - asijská bariérová opce podmíněně získaná opce má rysy asijské opce - bariérová opce s pozdějším startem (forward-start barrier o.) bariéra vstupuje do hry až od určitého okamžiku - bariérová opce s dřívějším ukončením (early ending barrier o.) - okénková bariérová opce (window barrier o.) - dvoubariérová opce (corridor o.)

6. Korelační opce výplata z opce odvozena alespoň od dvou podkladových instrumentů užití motivováno rozvojem produktů jdoucích napříč větším počtem trhů (cross-market) - exchange o. (výměnná opce) držitel opce má právo obdržet první aktivum za uplatňovací cenu odvozenou od hodnoty druhého aktiva (výnos je stejný jako při prodeji prvního a nákupu druhého aktiva)

V = max [ S1 (τ ) − S 2 (τ ), 0] S1(τ), S2(τ)… ceny podkladových aktiv v okamžiku vypršení opce - best-cash o. (opce nejlepší ceny)

V = max [ S1 (τ ), S 2 (τ ), H ] H … předem zadaná peněžní částka - worst-cash o. (opce nejhorší ceny)

46

V = min [ S1 (τ ), S 2 (τ ), H ] - cash-or-nothing o. call: V = H, pokud S(τ) > X, v opačném případě opce propadne put: V = H, pokud S(τ) < X, v opačném případě opce propadne - asset-or-nothing o. call: V = S(τ), pokud S(τ) > X, v opačném případě opce propadne put: V = S(τ), pokud S(τ) < X, v opačném případě opce propadne - quotient o. (podílová opce)

⎤ ⎡ S (τ ) V = max ⎢ω 1 − ωq , 0 ⎥ ⎦ ⎣ S 2 (τ ) q … stanovený (uplatňovací) kvocient - product o. (součinová opce)

V = max[ωS1 (τ ) S 2 (τ ) − ωX , 0] příklady: I1 je zahraniční aktivum, I2 je měnový kurz, I1 I2 je domácí cena aktiva I1 je cena komodita, I2 je velikost prodejů, I1 I2 jsou tržby společnosti - quanto o. součinová opce garantující velikost měnového kurzu

V = S 2 max[ωS1 (τ ) − ωX , 0] - rainbow o. (duhová opce) opce vypsaná na maximum nebo minimum cen dvou nebo více aktiv V = max[ω max(S1 (τ ), S 2 (τ )) − ωX , 0] V = max[ω min( S1 (τ ), S 2 (τ )) − ωX , 0]

- spread o. (rozpěťová opce) opce vypsaná na rozdíl dvou indexů, cen, kurzů, aj. (rozdíl surové a rafinované nafty, rozdíl sazeb na výnosové křivce (yield-curve o.))

V = max[ω (aS1 (τ ) − bS 2 (τ )) − ωq, 0] a, b jsou dvě konstanty - dual-strike o. (dvouuplatňovací opce) opce se dvěma uplatňovacími cenami vypsanými na dvě podkladová aktiva (lze kombinovat kupní a prodejní opce)

V = max[ω1 ( S1 (τ ) − X 1 ), ω 2 ( S 2 (τ ) − X 2 ), 0] - out-performance o.

47

⎡ ⎛ S (τ ) S 2 (τ ) ⎞ ⎤ ⎟⎟ − ωq, 0⎥ × N V = max ⎢ω ⎜⎜ 1 − S2 ⎠ ⎣ ⎝ S1 ⎦

N … pomyslný objem podkladového aktiva - best-of-two o.

⎤ ⎡ S (τ ) S (τ ) V = max ⎢ 1 − q1 , 2 − q 2 , 0⎥ S2 ⎦ ⎣ S1 - basket o. (košová opce) opce vypsaná na portfolio rizikových aktiv V = max[ω (Σwi S i (τ ) − X ), 0]

7. Hybridní opce - zastropovaná kupní opce (capped call)

V = max[min(S (τ ), H ) − X , 0] - zapodlahovaná prodejní opce (floored put)

V = max[ X − max(S (τ ), H ), 0] - límeček (collar)

V = min[max(S (τ ), H 1 ), H 2 ] ,

pro 0

výplata je ohraničena pásmem s okrajovými hodnotami H1 a H2 - žebříčková opce (ladder o.) V = max[ω max(S (τ ), H k ) − ωX , 0] Hk je nejvýše atakovaná příčka mezi zadanými příčkami (H1, H2, ,,,, Hn) v průběhu života opce - bostonská opce odložená platba opční prémie (výjimka z pravidla, že opční prémie se platí při zakoupení opce - opce s pozdějším zaplacením (pay-later o.) bude-li při splatnosti opce bez peněz, prémie se neplatí bude-li při splatnosti opce při penězích, bude zaplacená prémie vyšší - refundační opce (money-back o.) vrácení části zaplacené prémie v případě, že při splatnosti opce bude v penězích

48 - složená opce (compound o.) opce vypsaná na jinou opci 4 základní typy (call na call, call na put, put na call, put na put)

X 1 , X 2 … dvě uplatňovací ceny složené opce

T1 ,T2 … dvě doby splatnosti složené opce call na call: v čase T1 má držitel opce právo zakoupit za cenu X 1 kupní opci, která dává právo zakoupit v čase T2 podkladové aktivum za cenu X 2 opce bude uplatněna v prvním uplatňovacím okamžiku, jestliže je tržní cena opce vyšší než první uplatňovací cena - volitelná opce (chooser o., as-you-like o.) držitel má právo se rozhodnout v předem dohodnutém okamžiku (choice date) před splatností opce, zda zakoupená opce bude kupní nebo prodejní