Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2

Petr Kabele SA2: Structural Analysis Techniques – FEM II.

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2

Petr Kabele

[email protected]  people.fsv.cvut.cz/~pkabele

© Petr Kabele, 2007-2014

1


Obsah  Gaussova numerická integrace  Některé typy často užívaných prvků  Konvergence MKP

 Řešení soustav rovnic MKP  Programy založené na MKP


2


Gaussova numerická integrace  Pro výpočet prvkové matice tuhosti a vektoru uzlových sil je třeba po prvku

či jeho hranici integrovat součiny derivací bázových funkcí a tuhosti, popř. bázových funkcí a zatížení. Pro složitější bázové funkce není účelné nebo možné provádět tuto integraci analyticky. Namísto toho se používá Gaussova numerická integrace.

 Princip Gaussovy numerické integrace spočívá v zavedení aproximace integrantu pomocí polynomu zvoleného stupně a následné integraci tohoto polynomu.

f

f

f (s1) f (s3) f (s2)

-1 © Petr Kabele, 2007-2014

s1

s2

s3

1

s 3


 Hledaný integrál pak může být vyjádřen následovně: 1

n

1

i 1

 f  s  ds   w f  s  i

i

n … počet integračních bodů wi … váha integračního bodu i (dána tabelárně, např. Bathe, 1996) si … souřadnice integračního bodu i (dána tabelárně, např. Bathe, 1996)  Při použití n integračních bodů tento vzorec udává přesný integrál polynomu do stupně max. (2n-1).


4


 Uvedený postup lze zobecnit pro integraci ve více dimenzích:

1

1

  f  r, s  dr ds   w w f  r , s  n

i 1 j 1

r 1 s 1

1

1

n

1

i

j

i

j

   f  r , s, t  dr ds dt   w w w f  r , s , t 

r 1 s 1 t 1

n

n

n

i 1 j 1 k 1

i

j

k

i

j

k

 Integrace se provádí v přirozených souřadicích (r, s, ...) v intervalu -1,1.

Proto je třeba skutečné rozměry i tvar prvku do těchto souřadnic transformovat. K tomuto účelu se často používají stejné funkce, jako pro aproximaci primární neznámé (bázové funkce) … izoparametrické prvky.


5


Některé typy často užívaných prvků  Přehled v této sekci vychází z implementace prvků v programu MKP ADINA®. Jedná se o základní typy prvků, které jsou implementovány ve většině programů MKP. Nicméně jednotlivé programy mohou používat odlišné konvence pro např. směry, orientace a značení stupňů volnosti a uzlových sil, zatížení, výstupních veličin atd. Lišit se může též vlastní implementace či tvarové funkce ap. jednotlivých prvků.

 Konečný prvek (finite element) - podoblast, ve které zavádíme aproximaci primární neznámé (např. přemístění) pomocí bázových funkcí.  Konečný prvek je definován:  počtem geometrických dimenzí (liniový, rovinný, prostorový, …)  počtem a uspořádáním uzlů (tvarem)  použitými bázovými funkcemi  počtem a typem stupňů volnosti v jednotlivých uzlech  např. v Příkladu 1 B) jsme použili jednorozměrný liniový prvek se 2 uzly, ve tvaru úsečky, lineárními bázovými funkcemi a jedním stupněm volnosti (posunem) na uzel © Petr Kabele, 2007-2014

6


Liniové prvky pro jednoosou napjatost příhradové a kabelové prvky (truss and cable elements)

 počet uzlů (tvar): 2 (úsečka), 3, 4 (obecná křivka)  i zakřivený prvek přenáší pouze osovou sílu (kabel)  globální stupně volnosti: posuny u, v, w ve 3-D (možno použít i pro 2-D, 1-D)

 počet integračních bodů: 1~4 po délce prvku (pro příhradu stačí 1)  výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí a síla v integračních bodechnumber of nodes (shape): 2 (line), 3, 4 (curve)  použití: příhradové kce., kabelové kce., pružiny, výztuž v železobetonu (kompatibilní s prvky pro modelování 2D/3D kontinua) © Petr Kabele, 2007-2014

7


Izoparametrické rovinné prvky pro rovinnou napjatost/rovinnou deformaci, osovou symetrii (isoparametric elements for 2-D continuum: plane stress, plane strain, axial symmetry) w

v

 počet uzlů (tvar): 3~9 (zobecněný trojúhelník, zobecněný čtyřúhelník)  globální stupně volnosti: posuny v, w v rovině y-z (!)  bázové funkce: bilineární až kvadratické, podle počtu uzlů, např.


8


 Trojúhelníkové prvky jsou vytvořeny „zhroucením“ čtyřúhelníkových (uzly po jedné straně prvku zkoncentrovány do jednoho a bázové funkce upraveny).

konstantní deformace

 Zhroucením prvku bez úpravy bázových funkcí

zkoncentrované 3 uzly do jednoho

lze vytvořit i prvky pro lineární elastickou lomovou mechaniku se singularitou deformace v okolí špičky trhliny ve tvaru


r

1 r

9


 počet integračních bodů:  čtyřúhelníky 22 až 66 (standardně 22 pro čtyřuzlové, 33 pro ostatní)  trojúhelníky 1 až 13  výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí, plastické deformace,

funkce plasticity v integračních bodech  doporučení použití:  9 uzlový čtyřúhelník nejefektivnější  8, 9 uzlové prvky nejefektivnější pokud jsou obdélníkové s poměrem

stran >1:10  3, 4 uzlové prvky nevhodné pokud je významný ohyb (např. ohýbaný nosník)


10


Příklad použití 2D prvků pro rovinnou napjatost (Evan Speer, SAHC student 2011/2012) Analýza historického zděného mostu

určení mechanismu kolapsu klenby


11


Isoparametrické prvky pro 3-D kontinuum (isoparamatric elements for 3-D continuum) w v u

 počet uzlů (tvar): 4~27 (čtyřstěn ~ brick)  globální stupně volnosti: 3 na uzel - posuny u, v, w


12


 počet integračních bodů:  222 to 666 (typicky 222 pro 8-uzlový, jinak 333)  výstupní prvkové veličiny: m.j. deformace, napětí, plastické deformace, funkce plasticity v integračních bodech

 doporučení použití:  v úlohách ve kterých je nutno popsat 3-osou napjatost  27-uzlový nejpřesnější ale početně nejnáročnější  20-uzlový obyčejně nejefektivnější  20-uzlový nejefektivnější pokud má tvar hranolu  4, 6, 8-uzlové prvky méně efektivní pokud je významný ohyb (např. nosník modelovaný jako 3-D kontinuum)


13


Příklad použití prvků pro 3D (Ximena Milia, SAHC student 2011/2012) Analýza historického zděného mostu

lokální porušení klenby


14


Hermitovský prutový prvek (Hermitian beam element)  prutový prvek založený na Bernoulli-Eulerově teorii  použití v prostoru i v rovině  počet uzlů (tvar): 2 (úsečka)  stupně volnosti: 6  3 posuny  3 pootočení  v rovině se použijí jen relevantní 2 posuny a 1 pootočení  bázové funkce: kubické pro příčné posuny, lineární pro podélný posun a torzní pootočení  možno zadat:  tvar a rozměry průřezu (příp. průřezové charakteristiky) a materiálový model (i nelineární) a nebo

 vztah mezi momentem a křivostí a normálovou silou a protažením střednice (i nelineární navzájem závislé) © Petr Kabele, 2007-2014

15


Isoparametrický prutový prvek (isoparamatric beam element)  isoparametric prutový prvek založený na Timošenkově teorii  použití v prostoru i rovině  počet uzlů (tvar): 2 (úsečka), 3~4 (rovinná křivka)  pouze obdélníkový průřez  počet stupňů volnosti na uzel: 6  posuny  3 pootočení  v rovině se použijí jen relevantní 2 posuny a 1 pootočení  2-uzlový vždy a 3~4 uzlový prvek pokud nejsou uzly rovnoměrně rozložny obvykle trpí tzv. smykovým zamykáním (shear locking) - smykové deformace nejsou aproximovány s dostatečnou přesností  velmi tuhá odezva, nutná velmi jemná

diskretizace  doporučené použití: zakřivené pruty, konečné posuny (jinak je výhodnéjší Hermitovský prvek)


16


 Přiklad: zamykání (locking) isoparametrických prvků

iso rovinná napjatost

w = -3.02408 iso prut

w = -3.02400 Hermitovský prut

w = -4.00000 ... přesné řešení


17


Příklad použití prutových prvků (Justin Hettinga, SAHC student 2008/2009)

Analýza gotické střešní konstrukce

deformovaný tvar

normálová síla © Petr Kabele, 2007-2014

posouvající síla

ohybový moment 18


Deskové prvky (plate elements)  počet uzlů (tvar): 3 (trojúhelník)  stupně volnosti: 6 na uzel – 3 posuny and 3 pootočení  superpozice membránového účinku (rovinná

napjatost) a ohybu (deska)  membránový účinek : 3 uzlový prvek s konstantní deformací, rovinná napjatost  ohyb: prvek založený na Kirchhoffově teorii tenkých desek  prvek nezohledňuje smykové deformace (Kirchhoffův předpoklad)  prvek netrpí zamykáním  vhodné použití: tenké desky a skořepiny  výstupy: intenzity vnitřních sil v integ. bodech, uzlové síly aj.


19


Příklad použití stěnodeskových prvků (Achyut Khanal, SAHC student 2012/2013) Seismická analýza historické zděné budovy


20


Konvergence MKP  Metoda konečných prvků obecně umožňuje přibližné numerické řešení úloh s okrajovými podmínkami  Monotónní konvergence – přibližně řešení se přibližuje přesnému matematickému řešení úlohy se zjemňováním diskretizace (zvyšováním počtu prvků).  Aby byla zaručena monotónní konvergence, prvky musí být konformní (aproximační-bázové funkce musí splňovat jistá kritéria)

přemístění přesné řešení MKP

počet prvků


21


 Rychlost konvergence závisí na velikosti prvků, stupni aproximačních funkcí a materiálových vlastnostech

u  u h 1 c hk u

k 1

u ... přesné řešené uh ... přibližné řešení MKP h ... typická velikost prvku k ... stupeň úplného polynomu aproximace c ... konstanta nezávislá na h, ale závislá na materiálových vlstnostech  V důsledku toho, že zavedením aproximace omezujeme pole přemístění odezva vypočtená MKP založenou na aproximaci přemístění je tužší (menší přemístění) než je přesné řešení.  Zde popisovaná konvergence se týká konvergence řešení v souvislosti s diskretizací konečnými prvky (na rozdíl od konvergence nelineárních úloh, kterou budeme diskutovat později).


22


Řešení soustav rovnic MKP Z předchozího odvození metody konečných prvků pro řešení úlohy mechaniky lze zobecnit následující závěry:

 řídící rovnice a okrajové podmínky vedou na soustavu lineárních algebraických rovnic ve tvaru

Kd  f kde K ... globální matice tuhosti (známá, geometrie a materiál) , d ... globální vektor uzlových přemístění (primární neznámé), f ... globální vektor uzlových sil (známé, zatížení).  počet rovnic odpovídá počtu nepodepřených stupňů volnosti modelu (obvykle mnoho)  matice tuhosti je však řídká (mnoho nulových prvků) a prvky lze uspořádat tak, aby byla pásová (prvky soustředěné podél diagonály)


23


 matice tuhosti správně podmíněné úlohy je pozitivně definitní:

dT Kd  0  d

det K  0 matice tuhosti není pozitivně definitní mj. v následujících případech:

 konstrukce nebo její část není dostatečně podepřená tak, aby bylo zabráněno přemístění tuhého tělesa, tj. konstrukce nebo její část tvoří mechanismus  v modelu existují stupně volnosti, kterým odpovídá nulová nebo záporná tuhost  materiál v části konstrukce se stal nestabilním (např. v důsledku změkčení ap.)


E0

24


 matice tuhosti není symetrická např. při použití některých konstitutivních vztahů, např. neasociovaná plasticita, tření aj.

Příklad 2: Sestavte matici tuhosti pro úlohu z příkladu 1 (řešení MKP), přičemž: a) kinematickou okrajovou podmínku nahraďte rovnovážnou statickou OP b) v elementu č. 3 uvažujte modul pružnosti E = 0. Vypočtěte determinant matice tuhosti a ukažte, že v obou případech matice tuhosti není pozitivně definitní.


25


V principu můžeme metody řešení soustav rovnic MKP rozdělit do 2 skupiny:  přímé řešiče (direct solvers)  iterativní řešiče (iterative solvers)

Přímé metody řešení  počet kroků a operací, které musí řešič provést, je předem přesně definován a závisí na počtu rovnic a vlastnostech systémové matice  algoritmus založený na Gaussově eliminaci – pomalý, velké nároky na paměť  řídké řešiče (sparse solvers) – robustní a spolehlivé (rozeznají matici, která není pozitivně definitní), menší nároky na paměť, o 2 řády rychlejší než Gaussova eliminace


26


Iterativní metody řešení  vhodné pro rozsáhlé úlohy, kdy kapacita paměti počítače není dostačující pro použití řídkého řešiče

 přibližné řešení soustavy rovnic se hledá iterativně tak, aby norma rozdílu pravé a levé strany rovnice byla menší než zadaná tolerance  nerozezná matici, která není pozitivně definitní, problémy u špatně podmíněných matic (velké rozdíly ve velikosti prvků)


27

Petr Kabele

Programy MKPTechniques – FEM II. SA2: Structural Analysis Programy MKP:  obecné (general purpose)  simulace obecných multifyzikálních úloh (např. statika, dynamika, transport tepla a/nebo hmoty, magnetismus,..., sdružené úlohy)  náročnější zadávání úlohy (volba z mnoha možností)  uživatel musí dokonale rozumět matematické a fyzikální podstatě problému

 specializované, inženýrské  řešení specifické inženýrské úlohy (např. elastická prutová soustava,...)  uživatelsky přívětivé zadávání („klikací“, předdefinované materiály, konstrukční prvky, průřezy ap., úzká návaznost na normu)  použití v běžné inženýrské praxi (navrhování a posuzování konstrukcí) © Petr Kabele, 2007-2014

např. ADINA® MSC.MARC®

ANSYS® OOFEM ATENA®

... FINE FEAT

SAP2000® ...

28

Petr Kabele Struktura programů MKP: – FEM II. SA2: Structural Analysis Techniques

Preprocesor  grafické prostředí pro přípravu vstupních dat


Výpočetní jádro  vlastní program MKP

Postprocesor  grafické prostředí pro zpracování a vizualizaci výsledků

29


Příklad 3: Uvažujte elastickou konzolu dle obrázku. Určete průhyb na jejím volném konci a průběh normálového a smykového napětí ve vetknutí (napětí pouze a, d): a) analyticky pomocí Bernoulli-Eulerovy prutové teorie b) MKP programem ADINA s využitím Hermitovských prutových prvků c) MKP programem ADINA s využitím isoparametrických prutových prvků d) MKP programem ADINA s využitím isoparametrických prvků pro rovinnou napjatost f=0,4 N/mm2

20mm

Materiál: HD polyetylén E = 700 MPa

n = 0,42

50mm

tl.=10 mm Viz tutoriál k programu ADINA


30


Literatura I. Shames & C. Dym: Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics, Taylor & Francis, 1991

K.J. Bathe: Finite Element Procedures, Prentice Hall, Inc., 1996 ADINA R&D, Inc.: Theory and modeling guide, Volume I: ADINA, November 2006


31


Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám a cvičením z předmětu Nelineární analýza materiálů a konstrukcí pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.

Datum poslední aktualizace: 10.3.2014


32

Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Metoda konečných prvků 2

Recommend Documents