MODUL STATISTIKA I 2013 (INTERNAL) MODUL STATISTIKA I

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) MODUL STATISTIKA I LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I SEMESTER GENAP 2013 FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T. NIP. 197312302000121001

1

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) KATA PENGANTAR Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu’alaikum Wr. Wb, Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2013 ini dengan sebaikbaiknya. Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis. Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna. Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

2

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)

YESSICA

HAMDI

DITHA

MEISA

IRSYAD

ARDINA

DEASY

TAUFIK

KARINA

RINI

RUDOLF

ALYA

3

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI

5

UKURAN GEJALA PUSAT

28

UKURAN DISPERSI

56

ANGKA INDEKS

83

ANALISIS DERET BERKALA

99

PELUANG

127

DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

144

DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

161

APPENDIX

176

4

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas. Bentuk tabel yang mengklasifikasikan setiap individu atau item dari data yang diobservasi ke dalam kelas-kelas tertentu, sehingga setiap individu atau item hanya termasuk ke dalam

kelas

tertentu

saja

disebut

dengan

distribusi

frekuensi.

Tujuan

pengelompokan data ke dalam distribusi frekuensi ialah untuk memperoleh gambaran yang sederhana, jelas dan sistematis mengenai peristiwa yang dinyatakan dalam angka-angka. Bagian Distribusi Frekuensi 1.

Kelas ( Class ) Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas – batas nilai tertentu

2.

Batas kelas ( Class limit ) Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian: a.

Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan - bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari 5

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 

Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class limit/ LCL) Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentu



Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/ UCL) Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b.

Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari : 

Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class Boundaries / LCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan.



Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class Boundaries / UCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya. Rumusnya adalah sebagai berikut : UCBi = LCB(i+1) UCB = (UCLi + LCL(i+1))/2

3.

Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )  Ci Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap – tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan

6

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 4.

Frekuensi ( Frequency ) f Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas

5.

Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark )  X Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal : Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I Batas kelas

Tepi Kelas

Nilai Tengah

Frekuensi

23 – 27

22,5 – 27,5

25

2

28 – 32

27,5 – 32,5

30

4

33 – 37

32,5 – 37,5

35

15

38 – 42

37,5 – 42,5

40

21

43 – 47

42,5 – 47,5

45

31

Jumlah LCL

UCL

73 LCB

UCB

Nilai tengah

Σf

f

7

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut : 1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan 2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan : Rumus : R = Xmaksimum - Xminimum 3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N

atau

N = banyaknya anggota populasi;

k = 1 + 3,322 log n

n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus Ci = =

/

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan 6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5

8

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi 

Histogram ( Hystogram )

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas



Poligon ( Polygon )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya



Ozaiv ( Ogive )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan

tinggi

frekuensi

kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.



Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.

9

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Macam – macam Distribusi Frekuensi a) Distribusi Frekuensi Distrik yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0 c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas  DF terbuka atas Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “  DF terbuka bawah Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “  DF terbuka atas bawah Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “ e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 %. firelatif = ∑

firelatif = ∑ x 100

 dalam bentuk ratio  dalam bentuk persentase

10

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari : 

DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya.



DF Kumulatif negatif / DF kumulatif atau lebih /DF kumulatif more than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.

Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi UCBi = LCB(i+1)

Cii = UCB(i+1) – LCBi

UCB = (UCLi + LCL(i+1))/2

Cii =X (i+1) – Xi Untuk DF Yang memiliki Ci sama

Xi = (LCB+UCB)/2

UCLi = LCLi –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit

Cii = LCL(i+1) – LCL

UCLi = LCLi –( Ci-∆ ) Untuk DF Kontinu

fi kepadatan = (Ci Pokok / Cii) Fi

11

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Contoh Soal : Berikut ini adalah data tinggi badan dari Mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Padjadjaran 125

165

157

151

132

134

161

145

148

156

154

179

157

150

169

149

170

155

145

148

154

163

159

162

173

180

176

152

162

143

143

150

158

163

134

165

142

150

121

176

a) Susunlah data tinggi badan mahasiswa tersebut ( Array ) ? b) Buatlah ditribusi frekuensinya ? c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm ? d) Berapa batas atas kelas ke-3, batas bawah kelas ke-2, tepi bawah kelas ke-4, tepi atas kelas ke-2, dan titik tengah kelas ke-2 ? Jawab : a) Array

12

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b) Distribusi Frekuensi R = Xmaks – X min = 180 – 121 = 59 k=1+3,322 log n = 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6 Ci = R/k  59/6 = 9,8333, diambil 10 Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan Mahasiswa Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Padjadjaran Tinggi Badan

Jumlah Mahasiswa

121 – 130

2

131 – 140

3

141 – 150

11

151 – 160

10

161 – 170

9

171 – 180

5

Jumlah

40

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan kurang dari 151 cm dan yang lebih dari 160 cm = 16 orang + 14 orang = 30 orang d) Batas atas kelas ke-3 = 150 Batas bawah kelas ke-2 = 131 Tepi bawah kelas ke-4 = 151-0,5= 150,5 Tepi atas kelas ke-2 = 140 + 0,5 =140,5 Titik tengah kelas ke-2 = (130,5+140,5)/2=135,5

13

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI 1.

Berikut adalah data nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition dari 50

orang peserta 19

23

18

43

30

20

37

42

30

26

40

16

27

56

17

27

26

27

37

28

38

26

33

45

50

22

28

38

31

39

31

30

31

41

62

37

51

42

25

42

42

41

27

26

19

42

63

16

18

55

a. Buatlah array atau susunan data dari nilai hasil tes tulis Microeconomics Competition tersebut ! b. Buatlah distribusi frekuensinya ! c. Berapa jumlah peserta yang memiliki nilai kurang dari 30 dan yang lebih dari 50 ? d. Berapa batas atas kelas ke-1, batas bawah kelas ke-3, tepi bawah kelas ke-2, tepi atas kelas ke-4, dan titik tengah kelas ke-1 ? Jawaban : a. 16

25

28

37

42

16

26

30

38

42

17

26

30

38

43

18

26

30

39

45

18

26

31

40

50

19

27

31

41

51

14


b.

19

27

31

41

55

20

27

33

42

56

22

27

37

42

62

23

28

37

42

63

Range data tersebut 63 -16 = 47 k = 1 + 3.322 log 50 = 1 + 3.322 (1.6989..) = 1 + 5,6439.. = 6,6439 = 7 Ci = =

= 6.714 = 7 Tabel Distribusi Frekuensi Kelas

Frekuensi

16-22

9

23-29

12

30-36

7

37-43

15

44-50

2

51-57

3

58-64

2

Jumlah

50

Jumlah peserta yang nilainya kurang dari 30 dan lebih dari 50 adalah 21 + 5 = 26 pegawai c.

Batas atas kelas ke-1 = 22 Batas bawah kelas ke-3 = 30 Tepi bawah kelas ke-2 = 23-0,5 = 22,5 Tepi atas kelas ke-4 = 43 + 0,5 = 43,5 Titik tengah kelas ke-1 = 15,5 + 22,5/2 = 19

15


Berikut ini adalah tinggi badan dari 35 mahasiswa di FEB Unpad 180

177

160

177

157

164

181

157

159

162

174

158

159

181

162

180

160

175

180

164

150

174

181

159

175

170

170

158

166

159

178

176

165

171

185

a.

Susunlah DF asalnya !

b.

Berapa banyak mahasiswa yang tinggi badannya minimal 173 ?

Jawaban : a.

Array 150

159

160

165

174

177

180

157

159

162

166

174

177

181

157

159

162

170

175

178

181

158

159

164

170

175

180

181

158

160

164

171

176

180

185

Range data tersebut 185 – 150 = 35 k = 1 + 3.322 log 35= 1 + 3.322 (1.6989..) = 6.129394043 = 6 Ci = =

= 5.833 = 6 Distribusi Frekuensi Tinggi Badan

Frekuensi

150-155

1

156-161

10

162-167

6

16

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 168-173

3

174-179

14

180-185

1

Jumlah

35

b. Jadi jumlah mahasiswa yang tinggi badannya minimal 173 adalah 20 orang

3.

Distribusi frekuensi kumulatif usia dari 60 orang penduduk Perumahan Permata Hijau di Bandung adalah sebagai berikut : Usia

Banyaknya Penduduk

Kurang dari 10

0

Kurang dari 20

4

Kurang dari 30

8

Kurang dari 40

15

Kurang dari 50

30

Kurang dari 60

45

Kurang dari 70

56

Kurang dari 80

60

a. Susunlah distribusi asalnya b. Buatlah distribusi frekuensi relatifnya Jawaban :

17

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) a.

Ci = 20 – 10 = 10 Distribusi Frekuensi Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau

b.

Usia

Banyaknya Penduduk

10-19

4

20-29

4

30-39

7

40-49

15

50-59

15

60-69

11

70-79

4

Total

60

f2 =

100% = 6,67%

f3 =

100% = 11,67%

f4 =

100% = 25%

f1 =

100% = 6,67%

f6 =

100% = 25%

f7 =

100% = 6,67%

f5 =

100% = 18,33%

Distribusi Frekuensi Usia Penduduk Perumahan Permata Hijau Usia

Frekuensi (%)

10-19

6,67

20-29

6,67

30-39

11,67

40-49

25

18


4.

50-59

25

60-69

18,33

70-79

6,67

Total

100

The following table shows the monthly-amount of time spent playing football by 400 high school students : Playing Time

Number

(minutes)

of Students

300-399

46

400-499

62

500-599

58

600-699

14

700-799

76

800-899

68

900-999

22

1000-1099

48

1100-1199

6

With this reference of table, determine : a. The upper limit of the third class, fourth class and sixth class! b. The class boundaries of the second class and seventh class! 19

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) c. The DF relative! d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes! e. The percentage of students whose monthly playing time are at least 600 minutes but less than 900 minutes! Jawaban : a. The upper limit of the third class = 599 The upper limit of the fourth class = 699 The upper limit of the sixth class = 899 b. The lower class boundaries of the second class = 400 – 0,5 = 399,5 The upper class boundaries of the second class = 499 + 0,5 = 499,5 The lower class boundaries of the seventh class = 900 – 0,5 = 899,5 The upper class boundaries of the seventh class = 999 + 0,5 = 999,5 c. DF Relative Playing Time

Number

Number

(minutes)

of Students

of Students (%)

300-399

46/400

11,5%

400-499

62/400

15,5%

500-599

58/400

14,5%

600-699

14/400

3,5%

700-799

76/400

19%

800-899

68/400

17%

900-999

22/400

5,5%

1000-1099

48/400

12%

1100-1199

6/400

1,5%

d. The percentage of students whose monthly playing time does not exceed 800 minutes =

100% = 64% 20

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) e. The percentage of students whose monthly playing time are at least 600 minutes but less than 900 minutes ? 100% = 39,5%

= 5.

Berikut ini disediakan distribusi relatif nilai ujian statistika dari 70 orang mahasiswa di Universitas “STA“

Nilai Ujian

Frekuensi relatif

60 – 64

2,857

65 – 69

2,571

70 – 74

21,429

75 – 59

28,571

80 – 84

22,857

85 – 89

10,000

90 – 94

5,714

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya )? b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan atau lebih? c) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus Jawab : a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

21


jadi : f1=

frel = ∑ x 100

,

atau f i=

∑

=2

f2 =

,

=6

f3 =

,

= 15

f4 =

,

= 20

f5 =

,

= 16

f6 =

,

=7

f7 =

,

=4 Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X” Umur

X

Banyaknya Mahasiswa

60 – 64

62

2

65 – 69

67

6

70 – 74

72

15

75 – 59

77

20

80 – 84

82

16

85 – 89

87

7

90 – 94

92

4

Jumlah

70

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut : Umur

60 – 64

Banyaknya

Frekuensi Kumulatif

Mahasiswa

Nilai

Fk

Nilai

fk

< 60

0

≥ 60

70

<65

2

≥ 65

68

2

22


6.

65 – 69

6

< 70

8

≥ 70

62

70 – 74

15

< 75

23

≥ 75

47

75 – 59

20

< 80

43

≥ 80

27

80 – 84

16

< 85

59

≥ 85

11

85 – 89

7

< 90

66

≥ 90

4

90 – 94

4

< 95

70

≥ 95

0

Here is the data of 40 students who take statistics courses based on the their age : Midpoint

Frekuensi

23

3

26

5

29

7

32

8

35

9

38

6

41

2

a) Arrange the origin`s frequency distribution? b) What percentage of the minimum 31-year old college student who majors statistical And how many students over the age of 34 years? Jawab : a. Mid point = Xn Ci

= Xn+1 - Xn

23

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) = 26 – 23 =3 X1 = 23 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(23) – Tb

= Tb + 3

46 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 46 – 3

Tb

= 21,5 -> 22

Ta

= 2(23) – 22

Untuk Tepi bawah kelas 1

= 24 X2 = 26 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(26) – Tb

= Tb + 3

52 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 52 – 3

Tb

= 24,5 -> 25

Ta

= 2(26) – 25



= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(29) – Tb

= Tb + 3

58 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 58 – 3


24

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tb

= 27,5 -> 28

Ta

= 2(29) – 28 = 30

X4 = 32 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(32) – Tb

= Tb + 3

62 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 64 – 3

Tb

= 30,5 -> 31

Ta

= 2(32) – 31



= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(35) – Tb

= Tb + 3

70 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 70 – 3

Tb

= 33,5 -> 34

Ta

= 2(35) – 34



= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(38) – Tb

= Tb + 3

76 – Tb

= Tb + 3

Untuk Tepi bawah kelas6

25

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2Tb

= 76 – 3

Tb

= 36,5 -> 37

Ta

= 2(38) – 37 = 39

X7 = 41 Tepi Atas

= 2Xn – Tb

Tepi Bawah

= Tb + Ci

2Xn – Tb

= Tb + Ci

2(41) – Tb

= Tb + 3

82 – Tb

= Tb + 3

2Tb

= 82 – 3

Tb

= 39,5 -> 40

Ta

= 2(41) – 40

Untuk Tepi bawah kelas6

= 42 Distribusi Frekuensi Usia Mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistik Usia

Frecuency

20-24

3

25-27

5

28-30

7

31-33

8

34-36

9

37-39

6

40-42

2

Total

40

b.Jadi. % jumlah frekuensi mahasiswa yang mengikuti mata kuliah statistic minimal berusia 31 tahun adalah 26

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) x 100 = 62,5 % Dan , jumlah mahasiswa yang berusia lebih dari 34 tahun adalah = 9 + 6+2=17 orang 7.

Data di bawah ini menunjukan hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978 di 69 negara. 462

640

649

977

322

482

659

699

603

766

357

170

518

850

332

478

678

703

393

300

455

695

254

449

340

508

773

833

467

750

404

143

703

320

269

398

800

459

849

257

508

917

400

535

472

476

300

719

920

549

546

697

698

316

500

761

685

480

816

299

286

602

494

400

664

380

657

605

1054

(Anto Dajan. Pengantar Metode Statistik jilid I Halaman 108) a) Berdasarkan data di atas buatlah distribusi frekuensinya! b) Buat Distribusi frekuensi relative “kurang dari” dan “atau lebih” dari data di atas! Jawab : a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu k = 1 + 3,322 log 69 = 1 + 3,322 (1,8388) = 6,1084 ambil k = 6

Rentang kelas = Rmaks – Rmin = 1054 – 143 = 911 Panjang / lebar kelas =

= 151,83333 ambil 152

27

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Distribusi frekuensi Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di 69 negara. Rata-rata Gula tebu

Frecuency

143-294,9

6

295-446,9

15

447-598,9

18

599-750,9

18

751-902,9

8

903-1054,9

4

Jumlah

69

b) Distribusi frekuensi kurang dari dan atau lebih Hasil rata-rata gula tebu dalam kuintal per hektar selama periode 1977/1978di 69 negara.

Frekuensi kumulatif Rata-rata gula tebu

fk Kurang dari

Rata-rata gula tebu

fk

Lebih

dari Kurang dari 143

0

143 Atau Lebih

69

Kurang dari 295

6

295 Atau Lebih

63

Kurang dari 447

21

447 Atau Lebih

48

Kurang dari 599

39

599 Atau Lebih

30

Kurang dari 751

57

751 Atau Lebih

12

Kurang dari 903

65

903 Atau Lebih

4

Kurang dari 1055

69

1055 Atau Lebih

0

28

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) UKURAN GEJALA PUSAT

Ukuran Gejala Pusat (UGP) adalah nilai tunggal yang mewakili suatu kumpulan data atau menunjukkan pusat dari nilai data (Suharyadi, Purwanto S.K). Dengan kata lain, ukuran gejala pusat adalah ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Maksudnya jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata ke dalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan (tendensi) terletak diurutan paling tengah atau pusat. Ukuran gejala pusat digunakan sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok data atau bilangan. Jenis-jenis ukuran gejala pusat adalah : 1. Mayor Mean, terdiri dari : a. Rata-rata Hitung (arithmetic mean) b. Median c. Modus 2. Minor mean, terdiri dari : a. Rata-rata Ukur (geometric mean) b. Rata-rata Harmonis (harmonic mean)

1.

Mayor Mean a. Rata-rata Hitung (Arithmatic Mean) Rata-rata hitung merupakan nilai yang diperoleh dengan cara menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan banyaknya data tersebut. Rata-rata hitung memiliki sifat : 1) Mudah dihitung

29

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2) Sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mempunyai sebaran nilai relative kecil (tidak mempunyai nilai ekstrim) atau dari data yang berbentuk deret hitung 3) Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka Dalam perhitungannya digunakan rumus-rumus sebagai berikut : -

Untuk data tidak berkelompok Populasi

Sampel

Rata-rata Hitung (μ atau x )

Rata-Rata Tertimbang ( x w) Rata-Rata Gabungan ( x )

30

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) -

Untuk data berkelompok Populasi Rata-rata Hitung

Cara pendek

Sampel Cara pendek

(μ atau x ) atau Cara panjang

Keterangan

atau Cara panjang

:

X= nilai data yang diobservasi

Xi = nilai tengah (mid point)

N = banyaknya data pada populasi

Ci = interval kelas

n = banyaknya data pada sampel

X0 = nilai tengah pada kelas u = 0

wi = timbangan (weighted)

Ui = skala arbiter pada kelas ke-i

b. Median Median merupakan bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi dua bagian yang sama sehingga letaknya berada di tengah data ketika data tersebut sudah diurutkan dari yang terkecil sampai terbesar atau sebaliknya. Atau juga merupakan nilai yang berada di tengah-tengah data/titik tengah, setelah data tersebut diurutkan. Median memiliki sifat :

31

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 1) Sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang mengandung nilai/pengertian ekstrim 2) Dapat pula digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka.

Untuk data tidak berkelompok Median untuk data tidak berkelompok adalah nilai yang letaknya di tengah data yang telah diurutkan, namun datanya belum dikelompokkan ke dalam kelas/kategori tertentu atau belum dalam bentuk distribusi frekuensi. Populasi

Sampel

Me = ( + )

Me = ( + )

Data ke ( + )

Data ke- ( + )

Letak Median

Nilai Median

-

Jika jumlah datanya ganjil, maka nilai median merupakan nilai yang letaknya di tengah data

-

Jika jumlah datanya genap, maka nilai median merupakan nilai rata-rata dari dua data yang letaknya berada di tengah.

32

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Untuk data berkelompok Populasi

Letak Median

Sampel

Me =

Me =

Nilai Median Me =

+

.

Me =

+

.

Keterangan : LMe = batas (tepi) bawah sebenarnya kelas median Ci

= panjang/interval kelas

F

= jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas median

fMe = frekuensi kelas median Dari definisi median diatas dapat dikembangkan menjadi :  Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 4 bagian sama besar, atau setiap bagian dari kuartil sebesar 1 satuan.  Desil Desil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data berkelompok menjadi 10 bagian sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 10%.  Persentil

33

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Persentil adalah ukuran letak yang membagi data yang telah diurutkan atau data yang berkelompok menjadi 100 bagian yang sama besar, atau setiap bagian dari desil sebesar 1%.

Rumus Kuartil :

Data Tidak Berkelompok

Data Berkelompok

(i = 1,2,3)

(i = 1,2,3)

Populasi Letak Qi = ( + )

Nilai Qi = data ke- ( + )

Letak Qi =

=

+

−

.

Sampel Letak Qi = ( + )

Qi = data ke- ( + )

Letak Qi =

=

+

−

.

34

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Rumus Desil :

Data Tidak Berkelompok

Data Berkelompok

(i = 1,2,3,….,9)

(i = 1,2,3,….,9)

Populasi Letak Di =

Di = data ke-

( + )

Sampel Letak Di =

Di = data ke-

( + )

Letak Di =

=

( + )

( + )

+

−

.

Letak Di =

=

+

−

.

Rumus Persentil : Data Tidak Berkelompok

Data Berkelompok

(i = 1,2,3,….,99)

(i = 1,2,3,….,99)

Populasi Letak Pi =

Pi = data ke-

( + )

( + )

Letak Pi =

=

+

−

. 35


Sampel Letak Pi =

Pi = data ke-

( + )

Letak Pi =

( + )

=

+

−

.

c. Modus Modus adalah suatu nilai pengamatan yang paling sering muncul. Kelebihan modus adalah mudah ditemukan, dapat digunakan untuk semua skala pengukuran, serta tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Kelemahan modus adalah kadang kala sekumpulan data tidak mempunyai modus, sehingga semua data dianggap modus dan kadang kala sekumpulan data memiliki modus lebih dari satu. Modus memiliki sifat : 1)

Sangat baik digunakan untuk untuk menghitung rata-rata dari data

yang menunjukkan keadaan yang sering terjadi atau sedang trendi 2)

Digunakan untukmenghitung nilai rata-rata data kualitatif ataupun dari

data yang berbentuk distribusi frekuensi tertutup maupun terbuka -

Untuk data tidak berkelompok, maka modus adalah nilai yang paling

sering muncul atau frekuensi paling banyak -

Untuk data berkelompok, maka modus diperoleh dari rumus : = Dimana : LMo

+

+

.

= batas/tepi bawah kelas modus 36

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) d1= f0 - f1 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum modus d2= f0 – f2 = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah modus Ci

= panjang/interval kelas

Hubungan Mean, Median, Modus - jika nilai mean, median, modus mempunyai nilai yang sama maka kurva poligon akan simetris - jika nilai mean lebih besar dari median dan modus maka kurva polygon akan miring ke kanan (arah positif) - jika nilai mean lebih kecil dari median dan modus maka kurvanya akan miring ke kiri (arah negatif) - jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata-rata hitung, median, dan modus secara matematis dituliskan sebagai berikut : Rata –rata hitung – Modus = 3 (Rata-rata hitung – Median) x - Mo

2.

=

3 ( x - Me)

Minor Mean a. Rata-rata Ukur (Geometric Mean) Rata-rata geometris adalah suatu bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan itu dari hasil kali bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata ukur memiliki sifat : 1) Berguna untuk menemukan rata-rata perubahan persentase, rasio, indeks, atau tingkat pertumbuhan dari waktu ke waktu. 37

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2) Tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari dua kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka

Data tidak berkelompok

Data berkelompok

(ungrouped data)

(groupped data)

Populasi

=

Atau =

…

=

∑

Atau =

Atau =

Sampel

=

.

…

∑

=

∑ .

.

Atau =

…

…

∑ .

Dari pengertian rata-rata ukur dapat dikembangkan menjadi :  Rata-rata Tingkat Bunga (Mt) Populasi dan sampel :

=

1+

 Rata-rata Tingkat Pertambahan Penduduk (Pt)

38

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Populasi dan Sampel :

=

1+

b. Rata-rata Harmonis (Harmonic Mean) Rata-rata harmonis adalah suatu bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan-bilangan itu terhadap jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut. Rata-rata harmonis memiliki sifat : 1) Baik untuk menghitung rata-rata data per satuan unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan 2) Lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yang unit pembilangnya tetap, sedangkan unit penyebutnya berubah-ubah. Data tidak berkelompok

Data berkelompok

(ungrouped data)

(groupped data)

=

=

Populasi

∑

1

∑

Sampel

= Contoh Soal

∑

1

=

∑

1. Puskesmas sedang melakukan penimbangan berat badan bayi. Bayi yang datang untuk melakukan penimbangan adalah 10 bayi dengan berat badan secara berturut-

39

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) turut adalah 5,7kg, 6,2kg, 6,4kg, 7kg, 5,7kg 5,1,kg, 6,7kg 6,9kg, 7,1kg, dan 5,9kg. tentukanlah rata-rata, modus, dan median dari kesepuluh berat badan bayi tersebut! Dik.

: n=10 ; X1=5,1 ;X2=5,7 ;X3=5,7 ;X4=5,9 ;X5=6,2 ;X6=6,4 ;X7=6,7 ;X8=6,9 ;X9=7 ;X10=7,1

Dit.

: x , Me, Mo ?

Jawab

: a.

=

,

,

,

,

,

,

,

,

,

=

,

= 6,27

Jadi, rata-rata dari kesepuluh berat badan bayi tersebut adalah 6,27 kg. b.urutkan data dari terkecil sampai terbesar 5,1kg 5,7kg 5,7kg 5,9kg 6,2kg 6,4kg 6,7kg 6,9kg 7kg 7,1kg Me = ( + 1)= (10 + 1) = 5,5  data ke 5,5 =

,

,

= 6,3

Jadi, median dari berat badan kesepuluh bayi tersebut adalah 6,3kg. c.Mo=data yang sering muncul = 5,7kg jadi, modus dari berat badan kesepuluh bayi tersebut adalah 5,7kg

40

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Citizen banking company sedang mempelajari jumlah penggunaan ATM yang berlokasi di Bara Supermarket per hari nya. Berikut adalah jumlah penggunaan mesin ATM tersebut per hari selama 25 hari terakhir. 83 63 95 80 36 84 84 70 73 84 68 54 52 84 90 47 52 87 77 60 a. Buatlah distribusi frekuensinya dan tentukan median serta modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya? b. Tentukan persentil 40 dan desil 6! Jawab

:

Dik : n = 20 R maks – R min = 95 – 36 = 59 k = 1 + 3,322 log 25 = 5,643 ≈6

Ci = R/k = 59/6 = 9,8 ≈ 10

interval 36 – 45 46 – 55 56 – 65 66 – 75 76 – 85 86 – 95 total

Jumlah pengguna (fi) 1 5 3 4 8 4 25

Xi

Xifi

F Kumulatif

40,5 50,5 60,5 70,5 80,5 90,5

40,5 252,5 181.5 282 644 362 1762

1 6 9 13 21 25

a. Median letak Median data keMe =

= (25) =data ke-13. 41

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) +

Me =

Me =65,5 +

.

. 10 = 74,25

Jadi, rata-rata jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 74,25 atau 74 kali.

Modus modus terletak di kelas ke 5  tepi bawah kelasnya adalah 75,5 d1 = 8 – 4 = 4 d2 = 8 – 4 = 4 Ci = 10 =

+

= 75,5 +

.

. 10 = 80,5

Jadi, modus dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 80,5 kali atau 81 kali. b. P40 dan D6 Letak Pi =

=

=

− + 100

(25) = 10 .

40 (25) − 9 100 = 65,5 + . 10 = 68 4

Jadi, P40 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 68 kali. Desil ke-6 42

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Letak Di = Letak D6 =

=

(25) = 15

− + 10

.

6 (25) − 13 = 75,5 + 10 . 10 = 78 8

Jadi, D6 dari jumlah penggunaan mesin ATM per hari nya adalah 78 kali.

2. Seorang nasabah Bank Hayam Wuruk mendepositokan uangnya pada tahun 1997 sebanyak Rp 58 juta. karena terjadi krisis finansial global yang diawali pada tahun 2007, maka nasabah tersebut menarik seluruh uangnya sebesar Rp 78 jt. tentukanlah rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya! Dik Dit tahunnya

: Mt = Rp 78 jtMo= Rp 58 jt t = 10 : Rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap

Jawab

:

=

1+

78 = 58 1 +

100

Log 78 = log 58 + 10 log 1 + Log 78 - log 58 = 10 log 1 + 0,128 = 10 log 1 + 0,0128 = log 1 +

43

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) X=3 Jadi, rata-rata tingkat bunga yang diperoleh nasabah tersebut setiap tahunnya adalah 3 %. 3. Pak Taro adalah seorang pengusaha di bidang meubel yang berpusat di Jepara. Untuk mendapatkan bahan baku usahanya dia harus melakukan perjalanan Semarang – Ambarawa – Solo - Pekalongan dan Bandung dengan menggunakan kereta. Berikut adalah kecepatan dan waktu tempuh perjalanannya: Perjalanan

Kecepatan

Waktu Tempuh

Jepara – Semarang

60 km/jam

3 jam

Semarang – Ambarawa

50 km/jam

2 jam

Ambarawa – Solo

80 km/jam

4 jam

Solo – Pekalongan

65 km/jam

2,5 jam

Pekalongan - Bandung

85 km/jam

6 jam

Dari data diatas, tentukan rata-rata kecepatan kereta yang digunakan oleh Pak taro dalam melakukan perjalanan tersebut? Jawab : = (60 x 3) + (50 x 2) + (80 x 4) + (65 x 2,5) + (85 x 6) = 1272,5 Jadi, rata-rata kecepatan kereta yang digunakan oleh Pak taro dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 1272,5 km/jam. 4. The following table shows list of wage of pulp and paper company in Sumatera:

Wage

Number of

(in hundred thousand

employee

rupiah) 44

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 60 – 69

3

70 – 79

5

80 – 89

20

90 – 99

18

100 – 109

14

110 – 119

10

determine : a. mean of employees wage in that company! b. how much the salary received by most of employees? c. the lowest salary of 30% highest paid employees! d. the highest salary of 20% lowest paid employees! Jawab : Gaji (ratusan ribu rupiah) 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 100 – 109 110 – 119 Total

Jumlah Karyawan (fi) 3 5 20 18 14 10 70

Xi

Xifi

64,5 74,5 84,5 94,5 104,5 114,5 537

193,5 372,5 1690 1701 1463 1145 6565

a. rata- rata gaji yang didapatkan oleh karyawan = 6565 / 70 = 93,7857 Jadi, rata-rata gaji karyawan perusahaan tersebut adalah sebesar Rp 937.857. 45

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b. berapa besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan modus terletak di kelas ke 3  tepi bawah kelasnya adalah 79,5 d1 = 20 – 5 = 15 d2 = 20 – 18 = 2 Ci = 10 =

+

. + Mo = 979,5 + ((15 /(15+2)) x10) = 88,3235 Jadi, besar gaji yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut adalah Rp 883.235. c. gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi P70 atau D70 Letak Pi = i/100 n Letak P70 = 70/100 (70) = 49 =

− + 100

.

70 (70) − 46 100 = 99,5 + . 10 = 101,6428 14

Jadi, gaji terendah dari 30% karyawan bergaji paling tinggi adalah Rp 1.016.428. d. gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah P20 atau D2 Letak Di = Letak D2 =

=

− + 10

Letak Pi = (70) = 14 .

(70) =

Letak P20 = 14 =

− + 100

.

46

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2 (70) − 8 = 79,5 + 10 . 10 20 20 (70) − 8 100 = 79,5 + . 10 20

= 82,5

= 82,5

Jadi, gaji tertinggi dari 20% karyawan bergaji paling rendah adalah Rp 825.000. 5. Ibu Tina bermaksud untuk melakukan perjalanan Bandung – Jakarta – Yogyakarta – Malang yang berjarak 650 KM demi mengunjungi anak-anaknya yang saat ini berdomisili di daerah - daerah tersebut. Ketika berangkat dari Bandung menuju Jakarta dengan menggunakan mobil, mobil melaju dengan kecepatan 60 km/jam. Ketika dari Jakarta menuju Yogyakarta kecepatannya adalah 80 km/jam. Kemudian dari Yogyakarta menuju Malang, mobilnya melaju dengan kecepatan 70 km/jam. Dan ketika kembali ke Bandung kecepatannya hanya 65 km/jam. Hitunglah berapa kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut? Dik Dit jawab

: n = 4 ;x1 = 60 ; x2 = 80 ; x3 = 70 ; x4 = 65 :Hm? : = ∑

=

4

1 1 1 1 60 + 80 + 70 + 65

=

4 = 67,9925 0,05883

Jadi, kecepatan rata-rata Ibu Tina pulang pergi dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 67,9925 km/jam. 6. Berikut ini adalah data nilai statistika I dari 20 mahasiswa yang di survey. 78 90

86

75

60

95

95

77

82

91

67

72

55

74

80

82

58

89

70

69

Tentukan : a.mean. median, dan modus dengan data berkelompok!

47

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b.tentukan persentil ke 55 dan Desil ke 7! Jawab

: a. R = R maks – R min = 95 – 55 = 45 K = 1 + 3,22 log n = 1 + 3,22 log 20 = 5,322 ≈ 5 Ci = R/k = 40/5 = 8 Nilai (interval Jumlah Xi kelas) mahasiswa (f) 55 – 62 3 58,5 63 – 70 3 66,5 71 – 78 5 74,5 79 – 86 4 82,5 87 – 94 5 90.5 jumlah 20 Mean = 1233/20 = 61,65

Xifi 175,5 199,5 372,5 330 452,5 1233

Median Letak Me = ½ n = ½ (20) = 10 Me = Lme + ((n/2 – F)/fme) x Ci = 70,5 + ((10 – 6)/5) x 8 = 78,5 Modus Modus terletak di kelas ke 5  tepi bawah kelasnya adalah 86,5 d1 = 20 – 15 = 13 d2 = 32 – 27 = 5 Ci = 5 =

+

+

.

Mo = 29,5 + (13/(13+5)) x 5 = 30,222 Jadi, besarnya mean, median, modus secara berturut-turut adalah 37,939 37,277 dan 30,222.

48

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 7. Heavy equipment firm, PT.Hokage, consists of two main units, production and sales unit, which is the average employee income are different from each other. Production unit have an average income Rp 2.750.000/monthly and sales unit Rp 3.150.000/monthly. if the average monthly income of all employees is Rp 2.900.000, determine the ratio of the number of employees in the production and sales unit! Dik

: x 1= Rp 2.750.000 x 2= Rp 3.150.000 x = Rp 2.900.000

Dit

: perbandingan n1 dan n2?

Jawab

:

2.900.000 = (2.750.000n1 + 3.150.000n2) / (n1+n2) 2.900.000n1 + 2.900.000n2 = 2.750.000n1 + 3.150.000n2 2.900.000n1 - 2.750.000n1 = 3.150.000n2 - 2.900.000n2 150.000n1

= 250.000n2

n1

= 1,67 n2

jadi, perbandingan banyaknya jumlah karyawan di unit produksi dan penjualan adalah 1 : 1,67. 8. Berikut ini adalah data investasi dari sejumlah investor yang menanamkan investasinya di perusahaan sekuritas yang berlokasi di Bandung. Besar Investasi

Jumlah Investor

(dalam jutaan Rupiah) 15 – 19

13

49

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 20 – 24

11

25 – 29

19

30 – 34

32

35 – 39

27

40 – 44

7

45 – 49

15

50 – 54

23

55 – 59

10

60 – 64

8

Tentukan : a. Mean, median, modus besarnya investasi? b. Kuartil 1, 2, dan 3! c. Desil ke 6 dan persentil ke 40! Dik : n = 165 Besar Investasi (dalam jutaan Rupiah) 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64

Ci = 5 Jumlah Investor (fi)

Xi

Xifi

F Kumulatif

13 11 19 32 27 7 15 23 10 8

17 22 27 32 37 42 47 52 57 62

221 242 513 1024 999 294 705 1196 570 496

13 24 43 75 102 109 124 147 157 165

50

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Total

165

395

6260

Dit : a. Mean, median, modus? b. Q1, Q2, Q3 c. D8 dan P40! Jawab

:

a. Mean = 6260/165 = 37,939 Median Letak Me = ½ n = ½ (165) = 82,5 Me = Modus

+

.

= 34,5 + ((82,5 - 75)/27) x 10 = 37,277

Modus terletak di kelas ke 4  tepi bawah kelasnya adalah 29,5 d1 = 32 – 19 = 13 d2 = 32 – 27 = 5 Ci = 5 =

+

+

.

Mo = 29,5 + (13/(13+5) x 5) = 30,222 Jadi, besarnya mean, median, modus secara berturut-turut adalah 37,939 37,277 dan 30,222. b. Kuartil 2, 3 dan 4 Kuartil 2 Letak Qi = Letak Q1 = (165) = 41,25 51

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) =

− + 4

.

1 (165) − 24 = 24,5 + 4 . 5 = 27,694 27

Kuartil 2 Letak Qi = Letak Q2 = (165) = 82,5 =

− + 4

.

2 (165) − 75 = 34,5 + 4 . 5 = 35,888 27

Kuartil 3

Letak Qi = Letak Q3 = (165) = 123,75 =

− + 4

.

3 (165) − 109 = 44,5 + 4 . 5 = 49,416 15

Jadi kuartil 1, 2, dan 3 secara berturut-turut adalah 27,69 dan 35,888 49,416. c. Desil 8 dan Persentil 40 Letak Di =

Letak Pi =

52

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Letak D6 = =

+

= 49,5 +

(165) = 132

(

.

)

= 51,239

Letak P40 = =

.5

+

= 29,5 +

(165) = 66

(

.

= 33,093

)

.5

Jadi, Desil ke 8 dan Persentil ke 40 secara berturut-turut adalah 51,239 dan 33,093. 9. Berikut ini adalah data nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran. Nilai

Jumlah mahasiswa

(kelas interval)

(f)

73 - 76

18

77 - 80

9

81 – 84

8

85 – 88

25

89 – 92

21

93 – 96

19

Buatlah distribusi frekuensi dan hitunglah : a. Tetukan rata-rata hitungnya dan berapa modusnya! b. Dengan menggunakan hubungan rata-rata hitung, median, dan modus tentukanlah berapa mediannya?

53

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jawab : Nilai (kelas interval) 73 – 76 77 – 80 81 – 84 85 – 88 89 – 92 93 – 96 Jumlah

Jumlah mahasiswa (f)

Titik tengah (Xi)

f.Xi

18 9 8 25 21 19 100

74,5 78,5 82,5 86,5 90,5 94,5

1341 706,5 660 2162,5 1900,5 1795,5 8566

a. Mean

= 8566/100 = 85,66 Jadi, rata-rata nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran adalah 85,66. Modus Modus terletak di kelas ke 4  tepi bawah kelasnya adalah 84,5 d1 = 25 – 8 = 15 d2 = 25 – 21 = 4 Ci = 4 =

+

= 84,5 +

+

.

15 . 4 = 87,6578 15 + 4

Jadi, besarnya modus nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran adalah 87,6578. b. Hubungan rata-rata hitung, median, dan modus 54

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Rata-rata hitung – modus = 3 (rata-rata hitung – median) 85,66 – 87,6578 = 3 (85,66 – median) -1,9978 = 256.98 – 3(median) 3 (median) = 258,9778 Median

= 86,3259

Jadi, besarnya median nilai Statistika I dari 20 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran adalah 86,3259.

55

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) UKURAN DISPERSI

Ukuran Dispersi atau ukuran penyimpangan adalah ukuranyang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya (pokok-pokok materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM).Sebuah ukuran lokasi (seperti rata-rata atau median) haya menjelaskan pengukuran pusat data sehingga ukuran lokasi tersebut hanya bernilai perspektif tetapi tidak mengukur sebaran datanya. Ukuran dispersi dapat digunakan untuk : 

Memberikan informasi tambahan dalam pengambilan keputusan Contoh : jika kita ingin menyeberangi Danau Toba di Sumatera Utara, maka kita tidak dapat hanya mengandalkan informasi awam lewat buku panduan, dan sebagainya. Kita juga memerlukan informasi tambahan seperti batas-batas kedalamannya secara umum maupun dispersi kedalaman Danau tersebut.



Mengevaluasi realibitas dua ukuran lokasi atau lebih Contoh : TV merk Polytron dirakit di Kudus dan Semarang. Rata-rata hitung produksi kedua pabrik adalah 50.Berdasarkan data rata-rata, kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pabrik memiliki distribusi hasil yang identik. Namun, kita memiliki informasi lain bahwa ada penyimpangan ketidakteraturan produksi di Kudus antara 40-60 jam, sehingga dapat dikatakan bahwa pabrik Polytron di Semarang lebih mendekati rata-ratanya yaitu 50 sementara produksi di Kudus lebih tersebar (terdispersi).

Macam-macam ukuran dispersi : 1. Ukuran Dispersi Absolut Adalah ukuran dispersi yang digunakan untuk menggambarkan dispersi nilainilai observasi sebuah distribusi secara definitif atau yang dapat digunakan untuk melihat penyimpangan nilai pada suatu kumpulan data (bukan beberapa

56

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) kumpulan data). Ukuran Dispersi Absolut terdiri dari : a.

Jangkauan/Jarak/Rentang (Range) Ukuran Dispersi yang paling sederhana adalah jangkauan (range) yang merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil pada sekelompok data.

Rumus : 

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) R = Xmax - Xmin



Data Tidak Berkelompok (Grouped Data) R = Xmax - Xmin

Dimana: Xmax = tengah kelas tertinggi, dan Xmin = nilai tengah kelas terendah

b. Deviasi Rata-Rata (Mean Deviation) Kelemahan dari jangkauan adalah jangkauan hanya didasarkan pada dua nilai yaitu nilai terbesar dan nilai terendah (tidak memerhatikan seluruh nilai).Deviasi rata-rata (mean deviation) mengukur sebaliknya yaitu jumlah rata-rata berdasarkan bagaimana nilai pada populasi/sampel bervariasi dari nilai rata-ratanya. Rumus : 

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

57


Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =



Data Berkelompok (Grouped Data)

Untuk Populasi, MD =

Untuk Sampel, MD =

c.

Rentang antar Kuartil (Inter Quartile Range) Sebaran bilangan yang berada antara kuartil 3 dan kuartil 1. Rumus:

IQR = Q3-Q1

d. Simpangan Kuartil/ Deviasi Kuartil (Quartile Deviation) Pada dasarnya, pengukuran deviasi kuartil sama dengan pengukuran jarak. Pengukurannya berdasarkan pada jarak antara Q1 dan Q3.Pengukuran tidak dipengaruhi oleh dispersi seluruh nilai observasi namun hanya mengukur dispersi nilai-nilai observasi Xi yng didistribusikan di tengah-tengah distribusi. Rumus :

QD =

atau QD =

58

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) e.

Simpangan Baku (Standard Deviation) Simpangan baku merupakan suatu ukuran yang menyatakan rata-rata penyimpangan suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus : 

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data) 

Untuk Populasi

         


59

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 

Untuk Populasi

60


f.

Varians (Variance) Varians dan Standar Deviasi sebenarnya didasarkan oleh Deviasi RataRata.Bentuknya merupakan kuadrat dari Standar Deviasi. Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

2. Ukuran Dispersi Relatif Berbeda dengan dispersi absolut, ukuran dispersi relative merupakan metode yang dikembangkan untuk membandingkan dispersi dari beberapa kumpulan data. Rumus Umum :

Dispersi Relatif =

Ukuran dispersi relatif terdiri dari : a. Koefisien Variasi (Coefficient of Variation)

61

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Ketika 2 distribusi dinyatakan dalam unit yang sama dan memiliki rata-rata hitung yang sama, perbandingan variasi kedua distribusi diatas secara singkat dapat ditentukan dari hasil perbandingan standar deviasi masing-masing distribusi. Koefisien Variasi sendiri biasanya dinyatakan dalam persen dan semakin kecil nilai Koefisien Variasinya melambangkan bentuk data yang semakin merata (lebih baik). Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

b. Koefisien Variasi Kuartil (Coefficient of Quartile Variation) Dalam suatu observasi, bila rata-rata hitung dan standar deviasi tidak diketahui, maka perbandingan antara 2 variasi harus dihitung dengan koefisien variasi yang dirumuskan secara bebas dari rata-rata hitung maupun standar deviasi.

Koefisien Variasi Kuartil merupakan pengukuran yang biasa dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1.

Rumus : (populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama ; untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

62

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) c. Angka Baku (Standard Score) Angka Baku menunjukkan jarak atau selisih antara sebuha nilai X tertentu dari rata-rata hitungnya dalam unit standar deviasi. (Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Edisi 13, Lind, Marchal, Wathen) Rumus : (untuk data berkelompok maupun tidak berkelompok)

 Ukuran Kemencengan (Skewness) (Sk=

)

Ukuran Kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukkan menceng atau tidaknya bentuk kurva suatu distribusi frekuensi. Sebuah distribusi yang tidak simestris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga suatu distribusi akan terkonsentrasi pada suatu sisi dan bentuk kurvanya akan menceng. Batas- Batas Ukuran Kemencengan : a. Kurva Distribusi Normal/ Kurva Simetris Berarti, bentuk kurva distibusi frekuensinya normal atau 0,1 <| Sk | ≤ 0,0.

b. Kurva Distribusi menceng Kanan Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Batasnya yaitu 0,3 <| Sk | ≤ 0,1 63


c. Kurva Distribusi menceng Kiri Berarti, kurva distribusi frekuensi yang memiliki ekor lebih panjang ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Batasnya yaitu | Sk | ≥ 3

Ada beberapa metode untuk mengukur Kemencengan (Skewness) yaitu : 1. Rumus Pearson

64


2. Rumus Bowley

3. Rumus Moment/ Matematis 





65

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)  Ukuran Keruncingan (Kurtosis) (Kt =

)

Pengukuran Kurtosis sebuah distribusi teoritis dapat juga dinamakan pengukuran ekses (excess) dari sebuah distribusi. Sebetulnya, kurtosis dianggap sebagai distorsi dari kurva normal dan umumnya diukur dengan membandingkan bentuk keruncingan kurvanya dengan kurva normal. (Pengantar Metode Statistik Jilid 1, Anto Dajan) Bentuk kurva berdasarkan keruncingannya dibagi menjadi 3, yaitu : 1. Leptokurtic, yaitu bagian tengah memiliki puncak lebih runcing dari kurva normal 2. Platikurtic, yaitu bagian tengah memiliki kurva yang lebih datar dari kurva normal 3. Mesokurtic, yaitu bagian tengah lebih datar atau tumpul dari kurva normal

Batas-batas ukuran Keruncingan :   

4>3 → Leptokurtic (diagram distribusi berbentuk runcing) 4 = 3→ Platikurtic (diagram distribusi berbentuk landai)

4<3 → Mesokurtic (diagram distribusi berbentuk simetris)

66

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Rumus : 





Contoh Soal : Data dibawah merupakan sampel dari nilai UTS Statistik 1 mahasiswa/i semester 2 Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran :

74, 62, 81, 55, 90, 61, 45, 88, 92, 64, 72, 69, 75, 91, 50

Hitunglah : a. Seluruh pengukuran Dispersi Absolut b. Aldila merupakan salah satu mahasiswi Statistik. Berapa nilai UTS nya bila ia 67

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) memiliki angka baku 0.72? c. Ukuran Kemencengan dan Keruncingannya, dan jelaskan artinya Jawaban : a. Pengukuran Dispersi  R = Rmax – Rmin = 92 – 45 = 47 

IQR = Q3 – Q1 = 84.5 – 61.5 = 23



QD = IQR/2 = 11.5



AD = = 1.480000001



S=



V = s2 = 230.2095238

= 15.17265711

b. Diketahui : Z = 0.72 Ditanyakan : X ? Jawab : 0.72 =

,

,

x = 82, 22431312 c. Skewness : 68

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) = -0.144997675 Sk berada pada batas < 0 yang berarti kurva menceng kiri atau memiliki kemencengan negative.

Kurtosis :

= 1038.810451 4 berada pada batas > 3 yag berarti kurva bernama Leptokurtic atau diagram

distribusi berbentuk runcing Penyelesaian dengan SPSS Langkah : 1. Buka Software Minitab

2. Masuk data pada worksheet 1

69

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 3. Ketik nilai pada kolom C1 lalu masukkan data

4. Klik stat – basic statistic– display descriptive stat – lalu masukkan variabel “nilai” (c1) pada kolom variabel

70

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 5. Pilih Statistics, lalu akan muncul :

6. Pilih Desciptive Stat yang dibutuhkan lalu klik OK 7. Akan muncul output sebagai berikut :

71

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL UKURAN DISPERSI

1. McKinley, Corp reported their profit (in percent) for the past 6 years : 2,3 ; 4 ; 7,2 ; 7 ; 7,5 ; 7,8 a. Compute the range, standard deviation, and the variance b. Compute the coefficient of variation and coefficient of quartile variation Answer :

X 2,3 4

a.

-3.666666667 1.966666667

13.44444444 3.867777778

7,2

1.233333333

1.521111111

7

1.033333333

1.067777778

7,5

1.533333333

2.351111111

7,8

1.833333333

3.361111111

= 5, 966667 

R = Xmax – Xmin = 7,8 – 2,3 = 5,5



Standard Deviation =

72


,

S= 

= 2.066128962 Variance = s2 = (2.066128962)2 = 4.268888889

b. CV = .

=

x 100 %

,

= 0.346278597 x 100 % = 34, 6278597 %

CVQ = . .

= =

,

,

. .

x 100%

x 100%

= 0,219713 x 100% = 21, 9713%

2.

Pada UAS Semester lalu diketahui bahwa Andrea memiliki nilai 83 untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi dan 85 untuk mata kuliah Statistika. Dikelas itu terdapat 40 mahasiswa/I dimana rata-rata dan simpangan baku untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi adalah 82 dan 15, sedangkan untuk mata kuliah Statistik yaitu 80 dan 10. Pada mata kuliah yang mana Andrea memperoleh nilai yang lebih baik? Penyelesaian : 

Mata Kuliah Pengantar Akuntansi =

= 0, 066666667

73


Mata Kuliah Statistik =

= 0,5

Jadi, karna nilai Z untuk mata kuliah Statistik lebih besar dari nilai Z untuk mata kuliah Pengantar Akuntansi maka nilai Andrea lebih baik pada mata kuliah Statistik.

3. Diketahui data nilai Review Peaktikum Statistika kelas A adalah sebagai berikut :

Hitunglah simpangan baku dan varians data tersebut! Penyelesaian :

74


V = s2= (13.04)2= 170,0416 Jadi, nilai simpangan baku dan varians nilai Review Praktikum Statistika kelas A yaitu 13,04 dan 170,0416

4. Berikut adalah data pasien Puskesmas di musim hujan berdasarkan usia : Usia

Frekuensi

0–4

35

5–9

25

10 - 14

20

15 - 19

18

20 - 24

12

Hitunglah : a. Varians data b. Tentukan ukuran kemencengan, gambarkan, dan jelaskan artinya Penyelesaian : Usia

Xi

F

u

u2

u3

fu

fu2

fu3

0_4

2

20

-1

1

-1

-20

20

-20

5_9

7

35

0

0

0

0

0

0

10_14

12

25

1

1

1

25

25

25

15_19

17

18

2

4

8

36

72

144

20_24

22

12

3

9

27

36

108

324

75

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jumlah

100

77

225

473

a. Varians = s2

s=

−(

5

)2

= 6,436419812 V = s2 = (6,436419812)2 = 41, 4275 Jadi varians dari data pasien Puskesmas di musim hujan ialah 41, 4275

b.

=

,

((

= - 0, 879885023

)–3(

)(

)+2(

Karena ukuran kemencengannya Sk = menceng kiri atau bernilai negative

)3)

< 0 maka bentuk kurva yaitu

76

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 5. Income 7 orang Analis Ekonomi di Bank A yaitu 3500, 3700, 4500, 5000, 5200, 5800, 6500 sedangkan income 7 orang Analis Ekonomi di Bank B yaitu 3000, 4000, 3500, 4500, 5000, 6000, 6500. Manakah yang lebih homogen antara Income Analis Ekonomi Perusahaan A dan Perusahaan B? Penyelesaian :

Perusahaan A : =

= .

=

s=

.

,

= 1002, 038738

,

CV = s/ = 1002, 038738 4885, 714286 = ,

Perusahaan B :

=

= s=

= CV = s/

.

.

,

=1186, 660552

,

= 1186,660552 4642,857143 = ,

Jadi, karena semakin kecil CV sebuah kelompok data menunjukkan data yang semakin homogen, dapat disimpulkan bahwa Income Analis Ekonomi di Perusahaan A lebih homogen dari Perusahaan B.

6. Berikut adalah sampel jumlah konsumsi pekerja pria dan wanita perusahaan swasta pada tahun 2011 : Jan

Feb

Mar

Apr

Mei

Jun

Jul

Agt

Sep

Okt

Nov

Des

Pria

8.00

6.50

5.00

6.00

5.50

6.50

6.50

8.50

6.00

5.25

4.50

7.00

Wanita

8.50

7.00

6.8

5.50

6.20

6.00

7.00

9.50

5.00

6.25

7.00

8.50

(dalam ratus ribuan)

77

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) a. Hitung seluruh pengukuran Dispersi (kecuali angka baku). Manakah kelompok yang lebih heterogen? b. Hitunglah ukuran keruncingan, gambarkan, dan jelaskan artinya! Penyelesaian : Pria Jan Feb Mar Apr Mei Juni Juli Agust Sept Okt Nov Des Jumlah Rata Q3 Q1

8 6.5 5 6 5.5 6.5 6.5 8.5 6 5.25 4.5 7 75.25 6.27083 6.625 5.4375

X-x 1.729166667 0.229166667 -1.270833333 -0.270833333 -0.770833333 0.229166667 0.229166667 2.229166667 -0.270833333 -1.020833333 -1.770833333 0.729166667

|X-x| 1.729166667 0.229166667 1.270833333 0.270833333 0.770833333 0.229166667 0.229166667 2.229166667 0.270833333 1.020833333 1.770833333 0.729166667 10.75

(X-x)2 2.990017361 0.052517361 1.615017361 0.073350694 0.594184028 0.052517361 0.052517361 4.969184028 0.073350694 1.042100694 3.135850694 0.531684028 15.18229167

Wanita 8.5 7 6.8 5.5 6.2 6 7 9.5 5 6.25 7 8.5 83.25 6.9375 7.375 6.15

X-x 1.5625 0.0625 -0.1375 -1.4375 -0.7375 -0.9375 0.0625 2.5625 -1.9375 -0.6875 0.0625 1.5625

|X-x| 1.5625 0.0625 0.1375 1.4375 0.7375 0.9375 0.0625 2.5625 1.9375 0.6875 0.0625 1.5625 11.75

a. Dispersi Absolut 

Range Pria = Rmax – Rmin = 8,50 – 4,50 = 4 Range Wanita = Rmax – Rmin = 9,50 – 6,00 = 3,5



Mean Deviation Pria = Wanita =

= .

= ,

.

= ,

78

(X-x)2 2.44140625 0.00390625 0.01890625 2.06640625 0.54390625 0.87890625 0.00390625 6.56640625 3.75390625 0.47265625 0.00390625 2.44140625 19.195625


Inter Quartile Range Pria = Q3 – Q1= 6,625 – 5,4375 = 1,1875 Wanita = 7,375 – 6,15 = 1,225



Quartile Deviation Pria = Wanita =



,

,

=

= ,

= ,

Simpangan Baku Pria =

s=

.

= 1.124807082 .

Wanita = s = 

= 1.264766942

Varians

Pria = s2 = (1.124807082)2 = 1.265190972 Wanita = (1.264766942)2 = 1.599635417 Dispersi Relatif 

Coefficient of Variance Pria = CV = s/ = 1.124807082 / 6.270833333 = 0,179371229 / 17,9371229% Wanita = CV = 1.264766942 / 6.9375 = 0,182308748 / 18,2308748%



Coefficient of Quartile Variation Pria = Wanita = =

. .

100% = . .

. .

. .

100% = ,

100% =

,

%

%

Jadi, dengan melihat Coefficient of Variation nya yang menandakan semakin besar data akan semakin heterogen, dapat disimpulkan bahwa kelompok Wanita memiliki persebaran data yang lebih heteregen.

79

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b. Ukuran Keruncingan (Kurtosis) Pria = Wanita =

Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember Jumlah Rata-Rata

= (

( .

Pria 8 6.5 5 6 5.5 6.5 6.5 8.5 6 5.25 4.5 7 75.25 6.27083

.

)

)

(

( .

.

= 2,432507664

X-x 1.729166667 0.229166667 -1.270833333 -0.270833333 -0.770833333 0.229166667 0.229166667 2.229166667 -0.270833333 -1.020833333 -1.770833333 0.729166667

)

)

= 2,489293271

(X-x)4 8.94020382 0.002758073 2.608281077 0.005380324 0.353054659 0.002758073 0.002758073 24.6927899 0.005380324 1.085973857 9.833559578 0.282687905 47.81558567

Karna ukuran keruncingan yang 4< 3

(diagram distribusi berbentuk simetris)

Wanita 8.5 7 6.8 5.5 6.2 6 7 9.5 5 6.25 7 8.5 83.25

X-x 1.5625 0.0625 -0.1375 -1.4375 -0.7375 -0.9375 0.0625 2.5625 -1.9375 -0.6875 0.0625 1.5625

(X-x)4 5.960464478 1.52588E-05 0.000357446 4.27003479 0.295834009 0.772476196 1.52588E-05 43.11769104 14.09181213 0.223403931 1.52588E-05 5.960464478 74.69258428

69,375

aka bentuk kurva disebut Mesokurtic

7. The table below show the price of food and their average customers each day in Faculty Economy and Busines Canteen :

80

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Price (Rp)

Freq (Customers)

500 – 1500

50

1500 – 2500

40

2500 – 3500

30

3500 – 4500

35

4500 – 5500

25

Total

180

a. If Ditha shop Rp 4.000,00 each day, how much her Standard Score? b. If Ditha has 0,54 as a Standard Score, how much she shop each day? Answer :

f 50 40 30 35 25 180

Price 500-1500 1500-2500 2500-3500 3500-4500 4500-5500 Total Rata-Rata

a.

x 1000 2000 3000 4000 5000

=

=

.

fx 50000 80000 90000 140000 125000 485000 2694.444444

(X-x) -1694.444444 -694.4444444 305.5555556 1305.555556 2305.555556

(X-x)2 2871141.975 482253.0864 93364.19753 1704475.309 5315586.42 10466820.99

=2694.444444 ,

= 241,141049

81


=

.

.

= ,

So, if Ditha shop Rp 4.000,00 each day, he has Standard Score = 5,4140743 b.

0,54

=

,

.

446,5574981 = x – 2694,444444 x = 3141,001942 So, if Ditha has 0,54 as her standard score, he shopRp 3.141,001942 each day.

82

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) ANGKA INDEKS

Angka Indeks adalah bilangan yang dinyatakan dalam persentase (%) yang menunjukkan besarnya perbandingan atau perubahan nilai suatu variabel tertentu pada waktu/periode waktu tertentu dibandingkan dengan nilai variabel tersebut pada waktu/periode dasarnya. 

Waktu

tertentu (waktu berjalan)

adalah waktu atau periode waktu saat

dilakukan penghitungan angka indeks suatu variabel. 

Waktu dasar adalah waktu atau periode waktu yang dijadikan dasar perhitungan angka indeks suatu variabel. Periode waktu dasar biasanya dinyatakan dalam angka indeks sebesar 100.

Masalah Penyusunan Angka Indeks

Dalam menyusun angka indeks, ada beberapa masalah utama yang mungkin dihadapi dan berpengaruh terhadap keabsahan dan validitas dari angka indeks. Beberapa masalah utama tersebut adalah 1.

:

Masalah pemilihan sampel, terkait kelayakan data yang diperbandingkan dan data yang sesuai dengan kebutuhan penentuan indeks

2.

Masalah pembobotan, perlu ukuran pembobotan yang tidak menghasilkan angka indeks terlalu tinggi atau terlalu rendah, sehingga bobot yang ditentukan untuk suatu variabel harus disesuaikan berdasarkan periodenya dengan memperhatikan perubahan yang terjadi dari waktu ke waktu (misalnya perubahan perilaku, gaya hidup, dll)

3.

Masalah pemilihan tahun dasar, sebagai pembanding yang baik, tahun dasar harus memiliki kriteria berikut : (a) Tahun dasar adalah tahun dimana kondisi normal atau tidak mengalami krisis, (b) Waktu yang dijadikan tahun dasar tidak terlalu lama (tidak expired) sehingga masih layak digunakan.

83

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Sumber Data

Sumber data untuk perhitungan indeks bisa didapat dari data internal seperti data penjualan perusahaan, data produksi pabrik, dan lain-lain. Selain itu, sumber data untuk perhitungan indeks yang bersifat umum bisa didapatkan dari pemerintah, seperti Indeks Harga Konsumen, Indeks Biaya Hidup, dan Indeks Upah Riil yang bisa dilihat dari data BPS (Badan Pusat Statistika).

Jenis-Jenis Angka Indeks 1. Angka Indeks Harga (Po/n) Angka Indeks Harga adalah angka indeks variabel harga yang dibandingkannya berupa harga barang/jasa dan dipakai untuk menunjukkan perubahan harga barang/jasa.Indeks ini bertujuan mengukur perubahan harga antara dua interval waktu

tertentu,

misal

antar

tahun,

antar

kuartal,

antar

bulan,

dan

sebagainya.Dalam praktek, indeks harga adalah indeks yang paling sering digunakan seperti indeks harga konsumen, indeks harga saham gabungan (IHSG) dan lainnya. 2. Angka Indeks Kuantitas (Qo/n) Angka

Indeks

Kuantitasadalah

angka

indeks

variabel

tertentu

yang

dibandingkannya berupa jumlah/kuantitas barang.Indeks kuantitas mengukur perubahan sejumlah kuantitas barang dari masa ke masa. Sebagai contoh, jika diketahui indeks kuantitas produksi kopi tahun 2011 adalah 120, dengan dasar tahun 2008, maka ada peningkatan jumlah produksi kopi sebesar 20%. 3. Angka Indeks Nilai (Vo/n) Angka Indeks Nilaiadalah angka indeksvariabel tertentu yang dibandingkannya berupa nilai barang atau jasa dan dipakai untuk melihat perubahan nilai dari suatu barang/jasa. Dimana besaran nilai didapat dari perhitungan V = P x Q.

84

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Metode Pengukuran Angka Indeks

Metode ini menentukan penggunaan variabel harga dari waktu ke waktu untuk suatu

komoditi

tertentu.

Dasar

penghitungannya

adalah

harga

sebagai

pembanding,sekaligus tahun dasar (tahun ke-0) diberi simbol Po dan harga yang diperbandingkan dan terjadi pada tahun ke-n diberi simbol Pn. Karena tahun dasar merupakan permulaan dan dasar perbandingan, maka indeksnya selalu bernilai 100% (angka indeks dinyatakan dalam persentase). 1.

Metode Tidak Tertimbang Pada metode ini, semua variabel yang akan diukur indeksnya mempunyai nilai yang sama. Metode ini merupakan metode paling sederhana dan praktis dalam mengukur sebuah indeks, walaupun cara ini mempunyai kelemahan, terutama belum dapat memenuhi tes satuan (unit test). Metode tertimbang terdiri dari Metode Relatif Sederhana, Metode Agregatif Sederhana, dan Metode Rata-Rata Relatif.

2.

Metode Tertimbang Pada metode ini ada bobot yang digunakan untuk membedakan variabel satu dengan lainnya, setiap komponen diberi bobot berbeda, karena pada dasarnya setiap barang/jasa mempunyai tingkat utilitas (manfaat dan kepentingan) yang berbeda.Seperti adanya penimbangan kuantitas barang terjual untuk berbagai jenis barang yang berbeda harganya.Dalam prakteknya, metode initerbagi dalam beberapa cara perhitungan indeksseperti metode Laspeyers, Paasche, Marshall Edgeworth, Walsh, Dribisch, dan Fisher.

3.

Metode Relatif Jika pada metode tertimbang atau tak tertimbang, proses perhitungan dimulai dengan menjumlahkan seluruh komponen yang ada kemudian dilakukan rata-

85

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) rata, maka metode relatif memulai dengan menghitung setiap indeks komponen, kemudian baru melakukan rata-rata dari semua indeks yang didapat.

4.

Metode Rantai Metode ini menghitung indeks secara berantai, misalnya dari tahun 2010dibandingkan dengan tahun 2009, kemudian tahun 2012 dibandingkan dengan tahun 2011, dst.

AIH Tidak Tertimbang

AIH Agregatif

AIH Rata-Rata

Angka Indeks

Tertimbang

Relatif

Berantai

Penimbang :

Nilai

Laspeyers barang pada waktu Angka Indeks Berantai (cenderung berlebih ke dasar

Harga Relatif

AIH

atas / upward bias)

=

/

∙

∑ ∑

/

/

∙ ∙

=

∑

AIH Paasche

Indeks Gabungan

∑

∙(

∙

∙

Penimbang : =

∑ ∑

∑ = ∑ =

∑ ∑

(cenderung berlebih ke ∙

∙ ∙

AIH Agregatif

bawah

/

)

=

/

….

Nilai

barang pada waktu

downward tertentu

bias)

∙

/

∙

/

∑ ∑

∙ ∙

=

∑

∑

∙(

∙

∙

)

AIH Marshall

86

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Sederhana =

/

Edgeworth ∑ ∑

∙

AIH Rata-rata

.

∑ ∑

/

( (

) )

AIH Walsh

Relatif Sederhana

∑ ∑

/

∙ ∙

)

AIH Drobisch

=

/

∑

∑

∙

(Rata-Rata Hitung)

=

/

+

/

/

AIH Irving Fisher /

=

∑

∑

∙

(Rata-Rata Ukur)

=

/ /

∙

/

87

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Pergeseran Waktu Atau Periode Waktu Dasar

Bila jarak antara waktu atau periode waktu dasar dengan waktu atau periode waktu tertentu sudah cukup jauh, maka hasil perhitungan angka indeksnya tidak atau kurang representatif. Oleh karena itu, periode atau waktu dasar harusdisesuaikan dengan rumus sebagai berikut: =

∙ 100

IB

: angka indeks baru setelah dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar

IL

: angka indeks lama sebelum dilakukan pergeseran waktu atau periode dasar

ILD

: angka indeks lama yang waktu/periode waktunya dijadikan waktu/periode

dasar baru

Penerapan Angka Indeks

1. Pendeflasian Metode untuk menghitung daya beli suatu mata uang tertentu berdasarkan nilai nominalnya serta menghitung pendapatan nyata berdasarkan pendapatan uangnya. =

∙ 100

PN=

DB

: Daya beli suatu mata uang tertentu

PN

: Pendapatan nyata

NN

: Nilai nominal suatu mata uang asing tertentu

PU

: Pendapatan uang

IHK

: Indeks Harga Konsumen

∙ 100

2. Perubahan Pendapatan =

+

∙ 100 88

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 3. Perubahan Pendapatan Nyata =

+

∙ 100

4. Inflasi =

+

∙ 100

89

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL ANGKA INDEKS

1.

Berikut adalah data harga saham dan volume penjualan beberapa perusahaan dalam bidang. Harga dalam Rp/lembar dan volume dalam ribuan lembar. 5 Januari 2013

13 Januari 2013

Perusahaan Harga

Volume

Harga

Volume

TFKN

25

37

20

925

RDLF

30

5

30

1

YSSC

65

175

60

60

IRYD

45

21

45

70

DSYP

55

35

50

25

Hitunglah Indeks Harga, Indeks Kuantitas, dan Indeks Nilai ! Jawab : 5 Januari 2013

Perusahaan

13 Januari 2013

Po

Qo

Po . Qo

Pn

Qn

Pn . Qn

TFKN

25

37

925

20

925

18500

RDLF

30

5

150

30

1

30

YSSC

65

175

11375

60

60

3600

IRYD

45

21

945

45

70

3150

DSYP

55

35

1915

50

25

1250

Total

220

273

15310

215

1081

26530

a. b.

=

=

∑

∑

∑

∑

∙ 100 =

∙ 100 =

∙ 100 = 97,73

∙ 100 = 365,604 90


c.

2.

∑

∑

∙

∙

∙ 100 =

∙ 100 = 173,29

Berikut adalah data harga sepeda motor yang diproduksi oleh STA Company : Tahun

2008

2009

2010

2011

2012

2013

Harga ($)

1062

1254

1297

1350

1414

1578

Tentukan angka indeks harga setiap tahun dengan menggunakan tahun dasar 2009? dan berikan interpretasi dari angka indeks tersebut? Jawab : Angka Indeks Harga /

=

∙ 100

Angka Indeks Harga tahun 2008 =

∙ 100 = 84,69

Angka Indeks Harga tahun 2010 =

∙ 100 = 103,43

Angka Indeks Harga tahun 2009 = Angka Indeks Harga tahun 2011 = Angka Indeks Harga tahun 2012 = Angka Indeks Harga tahun 2013 =

∙ 100 = 100

∙ 100 = 107,66 ∙ 100 = 112,76 ∙ 100 = 125,84

Selama tahun 2008 – 2013 diketahui bahwa harga penjualan sepeda motor STA Company umumnya mengalami kenaikan, tampak dari angka indeks harga yang semakin lama semakin besar. Diketahui pula bahwa dalam 4 tahun dari tahun 2009– 2013, harga penjualan sepeda motor telah naik sebesar 25,84%.

3.

You are employed by the state bureau of economic development. There is a demand for a leading economic index to review past economic activity and to forecast future economic trends in the state. You decide that several key factors

91

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) should be included in the index :investmentin new business started during the year, number of business failures, state income tax receipt, college enrollment, and state sales tax receipt. The data for 1987 an the present year are : (in $ millions) 1987

Present Year

New Businesses

1088

1162

Business Failures

627

520

191,7

162,6

242,119

290,841

41,6

39,9

State Income Tax Receipt College Student Enrollment State Sales Tax Receipt

Compute the simple aggregate index for the present year and simple average relatives index for the present year, interpret ! Jawab : Simple Aggregate Index 1987

Present

Simple Aggregate

Year

Index of Present Year

New Businesses

1088

1162

Business Failures

627

520

191,7

162,6

242,119

290,841

41,6

39,9

State Income Tax Receipt College Student Enrollment State Sales Tax Receipt Total

2190,419 2176,341

=

=

∑ ∑

∙ 100

2176,341 ∙ 100 2190,419 = 99,36

The simple aggregate index is 99,36%. This means that the aggregate group of key factors had decreased 0,64% in the present year, compared with 1987.

92

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Simple Average Relatives Index

/

1987

=

∙ 100

Present

Simple Average

Year

Relatives Index

New Businesses

1088

1162

(1162/1088)x100 = 106,80

Business Failures

627

520

(520/627)x100 =82,93

191,7

162,6

(162,6/191,7)x100 = 84,82

242,119

290,841

(290,841/242,119)x100 = 120,12

41,6

39,9

(39,9/41,6)x100 = 95,91

State Income Tax Receipt College Student Enrollment State Sales Tax Receipt Total

490,58 =

Simple Average Relatives Index

∑

=

490,58 = 98,116 5

Using the simple average relative index, the key factors had decreased 1,884% in the present year, compared with 1987. 4.

Berikut adalah data harga dan produksi dari beberapa produk yang dihasilkan oleh Karina Nature Company : Production (unit)

Price ($) 2011

2012

2011

2012

$ 0,287

$ 0,76

1000

1200

Natural Gas (1000 cu.ft)

0,17

2,50

5000

4000

Petroleum (barrel)

3,18

26

60.000

60.000

Platinum (troy ounce)

133

490

500

600

Aluminium (cents per lb.)

Hitunglah Indeks Harga Laspeyers, Paasche, Drobisch, dan Fisher ! Jawab :

93

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Price ($)

Production (unit)

PoQo

PnQo

PoQn

PnQn

1200

287

760

344,4

912

5000

4000

850

12.500

680

10.000

26

60.000

60.000

190.800

1.560.000

190.800

1.560.000

490

500

600

66.500

245.000

79.800

294.000

258.437

1.818.260

271.624,4

1.864.912

2011

2012

2011

2012

Aluminium

0,287

0,76

1000

Natural Gas

0,17

2,50

Petroleum

3,18

Platinum

133

Total

Laspeyers : Paasche :

/

Drobisch : Fisher :

5.

/

/

/

=

∑ ∑

∑ ∑

=

∙ ∙

∙ ∙

. .

/

/

∙

.

.

.

/

/

. ,

,

=

=

,

,

,

= 695,07

703,56 ∙ 686,58 = 695,02

Berikut adalah data produk olahan susu yang diproduksi oleh Deasy Dairy : 2012

2010 Produk

Harga

Jumlah

Harga

Jumlah

(Rp)

(pack)

(Rp)

(pack)

6100

450

6750

400

Susu Rasa Buah

8450

600

9000

650

Biskuit Susu

11.000

890

12.300

840

Keju Mozarella

27.900

750

29.450

1000

Susu Murni Sapi

94

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tentukan angka indeks relatif rata-rata tertimbang dengan timbangannya nilai barang pada waktu dasar dan menggunakan timbangan waktu tertentu ?(tahun dasar 2010) Jawab : (Harga dalam Rp, dan Jumlah dalam pack) Indeks relatif rata-rata tertimbang periode waktu dasar :

/

∑

=

∑

∙(

∙

∙

)

=

41.473.282 ∙ 100 = 107,64 38.530.000

Indeks relatif rata-rata tertimbang periode waktu tertentu :

/

6.

=

∑

∑

∙(

∙

∙

)

=

51.859.317,4 ∙ 100 = 107,30 48.332.000

Berapakah angka indeks berantai mulai dari tahun 2006 sampai 2012 berdasarkan daftar data penjualan domestik untuk produk kecantikan Oktapiani Beauty Skin Care, beserta interpretasinya?

Tahun Penjualan (Juta Rp)

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

7,9

7,3

8,0

8,2

8,8

9,4

9,6

Jawab : Angka Indeks Berantai (Juta Rp) Tahun Penjualan Indeks Berantai 2006 7,9 100 (7,3/7,9) x 100 = 2007 7,3 92,41 (8,0/7,3) x 100 = 2008 8,0 109,59 (8,2/8,0) x 100 = 2009 8,2 102,5

Keterangan TURUN 7,59% dari tahun sebelumnya NAIK 9,59% dari tahun sebelumnya NAIK 2,5% dari tahun sebelumnya

95


7.

2010

8,8

2011

9,4

2012

9,6

(8,8/8,2) x 100 = 107,32 (9,4/8,8) x 100 = 106,82 (9,6/9,4) x 100 = 102,13

NAIK 7,32% dari tahun sebelumnya NAIK 6,82% dari tahun sebelumnya NAIK 2,13% dari tahun sebelumnya

Below is Price Index of Apparel and Upkeep’s BuyinginBatam with base year 2005 :

Year

2006

2007

2008

2009

2010

2011

Index

124

132

130

121

120

119

The economics wants to shift the base year to 2006. In other words, he wants to compute these index numbers with a base period of 2006 rather than 2005. Canyou help him out? Jawab :

=

8.

∙ 100

Year 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Index 124 132 130 121 120 119

New Index 100 (132/124) x 100 = 106,45 (130/124) x 100 = 104,84 (121/124) x 100 = 97,58 (120/124) x 100 = 96,77 (119/124) x 100 = 95,97

Berikut adalah tabel gaji manajer CV Taufik & Rudolf, yang bergerak di industri mainan anak, dari tahun 2000sampai tahun 2005 beserta IHK (Indeks Harga Konsumen) pada tahun-tahun tersebut : (dalam Rp)

96

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tahun

Gaji

IHK

2000

13.300.000

130,7

2001

14.400.000

140,1

2002

16.050.000

144,3

2003

18.000.000

144,5

2004

20.050.000

149,5

2005

22.100.000

152,2

a. Hitung daya beli mata uang Rp3.480.000 pada tahun 2000-2005 berdasarkan nominalnya pada tahun tersebut ? b. Berapakah pendapatan sebenarnya pada tahun 2004 ? c. Hitung laju inflasi dari tahun 2000–2005, analisis laju inflasinya ? Jawab : a. Nilai Nominal Rp 3.480.000 =

∙ 100

Tahun DB 2000 (Rp 3.480.000/130,7) x 100 = Rp 2.662.586,075 2001 (Rp 3.480.000/140,1) x 100 = Rp 2.483.940,043 2002 (Rp 3.480.000/144,3) x 100 = Rp 2.411.642,412 2003 (Rp 3.480.000/144,5) x 100 = Rp 2.408.304,498 2004 (Rp 3.480.000/149,5) x 100 = Rp 2.327.759,197 2005 (Rp 3.480.000/152,2) x 100 = Rp 2.286.465,177 b. Pendapatan sebenarnya tahun 2004

=

c. Laju Inflasi

∙ 100 =

20.050.000 ∙ 100 = 149,5

13.411.371,24

97


Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005

+ IHK 130,7 140,1 144,3 144,5 149,5 152,2

∙ 100

Inflasi

[(140,1-130,7)/130,7] x 100 = 7,19% [(144,3-140,1)/140,1] x 100 = 3,07% [(144,5-144,3)/144,3] x 100 = 0,14% [(149,5-144,5)/144,5] x 100 = 3,46% [(152,2-149,5)/149,5] x 100 = 1,81%

Berdasarkan hasil perhitungan, dapat disimpulkan dari tahun 2000 sampai 2005 pada umumnya terjadi fluktuasi laju inflasi, yang cenderung menurun setiap tahunnya. Ini terlihat dari nilai inflasi tahun 2005hanya 1,81% dibandingkan inflasi tahun 2000 dan 2001 yang berkisan pada 7,19%,

98

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) ANALISIS DERET BERKALA

1. Pendahuluan 

Deret berkala atau runtun waktu adalah serangkaian pengamatan terhadap peristiwa, kejadian atau variable yang diambil dari waktu ke waktu. Kemudian dicatat secara teliti menurut urutan waktu terjadinya dan disusun sebagai data statistic. Dari suatu runtut waktu tersebut akan dapat diketahui pola perkembangan suatu peristiwa, kejadian atau variable.



Menurut Anto Dajan, Variable Y merupakan serangkaian hasil observasi dan X merupakan variabel waktu yang bergerak secara seragam dan ke arah yang sama, dari waktu yang lampau ke waktu yang mendatang, maka serangkaian data yang terdiri dari Y diatas dan yang merupakan fungsi dari t dinamakan deret berkala(time series) atau data historis(historical data)



Dalam analisis deret berkala (Time Series) dibedakan menjadi 4 komponen, antara lain: a) Trend b) Variasi Musim/Indeks Musim c) Variasi Siklus d) Variasi yang tidak teratur atau variasi random

2. Penjelasan Komponen-Komponen dalam deret berkala Ada empat komponen gerak/variasi data berkala, yaitu :

99

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) a) Gerak Jangka Panjang atau Trend 

Trend melukiskan gerak data berkala selama jangka waktu yang panjang/cukup lama. Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan yang serba terus dari waktu ke waktu selama jangka waktu tersebut. Karena sifat kontinuitas ini, maka trend dianggap sebagai gerak stabil dan menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan menaik/menurun).

Y

Y

t

t

Gambar 1. Trend Naik/Trend Positif 

Gambar 2. Trend Turun/Trend Negatif

Trend sangat berguna untuk membuat peramalan (forecasting) yang merupakan perkiraan untuk masa depan yang diperlukanbagi perencanaan.



Trend dibedakan menjadi dua jenis, yakni : a. Trend Linier

: mengikuti pola garis lurus ( Y = a + b t )

b. Trend Non Linier :

mengikuti

pola

lengkung

(parabola,

eksponensial, logaritma, dll).

b) Variasi Musim/ Indeks Musim Gerak musiman terjadi lebih teratur dibandingkan gerak siklus dan bersifat lengkap, biasanya selama satu tahun kalender. Gerak ini berpola 100

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) tetap dari waktu ke waktu. Factor utama yang menyebabkan gerak ini adalah iklim dan kebiasaan.

c) Variasi Siklus 

Gerak siklus adalah gerak/variasi jangka panjang di sekitar garis trend (temponya lebih pendek). Gerak siklus terjadi berulang-ulang namun tidak perlu periodik, artinya bisa berulang setelah jangka waktu tertentu atau bisa juga tidak berulang dalam jangka waktu yang sama.



Perkembangan perekonomian yang turun naik di sekitar trend dan “Business Cycles” adalah contoh gerak siklus.



Gerak siklus melukiskan terjadinya empat fase kejadian dalam jangka waktu tertentu, yakni kemajuan, kemunduran, depresi dan pemulihan.

Y (nilai/kuota)

Keterangan : (2)

(1) (1)

(2)

(4) (3)

(4)

Garis Trend

(1) Kemajuan (2) Kemunduran

(3)

(3) Depresi

Gerak siklus (sekitar trend) t (waktu)

(4) Pemulihan

Gambar 3. Gerak Siklus

d) Variasi yang tidak teratur atau variasi random 

Gerak ini bersifat sporadis/tidak teratur dan sulit dikuasai.



Beberapa faktor yang cenderung menyebabkan pergerakan ini terjadi adalah perang, bencana alam, mogok dan kekacauan



Dengan adanya pengaruh tersebut, maka gerak ireguler (variasi random) ini sulit untuk dilukiskan dalam suatu model.

(Materi Semester Pendek Statistik Bisnis By Hani Hatimatunnisani S, Si)

101

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 3. Metode-metode dalam analisis deret berkala a. Trend Metode-metode dalam menghitung dan menggambarkan garis trend, antara lain:

i.

Metode Setengah Rata-rata (Semi Average Method) Metode semi rata-rata membuat trend dengan cara mencari ratarata kelompok data. Langkah-langkahnya : 1. Mengelompokan data menjadi dua bagian. Jika data ganjil, maka nilai yang ditengah dapat dihilangkan atau dihitung dua kali yaitu 1 bagian menjadi kelompok pertama dan 1 bagian menjadi kelompok kedua. 2. Menghitung rata-rata hitung kelompok K1 dan kelompok K2. K1 diletakkan pada tahun pertengahan pada kelompok 1 dan K2 diletakan pada tahun pertengahan pada kelompok 2. Nilai K1 dan K2 merupakan nilai konstanta (a) dan letak tahun merupakan tahun dasar. Nilai K1 dan K2 menjadi intercept pada persamaan trendnya. 3. Menghitung selisih K1 dan K2. Apabila K2 - K

1

> 0 berarti tren

positif dan bila K2 – K1 < 0, maka trendnya negatif > 4. Nilai perubahan tren (b) diperoleh dengan cara: b= 5. Untuk mengetahui trendnya, tinggal memasukan nilai X pada persamaan Y’ = a +bX yang sudah ada

ii. Metode Rata-rata Bergerak (Moving Average Method) Dalam metode ini, setelah rata-rata dihitung, diikuti oleh gerakan satu periode ke belakang. Metode ini disebut juga rata-rata

102

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) bergerak terpusat karena rata-rata bergerak diletakkan pada pusat dari periode yang digunakan. Langkah-langkah pengerjaan: 1. Menghitung rata-rata dari sejumlah data yang paling awal. 2. Melupakan nilai data yang pertama. 3. Mengulang tahap 1 dan tahap 2 sampai data yang terakhir. Metode ini terdiri dari dua pola, yaitu: a. Pola gerak ganjil (taraf N ganjil) b. Pola gerak genap (taraf N genap) Dengan menggunakan metode ini,

jumlah moving averagenya

adalah jumlah data asli dikurangi satu (N-1), semakin banyak tahun yang bersangkutan yang diambil, semakin kurang fluktuasi rataratanya dan semakin halus (smooth) grafiknya.

iii. Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Garis Trend dalam persamaan matematik: Yt = a + bX, dimana untuk menemukan nilai a dan b dapat dicari dengan cara: 

Cara panjang (ΣX ≠ 0) Harus ada koding, X1 = 0 (koding tahun pertama), X2 = 1 dan seterusnya. Rumus



²

(∑ ) (∑ )(∑ ) (∑ ) ( )

Cara Pendek ( ΣX = 0)

dan =

Koding untuk N ganjil

: ...,-2,-1,0,1,2,...

Koding untuk N genap

: ...,-2,5;-1,5;-0,5;0,5;1,5;2,5...

a=

² (

)²

Rumus: a=

∑

∑

b=

. ∑ ²

Mengubah trend tahunan menjadi triwulan dan bulanan. Dirumuskan: 103

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Trend triwulanan: Y= + . → + . Trend Bulanan Y=

+

.

→

+

+ . .

+

.

Contoh : Berikut adalah data penjualan sepeda motor dealer “STA” periode 2002-2010

Unit Tahun

Penjualan

2002

11

2003

15

2004

14

2005

16

2006

17

2007

18

2008

17

2009

21

2010

20

Tentukan persamaan garis trendnya dengan menggunakan Least Square! Method (Cara pendek dan panjang). a. Cara Pendek Tahun

Unit Penjualan (yi)

Ui

ui.yi

ui²

2002

11

4

44

16

2003

15

3

45

9

104

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2004

14

2

28

4

2005

16

1

16

1

2006

17

0

0

0

2007

18

-1

-18

1

2008

17

-2

-28

4

2009

21

-3

-63

9

2010

20

-4

-80

16

149

0

-56

60

Σ

a= b=

∑

=

∑

.

∑ ²

=

= 16,55556

= 0,933333

maka persamaan trendnya: Yt = 16,55556 - 0,933333X Origin : 1 Juli 2006 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah penjualan dalam satuan unit Cara Perhitungan Menggunakan Software SPSS Langkah-langkah adalah sebagai berikut : 1. Buka Software SPSS 2. Pilih variabel view, lalu masukan unit penjualan (yi) dan koding (ui)/(xi) 3. Pilih data view dan masukan data untuk masing-masing variabel. 4. Masuk ke menu bar, pilih analyze, kemudian pilih sub menu dan pilih regression linear. 5. Masukan unit penjualan (Yi) sebagai variabel dependen dan koding sebagai variabel independen (Xi) 6. Lalu masuk ke menu statistik 7. Check list estimates, dan confidence intervals.. 8. Klik Ok 105

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Hasilnya Variables Entered/Removedb Variables

Variables

Entered

Removed

Model Xta

1

Method . Enter

a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: Yt Coefficientsa Standardiz ed

Model 1

Unstandardized

Coefficient

95% Confidence

Coefficients

s

Interval for B

B

(Constan t) Xt

Std. Error

Beta

t

Sig.

Lower

Upper

Bound

Bound

16.556

.401

41.235

.000

15.606

17.505

-1.033

.155

-.929 -6.645

.000

-1.401

-.666

a. Dependent Variable: Yt

Maka Persamaan trendya: Yt = 16.556 - 1.033Xt Origin

: 1 Juli 2006.

Unit X

: 1 Tahun.

Unit Y

: Jumlah Penjualan dalam satuan orang.

106


Cara Panjang

Unit Tahun

Penjualan

x

x.y

x²

(yt) 2002

11

0

0

0

2003

15

1

15

1

2004

14

2

28

4

2005

16

3

48

9

2006

17

4

68

16

2007

18

5

90

25

2008

17

6

102

36

2009

21

7

147

49

2010

20

8

160

64

149

36

658

204

Σ

a= b=

(

)

(

=

)(

( )(

) (

) (

)(

)

)

= 12,422

) ( )( (∑ ) (∑ )(∑ ) ( )( ) = ( )( ) ( ) = (∑ ) ( )

1,033

Maka persamaan trendya: Yt = 12,422 + 1,033 X Origin

: 1 Juli 2002

Unit X

: 1 tahun

Unit Y

: Jumlah penjualan dalam satuan unit

Hasil Komputer

107


Variables Entered/Removedb Variables

Variables

Entered

Removed

Model Xta

1

Method . Enter

a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: Yt

Coefficientsa Standardi zed Unstandardized Coefficie Coefficients

95% Confidence

nts

Interval for B

Std. Model 1

B

Error

(Constant) 12.42 2 Xt

1.033

.740 .155

Beta

t

Sig.

16.77 9 .929 6.645

Lower

Upper

Bound

Bound

.000

10.672

14.173

.000

.666

1.401

a. Dependent Variable: Yt

Maka Persamaan trendnya: Yt = 12,422 +1,033X Origin

: 1 Juli 2002

Unit X

: 1 Tahun

Unit Y

: Jumlah penjualan dalam satuan unit

108

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b. Variasi Musim/Indeks Musim Apabila tren berhubungan dengan jangka panjang, maka indeks musim berhubungan dengan perubahan atau fluktuasi dalam musim-musim tertentu atau tahunan. Dalam perhitungan statistik, komponen musim dinyatakan dalam suatu bilangan yang dinyatakan dalam bentuk presentase yang disebut Indeks Musim. 

Manfaat indeks musim antara lain: a.

Untuk deasonalisasi Y desasonalisasi =

b.

Untuk meramalkan dengan memperhitungkan pengaruh musim. Y ramalan =



100

(

)

Macam-macam metode untuk menghitung Indeks musim:

i. Metode Rata-rata Sederhana (Percentage Average Method) Metode rata-rata sederhana mengasumsikan bahwa pengaruh tren dan siklus yang tidak besar dan dianggap tidak ada. Indeks Musim hanya berdasarkan pada data aktual dan nilai rata-ratanya saja. Indeks Musim dirumuskan sebagai berikut : Indeks Musim =

ii. Metode rata-rata dengan trend Metode rata-rata dengan trend adalah metode rata-rata yang disesuaikan dengan trend. Indeks Musim pada metode rata-rata dengan tren merupakan perbandingan antara nilai data asli dengan nilai tren. Oleh sebab itu, nilai trend harus diketahui lebih dahulu. Indeks musim dirumuskan: Indeks Musim =

100 109

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) iii. Metode ratio rata-rata bergerak (Ratio to moving average method) Metode rasio rata-rata bergerak (ratio to moving average method) adalah metode yang dilakukan dengan cara membuat rata-rata tidak ada ketentuan berapa periode (n). Nilai n bisa 2,3,4 atau 12 tergantung pada kondisi pengaruh fluktuasi musiman. Dirumuskan: Indeks Musim = Nilai rasio X Faktor koreksi, Dimana: Nilai ratio

: Data asli/data rata-rata bergerak

Faktor koreksi : (100xn)/Jumlah rata-rata ratio selama n Contoh Soal: Hitunglah indeks musim dengan metode ratio rata-rata bergerak untuk tiga triwulan dari data penjualan baju Toko “Rudolf Makmur”.

Triwulan Tahun

Penjualan

I

II

III

2007

245

60

80

105

2008

240

50

90

100

2009

310

55

85

95

2010

310

50

85

95

Penyelesaian: Tahun

2007

Trend bergerak

Penjualan

I

60

II

80

60+80+105=245

81.66666667

97.9592

III

105

80+105+50=235

78.33333333

134.0426

Triwulan

Rata-rata

Indeks

Triwulan

Musim

110


2008

2009

2010

I

50

105+50+90=245

81.66666667

61.2245

II

90

50+90+100=240

80

112.5000

III

100

90+100+55=245

81.66666667

122.4490

I

55

100+55+85=240

80

68.7500

II

85

55+85+95=235

78.33333333

108.5106

III

95

85+95+50=230

76.66666667

123.9130

I

50

95+50+85=230

76.66666667

65.2174

II

85

50+85+95=230

76.66666667

110.8696

III

95

a) Membuat rata-rata bergerak dan rasio data asli dengan nilai rata-rata bergerak. b) Membuat rata-rata bergerak dengan 3 triwulan, maka dibuat penjumlahan setiap 3 triwulan. Contoh penjumlahan triwulan pertama 60+80+105=245. Nilai ini bisa diletakkan pada triwulan I , II ,III, tidak ada aturan baku. Untuk contoh ini diletakkan pada triwulan 2 karena posisinya ada di tengah. Untuk jumlah total triwulan selanjutnya bergerak yaitu meninggalkan triwulan I tahun 2007 dan masuk triwulan I tahun 2008 sehingga menjadi 80+105+50=235. Hal ini diteruskan sampai selesai. c) Membuat rata-rata bergerak. Jumlah penjumlahan selama 3 triwulan perlu dibuat rata-ratanya dengan cara membagi jumlah pada kolom 4 dengan 3. Contoh 245/3 = 81.66666667 d) Membuat indeks musim dengan membuat rasio antara data asli dengan data rata-rata. Contoh : (80/81.66666667)x100 = 97.9592 e) Setelah mendapatkan indeks musim setiap triwulan, perlu mengetahui rata-rata setiap triwulan dari setiap tahunnya. Maka dari indeks musim triwulan dikelompokan ke dalam triwulan yang sama.

111


Tahun

Triwulan I

2007 2008

61.2245

2009

68.75

2010

65.2174

Rata-rata

II

III

97.9592

134.0426

112.5

122.449

108.5106 123.913 110.8696

65.0639667 107.4599 126.801533

Maka indeks musim kuartalan selanjutnya: Triwulan I = 65.0639667 Triwulan II = 107.4599 Triwulan III = 126.801533

112

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL ANALISIS DERET BERKALA

1. Berikut ini adalah harga rata-rata perdagangan besar karet RSS I di pasar Jakarta, 1967-1978. (Sumber : Indikator ekonomi, November 1979 halaman 44 Biro Pusat Statistik Jakarta dari buku Anto Dajan : Pengantar Metode Statistik Jilid Hal 288)

Tahun

Harga dalam rupiah/100kg

1967

3179

1968

9311

1969

14809

1970

12257

1971

10238

1972

11143

1973

23732

1974

23986

1975

18164

1976

26670

1977

28464

1978

37061

a. Tentukan persamaan trendnya dengan metode Least Square Method Cara Panjang! b. Berdasarkan persamaan trend yang didapatkan, berapa estimasi harga ratarata perdagangan besar karet RSS I di pasar Jakarta pada tahun 1979?

113

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jawab:

Tahun 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 Jumlah

Harga dalam rupiah/100kg (Y) 3179 9311 14809 12257 10238 11143 23732 23986 18164 26670 28464 37061 219014

x

xy

x²

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66

0 9311 29618 36771 40952 55715 142392 167902 145312 240030 284640 407671 1560314

0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506

a. Menentukan persamaan trendnya dengan metode Least Square Method Cara Panjang a= b=

(

=

(

) (∑ ) (∑ )(∑ ) (∑ ) ( )

)(

=

(

(

)(

)( (

) ( )( ) ( ) ) ( )( )(

) (

) )

= 4568,97436 )

= 2487,67133

Maka persamaan trendya: Yt = 4568,97436 + 2487,67133X Origin : 1 Juli 1967 Unit X : 1 tahun Unit Y : Harga dalam rupiah/100kg b. Menentukan estimasi harga rata-rata perdagangan besar karet RSS I di pasar Jakarta pada tahun 1979 Yt = 4568,97436 + 2487,67133X Yt = 4568,97436 + 2487,67133 (12) Yt = 4568,97436 + 29852,056 Yt = 34421,0303 Origin : 1 Juli 1967 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Harga dalam rupiah/100kg

114

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi, berdasarkan persamaan tren yang ada, maka estimasi harga rata-rata perdagangan besar karet RSS I di pasar Jakarta pada tahun 1979 2. The following are data on the total value of sales of the Times in the U.S. $ from 1946 to 1950. The data is taken from a survey of current business 1954 USA (Anto Dajan : Pengantar Metode Statistik Jilid II Hal 336) Bulan

1946

1947

1948

1949

1950

Januari

1979

1632

2505

2001

3261

Februari

1981

1768

3024

2539

3868

Maret

2005

1922

3416

2762

4270

April

2099

2171

3877

3026

4482

Mei

2145

2215

3639

2971

3853

Juni

1933

2046

3354

2732

2974

Juli

1573

1705

2451

1998

3175

Agustus

1402

1566

2057

1713

3791

September

1620

1940

2598

2069

4505

Oktober

1824

2470

3021

2480

4602

November

1903

2466

3042

2444

3958

Desember

1809

2464

2820

2170

3106

Determine a typical seasonal index using Percentage Average Method for eah of the month! Jawab : 

Tahap 1 Bulan Januari Februari Maret April Mei

1946 1979 1981 2005 2099 2145

1947 1632 1768 1922 2171 2215

1948 2505 3024 3416 3877 3639

1949 2001 2539 2762 3026 2971

1950 3261 3868 4270 4482 3853

115

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Juni Juli Agustus September Oktober November Desember JUMLAH RATA-RATA  Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli Agustus September Oktober November Desember

1933 2046 3354 2732 2974 1573 1705 2451 1998 3175 1402 1566 2057 1713 3791 1620 1940 2598 2069 4505 1824 2470 3021 2480 4602 1903 2466 3042 2444 3958 1809 2464 2820 2170 3106 22273 24365 35804 28905 45845 1856.1 2030.4 2983.7 2409 3820.4

Tahap 2

1946 106.6223679 106.7301217 108.0231671 113.0875948 115.5659318 104.1440309 84.74835002 75.53540161 87.28056391 98.27144974 102.5277242 97.46329637

1947 80.3775908 87.0757234 94.6603735 106.923866 109.090909 100.767494 83.972912 77.1270265 95.546891 121.649908 121.452904 121.354402

1948 83.95709977 101.3518043 114.4900011 129.9407887 121.9640264 112.412021 82.14724612 68.94201765 87.07406994 101.2512568 101.9550888 94.51457938

1949 83.072133 105.40737 114.66528 125.62532 123.34198 113.41982 82.947587 71.115724 85.895174 102.95797 101.46341 90.08822

1950 85.35718181 101.2455011 111.7679136 117.3170466 100.8528738 77.8449122 83.10611844 99.23001418 117.9190751 120.4580652 103.6012651 81.30003272

JUMLAH 439.3863731 501.8105194 543.6067381 592.8946207 570.8157235 508.588282 416.9222135 391.9501838 473.7157739 544.5886452 531.0003965 484.7205303

RATARATA 87.87727462 100.3621039 108.7213476 118.5789241 114.1631447 101.7176564 83.38444269 78.39003677 94.74315477 108.917729 106.2000793 96.94410606

So the seasonal index for each month is Bulan Januari Februari Maret April Mei Juni Juli

Seasonal Index 87,87727462 100,3621039 108,7213476 118,5789241 114,1631447 101,7176564 83,38444269 116

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Agustus September Oktober November Desember

78,39003677 94,74315477 108,917729 106,2000793 96,94410606

3. Berikut ini adalah data pengunjung salon “Noer Rahmani” tahun 2002-2010 Jumlah Tahun

Pengunjung

2002

14

2003

18

2004

17

2005

16

2006

20

2007

22

2008

24

2009

23

2010

25

a. Tentukan persamaan trendnya, gunakan Least Square Method cara pendek! b. Tentukan persamaan trend kuartal dan trend bulanannya! c. Jika tahun dasarnya digeser menjadi tahun 2008, tentukan persamaan trend yang barunya. Jawab :

Tahun 2002 2003 2004

Jumlah Pengunjung (Y) 14 18 17

X(ui) -4 -3 -2

XY(ui.yi) -56 -54 -34

X²(ui²) 16 9 4 117

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2005 2006 2007 2008 2009 2010 Jumlah

16 20 22 24 23 25 179

-1 0 1 2 3 4 0

-16 0 22 48 69 100 79

1 0 1 4 9 16 60

a. Menentukan persamaan trendnya dengan menggunakan Least Square Method cara pendek a= b=

∑

=

∑

. ∑ ²

=

= 19,8889

= 1,3167

maka persamaan trendnya: Yt = 19,8889 + 1,3167X Origin : 1 Juli 2006 Unit X : 1 tahun Unit Y : Jumlah pengunjung dalam orang b. Menentukan persamaan trend kuartal dan trend bulanannya  Trend Kuartalan ,

Y= + . =

+

,

,

.

+

,

,

+

.

Maka persamaan trendnya adalah Yt = 4,6019031 + 0,082293751X Origin : 15 Februari 2006 Unit X : 1 Kuartal/Triwulan Unit Y : Jumlah pengunjung dalam orang  Y=

Trend Bulanan +

.

=

,

+

,

.

,

.

Maka persamaan trendnya adalah Yt = 1,6071177 + 0,00914375X Origin : 15 Januari 2006 Unit X : 1 Bulan Unit Y : Jumlah pengunjung dalam orang

118

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) c. Menentukan persamaan trend yang baru jika tahun dasarnya digeser menjadi tahun 2008 Yt = a + b(2) + bx Yt = 19,8889 + 1,3167(2) + 1,3167X Yt = 22,5223 + 1,3167X Origin : 1 Juli 2008 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Jumlah pengunjung dalam orang 4. Berikut ini adalah data perkembangan angka-angka ekspor kopi PT Karina Nainggolan per semester (1/2 tahun) dari 2007-2012. Ekspor dinyatakan dalam ribuan ton.

Tahun

Periode

Jumlah Ekspor

2007

Semester I

15

Semester II

22

Semester I

27

Semester II

23

Semester I

22

Semester II

30

Semester I

28

Semester II

27

Semester I

40

Semester II

35

Semester I

33

Semester II

41

2008

2009

2010

2011

2012

a. Tentukanlah indeks musim dengan menggunakan Ratio to Trend Method b. Hitunglah peramalan jumlah ekspor kopi untuk semester I dan semester II pada tahun 2013 Jawab:

119

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tahun 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Periode Semester I Semester II Semester I Semester II Semester I Semester II Semester I Semester II Semester I Semester II Semester I Semester II Jumlah

Y 15 22 27 23 22 30 28 27 40 35 33 41 343

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66

XY 0 22 54 69 88 150 168 189 320 315 330 451 2156

X² 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 506

Yt 18.2179 20.1025 21.9871 23.8717 25.7563 27.6409 29.5255 31.4101 33.2947 35.1793 37.0639 38.9485 342.9984

Y/Yt * 100 82.33660301 109.4391245 122.7992778 96.3483958 85.41599531 108.5348162 94.83327971 85.95961172 120.1392414 99.49032528 89.03542261 105.2672118 1199.599305

a. Menentukan indeks musim dengan menggunakan Ratio to Trend Method a= b=

) ( )( ) = 18,2179 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( (∑ ) (∑ )(∑ ) ) = = 1,8846 (∑ ) ( ) ( )( ) ( )

=

(

)(

Maka persamaan trendya: Yt = 18,2179 + 1,8846X Origin : 1 Juli 2007 Unit X : 1 semester (1/2 tahun) Unit Y : Jumlah ekspor kopi dalam ribuan ton Tahun 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Jumlah Rata-Rata

Semester I 82.3366 122.7993 85.4160 94.8333 120.1392 89.0354 594.5598 99.0933

Semester II 109.4391 96.3484 108.5348 85.9596 99.4903 105.2672 605.0395 100.8399

Maka, indeks musim Jumlah ekspor kopi per semester adalah Semester I : 99.0933 120

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Semester II

: 100.8399

b. Menentukan peramalan jumlah ekspor kopi untuk semester I dan semester II pada tahun 2013 Yt = Yt = 18,2179 + 1,8846X Origin : 1 Juli 2007 Unit X : 1 semester(1/2 tahun) Unit Y : Jumlah ekspor kopi dalam ribuan ton

Semester I 2013 : Yt = 18,2179 + 1,8846 (12) = 40,8331 Semester II 2013 : Yt = 18,2179 + 1,8846 (13) = 42,7177 Forecasting dengan memperhitungkan pengaruh musim Tahun

Semester Yt I 2013 II Jumlah total

Indeks Musim Y Forecasting 40.8331 99.0933 40.46286628 42.7177 100.8399 43.07648596 83.5508 = 84

Jadi, forecasting jumlah ekspor kopi pada semester 1 sampai semester 2 pada tahun 2013 adalah 40.46286628 dan 43.07648596 5. This following table shows production of the goods (unit) in PT. Deasy Jaya with the period 2001-2011

Tahun

2001 2002 2003 2004 2005 2006

2007

2008

2009

2010

2011

Produksi

116

185

210

225

230

250

155

140

175

190

200

a. Determine the trend equation use Semi Average Method, which median is ignored and origin 2003! b. Determine trend equation, if the median is counted twice! Jawab: a. Determine the trend equation use Semi Average Method, which median is ignored and origin 2003 Kelompok

Tahun

Produksi

Rata-

Nilai 121

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) rata

K1

K2

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

116 155 140 175 190 185 210 225 230 250

155,2

220

X -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

a = 155,2 , b= = 10,8 Maka persamaan regresinya adalah : Yt = 155,2 + 10,8X Origin : I juli 2003 Unit X : 1 Tahun Unit Y : Jumlah produksi (unit) b. Determine trend equation, if the median is counted twice (tahun 2006 dihitung dua kali) Kelompok

K1

K2

Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2006 2007 2008 2009 2010 2011

Produksi 116 155 140 175 190 200 200 185 210 225 230 250

Rata-rata

Nilai X -5 -3 -1 163 1 3 5 7 9 11 216.6666667 13 15 17

122

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) a= 163 ,

b= = 4,5 Maka persamaan trendnya adalah : Yt = 163 + 4,5X Origin : I januari 2004 Unit X : ½ tahun Unit Y : Jumlah unit produksi dalam unit 6. Berikut ini adalah data mengenai produksi pakaian anak-anak PT. Alya STA, Bandung tahun 2005-2011 per caturwulan.

Caturwulan Tahun

I

II

III

2005

45

26

50

2006

56

34

45

2007

59

28

43

2008

69

36

58

2009

64

40

61

2010

63

44

67

2011

72

42

73

Tentukan Indeks Musim serta variasi musimnya dengan menggunakan Percentage Average Method. Jawab: Tahun 2005 2006 2007 2008 2009

I 45 56 59 69 64

Caturwulan II 26 34 28 36 40

III 50 45 43 58 61

Jumlah

Rata-Rata

121 40.33333333 135

45

130 43.33333333 163 54.33333333 165

55

123

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2010 2011

63 72 Tahun

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

44 42

I 111.570248 124.444444 136.153846 126.993865 116.363636 108.62069 115.508021

67 73

174 58 187 62.33333333

Caturwulan II 64.4628099 75.5555556 64.6153846 66.2576687 72.7272727 75.862069 67.3796791

III 123.966942 100 99.2307692 106.748466 110.909091 115.517241 117.112299

839.654751 486.86044 773.484809 Jumlah 119.950679 69.5514914 110.49783 Rata-Rata Maka seasonal indeks untuk setiap caturwulan-nya adalah Caturwulan I : 119.950679 Caturwulan II : 69.5514914 Caturwulan III : 110.49783 7. The following are data on the total sales of shoes “PT. Rini Shoes” quarterly since 2004 until 2009 (in $000)

Tahun

Triwulan 1

Triwulan 2

Triwulan 3

Triwulan 4

2004

351.2

324.9

308.7

430.9

2005

309.8

326.5

387.5

457.8

2006

302.7

345.7

341.2

435.2

2007

345.9

324.1

346.4

476.1

2008

341.4

345.7

351.6

460.8

2009

312.9

342.8

328.7

477.9

Determine the typical seasonal pattern for sales using the ratio to moving average Method.

124

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tahap 1

Tahun

2004

2005

2006

2007

2008

2009

I

Sales Of Shoes (Y) 351.2

II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV I II III IV

324.9 308.7 430.9 309.8 326.5 387.5 457.8 302.7 345.7 341.2 435.2 345.9 324.1 346.4 476.1 341.4 345.7 351.6 460.8 312.9 342.8 328.7 477.9

Kuartal

Total 4 Kuartal

Four Quarter Moving Average

1415.7 1374.3 1375.9 1454.7 1481.6 1474.5 1493.7 1447.4 1424.8 1468 1446.4 1451.6 1492.5 1488 1509.6 1514.8 1499.5 1471 1468.1 1445.2 1462.3

353.925 343.575 343.975 363.675 370.4 368.625 373.425 361.85 356.2 367 361.6 362.9 373.125 372 377.4 378.7 374.875 367.75 367.025 361.3 365.575

Centered Moving Average (Yt)

348.75 343.775 353.825 367.0375 369.5125 371.025 367.6375 359.025 361.6 364.3 362.25 368.0125 372.5625 374.7 378.05 376.7875 371.3125 367.3875 364.1625 363.4375

Y/Yt *100

88.5161 125.344 87.5574 88.9555 104.868 123.388 82.3365 96.2886 94.3584 119.462 95.4865 88.0677 92.9777 127.062 90.3055 91.7493 94.6911 125.426 85.9232 94.3216

Tahap 2 Tahun

Triwulan I

2004

II

III

IV

88.5161

125.344 125

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) 2005 2006 2007 2008 2009 Jumlah Rata-rata IM

87.5574 82.3365 95.4865 90.3055 85.9232 441.6091 88.3218 88.4503

88.9555 96.2886 88.0677 91.7493 94.3216 459.3827 91.8765 92.0102

104.868 94.3584 92.9777 94.6911

123.388 119.462 127.062 125.426

475.4113 95.0823 95.2206

620.6820 124.1364 124.3170

100 4

399.4170 1.0014549

Faktor koreksi = (100Xn)/ jumlah rata-rata rasio selama n =

,

∗

= 1,0014596

So, the typical seasonal pattern for sales using the ratio to moving average Method is Triwulan I Triwulan II Triwulan III Triwulan IV

: 88.4503 : 92.0102 : 95.2206 : 124.3170

126

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) PROBABILITAS

Probabilitas adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 dan dinyatakan dalam desimal (misalnya: 0,65) atau dalam persentase (65%). Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi. Probabilitas satu menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi. Maka probabilitas dapat didefinisikan sebagai peluang suatu kejadian. Dalam Probabilitas ada beberapa istilah yang penting yaitu : -

Percobaan (experiment), percobaan adalah aktivitas yang menghasilkan suatu peristiwa. Misalnya: kegiatan melempar uang akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka.

-

Hasil (out come), hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan tersebut, yaitu muncul gambar atau angka

-

Peristiwa (event), peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadian.

Pendekatan Dalam Perumusan Peluang 1. Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa dinyatakan sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan total kemungkinan hasil.

Dimana P (A) = peluang kejadian A

( )=

x = Banyaknya kejadian A n = banyaknya semua kejadian yang mungkin terjadi

127

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Contoh : sebuah dadu dilemparkan sebanyak 1 kali. Berapa peluang terjadinya mata dadu kelipatan 2? Jawab : n = 6 (banyaknya angka yang mungkin muncul dalam pelemparan dadu 1 kali) x = 3 (kelipatan 2 adalah mata dadu 2,4 dan 6) P(mata dadu kelipatan 2) =

= =

Jadi, peluang terjadinya mata dadu kelipatan 2 dari pelemparan dadu sebanyak 1 kali adalah ½. 2. Pendekatan Frekuensi Relatif, dalam pendekatan ini besar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan dan dicatat besarnya frekuensi relatif masing-masing kejadian.

Dimana : P (A)

( )=

( )

= peluang kejadian A

f (A)

= frekuensi munculnya kejadian A

N

= frekuensi secara keseluruhan

Contoh : Dari 5000 pengirim sms yang memberikan vote a di acara Indonesia Idol ternyata 3250 memberikan vote pada Regina dan sisanya pada Sean. maka peluang dari pengirim sms yang memberikan vote pada Regina adalah : ( )=

( )

=

3250 13 = 5000 20

128

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi, peluang dari pengirim sms yang memberikan vote pada Regina adalah 13/20 atau 0,65. 3. Pendekatan Subyektif adalah menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Contoh : Peluang tim Indonesia mengalahkan Malaysia dalam pertandingan sepak bola adalah 0,8. Peluang ini ditentukan oleh subjektivitas seseorang, tentu saja hasilnya akan berbeda dengan orang lain. Faktorial Factorial adalah banyaknya cara yang dihasilkan dari n obyek yang berbeda, dilambangkan dengan n! atau n faktorial. Contoh : Bila ada 6 nama Bank, yaitu BCA, BNI, BJB, BII, BRI, Mandiri, maka ada berapa cara menyusun urutan nama ke 6 nama bank tersebut? Jawab : n = 6 n! = 6x5x4x3x2x1 = 720 cara. Jadi, terdapat 720 cara untuk menyusun urutan nama dari ke 6 bank tersebut .Permutasi Permutasi adalah kemungkinan susunan dari r obyek yang diambil dari n obyek. Permutasi sangat memperhatikan susunan letak dari obyek, dalam hal ini berarti XYZ akan berbeda artinya dengan YXZ, XZY, dsb. Rumus : P = (

!

)!

Contoh : Apabila ada 20 perusahaan yang memberikan dividen tahun 2003 dan disusun berdasarkan kinerja perusahaan dimana tiap kelompok terdiri 5 perusahaan, ada berapa cara susunan perusahaan tersebut. 129

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) =(

Jawab :

!

)!

=

= 1.860.480

!

Jadi, banyaknya cara menyusun perusahaan tersebut adalah 1.860.480 Jika banyaknya permutasi dari n obyek dimana n1 berjenis 1, n2 berjenis 2,……., nk, dan n1+n2+…….+nk=n, maka : P = (

!

!

! …..

!)

Contoh : bila dalam suatu rak buku terdapat 12 buku yang terdiri dari 2 buku managerial finance, 5 buku mikroekonomi, 4 buku statistik, 3 buku akuntansi, dan 1 novel, berapakah cara buku tersebut dapat disusun? Jawab

: n = 12, n1=2, n2=2, n3=4, n4=3, n5=1, maka banyaknya cara penyusunan

buku tersebut di rak adalah P = (

!

!

!

!

!

!)

= 831.600 cara

Jadi, buku-buku tersebut dapat disusun di rak dengan 831.600 cara.

Kombinasi Kombinasi adalah banyaknya kemugkinan yang dapat terjadi pada saat seseorang melakukan pengambilan r obyek dari n obyek yang tersedia tanpa memperhatikan letak susunannya. Dalam hal ini XYZ sama artinya dengan XZY, YXZ, dsb. C =

n! r! (n! − r!)

Contoh : Ada 5 bank yang mengajukan kredit portofolio ke Bank Indonesia . Sementara itu Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja . Ada berapa kombinasi bank yang dapat dipilih oleh bank Indonesia ? Jawab

:C =

!( !

!

!)

=

!( !

!

!)

= 10

Jadi ada 10 kombinasi bank yang dapat dipilih oleh Bank Indonesia.

Macam-Macam Kejadian (Event) 1. Kejadian Terpisah (Mutually Exclusive)

130

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Dua keajadian A dan B disebut saling terpisah bila keduanya tidak mungkin terjadi secara bersamaan, atau dengan kata lain munculnya kejadian A menghilangkan peluang munculnya kejadian B, sehingga ( ∩ ) = 0. Rumus : ( ∪ ) = ( ) + ( )

Contoh : sebuah kartu dikocok, kemudian diambil secara acak, berapa peluang terambilnya kartu jack sekop dan as hati? Jawab : P (jack sekop ∪ as hati) = P (jack sekop) + P (as hati) =

+

Jadi, peluang terambilnya kartu jack sekop dan as hati adalah

= .

2. Kejadian Bukan Terpisah (Inclusive) Terjadinya peristiwa bukan menghilangkan peristiwa yang lain, tapi kejadian yang ada mungkin memiliki sifat gabungan dari kejadian yang lain, sehingga ) ≠ 0.

Rumus : ( ∪ ) =

( ∩

( )+ ( )− ( ∩ )

Contoh : Jika dilakukan pelemparan dadu sebanyak 1 kali, berapakah peluang munculnya angka ganjil atau angka bilangan prima? Jawab : angka ganjil pada dadu (A) = 1,3,5 mata dadu bilangan prima (B) =2,3,5 Sifat gabungan ( ∩ ) = 3,5

P (angka ganjil pada dadu ∪ mata dadu empat) = + − = =

Jadi, peluang munculnya angka ganjil atau angka bilangan prima adalah 2/3.

3. Kejadian Bebas Dua kejadian disebut bebas bila nilai peluang kejadian A tidak bergantung pada muncul atau tidaknya kejadian B, dan begitu pula sebaliknya. Rumus : ( ∩ ) = ( )

( )

Contoh : peluang terjadinya hujan di Medan adalah 0,6 dan peluang terjadinya hujan di Makassar adalah 0,8. Berapakah peluang hujan di Medan dan Makassar?

131

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jawab : P ( hujan di Medan ∩ hujan di Makassar) = 0,6 x 0,8 = 0,48. Jadi, peluang hujan di Medan dan Makassar adalah 0,48.

4. Kejadian Tak Bebas Dua kejadian A dan B disebut tidak bebas bila kejadian yang satu dipengaruhi oleh kejadian yang lainnya. Rumus : P(A ∩ B) = P(B)x P dimana P

atau P(A ∩ B) = P(B)x P

adalah munculnya kejadian A setelah munculnya kejadian

B, begitu juga dengan P

Contoh : satu bungkus permen terdiri dari 3 rasa apel, 4 rasa jeruk, 2 rasa mangga, dan 1 rasa nanas. Jika diambil 2 permen secara berturut-turut tanpa pengembalian, berapakah peluang terambilnya yang pertama permen rasa mangga dan yang kedua permen rasa jeruk? Jawab : P (rasa mangga ∩ rasa jeruk) =

=

Jadi, peluang terambilnya yang pertama permen rasa mangga dan yang kedua permen rasa jeruk tanpa pengembalian adalah

.

Teknik Pengambilan 1. Dengan Pengembalian Suatu cara pengambilan yang pengambilan berikutnya dilakukan setelah mengembalikan terlebih dahulu pengambilan sebelumnya. Contoh : satu lusin kemeja terdiri dari 2 warna biru, 4 warna merah, 3 warna hijau, 3 warna hitam. Dilakukan pengambilan 4 kemeja tersebut secara random dengan pengembalian. Berapakah peluang terambilnya 1 kemeja warna hitam, 2 kemeja warna merah, dan 1 kemeja warna biru berturut-turut? Jawab : P ( H ∩ M1 ∩ M2 ∩ P) = P(H) x P(M1) x P(M2) x P (P) 132


×

×

×

=

Jadi, peluang terambilnya 1 kemeja warna hitam, 2 kemeja warna merah, dan 1 kemeja warna biru berturut-turut adalah

2. Tanpa Pengembalian Suatu cara pengambilan yang pengambilan berikutnya dilakukan tanpa mengembalikan terlebih dahulu pengembalian sebelumnya. Contoh : sebuah kotak terdiri dari 2 bola putih, 3 bola biru, dan 3 bola merah. Dilakukan pengembalian 3 bola dari kotak tersebut secara random tanpa pengembalian. Berapakah peluang terambilnya 1 bola biru dan 2 bola merah berturut-turut? Jawab : P ( B ∩ M 1 ∩ M2) = P(B) x P(M1) x P (M2) = × × =

Jadi, peluang terambilnya 1 bola biru dan 2 bola merah berturut-turut adalah

.

Teorema Bayes Teorema Bayes merupakan probabilitas bersyarat suatu kejadian yang terjadi setelah kejadian yang lain ada. Rumus : P

A

B =

(

)×

(

(

)×

)×

⋯

(

)×

Contoh : Dinas Pekerjaan Umum Kota Bandung sedang merencanakan perbaikan jalan di daerah Dipati Ukur dan Pasteur dengan probabilita berturut-turut sebesar 0,3 dan 0,7. Bila perbaikan jalan dilakukan di daerah Dipati Ukur maka peluang terjadinya penurunan kemacetan sebesar 0,02 dan peluang terjadinya penurunan kemacetan di Pasteur sebesar 0,05. Jika diketahui telah terjadi penurunan kemacetan, berapakah peluang perbaikan jalan di Pasteur? Diketahui

: A1 = perbaikan jalan di Dipati Ukur 133

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) A2 = perbaikan jalan di Pasteur B = terjadinya penurunan kemacetan P (A1) = 0,3 probabilita perbaikan jalan di Dipati Ukur P (A2) = 0,7 probabilita perbaikan jalan di Pasteur P (A1/B) = 0,02 penurunan kemacetan di Dipati Ukur P (A2/B) = 0,05 penurunan kemacetan di Pasteur Ditanyakan

: P (A2/B), Dinas PU ternyata telah melakukan perbaikan jalan di

Pasteur.

Jawab

=

: P

A

B =

(

)×

(

)×

(

)×

(0,7) × (0,05) 0,035 = = 0,853658536 ≈ 0,8536 (0,3) × (0,02) + (0,7) × (0,05) 0,006 + 0,035

Jadi, probabilita terjadinya penurunan kemacetan Jika diketahui

ternyata telah dilakukan perbaikan jalan di daerah Pasteur adalah 0,8536. Harapan Matematis/Mathematical Expectation (ME) Rumus ME = ∑ P X dimana ME = nilai harapan matematis

= peluang terjadinya kejadian

X = besarnya nilai kejadian

Contoh : perusahaan STA yang bergerak dalam bidang manufaktur akan melakukan ekspansi, maka perlu dilakukan pemilihan tempat yang baru untuk cabang perusahaan STA. jika daerah Z memiliki keuntungan Rp 350 juta dengan probabilita 0,4 dan modal yang digunakan sebesar Rp Rp 80 juta. Sedangkan 134

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) di daerah W modal yang digunakan sebesar Rp 100 juta dengan keuntungan Rp Rp 300 juta dan probabilita 0,55. Dimanakah seharusnya perusahaan tersebut mendirikan cabang perusahaannya? Diketahui : asumsi : 1=untung ; 2=rugi 

Daerah Z P1 = 0,4

P2 = 1 – 0,4 = 0,6

X1 = Rp 350 juta

X2 = - Rp 80 juta

=



+

= (0,4 x 350 juta) + 0,6 x (−80 juta)

= 140 juta + (−48 juta) = 92 juta Daerah W P1 = 0,55

P2 = 1 – 0,55 = 0,45

X1 = Rp 300 juta

X2 = - Rp 100 juta

=

+

= (0,55 x 300 juta) + 0,45 x (−100 juta)

= 165 juta + (−45 juta) = 120 juta

Karena daerah W.

<

maka perusahaan sebaiknya mendirikan cabang di

135

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL PROBABILITAS

1.

The following table shows monthly income from 10.000 head of family surveyed in Bandung.

Income (Rupiah)

Number of head of family

< 1.000.000

1498

1.000.000 - 1.499.000

3466

1.500.000 – 1.999.000

1073

2.000.000 – 2.499.000

899

2.500.000 – 2.999.000

2302

≥ 3.000.000

762

Jumlah

10.000

One family taken randomly. What is the probability that the family is: a. Including families with high incomes, ≥ 3.000.000? b. Including families with incomes at least 2.000.000 but less than 2.500.000? c. Including families with low incomes, <1.000.000? Jawab : a. ( ≥ 3.000.000) =

( )

=

= 0,0762

136

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi, peluang keluarga tersebut termasuk keluarga yang mempunyai pendapatan tinggi, ≥ 3.000.000, adalah 0,0762. b. (2.000.000 <

< 2.499.000) =

( )

=

= 0,0899

Jadi, peluang keluarga tersebut termasuk keluarga yang mempunyai pendapatan paling sedikit 2.000.000 tetapi kurang dari 2.500.000 adalah 0,0899.

c. ( ≤ 1.000.000) =

( )

=

= 0,1498

Jadi, peluang keluarga tersebut termasuk keluarga yang mempunyai pendapatan rendah, < 1.000.000 adalah 0,1498.

2.

Sebuah kotak berisi 4 bola kuning, 6 bola hijau, 5 bola merah, dan 7 bola putih. Dari kotak tersebut diambil 4 bola secara acak. Tentukan probabilita terambilnya 1 bola hijau, 1 bola putih, dan 2 bola kuning bila teknik pengambilannya : a. Dengan pengembalian (with replacement)! b. Tanpa pengembalian (without replacement)! Jawab : a. P ( H ∩ P ∩ K1 ∩ K2) = P(H) x P(P) x P (K1) x P (K2) =

×

×

×

=

= 0,0028686

Jadi, probabilita terambilnya 1 bola hijau, 1 bola putih, dan 2 bola kuning dengan pengembalian (with replacement) adalah 0,0028686. b. P ( H ∩ P ∩ K1 ∩ K2) = P(H) x P(P) x P (K1) x P (K2) =

×

×

×

=

= 0,0038277

Jadi, probabilita terambilnya 1 bola hijau, 1 bola putih, dan 2 bola kuning tanpa pengembalian (without replacement) adalah 0,0038277.

137


Di sebuah outlet di Jalan Dago, Bandung, ada 15 jenis baju yang sangat menarik. Petruk adalah salah satu pengunjung outlet tersebut dan berniat ingin membeli 15 jenis baju tersebut. Namun karena keterbatasan dana, maka hanya 4 saja yang dapat dibeli. Hitunglah, ada berapa kombinasi baju yang dapat dipilih oleh Petruk? Jawab: Banyaknya kombinasi yang dapat dipilih dapat diselesaikan dengan konsep perhitungan kombinasi: C =

!( !

!

!)

C

diketahui bahwa n=15 dan r = 4, sehingga =

15! 15! 15.14.13! = = = 1365 4! (15! − 4!) 4! (11!) 4! (11!)

Jadi, ada 1365 kombinasi baju yang dapat dipilih oleh Petruk.

4.

Dalam rapat pengurus BEM KEMA FEB unpad, staf kementerian pendidikan mempresentasikan 12 program kerja yang akan dilaksanakan selama satu periode kepengurusan di hadapan executive board. Dalam rapat tersebut setiap executive board diminta untuk memberikan penilaian atau rank terhadap 6 program kerja yang dianggap feasible. Ada berapa cara macam urutan penilaian yang mungkin terjadi dari setiap executive board? Jawab : n = 12 P = P

r=6

n! (n − r)!

=

12! = 665.280 (12 − 6)!

Jadi, banyaknya cara urutan penilaian yang dilakukan oleh executive board adalah sebanyak 665.280 cara.

138


Three people have been nominated as the manager of a company. Probability A selected is 0.3, probability B selected is 0,5, and probability C selected is 0.2. If A selected, the chances of the employee salary increase was 0.8. If B or C selected, Probability rising salaries, respectively 0.1 and 0.4. Determine : a. How much the probability of rising the salary? b. How much the probability of rising the salary if C selected? Jawab : Dik : B1 = A terpilih

P(B1) = 0.3

P(G│B1) = 0.8

B2 = B terpilih

P(B2) = 0.5

P(G│B2) = 0.1

B3 = C terpilih

P(B3) = 0.2

P(G│B3) = 0.4

G = kejadian gaji naik Dit : a. P(G) = …? b. P(B3/G) = …? Jawab : a. Peluang terjadi kenaikan gaji karyawan adalah P(G) = P(B1) P(G│B1) + P(B2) P(G│B2) + P(B3) P(G│B3) = (0.3)(0.8) + (0.5)(0.1) + (0.2)(0.4) = 0.37 Jadi, besarnya peluang kenaikan gaji adalah sebesar 0,37. b. Peluang kenaikan gaji terjadi jika terpilih C = =

(

)

(

)

+ (2)

+ (

)

(0,2)(0,4) 8 = = 0,216216 (0,3)(0,8) + (0,5)(0,1) + (0,2)(0,4) 37

Jadi peluang kenaikan gaji jika C terpilih adalah sebesar 0,23.

6.

Dari sekumpulan bahan mentah di perusahaan Osborn, ternyata berdasarkan pengalaman di masa lalu dapat diolah menjadi tiga jenis kualitas bahan jadi dengan penggolongan 80% kualitas I, 15% kualitas ke II, dan 5% kualitas ketiga. 139

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Modal yang dipakai untuk kualitas barang I adalah 35 juta dengan keuntungan 30 juta. Untuk barang II modal yang diperlukan adalah 90 juta dengan keuntungan 10 juta, sedangkan modal yang digunakan untuk barang III adalah 10 juta dengan keuntungan sebesar 40 juta. Perusahaan Osborn berencana untuk melakukan ekspansi perusahaan, bantulah Perusahaan Osborn untuk menentukan sebaiknya di kualitas barang yang manakah perusahaan Osborn menginvestasikan modal utamanya? Dik : -

Kualitas Barang I P1=0,8

P2=1-0,8=0,2

X1= Rp 35 juta

X2= - Rp 30 juta

MEI= P1X1 + P2X2 = (0,8 x Rp 35 juta) + (0,2 x Rp (-Rp 30 juta)) = Rp 22 juta. - Kualitas Barang II P1=0,15

P2=1-0,15=0,85

X1= Rp 90 juta

X2= - Rp 10 juta

MEII= P1X1 + P2X2 = (0,15 x Rp 50 juta) + (0,85 x Rp (-Rp 10 juta)) = Rp 5 juta. - Kualitas Barang III P1=0,05

P2=1-0,05=0,95

X1= Rp 130 juta

X2= - Rp 3 juta

MEIII= P1X1 + P2X2 = (0,05 x Rp 130 juta) + (0,95 x Rp (-Rp 3 juta)) = Rp 3,65 juta. Karena MEI >MEII >MEIII maka perusahaan Osborn sebaiknya menginvestasikan modal yang utamanya di barang kualitas III.

7.

Peluang seorang langganan yang masuk ke toko yang akan membeli kemeja adalah 0,1. Jika ia membeli kemeja, peluangnya dia akan membeli dasi juga

140

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) adalah 0,4. Membeli atau tidak membeli kemeja, peluang dari langganan itu membeli celana adalah 0,5. Tentukan : a. Berapa peluang bahwa langganan itu akan membeli kemeja dan dasi? b. Berapa peluang bahwa langganan itu akan membeli kemeja dan celana? Dik : A = membeli kemeja B = membeli dasi

P (A) = 0,1 P (B/A) = 0,4 (beli kemeja syarat untuk beli dasi)

C = membeli celana

P (C) = 0,5 (A dan C independen)

Dit : a. P(A ∩ B) = …?

b. P(A ∩ C) = …?

Jawab : a.

P (A dan B)

P(A ∩ B) = P(A)x P

= 0,1 × 0,4 = 0,04

Jadi, peluang bahwa langganan itu akan membeli kemeja dan dasi adalah 0,04 b. P(A ∩ C)

P(A ∩ C) = P(A)x P(C) = 0,1 × 0,5 = 0,05

Jadi, peluang bahwa langganan itu akan membeli kemeja dan celana adalah 0,04.

8.

Diambil sebuah kartu dari selengkap kartu bridge terkocok. Tentukanlah nilai kemungkinan terambilnya kartu a.

As

b.

Raja (dengan lambang K)

c.

Gambar ‘wajik’

Jawab : satu kartu lengkap = 52, yang masing-masing mempunyai peluang sama. a. Ada 4 kemungkinan kartu As terambil, sehingga P(As) = b. Ada 4 kemungkinan kartu Raja terambil, sehingga P(K) =

. .

141

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) c. Ada 13 kemungkinan kartu gambar ‘daun’, sehingga P(kartu ‘daun’)=

9.

.

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Ali terpilih 0,3, peluang Badu terpilih 0,5, sedangkan peluang Cokro 0,2. Kalau Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Badu atau Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. Bila seseorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik, berapakah peluang Badu terpilih jadi ketua?

Dik : A : Orang yang terpilih menaikkan iuran

P( B1 ) P( A | B1 )  (0,3)(0,8)  0,24 P( B2 ) P( A | B2 )  (0,5)(0,1)  0,05 P ( B3 ) P ( A | B3 )  (0,2)(0,4)  0,08

P(B1): Ali yang terpilih = 0,3 P(B2): Badu yang terpilih = 0,5 P(B3) : Cokro yang terpilih = 0,2 Dit : P (B3/A) = …? =

Jawab :

=

(

)

( (

) )

(

)

(0,5)(0,1) 0,05 = = 52,08333333 (0,3)(0,8) + (0,5)(0,1) + (0,2)(0,4) 0,00096

Jadi, peluang menaikkan iuran jika Badu terpilih menajdi ketua adalah 52,08333333. 10. Ketika menjelang Natal, permintaan terhadap pohon natal meningkat, begitu juga dengan berbagai macam hiasannya seperti lampu. Santa berniat untuk menghias pohon natal yang kemarin dibelinya dengan menggunakan 15 lampu yang terdiri

142

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) dari 4 warna merah, 5 biru, dan 6 kuning. Maka ada berapa cara menyusun lampu untuk menghiasi pohon natal tersebut? Dik : n = 15 n1 = 4

n2 = 5

n3 = 6

Dit : P = …? Jawab : P = ( P=

!

!

!

)

15! = 630.630 (4! x5! x6!)

Jadi, banyaknya cara menyusun lampu untuk menghiasi pohon natal

tersebut adalah 630.630

143

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

Distribusi teoritis memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna bagi dasar pembuatan ramalan

(forecasting/prediction)

berdasarkan

informasi

yang

terbatas

atau

pertimbangan teoritis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu kejadian. (Sumber: Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga) Distribusi Peluang teoritis terdiri dari : I. Variabel Diskrit dan Variabel Kontinyu Untuk memahami variabel diskrit dan kontinyu, marilah mencermati definisi beberapa istilah berikut ini: 1. Variabel Random adalah variabel yang nilainya diperoleh dari suatu percobaan. Variabel random dapat berupa variabel diskrit atau variabel kontinyu. 2. Variabel Diskrit adalah variabel yang didapat dari proses penghitungan dimana hasilnya merupakan bilangan bulat dan jumlahnya terbatas. Misalnya: -

Jumlah penjualan mobil per hari: x = 0, 1, 2, 3, ...

-

Jumlah orang yang suka produk tertentu dari 500 responden: x = 0, 1, 2, 3, ..., 500

-

Jumlah munculnya mata dadu 1 pada peristiwa pelemparan sebuah dadu sebanyak 10 kali: x = 0, 1, 2, ..., 10

3. Variabel Kontinyu adalah variabel yang didapat dari proses pengukuran dimana terdiri dari nilai-nilai yang terletak dalam suatu interval tertentu, sehingga dapat berupa bilangan pecahan maupun bilangan bulat. Misalnya: 144

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) -

Tinggi badan 100 responden: x = 145 cm, 156,76cm, ...

-

Waktu terbang dari Yogyakarta ke Jakarta: 45’ < x < 120’

-

Berat ayam goreng KFC: 50 gram < x < 200 gram

(Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI) II. Macam-macam Distribusi Peluang Teoritis Variabel Diskrit 1. Distribusi Binomial Distribusi binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan binomial atau Bernoulli (Bernoulli Trial) sebagai berikut: -

Setiap percobaan hanya mempunyai dua kemungkianan hasil, diberi istilah hasil yang dikehendaki (sukses) dan hasil yang tidak dapat dikehendaki (gagal).

-

Setiap percobaan bersifat independen atau dengan pengembalian. Probabilitas sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p, sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan q. Jumlah p dan q harus sama dengan 1.

-

Jumlah percobaan, dinyatakan dengan N, harus tertentu jumlahnya.

Rumus distribusi binomial: ( )= ∶

Keterangan:

=

! ! ( − )!

P (x) = probabilitas peristiwa sukses sebanyak x C = kombinasi x dari n

145

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) N = jumlah percobaan p = probabilitas sukses q = probabilitas gagal x = jumlah sukses yang dicari probabilitasnya Parameter dalam distribusi binomial: Rata-rata (µ) = n.p Standar deviasi (σ) = 2. Distribusi Multinomial

. .

Perluasan dari distribusi binomial ialah distribusi multinomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-peristiwa E1, E2, ..., Ek dengan peluang π1 = P(E1), π2 = P(E2), ..., πk = P(Ek) dengan π1 + π2 + ... + πk = 1. Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan sebanyak n kali, maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2 peristiwa E2, ..., xk peristiwa Ek di antara N, ditentukan oleh distribusi multinomial berikut:

( ,

,…,

)=

!

! !…

!

…

(Sumber: Sudjana. 1997. Metoda Statistika Edisi Keenam. Bandung: Tarsito) 3. `Distribusi Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik sangat erat kaitannya dengan distribusi binomial. Perbedaannya antara distribusi hipergeometrik dengan binomial adalah bawa pada distribusi hipergeometrik, percobaan tidak bersifat independen. Untuk mencari probabilitas x sukses dalam ukuran sampel n, kita harus memperoleh x sukses dari r sukses dalam populasi, dan n-x gagal dalam N-r gagal. Sehingga fungsi probabilitas hipergeometrik dapat dituliskan sebagai berikut:

146


Keterangan:

( )=

.

r = jumlah unit/elemen dalam populasi yang berukuran N x = jumlah elemen berlabel diantara n unit N = jumlah observasi dalam populasi n = jumlah observasi dalam sampel Sumber: (Supranto, Johanes. 2001. Statistik : Teori dan Aplikasi. Jakarta: Penerbit Erlangga)

4. Distribusi Poisson Pada percobaan binomial, seandainya n relatif besar, katakanlah lebih besar dari 50 dan p relatif kecil, katakanlah lebih kecil dari 0,1 maka perhitungan probabilitas dengan menggunakan rumus distribusi binomial akan menjadi sulit. Dalam kasus ini, kita dapat menggunakan pendekatan Poisson untuk menghitung probabilitas percobaan binomial. Rumus Distribusi Poisson:

Keterangan:

( )=

. !

λ = rata-rata = n.p x = jumlah sukses e = 2,718281828 (Sumber: Setia Atmaja, Lukas. 2009. Statistika untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta: Penerbit ANDI)

147

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

1.

Rudolf International adalah Oil Company terbesar di Indonesia. Dari oil yang dihasilkan tersebut ternyata terdapat 10% oil/barel yang berkualitas buruk. Untuk menyelidiki hal tersebut perusahaan mengambil secara acak 50 Barrel untuk diselidiki. Tentukan peluang dari oil tersebut: a.

Seluruh Barel tersebut berkualitas baik

b.

Paling banyak 1 barel yang berkualitas buruk

c.

Terdapat 48 Barel yang berkulitas baik

Dik :

p = probabilitas barang buruk = 10% q = probabilitas barang baik = 90% N = 50

Dit: a. P(x = 0) b. P(x ≤1)

c. P(x = 2) Jawab: a. ( ) =

( = 0) =

. 0,10 . 0,90

= 1 . 1 . 5,153775207× 10 = 5,153775207× 10

Jadi, peluang dari 50/barel minyak seluruhnya merupakan minyak berkualitas baik (tidak ada yang buruk) adalah 5,153775207× 10

148

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b. ( ) =

( = 1) =

. 0,10 . 0,90

= 50 . 0,10. 5,726416897× 10

= 0,02863208449

Peluang terambil 1 barel minyak berkualitas buruk dari 50 barel sample yang diambil adalah : . P(x ≤1) = p(x=0) + p(x=1)

. P(x ≤1) = 5,153775207× 10

+ 0,02863208449

P(x ≤1) = 0.0337858597

Jadi, peluang dari 50 barel terdapat satu barel yang berkualitas buruk adalah 0.0337858597 atau 3,37858597%

c. P(x = 2) ( )=

( = 2) =

. 0,10 . 0,90

( = 2) = 1225. 0,01. 6,362685441× 10 = 0.07794289665

Jadi, peluang dari 50 barel terdapat 48 barel yang berkualitas baik adalah 0.07794289665 atau 7,794289665% 2.

There are many books in Deasy bag. Three books about history, four books about statistics, and three books about economics. The two books are yellow, three books are silver, and five books are blue. If Deasy want to take 4 books in

149

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) different colour, could you calculate the probability that Deasy takes 1 book yellow, 2 book silver and 1 book is blue? Given

: X1 = yellow = 1

X2 = silver = 2 X3 = blue = 1 π1 =

( yellow )

π2 =

( silver )

π3 =

( Blue )

n=4 Asked: P(1,2,1) Solution : ( ,

,

)=

(1,2,1) =

! ! !

!

4! 2 1! 2! 1! 10

= 12 .

3 10

2 9 5 × × 10 100 10

5 10

= 0,108

So, the probability Deasy takes 1 book yellow, 2 book silver and 1 book is blue is 0,108 or 10,8% 3.

Divisi SDM di Perusahaan STA terdiri dari 12 orang, dimana 8 adalah wanita dan 4 laki-laki. Misalkan 2 orang dari 12 anggota divisi SDM tersebut dipilih

150

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) untuk dipindah ke divisi Logistik. Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita? Dik:

r=8

n=2

x=2

N = 12

Dit: P(x=2)

( )=

. ( )=

.

=

28(1) = 0,424242 66

Jadi, probabilita bahwa dari pemilihan secara acak didapat 2 orang wanita yang dipilih untuk dipindah ke divisi logistik adalah 0,424242 atau 42,4242%.

4.

Tiap jam, pengusaha produksi barang mengambil sebuah sampel sebanyak lima barang yang dihasilkan suatu mesin untuk diperiksa. Jika terdapat lebih dari satu barang yang rusak, ia akan menghentikan proses dan menyuruh pegawainya untuk memeriksa atau memperbaiki mesin. Jika tidak, ia membiarkan proses itu berjalan terus sebagaimana biasa. Berapakah peluang menghentikan mesin, jika adanya barang yang rusak dalam proses itu sebesar 2 %?

Dik : p( rusak ) = 0,02 Q ( baik ) = 0,98 N=5 Dit : p( X≥ 2)

Jawab : proses dihentikan kalau tiap 5 barang terdapat yang rusak 2,3,4,5 kalau x = banyak barang yang rusak dari 5 barang yang diambil. Maka : p( X≤ 1) = p(0)+p(1)

P(0) semuanya baik maka

151

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) ( )=

=

( = 0) =

=

= 0,9036

. 0,02 . 0,98

P(1) = ( ) = =

( = 1) =

= 0,0922

. 0,02 . 0,98

Jadi p( X≥ 2)=1- p(0)+p(1) = 0,9036 + 0,0922 = 0,0042

Jadi peluang pengusaha produksi akan menghentikan mesin jika terdapat lebih dari satu barang yang rusak dari 5 sampel barang yang diambil adalah 0,42%

5.

Seorang pemilik perusahaan telah meneliti bahwa banyak pesanan barang yang ia terima setiap hari rata – rata 3,8. Berapakah peluangnya pada suatu hari akan diterima: a.

Tepat lima buah pesanan

b.

Paling banyak lima buah pesanan

c. Tidak kurang dari lima buah pesanan d. Tidak ada pesanan Dik : λ = 3,8 Dit : a. P(x=5) b.P(x ≤ 5 )

c. P( ≥ 5) d. P (x=0)

Jawab ( )=

: a. P(5) = . ! 152

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) ,

P(x = 5) =

. , !

= 0,1480

Jadi peluangnya pada suatu hari akan diterima 5tepat lima pesanan adalah 0,1480 atau 14,80 % b. P(x ≤ 5 ) ( )=

. !

pesanan paling banyak ada 5 maka x = a,1,2,3,4 atau ,5 maka kita harus menghitung p(0),p(1),p(2),p(3),p(4),p(5) lalu dijumlahkan p(0) =

,

P(1) =

,

P(2) =

,

P(3) =

,

P(4) =

,

. , !

= 0,0224

. ,

= 0,0851

. ,

= 0,1617

. ,

= 0,2049

. ,

= 0,1944

! ! ! !

P(5) = 0,1480 Maka P(x ≤ 5 ) = p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+ p(4)+p(5)

= 0,0224 +0,0851 + 0,1617 + 0,2049 + 0,1944 +0,1480

= 0,8165 Jadi peluangnya pada suatu hari akan diterima paling banyak lima buah pesanan adalah 0,8165 , 81,65 % c. P( ≥ 5)

153

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Tidak kurang dari 5 pesanan berarti x= 5,6,7.... peluangnya dapat dihitung dengan = 1- p(0)-p(1)-p(2)-p(3)-p(4) = 1-(0,0224)-(0,0851)-(0,1617)-(0,2049)-(0,1944) = 0,3315 Jadi peluangnya pada suatu hari akan diterima tidak kurang lima buah pesanan adalah 0,3315, 33,15 % d. Tidak ada pesanan berarti x=0 sehingga peluangnya adalah =p(0)= 0,0224 Jadi peluangnya pada suatu hari tidak akan diterima pesanan adalah 0,0224 atau 2,24%

6.

Taufik and Rini go to one country in Africa, They want to know about most of Africans colour. So long as they walk in Africa they dont see people have white skin, until they decided to go to one of college in Africa and to test whether there are people who have white skin in this college. Taufik think there is not people who have white skin in this college. Taufik think there no people who have white skin in this college but Rini think most of people in this college have white skin. Could you help taufik and Rini to calculate probability what they are thinking about if total students in this college 25 students and 3 of them from America who have white skin. If they want to meet 6 people in which randomly called by dean, please help Taufik and Rini to calculate what they are thinking about. a. No one has white skin b. At most people have white skin Given:

N = 25 n=6 r=3 154

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Asked:

a. P(x = 0) a.No one have skin white in this college b.P(x ≤ 1)At mostaperson have skin white in this college

.

( )=

a. P(x = 0)

.

= =

.

= 0,421304347 So, the probability that no one have skin white in this college from randomly calling 6 people by dean is 0,421304347 or 42,1304347%. b. P(x ≤ 1) = ( = 0) + ( = 1) P( x =1) =

=

.

.

= 0,446086956 P( x ≤ 1) = 0,421304347 + 0,446086956 = 0,867391303 So, the probability At most a person have skin white in this college from randomly calling 6 people by dean is 0,867391303 or 86,7391303 % 7.

Alya dan Karina sedang bermain ular tangga, Alya dan Karina saling menyiapkan strategi untuk dapat sampai ke puncak lebih dahulu, mereka menggunakan 2 dadu dengan 6 kali pelemparan, Alya menyiapkan strategi agar dapat menang dengan strategi yang ia gunakan adalah dengan nilai dadu yang berjumlah 9 harus keluar 2 kali, dadu bernilai 12 harus keluar 2 kali dan dadu 155

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) bernilai ganjil harus keluar 2kali. Dapatkah kamu membantu alya berapakah probabilita strategi yang direncanaknanya dapat terjadi ?

Dik : π1 = Dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}= π2 = dadu berjumlah 12 = {(6,6)}= π3= dadu bernilai ganjil = {(1,2), (1,4), (1,6), (2,1), (2,3), (2,5), (3,2), (3,4), (3,6), (4,1), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4), (5,6), (6,1),(6,3),(6,5)} = =

x1 = 2 x2 = 2 x3 = 2 n=6 Dit: P(2, 2, 2) Jawab: ( ,

,

)=

(2, 2, 3) =

! ! !

6! 4 2! 2! 2! 36

= 90

1 9

!

1 36

1 36

1 2

18 36

= 2,143347051 × 10

156

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi probabilita keluarnya nilai dadu yang berjumlah 9 harus keluar 2 kali, dadu bernilai 12 harus keluar 2 kali dan dadu bernilai ganjil harus keluar 2kali atau rencana Alya dapat terpenuhi ialah 0,0002143347051 atau 0,02143347051 % 8.

Dari masa lampau, memperlihatkan bahwa pada umunya dalam tiap bulan, disuatu pabrik telah terjadi kecelakaan sebanyak tiga kali. a. Distribusi apakah yang dapat digunakan dalam kasus ini? b. Berapakah peluang bahwa dalam bulan tertentu tidak akan terjadi kecelakaan? c. Terjadi kecelakaan kurang dari empat kali? Dik: λ = 3 Jawab : a. Distribusi Poisson b. P(x=0) c. P(x< 4) . !

( )=

.

b. P(x = 0) =

!

=

= 0,0498

Jadi, probabilitas bahwa dalam bulan tertentu tidak akan terjadi kecelakaan adalah 0,0498 atau 4,98 % c. Kecelakaan kurang dari 4 kali berarti x=0,1,2,atau 3 maka P(x< 4)

. !

( )=

P(0) = 0,0498 P(1) =

.

= 0,1494

P(2) =

.

= 0,2240418077

! !

157

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) .

P(3) =

!

= 0,2240418077

Jadi P(x< 4) = p(0) + p(1) +p(2)+p(3)=

= 0,0498 + 0,1494 + 0,2240418077+ 0,2240418077 = 0,6472836154

Jadi, probabilitas bahwa dalam bulan tertentu terjadi kecelakaan kurang dari 4 kali adalah 0,6472836154 or 64,72836154 %. 9.

Dari barang yang dihasilkan oleh semacam mesin ternyata 15% rusak diambil secara acak dari produksi tersebut sebanyak 30 buah untuk diselidiki. Berapa peluangnya dari barang yang diselidiki itu akan terdapat: a. Satu Rusak b. Paling sedikit satu rusak Jawab : Dik

p = probabilitas barang rusak = 15% q = probabilitas barang bagus = 85% N = 30

Dit:

a. P(x = 1)

b. P(x ≥ 1) Jawab:

a.

( )=

( = 1) =

. 0.15 . 0,85

= 30(0.15)(0.85)

= 0.0404

158

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi, peluang dari 30 buah barang terdapat satu buah barang rusak adalah 0.0404 atau 4.04% b. P(x ≥ 1) = Paling sedikit 1 rusak berarti rusaknya bisa 1, 2 bahkan semua produk yang diambil, jadi untuk mencari peluang paling sedikit 1 barang rusak dapat kita gunakan rumus: p(0) + p(1) + .....p(30)= 1 atau p(1) +p(2)+......p(30)= 1-p(0) jadi p(0)=

( = 0) =

. 0.15 . 0,85

= 1(1)(0.85) = 0.0076

Jadi P(x ≥ 1) = 1-0.0076 =0.9924 Jadi, peluang dari 30 buah barang terdapat paling sedikit satu buah barang rusak adalah 0,9924 atau 99,24%

10. Pada suatu acara seminar terdapat 5 buah doorpize yaitu 5 televisi. Namun karena kelalain dari seorang panitia 3 dari televisi tersebut jatuh sehingga televisi terebut rusak. Panitia tersebut tidak mampu mengganti televisi yang rusak dengan televisi yang baru sehingga tetap dijadikan doorprize dan untuk menutup kesalahan tersebut ia membungkus semua televisi dengan bungkus kado sehingga tidak diketahui televisi yang rusak dan televisi yang dalam keadaan baik. Pada saat pembagian doorprize ternyata ada 1 orang yang berhak mendapatkan 2 hadiah karena dia orang pertama yang datang di acara seminar tersebut. Berapakah kemungkinan bahwa 1 orang tersebut yang berhak mendapatkan 2 doorprize mendapatkan 2 televisi yang rusak? Dik:

r=3

n=2

x=2

N=5

159

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Dit: P(x=2)

( )=

. ( )=

.

=

3.1 = 0,3 10

Jadi, probabilita bahwa dari bahwa 1 orang tersebut yang berhak mendapatkan 2 doorprize mendapatkan 2 televisi yang rusak ialah 0,3 atau 30%

160

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi Normal Distribusi normal atau sering disebut dengan distribusi Gauss adalah distribusi peluang teoritis dengan variable random continue yang memiliki ciri-ciri sebagai berikut :  Berbentuk lonceng (bell-shaped) dan memiliki satu puncak pada bagian tengah distribusi. Rata-rata, median dan modusnya sama dan terletak di pusat distribusi. Luas total di bawah kurva normal adalah 1,00. Setengah dari luas di bawah kurva normal ada di sebelah kanan dari titik pusatnya dan setengah yang lain ada di sebelah kirinya..  Kurvanya simetris (symmetrical) dengan sumbu di sekitar nilai rata-rata. Jika kita memotong vertikal kurva normal pada titik pusatnya, kedua bagiannya akan menjadi pencermin satu sama lain  Kurva ini menurun secara halus pada kedua arah dari bagian tengah. Jadi distribusinya asimtotik. Kurva mendekati sumbu X tetapi tidak pernah sampai menyentuhnya. Dengan kata lain, perpanjangan ekor kurva tak hingga di kedua arahnya.  Lokasi sebuah distribusi normal ditentukan oleh rata-rata. Dispersi atau sebarannya ditentukan oleh standar deviasi

161


Penyelesaian persoalan distribusi normal dapat dilakukan dengan menggunakan rumus : Z

X  

dan tabel statistik tentang luas daerah kurva normal standar.

Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal Penyelesaian persoalan distribusi binomial yang memiliki jumlah sampel lebih dari 30 (n > 30), dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus distribusi normal : Z

X  

dengan;    n     n    1    dan terlebih dahulu disesuaikan variabel random diskritnya menjadi variable random continue dengan menggunakan faktor penyesuaian sebesar 0,5 dengan ketentuan sebagai berikut : Variabel Random Diskrit

Variable Random Continue

X a

a  0,5  X  a  0,5

a X b

a  0,5  X  b  0,5

a X b

a  0,5  X  b  0,5

162

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Contoh Soal Distribusi Normal 1. Suatu perusahaan membutuhkan waktu rata-rata 55 menit untuk memproduksi produk X dengan standar deviasi 12 menit. a. Berapa peluang produk X ini dapat diselesaikan dalam waktu antara 45-60 menit ? b. Berapa minimal waktu yang dibutuhkan dari 30% produk yang paling lama diproduksi ? Jawaban : Diketahui :

µ = 55 σ = 12

Ditanyakan :

a.

P(45< x < 60) ?

b.

Minimal waktu yang dibutuhkan dari 30% produk yang paling lama diproduksi

Jawab

:

a. P(45< x < 60)? Z1 

X 1   45  55   0,83  12

Z2 

X 2   60  55   0,42  12

Luas antara Z1- 0 = 0,2967 Luas antara Z2- 0 = 0,1628 Luas Z1-Z2 = 0,1339

Z1

Z2

0

Jadi, Peluang produk X ini dapat diselesaikan dalam waktu antara 45-60 menit adalah sebesar 13,39%

b.

163

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Luas kanan 0 = 0,5000 Luas kanan Z = 0,3000 Luas 0- Z = 0,2000

0

z

Lihat tabel Z : Z = 0,52 Z

X   X  55   0,52  12

X = (0,52)(12) + 55 X = 61,24 menit Jadi, minimal waktu yang dibutuhkan dari 30% produk yang paling lama diproduksi adalah 61,24 menit.

Contoh Soal Pendekatan Distribusi Binomial Oleh Distribusi Normal 1. Sebuah toko perhiasan yakin bahwa pemasangan iklan di sebuah stasiun televisi nasional akan meningkatkan penjualannya sebesar 10 %. Berapa probabilita bahwa dari 50 orang pengunjung sedikitnya ada 10 orang yang membeli di toko perhiasan tersebut ?

Jawaban : Diketahui :

π = 10% = 0,10 1 – π = 0,90 n = 50

Ditanyakan : Jawab

P(x ≥10) ?

:

164

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL)   n    50  0,10  5   n    1     50(0,10)(0,90)  2,12132034

x ≥10 disesuaikan atau dicontinuekan menjadi x ≥9,5 Z

X  9,5  5   2,12  2,12132034

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,4830 Luas kanan Z = 0,0170

0

Z

Jadi, probabilita bahwa dari 50 orang pengunjung sedikitnya ada 10 orang yang membeli di toko perhiasan tersebut adalah sebesar 0,0170

165

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) SOAL DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

1.

Vitamin C is one of product which is produced by C-105 Company, C-105 Company running bussiness in healthy product. The average of durability its product is 35 months and standard deviation is 5,5 months. Calculate : a. The probability of durability its product is more than 36 months? b. The probability of durability its product between 45 months and 50 months? Jawaban : Diketahui :

µ = 35  = 5,5

Ditanyakan :

a. P(x > 36)? b. P(45 < x < 50)?

Jawab : a.

Z

X   36  35   0,18  5,5

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,0714 Luas kanan Z = 0,4286 0

z

Jadi probabilita daya tahan produk lebih dari 36 bulan adalah sebesar 0,4286 atau 42,86%. b. Z1 

X 1   45  35   1,82  5,5

Z2 

X 2   50  35   2,73  5,5

166


Luas 0 – z2 Luas 0 – z1 Luas 0 – Z1 0

z1

= 0,4968 = 0,4656 = 0,0312

z2

Jadi probabilita daya tahan produk antara 45 bulan dan 50 bulan adalah sebesar 0,0312 atau 3,12%. 2.

Tentukan, a. Luas kurva distribusi normal yang dibatasi oleh 0-Z atau Z-0, jika : i. Nilai Z = 2,64 ii. Nilai Z = -0,87 b. Nilai Z bila luas kurva normalnya : iii. Sebelah kanan Z = 0,9963 iv. Sebelah kanan Z = 0,0401 v. Antara Z1 dan Z2 = 0,2573, jika luas antara 0 – Z2 = 0,4962 vi. Sebelah kiri Z = 0,6255 Jawaban : a. i. Luas 0 – Z

= 0,4959

Jadi, luas kurvanya adalah 0,4959

0

Z

ii. 167

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Luas Z – 0

= 0,3078

Jadi, luas kurvanya adalah 0,3078

Z

0

b. i. Luas kanan Z = 0,9963 Luas kanan 0 = 0,5000 Luas Z – 0 = 0,4963 Jadi, nilai Z nya adalah -2,68 Z

0

ii. Luas kanan 0 = 0,5000 Luas kanan Z = 0,0401 Luas 0 – Z = 0,4599 Jadi, nilai Z nya adalah 1,75

1.

Z

iii. Luas 0 – Z2 = 0,4962 Luas Z1 – Z2 = 0,2573 Luas 0 – Z1 = 0,2389 Jadi, nilai Z1 nya adalah 0,64

0

Z1

Z2 168

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) iv. Luas kiri Z Luas kiri 0 Luas 0 – Z

= 0,6255 = 0,5000 = 0,1255

Jadi, nilai Z nya adalah 0,32

0 3.

Z

Seorang pemilik restoran “ LunChic “ menyatakan bahwa 25 % pengunjung suatu pusat perbelanjaan memilih restoran miliknya sebagai tempat untuk makan siang. Untuk membuktikan pernyataan dari pemilik restoran, dipilihlah 100 orang pengunjung

pusat

perbelanjaan

yang

bersangkutan

untuk

mengetahui

preferensinya dalam memilih restoran untuk makan siang. Dari observasi ini, hitunglah peluang : a. Kurang dari 20 orang memilih restoran “ LunChic “ untuk makan siang b. Lebih dari 25 orang memilih restoran “ LunChic “ untuk makan siang Jawab : Diketahui :

π = 25% = 0,25 1 – π = 0,75 n = 100

Ditanyakan : Jawab

a. P(x < 20) ?

b. P (x > 25 ) ?

:

  n    100  0,25  25   n    1     100(0,25)(0,75)  4,33

a. x < 20 disesuaikan atau dicontinuekan menjadi x < 19,5

Z

X   19,5  25   1,27  4,33

169

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Luas kiri 0 Luas Z – 0 Luas kiri Z

z

= 0,5000 = 0,3980 = 0,1020

0

Jadi, probabilita bahwa kurang dari 20 orang memilih restoran “ LunChic “ untuk makan siang adalah 10,20%. b. x > 25 disesuaikan atau dicontinuekan menjadi x > 25,5

Z

X   25,5  25   0,16  4,33

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,0636 Luas kanan Z = 0,4364

0

z

Jadi, probabilita bahwa lebih dari 25 orang memilih restoran “ LunChic “ untuk makan siang adalah 43,64 %.

4.

Sebuah Bank Konvensional menyatakan bahwa jumlah nasabahnya akan mengalami kenaikan setiap hari Senin dibanding hari-hari lainnya yaitu sebesar 50%. Jika jumlah nasabah pada Senin ini adalah 120 orang, maka berapa peluang pada Senin yang lalu nasabahnya hanya maksimum 70 orang dan berapa peluang pada Senin minggu yang akan datang terdapat sedikitnya 130 nasabah bank tersebut ? Jawab : Diketahui :

π = 50% = 0,50 1 – π = 0,50 170

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) n = 120 Ditanyakan : Jawab

a. P(x ≤ 70) ?

b. P (x ≥ 130 ) ?

:

  n    120  0,5  60   n    1     120(0,5)(0,5)  5,47

a. x ≤ 70 disesuaikan atau dicontinuekan menjadi 70,5

Z

X   70,5  60   1,92  5,47 Luas 0 – Z Luas kiri 0 Luas kiri Z

0

= 0,4726 = 0,5000 + = 0,9726

z

Jadi, probabilita bahwa pada Senin yang lalu nasabahnya hanya maksimum 70 orang adalah 97,26 %.

b. x ≥ 130 disesuaikan atau dicontinuekan menjadi 129,5

Z

X   129,5  60   12,70  5,47 Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 – Z = 0,5000 Luas kanan Z = 0,0000

0

z

Jadi, probabilita bahwa pada Senin minggu yang akan datang terdapat sedikitnya 130 nasabah bank tersebut adalah 0%.

171


Mitchubeachy Corporation, holding in automotive, has average selling price of new car in Jakarta in a year about $115.000. The population standard deviation was $25.000. 100 new car is taken randomly as samples from Jakarta. a. What is the probability that the selling price was between $113.000 and $117.000? b. What is the probability that the selling price was more than $110.000? Answer: Given:

µ = 115.000  = 25.000

Determine:

a. P(113.000< x <117.000)? b. P(x >110.000)?

Answer : a. Z1 

X 1   113000  115000   0,08  25000

Z2 

X 2   117000  115000   0,08  25000

Luas 0 – Z2 Luas Z1-0 Luas Z1- Z2

Z1

0

= 0,0319 = 0,0319 + = 0,0638

Z2

So, the probability that the selling price was between $113.000 and $117.000 is 6,38%. b.

Z

X   110000  115000   0,2  25000

172

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Luas kanan 0 = 0,5000 Luas z – 0 = 0,0793 + Luas kanan Z = 0,5793

Z

0

So, the probability that the selling price was more than $110.000 is 57,93%

6.

Sebuah perusahaan percetakan mengklaim bahwa penjualan bukunya meningkat 15% setelah dilakukan promosi di suatu pameran di sebuah supermarket. Dari 100 orang pengunjung pameran pada hari minggu, berapakah peluang 12 hingga 24 orang pengunjung pameran tersebut tertarik untuk membeli buku dari percetakan tersebut ? Jawaban : Dik

:

π = 15% = 0,15 1 – π = 0,85 n = 100

Dit

:

Jwb

:

P(12 ≤ X ≤ 24) ?

P(12 ≤ X ≤ 24) di continue kan menjadi P(11,5 ≤ X ≤ 24,5)?   n    100  0,15  15   n    1     100  0,15  0,85  3,570714214

Z

 1

X

1







11,5  15  0,98 3,570714214

Z

2



X

2







24,5  15  2,66 3,570714214

Luas Z1 – 0 = 0,3365 Luas 0 – Z2 = 0,4961 + Luas Z1 – Z2 = 0,8326

Z1

0

Z2 173

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) Jadi, peluang bahwa terdapat 12 hingga 24 orang pengunjung pameran tertarik untuk membeli buku dari percetakan tersebut sebesar 0,8326 atau 83,26%. 7.

Dalam sebuah kontes bayi sehat tercatat bahwa berat bayi dari masing-masing peserta kontes tersebut memiliki rata-rata 4,70 kg dan standar deviasi 0,40 kg. Jika 25 peserta dipilih secara random, Tentukan: a. Probabilita berat bayi paling sedikit 4,6 kg? b. Probabilita berat bayi paling berat 4,9 kg? Jawaban : Diketahui :

µ = 4,7  = 0,4

Ditanyakan :

a. P(x ≥ 4,6)? b. P(x ≤ 4,9)?

Jawab : a. Z 

X   4,6  4,7   0,25  0,4 Luas kanan 0 = 0,5000 Luas Z - 0 = 0,0987 + Luas kanan Z = 0,5987

Z

0

Jadi probabilita berat bayi paling sedikit 4,6 kg adalah 59,87%

174

MODUL STATISTIKA I – 2013 (INTERNAL) b.

Z

X   4,9  4,7   0,5  0,4 Luas 0 – Z Luas kiri 0 Luas kiri Z

0

= 0,1915 = 0,5000 + = 0,6915

z

Jadi probabilita berat bayi paling berat 4,9 kg adalah 69,

175


APPENDIX

176


177

MODUL STATISTIKA I 2013 (INTERNAL) MODUL STATISTIKA I

Recommend Documents