MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ studijní opora

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství

MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ studijní opora

Richard Fabík

Ostrava 2013

Recenzent: doc. Ing. Radim Kocich, Ph.D.

Název: Autor: Vydání: Počet stran:

Modelování tvářecích procesů doc. Ing. Richard Fabík, Ph.D. první, 2013 73

Studijní materiály pro studijní program Metalurgické inženýrství na Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství. Jazyková korektura: nebyla provedena. Studijní opora vznikla v rámci projektu OP VK: Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304 © Richard Fabík © VŠB – Technická univerzita Ostrava ISBN 978-80-248-3362-0

Předmluva Studijní opora k předmětu Modelování tvářecích procesů je určena především studentům kombinované formy studia. V kombinované formě studia je mnohem menší podíl přímé kontaktní výuky, což činí toto studium pro studenty mnohem obtížnějším. Tato studijní opora je pomocníkem, který má tento handicap alespoň jistým způsobem eliminovat. Nejedná se tedy o nová skripta, těch existuje dost. Studijní opora je určitou náhradou, je-li to možné, za chybějící přímou výuku a mezičlánkem k následnému studiu vlastní odborné literatury, ať již to budou skripta nebo jiné publikace. Při psaní studijní opory jsem se snažil o co největší srozumitelnost textu. Té není možné dosáhnout, alespoň podle mého názoru, bez určitých zjednodušení, omezení a někdy i nepřesností. Pokud by někomu připadalo, že zjednodušení je příliš mnoho, předem se omlouvám. Ale mé pedagogické zkušenosti z výuky tohoto předmětu mne přivedly k výsledku, kterým je právě tento text. I přes pečlivou kontrolu textu je téměř jisté, že jsem se v něm nevyhnul chybám, překlepům apod., možná i chybám věcným. Budu vám vděčný, když mě na ně upozorníte, abych je mohl opravit. Buď přímo, nebo mailem na adresu: [email protected]. Přeji vám všem, kdo budete studijní oporu využívat, hodně sil ke studiu! Autor

1

MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ

Pro předmět Modelování tvářecích procesů 3. semestru navazujícího magisterského studia studijního oboru Moderní metalurgické technologie jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu. Prerekvizity Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu Teorie tváření, Válcování a Kování. Cíle předmětu a výstupy z učení Předat studentům znalosti z oblasti matematického modelování tvářecích procesů. Objasnit základní matematické pozadí metody konečných prvků. Na příkladech z praxe vysvětli inženýrsko problémový přístup k matematickému modelování. Po prostudování předmětu by měl student být schopen: výstupy znalostí:  student bude schopen vysvětlit podstatu metody konečných prvků  student bude umět definovat a stanovit okrajové a počáteční podmínky při matematickém modelování tvářecích procesů  student bude schopen diskutovat o možnostech a úskalích použití metody konečných prvků při modelování vybraných tvářecích procesů výstupy dovedností:  student bude umět vytvořit simulaci v programu Forge 3D  student bude umět pracovat s výsledky simulací v programu Forge 3D Pro koho je předmět určen Předmět je zařazen do magisterského studia oboru Moderní metalurgické technologie studijního programu Metalurgické inženýrství, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity. Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit, proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná struktura.

1

PRŮVODCE STUDIEM Studijní opora je rozdělena do osmi velkých celků – kapitol. Většina z nich se dělí na menší celky – podkapitoly. Každá kapitola je uvedena cíly vyjádřené pomocí dovedností (kompetencí), které byste studiem měli získat.

Cíl:

Po prostudování této kapitoly budete umět:

 Zde jsou uvedeny cíle, kterých máte dosáhnout po prostudování této kapitoly – konkrétní dovednosti, znalosti Za cíly následuje podrobný obsah kapitoly, který slouží pro rychlejší orientaci při studiu.

Obsah kapitoly U každé podkapitoly je uveden orientační čas ke studiu. Čas vám může sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu či kapitoly. Někomu se čas může zdát příliš dlouhý, někomu naopak. Jsou studenti, kteří se s touto problematikou ještě nikdy nesetkali a naopak takoví, kteří již v tomto oboru mají bohaté zkušenost

Čas ke studiu: x hodin Jak byste mohli se studijní oporou pracovat? Základním učebním celkem jsou podkapitoly číslované např. 2.1, 2.2, 3.1 atd.  Na začátku kapitoly jsou uvedeny nové důležité pojmy, buď s definicí, nebo je definice uvedena později v textu podkapitoly. Na důležité pojmy v textu, jakož i na důležité vzorce budete upozorněni grafikou

Pojmy (vzorce) k zapamatování Klíčové pojmy a vzorce, jejichž znalost je podmínkou absolvování předmětu  Zkuste si podkapitolu celou přečíst.

Výklad  Pokud jsou k ní multimédia – animace, videa – podívejte se na ně.

CD-ROM Informace o doplňujících animacích, videosekvencích apod., které si můžete vyvolat z CD-ROMu připojeného k tomuto materiálu

1

 Většinu obrázků, zejména schémata a diagramy, si zkuste sami od ruky nakreslit.  Jsou-li v podkapitole řešené příklady, vyřešte je tak, že je přepíšete a výpočty provedete sami.

Řešený příklad Zadání a řešení praktického příkladu jako součást výukového textu.  V textu se mohou vyskytovat i následující prvky:

Opakování z minulých ročníků V této opoře navazujeme na látku probíranou v předmětech Základy progresívních konstrukčních materiálů a Nauka o materiálu I. Pro snazší pochopení probírané látky bude vhodné, když si některé pojmy a fakta připomenete.

Odměna a odpočinek Ve chvílích nejvyššího vypětí přichází zasloužená odměna a odpočinek

Korespondenční úkol Zadání domácí úlohy, testu apod. k odevzdání tutorovi a hodnocené v rámci kurzu.

Zajímavost Zajímavost, vztahující se k probírané látce.  Pak se podívejte na shrnutí podkapitoly a zkuste si zodpovědět, zda vám toto shrnutí něco říká.

Σ

Shrnutí Na závěr podkapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy a myšlenky, které si v ní máte osvojit. Pokud něčemu z toho ještě nerozumíte, vraťte se k tomu ještě jednou.

 Orientačně se můžete podívat na otázky a úkoly k řešení a pokuste se formulovat odpovědi alespoň na některé z nich.

2

Otázky Pro ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických otázek.

Úlohy k řešení Protože většina teoretických pojmů tohoto předmětu má bezprostřední význam a využití v technologické praxi, jsou Vám nakonec předkládány i praktické úlohy k řešení. V nich je hlavní význam předmětu a schopnost aplikovat čerstvě nabyté znalosti při řešení reálných situací hlavním cílem předmětu. Pokud vám to všechno napoprvé půjde, bude to vynikající, ale spíše to nepředpokládám. Tak se pusťte do četby znovu, dělejte si poznámky u toho, co považujete za podstatné. Znovu se podívejte na animace a videa a řekněte si, zda jim rozumíte. Znovu vyřešte řešené příklady, ale nejlépe tak, že se podíváte jen na zadání a příklad zkusíte vyřešit sami. Jen pokud vám to nepůjde, podívejte se na postup do studijní opory. Znovu si přečtěte shrnutí pojmů a zkuste je popsat vlastními slovy. Pak se můžete pustit do odpovědí na otázky. Otázky jsou formulovány jednoduše, tak abyste odpověď našli v textu. Odpovídejte stručně písemně!!! Odpovědi na otázky jsou v Klíči, který je vždy na konci velkých kapitol. Odpovědi v Klíči srovnejte se svými odpověďmi. Odpovědi v Klíči a vaše odpovědi se nemusí přesně shodovat, ale měly by mít stejný význam.

Klíč k řešení Výsledky zadaných příkladů i teoretických otázek jsou uvedeny v závěru každé hlavní kapitoly. Používejte je až po vlastním vyřešení úloh, jen tak si samokontrolou ověříte, že jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli. Pak můžete přistoupit k Úlohám k řešení. Pokud vás daná problematika zaujala a chcete do ní proniknout hlouběji, využijte odkazy uvedené na konci kapitoly.

Další zdroje Seznam další literatury, www odkazů ap. pro zájemce o dobrovolné rozšíření znalostí popisované problematiky. Budete-li mít během studia problémy, s nimiž si nebudete vědět rady, bez obav se na mne obraťte mailem ([email protected]) nebo na telefon (59 732 4456), nebo přímo na pedagogy, jejichž jména se dozvíte na úvodní přednášce.

3

Principy matematické modelování

OBSAH 1.

PRINCIPY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ

2.

METODA KONEČNÝCH PRVKŮ

36

3.

OPERACE TVÁŘENÍ KOVŮ JAKO SYSTÉM

83

4.

TERMOMECHANICKÁ ANALÝZA VE TVÁŘENÍ

105

5.

MATEMATICKÉ MODELY

131

6.

KLÍČ K OTÁZKÁM A ÚLOHÁM K ŘEŠENÍ

171

1

1


1. PRINCIPY MATEMATICKÉHO MODELOVÁNÍ Cíl:      


Objasnit pojmy základní pojmy z oblasti matematického modelování Navrhnout vstupy a výstupy při řízení tvářecího procesů Porovnat možnosti fyzikálního a matematického modelování Vysvětlit základní postup při matematickém modelování Stanovit neznámé veličiny a okrajové podmínky pro nejjednodušší úlohy Odvodit model pro 1D úlohu pružnosti

Obsah kapitoly 1 1.1 Matematické modelování v průmyslovém výzkumu a vývoji 1.2 Základní principy matematického modelování 1.1 Matematické modelování v průmyslovém výzkumu a vývoji

Čas ke studiu: 0,5 hodiny Pojmy k zapamatování CAD, CAE, CAM, model, omezující podmínky, optimalizace.

Výklad Na konci 70 a na začátku 80 let minulého století se výrazně zvýšilo využití CA (computer aided, počítačem podporovaných) technik (CAD – design, návrh, CAE – engineering, projektování, CAM – manufacturing, výroby, atd.) v průmyslu tváření kovů. Bylo jen otázkou času, rozšíření těchto technologií na oblast simulace a řízení procesů. Hlavním cílem průmyslového výzkumu a vývoje je optimalizace výrobních prostředků při výrobě daného produktu. Optimalizační kritéria mohou být různá, záleží na požadavcích, které jsou na výsledný produkt kladeny. Obecně platí, že stanovení vhodných optimalizačních kritérií musí předcházet maximální porozumění výrobnímu procesu. V technologii tváření je rozhodující znalost deformačních mechanismů probíhajících v daném procesu tváření. Bez znalosti vlivu proměnných jako jsou tření, materiálové vlastnosti, geometrie nástrojů na mechaniku procesu, je nemožné optimálně navrhnout tvar nástrojů a konfiguraci strojů, případně předvídat vznik defektů a vývoj mikrostruktury. Z provozních (poloprovozních) experimentů či z fyzikálního modelování (laboratorní válcování, plastometry) prakticky nikdy nedokážeme stanovit přesné časové průběhy termomechanických veličin, jejich distribuci např. po průřezu výrobku pak nejsme schopni stanovit téměř v žádném případě. Proto má

-1-


procesní modelování pomocí počítačové simulace rostoucí význam v současné technologii tváření kovů. Blokový diagram návrhu a řízení procesu (viz. Obr. 1.1) přehledně zobrazuje vstupní parametry a omezující podmínky, které vstupují do analýzy a optimalizace procesu [01]. Jejich podrobný popis bude uveden v následujících kapitolách.

Obr. 1.1.

Σ

Blokový diagram – návrh a řízení procesu tváření kovů [01]

Shrnutí Jen důkladná znalost všech proměnných do procesu vstupujících a jejich vlivu na proces tváření nám umožní provádět jeho optimalizaci. S rozvojem výpočetní techniky nám v tom hodně pomáhají specializované programy.

-2-


1.2 Základní principy matematického modelování

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování CAD, CAE, CAM, model, omezující podmínky, optimalizace.

Výklad 

Úvod

Existují dva základní způsoby modelování: modelování experimentální, které však není možno uskutečnit vždy a modelování teoretické, které zpravidla vyžaduje jisté zjednodušující předpoklady. Teoretické modelování lze provádět dvěma způsoby: analyticky (řešení je přesné, ale je dosažitelné jen pro nejjednodušší úlohy) nebo numericky (přibližně) s využitím výpočetní techniky (tento způsob je označován jako matematické modelování). Základní postup při matematickém modelování ukazuje následující schéma na obr. 2.1. V každém z naznačených kroků se můžeme dopustit chyby!

Obr. 1.2. Základní postup při matematickém modelování 

Vazby mezi veličinami obecného matematického modelu

Matematický model obvykle reprezentují diferenciální rovnice. Jde v něm o definování důležitých veličin a jejich vzájemných vztahů. Obecně lze vzájemné vazby mezi veličinami popsat jako na obr. 1.3.

Obr. 1.3. Vazby mezi veličinami obecného matematického modelu kde

u (unknown) je neznámá (teplota; posunutí),  = du/dx (teplotní spád, deformace),

-3-


f() (tepelný tok, Furierův zákon, napětí, Hookův zákon pro pružné deformace, nebo např. Hollomonova pro plastické deformace), f symbolizuje vnitřní zdroje (vnitřní zdroj tepla, gravitační síla) a d/ dt = f. V obecném případě tedy hledáme řešení Poissonovy rovnice:

Vzorec k zapamatování ,  u  f v  s homogenní Dirichletovou okrajovou podmínkou u  0 na



(1.1)

,

(1.2)

kde  je polyedrická oblast v R d u  1 s hranicí  ,

u 

 u  u  ...  2 a f  L2  je 2 x1 xd 2

2

zadaná funkce. Analytické řešení této úlohy není obecně známo, a tak nám nezbývá, než ji řešit pouze přibližně např. pomocí metody konečných prvků. Uveďme si nyní dva příklady:

Příklad 1

Úloha vedení tepla v jednorozměrném prostoru (1D) Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a. Povrch tyče s výjimkou podstav válce je izolován a nevede žádné teplo (q = 0).

Hlavní veličiny: • • •

teplota T (konstantní v řezech) hustota tepleného toku q, množství tepla na jednotku obsahu průřezu za jednotku času. teplotní spád 1,2 = (T1 – T2)/(x1-x2)

bude-li (x1→x2) pak  x  lim l 0

T ( x  l )  T ( x)  T ( x) l

-4-


Příklad 1 - pokračování

Furierův zákon vedení tepla (hustota tepelného toku je úměrná gradientu teploty):



T q x

kde l je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1], q je hustota tepelného toku [W.m-2]. Vznik vnitřního tepla (teplo vzniklé např. deformací, fázovou transformací, průchodem proudu a pod.) x2

x2

x1

x1

Q( x1 , x2 )   a  f ( x)dx   a  R  I 2 dx

Kde: a je průřez tyče (m2) R je elektrický odpor [W] I je elektrický proud [A] Okrajové podmínky v našem případě můžeme mít buď konstantní teplotu nebo tok tepla.

T (0)  Tˆ T (0)  Tˆ nebo q(l )  qˆ q(l )  qˆ Slovně: teplota T v bodě 0 je rovna nějaké konkrétní hodnotě Tˆ , hustota tepelného toku q procházejícího bodem l je rovna konkrétní hodnotě qˆ . Matematický model (model stacionární – veličiny se nemění v čase) Základní princip: Změna množství tepla v libovolné části tyče je nulová.

 q( x)  Q  0  (  T ( x))  Q v 0, l Nelineární model:

  f (T )

-5-


Příklad 2

1D úloha pružnosti Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a, která je na jednom konci pevně uchycena (např. v čelistech tahového stroje). tyč je namáhána silou F ve směru délky.

Hlavní veličiny: •

posunutí u, příčné řezy se nedeformují!

•

napětí σ, síla působící na jednotku plochy

•

poměrná deformace 

 x  lim h0

h  u( x  h)  u(h)  h  lim u( x  h)  u(h)  u( x) h

h0

h

Hookův zákon (napětí je přímo úměrné deformaci):

  E  kdeE je modul pružnosti v tahu [MPa], Vnitřní zdroje (gravitační síla).

f  g kde f je gravitační síla na jednotku objemu [N.m-3] r je hustota [kg.m-3] g gravitační zrychlení [m.s-2] Okrajové podmínky u (0)  0  (l )  ˆ

Slovně: posunutí u v bodě 0 je rovno 0 (tyč je pevně držena čelistmi stroje). Na konec tyče v bodě l působí konkrétní hodnota napětí ˆ . Matematický model (model stacionární – veličiny se nemění v čase)

  ( x)  f  0  ( E   ( x))  f

v 0, l

-6-




Odvození stacionárního matematického modelu 1D úlohy pružnosti

Z tyče z příkladu 2 si vytkneme nekonečně krátký element (viz. obr. 1.4.). Nyní zapíšeme součet sil, které na daný element působí.

Obr. 1.4. Blokový diagram – návrh a řízení procesu tváření kovů [01] Součet sil působících na vybraný element musí být roven nule.

   S    d  S  f x  dx  S  0

,

(1.3)

Protože vytknutý element je nekonečně malý je i jeho hmotnost blízká nule. Pro výpočet vlivu gravitace tak musíme použít f x  což je gravitační síla na jednotku objemu [N.m-3]. Úpravou dostaneme tvar:      d  f x   0 , dx

(1.4)

a tedy:

d   f x  . dx

(1.5)

Pokud dosadíme za  z Hookůva zákona, že ,   E   dostaneme tento tvar: d E      f  x  dx

Dosadíme za  

(1.6)

du a dostaneme finální tvar: dx

d  du  "  E     f x  neboli E  u   f x  dx  dx 

(1.7)

-7-


Příklad 3

Analytické řešení stacionární 1D úlohy pružnosti Řešíme diferenciální rovnici druhého řádu (1.7) Rovnici integrujeme: x du E    f    d  C1 , dx l 1 Pro stanovení konstanty C1 použijeme okrajovou podmínku:  (1)  P (napětí v bodě 1 je rovno P) V bodě 1 pak platí: l  du  E       f    d  C1  dx 1 1

P  C1 Dosadíme do rovnice a upravíme: x x du du 1 P E     f    d  ,    f    d  P  dx dx E 1 E 1 Integrujeme podruhé: x v 1 P u     f    d  dv   x  C2 , E 01 E u(0)  0 (posunutí v bodě 0 je nulové) V bodě 0 platí: u0  0  0  C2 Tedy finální rovnice popisující posunutí libovolného bodu tyče v závislosti na jeho poloze vypadá takto: x v 1 P u     f    d  dv   x E 01 E Nyní dosaďme za f   nějakou konkrétní hodnotu, máme dvě smysluplné možnosti: 1. Pokud nepůsobí gravitace bude funkce : f    0 P a tedy hledaná funkce má tvar přímky: u   x E 2. Pokud působí gravitace bude funkce : f      g  Fg / V  C , kde Fg  m  g x v

1 P u     C  d  dv   x E 01 E x

v

x

1 P 1 P u     C  x d   x     C  v  C d   x E 0 E E 0 E 1 x

 1  v2 P u    C   C  v    x E  2 0 E A tedy hledaná funkce má tvar paraboly:  P 1  x2 u     C   C  x    x E  2  E

-8-


Σ

Shrnutí Existuje modelování experimentální a teoretické, každé má svoje výhody a omezení. Teoretické modelování s využitím numerických metod se nazývá matematické modelování. Postup při matematickém modelování nějakého jevu jde od matematického modelu (např. parciální diferenciální rovnice), přes řešitelný matematický model (soustava n rovnic o n neznámých získaná např. pomocí metody konečných prvků), následuje numerické řešení na počítači a zobrazení řešení. V každém kroku může dojít k chybě, úlohou inženýra je potom porovnat výsledek a zkoumaný jev zda výsledky popisují realitu.

Otázky ke kapitole 1 1.1.Uveďte příklad matematického modelu a řešitelného matematického modelu při tváření kovů. 1.2.Znáte nějakou numerickou metodu pro řešení soustavy lineárních rovnic? 1.3.K čemu slouží okrajové podmínky? 1.4.Jak lze popsat vztah mezi napětím a deformací? 1.5.jaký je rozdíl mezi stacionární a nestacionární úlohou? 1.6.Jaké zjednodušení bylo použito v přkladě 1 a lze tohoto zjednodušení v praxi dosáhnout? 1.7.Jaké zjednodušení bylo použito v přkladě 2 a lze tohoto zjednodušení v praxi dosáhnout? 1.8.Definujte poměrnou deformaci pomocí posunutí.

Úlohy k řešení ke kapitole 1 1.1. Analyticky řešte 1D úlohu vedení tepla z příkladu 1. 1.2. Načrtněte výsledek příkladu 3 do grafu u = f(x) pro obě varianty.

Další zdroje [01] [02] [03] [04]

KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element method. Oxford University Press, Inc. New York 1989, ISBN 0-19-504402-9. REKTORYS, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. 6. vyd., Academia Praha 1999, ISBN 80-200-0714-8. WAGONER, R., CHENOT, J. Metal Forming Analysis. Cambridge University Press, Syndicate of the University of Cambridge 2001, ISBN 0 521 64267 1.

LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical Simulation of the Properties of Hot Rolled Products, Elsevier Science Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4

-9-

Metoda konečných prvků

2. METODA KONEČNÝCH PRVKŮ Cíl:




Hovořit o historii metody konečných prvků



Vysvětlit základní princip metody konečných prvků



Popsat vliv velikosti prvku na řešení matematické úlohy.



Sestrojit bázovou funkci, odvodit její rovnici a derivaci.



Sestavit matici tuhosti pro 1D úlohu pružnosti



Vysvětlit úskalí numerického řešení soustavy lineárních rovnic.

Obsah kapitoly 2 2.1 Úvod 2.2 Metoda konečných prvků v praxi 2.3. Princip metody konečných prvků 2.1.

Úvod

Čas ke studiu: 0,5 hodiny Pojmy k zapamatování Metoda konečných prvků MKP, variační principy, triangulace, matice tuhosti

Výklad Metoda vznikla v období kolem roku 1956 ve výzkumném ústavu aeronautické a kosmické mechaniky v Ohiu, USA (Wright Paterson Air Force Base). Výzkumný tým byl veden prof. R.W. Cloughem a spolupracovali zejména R.L. Melosh, H.C. Martin, J.L. Tocher a další. Výzkum a vývoj uvedené numerické metody vyvolal striktní požadavek „měsíčního“ programu Apollo v oblasti vývoje a konstrukce nosných raket. V daném čase a při známém objemu financí (3 miliardy) se po rozboru zjistilo, že se pomocí experimentu nedá úkol splnit. Zbyla jediná cesta a sice vývoj takové numerické metody, která by výpočty potřebné pro projekty nových typů raket a dalších systémů projektu Apollo zvládla. Výsledky výzkumu byly dále intenzívně využívány na uvedené vojenské základně při projektech letadel, ponorek, raket všech typů, atd. Tato skutečnost způsobila utajení detailů metody tak, že programy a teoretické články ležely nejméně deset roků ve vojenských sejfech. První konference v Ohiu

- 10 -


(1965 a 1968) uváděly jen kusé informace. Další vývoj byl pak často poznamenán četnými duplicitami v odvození základních "nástrojů" metody (uvádí se, že deskový trojúhelníkový prvek odvodilo na sobě nezávisle aspoň 7 autorů).

Zajímavost Inženýři s metodou dlouhé roky úspěšně počítali, než matematikové dokázali konvergenci metody a vlastně posvětili desetileté výpočtářské úspěchy. V civilním sektoru se nejbouřlivěji metoda konečných prvků (MKP) rozvíjela v letech 1965-1975. Prvním propagátorem a neochvějným zastáncem metody byl v ČSFR prof. V. Kolář, DrSc. z Brna, který také dosáhl značného mezinárodního uznání za programy řady NE. Pomocí MKP se dnes řeší celá řada úloh, jejichž realizace nebyla dosud možná a to nejen v oblasti mechaniky spojitých těles či soustav. Svou obecnou matematickou formulací umožňuje MKP řešit problém: mechaniky hornin, proudění kapalin a plynů, šíření tepla a záření, stacionárních a nestacionárních elektromagnetických polí atd. Dokonce jsou známy pokusy o řešení sociologických úloh a modelování ekonomických problémů. O MKP má smysl hovořit pouze v souvislosti s nasazením na počítačích - směle se dá říci, že metoda je produktem doby moderních počítačů. V současné době jsou to pro zajímavost vědeckotechnické výpočty meteorologů, které mají největší požadavky na velikost a rychlost počítačů tak, aby předpověď počasí pro celou zeměkouli byla vypočítána do dvou hodin po shromáždění naměřených dat. Metoda konečných prvků (MKP) je v současné době považována za nejefektivnější numerickou metodu pro řešení problémů matematické fyziky, tj. problémů popsaných diferenciálními či integrálními rovnicemi nejrůznějších typů, systémy těchto rovnic, variačními nerovnicemi apod. Typickým příkladem jsou parciální diferenciální rovnice popisující elektrický, magnetický nebo gravitační potenciál, Schrödingerova rovnice, rovnice vedení tepla, systém Maxwellových rovnic, nerovnice pro kontakt dvou pružně plastických těles atd. Název metody zdůrazňuje skutečnost, že základním stavebním kamenem je prvek konečných rozměrů narozdíl od infinitesimálního pohledu, který vychází z představy rovnováhy na nekonečně malém elementu. Aplikační možnosti MKP vedly k bouřlivému vývoji software pro řešení pestrého spektra technických a vědeckých úloh. Celý výpočetní proces totiž může být podstatně automatizován, tj. generování triangulací, sestavování matic tuhosti, řešení vzniklých soustav algebraických rovnic, grafické znázornění výsledků apod. lze svěřit počítači. Další velkou předností MKP je, že umožňuje dokonale popsat vyšetřovanou oblast, což nebylo možné u klasických metod (např. metoda kolokací či metoda sítí). Pro teoretickou numerickou analýzu (existence řešení, důkazy konvergence, odhady chyb atd.) je výhodné, že se MKP většinou opírá o fyzikální variační principy. To jednak umožňuje využívat efektivních nástrojů funkcionální analýzy a také nevyžaduje dodatečných předpokladů na vyšší hladkost řešení jako u klasických metod.

- 11 -


Σ

Shrnutí Metoda konečných prvků (finite element method FEM) je už poměrně stará, obrovská rozmach nastal až s rozšířením PC. Metoda se používá pro řešení obrovského spektra inženýrských úloh díky celé řadě specializovaných programů.

2.2.

Metoda konečných prvků v praxi

Čas ke studiu: 0,5 hodiny Pojmy k zapamatování Variační principy, numerické metody, preprocessing , processing a postprocessing, okrajové podmínky, hustota sítě, typ prvku

Výklad   





Metoda konečných prvků jako vědní obor V současnosti je MKP široce a podrobně rozpracovávaný vědní obor obsahující tyto části: teoretická: formulace variačních principů, odvozování vztahů pro různé typy prvků atd. matematická: problematika vhodných numerických metod, výběr algoritmů, hledání rychlých algoritmů (např. 2,5D metody), důkazy existence a konvergence řešení, odhad chyby řešení atd. počítačová:  preprocessing - generování vstupních dat, grafické zobrazení členění, vstupní data, okrajové podmínky, zatížení, opravy a úpravy dat atd.  processing - výpočet matic prvků, sestavení matic celého systému, sestavení maticových rovnic a jejich řešení atd.  postprocessing - výpočty závislých parametrů, výstupní soubory, grafické znázornění výsledků, výstupy výsledků na periferie atd. inženýrsko problémová: využití možnosti MKP pro konkrétní inženýrské úlohy tj. dělení tělesa na prvky – volba hustoty sítě, výběr typu prvku, výběr vhodného prvku pro danou úlohu, zadání potřebných vstupních údajů (okrajové a počáteční podmínky), volba forem výstupů (isoplochy, grafy) atd.

První dvě části ponechme matematikům, třetí částí se zabývají programátoři firem vyvíjejících simulační software. Zato poslední část v předchozím výčtu, bude náplní této studijní opory. Aplikace MKP programů na reálné technologické problémy je často velmi náročná, neobejde se bez hluboké znalosti příslušného vědního oboru (hledání a definování vazeb mezi jednotlivými vstupy), ale potřebné je rovněž porozumět základním principům metody (schopnost odhadnout chybu výpočtu a pod).

- 12 -




Použitelnost MKP v praxi

MKP je velmi úzce provázána s výpočetní technikou a softwarovým inženýrstvím. Její robustnost a univerzalita je podmíněna nebývalým rozsahem zpracovávaných dat a nároky na počet operací. Použití MKP v ručním (počítačem nepodporovaném) výpočtu je prakticky nemožné. Programové aparáty metody konečných prvků mají obvykle dva základní typy programů:  Program provádějící vlastní výpočet - numerické jádro  Programy pro přípravu vstupních dat a zpracování výsledků - preprocesor a postprocesor Hlavními požadavky kladenými na numerická jádra jsou: vybavenost, spolehlivost, robustnost, výkon:  Vybavenost vyjadřuje požadavek uživatele, aby v programu byly implementovány úlohy, které uživatel potřebuje. Tento požadavek bývá naplňován buď snahou po maximální univerzalitě, nebo naopak úzkou specializací.  Spolehlivost znamená, že všechny partie programu jsou ověřovány a testovány a jsou fyzikálně i matematicky správně implementovány. Jedním z atributů spolehlivosti je dlouhodobý vývoj a zpětná vazba mezi uživateli a výrobcem programu. Praktická zkušenost ukazuje, že při dobrém počátečním návrhu lze numerická jádra udržovat a vyvíjet desítky let. Většina implementovaných procedur je v takovém produktu verifikována nejen u výrobce, ale také desítkami a stovkami výpočtů u uživatelů programu.  Robustností se míní na jedné straně kvalita samotného kódu, minimalizace výskytu programátorských chyb, na druhé straně jasný a srozumitelný návrh rozhraní, který minimalizuje nebezpečí nedorozumění mezi programátorem a uživatelem, srozumitelný systém varování a chybových hlášení, dostatečně podrobný protokol o úloze a v neposlední řadě kvalitní dokumentace.  Výkon je prvořadým požadavkem, ale neměl by být dosahován za cenu kompromisů v plnění předchozích tří. U MKP roste náročnost výpočtu zhruba s kvadrátem až třetí mocninou rozsahu úlohy, takže výkon programu spolu s výkonem použité výpočetní techniky jsou často limitujícím faktorem, který určuje koncepci MKP modelování. Požadavky na pre a postprocesory jsou různorodější a více závislé na oboru a typu úlohy. Ve strojírenských aplikacích MKP je v současnosti standardem podpora geometrického modelování a automatizované generování MKP sítě do geometrických šablon. Běžným požadavkem jsou i m p o r t y geometrických modelů z CAD programů. V některých případech dochází k užšímu propojování CAD programů s MKP preprocesory i numerickými jádry, takže rozdíly mezi CAD programy a MKP se zmenšují1. V oblasti postprocesingu je samozřejmým požadavkem vykreslování výsledných polí v různých variantách barevně

1V

současné etapě existují MKP preprocesory vybavené geometrickým modelářem podporujícím hiearchickou výstavbu modelu jako sestavy jednotlivých částí (samostatných těles), která jsou popsána sledem operací a podporují dědičnost, možnost potlačovat a obnovovat jednotlivé vlastnosti a další vymoženosti běžné v CAD. Řada CAD programů má moduly pro generování MKP sítí, zadávání

- 13 -


odstupňovaných isoploch, generování animací vývoje deformace i ostatních veličin, vykreslování závislostí výsledných veličin na čase v daném místě nebo na poloze podél definované křivky do grafů. Standardem jsou transformace složek vypočtených vektorových a tensorových polí do zvolených souřadných systémů. Zpracování vypočtených dat např. z hlediska vývoje mikrostruktury je obvykle řešeno mimo rámec standardního postprocesoru, ale řada programových aparátů MKP nabízí dobře integrované moduly. 

Mýty a pověry o MKP Z hlediska matematiky představuje metoda konečných prvků (MKP)  v širším smyslu numerickou metodu řešení (parciálních) diferenciálních rovnic (v kontinuu).  v užším smyslu jen techniku diskretizace definičního oboru hledaných funkcí (techniku diskretizace kontinua). Vlastní podstatou řešení je pak některá z variačních metod.

V technické praxi se ukázalo, že MKP je velmi silná při řešení úloh mechaniky poddajných těles. V průběhu poslední třetiny dvacátého století se MKP stala téměř monopolním prostředkem numerické analýzy mechanických soustav poddajných těles. Je implementována v řadě inženýrských programových prostředků: v čistě analytických aplikacích (tradiční „velké MKP balíky" ADINA, NASTRAN, ANSYS, ABAQUS, MARC...), v programech specializovaných na různé konkrétní technické problémy - simulace havárií, simulace technologických procesů (programy řady Pam, např. Pam-Crash, PamStamp, Pamp-Cast, konkrétně ve tváření pak programy Deform, Forge, FormFEM, apod.)) a konečně i v systémech CAD jako prostředek pro rychlé návrhové výpočty (Pro-Engineer, Promechanika ...). V posledních dvou případech bývá často vlastní MKP ukryta „někde uvnitř programu“ a uživatel s ní ani nepřijde do styku. V rámci průmyslových aplikací vznikla v souvislosti s MKP řada předsudků a mýtů. 

Nejnebezpečnějším mýtem je „slepá" víra, že vypočtené výsledky jsou správné.



Výpočet MKP je věrohodnější než analytický výpočet.



Výpočet MKP je rychlejší než analytický výpočet.



Zavedení MKP ve firmě zlevní vývoj a konstrukci.



Zavedení MKP vede ke zlepšení technologie.

Tyto výroky nejsou vyslovenými nepravdami, ale neplatí univerzálně: 

Za správnost výsledků ručí výpočtář, nikoli metoda. Metodu lze použít nevhodným způsobem jak z hlediska vlastního modelování mechanické soustavy (např. rozhodování zda užít 1D, 2D či 3D kontinuum, skořepiny, nosníky, tuhoplastický nebo elasticko-plastický materiálový model), tak i z hlediska použitých výpočtových postupů - lineární či nelineární, statický či dynamický.

- 14 -




Např. při aplikaci výsledků výpočtu v odhadu životnosti cyklicky zatěžovaného tělesa může být analytický výpočet, který odpovídá dané normě výpočtu poškození a způsobu, kterým byla získána materiálová data, přesnější i rychlejší.



Vlastní výpočet mnohdy je rychlejší, ale tvorba modelu bývá velmi náročná.



Často se MKP ve firmě zavádí tak, že se nakoupí program. Využívání programu ale vyžaduje kvalifikované pracovníky. S tím ovšem management nepočítal. Někdy se dokonce stane, že program vůbec není nainstalován. Běžněji je používán ve volných chvílích, kdy se pracovníkovi podaří se „utrhnout“ od důležitějších povinností. V takových případech je levnější nekupovat program, ale výpočty.



Platí to, co v prvním bodě. Za kvalitu výpočtu ručí technolog. Na základě nekvalitních výpočtů nelze zlepšovat technologie.

Obecně platí, že v průmyslových aplikacích je MKP prostředkem, nikoli cílem. Z tohoto hlediska je třeba vždy zvažovat nejen to, zda MKP vůbec použít, ale také to, jak ji použít.

Σ

Shrnutí Problematika spojená s MKP je velmi rozsáhlá, vás jako budoucí uživatele však zajímá jen její inženýrsko-problémová část. Naštěstí máme k dispozici celou řadu programů na bázi MKP a pak jen v preprocesoru připravíte síť a zadáte počáteční a okrajové podmínky v postprocesoru potom vyberete a zobrazíte výsledek, který má k z pohledu řešené problematiky nejlepší vypovídací schopnost. Základní pravidlo vaší práce pak zní, slepě nevěřit ve správnost výsledků.

2.3.

Princip metody konečných prvků

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Element – prvek, uzel, diskretizace, síť, funkcionál, variace, bázová funkce, matice tuhosti

Výklad Metoda konečných prvků, na níž je založena většina simulačních programů dneška, patří mezi tzv. metody variační. Tyto metody vznikly v polovině 20. století objevem tzv. Dirichletova principu pro řešení diferenciálních rovnic. Princip spočívá v tom, že k jednotlivým typům diferenciálních rovnic lze sestavit tzv. Dirichletův integrál, jehož minimalizace je řešením dané rovnice. Nalezením funkce, která minimalizuje tento - 15 -


funkcionál, je nalezeno řešení dané diferenciální rovnice se známými okrajovými podmínkami. Při variačních metodách hledáme řešení dané úlohy pomocí pokusného řešení. Postupujeme tak, že daný funkcionál vyjádříme jako funkci předpokládaného pokusného řešení. Ze všech možných řešení, splňujících okrajové podmínky, pak vybereme to, které činí daný funkcionál stabilní – zajistí jeho minimum. Variačním principem nazýváme matematický postup, který umožňuje výběr řešení problému z celé třídy možných řešení. 

Myšlenka diskretizace

Ve většině případů potřebujeme nalézt takové proměnné, jako jsou např. posunutí, napětí, teplota, tlak a rychlost, které jsou funkcí souřadnic x, y, z. V případě přechodných či nestálých úloh jsou však tyto veličiny funkcí nejen souřadnic x, y, z, ale také času t. Geometrie problému je velice často nepravidelná. Základním krokem metody konečných prvků je rozdělit (diskretizovat) libovolný mechanický systém (nosník, rám, rošt, desku, stěnu, blok ...) na konečný počet prvků (elementů) obvykle geometricky jednoduchých (úsečka, trojúhelník, obdélník, hranol,...). Dělení na prvky není v žádném případě jednoznačné a je silně ovlivněno technickými zkušenostmi a citem řešitele viz obr. 2.1.

Obr. 2.1 Příklad nasíťování bramy při simulaci vertikálního válcování, v místě kde očekáváme největší změnu tvaru je použita nejjemnější síť (velikost sítě 0,5 mm). Dnes sice existují automatické generátory sítí konečných prvků, avšak „poslední slovo“ (opravy a úpravy vzniklé sítě v rozích, přechodech atd.) má vždy řešitel úlohy. Jestliže tedy systém rozdělíme na prvky, vybíráme vlastně za určující (prvotní neznámé) jen ty body konstrukcí (v podstatě z nekonečného počtu bodů kontinua), které nejčastěji leží v rozích prvků, koncových bodech, uprostřed hran, ploch atd.). V těchto uzlech (u kterých je konečný počet) vypočítáme prvotní neznámé veličiny (ve statických úlohách obvykle posunutí) a z nich odvozeně druhotné (ve statice vnitřní síly a napětí). Ze známých

- 16 -


fyzikálních veličin uzlových hodnot jednoho prvku pak můžeme určit jakoukoliv veličinu libovolného bodu prvku. 

Základní tvary prvků

Tvar, velikost i počet prvků je třeba pečlivě vybírat tak, aby původní oblast byla rozdělena co nejlépe, tzn. aby nasíťovaná oblast byla co nejpodobnější originálnímu modelu. Často se tvar elementu odvíjí od geometrie síťované oblasti. Jestliže geometrie, materiálové vlastnosti a výsledné proměnné mohou být popsány jedinou souřadnicí, pak lze použít tyčové prvky (obr. 2.2.a). Těchto elementů lze využít například při modelování distribuce teploty v tyči nebo modelování deformace tyče při osovém zatížení. I když tyto prvky mají určitý příčný průřez, často jsou schematicky značeny pouze jako úsečky (obr. 2.2.b).

Obr. 2.2. a) tyčový prvek b) schematické značení tyčového prvku V případě, že konfigurace a další vlastnosti řešeného problému lze pospat dvěma nezávislými souřadnicemi, pak lze využít 2D elementů (obr. 2.3.). Základním užívaným prvkem ve 2D analýze je zpravidla trojúhelníkový prvek.

Obr. 2.3. Různé typy prvků pro tvorbu 2D sítě Čtyřstranný prvek (a z něj odvozený prvek čtvercový nebo rovnoběžník) může být sestrojen ze dvou či čtyř trojúhelníkových prvků, tak jak ukazuje obr. 2.4.. V některých případech je využití čtyřstranných prvků výhodnější.

- 17 -


Obr. 2.4. Čtyřstranný prvek složený ze dvou či čtyř trojúhelníků V případě, že vlastnosti jsou funkcí tří souřadnic, pak je nutno využít 3D prvky (obr. 2.5.). Základním prvkem 3D sítě je zpravidla čtyřstěn. V některých případech lze použít šestistěn složený z pěti trojbokých jehlanů.

Obr. 2.6. Různé druhy trojrozměrných prvků 

Velikost prvků

Velikost prvků přímo ovlivňuje konvergenci řešení a proto musí být vybírána s rozvahou. Pokud je velikost elementů malá, pak je očekáváno přesnější řešení. Menší velikost však znamená navýšení výpočtového času. Proto se často využívá elementů rozdílných velikostí ve stejném objemu. V místech, kde je očekáván větší gradient proměnné se tedy použije jemnější nasíťování. 

Počet prvků

Potřebný počet prvků k diskretizaci je spojen s požadovanou přesností, velikostí elementů a zahrnutým počtem stupňů volnosti. Více elementů zpravidla značí přesnější řešení, ale pro každý problém existuje určitý počet uzlů N0, nad kterým se již přesnost řešení nezvyšuje. Grafické znázornění je uvedeno na obr. 2.8.

- 18 -


Obr. 2.8. Vliv zvyšování počtu elementů na přesnost řešení 

Tvar prvku

U příliš deformovaného tvaru dostáváme špatně podmíněné prvkové matice (viz. níže), což může vést k lokálním chybám. Ideálním tvarem je z tohoto hlediska v prostoru krychle, v rovině pak čtverec, případně rovnostranný trojúhelník. Při generování sítě je přiblížení prvků k ideálnímu tvaru hodnoceno prostřednictvím velikostí vnitřních úhlů, které svírají strany resp. stěny prvků nebo pomocí poměru mezi plochou a obvodem (objemem a obsahem pláště) prvku. Příklad dobrého a špatného trojúhelníkového 2D prvku je na obr. 2.9. Na obr. 2.10. je pak zobrazen surface shape faktor, který pro kvalitativní analýzu sítě využívá program FORGE 3D (nedoporučuje se používat síť, když tento faktor klesne pod 0,4).

Obr. 2.9. Dobrý a špatný tvar konečného prvku.í

Obr. 2.10. Hodnocení kvality sítě v programu FORGE

- 19 -




Courantovy bázové funkce

Pomocí metody konečných prvků hledáme přibližné řešení Poissonovy rovnice. Hledaná funkce má nějaký obecný tvar u(x) (modrá křivka na obr. 2.11.). Přibližné řešení má potom tvar po částech lineární funkce ui(x) (červená křivka na obr. 2.11.), která je spojitá v elementech (mezi jednotlivými uzly sítě). Z obr. 2.11. je zřejmé, že přesnost závisí na počtu uzlových bodů (resp. na velikosti prvků).

Obr. 2.11. Přibližné řešení získané pomocí metody konečných prvků Výjimečnost metody konečných prvků spočívá v geniální konstrukci oné po částech lineární funkce, kterou lze popsat následující rovnicí:

Vzorec k zapamatování N

ui   d i   i

(2.1)

1

Funkci ui tedy zapisujeme pomocí Courantových bázových funkci  i x  , které nesou svůj název na počest objevitele MKP. N je počet elementů a di je neznámá konstanta. Tvar bázové funkce ilustruje obr. 2.12. Tedy bázová funkce  i x  má v uzlovém bodě i hodnotu 1 v ostatních uzlových bodech pak hodnotu 0.

Obr. 2.12. Tvar bázové funkce - 20 -


Příklad 2.1

Stanovení rovnice bázové funkce Máme kruhovou tyč délky l a průřezu a. tyč je rozdělena na N elementů o stejné délce. Délka každého elementu je tedy v tomto případě

1 , N

1 2 i , x2  , xi  N N N Funkce 1 je lineární v intervalu x1 až x2 a lze ji tedy zapsat takto: tzn. x1  0 , x1 

.

1  a  x  b 1 x1   1  a  x1  b  1 ,  b  1  a  x1 , 1 x2   0  a  x2  b  0 , Vyjádříme si z první rovnice b a dosadím ho podruhé. Tím získáme vztah: 1 a z toho rezultuje hodnota b: a  x2  1  a  x1  0  a  x1  x2  1 b 1 x , x1  x2  1

1 x  

 x x1  x  x1   1  . x1  x2   x1  x2  x1  x2

Rovnici této funkce ořízneme tak, aby platila jen v intervalu x1 , x2 :

1 x   max 0,

x  x1 x1  x2

Dosazením za x2  x1 

1 dostaneme obecnou rovnici pro všechny bázové N

funkce a pro všechna x:

 i 1    x N   i x   max 0; 1  i i 1      N N  

- 21 -




Funkcionál

Vraťme se nyní zpět k neznámé funkci ui. Tuto funkci hledáme pomocí variace funkcionálu, který představuje energii systému potřebnou pro dosažení posunutí u. Co je to funkcionál? Předpokládám, že vám pojem funkcionář není znám. A co tedy pojem funkce. Co je to tedy funkce? Je to pojem, který používáte tak často, že pro vás může být obtížné jej stručně a jasně definovat. Tak tedy, funkce je takový předpis (běžně matematický), který přiřadí prvku (číslu) jedné množiny prvek (číslo) z druhé množiny. Funkcionál je potom předpis, který funkci přiřadí číslo. Typickým představitelem funkcionálu je určitý integrál, který číselně představuje plochu pod křivkou. Variace je pro funkcionál to co pro funkci derivaci. Následující funkcionál představuje energii systému J nutnou pro určité posunutí u, v případě úlohy 1D elasticity (tyč o délce 1 m) popsané v kapitole 1: 2

1  du  0 2  E  dx   dx  0 f x   ux   dx  P  u1  J 1

1

(2.2)

První člen rovnice (2.2) představuje práci vnitřních napětí vznikajících v tyči, druhý člen pak představuje práci sil v uzlových bodech a třetí člen představuje práci v koncovém bodě tyče, na který působí vnější napětí P. Ze zákona o toku kovu cestou nejmenšího odporu platí, že energie na posunutí musí být minimální. Tedy platí, že najdeme-li minimum funkcionálu bude takto získaná funkce ui řešením rovnice (1.7). Minimum funkcionálu získáme tak, že položíme jeho variaci rovnu nule: 1

E 0

du  du       dx  Pu x 1   F    u  dx  0 dx  dx  0 1

(2.3)

Tuto rovnici lze s využitím rovnice (2.1) přepsat do následujícího tvaru:

d d  N E  di  i   1  dx   f x  1  0 0 dx   i 1  dx 0 Rovnice (2.4) ve skutečnosti představuje následující soustavu rovnic: 1 1 N d d E   di  i   1  dx   f x  1 dx dx i 1 0 0 1

1

N

1

i 1

1

d d i    2  dx   f x   2 dx dx 0 0

E   d i 

(2.5)

 N

1

1

d d i    N  dx   f x   N  P dx dx i 1 0 0 Tuto soustavu rovnic lze symbolicky zapsat pomocí maticového počtu takto: E   d i 

(2.4)

- 22 -


      Kde

  d1     d       2     nebo K·D = F              dN    K…globální matice tuhosti D…globální vektor neznámých parametrů F…globální vektor zatížení

(2.6)

Jak vidíme v rovnicích (2.3 až 2.5) se nachází neznámá funkce u ve tvaru derivace podle x. Pro další výpočty proto budeme potřebovat znát derivaci bázové funkce. Derivaci stanovíme jako tangentu úhlů, které funkce  i x  svírá s osou x (viz. obr. 2.13.).

Obr. 2.13. Stanovení derivace bázové funkce V intervalu (xi -1, xi) (když xi - xi -1 = 1/N) a se tangenta úhlu stanoví takto: 1 tg  N 1 N V intervalu (xi +1, xi) pak takto: 1 tg   N 1 N Obecně můžeme psát:  N x  xi 1 , xi  d i    N x  xi , xi 1  dx   0 x  xi 1 , xi 1  

(2.7)

(2.8)

(2.9)

Matice tuhosti

Matice soustavy K·D = F má výhodnou pásovou strukturu, která spolu s dalšími numerickými vlastnostmi, jako je pozitivní definitnost (symetrická s kladnými vlastními čísly), přispívá k efektivní řešitelnosti i velmi rozsáhlých problémů. Neznámé parametry vektoru D se dají uspořádat tak, že koeficienty jsou v matici K rozmístěny v relativně úzkém pásu okolo hlavní diagonály (viz. příkladu 2.2.) - 23 -


Příklad 2.2

1D úloha pružnosti – řešení pomocí MKP Máme kruhovou tyč délky l = 1 m a průřezu a. Tyč je rozdělena na 5 elementů o stejné délce.

S použitím rovnice (2.5) vypočítáme všechny prvky matice tuhosti. Matice tuhosti má 5 řádků a 5 sloupců, tedy celkem 25 prvků.  (1) (2) (3) (4) (5)   (6) (7) (8) (9) (10)     (11) (12) (13) (14) (15)    (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) 

Výpočet prvku (1): x

1



x

1

2 2 d d 2 2      dx  (  N )  (  N )  dx  0  0  dx  0 dx 1 dx 1 x x x N  dx  N  x 1 2 1

 N 2  x2  x1   N 2 

x2





x1

1 N N


x

1

1

3 2 d d      dx  ( N )  (  N )  dx  0 dx 2 dx 1 x x ( N )  0  dx  x 0  0  dx  1 2 3

x2



x2

   N  dx   N  x 2

2

x1



  N 2  x2  x1    N 2 

x1

1  N N

Výpočet prvku (3): 1

x

x

x

1

3 2 4 d d      dx  0  (  N )  dx  ( N )  0  dx  0 dx 3 dx 1 x x x ( N )  0  dx  x 0  0  dx  0 1 2 3 4

Díky speciální konstrukci bázové funkce budou prvky (4) a (5) také rovny nule.

- 24 -


Příklad 2.2 - pokračování


x

1

1

3 2 d d      dx  (  N )  ( N )  dx  0 dx 1 dx 2   0  ( N )  dx  x 0  0  dx  x1 x2 3

x2



x2

   N  dx   N  x 2

2

x1



  N 2  x2  x1    N 2 

x1

1  N N


x

1

1

3 2 d d      dx  N  N  dx  0 dx 2 dx 2   ( N )  ( N )  dx  x 0  0  dx  x1 x2 3



x3

x2

x2

  N  dx   N  dx   N  x 2

2

x1

2



x2

 N2 

x1

1 1  N 2   2N N N


x

1

x

1

3 2 4 d d      dx  0  ( N )  dx  N  (  N )  dx  0 dx 3 dx 2    ( N )  0  x 0  0  dx  x1 x2 x3 4

x3



x2

   N  dx   N  x 2

x2

2



x1

Pro

1   N  x2  x1    N    N N 2

2

další prvky je výpočet podobný, můžete si zkusit sami dopočítat libovolný prvek naší matice tuhosti. Výsledná matice pak vypadá takto: 0 0 0   N N  N 2 N  N 0 0    0  N 2N  N 0    0  N 2N  N   0  0 0 0  N N  Tuto matici potom počítač řeší některou numerickou metodou pro řešení soustavy lineárních rovnic, např. Gausssovou eliminační metodou.



Vliv číslování uzlů na tvar matice tuhosti

Struktura matice K souvisí s očíslováním prvků a uzlů sítě. U 1D úlohy je číslovaní uzlů velmi jednoduché, už při modelování ve 2D se situace komplikuje. Porovnejme si dvě různá očíslování u rovinné úlohy, kterou reprezentují následující dva modely (Obr. 2.14.).

- 25 -


Obr. 2.14. 2D úloha – způsob číslování prvků Každý prvek má 3 uzly = 6 neznámých (v každém uzlu jsou 2 neznámé posuvy (ve směru osy x a y)) tedy prvková matice tuhosti bude řádu 6 x 6. Neznámých je dohromady pro celé těleso 12 (v každém uzlu 2 posuvy) globální matice tuhosti bude řádu 12 x 12. Očíslování a) Matice tuhosti prvního prvku proto po rozšíření na dimenzi 12x12 (tj. na rozměr globální matice K) obsahovat nenulové příspěvky na pozicích v 1.-4., 7. a 8. řádku a sloupci:

Sečtením takto rozšířených matic všech čtyř prvků získáme globální matici K:

Indexy značí číslo prvku jenž svojí tuhostí přispívá k výsledné tuhosti v matici K.

- 26 -


Očíslování b) Globální matice K bude mít nyní takovouto strukturu :

Uzly se dají optimálně očíslovat, aby šířka pásu matice byla minimální. Je to nutné z hlediska množství ukládaných dat efektivnosti řešení soustavy. Počet operací a i tím délka výpočtu jsou u přímých metod (GEM) lineárně závislé na počtu neznámých a kvadraticky na šířce pásu. Minimalizace šířky pásu je u všech komerčních systémů MKP zajištěna automaticky pomocí programových procedur. 

Řešení soustavy lineárních rovnic Příklad 2.3

Řešení je průsečík přímek:

Řešení soustavy lineárních rovnic Řešme graficky soustavu: 3  x1  2  x2  18  x1  2  x2  2

Obecně mohou kromě výše uvedeného případu nastat tyto případy (obr. 2.15.). - 27 -


Obr. 2.15. Příklady řešení průsečíku dvou přímek Přímé metody – Gausova eliminační metoda (GEM) Jedná se o metodu vedoucí k (alespoň teoreticky) přesnému řešení v konečně mnoha krocích. Řádkovými (nikoliv sloupcovými) úpravami převádíme tuto matici do tvaru, kdy se pod hlavní diagonálou nachází pouze nuly. Upravená matice pak odpovídá soustavě rovnic, která je ekvivalentní s původní soustavou. Postu řešení se skládá ze dvou kroků: 1.

eliminace (převedení na schodový tvar, vytvoření diagonální matice)

2.

zpětné dosazení (vyčíslení neznámých)

Počet operací je u přímých metod předem známý u GEM je počet úměrný 2n3/3. Tabulka 2.1 Počet operací při GEM v závislosti na počtu neznámých n – počet neznámých

Eliminace

Zpětné dosazení

Celkem

2n3/3

Z toho eliminace v %

10

705

100

805

667

87,58

100

671 550

10 000

681 550

666 667

98,53

1 000

6.67 x 108

1 x 106

6,68 x 108

6.67 x 108

99,85

- 28 -


Špatně podmíněná soustava při řešení pomocí GEM Špatně podmíněné matice vznikají u chybových konečných prvků, které nesplňují kritéria pro tvar prvku (viz. kapitolka Tvar prvku). Řešme špatně podmíněnou soustavu rovnic pomocí kalkulačky nebo PC: 0,0003  x1  3  x2  2,0001 x1  x2  1

Přesné řešení: x1 = 1/3 a x2 = 2/3. Výpočet: Z rovnice vyjádříme x2a dosadíme do druhé: 2,0001  3  2 3 , x1  0,0003 Výsledek ovšem závisí na tom, na kolik desetinných míst vyjádříme x2 Počet desetinných míst

x2

x1

Chyba v % pro x1

3

0,6670000

-3,330000

1099

4

0,6667000

0,000000

100

5

0,6666700

0,300000

10

6

0,6666670

0,330000

1

7

0,6666667

0,333000

0,1

Špatně podmíněné matice vznikají u chybových konečných prvků které nesplňují kritéria pro tvar prvku (viz. kapitolka Tvar prvku). Vliv zaokrouhlovacích chyb je třeba na PC ošetřit. Provádí se to pomocí výběru hlavního prvku (pivoting). Špatnou podmíněnost lze upravit i vynásobením všech rovnic vhodným číslem (scaling). Tím se determinant matice soustavy, který se téměř blíží nule zvětší. Dále je možné provést tzv. přepodmínění (preconditioning), převedení soustavy rovnic na lépe podmíněnou soustavu. Gauss.Seidlova metoda Kromě přímých metod se používají metody iterační, např. Jacobiho nebo Gauss-Seidlova metoda. Řešme iteračně soustavu pomocí G-S metody. 3  x1  0,1  x 2  0,2  x3  7,85 0,1  x1  7  x 2  0,3  x  19,3 0,3  x1  0,2  x 2  010  x  71,4

Z první rovnice vyjádříme první neznámou:

- 29 -


x1 

7,85  0,1  x2  0,2  x3 3

Z druhé rovnice vyjádříme druhou neznámou: x2 

 19,3  0,1  x1  0,3  x3 7

Z třetí rovnice vyjádříme třetí neznámou: x3 

71,4  0,3  x1  0,2  x2 10

Tím jsme získali iterační předpis pro neznámé x1, x2, x3. 1. iterace Jako počáteční odhad výsledků položíme všechny neznámé rovny nule a budeme tento odhad dále zpřesňovat. Použijeme iterační předpis: x1 

7,85  0  0  2.616667 3

Vyjadřujeme-li x2, můžeme již za x1 dosadit novou aproximaci 2,6167: x2 

 19,3  0,1  2.616667   0  2,794524 7

Vyjadřujeme-li x3, můžeme již za x2 dosadit novou aproximaci -2,794524:

x3 

71,4  0,3  2,616667  0,2   2,794524  7.005610 10

2. iterace Tento postup se dále opakuje, až po určitém počtu iterací jsou neznáme hodnoty vyčísleny s požadovanou přesností. Tomuto jevu se říká konvergence řešení. Pokud se naopak přesnému řešení vzdalujeme hovoříme o divergenci řešení (viz. obr. 2.16.).

Obr. 2.16. Příklady konvergence (vlevo) a divergence (vpravo) řešení

- 30 -


Σ

Shrnutí Princip MKP lze shrnout takto: Celý prostor Ω se zdiskretizuje na síť konečných prvků. Původní Ω má často složitý tvar a parametry modelu nejsou po celém Ω konstantní. Oproti tomu má každý prvek jednoduché hranice a parametry modelu se mohou vzít jako konstanty.V konečném důsledku tak místo jedné parciální diferenciální rovnice, řešíme soustavu lineárních rovnic o n neznámých, jež lze počítačově řešit za použití numerických metod. Je třeba mít na paměti, že takovéto řešení je vždy zatíženo chybou. Záleží hlavně na kvalitě sítě a na vlastním simulačním programu (jeho robustnosti) jak velké tyto chyby budou a záleží na obsluze programu, aby je případně dokázala identifikovat a minimalizovat.

Otázky ke kapitole 2 2.1. Co je podstatou variačních metod? 2.2. Co se myslí pod pojmem diskretizace? 2.3. Kdo vytváří síť konečných prvků modelu? 2.4. Jaké rozeznáváme základní tvary prvků? 2.5. Jak velikost prvků ovlivňuje výsledek řešení? 2.6. Jaké jsou ideální tvary prvků: 2.7. Jak se hodnotí kvalita sítě? 2.8. Jakou podobu má hledaná funkce při řešení pomocí MKP? 2.9. Co je to bázová funkce? Jaké jsou její vlastnosti? 2.10.

Co je to funkce?

2.11.

Co je to funkcionál?

2.12.

Jak stanovíme minimum funkcionálu?

2.13.

V jakém intervalu nabývá derivace bázové funkce φi nenulových hodnot?

2.14.

Jaké vlastnosti má matice tuhosti získaná pomocí MKP?

2.15.

Jak se hledají neznáme konstanty v matici tuhosti?

2.16.

Co se rozumí pod pojmem špatně podmíněná soustava rovnic?

2.17.

Popište postup řešení soustavy rovnic pomocí Gaussovy eliminační metody.

2.18.

Jaký je rozdíl mezi nepřímou a přímou metodou řešení soustavy rovnic?

2.19.

Co je to konvergence řešení?

2.20.

Jak můžete ovlivnit zda bude řešení konvergovat nebo divergovat?

- 31 -


Úlohy k řešení ke kapitole 2 2.1.V intervalu x1 až x2 stanovte rovnici bázové funkce φ2 pro situaci jako v příkladě 2.1. 2.2.Stanovte derivaci bázové funkce φ2 z předchozí úlohy v intervalu x2 až x3. 2.3.Nakreslete obdélníkový objekt ve 2D prostoru. Proveďte jeho diskretizaci pomocí 6 trojúhelníkových prvků. Prvky a uzly očíslujte. 2.4.Početně řešte soustavu rovnic z příkladu 2.3 2.5.Pomocí Gaussovy eliminační metody řešte soustavu rovnic: 3  x1  0,1  x 2  0,2  x3  7,85 0,1  x1  7  x 2  0,3  x  19,3 0,3  x1  0,2  x 2  010  x  71,4

Další zdroje [01] [02] [03] [04]

KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element method. Oxford University Press, Inc. New York 1989, ISBN 0-19-504402-9. REKTORYS, K. Variační metody v inženýrských problémech a v problémech matematické fyziky. 6. vyd., Academia Praha 1999, ISBN 80-200-0714-8. WAGONER, R., CHENOT, J. Metal Forming Analysis. Cambridge University Press, Syndicate of the University of Cambridge 2001, ISBN 0 521 64267 1.

LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical Simulation of the Properties of Hot Rolled Products, Elsevier Science Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4

- 32 -

Operace tváření kovů jako systém

3. OPERACE TVÁŘENÍ KOVŮ JAKO SYSTÉM Cíl:




Vysvětlit systémový přístup k tváření kovů.



Identifikovat všechny součásti systému tváření kovů.



Mít přehled o proměnných systému a o tom jak je získat

Obsah kapitoly 3 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.1.

Úvod Materiálové proměnné Nástroje a stroje Tribologie Tok kovu

Úvod

Čas ke studiu: 0,5 hodiny Pojmy k zapamatování Systém, tribologie, procesní proměnné

Výklad Systém tváření kovů (viz. obr. 3.1) zahrnuje všechny vstupní proměnné vztahující se k polotovaru (geometrie a materiál), k nástrojům (geometrie a materiál), podmínky rozhraní nástroj-polotovar (tribologie), mechanismus plastické deformace, použité zařízení (buchary, lisy, válcovací stolice, …) a nakonec také charakteristiky okolního prostředí, ve kterém se daný proces prováděl. Tento systémový přístup umožňuje studovat vliv jednotlivých proměnných procesu na ukazatele kvality výrobku a na ekonomiku procesu. Klíčem k úspěchu procesu tváření kovů (tj. dosažení požadovaného tvaru a mechanických vlastností výrobku), je porozumění a řízení toku kovu. Směr toku kovu, velikost deformace a teploty má významný vliv na vlastnosti tvářených výrobků. Důsledkem toku kovu je jednak získaná úroveň mechanických vlastností (závislá na stupni deformace v daném místě polotovaru), ale také vznik defektů jako jsou trhliny či přeložky. Tok kovu je ovlivňován procesními proměnnými.

- 33 -


Procesní proměnné ovlivňují makro a mikrogeometrii výrobku (finální rozměry a povrch). Procesní podmínky (teplota, deformace, rychlost deformace) ovlivňují mikrostrukturní změny v polotovaru a tím i jeho výsledné vlastnosti. Výstižný systémový přístup musí zahrnovat:  vztah mezi vlastnostmi a mikrostrukturou tvářeného materiálu,  kvantitativní vliv podmínek tváření na tok kovu.

Obr. 3.1. Schéma systému tváření kovů při válcování.

1. polotovar, 2. válce, 3. rozhraní, 4. mechanismus plastické deformace, 5. tvářecí stroj (válcovací stolice), 6. vývalek, 7. okolní prostředí

Σ

Shrnutí Podstatou systémového přístupu je, že všechny složky systému posuzujeme dohromady, zajímáme se o jejich vzájemné interakce a jejich vliv na výsledek.

3.2.

Materiálové proměnné

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Anizotropie, přirozený deformační odpor, intenzita napětí, tvařitelnost, teplotní vodivost, měrné teplo, hustota,

- 34 -


Výklad Pro dané chemické složení materiálu a deformační historii, či historii tepelného zpracování (mikrostrukturu) jsou nejdůležitějšími materiálovými veličinami ovlivňujícími přímo tok kovu: přirozený deformační odpor a tvařitelnost, obě veličiny mohou být odlišné v různých směrech (anizotropie). Nepřímo (přes rozložení teplotního pole polotovaru) ovlivňují tok kovu tepelné vlastnosti: součinitel tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1], měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1], hustota ρ [kg.m-3] a teplotní délková roztažnost α [K-1]. 

Přirozený deformační odpor

Jedná se o materiálovou charakteristiku. Je to nejmenší napětí nutné k vyvolání plastické deformace za určitých smluvních podmínek [11]. Zjišťuje se v podmínkách lineárního stavu napjatosti, tedy s vyloučením vlivu deformačního tření, a to nejčastěji tahovou zkouškou. Fyzikálně odpovídá intenzitě napětí σi (kumulovaný vliv všech hlavních napětí σ1, σ2, σ3):

 p  i 





1 1   2 2   2   3 2  1   3 2 , 2

(3.1)

Obecně přirozený deformační odpor vyjadřuje tato rovnice:

 p  f (M , T , e, e) ,

(3.2)

Kde M je metalurgický charakter kovu, T je teplota, e je deformace a é je deformační rychlost. Graficky je tato závislost nejčastěji prezentována jako křivka napětí σ - deformace e. Přesný matematický popis křivky σ-e je jednou z nejdůležitějších součástí procesu tváření. Je nutný při vkládání údajů do simulačních programů. Jedním z rozhodujících zdrojů jsou výstupy z plastometrických experimentů (krutové, tlakové). Při provozním či laboratorním měření válcovacích sil totiž můžeme získat pouze střední přirozený deformační odpor. Matematický popis křivky napětí deformace lze provést způsoby, které se dají rozdělit do tří skupin:  Každý termomechanický parametr se projevuje samostatně a jeho vliv je hluboce rozebrán. Vznikají složité a dlouhé rovnice. Popisují průběžnou hodnotu napětí jako funkci všech proměnných s tím, že každá proměnná může v sobě obsahovat vliv dalších proměnných. Jako příklad pro pochopení uveďme možnost vlivu deformační rychlosti. Základní vztah může mít, i s uvedením vlivu teploty na deformačně - rychlostní exponent, tuto podobu:

 p  A0    m   a bT   ,

(3.3)

Není obtížné si představit i možnost zahrnutí dalšího vlivu do tohoto exponentu, např. strukturního a pod. Tím se rovnice jen pro popis jednoho parametru rozrůstá do délky. Navíc jsme si vybrali jednoduchý příklad deformační rychlosti, u vlivu deformace je situace mnohem složitější. Zásadně zde musíme rozlišovat deformaci menší než píkovou, větší než píkovou a minimální deformaci v ustáleném stavu. Ačkoli je přidávání další

- 35 -






členů jako součinů do rov. (2.5) řešitelné a následně je celá rovnice logaritmovatelná, neúměrně ji to komplikuje. Experimentální údaje z plastometru zpracované do polynomu. Tyto rovnice nejsou běžné a v moderních výpočtech , jako „potrava“ pro MKP se nepoužívají. V různé podobě se však dají použít tabulkové výsledky plastometrických testů, což sice umožňuje konkrétní vložení jednoho konkrétního experimentu do výpočtu MKP, ale z hlediska celkové databáze a uživatelského komfortu je to cesta nereálná. V současné době se objevily prvé náznaky řešení pomocí neuronových sítí, které v principu umožňují „naučit“ počítač z načtených hodnot vytvořit vnitřní závislosti, které se pak dají použít pro následné výpočty. Konstitutivní rovnice s možností zcela fyzikálního přístupu nebo částečně fenomenologické. Tento přístup spočívá v registraci skutečných průběhů křivek, získaných na plastometrech a stanovením význačných bodů na těchto křivkách a jejich fyzikálním popisem. Jedná se zejména o píkový bod, při maximálním napětí a píkové deformaci se určují hodnoty σmax což je píkové maximální experimentální napětí, εp což je píková maximální experimentální deformace a samozřejmě průběžné hodnoty napětí jako funkce deformace při definovaných konstantních parametrech (teplota, rychlost deformace). Lze si představit, a takové rovnice existují, že se popíše fyzikálně i bod ustáleného stavu jak velikostí napětí, tak deformací a použije se jedné, nebo více rovnic s omezenou, ale na sebe navazující platností proměnné deformace. Největším problémem se stává popis vlivu deformace. Zatímco teplotní či deformačněrychlostní vliv je monotónní, u deformace tomu tak není. Proto i následující rozbor bude věnován převážně snaze o vysvětlení způsobů, jak matematicky zahrnout do rovnice vliv deformace. Skutečné popisy křivky σ-e pak mohou mít jen pro vliv jednoho parametru (zde deformace) následující tvary:

 p  A0  n ,

(3.4)

1

 p  A1 1  A2  n

(3.5)

 p  A3   A3  A4  exp  A5  

(3.6)

2

nebo pro možnost zahrnutí i vlivu dynamického změkčování:

 p  B0 B1   n  B2  n , 3

(3.7)

4

nebo jinak i s částečným vlivem deformační rychlosti, ale uvnitř parametru deformace :  

 p  C0   n  C1  C2 ln   5

C3  . T 

(3.8)

Ještě komplexnější rovnice vypadá takto :

- 36 -


 m4  m T m mT  1    5 exp m7   3  8 , T 

 p  A exp m1T  T m  m exp  9

2

(3.9)

nebo i s vlivem času v mezipauzách:

 p   0 B1 exp n1 T  B2  n exp n3   B3  n B4 t n , 2

4

5

(3.10)

a též komplexně:    D  TF    p  A  exp   B   exp  G T  ,  p   B

(3.11)

kde A, B, C, D, F , G , m, n jsou materiálové konstanty a celá rovnice je platná v rozsahu deformací ε = 0 až εm, kde εm je deformace až do inflexního bodu za píkem. S využitím napětí odpovídající ustálenému stavu:

     p  A   ss    exp 1     p    p

d  f (T )

(3.12)

,

Všechny rovnice podobného typu však neřeší onu základní otázku, jak plynule popsat změnu charakteru křivky za inflexním bodem s možností popisu nejméně do ustáleného toku kovu, čili spíše paralelní průběh napětí s rostoucí deformací. 

Metalurgická tvařitelnost

Jedná se o schopnost materiálu snášet plastické deformace bez porušení soudržnosti za určitých technologických podmínek (stav napjatosti, vnější tření). Závisí na deformačních podmínkách (teplota, rychlost deformace, velikost hlavních napětí, a historie tváření) a materiálových parametrech (chemické složení, výskyt a povaha precipitátů, vměstky, dutiny a počáteční mikrostruktura). Vznik a šíření mikrotrhlin ovlivňuje výsledný tok kovu. V algoritmech simulačních programů je vznik a šíření trhlin řízeno lomovým kritériem. Pokud dojde v některém uzlovém bodě konečnoprvkové sítě k překročení kritické hodnoty lomového kritéria, mohou (podle typu algoritmu) nastat dva případy: rozštěpení sítě, nebo vymazání prvku. Pro svou jednoduchost je běžnější druhý přístup, zde je však nutno nastavit dostatečně jemnou síť, aby nedocházelo k velkým chybám. Lomová kritéria Všechna kritéria jsou postavena na předpokladu, že poškození vznikající během deformace vedou ke vzniku trhlin. Většina kritérií je počítána jako integrál, reprezentující časovou závislost napětí a deformace. Trhlina vznikne, jestliže hodnota integrálu překročí kritickou hodnotu C. V odborné literatuře je možno nalézt celou řadu vzorců pro výpočet kritérií, jedním z nich je Oyanovo kritérium: i (t )

 0

   1  A m d i (t )  C , i  

(3.13)

- 37 -


kde:  i – intenzita deformace, σh – střední (hydrostatické) napětí,  i – intenzita napětí Podle tohoto vzorce dochází v materiálu ke ztrátě koheze po překročení kritické hodnoty C. V obvyklých případech je C pro daný materiál konstantní. Obecně lze C vyjádřit takto: C = f (M, T, ė, ) ,

(3.14)

kde: M - je metalurgický charakter kovu (chemické složení, čistota, struktura), T – je teplota, ė – je rychlost deformace. V literatuře je pro stanovení závislosti (3.14) využívaná inverzní analýza. Tedy spojení matematického modelování pomocí programu na bázi MKP a laboratorního modelování na vybraném zařízení. Princip je následující, pomocí matematického modelování se provede analýza laboratorního experimentu. Pro každý uzel se stanoví velikost kritéria, případně další zkoumané parametry (teplota, rychlost deformace, atd.), výsledky se pak porovnají s reálným experimentem při kterém došlo ke vzniku trhliny. Pomocí zpětné vazby, lze přejít z mikro měřítka na makro měřítko a získat tak informace o vzniku trhliny v jednotlivých krocích. Obecně lze na základě literárních studií říci, že v jednofázové oblasti roste hodnota kritické hodnoty lomového kritéria s rostoucí teplotou a s klesající rychlostí deformace. Dále v naší práci je používáno Lathamovo-Cockcroftovo kritérium charakterizované následující rovnicí:  i (t )

  d (t )  C , 1

(3.15)

i

0

kde: σ1 – největší hlavní napětí, C – kritická hodnota,  i - deformace. 

Tepelné vlastnosti materiálu

Součinitel tepelné vodivosti λ [W.m-1.K-1] Představuje množství tepla v Joulech, které projde mezi body vzdálenými 1 metr za 1 s, je-li rozdíl jejich teplot 1 Kelvin. Charakteristickou vlastností kovů je dobrá vodivost tepla a elektřiny. Vedení elektřiny se uskutečňuje pomocí elektronů. Na vedení tepla se podílí jak elektrony, tak vlastní mřížka kmitáním atomů. Protože kmitající atomy jsou vzájemně spojeny vazebnými silami, ovlivňuje kmitání jednoho atomu atomy v jeho okolí, což se navenek projeví jako vedení tepla. Tepelná vodivost je u čistých kovů nejvyšší (u železa λ  75 W.m-1.K-1 ), kdežto přísadovými prvky se snižuje (viz. obr. 3.2.). Pro součinitel tepelné vodivosti oceli feritických (λf), perlitických (λp), martenzitických (λm) a austenitických (λa) platí, že: λf > λp > λm > λa Obecně platí: λ = f(M, t)

- 38 -


Součinitel tepelné vodivosti se snižuje zhuštěním mřížkových poruch, jímž se vyznačuje struktura litá, tvářená za studena či zakalená. Pozoruhodný je vliv teploty, podle něhož se oceli rozdělují do tří skupin, v nichž se součinitel tepelné vodivosti se vzrůstající teplotou: • • •

výrazně snižuje (nízkouhlíkové a nízkolegované oceli) (viz. obr. 3.3. červená čára), snižuje nevýrazně nebo se vůbec nemění (středně legované oceli), mírně zvyšuje (vysokolegované oceli) (viz. obr. 3.3. černá čára).

Obr.3.3. Závislost součinitele tepelné vodivosti na teplotě nízkouhlíkové a legované oceli

Obr.3.2. Vliv přísadových prvků na snížení součinitele tepelné vodivosti

Nad teplotou 900 °C se součinitel tepelné vodivosti všech druhů ocelí ustaluje na hodnotě 25 W.m-1.K-1. Vliv λ na ohřev ↑ λ =>↓τ, Δt Větší součinitel tepelné vodivosti znamená menší teplotní spád mezi povrchem a jádrem zahřívaného tělesa, tím i menší tepelná pnutí a kratší dobu ohřevu. Měrná tepelná kapacita c [J.kg-1.K-1] Množství tepla v J, které je potřeba dodat látce o hmotnosti 1 kg, aby se ohřála o 1 K. c= f(t) ↑c =>↑τ Vliv chemického složení je nepatrný, s teplotou měrná tepelná kapacita stoupá až k maximu, které je při teplotě přeměny α → γ (viz. obr. 3.4.). Větší měrná tepelná kapacita prodlužuje dobu ohřevu a zvyšuje tak jeho energetickou náročnost.

- 39 -


Obr.3.4. Závislost měrné tepelné kapacity na teplotě nízkouhlíkové a legované oceli

Hustota ρ [kg.m-3] Hustota je nejnižší u čistých kovů, např. pro železo ρ = 7 880 kg.m-3. ρ = f(M, t) ↑ ρ =>↑ τ Větší hustota prodlužuje dobu ohřevu a zvyšuje jeho energetickou náročnost. Závislost na chemickém složení lze popsat takto: ρ0 = 7 876 - 40C - 16Mn - 73Si - 164S - 117P + 11Cu + 4Ni + Cr + 95W - 120Al

(3.16)

Pro uhlíkové oceli ρ = 7 800 až 7 850 kg.m-3, u vysokolegovaných ocelí, zejména s větším obsahem wolframu, až 8 690 kg.m-3. Hustota dále závisí na struktuře podle vztahu: ρaustenitu > ρbainitu > ρperlitu > ρmartenzitu a na teplotě podle vztahu: 0 (3.17) t  (1    t ) Kde ρ0 je hustota při teplotě 0 °C a β je teplotní objemová roztažnost (K-1). Součinitel teplotní vodivosti a [m2.s-1] Změna teploty s časem, ke které dochází v teplotním poli ve výrobku při nestacionárním vedení tepla je přímo úměrná tepelné vodivosti λ, ale nepřímo úměrná měrné tepelné kapacitě c a hustotě ρ. Proto se zavádí veličina, která charakterizuje rychlost změn teploty při ohřevu nebo při ochlazování výrobku. Je to součinitel teplotní vodivosti nebo prostě teplotní vodivost:

Vzorec k zapamatování a

 c

 a   ,  t ,  tep

(3.18)

Větší součinitel teplotní roztažnosti zkracuje dobu ohřevu a snižuje jeho energetickou náročnost. Z toho plyne vyšší teplotní gradient mezi povrchem a středem polotovaru a z toho plyne vyšší hodnota tepelného pnutí  tep .

- 40 -


Teplotní roztažnost Za stálého tlaku se s rostoucí teplotou zvětšují délkové rozměry i objem tuhých těles. Poměrná změna délky je charakterizována izobarickým součinitelem délkové roztažnosti, který je funkcí teploty: Délková roztažnost

lt  l0    T  T0 

(3.19)

Objemová roztažnost





Vt  V0    T  T0 

(3.20)

Tato roztažnost je nejnižší u čistých kovů, např. u železa při teplotě 0°C je teplotní délková roztažnost α = 11,7.10-6 K-1. Vliv uhlíku je sotva znatelný. Největší teplotní roztažnost, α = 16 až 20.10-6 K-1, je příznačným rysem austenitických ocelí. Při ohřevu se teplotní délková roztažnost zvěstuje až na maximum při teplotě překrystalizace, a poté se zmenšuje následkem menšího objemu nové fáze.

Obr.3.5. Závislost součinitele délkové roztažnosti na teplotě

Větší teplotní roztažnost vyvolává větší tepelná pnutí, čelí se tomu snížením rychlosti ohřevu, což je však spojeno se zvýšením energetické náročnosti ohřevu.

Σ

Shrnutí Seznámili jste se velkým množstvím rovnic pro popis přirozeného deformačního odporu. Některé z nich se používají v komerčních MKP programech. Míru tvařitelnosti materiálu lze popsat pomocí lomového kritéria. Na vedení tepla mají vliv základní tepelné veličiny: součinitel tepelné vodivosti λ, měrná tepelná kapacita c a hustota ρ. Snížená hodnota λ a zvýšené hodnoty c a ρ vedou k velkým rozdílům teplot mezi povrchem a středem polotovaru. Tento rozdíl v kombinaci s teplotní roztažností způsobuje tepelná pnutí.

3.3.

Nástroje a stroje

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Geometrie nástroje, povrch nástroje, pohyb nástroje

- 41 -


Výklad Výběr stroje pro daný proces je prováděn na základě znalosti energetických charakteristik stroje a výrobní přesnosti nástrojů. Proměnné charakterizující válce jsou: konstrukce a geometrie, kvalita povrchu, tuhost a mechanické a tepelné vlastnosti za podmínek tváření, opotřebení válců (změna geometrie oproti výkresu). V případě válcovacích stolic vstupuje do hry hlavně skok válců jako funkce válcovací síly.

Σ

Shrnutí Výběr stroje pro daný proces je prováděn na základě znalosti energetických charakteristik stroje a výrobní přesnosti nástrojů. Proměnné charakterizující válce jsou: konstrukce a geometrie, kvalita povrchu, tuhost a mechanické a tepelné vlastnosti za podmínek tváření, opotřebení válců (změna geometrie oproti výkresu). V případě válcovacích stolic vstupuje do hry hlavně skok válců jako funkce válcovací síly.

3.4.

Tribologie

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Tribologie, kontakt, tření, opotřebení, mazání, Coulombův zákon, tření podle Trseca

Výklad Tribologie je vědní obor, jenž se zabývá chováním dotýkajících se povrchů ve vzájemném pohybu nebo při pokusu o vzájemný pohyb. Vzájemné vazby v tribologickém systému jsou uvedeny na 06. Zvláštnosti tribologického procesu při válcování ve srovnání s kontaktem dvou tuhých těles v mechanice: válce se deformují pružně, tvářené těleso plasticky; povrch vývalku se stává otiskem válců; vysoký tlak na stykové ploše (až 500 MPa válcování za tepla, až 2 500 MPa válcování za studena); velikost stykové plochy není stálá, postupně se zvětšuje.

- 42 -


Obr. 3.6.Vzájemné vazby v tribologickém systému



Kontaktní procesy

Vzájemný kontakt je základním znakem chování tribologického systému. Je třeba uvažovat se základními tvarově-rozměrovými (viz. obr. 3.7.) a materiálovými vlastnostmi dotýkajících se částí, jejich vzájemnou vazbou a reakcích mezi nimi. Interakce mohou být materiálové, fyzikální, chemické atd. Je třeba zvažovat tyto vlivy: 

počet těles v kontaktu,



makrogeometrii a mikrogeometrii těles,



fyzikální, chemické a mechanické vlastnosti,



druh deformace mezi tělesy,



typ a rychlost relativního pohybu.

Obr. 3.7 Tvarově-rozměrové charakteristiky povrchu

Na stykovou plochu tribologického systému lze pohlížet z těchto hledisek:   

mechanické hledisko makroskopické hledisko mikroskopické hledisko

- 43 -




Mechanické hledisko

Styková plocha je z mechanického hlediska tenkou vrstvou mezi tuhým nástrojem a plastickým tělesem. Předpoklad nástroje jako tuhého tělesa vede k zanedbání vlivu deformace nástroje na třecí síly. Výhodou je, že není vyžadována hlubší znalost vlastností mezní vrstvy a tudíž se ani neočekávají žádné změny jejích vlastností. Tento zjednodušený model je ideální při výpočtu základních parametrů válcování, ale není vhodný (použitelný) chceme hlouběji porozumět zdroji třecích sil, mazání nebo opotřebení. Ačkoliv může být rozhraní mezi nástrojem a polotovarem popsáno pomocí smykového napětí τ, je výhodnější používat tyto bezrozměrné faktory:  

koeficient tření μ součinitel smykového tření m



Makroskopické hledisko







      

pracujeme s následujícími jevy: nástroj se nechová jako tuhé těleso a je popsán modulem pružnosti a pevností, umožňuje tak zohlednit zploštění válců, plastickou deformaci válců případně i poškození válců, materiál nástroje i polotovaru lze popsat takovými parametry, aby bylo možno počítat přitažlivé síly (tlakové svaření), nebo adhezi v kontaktní zóně, je možno uvažovat, že teplota nástroje a polotovaru se v průběhu deformace mění (deformační teplo, teplo vzniklé třením) a má dále vliv na součinitel tření.

Obr. 3.8. Rozhraní válec-polotovar z makroskopického hlediska [31]

Mikroskopické hledisko Umožňuje vzít do úvahy další tribologické jevy: okamžité hodnoty výstupků a rýh nástroje i polotovaru (jejich velikost i geometrii), které mají vliv nejen na vlastní třecí síly, ale i na stabilitu mazacího filmu, je možno pracovat s materiálem nástroje, jako s kompozitem tvrdých částic (karbidů) a pojiva (hotovní bloky při válcování drátu), povrchové vrstvy polotovaru i nástroje mohou mít definovány odlišné vlastnosti (např. vlivem difúze), pracovní povrchy mohou být pokryty produkty interakce s okolím (okuje), mazivo může být chápáno jako chemicky aktivní látka, jejíž vlastnosti nezávisí jen na jejím složení, ale i na molekulární formě, ve které se nacházejí. Třecí procesy

Mechanické tření je výsledkem smykového kontaktu mezi dvěma povrchy, které jsou obvykle suché nebo s mazivem. Tření brání organizovanému pohybu těles a způsobuje 44


disipaci mechanické práce nevratnou přeměnou na teplo. Tření mezi suchými povrchy má nespojitý charakter. Tečná (třecí) síla (napětí) je úměrná normálové síle (napětí) působící na povrch:



T i  , N p

(3.21.)

kde T je síla působící proti pohybu (třecí síla), N je normálová síla, τi je smykové napětí na kontaktním povrchu, p je normálový tlak. Obě napětí získáme tak, že vydělíme příslušné síly velikostí stykové plochy S (viz. obr. 3.9.). Pro tření platí dva základní zákony: 

Třecí síla je přímo úměrná normálové síle



Třecí síla je nezávislá na velikosti stykové plochy

To znamená, že pokud je koeficient tření konstantní, roste třecí síla s rostoucím normálovým tlakem. Tento vztah platí, ale pouze pro kluzné tření, kterému se také říká Coulombovo tření. Podmínku kluzného (sliding) tření lze vyjádřit takto:

i    p  k ,

(3.22.)

kde k je pevnost ve smyku.

Obr. 3.9. Smykové napětí na kontaktním povrchu a maximální velikost koeficientu tření v závislosti na normálovém tlaku

Jestliže τi překročí hodnotu k, dojde ve tvářeném tělese ke smykové deformaci spíše než ke skluzu tvářeného tělesa po nástroji. V tomto případě hovoříme o smykovém (sticking) tření. 45


Podmínku smykového (sticking) tření lze vyjádřit takto:

i    p  k ,

(3.23.)

Pokud nastane tato situace není koeficient tření dále aplikovatelný. Někteří výzkumníci nabízejí jako alternativu k součiniteli tření smykový faktor m. Součinitel smykového tření (Tresca):

 i  m  max ,

(3.24.)

kde m nabývá hodnot od 0 (nulové tření) do 1 (smykové tření) Obecně můžeme říct, že Coulombův model poskytuje přesnější výsledky při působení menších tlaků, za podmínky: p   max a v opačném případě kdy: p   max nám použití Trescova modelu přinese lepší výsledky. Kombinaci obou modelů nabízí Lavanovův a Wanheim-Bayův model. Při objemovém tváření se tedy používá nejčastěji rovnice (3.24), zatímco rovnice (3.21) je používána např. při tváření plechů. Pro různé tvářecí podmínky nabývá faktor m těchto hodnot:  m = 0,05 – 0,15 při tváření ocelí a slitin mědi a hliníku za studena s použitím konvenčních mýdlových prášků a emulzí,  m = 0,2 – 0,4 při tváření ocelí a slitin mědi a hliníku za tepla s použitím maziv na bázi grafitu (grafit – voda; grafit – olej),  m = 0,1 – 0,3 při tváření titanu a slitin vysokou teplotou tání se sklem jako mazivem,  m = 0,7 – 1,0 tváření bez použití maziv, např. válcování plechů a sochorů za tepla, protlačování hliníkových slitin. Maziva neovlivňují jen třecí faktor, ale také přestup tepla mezi teplým polotovarem a studeným nástrojem. 

Procesy opotřebení

Opotřebení je nežádoucí změna (úbytek) povrchu nebo rozměrů tuhých těles, způsobená buď vzájemným působením funkčních povrchů, anebo funkčního povrchu a média, které opotřebení vyvolává. Projevuje se odstraňováním či přemísťováním částic hmoty z funkčního povrchu mechanickými účinky, někdy doprovázenými i jinými vlivy, například chemickými, elektrochemickými a pod. Existuje šest základních druhů opotřebení: abrazivní, adhezivní, erozivní, únavové, kavitační a vibrační. Měření lze kvantitativně popsat pomocí opotřebení Ws [mm3/N.m] (definovaným jako objemová ztráta materiálu v závislosti na délce kontaktu a přítlačné síle). S opotřebením se v matematické analýze válcování můžeme setkat buď v podobě modelů aplikovaných do programů na bázi MKP, které dokáží vypočítat míru opotřebení nástroje, nebo v podobě změny počáteční geometrie válce. 

Procesy mazání

Pokud vycházíme ze základního tribologického systému, mohou nastat čtyři základní stavy tření:

46


   

Tření suchých těles (suché tření) Tření kapalinové Tření plynné Tření plazmatické Jednotlivé stavy se v praxi vyskytují omezeně, často nastává kombinace jednotlivých druhů. Při kluzném tření dvou pevných kovů vznikají podle Stribecka při určitém zjednodušení 4 druhy tření:  Suché tření je charakterizováno vysokou hodnotou koeficientu tření  Hraniční tření vzniká mezi dvěma kluznými plochami, mezi kterými je velice tenká molekulová vrstva mazacího filmu. Je charakterizováno tím, že se při zvyšující se relativní rychlosti třecích ploch výrazně snižuje koeficient tření. Hraniční tření vzniká při velikém zatížení a relativní malé kluzné rychlosti.  Hydrodynamické tření vzniká při tak vysoké relativní kluzné rychlosti, při které nelze přesně stanovit závislost mezi koeficientem tření a relativní kluznou rychlostí. Tření vzniká působením vnitřního tření mazací vrstvy. U hydrodynamického tření roste koeficient tření v závislosti na relativní kluzné rychlosti jen velice pomalu. Kromě toho je velikost koeficientu tření výrazně závislá na středním tlakovém napětí mazacího filmu. Čím vyšší je plošný tlak, tím nižší je hodnota koeficientu tření.  Smíšené tření je definováno jako přechodná oblast mezi hraničním třením a hydrodynamickým třením. Tlak přenášející mazací film hydrodynamického tření je v důsledku vrcholků drsnosti povrchu třecích ploch přerušován. Smíšené tření vzniká především při nízkých relativních kluzných rychlostech a vysokých zatížených při tenkých tekutých mazacích filmech anebo při nedostatečném přísunu maziv k třecím plochám. Existují různé metody stanovení modelu tření (při válcování): metoda s využitím předstihu, metoda brzdění vzorku, metoda kroutícího momentu.

Σ

Shrnutí Problematika tření je největším zdrojem chyb při matematickém modelování tvářecích procesů. Do hry vstupuje celá řada faktorů, které se v drtivé většině případu zjednodušují na pouhou znalost koefientu (Coulomb) nebo součinitele (Tresca) tření.

3.5.

Tok kovu

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Zákon toku kovu cestou nejmenšího odporu, deformační odpor, tření

47


Výklad Podle zákona nejmenšího odporu se částice kovu přemísťují ve směru nejnižšího deformačního odporu, neboť je to energeticky nejvýhodnější. Průběh toku kovu ovlivňuje vlastnosti a kvalitativní parametry výrobku a silové a energetické požadavky na proces.    

Tok kovu závisí hlavně na: geometrii a způsobu pohybu nástrojů, podmínkách tření, teplotních a rychlostních podmínkách v pásmu deformace (deformační odpor) a na tvaru tuhých konců polotovaru.

První tři body již byly podrobně rozepsány v předcházejících kapitolách. Tuhé konce‚ tedy ta část, která neleží v oblasti pásma deformace polotovaru, ovlivňují výsledný tok kovu při válcování velmi významně. To je z technologické praxe známá věc, že počátek a konec provalku šíří zcela jinak, než oblasti válcované v tzv. ustáleném stádiu válcování. Při matematickém modelování, je tedy zapotřebí dostatečně dlouhých tuhých konců s přiměřenou hustotou konečnoprvkové sítě. Tuhé konce navíc průběh deformace v provalku ovlivňují i vlastní hmotností, kdy může při válcování nesymetrických vývalků docházet ke zkrucování vývalku kolem jeho podélné osy.

Σ

Shrnutí Tok kovu ovlivňují činitelé mající přímý vliv na deformační odpor a také geometrie polotovaru a nástrojů a tuhé konce. Právě délka tuhých konců bývá často při simulacích podceňována.

48


Otázky ke kapitole 3 3.1. Definujte jednotlivé složky systému tváření kovů. 3.2. Co všechno ovlivňuje tok kovu při tváření? 3.3. Jaké znáte materiálové proměnné při tváření? 3.4. Jaké znáte procesní proměnné při tváření? 3.5. Co je to anizotropie? 3.6. Na čem závisí přirozený deformační odpor? 3.7. Jaké existují typy rovnic pro popis přirozeného deformačního odporu? 3.8. Definujte metalurgickou tvařitelnost. Jak se liší od technologické tvařitelnosti? 3.9. Co je to lomové kritérium? Jak lze stanovit jeho kritickou hodnotu? 3.10.

Jaké znáte tepelné vlastnosti materiálu? Definujte je.

3.11.

Jak tepelné vlastnosti materiálu ovlivňují vedení tepla?

3.12.

Co je součástí tribologického procesu?

3.13.

Charakterizujte povrch polotovaru z pohledu tvaru a rozměru.

3.14.

S jakými parametry pracujeme, posuzuje-li kontakt z makroskopického hlediska?

3.15.

Jak je definován součinitel tření?

3.16.

Za jakých podmínek dochází ke kluznému tření?

3.17.

Jaký model popisuje smykové tření?

3.18.

Jaký model tření použijete při objemovém tváření za tepla?

Úlohy k řešení ke kapitole 3 3.1.Nakreslete schéma systému tváření kovů pro zápustkové kování. 3.2.Nakreslete křivku popisující deformační odpor při tváření za tepla, definujte všechny související parametry.

Další zdroje [01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988, ISBN 04-408-88 [02] KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element method. Oxford University Press, Inc. New York 1989, ISBN 0-19-504402-9. [03] LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical

Simulation of the Properties of Hot Rolled Products, Elsevier Science Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4

49

Termomechanická analýza ve tváření

4. TERMOMECHANICKÁ ANALÝZA VE TVÁŘENÍ Cíl:




Rozeznat jednotlivé úrovně termomechanické analýzy při tváření



Definovat vazby mezi jednotlivými proměnnými systému



Aplikovat 4 kroky pro úspěšné použití simulace při analýze tváření.

Obsah kapitoly 4 4.1. 4.1.

Úvod

Úvod

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Globální, místní a mikroskopická analýza, rekrystalizace, precipitace, deformační odpor, deformační rychlost, tok kovu, teplotní pole

Výklad Pro dokonalý návrh, řízení a optimalizaci tvářecích procesů potřebujeme mít informace o toku kovu, napětích a přestupu tepla, stejně jako technologické informace o mazání, o způsobu ohřevu a ochlazování, o manipulaci s materiálem, o tvaru a zpracování nástrojů a o tvářecím zařízení. Důvodem proč analyzovat proces tváření je popsat mechaniku procesů plastické deformace s ohledem na následující body:  Nalézt kinematické vazby (tvar, rychlost, deformační rychlost, deformace) mezi nedeformovanými částmi a polotovarem; tj. predikce toku kovu během tvářecí operace. Tento bod také zahrnuje predikci teploty a přestupu tepla, protože tyto proměnné mají velký vliv na místní podmínky toku kovu.  Nalézt limity tvařitelnosti nebo výrobnosti; tj. určit, zda je možno provést danou tvářecí operaci bez vzniku povrchových nebo vnitřních defektů (trhlin nebo přeložek).  Predikovat napětí, síly a energii potřebné k uskutečnění tvářecí operace. Tyto informace jsou nezbytné při návrhu nástrojů a pro výběr přiměřeného zařízení s adekvátní silovou a energetickou kapacitou.

- 50 -


Celková analýza je tedy prostředkem, který nám umožní odhadnout, jaký bude tok kovu, zda bude dosaženo požadovaného tvaru a jaké budou mechanické parametry produktu. Pro jakýkoliv tvářecí (viz. tabulka 4.1):

problém můžeme navrhnout obecné úrovně problému

Tabulka 4.1 Úrovně simulace procesu Úroveň

Výsledky

1. úroveň – globální analýza

Síla Práce Výkon Teplotní pole Termomechanické parametry ( T ,  , , )

2. úroveň – místní analýza 3. úroveň – mikroskopická analýza

Velikost zrna Zpevňování Uzdravování Fázové transformace Precipitace …

1. úroveň Výsledky znalostí první úrovně jsou nezbytné pro stanovení základních technických parametrů tvářecích strojů a provozů. Nejdůležitější je přesné stanovení geometrie tvářeného tělesa před a po deformaci, jeho hmotnost, teplotní pole, požadovanou sílu a z toho práci a výkon. Toto umožňuje buď navrhnout klasické (technologicky zvládnuté) výrobní zařízení, nebo může vést k zásadním inovačním změnám. 2.úroveň Ke zjištění základních termomechanických veličin a jejich průběhů ve tvářeném tělese se dnes nejčastěji využívá metoda konečných prvků (MKP). 3. úroveň Její složitost je nejlépe znázorněna na vývojovém diagramu obr. 4.1. , kde jsou zachyceny základní vazby (plnými čarami) a naznačeny další interakční děje (tečkovanými čarami). Provázanost a složitost vztahů je zde veliká. Každé jednotlivé problematice a ještě dalším dějům (např. překrystalizace) musí být věnována samostatná pozornost, avšak bez ztráty zřetele souvislého celku. Pokud budeme uvažovat i precipitační děje, tak se celá struktura ještě více zkomplikuje.

- 51 -


Obr. 4.1.. Vícestupňová simulace pro řešení tvářecích parametrů.

Vzájemné vazby mezi technologickými parametry procesu a hlavními veličinami z první a druhé skupiny jsou ve zjednodušené formě znázorněny na obr. 4.2. Proměnné z třetí skupiny je možno s daným schématem spojit přes jejich vliv na deformační odpor.

Obr. 4.2.. Interakce mezi hlavními proměnnými ve tváření kovů.

Celkově lze říci, že pro úspěšné použití simulace, vedoucí k praktické aplikaci, jsou nutné nejméně tyto čtyři předpoklady: 1. Existence modelového schématu toku kovu a modelu přestupu tepla v diferenciálních rovnicích a vhodný matematický a počítačový program (na bázi MKP). 2. Rovnice a konstanty pro popis křivek zpevnění, strukturních změn, teplotního pole, atd.

- 52 -


3. Plastometrická simulace, potvrzující platnost a funkčnost (v daných mezích) teoretických vztahů a doplňující je o konkrétní hodnoty. 4. Pilotní simulace, pro verifikaci matematického modelu a okrajových a počátečních podmínek.

Σ

Shrnutí Při modelování můžeme problém zkoumat na globální úrovni (na to nám obvykle stačí funkční analýza) na místní úrovni (zde se nejčastěji setkáme s MKP) a na mikroskopické úrovni (kdy simulujeme např. chování jednotlivých zrn při rekrystalizaci např. metodou MonteCarlo). Pro správně provedenou analýzu je nezbytná znalost vazeb mezi proměnnými v systému. Měli by jste dokázat sami najít další vazby, které nejsou na obr. 4.2. zakresleny.

Otázky ke kapitole 4 4.1. Vysvětlete jednotlivé úrovně termomechanické analýzy tváření. Uveďte příklady. 4.2.Jak mazivo ovlivňuje tvařitelnost? 4.3.Jak rychlost nástrojů ovlivňuje tok kovu při tváření? 4.4.Uveďte příklad jak lze při poloprovozním válcování verifikovat okrajové podmínky matematické analýzy? 4.5.Co je to plastometr?

Úlohy k řešení ke kapitole 4 4.1.Navrhněte plastometrický experiment pro ověřenímodelu deformačního odporu oceli.

Další zdroje [01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988, ISBN 04-408-88 [02] KOBAYASHI, S., OH, S., ALTAN, A. Metal forming and the finite element method. Oxford University Press, Inc. New York 1989, ISBN 0-19-504402-9. [03] LENARD, J.G., PIETRZYK, M., CSER, L. Mathematical and Physical

Simulation of the Properties of Hot Rolled Products, Elsevier Science Ltd,1999, 364 p., ISBN 0 08 042701 4

- 53 -

Matematické modely

5. MATEMATICKÉ MODELY Cíl:    


Rozlišovat modely pro popis toku kovu Používat modely pro popis přestupu tepla. Diskutovat o možných chybách při použité nesprávných modelů. Sestavit kompletní model pro popis vývoje mikrostruktury.

Obsah kapitoly 5 5.1. Model toku kovu 5.2. Model přestupu tepla 5.3. Mikrostrukturní model 5.1.

Model toku kovu

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Pružně-plastická formulace, Tuho-plastická formulace, Tuho-vazko-plastická formulace

Výklad 

Pružně-plastická formulace MKP

Obecně je pro tváření, kde převládají velké plastické deformace, preferován tuhoplastický materiálový model. Některé úlohy, např. z tváření plechů, obecně všechny úlohy řešící zbytková pnutí, musí být simulovány s použitím pružně plastického materiálového modelu. a) Konstitutivní rovnice Pro pružnou oblast platí zobecněný Hookův zákon: 1 v  v  . (5.1) d ije    d ij    ij  d kk  E  1 v  Pro plastickou oblast teorie Prandtl-Reuss (s HMH podmínkou plasticity) zahrnující pružnou i plastickou oblast: d ij  d ije  d ijp , (5.1) d ijp  d   ij

,

- 54 -

(5.2)

Matematické modely

2 s  ij   ij   2 3    d ke  v  d ij  2  G d ij   ij   d kk   ij  ke  1 2  S   kde

,

(5.3)

,

(5.4)

ij je deviátor napětí,  je Poissonova konstanta, G je modul pružnosti ve smyku, ij je Kroneckrovo delta (pro i = j je ij = 1; pro i  j je ij = 0), S je materiálová konstanta,  je intenzita napětí.

1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4.

b) Formulace Používá se Lagrangeova souřadného systému (okamžitá deformace je vztahována k původní nedeformované konfiguraci). Úloha je řešena v prostoru napětí nebo v deformaci. Neznámou veličinou je posunutí. Základní funkcionál je založen na variačním principu nebo na principu virtuálních prací. Pro velké deformace se používá přírůstkového řešení. c) Výhody Bere v úvahu přechod od pružného k plastickému stavu (např. Poissonova konstanta   f ( ) ). V řešení je zahrnuta pružná i plastická oblast. Je uvažováno s geometrickou nestabilitou a nehomogenitou. Lze postihnout zbytková napětí, odpružení a tření.

d) Nevýhody 1. Komplikované řešení pro nelineární tváření materiálu. 2. Vysoké nároky na výpočetní čas, zejména je-li použita teorie tečení. 3. Numerické chyby se mohou akumulovat. 

Tuho-plastická formulace MKP

a) Konstitutivní rovnice Levy-Misesův materiálový zákon: 2   ij    ij [Pa] 3    Re pro tuhý materiál, kde

,

  Re pro plastický materiál, Re mez kluzu,  je intenzita rychlosti deformace. b) Formulace 1. Používá se Eulerův systém souřadnic (deformace je vztahována k okamžité hodnotě). 2. Neznámou je rychlostní pole.

- 55 -

(5.5)

Matematické modely

3. Problémy související s požadavky plnění podmínky nestlačitelnosti se ve funkcionálu , (5.6)         Ti  ui  dS 



řeší použitím penalizační funkce nebo Lagrangeova multiplikátoru. 4. Analýza nestacionárního tvářecího procesu je prováděna inkrementálně prostřednictvím velkého počtu malých ustálených (stacionárních) deformačních kroků. c) Výhody 1. V každém iteračním kroku je dán linearizovaný vztah mezi napětím a rychlostí deformace. 2. Pro nestacionární problémy je použito kvazi-stacionární řešení. 3. Krátký výpočetní čas. d) Nevýhody 1. Nelze zahrnout pružné zatížení. 2. Nelze počítat s geometrickou nelinearitou a nehomogenitou. 

Tuho-vazko-plastická formulace MKP

a) Konstitutivní rovnice Materiál je považován za „ne newtonovskou“ kapalinu, pro kterou je adaptována podmínka plasticity HMH. b) Formulace řešení Stejná jako tuho-plastická formulace. c) Výhody 1. Je možná simulace tváření za tepla. 2. Každý iterační krok má fyzikální smysl nestacionárního procesu. d) Nevýhody 1. Pružná deformace je zanedbána. 2. Systém nelineárních rovnic je citlivý na koeficient viskozity. 

Okrajové podmínky

Napěťová okrajová podmínka na  F může být buď nulová nebo v nejlepším případě popsána rovnoměrným hydrostatickým tlakem. Avšak na styčné ploše mezi nástrojem a polotovarem bývá okrajová podmínka obvykle smíšená. Kromě toho, ani rychlost a ani síla (počítaje v to velikost i směr), nemůže být na styčné ploše zcela předepsána, protože třecí napětí působí v opačném směru než vzájemná rychlost mezi polotovarem a nástrojem, přičemž tato rychlost nebývá apriori známa.

Σ

Shrnutí Rozeznáváme tři základní formulace MKP. Jejich výběr se řídí typem úlohy, kterou chceme řešit. Zohledňujeme složitost výpočtu a případné chyby plynoucí z přílišného zjednodušení.

- 56 -

Matematické modely

5.2.

Model přestupu tepla

Čas ke studiu: 1 hodina Pojmy k zapamatování Biotovo kritérium, okrajové podmínky, součinitel přestupu tepla

Výklad 

Úvod

Poměrně malá znalost průběhu teplot v kovu během válcování souvisí se značnou složitostí tohoto procesu, neboť změna teplot válcovaného kovu je ovlivněna odvodem tepla, zejména konvekcí a sáláním, a přívodem tepla při deformaci kovu. Dále složitost řešení změny teplotního pole válcovaného kovu spočívá v tom, že se jedná v celém objemu o nestacionární přestup tepla, tedy o časově neustálený tepelný děj (obr. 5.1). 1200

1180 x bar + s

1160

teplota [°C]

x bar

1140

1120

x bar - s

1100

1080

1060 9:20:00

9:30:00

9:40:00

9:50:00

10:00:00

10:10:00

10:20:00

10:30:00

10:40:00

čas [h:m:s]

Obr. 5.1 Průměrné teploty tyčí za 1. stolicí. (HCC, ArcelorMIttal Ostrava)

- 57 -

Matematické modely

b °C 1 014

a

1 115 °C 1 166 °C

1 010 °C

1 055 °C

1 600

b

Směr válcování

1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

Obr. 5.2. Povrchové teploty při válcování kolejnice R 65 v 5. kalibru: a) schéma teplot naměřených pyrometrem, b) fotografie povrchu.

Pokles teploty při válcování profilové oceli je poněkud odlišný než při válcování bloků a bram, neboť složitost tvaru profilu vnáší do rozdělení teplot po jeho průřezu celou řadu zvláštností. Základní rozdíl spočívá v tom, že při průchodu provalku kalibrem nastává při plastické deformaci složitější tečení kovu, než při válcování na hladkých válcích, čímž se značně komplikuje stanovení počáteční podmínky řešení po každém průchodu kalibrem. Další komplikace vzniká tím, že válcovaný profilový provalek nechladne rovnoměrně, vznikají tepelné uzly a tenčí části profilu chladnou rychleji, což znerovnoměrňuje teplotní pole po jeho průřezu. Typickým příkladem je válcování kolejnice R65 v pátém, tzv. rozřezaném, kalibru, viz. obr. 5.2., kdy při oddělování budoucí hlavy a patky proniká hřeben kalibru hluboko dovnitř provalku a odkrývá tak vnitřní vrstvy kovu s mnohem vyšší teplotou.

- 58 -

Matematické modely

Teplotní změny provalků v průběhu válcovacího procesu možno zjednodušeně vyjadřovat jako změny průměrné teploty provalku, nebo přesněji, jako změny teplotního pole po průřezu provalku po délce válcovací tratě. Pro kalibrační výpočty bylo zatím uvažováno s průměrnou teplotou provalku, což nevystihuje teplotní podmínky u tvarově složitého sortimentu. Určení teplotního pole po průřezu je obtížnější s ohledem na definování okrajových podmínek. 

Matematické modelování změn teplot při válcování tvarových vývalků

Při řešení změn teplotních polí válcovaného materiálu je možno obecně použít analytické nebo numerické metody řešení. Analytické řešení Fourierovy diferenciální rovnice popisující nestacionární vedení tepla je možno provést různými metodami. Fourierova diferenciální rovnice pro těleso popsané v kartézské soustavě souřadnic má následující tvar:

  2t  2t  2t  t  a .  2  2  2   y z   x

[K.s-1]

,

(5.7.)

kde a je součinitel teplotní vodivosti [m2.s-1], t je teplota [K],  je čas [s], x,y,z jsou souřadnice [m]. 

Podmínky jednoznačnosti

Správné stanovení kinetiky změny teplotního pole závisí na podmínkách jednoznačnosti: fyzikálními podmínkami – součinitel tepelné vodivosti, hustota, měrná tepelná kapacita aj.; geometrickými podmínkami – tvar a rozměry kolejnice; okrajovými podmínkami (počáteční + povrchové) – charakterizují počáteční rozložení teplot v tělese a vzájemné působení mezi tělesem a okolím. Počáteční podmínky definují rozložení teplot v provalků počátečním stavu řešení. Při řešení se používají zejména dva druhy počátečních podmínek: 1. Teplota je v počátečním čase řešení konstantní ve všech bodech provalku. , (5.8) t  t 0  konst 2. Rozdělení teplot v počátečním čase řešení je popsáno známou funkční závislostí (obr. 5.3.). t x, y, poč   konst [°C] , (5.9)

Obr. 5.3. Teplotní pole před válcováním, popsané pomocí exponenciální funkce. (Výsledek

operace ochlazování)

- 59 -

Matematické modely

Obr. 5.4. Teplotní pole po válcování, obvykle velmi složité, standardně nelze pomocí

programů na bázi MKP zadat. Rozložení teplot u tvarově složitých vývalků je ovlivněno podmínkami válcování, které lze např. vyjádřit pomocí poměru délky oblouku záběru ku počáteční tloušťce materiálu. Průběh teplotních nárůstů vlivem plastické deformace lze pak vyjádřit jako pro ld/h0 < 0,7 je ∆tdef = f1 (y) [K] , (5.10) pro ld/h0 = 0,7 až 1 je ∆tdef = f2 (y) [K] , (5.11) pro ld/h0 = 0,7 až 1 je ∆tdef = f3 (y) [K] , (5.12) kde f1 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5a, f2 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5b, f3 je funkce ∆tdef podle obr. 5.5c,

ld  R.h - délka pásma deformace [m], R – poloměr válce [m], h – absolutní výšková deformace [m]. y

y

a

h0

tdef

y c

b

h0

h0

tdef

tdef

Obr. 5.5. Průběh přírůstku teplot pro podmínky válcování.

Mimo vznik deformačního tepla při válcování, existuje celá řada dalších činitelů, kteří ovlivňují rozložení teplot po průřezu kolejnice, jako např. vznik tepla vlivem tření, kontakt provalku s dopravníkem a v hlavní míře kontakt provalku s válci, kdy dochází k intenzivnímu - 60 -

Matematické modely

přestupu tepla, který je však ovlivněn celou řadou těžko definovatelných parametrů (přítomnost okují, chlazení válců vodou apod.). Ohřevem zkoumaného vzorku v peci tedy nelze dosáhnout shodného rozložení teplot, jako u materiálu válcovaného, a to zvláště u tak složitého profilu, jako jsou kolejnice. Rozdíl v počátečních podmínkách matematického modelu a skutečné kolejnice se projeví chybou řešení v průběhu výpočtu. Tato chyba dosahuje nejvyšších hodnot v počáteční fázi ochlazování a s teplotou se následně snižuje. Povrchové podmínky charakterizují tepelné poměry na povrchu provalku. Obecně lze definovat čtyři druhy povrchových podmínek: Podmínka I. druhu (Dirichletova) V libovolném časovém okamžiku je známo rozložení teplot na povrchu:

tp  f 1 

,

(5.13)

kde tp je teplota povrchu [°K],  je čas [s]. Podmínka II. druhu (Neumanova) V libovolném časovém kroku je známá hustota tepelného toku povrchem 

t x

x 0

 q  f 2 

,

(5.14)

kde  je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1], q je hustota tepelného toku [W.m-2]. Podmínka III. druhu (Fourierova) V každém časovém okamžiku je známá teplota okolního prostředí a je dán matematický vztah pro přestup tepla mezi prostředím a povrchem tělesa t  x 0    tp  to  x , (5.15) -2 -1 kde  je součinitel přestupu tepla [W.m .K ]. Podmínka IV. druhu Povrch tělesa je vystaven tepelnému působení jiného tělesa s nímž je v přímém kontaktu. Dotyk na povrchu obou těles je zcela dokonalý, takže teplota dotýkajících se bodů těles je stejná. Tato podmínka tedy vyjadřuje rovnost tepelných toků na rozhraní obou těles 

t1 x1

x 0

 

t 2 x 2

.

x 0

(5.16)

Povrchové podmínky zohledňují odvod tepla při chladnutí kolejnice po válcování. Použití povrchové podmínky II. druhu je v praktickém měření obtížné. Při neznalosti povrchové podmínky I. druhu je výhodnější použití povrchové podmínky III. druhu, která vyžaduje znalost celkového součinitele přestupu tepla konvekcí a sáláním C. Hodnoty tp lze pak stanovit extrapolací hodnot teplotního gradientu experimentálního měření vnitřních teplot vzorku kolejnice.

- 61 -

Matematické modely



Volné ochlazování na vzduchu

V nedávné době byla většina standardních kolejnic ochlazována tímto způsobem. Při sdílení tepla se projevuje záření povrchu oceli a volná konvekce. Tento způsob je nejjednodušší, ale vykazuje nízkou intenzitu chlazení. Pro určení součinitele  lze použít tyto vztahy: , (5.17)  c   k   s [W.m-2.K-1] kde k je součinitel tepelné vodivosti konvekcí [W.m-2.K-1], s je součinitel tepelné vodivosti sáláním [W.m-2.K-1]. Určení součinitele přestupu tepla konvekcí: Nu   k  [W.m-2.K-1] l kde

Nu  c  Gr  Pr 

n

,

je Nusseltovo kritérium (sdílení tepla konvekcí) [ - ],

(5.18) (5.19)

g    T  l 3 je Grasshoffovo kr. (přir. konvekce vazké tekutiny) [ - ], (5.20) v2 v je Prandtlovo kritérium (sdílení tepla v tekutinách) [ - ], (5.21) Pr  a  je součinitel tepelné vodivosti [W.m-1.K-1], l je charakteristický rozměr [m], g je tíhové zrychlení [m.s-2],  je teplotní objemová roztažnost [K-1], T je rozdíl teplot [K], v je kinematická viskozita tekutin [m2.s-1], a je součinitel teplotní vodivosti [m2.s-1]. Gr 

Tabulka 5.1 Hodnoty koeficientů c, n v rovnici (5.19) Rozmezí platnosti 1  10-3 < Gr  Pr < 5  102 5  102 < Gr  Pr < 2  107 2  107 < Gr  Pr < 1  1013

c 1,180 0,540 0,135

n 0,125 0,250 0,330

Určení součinitele přestupu tepla zářením:

 T p  4  T  4     ok   C0   n   100    100   s  Tp  Tok 

[W.m-2.K-1]

,

Kde n je součinitel poměrné pohltivosti, který se stanoví z obecného vztahu: 1 n  [-] , 1  1    1.12    1. 21  1  1   2  kde 1, 2 je součinitel poměrné pohltivosti pro povrch 1; 2 ,

- 62 -

(5.22)

(5.23)

Matematické modely

12, 21

jsou úhlové součinitele přenosu tepla sáláním z povrchu 1 na povrch 2 a z povrchu 2 na povrch 1. Povrch 1 tvoří povrch kolejnice, hlava, pata, boční stěny. Povrch 2 tvoří plocha okolí nebo chladníku. Pro horní plochu hlavy a spodní plochu paty ležící kolejnice je úhlový součinitel 12 = 1. Pro svislé stěny kolejnice je úhlový součinitel S [-] , (5.24) 12  3 S1 kde S3 je fiktivní plocha daná délkou kolejnice a vzdáleností mezi horním koncem paty a dolním koncem hlavy kolejnice v metrech, S2 je plocha vnitřní stěny kolejnice v metrech. Pro sálání spodní stěny kolejnice na chladník lze předpokládat sálaní dvou rovnoběžných ploch, pak 12 = 1 a 21 = 1. Na obr. 5.5. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě a emisivitě ochlazovaného povrchu. Graf byly vypočten programem TTSteel 2.0 na základě rovnic (5.22) až (5.24).

-1

-1

součinitel přestupu tepla (W.m .K )

250 emisivita 1,0 emisivita 0,8

200

emisivita 0,6 emisivita 0,4

150

emisivita 0,2

100

50

0

0

100

200

300

400

500 600 700 Teplota (°C)

800

900 1000 1100 1200

Obr. 5.5. Závislost  na teplotě a emisivitě ochlazovaného povrchu pro teplotu vzduchu 20 °C.



Zrychlené ochlazování vodou

Voda je nejintenzivnější kalící prostředí. Její předností je vysoká ochlazovací účinnost v oblasti perlitické přeměny. Chlazení je založeno zejména na odpařování vody. Při vysokých teplotách oceli se vznikající bubliny spojí v souvislou parní blánu a začne blánový var (při Tp  250°C). Vytvoří se tenká vrstva vodní páry, tzv. parní polštář. Tato vrstva působí jako izolátor a intenzita ochlazování klesá. Na sdílení tepla se podílí záření přes vrstvu a vedení. K narušení parního polštáře napomáhá cirkulace vody, přidání vhodných přísad do lázně (hydroxidy, soli), nebo je možno použít k chlazení vodní sprchu (velmi intenzívní odvod tepla). Určit velikost součinitele můžeme např. z tepelné bilance:

- 63 -

Matematické modely

Qchl    (Tp  Tv )  S  chl kde

-2

,

(5.25)

,

(5.26)

-1

α je součinitel přestupu tepla [W.m .K ], Tp je teplota povrchu před chlazením [°C], Tv je teplota vody [°C], S je povrch [m2], chl je doba chlazení [s].

Qchl  m  c  t kde

[J]

[J]

m je hmotnost [kg], c je měrné teplo provalku [J.kg-1.K-1], T je pokles teploty povrchu [°C].

Na obr. 5.6. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě ochlazovaného povrchu pro klidnou vodu při teplotě 30 a 70 °C (zdroj: databáze programu TTSteel 2.0).

-1

-1

Součinitel přestupu tepla (kW.m .K )

25

20

30 °C 70 °C

15

10

5

0 0

100

200

300

400 500 Teplota (°C)

600

700

800

900

Obr. 5.6. Závislost  na teplotě pro vodu o teplotě 30 a 70 °C.



Zrychlené ochlazování vzduchem

Používá se proud vzduchu z ventilátoru nebo také trysky se stlačeným vzduchem. Intenzita je menší než u vody, odpadá však riziko vzniku parního polštáře a riziko přechlazení. Hlavní odvod tepla je konvekcí (nucené proudění), součinitel   150 – 800 W.m-2.K-1. K přibližnému určení součinitele  lze využít tyto vztahy : Obtékání válce:

Nu  C  Re m  Pr n     

[-]

,

(5.27)

,

(5.28)

Obtékání hranolu:

Nu  C  Re m  Pr 0,33 kde

[-] Re je Reynoldsovo kritérium, Pr je Prandtlovo kritérium,  je teplotní součinitel, u plynů  = 1, - 64 -

Matematické modely

 je součinitel zahrnující úhel dopadu proudění. Tabulka 5.2. Hodnoty konstant v rovnici (5.27), (5.28) Rozmezí platnosti 5  Re  1103 1103  Re  2105 2105  Re  2106

C 0,500 0,250 0,023

m 0,5 0,6 0,8

n 0,38 0,38 0,37

Na obr. 5.7. je uvedena závislost součinitele přestupu tepla na teplotě ochlazovaného povrchu a rychlosti proudění vzduchu (emisivita je 0,8, což odpovídá zokujenému ocelovému povrchu nad 500 °C). Graf byly vypočten programem TTSteel 2.0 podle rovnice (5.28).

700

Rychlost proudění 5 m/s Rychlost proudění 10 m/s Rychlost proudění 15 m/s Rychlost proudění 20 m/s v klidu

-1

-1

Součinitel přestupu tepla (W.m .K )

800

600 500 400 300 200 100 0 0

200

400

600 Teplota (°C)

800

1000

1200

Obr. 5.7. Závislost  na teplotě ochlazovaného povrchu rychlosti proudění vzduchu pro teplotu vzduchu 20 °C a emisivitu 0,8.



Kontakt provalku s válci

Typický průběh teploty v závislosti na čase je uveden na obrázku. Pomocí inverzní analýzy byl hledán součinitel přestupu tepla, který nejlépe popíše naměřená data. Úbytek tepla pásu při jednom průchodu je dán následující rovnicí:

Q    c  Tvstup  Tvýstup    p   i

,

(5.29)

Jestliže zanedbáme odvod tepla vlivem ochlazování na vzduchu, bude celkový úbytek tepla roven tepelnému toku kontaktním povrchem. Součinitel přestupu tepla pak počítáme:



  c  T

vstup

 Tvýstup    p   i 

2  Tpásu  Tválců  t

,

- 65 -

(5.30)

Matematické modely

Obr. 5.7. Závislost teploty na čase při válcování, deformace 20 %, rychlost válců 4 ot.min-1.

Srovnání naměřených a vypočtených hodnot pro různé hodnoty součinitele přestupu tepla. Příklady vypočtených součinitelů přestupu tepla na laboratorní válcovací trati, jsou uvedeny v tabulce 5.3. Měření prováděných v průmyslových (provozních) podmínkách je velmi málo. Na válcovně pásů se součinitel přestupu tepla pohybuje od 75 kW.m-2.K-1 (počáteční úběry) po 88 kW.m-2.K-1 (finální úběry). Tabulka 5.3. Hodnoty vypočtených součinitelů přestupu

- 66 -

Matematické modely

Σ

Shrnutí Nejen při tváření za tepla, ale i při tváření za studena hraje svoji roli vedení tepla. Kromě správného zadání tepelných vlastností materiálu je nejdůležitější stanovení součinitele přestupu tepla. Zatímco výpočet ochlazování tělesa do okolního vzduchu je poměrně snadné a přesné, pokud je použito jiné ochlazovací médium (voda, olej) a nebo se jedná o kontakt s nástroje, je situace daleko složitější.

5.3.

Mikrostrukturní model

Čas ke studiu: 1,5 hodiny Pojmy k zapamatování Dynamická, metadynamická a statická rekrystalizace, precipitace, zotavení

Výklad 

Model velikosti zrna a částečného změkčení

Během jednotlivých úběrů rozhoduje součet zbytkových a okamžitých deformací, jaký ze změkčovacích mechanizmů (statická rekrystalizace (SRX) nebo dynamická rekrystalizace (DRX) následovaná metadynamickou rekrystalizací (MDRX)) proběhne. V závislosti na mechanizmu změkčení se používají různé rovnice pro vyjádření velikosti zrna a částečného změkčení. Pro zjednodušení se předpokládá, že teplota během válcování klesá kontinuálně, proto se pro daný meziúběrový interval používá teplota, vypočtená jako průměr teploty při předcházejícím a následném úběru. 

Změkčení mezi úběry

Rovnice pro výpočet kinetiky rekrystalizace je úpravou Avrami-Johnson-MehlKolmogorovy rovnice: q        , X ( )  1  exp  0.693     0,5   

(5.31)

kde  50 je čas nutný pro uzdravení poloviny struktury rekrystalizací, q = 1 pro SRX a q = 1,5 pro MDRX. Pro popis času  50 jsme pro danou ocel použili následující vztahy: 

MDRX 0,5

  300000   1,1    exp    RT  

0 ,8

 230000  , exp    RT 

- 67 -

(5.32)

Matematické modely

 230000  ,   RT 

15  0SRX   2,5  d 02 exp  , 5  2,3  10

(5.33)

kde d 0 je průměr počátečního zrna (µm),  je intenzita rychlosti deformace (s-1),  je intenzita deformace (-), T je teplota (K), R je univerzální plynová konstanta 8,314 (J.mol-1K-1). Přechod dynamické rovnováhy do stacionárních podmínek bez působení vnějšího napětí nazval J. Jonas postdynamickými procesy. Jejich průběh závisí především na:  konečném stavu dislokací po tváření,  charakteru struktury,  teplotě,  ochlazovací rychlosti. Podle původních předpokladů měl úplný změkčovací proces dvě základní stádia, a to statické zotavení (SRV) a SRX. Jedná se tedy o dvoustupňový proces s jednou prodlevou na diagramu změkčení - čas. Délka prodlevy závisí především na inkubační době pro SRX. J. Jonas a R.A.P. Djaic zjistili, že po tváření za tepla může mít změkčování třístupňový charakter, a to SRV, MDRX, SRX. Předpokladem pro vznik MDRX jsou dynamicky rekrystalizovaná zrna při tváření, tedy při    cDRX . MDRX proto nevyžaduje žádnou inkubační dobu a její průběh je až o 1 řád rychlejší než u SRX. Probíhá přednostně v místech s maximální deformací. U třístupňového změkčovacího procesu první prodleva, tj. mezi SRV a MDRX, není způsobena inkubační dobou, ale rozdílnými rychlostmi obou procesů. Aktivační energie rekrystalizace je značně větší než zotavení, které je ukončeno před počátkem MDRX. Zvýšením teploty se kinetika obou změkčovacích procesů vyrovnává, takže délka první prodlevy se snižuje. Vliv velikosti deformace na průběh křivek uzdravení je na 08. Souhrnně lze všechny mechanizmy postdynamických uzdravovacích procesů v závislosti na velikosti deformace vyjádřit podle 09.

Obr. 5.8. Průběh uzdravení oceli v závislosti na velikosti deformace a době

- 68 -

Matematické modely

Obr. 5.9. Schematické vyjádření vztahu mezi mechanizmy postdynamického uzdravení a velikostí deformace [59] (εcSRX – 0,8; εcDRX – 0,18; εss = 0,32)



Akumulace deformace mezi úběry

Vlivem částečné rekrystalizace vzniká zbytková deformace, která se musí přičíst k okamžité deformaci při následujícím úběru. Akumulovanou deformaci v průchodu i (i > 1) určíme z rovnice:

 ia   i  K acc (1  X i 1 )   i 1 ,

(5.34)

Konstanta Kacc se vztahuje ke stupni zotavení a jeho hodnota se pohybuje v rozmezí od 0,5, pro dlouhé meziúběrové pauzy (tj. velké zotavení), až po 1, pro krátké meziúběrové pauzy (tj. malé zotavení) [63].  i a  i 1 jsou intenzita deformace v aktuálním a předcházejícím úběru (-), X i 1 je podíl rekrystalizované struktury v předcházející meziúběrové pauze. 

Změna velikosti zrna

1.1.1.1.1

Velikost původního γ zrna

Výchozí velikost γ zrna je funkcí teploty a metalurgického charakteru oceli. Růst zrna ovlivňuje obsah příměsí v tuhém roztoku a částice druhé fáze, které snižují plochu hranic a ukotvují hranice zrn. Obsahují-li oceli precipitáty zůstává zrno malé (20 až 40 µm) až do kritické teploty. Při překročení kritické teploty vzniká směs jemných a hrubých zrn, kterou postupně nahrazuje rovnoměrná hrubozrnná struktura (150 µm). Velikost rekrystalizovaného zrna Velikost zrna po SRX d SRX je silně závislá na deformaci a v menší míře je závislá na deformační rychlosti. Naopak, velikost zrna po MDRX d MDRX je na deformační rychlosti silně závislá. Pro naše potřeby jsme použili následující rovnice:   45000  d SRX  343  d 00, 4   0,5 exp  ,  RT 

(5.35)

- 69 -

Matematické modely

d MDRX

  300000   26000    exp    RT  

0 , 23

(5.35)

,

V případě neúplné rekrystalizace, se počáteční velikost zrna pro následující úběr ( d 0i1 ) vypočítá pomocí následující rovnice:

d 0i 1  d RX i  X i4 / 3  d 0i  (1  X i ) 2 ,

(5.36)

kde d RX i pochází z rov. (2.63) nebo (2.64). Bude-li se hodnota Xi blížit 1, bude počáteční velikost zrna v následujícím průchodu rovna dRX i, v případě že Xi bude malé, bude d 0i 1 blízké původní velikosti d0 i . Růst zrna po rekrystalizaci Po úplné rekrystalizaci je mikrostruktura náchylná k růstu zrna, to je způsobeno poklesem volné energie na hranicích zrn. Existuje významný rozdíl mezi velikosti koeficientu růstu zrna v čase do 1 s a nad 1 s [63]. Tento rozdíl je zřejmě důsledkem rozdílné velikosti sil řídících růst zrna. Vysvětlit to lze přítomností ,,deformačních“ vakancí v okamžiku bezprostředně po doválcování, které mohou ovlivnit růst zrna. To bylo zohledněno přidáním různých exponentů popisujících růst zrna pro každý úběr a použitím následujících rovnic [56]:

SRX , ip  1s ,   113000  2 d 2  d SRX  4  107  ( ip  4,32 0,5 )  exp  ,  RT 

(5.37)

MDRX , ip  1s ,

  113000  2 d 2  d MDRX  1,2  107  ( ip  2,65 0,5 )  exp  ,  RT  SRX , ip  1s ,

  400000  7 d 7  d SRX  1,5  10 27  ( ip  4,32 0,5 )  exp  ,  RT 

(5.38)

(5.39)

MDRX , ip  1s ,

  400000  7 d 7  d MDRX  8.2  10 25  ( ip  2.65 0,5 )  exp  ,  RT 

(5.40)

kde  ip je délka meziúběrové pauzy (s). Velikost zrna feritu po transformaci Hlavními vstupy při výpočtu velikosti feritického zrna jsou: velikost austenitického zrna po posledním průchodu, zbytková deformace a rychlost ochlazování Cr mezi finální teplotou tváření a 500°C. Velikost feritického zrna se vypočte podle rovnice:

- 70 -

Matematické modely

d0  1,4 





5  22  1  exp( 1,5 102 d ) , Cr

(5.41)

Protože zbytková deformace v austenitu zmenšuje výslednou velikost feritického zrna, musí být vzata do úvahy:

d  d0 (1  0,45   r ) ,

(5.42)

Závislost zbytkové deformace po statickém zotavení na velikosti předchozí deformace a na čase je reprezentována rovnicí:

 r  (1  X )   ia ,

(5.43)

kde  ia je akumulovaná deformace z rovnice (5.34). Kritická deformace pro iniciaci DRX Znalost kritické deformace  cDRX je požadovaná při predikci provozních změkčovacích mechanizmů. Je vhodné vyjádřit kritickou deformaci jako funkci deformace na píku  p :

 cDRX  0,8   p ,

 p  5,6  d



0,3 0

  300000     exp    RT  

(5.44) 0,17

,

(5.45)

Model precipitace

Výskyt precipitátů velice intenzivně snižuje rychlost rekrystalizace. Významnou úlohu sehrává historie jejich vzniku. Řada prací potvrdila maximální účinek indukovaných precipitátů velikosti 2,5 až 5 nm. Podstatnými se ukázaly částice vzniklé v dislokační spleti hranic subzrn. Naproti tomu karbidy, nitridy a karbonitridy existující v soustavě ještě před zahájením deformace mají jen malý vliv. Izotermickou deformačně indukovanou precipitaci Nb(C,N) z přesyceného roztoku austenitu popisuje DS (Dutta-Sellars) model. Konečnou rovnice pro čas počátku precipitace zobrazuje vztah (31):   A B  270000   t ps   exp    exp  3 2  Nb    Z  RT   T  ln K s  (5.46)  10 6 Hodnoty konstant v rovnici (5.46) A  3 10 a B  2,5  10 [K3]. Člen Ks vyjadřuje poměr množství Nb a C v roztoku při teplotě ohřevu a teplotě úběru za rovnovážných podmínek.

- 71 -

Matematické modely

Ks 

10 10

6770  2 , 26 TRH  6770  2 , 26 T pass

(5.47) Konstanta A z rovnice (31), která reprezentuje množství precipitačních zárodků na jednotku objemu, je silně závislá na deformaci a teplotě. DS model nebere v úvahu zpomalující účinek Mn na precipitaci. Po vyladění DS modelu přidáním korekčního faktoru zahrnujícího vliv Si a Mn na precipitaci, dostaneme následující rovnici: DS t ps t ps  ( 0, 260,9 Mn 2,85Si) 10 (5.48) Další dva body, které je nutno zahrnout do řešení: 1)stanovení vlivu Si a Mn na rozpustnost karbonitridů Nb a 2) přidání korekčního členu do DS rovnice. 

Mikrostrukturní faktory po transformaci

Pevnost a mez kluzu feriticko-perlitických ocelí závisí na třech parametrech mikrostruktury: velikost feritického zrna dα, podíl feritu fα a mezilamelární vzdálenost perlitu λ. Podíl feritu ve struktuře je možno počítat podle následujících rovnic:





f  fe  5,476  1  exp(0,0106  Cr )  0,723  1  exp  8,8  104  d



, fe  1  C  0,789  0,167  Mn  0,1607  Mn 2  0,0448  Mn3  , 1

(5.49)

(5.50)

Kde C, Mn je obsah prvků v hm. % Interlamelární vzdálenost perlitu stanovíme pomocí rovnice:

  0,1307  1,027  C  1,993  C 2  0,1108  Mn  0,0305  Cr0,52 , 

(5.51)

Mechanické vlastnosti feriticko-perlitických ocelí

Pro výpočet meze kluzu a pevnosti ocelí v závislosti na struktuře a chemickém složení se používá následující rovnice:



 



R02  f  77,7  59,5Mn  9,1  d0,5  145,5  3,5  00,5  478N 0,5  1200P ,



Rm  f  20  2440 N 0,5  18,5  d

0,5

 750  1  f

- 72 -



  1  f0,5  3  00,5  92.5Si ,

( ( 5 . 5 1 ) ( 5 . 4 9 ) 5

Matematické modely

Σ

Shrnutí Seznámili jste se s komplexním modelem pro popis vývoje mikrostruktury. Není nutní si pamatovat jednotlivé rovnice, i když z jiných předmětů už je možná znáte. Důležitá je vzájemná logická návaznost jednotlivých submodelů.

Otázky ke kapitole 5 5.1.Jaký význam má číslo -0,693 v AJMK rovnici? 5.2.Na čem závisí čas pro uzdravení poloviny struktury statickou rekrystalizací? 5.3.Jaké znáte postdynamické uzdravovací procesy? 5.4.Jaká je podmínka pro vznik metadynamické rekrystalizace? 5.5.Na čem závisí původní velikost zrna? 5.6.Jak ovlivňuje zbytkové deformace velikost feritického zrna? 5.7.Co je to precipitace? 5.8.Definujte mezilameární vzdálenost perlitu? 5.9.Na čem závisí pevnost feriticko-perlitické oceli?

Úlohy k řešení ke kapitole 5 5.1. V programu Excel sestavte tabulku, která pro zadané termomechanické parametry bude počítat změnu velikosti zrna při válcování na spojité válcovně pásů 7 úběry.

Další zdroje [01] ŽÍDEK, M., DĚDEK, V., SOMMER, B., Tváření oceli. SNTL, Praha 1988,

ISBN 04-408-88 [02] GÜR, C., H., PAN, J., Handbook of Thermal Process Modeling od Steels, IFHTSE, 2009, ISBN 978-0-8493-5019-1

- 73 -

MODELOVÁNÍ TVÁŘECÍCH PROCESŮ studijní opora

Recommend Documents