Modelování rekonexe magnetického pole pomocí metody konečných prvků

Modelování rekonexe magnetického ˇ pole pomocí metody konecných prvku˚ J. Skála, Univerzita J.E. Purkyn¥, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, jskala @physics.ujep.cz M. Bárta, Max Planck Institute for Solar System Research, Katlenburg-Lindau a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, barta @mps.mpg.de M. Varady, Univerzita J.E. Purkyn¥, Ústí nad Labem a Astronomický ústav AV ƒR, Ond°ejov, mvarady @physics.ujep.cz Abstrakt Magnetická rekonexe ve slune£ních erupcích zahrnuje ohromný rozsah vzájemn¥ propojených ²kál od globálních rozm¥r· erupce aº po ²kály, kde na úrovni kinetických d¥j· probíhá vlastní disipace magnetické energie a urychlování £ástic. Jednu z hlavních nezodpov¥zených otázek tohoto procesu tudíº p°edstavuje fyzikální mechanismus p°enosu volné magnetické energie od velkých m¥°ítek, na nichº je energie akumulována, k disipativním ²kálám. V p°ísp¥vku se zabýváme studiem tohoto problému za pomoci pokro£ilých technik v numerickém modelování. Nejprve prezentujeme výsledky zaloºené na tradi£n¥j²í metod¥ kone£ných diferencí (Finite Dierence Method  FDM ) s pouºitím techniky adaptivního zjem¬ování výpo£etní m°íºe (Adaptive Mesh Renement  AMR). P°estoºe nám tento p°ístup poskytl vhled do mechanismu energetické kaskády v rekonexi, detailní analýza ukázala i n¥která slabá místa, kterými zmín¥ná metoda trpí. Jako mnohem p°irozen¥j²í p°ístup k multi²kálovému procesu magnetické rekonexe se proto jeví numerické modelování metodou kone£ných prvk· (Finite Element Method  FEM ). V p°ísp¥vku p°iná²íme srovnání obou p°ístup· a první výsledky modelování magnetické rekonexe ve slune£ní erupci získané s pomocí FEM. 1. ÚVOD

lit poºadované mnoºství elektron· v tomto pom¥rn¥ velmi malém prostoru. Motivováni snahou po p°eklenutí zmín¥ného propastného rozsahu ²kál Shibata a Tanuma (2001) navrhli schematický koncept fraktální (p°esn¥ji °e£eno kaskádní) rekonexe. Jejich schema p°edpokládá tvorbu celé kaskády magnetických ostrov· (tzv. plasmoid·) mechanismem známým jako tearing instability na plném rozsahu ²kál od typických rozm¥r· globální proudové vrstvy aº po disipativní ²kálu. Hlavní my²lenku jejich koncepce zachycuje obr. 1. V tomto p°ísp¥vku si klademe za cíl ov¥°it a dále rozvinout my²lenku kaskádní rekonexe pomocí numerického modelu popisujícího proces rekonexe v erupci soustavou MHD rovnic. Vzhledem k tomu, ºe se z principu jedná o dynamický systém pokrývající ²iroký rozsah ²kál, standardní metody °e²ení parciálních diferenciálních rovnic zaloºené na superjemné jednoduché strukturované síti jsou z d·vodu obrovského mnoºství sí´ových bod· pot°ebných k

Rekonexe magnetického pole je v sou£asné dob¥ povaºována za hlavní mechanismus uvoln¥ní energie ve slune£ních erupcích. Nicmén¥ mnoho otázek spojených s tímto procesem z·stává otev°ených. Nejmarkantn¥j²ím problémem je obrovský rozdíl mezi charakteristickými rozm¥ry struktur, na nichº je volná magnetická energie akumulována a ²kálami, kde podle teorie dochází k její skute£né disipaci skrze neideální kinetické procesy. Zatímco typické m¥°ítko struktur jejichº pozorování v erupci jsou interpretována jako projev proudové vrstvy je ≈1000 km, typická ²í°ka disipativní proudové vrstvy udávaná teorií je pro parametry koronálního plazmatu pouze ≈10 m. Krom toho, tradi£ní pojetí rekonexe s jedinou disipativní oblastí selhává v konfrontaci se zna£nými toky urychlených elektron· odvozených pom¥rn¥ spolehliv¥ z pozorování v tvrdém rentgenovském zá°ení  je totiº prakticky nemoºné urych84

∇ × B = µ0 j 1 B2 p + ρu2 + (2) U= γ−1 2 2µ0 µ ¶ (u · B) η B2 u− B+ j×B S = U +p+ 2µ0 µ0 µ0 Mikroskopické (kinetické) efekty vstupují do velko²kálové dynamiky p°es transportní koecient zobecn¥né rezistivity η . Protoºe v rámci MHD modelu není moºné popsat vlivy kinetických efekt·, je zobecn¥ná rezistivita modelována vztahem

Obr. 1. Pˇredstava kaskády v trhání proudové vrstvy v rekonexi ve sluneˇcní erupci podle Shibaty a Tanumy, 2001 (vpravo) a její zasazení do rámcového schematu navrženého Karlickým (2004) pro vysvˇetlení vícero simultánnˇe pozorovaných radiových vzplanutí typu DPS (vlevo).

½ η(r, t) =

uD (r, t) =

(3)

j(r, t) ene

(4)

p°edstavující elektrický proud p°esáhne danou kritickou rychlost ucr , je r·znými kinetickými nestabilitami (nap°. Bunemanova nestabilita) generováno uktuující elektrické pole, jeº na proud-nesoucí elektrony p·sobí podobn¥ jako sráºky s ionty  mechanismus je znám jako anomální rezistivita. Soustavu MHD rovnic (1) nelze krom¥ vybraných speciálních p°ípad· °e²it analyticky a je proto nutné se uchýlit k metodám numerické integrace. K problému numerického °e²ení soustav parciálních diferenciálních rovnic existují v zásad¥ dva p°ístupy  metoda kone£ných diferencí (FDM) a metoda kone£ných prvk· (FEM).

2. MODEL Velko²kálovou (L À 10 m pro typické parametry v erupci) dynamiku magnetizovaného koronálního plazmatu je moºné popsat soustavou MHD rovnic pro stla£itelnou resistivní tekutinu (Priest, 1982):

∂ρ + ∇·(ρu) = 0 ∂t ∂u + ρ(u · ∇)u = −∇p + j × B + ρg ∂t ∂B = ∇×(u × B) − ∇×(ηj) ∂t ∂U + ∇ · S = ρu · g. ∂t

: |uD | ≤ ucr : |uD | > ucr

Vztah (3) vyjad°uje obecn¥ uznávaný fakt, ºe pokud relativní rychlost elektron· v·£i iont·m

simulaci i malých ²kál technicky nepouºitelné. Tento problém se pokou²íme obejít pouºitím dvou p°ístup·: zavedením adaptivního zjem¬ování výpo£etní sít¥ do metody kone£ných diferencí (AMR FDM), a nov¥ji  alternativn¥  téº metodou kone£ných prvk· (FEM) umoº¬ující p°irozenou adaptaci velikosti výpo£etních element· charakteristickým rozm¥r·m struktur, které pokrývají.

ρ

0 cr ) C (|uD (ru,t)|−u 0

(1)

3. METODA KONEƒNÝCH DIFERENCÍ Metoda kone£ných diferencí je zaloºena na pravoúhlé diskretizaci °e²ené oblasti. To znamená, ºe kontinuální stavové veli£iny popisující MHD systém jsou reprezentovány svými vzorky na uzlech kartézské diskretiza£ní sít¥. Prostorové parciální derivace v diferenciálních rovnicích se pak nahradí diferencemi s kone£nou velikostí diferencí ∆x. Rovn¥º £as je diskretizován  stav systému je denován pouze v nespojitých £asových krocích a pro £asovou derivaci se se pouºije nahrazení

Pro ú£ely simulací je vhodné soustavu rovnic (1) p°evést do tzv. konzervativního tvaru, kdy stav systému je dán vektorem základních stavových veli£in Ψ = (ρ, ρu, B, U ), kde ρ, u, B , U jsou po °ad¥ hustota, makroskopická rychlost, magnetická indukce a celková energie. Jednotlivé MHD rovnice pak nabývají tvaru zákon· zachování hmoty, hybnosti, magnetického toku a energie. Tok energie S , proudová hustota j a celková energie U jsou dány pomocnými vztahy

∂ 1 → ∂t ∆t Existuje mnoho zp·sob· jak tuto diskretizaci provést  konkrétní p°edpisy jsou známy jako r·zná numerická schémata. V na²í MHD simulaci zaloºené na FDM pouºíváme explicitní diskretiza£ní schéma 85

Laxe-Wendroa (Chung, 2002), které má v 1D geometrii tvar

Ψi = Ψi −

 viz obr. 1. Vedle Shibatou a Tanumou p°edpokládané kaskády tearing instability ukazují na²e výsledky nov¥ i d·leºitost opa£ného procesu  tedy koalescence (splývání) vytvo°ených plasmoid·. Kaºdá interakce plasmoid· totiº vede k vytvo°ení proudové vrstvy mezi nimi a k sekundární rekonexi v této vrstv¥. Lze p°edpokládat, ºe tento proces pokra£uje aº na úrove¬ kinetické ²kály, kde kinetická koalescence plasmoid· p°edstavuje pravd¥podobný mechanismus disipace magnetické energie (Drake a kol., 2005). Dynamická rovnováha mezi procesy trhání (tearing ) proudové vrstvy spojené s tvorbou plasmoid· a jejich následným splýváním tak pravd¥podobn¥ udrºuje mocninnou distribuci prostorových ²kál a p°edstavuje hledaný proces turbulentní kaskády magnetické energie od velkých m¥°ítek k malým. Získané výsledky ukazují, ºe metoda kone£ných diferencí (FDM) s pouºitím techniky zjem¬ování sít¥ (AMR) p°edstavuje pokrok ve zkoumání multi²kálových aspekt· magnetické rekonexe. Nicmén¥ detailní analýza odhaluje i n¥která slabá místa této metody, která mohou mít vliv na v¥rohodnost výsledk·. Jedná se p°edev²ím o problémy spojené s vnit°ní hranicí mezi sít¥mi s jemným a hrubým rozli²ením. Vzhledem k r·zn¥ p°esným aproximacím prostorových derivací kone£nými diferencemi na jedné a druhé stran¥ této hranice m·ºe docházet k mírnému poru²ení jedné z Maxwellových rovnic ∇ · B = 0 na tomto rozhraní. Dále se ukazuje, ºe r·zn¥ dlouhý £asový krok pro jemnou a hrubou sí´ vede k fale²nému odrazu p°ípadn¥ vznikajících vln na hranicích jemné a hrubé m°íºe. Abychom zabránili nekontrolovatelnému r·stu t¥chto fale²ných oscilací, je nutné do numerického schematu za°adit ur£itou formu zhlazování (smoothing/hyperviscosity ) po£ítaných veli£in. V²echny tyto problémy omezují pouºití zmín¥né metody pro dal²í úrovn¥ zv¥t²ení numerického rozli²ení. Z tohoto d·vodu jsme obrátili na²i pozornost sm¥rem k popisu pole stavových veli£in soustavou kone£ných prvk· (FEM), který umoº¬uje mnohem p°irozen¥j²í realizaci multi²kálového modelování.

∆t(Ψi+1 − Ψi ) ∆t2 (Ψi−1 − Ψi + Ψi+1 ) + 2∆x 2∆x2

jehoº zobecn¥ní pro 2D a 3D geometrie je p°ímo£aré. Z principu FDM je z°ejmé, ºe kartézská diskretiza£ní sí´ dokáºe obsáhnout pouze omezený rozsah ²kál v d·sledku svého kone£ného rozli²ení. Tradi£ní MHD simulace proudové vrstvy (viz nap°. Kliem a kol., 2000; Bárta a kol., 2008a) proto zachycují pouze velkorozm¥rovou dynamiku studovaného systému. Chceme-li pokrýt v¥t²í rozsah simulovaných m¥°ítek lze pro detailn¥j²í popsaní dynamiky proudové vrstvy pouºít techniku AMR. Ta v místech s velkým gradientem stavového vektoru adaptivn¥ zmen²í diference i velikost £asového kroku (viz. obr. 2) a poskytne tak lokáln¥ lep²í rozli²ení.

∆ x1 ∆ t1

∆ x2 ∆ t2

Undefined value

Obr. 2. Adaptivní sít’ metody koneˇcných diferencí.

Uvedeného p°ístupu jsme vyuºili k vyt£enému zkoumání relevance konceptu kaskádní rekonexe pro slune£ní erupce: ke zodpov¥zení této otázky byl zkonstruován numerický kód implementující 2.5D MHD model pomocí metody FDM s pouºitím techniky AMR (více detail· v Bárta a kol., 2010). Výsledky modelování jsou zobrazeny na obr. 3. Simulace startuje z po£áte£ního stavu popsaného pom¥rn¥ ²irokou Harrisovou proudovou vrstvou (viz nap°. Bárta a kol., 2008b). Tvorbu takovýchto proudových vrstev lze p°irozen¥ o£ekávat pod vyvrºeným lamentem/CME. Obrázek ukazuje situaci v £ase t = 300τA , kde τA je Alfén·v £as. V levé £ásti je zobrazen globální pohled na rovinu xz (kolmou na invariantní sm¥r). Je patrné, jak se okolo sou°adnic x = 0, z = 70 a x = 0, z = 110 formují sekundární plasmoidy v trhající se proudové vrstv¥ mezi hlavním plasmoidem a arkádou erup£ních smy£ek. Pravý panel zobrazuje zv¥t²ený pohled na oblast ve vybraném obdélníku. Mezi plasmoidem v okolí bodu x = 0, z = 70 a erup£ními smy£kami se pak tvo°í je²t¥ men²í plasmoidy v dále zten£ené proudové vrstv¥. Tvorba plasmoid· na men²ích prostorových ²kálách a pokra£ující lamentace proudové vrstvy mezi t¥mito plasmoidy je zcela ve shod¥ s p°edstavou kaskádní rekonexe (Shibata a Tanuma, 2001)

4. METODA KONEƒNÝCH PRVK— Metoda kone£ných prvk· (FEM) zmín¥nými nevýhodami FDM netrpí  je totiº zaloºena na nestrukturované m°íºi a proto nemá problémy na hranici jemné a hrubé oblasti sít¥. Základem FEM je rozd¥lení výpo£etní oblasti do mnoha kone£ných podoblastí  prvk·/element·. Typicky pouºívanými elementy jsou trojúhelníkové (ve 2D) a £ty°st¥nné (ve 3D) domény. Celá výpo£etní oblast  nap°. ve 2D simulacích  je pak pokryta trojúhelníkovou nestrukturovanou sítí. Výhodou je, ºe v p°ípad¥ pot°eby lze velmi jednodu²e rozd¥lit daný element a získat 86

Z 2

I(u) =

(Au − f ) dΩ Ω

(7)

Abychom mohli numericky uchopit tento problém jsou stavové veli£iny reprezentované vektorem u v kaºdém elementu aproximovány rozvojem do vhodných bázových funkcí, nej£ast¥ji polynom· nízkých °ád·. Problém minimalizace funkcionálu (7) se tak po n¥kolika matematických úpravách p°evede na soustavu lineárních algebraických rovnic

SU = R

Kde S je °ídká matice tuhosti, R je vektor pravé strany (v terminologii FEM zvaný vektor zatíºení ) a U je diskrétní reprezentace stavového vektoru u ve form¥ hodnot stavových veli£in v uzlových bodech sít¥. Tuto soustavu °e²íme pomocí metody vhodné pro °e²ení soustav s °ídkou maticí. V na²em kódu pouºíváme metodu sdruºených gradient·. Výhodou FEM jsou moºnosti jiº zmín¥ného snadného zjem¬ování sít¥ d¥lením element· a také atraktivní moºnost zvy²ování °ádu bázových funkcí k p°esn¥j²ímu popisu °e²ení v rámci jednoho elementu. Jak lze p°evést soustavu MHD rovnic (1) do tvaru (5) vhodného pro pouºití FEM? Abychom mohli ur£it prvky matice tuhosti a vektoru zatíºení, nejprve musíme nalézt lineární operátor odpovídající rovnicím MHD. Nejprve p°evedeme rovnice (1) do semi-konzervativního tvaru ∂F i ∂Ψ1 + Ψ2 + =0 (9) ∂t ∂xi

Obr. 3. Výsledek kaskádní rekonexe získaný pomocí 2.5D AMR MHD kódu. V zúžené proudové vrstvˇe se tvoˇrí další menší magnetické ostrovy – plasmoidy (Bárta a kol., 2010). Srovnej s pˇredstavou kaskádní rekonexe na obr. 1.

tak lokáln¥ v¥t²í rozli²ení, p°i£emº kvalitativn¥ nedochází ke zm¥n¥ sít¥ element·  ani po této operaci neexistuje kvalitativní hranice mezi hrubými a  jemnými oblastmi. FEM byla p·vodn¥ navrºena pro numerické výpo£ty nap¥tí a deformací ve statice (nap°. výpo£ty nosník· apod.) z £ehoº plyne i její vlastní terminologie a matematický formalismus. Formáln¥ jde o hledání °e²ení úlohy typu

Au = f na Ω (5)

Bu = g na Γ

kde Ψ1 = (ρ, π1 , π2 , B1 , B2 , U, 0), πi = ρui , Ψ2 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, J3 ), Ψ = Ψ1 +Ψ2 a F i je tok ve sm¥ru i-té sloºky (i ∈ {x, y}):   πi π1 πi 1   ρ − B1 Bi + 2 δ1i (p + Um )   π π 1   2 i − B B + δ (p + U ) 2 i m   ρ 2 2i   πi B1 −π1 Bi + ηε J   1ij j ρ  πi B2 −π2 Bi Fi =    + ηε J 2ij j ³ρ ´     γ πi   ρ γ−1 p + Uk +    +2ηεijk Jj Bk + ρ2 εijk (πk Bi − πi Bk )Bk −  −ε3ik Bk

kde Ω je °e²ená oblast, Γ = ∂Ω je hranice oblasti Ω, A je lineární parciální diferenciální operátor, B je hrani£ní operátor, f je zdrojový vektor a g je hrani£ní podmínka. Operátor A je obecn¥ dán v tomto tvaru

A = A0 +

X i

Ai

∂ ∂xi

(8)

(6)

e²ení úlohy (5) se na celé oblasti hledá varia£ní metodou  t.j. snaºíme se nalézt extrém ur£itého funkcionálu spojeného se soustavou (5). P°íslu²ných funkcionál·, jejichº minimalizace vede k soustav¥ (5) existuje ov²em mnoho a podle nej£ast¥ji pouºívaných se metoda kone£ných prvk· rozd¥luje do t°í hlavních skupin: Rayleighova-Ritzova metoda, Galerkinova metoda a metoda nejmen²ích £tverc· (least-squares FEM/LSFEM ). Pro °e²ení soustavy rovnic MHD pouºíváme práv¥ metodu nejmen²ích £tverc· z d·vod· její univerzality (dá se pouºít na parabolické, hyperbolické, eliptické i mixované rovnice), robustnosti a p°esnosti. Základní podstata LSFEM (viz Jiang, 1998) je v minimalizování kvadratického residua v celé oblasti °e²ení  hledáme tedy minimum funkcionálu

Komponenta proudové hustoty J3 je zde vy£len¥na, protoºe její rovnice neobsahuje £asovou derivaci, ale po£ítá se p°ímo z magnetického pole. Protoºe p·vodní formulace problému FEM (5) je zaloºena na °e²ení stacionární (£asov¥ nezávislé) a lineární úlohy, je t°eba i pro ná² MHD systém provést nejprve £asovou diskretizaci a linearizaci. Pro £asovou diskretizaci pouºíváme známé numerické schéma Cranka-Nicholsonové (viz nap°. Chung, 2002), které je semi-implicitní a druhého °ádu p°esnosti. Linearizace je implementována pomocí iterativního hledání °e²ení úplného (t.j. nelineárního) 87

operátoru Newtonovou-Raphsonovou metodou. Linearizovaná a £asov¥ diskretizovaná soustava je pak dána v tomto tvaru à !! à ∆t ∂Aki k ∂ + Ai Ψk+1 = 1+ 2 ∂xi ∂xi à ! ∆t ∂F i ∂Aki k = Ψ1 − − Ψ 2 ∂xi ∂xi Zde £leny s pruhem zna£í starý £asový krok, index k je lineariza£ní iterace a A je Jakobiho matice ∂F i ¯¯ Aki = (10) ∂Ψ k V p°ípad¥ proudové hustoty je rovnice dána jednodu²²ím tvarem, protoºe neobsahuje £asovou derivaci à ! ∂Aki ∂Aki k k ∂ 1+ + Ai Ψk+1 = Ψ (11) ∂xi ∂xi ∂xi

Obr. 4. Diskretizace oblasti do trojúhelníkové sítˇe.

Kód metody kone£ných prvk· je stále ve vývoji a proto jsou zde prezentovány pouze výsledky z testování této metody. Na obrázku 5 jsou zobrazeny po£áte£ní hustoty hybností, které spou²t¥jí rekonexi magnetického pole. Vtoková rychlost do difúzní oblasti je p°ibliºn¥ 10× men²í neº rychlost výtoková. Po£áte£ní magnetické pole a rozloºení hustoty a teploty plazmatu odpovídá Harrisov¥ konguraci proudové vrstvy (viz. obr. 6), pouºité i v p°ípad¥ simulací FDM. Obrázky 6 a 7 ukazují proudovou hustotu a silo£áry magnetického pole v £asech t = 0.0τA , t = 1.2τA , t = 1.7τA a t = 2.2τA . Pro prostorovou diskretizaci byla pouºita trojúhelníková sí´ (viz. obr. 4) s aproxima£ními polynomy druhého °ádu (t.j. 6 bod· na trojúhelník). Z obrázku 7 je vid¥t, jak po£áte£ní proud¥ní vede ke kompresi proudové vrstvy a k zaºehnutí magnetické rekonexe  jsou patrné jak nov¥ vytvo°ené magnetické silo£áry tak charakteristické rekonexní výtrysky. Jiº první výsledky tak ukazují pouºitelnost LSFEM na °e²ení rovnic magnetohydrodynamiky a tedy i na studium procesu kaskádní rekonexe. Od dal²ího vývoje kódu si slibujeme moºnost adaptivního zjem¬ování rozli²ení kombinovaným p°ístupem zaloºeným jak na d¥lení element·, tak na zvy²ování °ádu bázových funkcí. Jak jiº bylo uvedeno, lze tyto vlastnosti numerického °e²ení  které jsou p°itom klí£ové pro studium multi²kálových proces·  do FEM kódu implementovat zcela nenásiln¥ a p°irozen¥. Vzhledem k výpo£etní náro£nosti bude dal²í rozvoj algoritmu sm¥°ovat rovn¥º k zakomponování paraleliza£ních technik do tohoto programu.

Obr. 5. Poˇcáteˇcní nastavení hustoty hybnosti. V levé cˇ ásti je zobrazena hustota hybnosti ve smˇeru osy x, což je vtok do difúzní oblasti. V pravé cˇ ásti je výtok z difúzní oblasti ve smˇeru osy y.

ˇ Obr. 6. Casový vývoj rekonexe magnetického pole. Levá cˇ ást zobrazuje proudovou hustotu a magnetické pole (bílé cˇ áry zobrazují siloˇcáry magnetického pole) na zaˇcátku simulace. Pravá cˇ ást ukazuje proudovou hustotu a magnetické pole v cˇ ase t = 1.2τA .

pro své studium nasazení pokro£ilých technik numerického modelování. V p°ísp¥vku jsme se v¥novali srovnání dvou moºných p°ístup· k danému problému: pouºití adaptivního zjem¬ování výpo£etní m°íºe (AMR) v metod¥ kone£ných diferencí a alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone£ných prvk· (FEM). S pouºitím 2.5D AMR MHD kódu jsme studovali koncept fraktální (kaskádní) rekonexe zaloºený na p°edstav¥ kaskády tearing instability vedoucí k tvorb¥ plasmoid· separovaných stále ten£ími proudovými vrstvami postupn¥ na men²ích a men²ích ²kálách (Shibata a Tanuma, 2001). Výsledky

5. ZÁV…R Rekonexe magnetického pole ve slune£ní erupci je svou podstatou multi²kálový proces vyºadující 88

LITERATURA Bárta M., Vr²nak B. a Karlický M. (2008a): Astronomy and Astrophysics, 477, 649-655 Bárta M., Karlický M. a šemli£ka R. (2008b): Solar Physics 253, 173-189. Bárta M., Büchner J. a Karlický M. (2010): Advances in Space Research 45, 10-17 Drake J.F., Shay M.A., Thongthai W. a Swisdak M. (2005): Phys. Rev. Letters 94 (9), 095001 Chung T.J. (2002): Computational Fluid Dynamics, Cambridge University Press Jiang B. (1998): The Least-Squares Finite Element Method Springer-Verlag Berlin Heidelberg Karlický M. (2004): Astronomy and Astrophysics 417, 325 Kliem B., Karlický M. a A.O. Benz (2000): Astronomy and Astrophysics, 360, 715-728 Priest E.R. (1982): Solar Magnetohydrodynamics, D. Reidel Publishing Company, Shibata K. a Tanuma S. (2001): Earth, Planets, and Space 53, pp. 473-482

Obr. 7. Vývoj magnetické rekonexe v cˇ asech t = 1.7τA a t = 2.2τA .

na²eho modelování tuto p°edstavu podporují. Krom toho ale nov¥ ukazují i d·leºitost faktu, ºe vzniklé plasmoidy spolu vzájemn¥ siln¥ interagují, coº vede k vytvá°ení proudových vrstev kolmých k rovin¥ p·vodní silné proudové vrstvy a sekundárním rekonexím v t¥chto proudových vrstvách. Tento jev vede k dal²í fragmentaci proudové hustoty, napomáhá ke zvý²ení celkové efektivity rekonexe a potenciáln¥ p°ispívá k °e²ení problému urychlování mohutných tok· £ástic pozorovaných v erupcích. Protoºe podrobná analýza výsledk· AMR FDM ukazuje i n¥která omezení této metody, nap°eli jsme svou pozornost ke slibnému alternativnímu popisu MHD systému pomocí metody kone£ných prvk· (FEM). Vyvíjíme numerický kód implementující FEM model magnetohydrodynamických rovnic v jeho variant¥ pouºívající metody nejmen²ích £tverc· (LSFEM) a v p°ísp¥vku jsme prezentovali jeho první výsledky. Ty nazna£ují, ºe LSFEM p°edstavuje pouºitelný a perspektivní p°ístup k modelování multi²kálových aspekt· rekonexe a p°edev²ím ke studiu mechanismu turbulentní kaskády p°enosu magnetické energie od velkých k malým m¥°ítk·m. K dosaºení tohoto cíle chceme pokra£ovat ve vývoji FEM algoritmu tak, aby zahrnul p°irozenou implementaci adaptivního lokálního zlep²ování rozli²ení. Následujícím cílem tedy je vytvo°it adaptivní nestrukturovanou sí´, která dokáºe mapovat i malé ²kály.

Poděkování Tato práce vznikla za podpory grant·: 205/08/H005, 205/06/P135, 205/07/1100 Grantové Agentury ƒeské republiky, IGA UJEP 5322215000801 a výzkumného projektu AV0Z10030501 (Astronomický ústav AV ƒR, v.v.i). Výpo£ty byly provád¥ny na po£íta£ovém clusteru OCAS (Ond°ejov Cluster for Astrophysical Simulations; http://wave.asu.cas.cz/ocas). 89