MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI IKAN LELE TERNAK
(Skripsi)
Oleh: Sanfernando Napitu
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
ABSTRAK MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI IKAN LELE TERNAK
Oleh
SANFERNANDO NAPITU
Mengetahui populasi jumlah panen ikan lele ternak menjadi penting karena dengan diketahuinya hal tersebut dapat membantu peternak ikan dalam hal memperkirakan hasil panen. Pada penelitian ini membahas jumlah populasi ikan lele ternak dengan menggunakan model Verhulst. Perhitungan dilakukan dengan melakukan variasi interval pengambilan data dengan tujuan mencari aproksimasi yang terbaik yakni dilihat dari galat yang dihasilkan. Galat tersebut diperoleh menggunakan perhitungan Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Interval yang memiliki galat terkecil dapat digunakan untuk melakukan perhitungan populasi ikan lele ternak. Kata Kunci: Model Verhulst, dinamika populasi, ikan lele ternak, Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
ABSTRACT VERHULST MODEL ON GROWTH POPULATION OF CATTLE CATFISH
By
SANFERNANDO NAPITU
To know the number of population of cattle catfish is important because this matter assists the breeder to predict the result of the fish. In this research focuses on calculating the population of the cattle catfish by using Verhulst model. The calculation is done by creating variety of data to know the best approximation by seeing the error value. The error value is produced by calculating Mean Absolute Percentage Error (MAPE). The interval which has the smallest error value is used to calculate the population of cattle catfish. Keywords: Verhulst model, dynamic population, cattle catfish, Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
MODEL VERHULST PADA PERTUMBUHAN POPULASI IKAN LELE TERNAK
Oleh Sanfernando Napitu
Skripsi Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Sanfernando Napitu, anak pertama dari tiga bersaudara yang dilahirkan di Sidamanaik pada tanggal 01 Desember 1995 oleh pasangan Bapak Pordinan Napitu, S.H. dan Ibu Santun Siahaan. Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Tunas Mekar Sidamanik pada tahun 2000 – 2001, Sekolah Dasar Negeri (SDN) 5 Sarimatondang pada tahun 2001 – 2007, Sekolah Menengah Pertama Negeri (SMPN) 1 Sidamanik pada tahun 2007 – 2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Budi Mulia Pematang Siantar pada tahun 2010 – 2013. Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN). Pengalaman organisasi penulis yaitu pada tahun 2014 - 2015 penulis menjadi anggota bidang keilmuan dan pada tahun 2015-2016 penulis menjadi anggota bidang eksternal Himpunan Mahasiswa Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Lampung. Pada tahun 2016 penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Tempuran, Kecamatan Trimurjo, Kabupaten Lampung tengah, Provinsi Lampung serta Kerja Praktik (KP) di CV. Zona Multimedia Bandar Lampung.
PERSEMBAHAN
Dalam perlindungan Tuhan Yang Maha Esa
kupersembahkan karya kecil dan sederhana untuk : Bapak dan Mamak yang membesarkan, memberi semangat, mendoakan, serta memotivasi
Adek Josua dan Bryan serta semua keluarga besar yang
mendukung dan memotivasi penulis dalam suka dan duka Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dan selalu memotivasi penulis
Para dosen dan staff Jurusan Matematika FMIPA Unila memberikan ilmu bermanfaat kepada penulis
Yang terkasih Dea Elizabet Sirait yang selalu memotivasi, mendukung dan memberi semangat kepada penulis.
Para sahabat yang terkasih, terima kasih atas kebersamaan, suka duka serta doa dan semangat yang diberikan
Para rekan kerja Himpunan Mahasiswa Matematika FMIPA Universitas Lampung
Almamater Universitas Lampung
KATA INSPIRASI “Dia memberi kekuatan kepada yang lelah dan menambah semangat kepada yang tiada berdaya.” (Yesaya 40:29) “Ada tiga cara untuk mendapatkan kebijaksanaan. Pertama adalah refleksi, yang merupakan cara tertinggi. Kedua adalah pembatasan, yang merupakan cara termudah. Ketiga adalah pengalaman, yang merupakan cara terpahit” Confucius (Kong Hu Chu) “Bila seorang anak menggendong ayahnya di pundak kiri dan ibunya di pundak kanan selama seratus tahun, maka anak tersebut belum cukup membahas jasa kebaikan yang mendalam dari orang tuanya.” (Anguttara Nikaya Bab IV ayat 2) “Melalui pengabdian kita memperoleh kesucian; dengan kesucian kita memperoleh kemuliaan. Dengan kemuliaan kita mendapat kehormatan dan dengan kehormatan kira peroleh kebenaran.” (Yayurveda XIX. 30) “Apa saja di antara rahmat Allah yang dianugerahkan kepada manusia, maka tidak ada yang dapat menahannya; dan apa saja yang ditahan-Nya maka tidak ada yang sanggup untuk melepaskannya setelah itu. Dan Dialah Yang Mahaperkasa, Mahabijaksana.” (QS. Fatir : 2)
“Sayangilah setiap cobaan yang dapat membuat Anda berhasil. Hargailah setiap pandangan dan kritikan dari setiap orang dan juga belajarlah untuk menerima nasehat dari orang lain dengan hati yang gembira.” (Wejangan Para Suci 4 : 206)
SANWACANA
Penulis memanjatkan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia serta rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Model Verhulst Pada Pertumbuhan Populasi Ikan Lele Ternak”. Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
Selesainya penulisan skripsi ini adalah berkat motivasi, pengarahan serta bimbingan dari berbagai pihak. Dengan segala kerendahan dan ketulusan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih untuk bimbingan, arahan, nasehat, motivasi dan kesediaan waktu selama penyusunan skripsi ini. 2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing II, terima kasih atas bantuan, kritik dan saran selama penyusunan skripsi ini. 3. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Penguji Utama, terima kasih atas kesediaan untuk menguji, saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik, terima kasih atas bimbingan dan pembelajaran dalam proses perkuliahan. 5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D. selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Seluruh Dosen dan Staff Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 8. Bapak, Mamak, adek Josua dan Bryan tercinta yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, dorongan, nasehat, kasih sayang serta pengorbanan tak terhingga kepada penulis untuk melalui segala ujian yang dijalani. 9. Kekasih tercinta Dea Elizabet Sirait, terimakasih untuk semua kasih sayang dan kesetiaan dalam menemani penulis baik dalam suka maupun duka. 10. Sahabat-sahabat Matematika 2013 di antaranya Jefery Handoko, Karina S.D., M. Irfan K., Siti N.A., Artha Kurnia Alam, Abdul Haris Siregar serta rekanrekan seperjuangan, terima kasih atas dukungan, dan kebersamaan selama ini. 11. Teman seperjuaangan “SAMPAH KONTRAKAN” diantaranya Young, Wahid, Naufal, Rio, Fajar, Musa, Afredi, Ayub, Julian, Artha, dan Alfan. 12. Almamater tercinta Universitas Lampung. 13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan semuanya.
Bandar Lampung, Januari 2017 Penulis
Sanfernando Napitu
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR TABEL .......................................................................................... i DAFTAR GAMBAR...................................................................................... ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang dan Masalah ........................................................ 1
1.2
Batasan masalah............................................................................ 4
1.3
Tujuan Penelitian .......................................................................... 5
1.4
Manfaat Penelitian ........................................................................ 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1
Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus) ........................................ 6
2.2
Pemodelan Matematika ................................................................ 8
2.3
Persamaan Diferensial .................................................................. 11
2.4
2.5
2.3.1
Persamaan Diferensial Biasa ........................................... 14
2.3.2
Persamaan Diferensial Parsial ......................................... 15
Model Pertumbuhan Populasi....................................................... 16 2.4.1
Model Eksponensial ........................................................ 16
2.4.2
Model Logistik ................................................................ 20
Solusi Eksplisit Model Verhulst ................................................... 22
2.6
Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity................................... 25
2.7
Mean Absolute Percentage Error (MAPE)................................... 28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN 3.1
Tempat dan Waktu Penelitian....................................................... 29
3.2
Data Penelitian.............................................................................. 29
3.3
Metode Penelitian ......................................................................... 31
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1
Penurunan Rumus Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a), dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity
.......... 33
4.2 Pengaproksimasian Sampel Data dengan Interval Panen yang Berbeda ................................................................................ 38 4.2.1
Aproksimasi Interval Sampel Data 1 Kali Panen ............ 42
4.2.2
Aproksimasi Interval Sampel Data 2 Kali Panen ............ 43
4.2.3
Aproksimasi Interval Sampel Data 3 Kali Panen ............ 44
4.2.4
Aproksimasi Interval Sampel Data 4 Kali Panen ............ 45
4.2.5
Aproksimasi Interval Sampel Data 5 Kali Panen ............ 46
4.2.6
Aproksimasi Interval Sampel Data 6 Kali Panen ............ 47
4.2.7
Aproksimasi Interval Sampel Data 7 Kali Panen ............ 48
4.2.8
Aproksimasi Interval Sampel Data 8 Kali Panen ............ 49
4.2.9
Aproksimasi Interval Sampel Data 9 Kali Panen ............ 50
4.2.10 Aproksimasi Interval Sampel Data 10 Kali Panen .......... 51 4.2.11 Aproksimasi Interval Sampel Data 11 Kali Panen .......... 52 4.3
Penghitungan Prediksi Jumlah Populasi (N), Laju Pertumbuhan (a), dan Daya Tampung Populasi atau Carrying Capacity
dengan
Menggunakan Model Verhulst .................................................... 53
BAB V KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel
Halaman
1. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 29 2. Data Hasil Panen Lele Ternak .................................................................. 39 3. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan Model Verhulst ......................................................................................... 55 4. Hasil Panen Sebenarnya dan Prediksi Hasil Panen Menggunakan Model Verhulst ......................................................................................... 59
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a>0 ................................ 18 2.2 Grafik Pertumbuhan Eksponensial grafik untuk a<0 ................................ 19 2.3 Grafik Pertumbuhan Logistik Berdasarkan Solusi Model Verhulst ......... 23 2.4 Grafik Pertumbuhan Logistik dengan Nilai Awal diatas Carrying Capacity..................................................................................... 24 2.5 Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0................................................ 24 4.1 Grafik Hasil Panen Lele Ternak Pada Panen Pertama Sampai Panen Ke-24 .............................................................................................. 40 4.2 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 1 kali Panen.................................... 42 4.3 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 2 kali Panen.................................... 43 4.4 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 3 kali Panen.................................... 44 4.5 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 4 kali Panen.................................... 45 4.6 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 5 kali Panen.................................... 46
4.7 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 6 kali Panen.................................. 47 4.8 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 7 kali Panen.................................. 48 4.9
Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 8 kali Panen.................................. 49
4.10 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 9 kali Panen.................................. 50 4.11 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 10 kali Panen................................ 51 4.12 Perbandingan Data Riil Panen dengan Hasil Pendekatan model verhulst Untuk Interval Pengambilan Sampel 11 kali Panen................................ 52 4.13 Prediksi Hasil Panen Dengan Menggunakan Model Verhulst ................ 57
I. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang dan Masalah
Ilmu matematika merupakan salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan atau persoalan matematika. Berbagai pola ilmu matematika mempelajari dan membangun kebenaran melalui metode deduksi yang kaku dari aksioma-aksioma dan definisi-definisi yang bersesuaian. Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di dunia. Permasalahan – permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Matematika terapan merupakan cabang ilmu matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan ke bidang-bidang lain. Matematika terapan mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan terkadang pada perkembangannya dapat mengarah pada pengembangan disiplin ilmu lainnya. Salah satu contohnya adalah persamaan differensial baik biasa maupun parsial. Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memiliki variable terikat dan variable bebas beserta turunannya.
2
Berikut contoh persamaan differensial : 1.
=
+ sin( )
2. 3
dx + 2ydy = 0
3.
+5 =6
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 berderajat 1. Tingkat persamaan diferensial dapat di lihat dari turunan tertinggi dari persamaan tersebut. Misalkan y = A sin x +B cos x, dengan A dan B konstanta sebarang. Jika diferensialkan kita peroleh : =
−
,
= −
−
Yang tepat sama dengan semula kecuali tandanya berlawanan yaitu : =−
Jadi :
Ini adalah persamaan orde dua.
+
=0
Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan dengan n variabel. Dengan demikian perbedaan persamaan diferensial biasa dengan persamaan diferensial parsial terletak pada peubah bebasnya contoh : 1)
+
= x2 + y
3
( z peubah tak bebas, x dan y peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)
2)
+
= 0
( u peubah tak bebas, s dan t peubah bebas dan persamaan diferensial parsial.)
Jika terdapat peubah bebas yang tunggal (single independent variable), persamaannya di sebut persamaan differensial biasa (ordinay differential equation). Apabila terdapat dua atau lebih peubah bebas, persamaannya di sebut persamaan diferensial parsial (partial differential equation).
Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan, Kondisi tempat peternakan, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu.
Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak.
4
Pada skripsi ini penulis akan membahas laju pertumbuhan populasi ikan lele ternak menggunakan model Verhulst. Ikan lele merupakan salah satu jenis ikan air tawar yang sudah dibudidayakan secara menyeluruh dan komersial oleh masyarakat Indonesia. Ikan lele dapat hidup dalam kepadatan tebar tinggi dan rasio terhadap pertumbuhan yang baik. Budidaya ikan lele memang sangat unik dan banyak orang yang tertarik mencobanya. Salah satu persoalan paling penting dalam budidaya ikan lele adalah proyeksi populasi ikan tersebut. Ukuran dan pertumbuhan populasi ikan secara langsung mempengaruhi keuntungan yang akan diperoleh nantinya. Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap panen ikan dapat dilakukan berdasar data panen ikan yang sudah ada.
Berdasarkan dari latar belakang masalah yang telah diuaraikan tersebut, penulis tertarik untuk melakukan penelitian tentang ”Model Verhulst Pada Pertumbuhan Populasi Ikan Lele Ternak.”
1.2
Batasan Masalah
Batasan masalah pada penelitian ini adalah lebih ditekankan pada menghitung laju pertumbuhan populasi ikan lele ternak dengan menggunakan fungsi logistik atau model Verhulst dengan memanfaatkan data panen ikan yang sudah ada sebelumnya.
5
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian tugas akhir ini adalah 1. Menghitung laju pertumbuhan dari suatu populasi ikan lele ternak menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). 2. Memprediksi jumlah populasi ikan lele ternak untuk panen berikutnya. 3. Membandingkan hasil panen yang sebenarnya dengan hasil prediksi populasi ikan lele ternak yang diperoleh dengan menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).
1.4
Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah 1. Menambah pengetahuan dan pengalaman penulis agar dapat mengembangkan ilmu yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 2. Upaya untuk mempelajari lebih dalam lagi tentang penerapan model verhulst pada pertumbuhan populasi ikan lele ternak. 3. Menambah wawasan tentang model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ikan Lele Dumbo (Clarias gariepinus)
Ikan Lele memiliki kandungan gizi yang penting bagi tubuh kita, sehingga dapat dijadikan sebagai sumber pangan dan sebagai komoditi rumah tangga dalam meningkatkan perekonomian keluarga. Ikan lele kemudian dibudidayakan oleh manusia. Melihat kandungan gizi yang terdapat didalam ikan lele, maka peminat ikan lele pun sangat banyak. Hampir semua lapisan masyarakat dapat merasakan nikmatnya ikan lele sebagai pelengkap hidangan (Saparinto, 2013).
Ikan lele terdapat di perairan umum, seperti sungai, rawa, waduk, dan genangan air lainnya. Tubuh lele berbentuk gilig memanjang, kepala gepeng, dan meruncing. Di dekat mulutnya ditumbuhi empat pasang kumis yang kaku memanjang. Kulit tubuh lele licin tidak bersisik dan berwarna kehitaman. Lele dapat hidup di daerah hingga ketinggian >1.000 m dpl egn –uu2 ,0–8, H dan kandungan oksigen 3 ppm. Lele dapat hidup di perairan kotor dan lumpur karena memiliki alat bantu pernapasan yang terletak di atas rongga insang (arborescent atau labyrinth) sehingga mampu mengambil oksigen langsung dari udara (Fauzi, 2013).
7
Di Indonesia dikenal banyak jenis lele, di antaranya lele lokal, lele dumbo, lele phiton dan lele babon (lele Kalimantan). Namun, yang dibudidayakan hanya lele lokal (Clarias batrachus) dan lele dumbo (Clarias gaeriepinus). Jenis yang kedua lebih banyak dikembangkan karena pertumbuhannya lebih cepat dan ukurannya lebih besar daripada lele lokal.
Lele dumbo pertama kali didatangkan ke Indonesia tahun 1986. Ikan lele dumbo merupakan salah satu komoditas unggulan, sangat populer, serta memiliki pasar yang baik. Kandungan telur lele dumbo bisa mencapai 30.00040.000 butir per kg induk betina, dibandingkan induk lokal yang hanya 1.0004.000 butir per kg induk. Beberapa kelebihan lainnya yaitu pertumbuhan lebih celat, dapat mencapai ukuran yang lebih besar, serta pemeliharaan dan pemberian pakan lebih mudah. Pada tahun 2009 jumlah produksi ikan lele dumbo di Indonesia mencapai 175.000 ton. Sementara kebutuhan benih lele di akhir tahun 2009 mencapai 1,95 miliar ekor. Usaha pembesaran ikan lele adalah kegiatan pemeliharaan ikan dari ukuran benih untuk dibesarkan menjadi ukuran konsumsi. Ukuran yang dikehendaki yaitu 8 –12 ekor/kg. Usaha pembesaran secara intensif dilakukan dengan teknik yang modern dan memerlukan masukan (input) biaya yang besar. Ciri khas teknik budidaya ikan lele secara intensif yaitu padat penebaran benih sangat tinggi, yaitu 200 –400 ekor/m2.
Pakan sepenuhnya tergantung dari buatan pabrik (pelet). Biaya untuk pakan sangat tinggi karena untuk menghasilkan 450 kg lele, diperlukan pakan pelet 450 kg dengan harga pakan Rp. 5.300/kg pada Januari 2008. Ciri lain usaha pembesaran secara intensif adalah dilakukan pergantian air. Tujuannya agar air
8
tetap bersih dan tidak kotor oleh sisa-sisa pakan dan kotoran lele dumbo (Mahyuddin, 2008).
Habitat atau tempat hidup lele dumbo adalah air tawar. Air yang baik untuk pertumbuhan lele dumbo adalah air sungai, air sumur, air tanah, dan mata air. Namun, lele dumbo juga dapat hidup dalam kondisi air yang kurang baik seperti di dalam lumpur atau air yang memiiliki kadar oksigen rendah. Hal tersebut sangat dimungkinkan karena lele dumbo memiliki insang tambahan yaitu arborescent yang terletak di bagian atas lengkung insang kedua dan ketiga terdapat kantung insang tambahan yang berbentuk seperti pohon, karenanya dinamakan arborescent organ. Organ ini dipergunakan untuk pernafasan udara sehingga memungkinkan lele dumbo untuk mengambil napas langsung dari udara dan dapat hidup di tempat beroksigen rendah. Alat ini juga memungkinkan lele dumbo untuk hidup di darat, asalkan udara di sekitarnya memiliki kelembapan yang tinggi (Bachtiar, 2006).
2.2. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika adalah penyusunan suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena alam) ke dalam bagian matematika yang disebut dunia matematika (Giordano dan Weir, 2002). Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena berdasarkan asumsi-asumsi yang digunakan. Proses ini merupakan langkah awal yang tak terpisahkan dalam menerapkan matematika untuk mempelajari fenomena-fenomena alam, ekonomi, sosial maupun fenomena-fenomena
9
lainnya. Secara umum dalam menerapkan matematika untuk mempelajari suatu fenomena meliputi 3 langkah, yaitu : 1.
Pemodelan matematika suatu fenomena, perumusan masalah. Langkah ini untuk menterjemahkan data maupun informasi yang diperoleh tentang suatu fenomena dari masalah nyata menjadi model matematika. Data maupun informasi tentang suatu fenomena dapat diperoleh melalui eksperimen di laboratorium, pengamatan di industri ataupun dalam kehidupan sehari-hari. Dalam model matematika, suatu fenomena dapat dipelajari secara lebih terukur (kuantitatif) dalam bentuk (sistem) persamaan/pertidaksamaan matematika maupun ekspresi matematika. Namun demikian karena asumsi-asumsi yang digunakan dalam prosesnya, model matematika juga mempunyai kelemahan-kelemahan dibandingkan dengan fenomena sebenarnya, yaitu keterbatasan dalam generalisasi interpretasinya.
2.
Pencarian solusi/kesimpulan matematika. Setelah model matematika diperoleh, solusi atas model tersebut dicari dengan menggunakan metodemetode matematika yang sesuai. Ada kalanya belum terdapat metode matematika pencarian solusi yang sesuai dengan permasalahan yang dihadapi. Hal ini sering menjadi motivasi para ahli matematika terapan untuk menciptakan metode matematika baru. Solusi matematika ini sering dinyatakan dalam fungsi-fungsi matematika, angka-angka maupun grafik.
3.
Interpretasi solusi/kesimpulan matematika pada fenomena yang dipelajari. Dalam matematika terapan, solusi yang berupa fungsi, angka-angka maupun grafik tidak berarti banyak apabila solusi tersebut tidak menjelaskan permasalahan awalnya. Oleh karena itu, interpretasi solusi
10
penting untuk mengerti arti dan implikasi solusi tersebut terhadap fenomena awal dari mana masalahnya berasal (Cahyono, 2013).
Model adalah representasi penyederhanaan dari sebuah realita yang kompleks (biasanya bertujuan untuk memahami realita tersebut) dan mempunyai feature yang sama dengan tiruannya dalam melakukan task atau menyelesaikan permasalahan. Model adalah karakteristik umum yang mewakili sekelompok bentuk yang ada, atau representasi suatu masalah dalam bentuk yang lebih sederhana dan mudah dikerjakan. Dalam matematika, teori model adalah ilmu yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori model diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganalisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi, atau aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau pada obyek-obyek tersebut. Indenpensi dua hukum matematis yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice, dan contnuum hypothesis dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh Paul Cohen dan Kurt Godel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari teori model.
Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan aksioma-aksioma Zermelo- Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama juga dipenuhi oleh contnuum hypothesis. Model matematika yang diperoleh dari suatu masalah matematika yangdiberikan, selanjutnya diselesaikan dengan aturan-aturan yang ada. Penyelesaian yang diperoleh, perlu diuji untuk
11
mengetahui apakah penyelesaian tersebut valid atau tidak. Hasil yang valid akan menjawab secara tepat model matematikanya dan disebut solusi matematika. Jika penyelesaian tidak valid atau tidak memenuhi model matematika maka solusi masalah belum ditemukan, dan perlu dilakukan pemecahan ulang atas model matematikanya (Frederich H. Bell, 1978).
2.3 Persamaan Diferensial
Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial. Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial.
Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde turunan tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde pertama hanya mengandung ′. bentuk umum dari persamaan diferensial pertama dapatdituliskan sebagai
( , , ′) = 0, atau biasa di tulis ′= ( , ). Arti fisis
diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain. Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan kedalam bentuk :
12
( ) ′=( )
(2.1)
dengan manipulasi aljabar murni maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap , diperoleh :
∫ (y)y′
=∫ ( )
+
(2.2)
Dikiri dapat dapat diubah kepada Dengan kalkulus,
∫ ( )
Jika
′
=∫f( )
dan
=
sebagai variabel dari pengintegralan.
, maka
+
(2.3)
adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan
mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah , dan (2.1) disebut persamaan terpisah, karena di (2.3) variabel sekarang terpisah : muncul dikanan dan
hanya
hanya dikiri.
Persamaan diferensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi. Bilamana hubungan deterministik yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu (dimodelkan oleh fungsi matematika) dan laju perubahannya (dinyatakan sebagai turunan) diketahui atau dipostulatkan. Ini terlihat misalnya pada mekanika klasik, di mana gerakan sebuah benda diperikan oleh posisi dan kecepatannya terhadap waktu. Hukum Newton memungkinkan kita mengetahui hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai gaya yang bertindak terhadap benda tersebut, dan menyatakannya sebagai persamaan diferensial
13
posisi sebagai fungsi waktu. Dalam banyak kasus, persamaan diferensial ini dapat dipecahkan secara eksplisit, dan menghasilkan hukum gerak.
Contoh pemodelan masalah dunia nyata menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola yang jatuh bebas di udara, hanya dengan memperhitungkan gravitasi dan tahanan udara. Percepatan bola tersebut ke arah tanah adalah percepatan karena gravitasi dikurangi dengan perlambatan karena gesekan udara. Mencari kecepatan sebagai fungsi waktu mensyaratkan pemecahan sebuah persamaan diferensial. Persamaan diferensial dikatakan linier, Jika fungsi F linier terhadap y,y2,…,y(n), namun fungsi F terhadap variable x tak perlu limier. Jika y = f(x) memenuhi persamaan diferensial maka f(x) dikatakan solusi dari persamaan diferensial tersebut.solusi umum suatu persamaan diferensial adalah bentuk umum solusi persamaan diferensial tersebut suatu solusi umum bisa menjadi solusi khusus dengan adanya informasi/ syarat tambahan disebut sarat awal / syarat batas. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial : 1. 2. 3
=
+ sin( )
dx + 2ydy = 0
3. y’ + xy = 3 4. y’’ – 5y’ + 6y = cos x (Kartono, 1994).
14
2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan meliputi derivatif biasa dari unknown function. Di dalam persamaan diferensial biasa, unknown function bergantung pada satu variabel bebas Solusi umum dari persamaan diferensial biasa memuat satu konstanta sembarang. Solusi umum dapat diinterpretasikan secara geometri dengan bidang ruang berdimensi dua, yaitu memiliki nilai yang berbeda dari sembarang konstanta. Keunikan solusi memuat nilai awal y y0 ketika x x0 .
Contoh : Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut. dy (tan x ) y sin x dx
Penyelesaian: Persamaan diferensial linear orde 1 dengan a ( x ) tan x dan b( x ) sin x
Keduanya kontinu pada interval 0, . Kalikan kedua sisi dengan 2 e
tan xdx
e ln cos x
1 cos x
maka didapat : '
1 sin x y cos x cos x
15
Integralkan kedua ruas, maka didapat : y
Membagi kedua sisi dengan
1 c ln cos x cos x
1 (mengalikan kedua sisi dengan cos x ), maka cos x
solusi adalah y ( x) cos x c ln cos x , 0 x
2
(Finizio dan Ladas, 1982).
2.3.2 Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan meliputi derivatif parsial dari unknown function. Di dalam persamaan diferensial parsial, unknown function bergantung pada dua aau lebih variabel bebas Misal variabel bebas x dan variabel tak bebas y serta unknown function adalah u . Secara geometri solusi umum persamaan digambarkan sebagai bidang ruang berdimensi tiga. Kondisi yang tidak sederhana membuat bidang kurva tidak spesifik. Contoh : Tentukan solusi u u ( x, y ) dari persamaan diferensial parsial
ux x y Penyelesaian: Dengan mengintegralkan persamaan diferensial parsial terhadap x, dengan variable y konstan, maka diperoleh u
1 2 x xy c 2
16
Untuk menunjukkan nilai u , maka substitusikan persamaan di u ke persamaan diketahui. Walaupun c bukan konstanta tetapi fungsi dari variabel y , seperti f ( y ) , maka u dengan c diganti dengan f ( y ) , merupkan solusi persamaan
diferensial parsial dengan
f ( y ) 0 . Solusi umum dari persamaan diferensial x
parsial ini adalah u
1 2 x xy f ( y ) 2
dimana f adalah fungsi sebarang terhadap y (Finizio dan Ladas, 1982).
2.4 Model Pertumbuhan Populasi
Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu.
2.4.1 Model Eksponensial
Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana. Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan. Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui.
17
Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu berbanding lurus dengan jumlah populasi yang ada. Misalkan ( ) menyatakan jumlah populasi pada saat dan diketahui bahwa jumlah populasi saat = 0= 0
0
adalah
, maka model matematikanya dapat dituliskan :
= aN ; dimana
konstan
(2.4)
Berikut ini adalah solusi jumlah populasi
pada saat atau ( ) berdasarkan
(2.4) :
= ln = + ( )=
+
( )=
.
( )=
Karena N(t0) =
( )=
0
0= 1
(0)
=
1
1
, maka :
(− )
(2.5)
dimana daya tumbuh suatu populasi (intrinsic growth rate) / perbedaan antara angka kelahiran dan kematian per kapita ( = angka kelahiran tahunan perkapita – angka kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita. Persamaan (2.5) dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan populasi / Model pertumbuhan populasi Malthus. Dari (2.5) dapat diperoleh :
18
(− )
Ln ( −
=
)
=(
( )
= Ln
( )
Ln
( )
)
(2.6)
Jika solusi (2.5) ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua grafik berikut :
Gambar.2.1 Grafik Pertumbuhan Eksponensial Grafik untuk a > 0
19
Gambar.2.2 Grafik Pertumbuhan Eksponensial Grafik untuk a < 0
Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk >0 diperoleh lim →∞ ( ) = ∞. Jika hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan apakah suatu populasi dapat berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?
Gambar.2.2, untuk <0 akan didapatkan lim →∞ ( ) = 0, yang mana jika dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu populasi akan mendekati kepunahan (akan habis) jika laju pertumbuhannya negatif.
Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut tumbuh (Banks, 1994).
20
2.4.2 Model Logistik
Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. Model pertumbuhan eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak terbatas, model ini merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata ini. Karena setiap populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin besar, peningkatan kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu untuk mengambil sumberdaya yang mencukupi untuk pemeliharaan, pertumbuhan, dan reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang terbatas, dan ketika populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu mendapat bagian sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas dari jumlah individu yang dapat menempati suatu habitat.
Para ahli ekologi mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode waktu yang relatif lama. Daya tampung yang disimbolkan dengan adalah ciri lingkungan, dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan ruang dengan keberlimpahan sumberdaya yang terbatas.
Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang besar pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan sumberdaya yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan menurun. Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan diri mereka sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan dalam
21
angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi yang lebih kecil. Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan populasi akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Verhulst menunjukkan bahwa pertumbuhan populasi tidak hanya bergantung pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari batas atasnya seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus (eksponensial) untuk membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi sebelumnya dengan syarat , dimana
dan
disebut koefisien vital dari populasi.
Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai
ketika
meningkat. Jika
ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah , maka ( − ) akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat ditampung oleh lingkungan tersebut, dan
=
memberikan
petunjuk berapa fraksi yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.
Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :
22
=
=
=
−
(2.7)
Dengan : a : Laju pertumbuhan intrinsik b : Pengaruh dari peningkatan kepadatan populasi N : Jumlah populasi : Carrying capacity
(Bacaer, 2011).
2.5 Solusi Eksplisit Model Verhulst
Solusi eksplisit persamaan logistik Verhulst dapat diperoleh jika model persamaan tersebut merupakan persamaan terpisah. Jadi dari persamaan (2.7) dapat dilakukan pemisahan variabel menjadi :
∫
= ∫
−
+
−
Diperoleh :
N(t) =
Jika persamaan dilimitkan
→ ∞ , didapatkan (untuk
Nmax = lim →∞
=
(2.8)
> 0) :
(2.9)
23
Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.
Untuk a>0 berlaku lim →∞
= , sehingga dapat disimpulkan bahwa grafik dari
(2.8) mempunyai asimtot mendatar N(t) =
Gambar 2.3. Grafik Pertumbuhan Logistik berdasarkan solusi model verhulst
Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah S-shaped dan mempunyai titik infleksi ketika N =
. Untuk < N0 , a>0 grafik solusinya ditunjukkan oleh
gambar 2.4. Sedangkan untuk kasus a<0 didapatkan solusi yang tidak stabil, yaitu tidak mengarah pada titik kesetimbangan tertentu.
24
Gambar 2.4. Grafik Pertumbuhan Logistik dengan nilai awal diatas carrying capacity
Gambar 2.5. Grafik Pertumbuhan Logistik dimana a<0
25
∗
Dari persamaan (2.8) dapat diperoleh nilat
yaitu waktu ketika mencapai
setengah dari titik ekuilibriumnya, yakni dengan cara sebagai berikut :
( )=
+
−
= −at =
∗
(Zulkarnaen, 2014).
=
−
2.6 Laju Pertumbuhan dan Carrying Capacity
Verhulst menjelaskan parameter a (laju pertumbuhan) dan (carrying capacity) Dapat diperoleh dari jumlah populasi untuk tiga waktu yang berbeda akan tetapi dalam rentang waktu pengambilan data sama. Jika No adalah populasi saat t = 0, maka N1 pada saat waktu t = T dan N2 pada saat waktu t = 2, maka dari persamaan (2.8) dapat diperoleh : =
=
+
−
(
+
( )
−
)
26
+
=
(2. 10)
=
+
=
( −
( −
−
−
)+
)=
−
Untuk t = 2, dengan cara yang sama diperoleh :
(2.11)
( −
)=
−
Lakukan pembagian (2.11) dengan (2.10) untuk mengeleminasi , diperoleh :
( −
( −
+
)=
−
)=
=
−
−
−
27
− −
=
− −
− ( (
=
− −
) )
Jadi tingkat pertumbuhan populasinya adalah : ( (
=−
(2.12)
− −
) )
Subtitusikan persamaan (2.12) ke (2.10), maka :
( (
− −
−
( (
− −
) = )
) − )
( (
− −
) = )
=
=
( (
(
( (
− (
−
)− ( − ( − ) − )− ( − ( − ) −
−
−
+
− −
)− ( − ( − ) ) )
)
Sehingga carriying capacity dapat dituliskan menjadi :
(2.13)
=
(
−
−
+
) )
)
)
28
Berdasarkan penjelasan Verhulst ini, laju pertumbuhan dan carriying capacity dapat diperkirakan dengan rentang waktu pengambilan data yang diinginkan. Dengan mensubtitusikan (2.13) ke (2.9), diperoleh :
Nmax = lim →∞
= =
(
)
(2.14)
Ketika ukuran suatu populasi berada dibawah daya tampungnya, pertumbuhan populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika N mendekati , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat. Model Verhulst atau model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi maksimum atau minimum sebagai titik jenuh pertumbuhannya (Zulkarnaen, 2014).
2.7 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)
Persentase kesalahan absolute rata-rata memberikan petunjuk seberapa besar kesalahan hasil persamaan dengan nilai sebenarnya. Hal ini dinyatakan sebagai berikut: MAPE = dengan 1993).
∑
adalah nilai yang sebenarnya dan
× 100%
adalah nilai dugaan (Makridakis,
29
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Waktu penelitian dilakukan pada semester ganjil 2016-2017
3.2
Data Penelitian
Data yang digunakan pada penelelitian ini adalah data hasil panen lele ternak yang diambil dari peternakan lele ibu Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07 Rajabasa, Bandar Lampung seperti yang tertera pada tabel berikut :
No.
Periode Panen
Jumlah Hasil Panen (Kg)
1.
Panen ke-1
2.267 Kg
2.
Panen ke-2
2.249 Kg
3.
Panen ke-3
2.278 Kg
4.
Panen ke-4
2.294 Kg
30
5.
Panen ke-5
2.337 Kg
6.
Panen ke-6
2.366 Kg
7.
Panen ke-7
2.250 Kg
8.
Panen ke-8
2.316 Kg
9.
Panen ke-9
2.441 Kg
10.
Panen ke-10
2.488 Kg
11.
Panen ke-11
2.512 Kg
12.
Panen ke-12
2.514 Kg
13.
Panen ke-13
2.475 Kg
14.
Panen ke-14
2.663 Kg
15.
Panen ke-15
2.689 Kg
16.
Panen ke-16
2.693 Kg
17.
Panen ke-17
2.732 Kg
18.
Panen ke-18
2.766 Kg
19.
Panen ke-19
2.698 Kg
20.
Panen ke-20
2.791 Kg
21.
Panen ke-21
2.793 Kg
22.
Panen ke-22
2.688 Kg
23.
Panen ke-23
2.802 Kg
24.
Panen ke-24
2.832 Kg
Tabel. 1 Data hasil panen lele ternak Data hasil panen lele ternak tersebut diperoleh dengan asumsi tingkat kehidupan benih sampai panen (survival rate) = 80% , luas kolam = 200 m2, padat tebar = 150 ekor/ m2, total benih ikan yang ditebar = 30.000 ekor.
31
3.3
Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian literatur yaitu buku-buku dan jurnal online matematika sebagai penunjang berkaitan dengan persamaan logistik pertumbuhan populasi (model Verhulst). Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, dilakukan dengan beberapa langkah. Langkalangkah yang digunakan dalam menyelesaikan tugas akhir ini adalah: 1. Mengumpulkan data jumlah panen ikan yang diperoleh dari peternakan lele ibu
Lusi yang beralamat di Jl. Perwira Gang Praja No. 07 Rajabasa, Bandar Lampung. 2. Melakukan penurunan rumus sehingga diperoleh rumus untuk melakukan
penghitungan jumlah populasi (N), laju pertumbuhan (a), dan daya tampung populasi atau carrying capacity
.
3. Mengaproksimasikan sampel data dengan interval panen yang berbeda sehingga
akan diperoleh sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error) yang paling kecil. 4. Melakukan penghitungan prediksi populasi ikan lele ternak dengan
menggunakan sampel data dengan Mape (Mean Absolute Percentage Error) yang paling kecil dengan menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhulst). 5. Membandingkan hasil prediksi dengan hasil panen sebenarnya.
V.
KESIMPULAN
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Laju pertumbuhan populasi atau hasil panen ikan lele ternak berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst diperoleh a = 0,0586 = 5,86% . Hal ini berarti laju pertumbuhan hasil panen ikan lele ternak diperkirakan sebesar 5,86% perpanen. 2. Pada panen ke-41 berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst diperkirakan hasil panen ikan lele ternak adalah 3.085,47 Kg. 3. Perbandingan antara hasil panen sebenarnya dengan prediksi hasil panen menggunakan model logistik pertumbuhan populasi atau model Verhulst disajikan dalam tabel 4 berikut :
No.
Periode Panen
1.
Panen ke-1
Hasil Panen Sebenarnya (Kg) 2.267 Kg
Prediksi Hasil Panen (Kg) 2.267 Kg
2.
Panen ke-2
2.249 Kg
2.302 Kg
3.
Panen ke-3
2.278 Kg
2.335 Kg
4.
Panen ke-4
2.294 Kg
2.369 Kg
60
5.
Panen ke-5
2.337 Kg
2.401 Kg
6.
Panen ke-6
2.366 Kg
2431 Kg
7.
Panen ke-7
2.250 Kg
2.462 Kg
8.
Panen ke-8
2.316 Kg
2.490 Kg
9.
Panen ke-9
2.441 Kg
2.518 Kg
10. Panen ke-10
2.488 Kg
2.545 Kg
11. Panen ke-11
2.512 Kg
2.571 Kg
12. Panen ke-12
2.514 Kg
2.595 Kg
13. Panen ke-13
2.475 Kg
2.619 Kg
14. Panen ke-14
2.663 Kg
2.641 Kg
15. Panen ke-15
2.689 Kg
2.664 Kg
16. Panen ke-16
2.693 Kg
2.685 Kg
17. Panen ke-17
2.732 Kg
2.704 Kg
18. Panen ke-18
2.766 Kg
2.723 Kg
19. Panen ke-19
2.698 Kg
2.742 Kg
20. Panen ke-20
2.791 Kg
2.759 Kg
21. Panen ke-21
2.793 Kg
2.777 Kg
22. Panen ke-22
2.688 Kg
2.792 Kg
23. Panen ke-23
2.802 Kg
2.802 Kg
24. Panen ke-24
2.832 Kg
2.822 Kg
Tabel. 4 Hasil panen sebenarnya dan prediksi hasil panen menggunakan model Verhulst
DAFTAR PUSTAKA
Bacaer, N. 1977. A Short History of Mathematical Population Dynamics. Springer- Verlag, London. Bachtiar, Y. 2002. Pembesaran Ikan Mas di Kolam Pekarangan. Agromedia Pustaka, Depok. Banks, R.B. 1994. Growth and Diffusion Phenomena: Mathematical Frameworks and Applications. Springer, Berlin. Cahyono. 2013. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu, Bandung. Fauzi, N. 2013. Pasti ! Panen Lele. Sahabat, Klaten. Finizio, N. and Ladas, G. 1982. An Introduction to Differential Equation. Wadsworth, California. Frederich, H.B. 1978. Teaching and Learning Mathematic. University of Pittsburgh, Pittsburgh. Giordano, F., Weir, M., and Foox, W. 1977. A First Course in Mathematical Modelling. Thomson Brooks/Cole, Belmont. Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset, Yogyakarta. Mahyuddin, K. 2008. Panduan Lengkap Agribisnis Lele. Penebar Swadaya, Depok. Makridakis, S. dan Wheelright,S.C. 1994. Metode-Metode Peramalan untuk Manejemen. Ahli bahasa : Wiraraja, binarupaaksara, Jakarta. Saparinto, C. 2013. Bisnis Ikan Konsumsi di Lahan Sempit. Penebar Swadaya, Depok. Zulkarnaen, D. 2014. Proyeksi Populasi Penduduk Kota Bandung Menggunakan Model Pertumbuhan Populasi Verhulst dengan Memvariasikan Interval Pengambilan Sampel. Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Jati, Bandung. Volume VIII No. 1.
