•
•
KONSEP DAM APLIKASI
METODE
ELEMEN HINCi.CA ·.
•
No. Ki ass
.?.-:.1 :...l:±L.COO
..
_.
..
k
·
�J1d11k.�J.�. T gl .�.�-:.�3.JH, d . ah·/�. i
I o.
D ll r .I
•
..
···· ····--·--·--
'
.
........ .. ............ .·-···-·······--·-
•
•
KONSEP DAN APLIKASI
ME TO DE
ELEMEN HINCiCiA Robert
D.
Cook
Departemen of Eng�neering Mechanics University of Wisconsin - Madison
PENERJEMAH Ir. Bambang Suryoatmono,· M.Sc Fakultas Teknik Jurusan Sipil Universitas Katolik Parahyangan
PENERBIT PT ERESCO BANDUNG 1990
,
Copyright C 1981 by John Wiley
All Right Reserved
& Sons Inc
Authorized translation from English
language Edition published -Oy John Wiley
& Sons lr,ic
sol us
me di
elem
stru�
masa perh
sama Te or
cuku
sarja
yang
men: dina teru1
perh
dan haru term PenE
anali
TK.03.01.90 Judul Asli:
CONC�PTS AND APPLICATIONS OF FlNITE ELEMENT ANALYSIS
Second Edition - Robert D. Cook
Hak terjemahan dalam bahasa Indonesia pada
Penerbit
PT Eresco
KONSEP DAN APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA Penerjemah :
Ir. Barnbang Suryoatmono, M.Sc.
Fakultas Teknik Jurusan Sipil
Univers�tas Katolik Parahyangan Editor : Tjun Surjaman
Disain Sampul: Mustaghfirin Cetakan Pertama 1990
,,,
Diterbitkan oleh PT ERESCO. Anggota IKAPI
Hak Cipta dilindungi undang-undang; Tidak diperke
Jlankan memperbanyak penerbitan ini dalam bentuk apa pun tanpa izin tertulis dari penerbit ,
buk1
kom
•
PENGANTAR
Pada umumnya metode elemen hingga dapat digunakan untuk memperoleh suatu solusi numerik. Banyak masalah dalam analisis tegangan, transfer panas, aliran Ouida, medan listrik, dan sebagainya, yang telah diselesaikan dengan menggunakan metocffi elemen hingga. Buku ini bertitik berat pada masalah analisis tegangan dan mekanika struktur. Analisis tegangan dibahas karena mudah untuk dimengerti, sedangkan masalah-masalah lainnya dapat dipelajari lebih lanjut karerta formulasi dan prosedur perhitungan elemen hingga untuk berbagai masalah aplikasi kurang Jebih adalah sama. Buku ini adalah pendahuluan dan lebih condong ke masalah aplikasi praktek. . ahan yang Teori-teori disajikan sebagaimana yang diperlukan. Buku ini mengandung b cukup untuk disajikan dalam dua semester. Dengan mempelajari buku ini, seorang sarjana teknik akan dapat belajar menggunakan elemen hingga secara efektif. Untuk yang akan bekerja lebih lanjut, di dalam ini juga dapat diperoleh pengertian fisik mengenai elemen hingga. Latar belakang buku ini adalah sebagai berikut. Kuliah-kuliah mengenai statika, dinamika, dan mekanika bahan harus telah dikuasai. Materna'tfka juga diperlukan terutama diferensiasi dan integrasi sinus, cosinus, dan polinomial. Penulis menekankan perlunya dikuasai juga pengetahuan mengenai operasi matriks, transposisi, diferensiasi, dan arti inversi (P,rosedur perhitungan inversi tidak begitu diperlukan). Mahasiswa harus terbiasa dengan pemrograman komputer, khususnya dengan bahasa Fortran, termasuk juga penggunaan subrutin, blok COMMON. dan penyimpananfi/e ke disket. Pengetahuan lain - se perti teori elastisitas; pelat dan cangkang, metoda-metoda energi, analisis numerik - tidak harus, tetapi sebaiknya dikuasai. Kadang·kadang di dalam buku ini disinggung juga mengenai perigetahuan tersebut, akan tetapi biasanya hanya konsep dasarnya. Berikut ini dicantumkan penjelasan mengenai isi dan orientasi buku ini. Pembahasannya meliputi analisis kontinum, bukan metode khusus untuk struktur rangka. Akan tetapi untuk memberikan penjelasan yang sederhana tetapi berguna, dibahas juga elemen rangka batang (truss) dan balok. Ditekankan pada analisis statik Jinier. Elemen yang dibahas secara rinci didasarkan pada medan .perpindahan yang di asumsikan (assumed displacement fields}. Elemen ini tidak dib.atasi pada bentuk yang khusus, juga tidak mempunyai kontinuitas nodal yang berlebil\an. Dari berbagai elemen yang ada, hanya beberapa yang dibahas secara rinci, yaitu ter utama yang berjenis isoparametr�. . Untuk memperlihatkan Jangkah-langkah proses tertentu, diberikan pengkodean dengan bahasa Fortran, apaqila dirasakan mudah, berguna, dan tidak terlalu panjang. Pengkodean ini bis� saja bu�an merupakan yang paling mutakhir atau. paling efisien. Program dalam bentuk lengkap dapat diperoleh dari berbagai sumber Jain. Topik-topiknya ditekankan pada masalah yang benar-benar berguna, dan telah terpecahkan dengan baik pada saat ini. Topik-topik yang cepat beruban terhadap
I
1
Tugas
waktu, seperti pembahasan mengenai program komputer yang sedang terkenal.
dapat
tidak ad.a dalam buku ini.
superp
Ada beberapa perubahan dari edisi pertama ke edisi kedua ini. Sebagian topik
masala
edisi pertama yang tidak sesuai dengan maksud dan orientasi buku ini sudah ditiada· kan. Beberapa topik baru ditambahkan apabila mema'ng sesuai (lihat Bab
18).
dan bE
14. 17. dan
sederh:
Pada buku ini juga ditambahkan contoh-contoh numerik. Yang tidak banyak
dapat
berubah adalah susunan bab juga paragraf/kalimat-kalimatnya. Beberapa tambahai1 lain adalah yang diperoleh penulis dari berbagai literatur terakhir, clan dari komentar para mahasiswa, dan sesama pengajar yang pernah menggunakan buku ini. Ditambah·
i!
Pe
kan pula beberapa pekerjaan rum ah, yang jawabannya diberikari pada bagian belakang
bertan:
buku ini. Soal-soalnya dipilih yang dapat memberikan prinsip dan prosedur yang telah
baik,
dijelaskan pada bab yang bersangkutan. Sebagian besar dari soal-soal tersebut tidak
karena
Keberhasilan dalam pemanfaatan metode elemen hingga akan sangat tcrgan tung
hal bal
pada program komputer yang dibuat. Para mahasiswa pada kuliah semester pertama
which.
akan mengatakan bahwa tugas pemrograman merupakan alat belajar yang sangat baik.
penjel�
Mahasiswa tersebut lebih senang menulis dan mencoba pro!:!ram sederhana tctapi
yang c
lengkap, bukan ·membuat subrutin-subrutin saja. Elcmen-elcmen contoh dan kondisi·
penget
nya masing-masing yang merupakan dasar pemrograman dicantumkan di sini. Sebagai
cepat
contoh, kuadratur Gauss untuk pembentukan kekakuan elemen diberikan di dalam buku' ini. Untuk m�asiswa yang bukan dari bidang mekanika struktur, di sini dibahas juga beberapa masalah nonstruktural.
(degree offreedom. d.o.f) tiap titik.
2. Seperti ad (I) tetapi dengan tambahan derajat bebas internal.
3.
Balok geser yang terletak di atas fundasi elastis, satu Jerajat bebas tiap titik.
(Lihat Gambar
9.5.2.
Untuk balok, tinjau saja w dan energi yang disimpan oleh
. 'Yxy ). 4. Balok yang terbentuk oleh elemen pelat isoparametrik (Gambar
5.
6.
7. 8. 9.
Elemen batang tak prismatis
9.5.1
atau 9.5.2).
(tapered bar element), clua clerajat bebas pacla titik
dan satu tak bertitik. Disk datar yang tebalnya konstan atau pun .berubah. clengan elemen lingkaran
dan beban torsional saja.
Sama dengan ad 6 tetapi ditambah clengan derajat bebas tak bertitik
(nodeless
Sama dengan ad 6, tetapi dengan beban radial saja.
6,
tetapi ada fundasi elastis, clan hanya dapat mempunyai ke
kakuan geser melintang, clan behan lateral.
I 0. 11.
Rangka bidang(planeframe), tiga derajat bebas per titik.
13.
Elemen segi empat, satu derajat bebas pada tiap ujung, untuk pe'rsamaan harmonis
Sama clengan ad 5 tetapi dengan meninjau aksi torsional saja.
...12. Sama dengan ad ,
14. vi
f
d.o.f).
Sama dengan ad
11, tetapi menggunakan elemen dari ad 4.
(Iapis sabun, aliran fluida, dan sebagainya).
Aplikasi Persamaan 4.10.4 untuk,balok tak prismatis yang dibebani gaya aksial.
c
dari b
memerlukan perhitungan dengan komputer maupun perhitungan numerik yang rumit.
I. Elemen balok standar, dua derajat bebas
serba ; dalam
,
c
<enal. topik tiada7. dan an yak
bah an
1entar 11bah akang : telah tidak rn1it. ntung ·rtama I baik. tctapi
)nuisi ebagai dalam ibahas <.
I
litik. n olch
9.5.2). 1a titik gkaran Jdeless
yai ke-
rmonis sial.
Tugas pemrograman juga dapat dibcrikan pada kuliah semester ke dua. Tugas •yang dapat saja diherikan misalnya komponcn dcrct h:>urier dari suatu pembebanan, dan superposisi masing-masing solusinya. Con toh-contoh yang diberikan di sini !fleliputi masalah tegangan bidang, termasuk untuk dacrah lingkaran, dengan elemen melingkar dan beban asimctris, juga analisis jalur hingga (finite strip) pada pelat yang ditumpu ,, sederhana. Tugas lain seperti masalah frekuensi alami getaran atau respons dinamis juga dapat diberikan. Kemungkinan lainnya, adalah tugas pembuatan program komputer serba guna, yang disertai penggambaran intcraktif, yang diperlukan oleh mahasiswa dalam memecahkan masalah clemen hingga. Penulis sangat berterima kasih kepada mahasiswa-mahasiswa yang telah banyak bertanya schingga penulis menjadi terbi�sa untuk menjelaskan dengan cara yang lebih baik. dan dapat memberikan pekcrjann u1mah yang lebih sempurna. Sebagian besar dari buku ini herasal dari makalah-makalah (paper) yang telah pernah diterbitkan, karena itu penulis juga sangat mcnghargai kerja para penulis makalah tersebut. Dalam hal bahasa, penulis pernah mengalami kebingungan dalarn penggunaan kata that dan which. Kepada editor dari penerbit Willey penulis mengucapkan terima kasih atas penjelasan mcngenai perbedaan kedua kata tersebut. Buku The Elements of Style yang ditulis oleh Strunk dan White telah banyak membantu pen�lis. Kepada keenam pengetik, terutama Pat KJitzke, penulis mcngucapkan terima kllsih atas kerja yang. cepat dan berkualitas. Robert D. Cook
D AFT A R
ISi
Halaman PENGANTAR DAFTAR
v
ix
ISl
1
NOTASI
BAB 1
1.1 1.2 1.3 1.4
4
PENDAHULUAN
4 10 12 15 16 19 20 21 22
1.6 1.7 1.8
Metode Elemen Hingga Beberapa Matriks dan Persamaan yang Penting Teori Elastisitas ../ Hubungan Regangan-Peralihan "' Hubungan Tegangan-Regangan V Pengaruh Temperatur, Tegangan, dan Regangan Awai Mencari Informasi Tambahan Kemajuan Komputer
BAB 2
METODE KEKAKUAN DAN RANGKA DATANG BIDANG
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16
Pendahuluan· Persamaan Kekakuan Struktur Sifat-sifat [kl. Solusi Anu Persamaan Kekakuan Elemen J Penyusunan Matriks Kekakuan Struktur J Pembentukan Persamaan Keseimbagan V Penomoran Titik yang dapat Menghasilkan Matriks Jalur Penomoran Kembali Titik-titik secara otomatis Kondisi Batas Peralihan Reaksi Tumpuan dan Perhitungan Tegangan Solusi Persamaan dengan Eliminasi Gauss Algoritma Solusi Gauss dan Choleski Catatan Mengenai Berbagai Cara Pemecahan dan Persamaan Pemecahan Persamaan Tidak Langsung Rangkuman Beberapa Masalah Nonstruktural yang Berkaitan
BAB 3
ENERGI POTENSIAL DAN METODE RAYLEIGH-RITZ
65
3.1
Pendahuluan Energi Potensial Total " Beberapa Derajat Bebas. Manipulasi Matriks
65 65 67
{[)
Soal-soal
. ,
Soal-soal
Q.2 Q.3
"
\,/
25 25 25 28 29· 31 34 37 40
. 41 45 46
49 53 54 56 58 60
ix
�� 3.5 3.6 3.7 3.8 Soal-soal BAB4
Persamaan-persamaan untuk Energi Potensial Total Metode Rayleght-Ritz Komentar pada �etode Rayleigh-Ritz Bentuk Elemen Hingga pada Metode Rayleigh-Ritz Rangkuman Kesimpulan
77
78 83 84
ELEMEN-ELEMEN YANG DIDASARKAN ATAS MEDAN PERALIHAN 88 TERASUMSI
Pendahuluan lnterpolasi Rumus untuk Matriks Elemen Matriks untuk Elemen Rangka Batang (Truss) dan Rangka (Frame) Segitiga Regangan Konstan Elemen Segitiga Linler Keseimbangan dan Keserasian pada Solusi . Persyaratan Konvergensi. Uji Patch . Persyaratan lain untuk Konvergensi dan Kekekalan Perhitungan Tegangan 4. 11 Titik Simpul Pojok, Titik Tepi, Biaya dan Pendimensian 4. 12 Elemen Hingga versus Beda Hingga 4.13 Metode Solusi Batas Soal-soal
88 88 92 98 100 103 105 106 108 1 12 1 16 1 17 1 18 121
BABS
128
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
@
•
70 74
FORMULASI ISOPARAMETRIK
5.1 Elemen lsoparametrik 5.2 Contoh-coi:1toh pada l Dimensi Elemen Isoparametrik Linier Bidang 5.3 Ringkasan Gauss Quadrature 5.4 Subrutin Komputer untuk Elemen Linier 5.5 Elemen Bidang Lagrange 5.6 lsoparametrik Padat (masif) 5.7 Beban Titik Si.mpul dari Traksi �ermukaan dan Gaya Benda 5.8 5.9 Kesahihan Elemen Isoparametrik Orde Quadrature yang Jayak 5.10 Cata tan Mengenai Perhitungan Tegangan 5. 11 Catatan Kesimpulan. Contoh-contoh. Berbagai error 5.12 Soal-soal ,, BAB 6
6. 1 6.2 6.3. x
128 129 131 134 137 140 142 144 147 150 153 155 159
TRANSFORMASI KOORDINAT
165
Pendahuluan Transformasi Tegangan, Regangan, dan Besaran Material Transformasi Kekakuan dalam 2 Dimensi
165 165 168
I J I
6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 Soal-sc BAB7
I I
I
I
I•
(
(-,
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7. 10 7.1 1 7.12 7.13 7.14 7.15 Soal-so BABS
8. 1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Soal-so: BAB9
9. 1 9.2 9.3
.,
6.4 Transformasi untuk Tumpuan yang miring 6.S Transformasi pada Ruang. Matriks [T ] y.ang tidak Persegi Panjang 6.6 Penggabungan Antara Elemen yang tidak sama 6.7 Penghubung Kaku. Elemen Kaku. Sendi Ekstra 6.8 Kendala (Constraints) dan Persamaan Transformasi 6.9 Kendala dan Pengali Lagrange Kendala dan Fungsi Penalti 6.10 6.11 Penggunaan Simetri Suktur 6.12 Simetri Siklik 6. 13 Pelaksanaan Substruktur Soal-soal
70 74 77 78 83 84 HAN 88
88 88 92 98 100 103 lOS 106 108 112 1 16 117 1 18 12 1
BAB 7
128 128 129 131 134 137 140 142 144 147 ISO IS3 !SS IS9
170 171 J 72 17S J 77,, 180 18 1 183 18S 187 189
TOPIK MENGENAI FORMULASI ELEMEN DAN PENGGUNAANNYA J 99
7. I Kernel Elastis dan Elemen Umum 7.2 Titik Simpul di dalam Elemen. Kondensasi 7.3 Derajat Bebas tak Bertitik Simpul. Formulasi Global-Lokal 7.4 Algoritma Kondensasi dan Persamaan.Kendala 7.S Turunan Lebih Tinggi sebagai Derajat Bebas Titik Simpul 7.6 Geser Parasitik pada Elemen Linier 7.7 Elemen QM6. Elemen tak Serasi 7 .8 Elemen Membran Terpilin (Warped Membrane Element) Elemen Segitiga dan Koordinat Luas 7. 9 7. IO Segitiga Kuadratik. lntegrasi Numerik 7.1 1 Pilihan Lain dalam Formulasi Elemen Penurunan Derajat Elemen 7 .12 Pemodelan. Pola Jaring dan Pembagian Derajat 7. J 3 7.14 Elemen-elemen yang Berbentuk Khusus atau yang Tak Hingga 7. l S Mekanika Fracture. Singularitas Elemen Soal-soal
199 201 203 206 208 210 211 216 217 221 226 227 230 233 23S 240
BAB 8
249
BENDA PUTAR
8.1 Pendahuluan 8.2 Formulasi Pembebanan Simetris Aksial 8.3 Catatan Mengenai Deret Fourier 8.4 Behan Umum. Pendahuluan 8.S Pembebanan Umum. Matriks Elemen 8.6 Pembebanan Umum dan Besaran Umum 8.7 Catatan Kesimpulan SoaI-so al
249 249 2S2 2SS 2S8 260 262 263
16S
BAB9
LENTU�PELAT DATAR
267
16S 16S 168
9. 1 9.2 9.3
Perilaku"Pelat dan Cangkang Elemen Hingga dan J alur Hingga Elemen Pelat Isoparametrik
267 271 277
fl
xi
Elemen Pelat Isoparametrik (lanjutan) 9.4 Elemen Isoparametrik untuk Pelat Tipis dan Pelat Tebal 9.5 9.6 Kasus Uji untuk Pelat Terlentur Soal-soal
280 284 288 290
BAB
10 CANGKANG
296
10.1 10.2
Pendahuluan Elemen Datar
296 297 199 301 303 307 309 3 12 315 316 317 320
10.3 Gerak Benda Tegar 10.4 Pilihan Teori Cangkang dan Medan Peralihan Elemen Cangkang lsoparametrik 10.5 Elemen Cangkang lsoparametrik (lanjutan) 10.6 10.7 Uji Kasus Elemen Cangkang Cangkang Tipis Putar 10.8 10.9 Cangkang Tipis Putar (Lanjutan) 10.10 Kesirnpulan Tentang.Cangkang Tipis Putar 10.11 Elemen Cangkang'Putar lsoparametrik Soal-soal BAB
11 ELEMEN HINGGA PADA DINAMIKA DAN GETARAN
Pendahuluan 11.1 11,2 Matriks Massa dan Redaman. Persamaan Dinamika 11.3 Matriks Massa, Konsisten dan Diagonal 11.4 Frekuensi Alami. Masalah Nilai Eigen 11.5 Kondens�si untuk Mereduksi Jumlah Derajat Bebas 11.6 Teknik-teknik Solusi untuk Masalah Eigen 11.7 Respons Dinamik. Metode Ragam 11.8 Respohs Dinamik. Integrasi Langsung 11.9 Respons Dlnamik. Catatan Tentang Metode-metode 10.10 Bermacam-macam Persoalan Dinamik Soal-soal
j J
13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 13.1 1 13.12 13.13 13.14 Soal-so
l
BAB 1·
tt
I
327 327 327 329 333 336 340 343 345 348 350 351
l
12 TEKUK DAN PENGARUH LAIN. GAYA MEMBRAN
357
\.'
Pendahuluan Matriks Kekakuan Teg�ngan untuk Batang, Balok, dan Pelat Perumusan Lebih Umum . Beban Kritis (masalah Nilai Eigen) 12�) Bifurkasi , Ketaksempurnaan, Titik Batas, dan Nonlinieritas Soal-soal
357 359 363 367 37 1 373
BAB
12.1 12.2 12.3 12.4
,,
BAB
!i) 13.2 xii
13 PENGENALAN PADA PERSOALAN NONLINlER
Pendahuluan. Nonlinieritas Geometri Formulasi Updated Lagrangian
378 378 �80
I
14. l 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 BAB
...
1:
15. l 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 So al-so BAB
16. l
l6}) 16.3 16.4 16.5
1
280 284 288 290 296 296 297 199 301 303 307 309 3 12 3 15 316 3 17 320 327 327 327 329 333 336 340 343 345 348 350 35 1 357 357 359 363 367 371 373 378 378 180
Algoritma Solusi. Newton-Raphson 13.3 Interpretasi Algoritma Solusi 13.4 Formulasi Lagrangian Total 13.5 Algoritma Solusi Lain. lterasi Langsung 13.6 13.7 Persoalan joint, gap, dan kontak Kabel, Membran, dan Cangkang 13.8 Nonlinieritas Material. Teori lnkremental 13.9 13. 10 Teori Deformasi. Solusi Iterasi Langsung 13. 1 I Algoritma untuk Plastisitas lnkremental 13.12 Aksi Lentur dengan Nonlinieritas Material 13.13 Hal-ha! Jain tentang Nonlinieritas Material 13.14 Memilih Metode Solusi Soal-soal
382 384 387 389 39 Y 394 395 399 402 406 408 · 410 41 1
BAB 14
PENGUASAAN PADA DATA, PROGRAM, DAN PEMROGRAMAN
421
14. 1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9
Pendahuluan Dokumentasi Pembentukan Jaring Grafik Komputer Kesalahan Fatal dan Perangkap Kesalahan Catatan Tentang Program Besar dan Kecil Rekomendasi Pemrograman Alokasi Tempat Penyimpanan Dinamik Biaya-biaya
421 421 422
BAB
..
15 MENDETEKSI DAN MENGHINDARI KESULITAN NUME�IK
Pendahuluan 15.1 Uji Nilai Eigen pada Elemen-elemen 15 .2 Uji Kualitas Elemen 15.3 Kesalahan ldealisasi. Laju Konvergensi 15.4 Kondisi Buruk. Kesalahan Pemotongan dan Pembulatan 15.5 15.6 Bilangan Kondisi 15.7 Pengurutan Persamaan Kerusakan pada Koefisien Diagonal 15.8 Persamaan Residu dan Iteratif 15.9 Kesimpulan 15.10 Soal-so al BAB
16. l
16 BERMACAM TOPIK DALAM MEKANIKA STRUKTUR
� 16.3 16.4 16.5
. ,
Metode Keseimbangan, Campuran, dan Hibrid Balok Lurus dan Balok Lengkung Fondasi Elastis Konstruksi lnkremental Reanalisis Setelah Modifikasi Struktur
425
425 427 421: 43U 432 434 484 435 436 437 441 443 446 447 448 450 45 1 454 454 456 457 459 459 xiii
16:6
Media Inkompresibel
16.7
lnteraksi Struktur-Fluida
So al-so al BAB
17 PENGENALAN PADA PERPINDAHAN PANAS DAN PERSOALAN
17.1
Formulasi untuk Perpindahan Panas dan Persoalan Lainnya
470
digunal
Persamaan-persamaan untuk Konduksi Panas dalam Bidang Benda Pejal
Urnum dan- Benda Putar
Persoalan Termal Transien
Beberapa So al Penting Pada Perpindahan Panas
17.7
Persamaan Kuasi-Harmonik
17.8
Aplikasi pada Aliran Fluida dua Dimensi
17 .9
Persamaan Gelombang. Ragam Akustik dalam Rongga
Soal-soal BAB
18 PENGANTAR METODE RESIDU BERBOBOT
·18. l
Alasan-alasan Menggunakan Metode Residu Berbobot
18.2
Beberapa Metode Residu Berbobot.
18.3
Contoh Numerik
18 .4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9
Beriku1 pada b dcfinisi
Formulasi Elemen Hingga
17.5
I ill
470
17 .3
17.6
464
NOTA
NONSTRUKTURAL LAINNY A
17.2 17.4
461 462
Metode Elemen Hingga Oalerkin Aplikasi Metode Gauss pada Dua Dimensi lntegrasi Sebagian Metode Kolokasi Kuadrat Terkecil Metode Elemen Hingga Galerkin. Formulasi Campuran Penerapan Galerkin pada Persamaan Kuasi Harmonik
punyai
471 473
SIMBO
475 476 478 479 481
{
}
[
1-
489
(
J
489
.[
483 485
1
T
1-1
489 491 495 497 499
SOI 503 505
Soal-soal
506
Apendiks A Matriks kekakuan Kolom - Balok Bidang
511
Apendiks B Contoh Jaring Elemen Hingga
513
Daftar Pustaka
519
Jawaban Soal-soal
550
Indeks
571
.anp aa
SIMBO A
[A] {a(
B
[BJ, [E Ca C(K) [CJ
...
/
D
d.o.f.
,
,,
•
{D} {d}
xiv
NOTASI
461 462 464
13erikut ini dicantumkan daftar simbol-simbol utama. Notasi yang digunakan hanya pada bagian tertentu dan modifikasinya (sepcrti dengan penambahan subskrip) di definisikan pada bagian di mana digunakan. Begitu pola simbol-simbol yang mem-,.. punyai arti yang berbeda untuk konteks tcrtentu didefinisikan di mana simbol tersebut digunakan. Matriks dicantumkan dengan cetak tebal.
470 470 471 473 475 476 478 479 481 483 485
SIMBOLrSIMBOL MATEMATIKA Matriks segi empat atau bujuf sangkar Matriks diagonal Vektor baris Vektor kolom. Catatan:
u
{ } =: { u v} v
Invers matriks Transpos matriks (berlaku juga untuk matriks bar1s dan matriks kolom
489
Transpos invers; ( ) - T =: (( l -1 t T =: ( ( ) Tr 1. Cata tan. Tanda kurung biasa maupun kurung siku dapat diabaikan dari suatu submatriks dan dari matriks bagian dari perkalian matriks yang dikurung.
489 489 491 495 497 499 50 1 503 505 506
Menunjukkan
5 11
fungsi skalar dengan parameter a 1, a2, a3, ...... , a11•
turunan waktu; sebagai contoh, it= du/dt, u
=
d2 u/dt2•
turunan parsial terhadap 'variabel di sebelah tanda ini; sebagai contoh
W,x
=
3wf3x, W,xy
=
32 wf3x3y
Amplitudo; sebagai contoh, u =ii sin wt. (Banyak lagi arti-arti lainnya).
a_ n p anp an p - - . . aa/1 3a1 3a2 .
yang mana np merupakan
-
SIMBOLrSIMBOL LATIN
513
A
[A) {i
519
B
550
[B], [B0] Cu C(K) [C]
57 1
D
•
d.o.f. {D} {d }
Luas Penghubung antara {d}dengan {a}; {d} l.Al {a} Koordinat yang diperumum (generelized coordinates). semi-lebar-jalur dari suatu matriks. Matriks "regangan-peralihan" (Bab 4.3) Kontinuitas derajat n (Bab 4.2) Jumlah kondisi untuk [K) (Bab 15.6) Matriks redaman atau matriks kendala (constrain). Peralihan Derajat be bas (degree of freedom) d.o.f. nodal untuk struktur (d.o.f. global) d.o.f. nodal untuk elemen. =
·
1
{D}
E.Es [ E] {F} {f} G [ H]
I
[ I J [J] k [ K] [k] [Ka] [ kal L, l I, m, n [M] [m] M, N MBAND N, NEQ NDOF NUMEL NUMNP [N] 0 [O] , {O}
P;. q; p
{P} [Q] . {Q} q
R {R} {r}
{r} s s, t T " J
[T]
Matriks kekakuan.lentur untuk pelat Modulus elastis (E), modulus sekan (Es) (Garn bar 13. l 0. 1) Matriks kekakuan elastis (Bab 1.5) Gaya benda (body forces) per satuan volume. Medan peralihan; {t} { u v w }dalam ruang tiga dimensi. modulus geser. digunakan apabila [Q] dipakai momen inersia balok Matriks satuan {disebutjuga matriks identitas) Determinan dari [J] , disebut juga Jacobian matriks Jacobian kekakuan pegas. Konduktivitas termal (Bab 17) Matriks kekakuan struktur (global) Matriks kekakuan elemen (matriks konduktivitas pada Bab 17). Matriks kekakuan tegangan struktur (global). Matriks kekakuan tegangan elemen. Panjang cosinus arah Matriks massa struktur (global) Matriks massa elemen Momen lentur (M}, gaya membran (N) Sama dengan B Banyaknya persamaan pe
U. Uo
u, v. w v
x,y,z x. y. z
=
SIMBOJ Q'. a, (3, (3 [r]
0 {e} , {1<}
r
{e,
v
�. T/, �
II
}.
1T
p
{a}, {ac ip. {
}
w
SIMBOI
=
=
-'\t\t\1\
�
=
.(
4.3.5).
{r} - {r}(Bab 2.4) Permukaan (surface) Arah-arah koordinat, biasanya Cartesian. Temp�ratur Tebal, Waktu Matriks tr�nsformasi =
•
� t=
U. Uu
U,
v
V, W
x,y,z x ,y. z
Energ1 regangan, energf regangan per satuan volume Komponen-komponen peralihan Volume Koordinat Cartesian Koordinat Cartesian lokal
SIMBOL-SIMBOL YUNANI a a,
{3
{3,
'Y
[rJ
Koefisien ekspansi termal Koordinat luas (Bab 7.9). Sudut, faktor relaksasi, modulus fundasi, dan sebagainya. lnversJacobian, [ ) [J]-1• , Operator perubahan kecil; sebagai contoh t adalah inkremen waktu. Operator virtuil (rnaya); sebagai contoh ou adalah peralihan virtuil. Regangan, regangan awal (Bab 1.6) Vektor kelengkungan (pada'lentur pelat). Nilai eigen. Pengali Lagrange. Angka Poisson. .' Koordinat isoparametrik (Bab 5). Fungsional (np energi potensial total). 3,1415926536 .. . Rapat massa Tegangan, tegangan awal (Bab 1.6) Variabel yang bergantung. Sudut meridian pada cangkang (Bab IO). Vektor gesekan permukaan (Bab 1.3) Frekuensi sudut dalam radian per detik. =
5
{€} {€0} {K} •
v
�. 17, � n Tr
p
{a}, {ao}
¢>
{}
w
=
SIMBOL-SIMBOL GRAFIS Vektor gaya atau peralihan Vektor rotasi atau momen (dengan aturan tangan kanan). -'\i\i\i\i\i\__. Pegas atau tumpuan elastis.
tiap kali
Tumpuan rol (menahan gaya-gaya normal positip maupun negatip).
rsamaan
�
Tumpuan sendi (menahan semua gaya, tetapi tidal<. menahan momen).
( ?ii :t:::==� : � �
Tumpuan jepit (menahan semua gaya dan momen).
•
3
1
berubal simpul
terpilin
dekatar
PENDAHULUAN
,y.
v
1.1 METODE ELEMEN HINGGA
Metode elemen hingga adalah prosedur numerik untuk memecahkan masalah mekanika
kontinum dengan ketelitian yang dapat diterima oleh rekayasawan.
Bayangkanlah bahwa tegangan dan peralihan pada suatu struktur dalam Gambar
I.I harus dicari. J�waban numeriknya tidak 2, _ kan ada pad a buku manapun. Metodc metode klasik menunjukkan bahwa masalah ini berupa persamaan diferensial parsial, akan tetapi jawabannya tidak ada karena geometri dan pernbebanannya terlalu kom
pleks. Secara praktis,
jawaban tertutupnya
banyak sekali masalah yang terlalu kornpleks untuk diperoleh (closed form solution). Untuk itu. diperlukan solusi numerik, dan
salah satu yang cukup memadai adalah metode elemen hingga.
Gambar
segitiga dan kuadrilateral adalah elemen-elemen hingga. Titik-titik hitam adalah titik
hingga 1 gaya-ga\
Pada Gambar I.I. lb diperlihatkan model elemen hingga. Daerah yang berupa
simpul (node) dimana elemen yang satu berhubungan .dengan lainnya. Suatu jaring (mesh) adalah susunan titik simpul dan elemen. Ben tuk jaring pada gambar tersebut
Di
terdiri atas elcmen segitiga dan kuadrilateral, ada yang mempunyai titik simpul pada
x dan dari .
sisinya, dan ada pula yang hanya pada ujungnya. (Informasi mengenai tata letak elemen pada jaring diberikan pada Bab 7.13 dan Apendiks B).
ini me
Pada dasarnya, elemen hingga merupakan bagian-bagian kecil dari struktur �ktual.
Akan tetapi, kita tidak dapat mengubah Gambar
·
bagian [!rdefii simpul
I.I. la menjadi Gambar I.I. l b hanya
dengan membuat potongan sembarang seperti potongan-potongan material yang
terikat pada titik-titik kumpul. Apabila terpotong demikian, struk.tur lcrsebut akan _ tu, potongan:pot:o�rsebJ1t akao mempunyai kon�i sangat rnelemah. Selaini !£gan@n pada titik-titik--kurnpulnya dan akan cende;ung menjadi turn_pang_tindih at.fill
terpisahkan di sepan�otongfil!. �lasnya, pada struktur aktual tidak akan terjadi
demikian, jadi elemen hingga harus dapat beraeformasi dengan cara yang terbatas.
Sebagai contoh, apabila ujung-ujung elemen dikendalakan untuk tetaplurus, seperti
yang diperlihatkan pada Gambar I. I. le, maka elemen yang bersebelahan dengannya tidak akan bertumpang tindih maupun terpisahkan.
Untuk memformulasikan suatu elernen, k.ita harus mencari gaya-gaya titik simpul
(nodal forces) yang menghasilkan berbagai ragam deformasi elemen. Kita dapat men
cari gaya-gaya ini dengan teori dasar untuk £.iemen hingga "alami" seperti balok
x/
(beam) atau batang {bar). Akan tetapi, untuk elemen-elemen Y-ang didefinisikan
clengan menggambarkan g_aris-garis pada suatu kontinum,_sepertLyang diperlilrntkan
pada Garnbar dan 18).
�-
1. 1. lb dan
I. I.le, diperlukan Q_rosedur baru (Bab
3, 4, 5, 8, 9, I 0, 17,
Metode elemen hingga tidak dibatasi pada masalah-masalah mekanika struktural 1.1.2). Pada Gambar 1.1.2 juga diperlihatkan bagaimana permukaan yang
Gambar
(Gamba,r
4
(
•
berubah secara halus dapat didekati dengan permukaan yang datar. Elemen bertitik
simpul empat dan delapan, yang masing-masing diperlihatkan dengan per!T}ukaan" " terpilin dan lengkung, merupakan .Pxndekatan yang baik ke fungsi situasinya. Pen-
dekatan ini akan semakin baik apabila elemen yang digunakan semakin banyak.
Pressure p
r.��4
kanika
3_.
_____
I I
;ambar
letode kom
ieroleh
1�1
ik, dan
berupa
th titik
1 jaring
�rsebut
1! pada
(b)
Gambar 1.1.1 (a) Struktur bidang dengan bentuk sembarang. (b) Model elemen hingga yang mungkin pada struktur tersebut. (c) elemen segi empat bidang, dengan gaya-gaya titik kumpul P; dan Q;. Garis putus-putus memperlihatkan ragam deformasi sehubungan dengan peralihan arah x titik 3.
Di dalam suatu elemen segi empat pada Gambar
1.1.2, adalah fungsi linier dari
.filevasi dan inklinasj elemen dapat didefinisikan...dengan...Uga harl@_ titik simpul
�ktuaL
lni memperlihatkan esensi metode elemen hingga, yaitu
1 1 yang 1t akan
rentrasi
lih atau
_!!!rjadi
:rbatas.
-x. u
'r\
x dan y
hanya
/'3
'11
3 letak
1
,�
I
I P2 p, � �-----2.__..;..
parsial,
1
-
.
dari . Dua elemen tidak harus mempunyai elevasi dan kemiringan yang sama. Sketsa
pendekatan bagian dem _ i bagian untuk fungsi p df:!!gan menggunakan polinomial, yang mana masing-masing [!!rdefinisi 12.ada da!!.ah (elemen) yang kecil dan.Jijn)liltakafl-daiam.Jlarga-harga titik simpul dari fungsi tersebut. -
� � fvf\9\i llnltr
I
seperti
.gannya simp\.!!
3t men
i balok
inisikan
�n 10,
17,
·uktural
yang
Gambar 1.1.2 Fungsi kombinasi � (x, y) dan elemen tipikal yang dapat digunakan untuk mendekatinya.
5
Dua masalah struktural berikut ini dapat membantu menjelaskan metode elemen
hingga. Kepala roket pada Gambar
1.1.3 merupakan benda putaran (solid of revolu tion). Masing-masing elemen merupakan cincin torsional yang berpenampang segi tiga. Kita akan mencari tegangan yang diakibatkan oleh gra<.lien temperatur dan
tekana'O internal. Pada Garnbar
1.1.4 diperlihatkan tiga cara untuk memodelkan 5). Kita akan
lengKu"ngan bendung dengan elemen isoparametrik (dibahas pada Bab
mencari tegangan akibat beban statik atau mencari respons dinamis akibat beban --
( 0
� Gambar 1.1.3 Penampang melintang kepala roket yang terbuat dari banyak material, mempe�lihatkap konstruksi (bagian kiri) dan jaring elemen hingga yang mungkin (bagian kanan). Masalah ini telah dapat dipecahkan dengen menggunakan teknologi elemen hingga, pada ewal metode ini digunakan (8.1).
MasaJah-masalah lain pada bidang industri yang dapat dipecahkan dengan metode
elemen hingga diperlihatkan pada Gambar
1.1.5 sampai 1.1.9 pada Apendiks B.
M.etode elemen hi� a ini dapat dipakai untuk memecahkan berbagai masalah. Daerah yang dianalisi dapat �unyai bentuk, beban, dan kon.disi bataL)lfillg
�
sembarang, Jaring-jaringnya dapat terdiri atas elemen yang berbeda jenis, bentuk dan besaran fisiknya. Kemudahan penggunaap berbagai hal tersebut bisa saja ter
gabung pada satu program komputer serba guna: yaitu dengan menyiapkan data pemi-
lihan jenis, geometri, kondisi batas, elemen, dan sebagainya.
f2')
Keunggulan lain dari metode elemen hingga adalah adanya lirit fisik_yang cukup
�� jaring
sekali
Metode elemen hingga juga mempunyai kekurangan. Hasil yang diperoleh dengan
terjad
metode ini untuk suatu masalah tertentu adalah berupa hasil numerik: tidak ada�
samaan ,bentuk tertutup yang dapat dipakai untuk kasus serupa yang hanya berbeda
6
yasa)
elemen dengan struktur aJ
merupakan abstrak matematis yang sulit untuk divisualisasikan. �
param
meru�
progn
!lemen
revolu-
1g segi ur dan
�
a akan be ban
-
I (a)
(b)
(c)
Gambar 1.1.4 Setengah lengkungan bendung, dimodelkan sebagai (a) elemen kua
drilateral dan (b) segitiga "kuadratik", dan (c) elemen tunggal "kubik" (1.1). Titik titik simpul elemen diperlihatkan sebagai titik hitam pada gambar.
al, :in 1gi
metode nasalah . aL-}!3.flg bentuk ;aja ter ta pemi.g cukup d bukan dengan ada�L berbeda
i
Gambar 1.1.5 Alat tekanan dengan perkuatan pada satu kepalanya, untuk tujuan khusus. Kesimetrisan ditunjukkan dengan memodelkan segmen simetris dan mene rapkan kondisi batas yang sesuai pada permukaan terpotongnya. (Atas izin A. 0. Smith Corp. Data System Division, Milwaukee, Wisconsin.)
parameternya. Dengan metode ini komputer beserta program yang dapat dipercaya merupakan suatu keharusan. Selain itu diperlukan juga pengalaman dan intuisi reka yasa yang bail<, agar diperoleh bentuk jaring yang memadai untuk setiap kasus. Banyak sekali data yang harus dimasukkan, begitu pula data keluaran yang telah disortir oleh program harus dicek kembali. Sekalipun demil
7
Gambar 1.1.6 Model terperinci dari setengah rangka mobil, digunakan untuk mencari deformasi, teganganrfrekuensi alami, dan bentuk ragam. (Atas izin A. 0. Smith Corp., Data System Division, Milwaukee, Wisconsin.)
Ringkasan sejarah elemen hingga. Pada tahun
ahli riset mengusulkan metode "analogi
1906 dan tahun-tahun berikutnya, para lattice" untuk memecahkan masalah kontinum
[ 1.2-1.4] 1. Disini suatu Kontinum didekati dengan jaring yang teratur yang terbentuk oleh batang-batang elastis. Selanjutnya metode ini berkembang menjadi metode untuk
menganalisis struktur rangka. Pada tahun 1941, seorang ahli matematik Courant
(dalam tulisan yang diterbitkan tahun 1943), mengusulkan in terpolasi polinomial bagian-demi-bagian pada daerah segitiga, sebagai cara untuk mendapatkan solusi numerik pendekatan [1.5]. Courant memperkenalkan metodenya sebagai solusi Rayleigh-Ritz untuk masalah variasional. Inilah yang kita kenal sebagai metode elemen
hingga dewasa ini. Apa yang telah dikerjakan Courant tersebut semula
Pada waktu itu, pendapat para ahli masih dianggap tidak praktis karena memang
belum ada komputer yang dapat dipakai untuk melakukan perhitungan. Setelah tahun
1953, para rekayasawan menuliskan persamaan kekakuan dalam notasi matriks dan dapat memecahkan persamaan tersebut dengan menggunakan bantuan komputer
digital [1.6]. Makall)h klasik yang dituiis oleh Turner, Clough, Martin, dan Topp
diterbitkan tahun '1956
[I. 7]. Dengan makalah ini, ditamba11 tulisan-tulisan lainnya [1.8], mulailah terjadi kemajuan yang sangat pesat dalam pengembangan metode
elemen hingga dalam bidang rekayasa. kali pada tahun
Nama "elemen hingga" disebutkan pertama
1960 [i.9]. Sejak tahun 1963 metode ini mulai dikenaJ sebagai 1967, banyak
sesuatu yang sangat menarik dipelajari oleh cendekiawan. Pada tahun
rekayasawan dan matematikawan yang bekerja dengan metode elemen hingga, tetapi
tidak saling memperhatikan [1.1O]. (Pada dewasa ini kedua kelompok terse but suda11
saling memperhatikan, akan· tetapi sangat jarang matematikawan yang tertarik dengan rekayasa, begitu pula rekayasawan sering sulit mengerti pendapat matematikawan).
Pada tahun
1961 telah diterbitkan sepuluh makalah mengenai elemen hingga, 134 1966, dan 844 pada tahun 1971 [5.10]. Pada tahun 1979, dua
makalah pada tahun
dekade setelah aplikasi rekayasa dimulai, jumlah komulatif publikasi mengenai elemen
hingga telah melampaui 7000 ,,,
).
[1.19] .
Nomor di dalrun kurung siku menunju)
8 •
•
