MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A

Drs. Matrisoni

www.matematikadw.wordpress.com

MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS

DETERMINAN

x 3. Artinya matriks tersebut tersusun atas 2 baris dan 3 kolom. OPERASI MATRIKS 1. Penjumlahan ( + / - ) Dua buah matriks / lebih dapat dijumlahkan bila ber ordo sama. Cara operasinya dengan menjumlahkan elemen yang seletak. Contoh :  3 1 4  2 5 3 5 6 7   +   =    2 3 5 1 1 2 3 4 7 2. Perkalian  konstan x matriks :  a b   ka kb   =   k .   c d   kc kd   matriks x matriks : Matriks Am x n dapat dikalikan dengan matriks Bn x p dengan syarat : kolom A = baris B. Cara operasinya : elemen baris matriks A dikali elemen kolom matriks B. JENIS MATRIKS  Matriks Identitas ( I ) : matriks bujursangakar yang elemen diagonal utama merupakan angka 1 dan selain itu angka 0. 1 0  I = ( 1 )1 x 1 , I =  0 12 x 2 Sifat : A I = I A = A  Transpose matriks : At Matriks baru yang diperoleh dengan merubah baris (matriks asal) menjadi kolom atau kolom (matriks asal) menjadi baris. Contoh : Bila matriks A =  3 1 4  maka transpos   2

3

 3 2  

matriks A adalah  1 3  .  4 5  

5

 Bila A =   maka determinan matriks A c d   dinyatakan : |A| = ad – bc Untuk ordo 3 x 3 a

a d g

b e h

b

c f = aei + bfg + cdh – gec – hfa – idb i

Sifat :  det ( At ) = det (A) 1  det ( A –1 ) = det( A)  Bila diketahui : A B = C maka berlaku juga det (A) det (B) = det (C) INVERS MATRIKS

a b  maka invers A dituliskan : Bila A =  c d 1  d  b A-1 =   ad  bc  c a   Bila det A = 0 maka A : matriks singular  Bila det A  0 maka A : matriks non singular  Sifat invers : (A–1 ) –1 = A (A.B) –1 = B–1 . A–1 A–1.A = I ( identitas ) Persamaan matriks : A.x=B  x.A=B 

x = A–1 . B x = B . A –1

II. TRANSFORMASI A. Pergeseran ( translasi ) Konsep :  x'   a   x  P’ = M + P           y'   b   y  matriks transformasi a > 0 : ke kanan atas a < 0 : ke bawah bawah

M= b > 0 : ke b < 0 : ke

Hal khusus : Grafik fungsi y = f(x) di geser a  oleh   , hasilnya grafik dengan persamaan : b  Y – b = f( x – a)

Matematika SMA

1

MATRIKS & TRANSFORMASI

PENGERTIAN Matriks adalah kumpulan bilangan yang dinyatakan dalam baris dan kolom. Contoh :  3 1 4  dengan ukuran (ordo) : 2 Matriks A =   2 3 5  2X3

Drs. Matrisoni


B. Pencerminan ( Refleksi ) Konsep :  x'   a b  x    P’ = M . P       y '   c d  y  Hal khusus : Pencerminan terhadap : 1 0   Sumbu x : Mx =   0  1

1. Determinan

garis y = -

pusat

0  1

1 0

C. Perputaran ( Rotasi ) Konsep :

matriks K 4 7 3 K   persamaan   3 5 2 a. 3 b. 1 c. – 1 d. – 2 e. – 3

 x  2. Vektor x   1  diputar mengelilingi pusat x2  koordinat O sejauh 90o dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam. Hasilnya dicerminkan terhadap sumbu x,  y    menghasilkan vektor y   1  . Jika x  Ay , y  2 maka A  ... 0 1  a.  1 0

P’ = M . P  M = cos   sin    sin  cos    

b.

+ : berlawanan arah jarum jam

d.

- : searah jarum jam

e.

c.

=

 Pusat rotasi ( 0, 0 ) Untuk pusat rotasi (a, b) : b  x'a   x  a    M     y 'b   y  b

P’ P  a

D. Perkalian ( Dilatasi )

k 0  Konsep : P’ = M . P  Mk =  0 k   Pusat (a, b) :  x'a   k 0  x  a        .  y'b   0 k  y  b 

yang memenuhi 1  sama dengan 1

 0  1    1 0   0  1   1 0  1 0   0 1  1 0     0  1

 a  3. Vektor a   1  dicerminkan terhadap sumbu a 2  x, hasilnya dicerminkan terhadap sumbu y dan hasil ini dipurtar mengelilingi pusat koordinat O sejauh 90o dalam arah yang berlawanan dengan perputaran jarum jam  menghasilkan vektor b . Matriks transformasi   yang mentranformasi a ke b berbentuk  0  1  a.  1 0   0 1  b.   1 0 c. d. e.

Matematika SMA

1 0   0 1 1 0     0 1  1 0    0 1 2


 0  1 x : My = -x =    1 0    1 0  Sumbu y : My =    0 1  1 sumbu (0, 0) : M =  0 0  Garis y = x : My = x =  1

Soal-soal latihan :

Drs. Matrisoni

www.matematikadw.wordpress.com 9. Diketahui lingkaran L berpusat di titik (2, 3)

 x  5 4  4  1   0 2       , maka 4. Jika    5 2  2 y  1   16 5  a. y = 3x b. y = 2x c. y = x d. y = x3 x 2

 p   x y  1    , maka p 2  q 2 dinyatakan 5.      q   y x   1 dalam x dan y adalah a. (x – y)2 b. 2(x – y)2 c. 2(x + y)2 d. 2(x2 – y2) e. 2(x2 + y2) 5  2  2 1   ,  P   Q   9  4  x x  y 1 0  maka x  y  ... P  Q   0 1

6. Jika

a.

23 2

b.

21 2

c.

19 2

d.

17 2 15 2

e.

dan

b.

x 2  y 2  6x  6 y  5  0

c.

x 2  y 2  6x  6 y  5  0

d.

x 2  y 2  6x  6 y  5  0

e.

x 2  y 2  6x  6 y  0

10. Hasil kali semua nilai x sehingga matriks  x 2  2x x  10    tidak mempunyai invers  x2 x  6   adalah a. 20 b. –10 c. 10 d. –20 e. 9 11. Diketahui

a 1 2   7. Jika a bilangan bulat, matriks  a 1 a  5 6 7   tidak punya invers untuk a  a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 8. Diberikan dua matrik A dan B sebagai berikut 9 m 5 k  . Jika AB  BA , maka  , B   A   0 2 0 5    k/m = 4 a. 3 3 b.  4 3 c. 4 10 d. 45 e. 2

matriks

4 2   A    3  4

dan

 5  3  . Jika AC  B dan C 1 adalah B   2 1   invers dari matriks C, maka determinan matriks C 1 adalah a. – 2 b. – 1 c. 1 d. 2 e. 3 12. Jika A, B, dan C matriks 2 x 2 yang  0 1  AB   memenuhi dan  1 0 1 0   , maka CA -1 adalah… CB   0  1  

0  1 0 b.   1  1 c.  0

 1  0 

1 d.  0 0 e.  1

0  1 

a.

Matematika SMA

 1  0 


e. y =

dan melalui titik (1, 5) . Jika lingkaran L diputar 90 terhadap titik O (0, 0) searah jarum jam, kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan, maka persamaan lingkaran L’ yang dihasilkan adalah a. x 2  y2  6x  6y  5  0

0  1 

1  0  3

Drs. Matrisoni


14. Parabola y  x 2  6x  8 digeser ke kanan sejauh 2 satuan searah dengan sumbu-x dan digeser ke bawah sejauh 3 satuan. Jika parabol hasil pergeseran ini memotong sumbu-x di x 1 dan x 2 maka x 1  x 2 = a. 8 b. c. d. e.

9 10 11 12

15. Proyeksi titik (2, 3) pada garis y  x adalah … a.  52 , 52  b. c. d. e.

  

7 3 9 4

, 73  , 94 

11 5



3 2

, 115  ,

3 2



16. Transfortasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90 0 berhadap pusat koordinat dalam arah perputaran jarum jam, maka matriks transfortasi T dapat ditulis sebagai a. b. c. d. e.

1 0    0 1 1 0     0  1  0  1    1 0  0 1    1 0 1   1 1   2  1 1 

 a a  4  , dengan a  0. 17. Diketahui M   5 a 1 Jika determinan matriks M sama dengan 1, maka M -1 sama dengan  8  11  a.  5 7 

 7 11  b.  5 8   8 11  c.  5 7   7  11  d.  5 8   7 5  e.  11 8  18. Suatu gambar dalam bidang xy diputar 45 o searah perputaran jarum jam kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Matriks yang menyatakan hasil kedua transformasi tersebut adalah : 2  1  1   a. 2   1  1 2   1  1   b. 2   1 1  2 1 1    c. 2 1 1 2   1 1   d. 2  1 1 2  1  1   e. 2   1 1  19. Matriks yang menyatakan perputaran sebesar 3 terhadap O dalam arah berlawanan dengan perputaran jarum jam dan dilanjutkan dengan pencerminan garis x  y  0 adalah a.

1 3 1    2  1  3 

b.

1  3 2  1

c.

1 1  3     2  3 1 

d.

1  1  3   2  3 1 

e.

1  3 1    2  1  3 

Matematika SMA

1   3 


 a  3   mentransformasikan  4 b  titik (5,1) ke titik (7,–12) dan inversnya mentransformasikan titik P ke titik (1,0), maka koordinat titik P adalah a. (2, –4) b. (2,4) c. (–2,4) d. (–2, –4) e. (1,3)

13. Jika matriks

4

Drs. Matrisoni


20. Jika transformasi T 1 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan transformasi T 2 memetakan (x,y) ke (-y,x) dan jika transformasi T merupakan tansformasi T 1 , yang diikuti oleh transformasi T 2 , maka matriks T adalah…  0  1  a.  1 0 

 1  0  0  1  0  1 0   1


0 b.   1  1 c.  0 1 d.  0  1 e.  0

Matematika SMA

5

MATRIKS DAN TRANSFORTASI I. MATRIKS II. TRANSFORMASI MATRIKS & TRANSFORMASI. a b. a b DETERMINAN. maka determinan matriks A

Recommend Documents