DETERMINAN MATRIKS dan

DETERMINAN MATRIKS dan TRANSFORMASI ELEMENTER

Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ [email protected]

DEFINISI Untuk setiap matriks bujursangkar berordo nxn dapat dikaitkan dengan tunggal suatu bilangan real yang dinamakan determinan. Untuk matriks A dilambangkan determinannya dengan det(A) atau │A│.

Sehingga dapat dikatakan bahwa determinan adalah fungsi dengan domainnya merupakan himpunan matriks-matriks berordo nxn dan dengan range himpunan bilangan riil.

EKSPANSI KOFAKTOR

Pandang suatu unsur aij dari matriks  a11 a  21 Anxn       an1

a12 a22   an 2

    

 a1n    a2 n          ann 

D E T E R M I N A N

Jika pada matriks A baris ke-i kolom ke-j dihilangkan maka diperoleh submatriks berordo (n-1)x(n-1). Determinan submatriks ini disebut minor unsur aij (=Mij) sedang (-1)i+jMij (=Cij) disebut kofaktornya.

Determinan : EKSPANSI KOFAKTOR

Jika Anxn dengan n  2 maka n

a. det( A)  A   aij Cij untuk i (1  i  n) j 1

ekspansi kofaktor menurut baris i n

b. det( A)   aij Cij untuk j (1  j  n) i 1

ekspansi kofaktor menurut kolom j

untuk n  2 a11 a12 A  (1) 21  a12 a21  (1) 2 2  a22 a11 a21 a 22  a11a22  a12 a21 untuk n  3 a11 A  a 21 a31 11

 (1)

a12 a22 a32 a22  a11 a32

a13 a23 a33 a23 a21 1 2  (1)  a12 a33 a31

a23 a21 1 3  (1)  a13 a33 a31

 a11 a22 a33  a23a32   a12 a21a33  a23a31   a13 a21a32  a22 a31 

a23 a33

 a11a22 a33  a11a23a32  a12 a21a33  a12 a23a31  a13a21a32  a13a22 a31

Khusus untuk matriks A3x3 menghitung nilai determinan-nya dapat digunakan ATURAN SARRUS sbb : I. Tulis lagi kolom ke-1 dan kolom ke-2 disebelah kolom ke-3. II. Tarik garis diagonal dari kiri atas ke kanan bawah & dua garis lagi yang sejajar. Ketiga garis menghasilkan tiga suku bertanda (+), III. Tarik garis diagonal dari kiri bawah ke kanan atas dua garis lagi yang sejajar. Ketiga garis menghasilkan tiga suku bertanda (-).

a11 det( A)  A  a 21 a31 a11 a21 a31

a12 a22 a32

a12 a22 a32 a13 a23 a33

a13 a23 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32

det( A)  A  a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32  a31a22 a13  a32 a23a11  a33a21a12

CONTOH Hitunglah berikut

determinan-determinan

2 3 a. 1 4

0 1 5 b. 3  6 9 2 6 1

Jawab

2 3 a.  8 - (-3)  5 1 4

(b1) Ekspansi kofaktor sepanjang kolom 1

6 9 1 5 1 5 det( A)  0 3 2 6 1 6 1 6 9  0(-60)- 3(-29) 2(39)  165 (b2) Aturan Sarrus

0 1 50 1 det( A)  3  6 9 3  6 2 6 12 6  0  18  90 - (-60)- 0 - 3  165

SIFAT - SIFAT

D E

1

• Jika A adalah matriks bujursangkar, maka det(A) =det(At)

T R

2

• Jika semua unsur suatu baris/kolom matriks sama dengan nol maka det(A)=0

M

3

• Jika dua baris/dua kolom matriks A sebanding maka det(A) = 0

N

E

I A N

4

• Pada pengembangan determinan, jika unsur suatu baris/kolom dikalikan kofaktor unsur baris/kolom yang lain diperoleh nilai nol, sedangkan jika unsur suatu baris/kolom dikalikan kofaktor unsur baris/kolom yang sama diperoleh nilai det(A) =│A│.

a11 A11  a12 A21    a1n An1  A  0    0  A a21 A12  a22 A22    a2 n An 2  0  A    0  A  an1 A1n  an 2 A2 n    ann Ann  0  0    A  A a21 A11  a22 A21    a2 n An1  0  0    0  0  an1 A11  an 2 A21    ann An1  0  0    0  0 an1 A12  an 2 A22    ann An 2  0  0    0  0 a11 A12  a12 A22    a1n An 2  0  0    0  0  a11 A1n  a12 A2 n    a1n Ann  0  0    0  0

5

• Jika A, A*, A** sebarang matriksmatriks bujursangkar yang hanya berbeda dalam baris tunggal (misal r), dan anggap bahwa baris ke r dari A** dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke r dari A dan dalam baris ke r dari A*maka det(A**) = det (A) + det(A*)

6

7

• Jika B matriks yang didapat dari matriks A dengan mempertukarkan dua baris/dua kolom maka det(B)=- det(A)

• Jika B matriks yang didapat dari matriks A dengan mengalikan suatu baris/kolom dengan bilangan k kemudian menambahkannya pada suatu baris/kolom yang lain maka det(B)=det(A)

8

9

10

• Jika matriks B didapat dr matriks A dgn menggandakan semua unsur pd suatu baris/kolom dengan k maka det(B)=kdet(A) • Jika A dan B adalah sebarang matriks bujursangkar yang ukurannya sama, maka det(AB) = det (A)det(B) • Jika A adalah matriks segitiga nxn, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yaitu det(A)=a11a22…ann.

AKIBAT

Karena sebuah faktor bersama dari sebarang baris matriks dapat dipindahkan melalui tanda det, dan jika setiap baris n dalam kA mempunyai faktor bersama sebesar k maka det(kA)=kndet(A)

Transformasi Elementer

D E F

I N

1. Menukar dengan lainnya

2.

Menggandakan suatu vektor baris/kolom dengan skalar k≠0

3.

Menambahkan suatu vektor baris/kolom dengan kelipatan suatu vektor baris/kolom lainnya

I S I

vektor baris/kolom vektor baris/kolom

CONTOH

H 13

4 1 3 0 A   2 1  5 7   1 0 1  1

 1 0 1  1  2 1 5 7     1 3 0 4 

H 2 (4)

0 4 1 3  8 4  20 28    1 0 1  1

4 1 3 0 H 32 (2)  2 1  5 7  3 2  9 13

D E F

I N I S I

Matriks Eselon Baris 1. Jika baris pada matriks tidak seluruhnya nol maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1 (satu utama) 2. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak nol, maka satu utama dalam baris berikutnya terdapat lebih jauh kekanan dari satu utama dalam baris sebelumnya 3. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol, maka semua baris tersebut dikelompokkan bersamasama dibawah matriks

CONTOH 1 4 3 7 0 1 6 2    0 0 1 5 (a) 0 1 2 6 0 0 0 1  1 0   0 0 0 0 1 (c)

1 1 0 0 1 0    0 0 0 (b)

Bentuk matriks eselon baris ini tidak tunggal karena dengan

mengubah

urutan

transformasi tersebut sampai

elementer

maka pada

dasar baris

kemungkinan

bentuk

matriks

eselon baris yang berbeda.

D E F

I N I S I

Matriks Eselon Baris Terreduksi [MATRIKS KANONIK]

Bentuk matriks eselon baris terreduksi diperoleh jika matriks mempunyai sifat matriks eselon baris ditambah dengan sifat

“Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyai nol ditempat lain”

CONTOH 1 0 0 0 1 0    0 0 1 (b)

1 0 0 4  0 1 0 7    0 0 1  1 (a) 0 0  0 0    (c)

0 0  0  0

1 2 0 0 0 0 0 0 (d)

0 1 0 0

1 3 0  0

Bentuk matriks eselon baris tereduksi

ini

tunggal

karena

dengan mengubah urutan dasar

transformasi

elementer

baris

tersebut maka akan selalu sampai pada bentuk matriks eselon baris terreduksi yang sama.

Determinan : REDUKSI BARIS

Determinan matriks dapat pula diperoleh dengan membawa matriks tersebut

menjadi

bentuk

matriks

eselon baris tereduksi. Bentuk matriks eselon baris tereduksi adalah matriks segitiga atas, sehingga determinan matriks

dapat

dihitung

dengan

menggunakan sifat-sifat determinan

Metode sesuai

reduksi untuk

determinan karena

baris

sangat

menghitung

dengan

sistematis

komputer

dan

mudah

diprogramkan. Akan tetapi untuk perhitungan

manual,

maka

metode ekspansi kofaktor lebih

mudah diterapkan.

CONTOH Misalkan

 0 1 5   A  3  6 9 2 6 1

Hitunglah det(A) dengan reduksi baris/sifat determinan

Baris pertama & baris kedua A dipertukarkan (sifat 6) 3 6 9 det( A)   0 1 5 2 6 1

Faktor bersama dari baris pertama matriks yaitu 3 diambil (sifat 8) 1 2 3 det( A)  3 0 1 5 2 6 1

-2 kali baris pertama dari matriks terdahulu ditambahkan pada baris ketiga (sifat 7) 1 2 3 det( A)  3 0 1 5 0 10  5

-10 kali baris kedua dari matriks terdahulu ditambahkan pada baris ketiga (sifat 7) 1 2 3 det( A)  3 0 1 5 0 0  55

Faktor bersama dari baris terakhir matriks yaitu –55 diambil (sifat 8) 1 2 3 det( A)  (3)(55) 0 1 5 0 0 1

Merupakan matriks segitiga atas (sifat 10) det( A)  (3)(55)(1)  165