Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2

Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian 2 Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika dan operasi yang digunakan. Pada bagian Limit akan mempelajari konsep dasar mengenai limit, cara menghitung nilai limit, dan penggunaan limit untuk fungsi trigonometri. Sedangkan pada bagian kontinuitas akan dipelajari tentang kontinuitas berbagai macam fungsi dalam penggambarannya pada sebuah grafik. Fungsi dan limit merupakan konsep dasar dalam kalkulus. Pada bagian selanjutnya, yaitu Differensial dan Integral, Anda akan mengerti bagaimana limit memegang peranan penting dalam menjelaskan suatu konsep matematika. Untuk itu perlu penguasaan yang baik untuk bagian 2 ini. Kompetensi yang diharapkan setelah menyelesaikan bagian 2 Fungsi dan Limit adalah Anda diharapkan mampu : 1. Melakukan operasi fungsi, meliputi penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan pembagian 2. Menghitung komposisi fungsi 3. Melukiskan grafik fungsi pada bidang koordinat kartesius 4. Menerapkan 4 teknik perhitungan limit untuk berbagai macam fungsi 5. Menghitung kontinuitas fungsi

2.1 Pendahuluan Matriks adalah susunan bilangan “(riil atau komplek)” dalam persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung siku atau tanda kurung biasa. Contoh :

⎡ 2 4 8⎤ ⎡0⎤ ⎡a b ⎤ ⎢5 − 3 0⎥ ; ⎢4⎥ ; ⎢c d ⎥ ; [a 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a2

a3]

ordo matriks adalah banyak susunan bilangan horizontal dan vertikal. suatu matriks dikatakan ber-ordo 3 x 4 jika matriks tersebut mempunyai 3 baris (garis horizontal) dan 4 kolom (garis vertikal) Contoh :

⎡a b c d ⎤ ⎢ e f g h ⎥ ⇒ matriks berordo 3 (baris) x 4 (kolom) atau matriks 3 x 4 ⎥ ⎢ ⎢⎣ i j k l ⎥⎦

Matematika Teknik 3\Matriks dan Determinan

13

Notasi matriks Masing-masing elemen suatu matriks memiliki tempat yang dapat ditentukan dengan menggunakan sistem 2 indeks. Indeks pertama menyatakan baris dan Indeks kedua menyatakan kolom. Jika ada matrik A =

[]

maka elemen a33

menunjukkan elemen yang terletak pada baris yang ketiga dan kolom ketiga. Bilangan m dan n dikatakan sebagai unsur (entri) dari matriks A atau elemen matriks A. Garis horisontal disebut sebagai baris atau vektor baris Dengan demikian suatu matriks A berikut

⎡ a11 ⎢ A = a 21 ⎢ ⎢⎣ a31

a12

a13

a 22 a32

a 23 a33

a14 ⎤ a 24 ⎥⎥ dapat dinyatakan dengan [ aij ] atau [ amn ] atau [ a ] a 44 ⎥⎦

atau A saja

⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎥ Serupa dengan itu, matriks B = x 2 dapat dinyatakan dengan [ xi ] atau [ x ] ⎢ ⎥ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ atau X saja. Kesamaan Matriks Dua matriks A = [ ajk ] dan B = [ bjk ] dikatakan sama jika dan hanya jika A x B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama serta mempunyai unsur-unsur yang bersesuaian dengan letak yang sama pula. Kedua matriks harus mempunyai orde yang sama

⎡ a11 ⎣a 21

Contoh : ⎢

a12 a 22

a13 ⎤ ⎡11 6 5⎤ = ⎢ ⎥ ⎥ kedua matriks tersebut dikatakan a 23 ⎦ ⎣ 2 3 7⎦

sama Maka : a11 = 11, a21 = 2 dan seterusnya Demikian demikian, jika [ aij ] = [ xij ], maka aij = xij untuk semua harga i dan j. Jenis Matriks Matriks Bujursangkar Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom sama atau dengan kata lain matriks tersebut adalah matriks yang berorde m x m.


14

Contoh :

⎡1 2 5 ⎤ ⎢2 8 7 ⎥ matriks bujur sangkar [ a ] disebut simetrik jika a = a , yaitu ij ij ji ⎢ ⎥ ⎢⎣5 7 4⎥⎦ matriks tersebut simetris terhadap diagonal utamanya. diagonal utama adalah diagonal yang membuat unsur a11 , a22 , a33 dan seterusnya atau aii .Perhatikan bahwa disini berlaku A = AT. Matriks bujur sangkar [ aij ] disebut “anti simetris”, jika aij = - aij seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut.

2 5⎤ ⎡0 ⎢ ⎥ Contoh : − 2 0 9 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 5 − 9 0⎥⎦ Matriks Diagonal Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya sama dengan nol kecuali unsur yang terletak pada diagonal utamanya.

⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ Contoh : 0 3 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 4⎥⎦ Matriks satuan Matriks adalah matrik bujur sangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya sama dengan 1 (satu) sedangkan unsur lainnya sama dengan nol.

Contoh :

⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 1 0⎥ atau ⎡1 0⎤ matriks satuan dinyatakan dengan I ⎢0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

(idenstitas)

Sifat penting untuk matriks I adalah : A =

⎡5 2 4⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢1 3 8 ⎥ dan I = ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣7 9 6⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

maka


15

⎡5 2 4⎤ ⎢ ⎥ A.I= 1 3 8 ⎢ ⎥ ⎢⎣7 9 6⎥⎦ Serupa dengan itu, jika bentuknya perkalian I.A diperoleh A.I = I.A jadi sifat matriks satuan I sangat mirip dengan bilangan satu dalam ilmu hitungan aljabar biasa. Matriks Nol adalah martriks yang semua unsurnya sama dengan nol

⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ contoh : 0 0 0 sering dinyatakan dengan 0 atau cukup 0 (nol) saja ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ jika A.B = 0, kita tidak dapat menarik kesimpulan bahwa A = 0 atau B = 0,

⎡1 9 ⎤ ⎡2 1 − 3⎤ ⎢ ⎥ karena jika A = ⎢ ⎥ , B = ⎢ 4 − 6⎥ 6 3 − 9 ⎣ ⎦ ⎢⎣2 4 ⎥⎦

18 + (−6) + (−12) ⎤ ⎡0 0⎤ ⎡ 2 + 4 + (−6) ⎥=⎢ ⎥ ⎣6 + 12 + (−18) 54 + (−18) + (−36)⎦ ⎣0 0⎦

jika A.B = ⎢

maka jelas bahwa A . B = 0, tetapi A ≠ 0 dan B ≠ 0 Matriks Segi Tiga Matriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur atau elemen yang letaknya dibawah atau diatas diagonal utama sama denga nol. Jika elemen nol terletak dibawah diagonal utama → matriks segitiga atas. Jika elemen nol terletak diatas diagonal utama → matriks segitiga bawah

⎡4 0 0⎤ ⎢ ⎥ contoh : 1 2 0 ⎢ ⎥ ⎢⎣5 1 3⎥⎦ matriks S. dibawah

⎡2 1 6⎤ ⎢0 2 4⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 7⎥⎦ Matriks S. diatas

Matriks Simetri adalah matriks bjur sangkar yang memenuhi sifat AT = A. jika AT = -A maka A disebut materiks tak simetri


16

Contoh :

5 3⎤ ⎡2 ⎢ ⎥ A = −5 0 7 ⎢ ⎥ ⎢⎣ − 3 − 7 1 ⎥⎦

⎡1 2 1 ⎤ ⎢ ⎥ B= 2 3 5 ⎢ ⎥ ⎢⎣1 5 0⎥⎦

Matriks tak simetri

Matriks simetri

Latihan Soal 2.1 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Tentukan domain dan range dari fungsi y = x 2. Tentukan selang domain dari fungsi y = 3. Tentukan

y=

selang

domain

dan

1 ( x − 3x − 4) 2

range

yang

mungkin

dari

fungsi

1 (2 x − 7 x − 4) 2

4. Tentukan domain dan range dari fungsi y = x 2 − 2

2.2 Operasi Matriks Penjumlahan dan Pengurangan Martriks Agar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka kedua matriks tersebut harus memiliki orde yang sama.

Jumlah atau selisih dari kedua

matriks tersebut dapt diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan elemen yang bersesuaian. Contoh :

⎡4 2 3⎤ ⎡1 8 9 ⎤ ⎡ 4 + 1 2 + 8 3 + 9 ⎤ ⎡5 10 12⎤ ⎢5 6 7 ⎥ + ⎢3 5 4⎥ = ⎢5 + 3 6 + 5 7 + 4⎥ = ⎢8 11 11⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ 12 − 1 ⎤ ⎡3 − 2 11⎤ ⎡6 5 12⎤ ⎡3 7 1 ⎤ ⎡6 − 3 5 − 7 ⎢9 4 8 ⎥ − ⎢2 10 − 5⎥ = ⎢9 − 2 4 − 10 8 − (−5)⎥ = ⎢7 − 6 13⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ Sifat penjumlahan matriks a)

A+B=B+A

b)

(u + v) + w = u + (v + w)

c)

A+0=A


17

d)

A + (-A) = 0

Perkalian Matriks A. Perkalian Skalar Perkalian sebuah matriks A dengan sebuah bilangan (skalar, k) akan menghasilkan sebuah matriks baru, B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan mengalikan A dengan k → k.A = B Contoh :

⎡3 2 5⎤ ⎡12 8 20⎤ ⎥ ⎥=⎢ ⎣6 1 7⎦ ⎣24 4 28⎦

4x ⎢

Secara umum = k [ aij ] = [ k.aij ] Perkalian skalar dapat pula dinyatakan dengan mengeluarkan suatu faktor yang sama dari setiap unsur. B. Perkalian Dua Matriks Dua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap lainnya jika banyaknya kolon dalam matriks yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks yang kedua. Contoh:

⎡ a11 A = [ aij ] = ⎢ ⎣a 21

a12 a 22

a13 ⎤ a 23 ⎥⎦

⎡ b1 ⎤ ⎢ ⎥ dan B = [ bi ] = b2 ⎢ ⎥ ⎢⎣b3 ⎥⎦

Maka a.b =

⎡ a11 ⎢a ⎣ 21

a12 a 22

⎡ b1 ⎤ a13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ a11 .b1 + a12 .b2 + a13 .b3 ⎤ . b2 = a 23 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣a 21 .b1 + a 22 .b2 + a 23 .b3 ⎥⎦ ⎢⎣b3 ⎥⎦

⎡4 7 6⎤ Jika matriks A = ⎢ ⎥ dan matriks B = ⎣2 3 1⎦ (2 x 3)

⎡8⎤ ⎢5⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣9⎥⎦ (3 x 1)

Maka perkalian matriks A dan matriks B adalah

⎡32 + 35 + 54⎤ ⎡121⎤ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 16 + 15 + 9 ⎦ ⎣ 40 ⎦

A.B= ⎢


18

Perhatikan bahwa perkalian matriks ordo (2 x 3) dengan matriks orde (3 x 1) akan menghasilkan matriks berorde (2 x 1) Orde (2 x 3)

.

orde

(3 x 1) → orde (2 x 1)

Sama Secara umum, perkalian matriks orde ( L x m) dengan matriks (m x n) akan menghasilkan matriks berorde ( L x n ). Perhatikan bahwa dalam perkalian dua buah matriks A . B ≠ B . A, yaitu perkalian matriks non komutatif. Urutan faktor dalam perkalian matriks sangatlah penting

⎡5 2⎤ ⎢ ⎥ Jika A = 7 4 dan B = ⎢ ⎥ ⎢⎣3 1 ⎥⎦

⎡ 9 2 4⎤ ⎢− 2 3 6⎥ ⎣ ⎦

⎡45 + (−4) 10 + 6 20 + 12 ⎤ ⎢ ⎥ Maka A.B = 63 + ( −8) 14 + 12 28 + 24 , ⎢ ⎥ ⎢⎣29 + (−2) 6 + 3 12 + 6 ⎥⎦

18 + 8 + 4 ⎤ ⎡ 45 + 14 + 12 ⎥ ⎣(−10) + 21 + 18 (−4) + 12 + 6⎦

B.A = ⎢

Sifat perkalian matriks a)

(kA).B = k (A.B) = A (kB)

b)

A (BC) = (AB) C

c)

(A + B) C = AC + BC

d)

C ( A + B) = CA + CB

Tranpose Matriks Tranpose matriks adalah jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan, yaitu baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga dan seterusnya. Matriks yang baru terbentuk disebut “tranpose” dari matriks semula. Jika matriks semula adalah matriks A, maka tranposenya dinyatakan dengan A” atau AT Contoh :


19

⎡ 4 6⎤ ⎢ ⎥ Jika A = 7 9 , maka AT = ⎢ ⎥ ⎢⎣2 5⎥⎦

⎡ 4 7 2⎤ T ⎢6 9 5⎥ ordo A (3 x 2) → A (2 x 3) ⎣ ⎦

Latihan Soal 2.2 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Lakukan operasi terhadap fungsi f ( x) = x + 2 dan g ( x) =

x +2

2. Berdasarkan soal 1, lakukan operasi terhadap fungsi g ( x) =

x + 2 dan

f ( x) = x + 2 3. Berdasarkan fungsi yang diberikan dalam soal no. 1, lakukan operasi komposisi fungsi. 4. Berdasarkan soal no. 1, carilah nilai f(x) yang mungkin untuk nilai x = 2, x = 4, dan x = 6 5. Berdasarkan soal no. 3, carilan nilai hasil komposisi fungsi jika diberikan nilai x = 2, x = 4, dan x = 6

2.3 Grafik Fungsi Grafik sebuah fungsi f(x) pada bidang x – y didefinisikan sebagai lukisan persamaan y = f(x) pada bidang tersebut. Contoh 2.4 Gambarkan grafik fungsi y = x + 2 dan grafik fungsi y = | x |

Translasi Contoh 2.5 Diberikan fungsi y = f(x) = x2.


20

f(x) = x2

f(x) = (x+2)2

Fungsi awal f(x) = x2 jika ditambahkan konstanta 2 pada f(x) menjadi fungsi baru f(x)= x2 + 2.

Fungsi awal f(x) = x2 , ditambahkan konstanta 2 pada x menjadi fungsi baru f(x) = (x + 2)2

Refleksi Contoh 2.6 Diberikan fungsi y = f(x) = √x


21

Jika diberikan fungsi awal f(x) = √x, maka perkalian f(x) dengan –1 membuat fungsi baru f(x)= -√x. Translasi dan refleksi dinamakan transformasi kaku karena operasi tersebut tidak merubah bentuk grafik hanya merubah letak grafik. Ada operasi yang disebut operasi skala yang merubah bentuk dari grafik, terutama untuk persamaan-persamaan fungsi trigonometri.

Uji Garis Vertikal Sebuah kurva dalam bidang x – y adalah grafik fungsi y = f(x) untuk beberapa fungsi f(x) jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva tersebut lebih dari 1 kali. Uji garis vertikal terutama untuk menentukan apakah fungsi masih tetap sama jika dilakukan penulisan dalam bentuk yang lain. Contoh 2.7


22

Uji Garis Horizontal Sebuah kurva dalam bidang x - y adalah grafik fungsi x = g(y) untuk beberapa fungsi g(y) jika dan hanya jika tidak ada garis horizontal yang memotong kurva tersebut lebih dari 1 kali. Seperti halnya uji garis vertikal, uji garis horizontal digunakan untuk melihat apakah fungsi masih tetap sama jika ditulis dalam bentuk yang lain. Contoh berikut akan menjelaskan kepada Anda, bagaimana uji garis horizontal digunakan untuk melihat fungsi tetap sama atau tidak jika ditulis dalam bentuk yang lain. Contoh 2.8 sb. y

y = x2 tidak ekivalen x = + y sb. x

Latihan Soal 2.3 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Lukiskan grafik fungsi y = x3 dan gambarkan fungsi tersebut jika ditranslasikan sejauh x = 2 2. Sama dengan soal satu, tapi ditranslasikan sejauh x = 4

2.4 Limit (Pendahuluan) Dua masalah dasar yang dipelajari dalam Calculus adalah garis singgung dan luas. Dalam geometri bidang, sebuah garis disebut garis singgung pada lingkaran jika garis tersebut bertemu lingkaran hanya pada satu titik (gambar a). Bagaimanapun pengertian ini tidak memuaskan untuk kurva-kurva yang lain. Pada gambar b garis bertemu kurva tepat satu titik tapi bukan garis singgung. Pada gambar c garis bertemu lebih dari satu titik.


23

Garis singgung sebagai limit

a)

b)

c)

Untuk mendefinisikan konsep sebuah garis singgung yang dipakai dalam penerapannya di kurva atau lingkaran kita harus memandang pengertian garis singgung dengan cara lain. Anggap sebuah titik P pada kurva di bidang x – y. Jika Q adalah sembarang titik pada kurva yang berbeda dengan P, garis yang menghubungkan P dan Q disebut garis potong (secant line) untuk kurva tersebut. Hal ini menandakan bahwa jika kita memindahkan titik Q sepanjang kurva menuju P, garis potong kita anggap menjadi garis singgung pada titik P.

Luas sebagai Limit. Luas dari beberapa bidang dapat dihitung dengan membagi lagi bidang tersebut dalam bilangan tertentu beberapa segiempat atau segitiga lalu menjumlahkannya. Kita dapat menghitung luas di bawah kurva dengan cara membagi dengan beberapa/banyak segiempat. Selain itu jika kita mengulang proses penggunaan segiempat lebih banyak lagi akan cenderung untuk mengisi Matematika Teknik 3\Matriks dan Determinan

24

kekosongan di bawah kurva dan perkiraan kita akan mendekati luas eksak di bawah kurva sebagai suatu nilai limit.

Notasi limit Situasi matematika

Notasi

Cara membaca

Nilai f(x) mendekati l1 dimana x didekati dari sisi kanan

Limit f(x) = l1 x→ xo+

Limit f(x) sama dengan l1 dimana x menuju x dari sisi kanan

Nilai f(x) mendekati l2 dimana x didekati dari sisi kiri

Limit f(x) = l2 x→ xo–

Nilai f(x) mendekati l dimana x didekati dari sisi kiri dan sisi kanan Limit f(x) = Limit f(x) = l x→ x+ x→ x–

Limit f(x) = l x→ xo

Limit f(x) sama dengan l2 dimana x menuju x dari sisi kiri Limit f(x) sama dengan l2 dimana x menuju x

Beberapa contoh berikut ini akan menambah pengertian akan limit. Contoh 2.9

f(x) =

x2 − 4 x−2 Nilai x

Nilai f(x)

Nilai x

Nilai f(x)

0,0 0,5 1,0 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999

2,0 2,5 3,0 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 3,99 3,999 3,9999

2,0 2,0001 2,001 2,01 2,1 2,5 3,0 3,5

? 4,0001 4,001 4,01 4,1 4,5 5,0 5,5


25

sb. y

4

sb. x

2 3

Contoh 2.10

⎛π ⎞ ⎟ ⎝x⎠

f(x) = Sin ⎜

Nilai x (radian)

Nilai f(x)

1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ............. -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001

Sin π = 0 Sin 10 π = 0 Sin 100 π = 0 Sin 1000 π = 0 Sin 10000π = 0 ......................... Sin – π = 0 Sin – 10π = 0 Sin – 100π = 0 Sin – 1000π = 0 Sin – 10000π = 0

Latihan Soal 2.4 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Untuk grafik fungsi y = f(x) seperti pada gambar, tentukan: a. lim− f ( x)

b. lim+ f ( x)

c. lim f ( x)

d. f (3)

e. lim f ( x)

f. lim f ( x)

x →3

x→3

x →− ≈

x →3

x →+ ≈

2. Untuk grafik fungsi berikut, tentukan: Matematika Teknik 3\Matriks dan Determinan

26

a. lim− φ ( x)

b. lim+ φ ( x)

c. lim φ ( x)

d. φ (4)

e. lim φ ( x)

f. lim φ ( x)

x → −2

x→4

x →4

x→− ≈

x→+ ≈

2.5 Teknik Perhitungan Limit Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana interpretasi limit terhadap sebuah grafik. Pada bagian ini kita akan menentukan nilai limit sebuah fungsi berdasarkan rumus langsung. Dasar- dasar limit lim k = k x→ a

lim x = a x→ a

lim k = k x→ + ≈

lim x = + ≈ x→ + ≈

lim k = k x→ - ≈

lim x = - ≈ x→ - ≈

limit k = k xÆa


limit k = k xÆ-

limit k = k xÆ+

27

Teorema : Diberikan limit yang berlaku untuk : lim ; lim ; lim ; xÆa xÆaxÆ+≈

lim xÆ-≈

Jika l1= lim f(x) dan l2 = lim g(x) ada, maka : a. lim [f(x) + g(x)]=lim f(x) + lim g(x) = l1+l2 b. lim [f(x) - g(x)]=lim f(x) - lim g(x) = l1-l2 c. lim [f(x) . g(x)]=lim f(x) . lim g(x) = l1.l2 d. lim

f ( x) lim f ( x) l1 = = , jika l2 ≠ 0 g ( x) lim g ( x) l2

e. lim n√f(x) = n√lim f(x) = n√l1, asal l1>0, jika n genap. Contoh 2.11 Tentukan

lim (x2-4x+3) x→5

Penyelesaian: lim (x2 - 4x +3) = x→5

lim x2 x→5

=

52-4.5+3

=

8

lim 4x x→5

+

lim 3 x→5

Bentuk Limit Ada beberapa bentuk limit yang kita kenal, yaitu : 1. Limit Polynominal Untuk sembarang fungsi polynominal berbentuk : P(x)=C0+ C1x+ C2x2+ ..... + Cnxn dan sembarang bilangan real a, maka: Lim P(x)=C0+ C1x+ C2x2+ ..... + Cnxn = P(a) x→a 2. Limit berbentuk l/x Lim 1/(x-a)= +~ lim 1/(x-a)= 0 x→a+ x→+~ Lim 1/(x-a)= -~ x→a+

lim 1/(x-a)= 0 x→-~

3. Limit Polynominal berbentuk x→+~ atau x→-~ lim xn = +~ x→+~

n = 1,2,3,...

lim xn = +~ x→-~

n = 2,4,6,...


28

lim xn = -~ x→-~

n = 1,3,5,...

lim 1/xn =(lim 1/x)n x→+~ x→+~

=0

lim 1/xn =(lim 1/x)n x→-~ x→-~

=0

lim (C0+ C1x+ C2x2+ ..... + Cnxn ) = lim Cnxn x→+~ x→+~ Lim (C0+ C1x+ C2x2+ ..... + Cnxn )= lim Cnxn x→-~ x→-~ 4. Limit Fungsi Rasional berbentuk x→a 5. Limit Fungsi Rasional berbentuk x→+~ atau x→-~

Latihan Soal 2.5 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Hitung lim 2 x 5 x→+ ≈

2. Hitung lim 2 x 5 x→− ≈

3. Hitung lim − 7 x 6 x→+ ≈

4. Hitung lim − 7 x 6 x→− ≈

2.6 Limit (Pendekatan Yang Lebih Teliti) Pada bagian awal telah dibicarakan limit secara tidak formal yang diartikan sebagai : lim f(x) = L x→a untuk menyatakan bahwa nilai f(x) mendekati L selama x mendekati a dari kedua sisi (tetapi berlainan dengan a). Bagaimana pun kata f(a) mendekati L dan x mendekati a hanyalah instuisi tanpa defenisi limit tersebut menjadi tepat. Tujuan kita adalah membuat definisi limit tersebut menjadi tepat. Karena konsep tentang limit adalah rumit, maka definisi tentang limit akan dikembangkan dalam tahap-tahap dengan pertama-tama memberikan dua defenisi pendahuluan tentang limit. (Masingmasing sangat berguna yang akan menjadi gagasan dasar limit).


29

Untuk mengarah pada definisi yang tepat tentang limit pandanglah fungsi f(x) yang grafiknya terlukis sebagai berikut :

Kita memang sengaja meletakkan tanda pada grafik pada x = a untuk menegaskan bahwa fungsi f(x) tidak perlu didefinisikan pada titik dalam diskusi selanjutnya. Untuk grafik fungsi pada gambar kita mengerti limit memberikan kesan bahwa f(x) mendekati I pada x mendekati a. Ini memberikan pengertian bahwa jika memilih bilangan positif sembarang, kita namakan ε dan membangun sebuah interval terbuka pada sumbu yang memperpanjang nilai ε di atas dan di bawah 1 (gambar b). Lalu nilai f(x) akan jatuh terbatas dalam interval (1 – ε, 1 + ε) dimana x mendekati a dari kedua sisi. Definisi Awal Pertama Misalkan f(x) terdefinisi untuk setiap x dalam interval terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengecualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi pada a, kita akan menyatakan : Lim f(x) = 1 x→a Jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 kita dapat menemukan sebuah interval terbuka (x,x1) sedemikian sehingga terdapat titik a yang mana f(x) memenuhi : 1 – ε < f(x) < 1 + ε ............................... 1 untuk setiap x dalam interval (x,x1), kemungkinan pengecualian pada x = a. Hal tersebut berarti bahwa x berlaku untuk : (x,a) U (a,x) .......................................... 2

Definisi Awal Kedua Misalkan f(x) terdefenisi untuk setiap x dalam intervak terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengcualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi sebagai a, kita akan menyatakan : Matematika Teknik 3\Matriks dan Determinan

30

Lim f(x) = 1 x→a Jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 kita dapat menemukan sebuah bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) memenuhi : 1 – ε < f(x) < 1 + ε ...................................................

3

Persamaan 1), 2), 3) kita nyatakan : [ f(x) - 1 ] < ε 0 < [x-a] < δ Definisi Limit Misalkan f(x) terdefinisi untuk setiap x dalam interval terbuka yang terdapat bilangan a dengan pengecualian yang mungkin bahwa f(x) tidak boleh terdefinisi pada a, kita akan menyatakan : Lim f(x) = 1 x→a Jika diberikan sembarang bilangan ε > 0 kita dapat menemukan sebuah bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) memenuhi: [ f(x) - 1 ] < ε jika x memenuhi 0 < [x-a] < δ Contoh 2.12 Buktikan bahwa lim

x →1 / 2

1 =2 x

Penyelesaian: Jika diberikan nilai ε > 0, maka ada nilai δ > 0 sehingga berlaku

(1 / x) − 2 < ε jika 0 < x − 1 / 2 < δ (1 / x) − 2 = (2 / x)(1 / 2 − x) = 2 / x 12 − x = 2 / x x − 12 Atau

2 / x x − 12 < ε jika 0 < x − 1 / 2 < δ

Latihan Soal 2.6 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! 1. Buktikan bahwa lim 3 x = 15 x →5

2. Buktikan bahwa lim 2 x 2 = 2 x →1


31

3. Buktikan bahwa lim(2 x − 7) = −3 x→2

2.7 Kontinuitas Sebuah fungsi f(x) dikatakan kontinu pada titik C, jika kondisi berikut semuanya terpenuhi. 1. f(x) terdefenisi pada C 2. Lim f(x) ada x→C 3. Lim f(x) = f(C) x→C Jika satu atau lebih kondisi dalam definisi tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di C dan C dinamakan titik diskontinu fungsi f(x). Jika f(x) kontinu disemua titik pada interval terbuka (a,b) maka f(x) dikatakan kontinu pada (a,b). Sebuah fungsi yang kontinu pada (- ≈, + ≈) dikatakan kontinu di setiap tempat. Contoh 2.13 Selidikilah apakah fungsi f(x) =

( x 2 − 4) kontinu pada titik x = 2 x−2

Penyelesaian:

f (2) =

(2 2 − 4) = tidak terdefinisi ( 2 − 2)

( x − 2)( x + 2) =4 x→2 ( x − 2)

lim f ( x) = lim x→2

f (2) ≠ lim f ( x) , jadi fungsi f(x) diskontinu pada titik 2. x→ 2

Kontinuitas Fungsi Polynominal Teorema : jika f dan g kontinu di C, maka : a. f + g adalah kontinu di C b. f – g adalah kontinu di C c. f . g adalah kontinu di C d. f / g adalah kontinu di C jika g(x) ≠ 0 Kontinuitas Fungsi Rasional Teorema 1: Sebuah fungsi rasional adalah kontinu disembarang nilai kecuali pada titik dimana penyebutnya bernilai 0.


32

Teorema 2 : Misalkan limit berlaku untuk limit – limit berikut : lim ; lim ; lim ; lim ; lim x→C x→C+ x→Cx→+≈ x→- ≈ Jika limit g(x) =1 dan jika fungsif kontinu di 1, maka lim f(g(x)) = f(1), Teorema 3 : Jika fungsi g kontinu di titik C dan f kontinu di titik g(C) maka fungsi komposisi fog kontinu di C. Kontinuitas Fungsi Dari Kiri Ke Kanan Definisi 1 : Sebuah fungsi dikatakan kontinu dari kiri ke kanan pada titik C dan dikatakan kontinu dari kanan pada titik C jika kondisi berikut dipenuhi : 1. Nilai f(x) pada C ada 2. lim f(x) ada x→C-

lim f(x) ada x→C+

3. lim f(x) = f(C) x→C-

lim f(x) = f(C) x→C+

Definisi 2 : Sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kondisi berikut terpenuhi : 1. f kontinu pada (a,b) 2. f kontinu dari kanan di a 3. f kontinu dari kiri di b Contoh 2.14 Selidiki apakah fungsi f(x) =

(9 − x 2 ) kontinu pada selang [-3,3]

Penyelesaian: 1. lim f(x) = lim √(9 – x2) x→C x→C = √lim (9 – x2) x→C = √(9 – x2) = f(C) 2. lim f(x) x→C

= lim √(9 – x2) x→3= √lim (9 – x2) x→3= √(9 – (-3)2) = 0 = f(3)

3. lim f(x) x→C

= lim √(9 – x2) x→3+ = √lim (9 – x2)


33

x→3+ = √(9 – 32) = 0 = f(-3) Dari penyelesaian di atas (langkah 1 sampai 3) dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) kontinu pada selang [-3, 3].

Latihan Soal 2.7 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk soal 1 dan 2, carilah titik dimana fungsi f(x) diskontinu, jika ada 1. 2.

x x +1 ⎧⎪ 2 x + 3,..............x ≤ 4 f ( x) = ⎨ 16 7 + ,..............x > 4 ⎪⎩ x f ( x) =

2

⎧ x + 1............x < 1 ⎪ 3. Carilah nilai a dan b sehingga fungsi f ( x) = ⎨ax + b.....1 ≤ x < 2 kontinu ⎪ 3 x..............x ≥ 2 ⎩

2.8 Limit dan Kontinuitas Fungsi Trigonometri Limit dan kontinuitas dapat digunakan untuk fungsi trigonometri. Pengerjaan sama seperti perhitungan limit. Pengetahuan tambahan yang perlu diingat kembali adalah persamaan identitas fungsi trigonometri. Contoh 2.15 Hitunglah limit sin (C + h) untuk nilai h mendekati 0. Penyelesaian lim Sin (C + h) h→0

=

lim (Sin C. Cos h + Cos C. Sin h) h→0

=

lim (Sin C. Cos h ) + h→0

lim Cos C. Sin h) h→0

=

Sin C. (lim Cos h ) + h→0

Cos C.(lim Sin h) h→0

=

Sin C (1) + Cos C (0)

=

Sin C


34

Contoh 2.16

tan x x →0 x

Hitung lim

Penyelesaian:

tan x ⎛ sin x 1 ⎞ . = lim⎜ ⎟ = 1.1 = 1 x →0 x →0 x ⎝ x cos x ⎠

lim

Contoh 2.17 Hitung lim x →0

sin 3 x sin 5 x

Penyelesaian:

sin 3 x sin 3 x 3. sin 3 x 3 x = 3.1 = 3 lim = lim x = lim x →0 sin 5 x x →0 sin 5 x x →0 sin 5 x 5.1 5 5. x 5x

Latihan Soal 2.8 Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengan sistematis untuk mendapatkan jawaban akhir himpunan penyelesaian yang benar. Selamat berlatih...!!! Untuk soal 1 dan 2, carilah titik diskontinu fungsi jika ada 1. y = cos x 2. y = sec x


35

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Recommend Documents