[1]
[2]
Za´kladnı´ pojmy Matice je tabulka cˇ´ısel s konecˇny´m pocˇtem rˇa´dku˚ a sloupcu˚.
Matice
Mnozˇina Rm,n je mnozˇina matic s rea´lny´mi cˇ´ısly s m rˇa´dky a n sloupci. Takovy´m maticı´m te´zˇ rˇ´ıka´me matice typu (m, n). Na jednotlive´ rˇa´dky v matici typu (m, n) mu˚zˇeme pohlı´zˇet jako na vektory z Rn a na jednotlive´ sloupce mu˚zˇeme pohlı´zˇet jako na vektory z Rm .
• mezi sebou scˇ´ıta´me a na´sobı´me konstantou (linea´rnı´ prostor) • meˇnı´me je na jine´ matice eliminacˇnı´ metodou • na´sobı´me je mezi sebou
Cˇ´ıslo na i-te´m rˇa´dku a j-te´m sloupci matice se nazy´va´ (i, j)-ty´ prvek matice a pouzˇ´ıvajı´ se pro neˇj indexy: ai,j (v tomto porˇadı´).
• ...
Matice budeme znacˇit velky´m tucˇny´m pı´smenem (A, B, atd.). Nulova´ matice obsahuje same´ nuly. Cˇtvercova´ matice je matice typu (n, n).
[3]
[4]
Scˇı´ta´nı´ matic, na´sobenı´ matic konstantou
Modifikace matic eliminacˇnı´ metodou
Mezi sebou scˇ´ıta´me jen matice stejne´ho typu. Soucˇet ma´ stejny´ typ. Na´sobek kontantou α ma´ take´ stejny´ typ jako pu˚vodnı´ matice. a1,1 + b1,1 , a1,2 + b1,2 , . . . , a1,n + b1,n a2,1 + b2,1 , a2,2 + b2,2 , . . . , a2,n + b2,n , A+B= ... am,1 + bm,1, am,2 + bm,2 , . . . , am,n + bm,n α a1,1 , α a1,2 , . . . , α a1,n α a2,1 , α a2,2 , . . . , α a2,n . α ⋅A = ...
Vznikne-li matice B z matice A konecˇny´m pocˇtem rˇa´dkovy´ch u´prav eliminacˇnı´ metody, pı´sˇeme A ∼ B. Jsou to (obecneˇ) ru˚zne´ matice.
α am,1, α am,2, . . . , α am,n
Mnozˇina matic Rm,n s tı´mto + a ⋅ tvorˇ´ı linea´rnı´ prostor.
Cvicˇenı´: Najdeˇte ba´zi a dimenzi linea´rnı´ho prostoru matic R3,2 .
Pozorova´nı´: Je-li A ∼ B pak take´ B ∼ A. Jiny´mi slovy: kazˇda´ zmeˇna eliminacˇnı´ metodou je vratna´. Stacˇ´ı si uveˇdomit, jak pracujı´ trˇi za´kladnı´ operace v GEM: prohozenı´ rˇ´ıdku˚, prona´sobenı´ rˇa´dku nenulovou konstantou a prˇicˇtenı´ na´sobku rˇa´dku k jine´mu.
[5]
[6]
Eliminace zachova´va´ obal rˇa´dku ˚
Hodnost matice
Veˇta: Gaussova eliminacˇnı´ emtoca zachova´va´ linea´rnı´ obal rˇa´dku˚ matice.
Definice: Hodnost matice A je dimenze linea´rnı´ho obalu rˇa´dku˚ matice A. Znacˇ´ıme hod A, anglicky „rank of matrix A“.
Jiny´mi slovy: je-li A ∼ B, pak linea´rnı´ obal rˇa´dku˚ matice A je roven linea´rnı´mu obalu rˇa´dku˚ matice B.
Pozorova´nı´: Gaussova eliminacˇnı´ metoda nemeˇnı´ hodnost matice, tedy je-li A ∼ B, pak hod A = hod B.
Du˚kaz: Prˇehozenı´ rˇa´dku˚: lin. obal se nezmeˇnı´, to je zrˇejme´. Dalsˇ´ı dva typy operacı´ v GEM prˇida´vajı´ k rˇa´dku˚m linea´rnı´ kombinaci (tı´m nezmeˇnı´ linea´rnı´ obal) a odeberou jeden vektor (lin. obal se mu˚zˇe zmensˇit). On se ale nezmensˇ´ı, protozˇe eliminace je vratna´.
Metoda pocˇı´ta´nı´ hodnosti: Ma´me-li spocˇ´ıtat hod A, eliminujeme A na matici B schodove´ho tvaru. Pocˇet nenulovy´ch rˇa´dku˚ te´to matice je hod B a tedy i hod A.
[7]
Procˇ? Neulove´ rˇa´dky v matici B tvorˇ´ı ba´zi sve´ho linea´rnı´ho obalu. Jsou totizˇ linea´rneˇ neza´visle´.
[8]
Pozna´mky k hodnosti
GEM zachova´va´ linea´rnı´ neza´vislost rˇa´dku ˚
• Metoda pocˇ´ıta´nı´ hodnosti je metodou pocˇ´ıta´nı´ dimenze linea´rnı´ho obalu.
Veˇta: Je-li A ∼ B pak A obsahuje linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky pra´veˇ tehdy kdyzˇ B obsahuje lin. neza´visle´ rˇa´dky.
• Pozor: Hodnost nelze definovat pomocı´ uvedene´ metody protozˇe eliminacˇnı´ metoda nenı´ jednoznacˇny´ proces, tj. nema´me za´ruku stejne´ho pocˇtu nenulovy´ch rˇa´dku˚ po provedenı´ eliminace.
Du˚kaz: Ma´-li A lin. neza´visle´ rˇa´dky, pak tvorˇ´ı ba´zi sve´ho lin. obalu, takzˇe hod A je rovna pocˇtu rˇa´dku˚ matice A. Je take´ rovna hodnosti matice B (ktera´ ma´ stejny´ pocˇet rˇa´dku˚ jako matice A), takzˇe B musı´ mı´t lin. neza´visle´ rˇa´dky.
• Pozor na alternativnı´ definici: hodnost jako maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚. Je trˇeba si uveˇdomit, co to znamena´. • Hodnost je prˇirozene´ cˇ´ıslo, ktere´ nemusı´ by´t jednoznacˇneˇ stanoveno pro „neprˇesne´ matice“ a „neprˇesne´ vy´pocˇty“ (tzv. numericky nestabilnı´ matice).
Metoda oveˇrˇenı´ za´vislosti: Zapı´sˇeme zkoumane´ vektory do rˇa´dku˚ matice A a prˇevedeme na schodovity´ tvar B. Zkoumane´ vektory jsou lin. za´visle´ pra´veˇ tehdy kdyzˇ B obsahuje nulovy´ rˇa´dek.
[9]
[10]
Metody ty´kajı´cı´ se linea´rnı´ch obalu ˚
Hodnost transponovane´ matice
→ → → → • − v ∈ 〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 pra´veˇ kdyzˇ
Definice: Transponovana´ matice k matici A (znacˇ´ıme AT ) je matice, ve ktere´ jsou rˇa´dky pu˚vodnı´ matice A zapsa´ny do sloupcu˚.
→ → → → → → → dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 = dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n, − v 〉.
Pozorova´nı´: Platı´ (AT )T = A.
→ → → → Metoda: Vektor − v lezˇ´ı v linea´rnı´m obalu vektoru˚ − u 1, − u 2, . . . , − u n, − → − → → kdyzˇ hodnost matice obsahujı´cı´ v rˇa´dcı´ch vektory u 1, u 2 , . . . , − un − → je stejna´ jako hodnost matice, ve ktere´ je navı´c prˇida´n rˇa´dek v . → → → → → → • 〈− u ,− u ,...,− u 〉 = 〈− v ,− v ,...,− v 〉 pra´veˇ kdyzˇ 1
2
n
1
2
n
→ → → → → → dim〈− u 1, − u 2, . . . , − u n〉 = dim〈− v 1, − v 2, . . . , − v n〉 = − → − → − → − → − → − → = dim〈 u 1, u 2 , . . . , u n, v 1 , v 2, . . . , v n〉 Metoda: Oveˇrˇ´ıme rovnost hodnostı´ prˇ´ıslusˇny´ch matic.
Veˇta: hod A = hod AT , jiny´mi slovy: dimenze linea´rnı´ho obalu rˇa´dku˚ matice je rovna dimenzi linea´rnı´ho obalu sloupcu˚ matice. Du˚kaz: Je-li hod A = k, pak A ma´ k linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚. Jejich neza´vislost lze oveˇrˇit z definice neza´vislosti, cozˇ vede na soustavu s maticı´ AT (azˇ na vynecha´nı´ neˇktery´ch sloupcu˚). Aby soustava meˇla jen nulove´ rˇesˇenı´, musı´ mı´t linea´rneˇ neza´visle´ rovnice. Takzˇe (po doplneˇnı´ vynechany´ch sloupcu˚) musı´ AT mı´t asponˇ k linea´rneˇ neza´visly´ch rˇa´dku˚, tedy hod A ≤ hod AT . Rovnost pak plyne z vy´sˇe uvedene´ho pozorova´nı´.
[11]
Maticove´ na´sobenı´
[12]
Prˇı´klady na´sobenı´
Definice: Pro matice A ∈ Rm,n a B ∈ Rn,p existuje maticovy´ soucˇin A ⋅ B = C ∈ Rm,p (v tomto porˇadı´). Jednotlive´ prvky soucˇinu ci,k jsou da´ny vzorcem: n
ci,k = ai,1b1,k + ai,2b2,k + · · · + ai,nbn,k = ∑ ai,jbj,k . j=1
Prˇı´klad: Je-li A ∈ R3,4 a B ∈ R4,5 , pak A ⋅ B je definova´no, ale B ⋅ A nenı´ definova´no. Pozorova´nı´: Aby bylo definova´no A ⋅ B, musı´ mı´t A stejny´ pocˇet sloupcu˚ jako ma´ B rˇa´dku˚. Vy´sledna´ matice ma´ tolik rˇa´dku˚, jako ma´ rˇa´dku˚ matice A a tolik sloupcu˚, jako ma´ sloupcu˚ matice B.
(1
2
4 3) ⋅ 5 = (1 ⋅ 4 + 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6)
6 4 8 12 4 5 ⋅ ( 1 2 3 ) = 5 10 15 6 12 18 6 1 1 1 1 2 2 ⋅ = −1 −1 1 1 −2 −2
1 1
1 1
1 ⋅ −1
1 −1
=
0 0
0 0
[13]
[14]
Poznatky z prˇedchozı´ch prˇı´kladu ˚:
Vlastnosti maticove´ho na´sobenı´:
• Maticove´ na´sobenı´ nenı´ komutativnı´ ani pro cˇtvercove´ matice
• (A ⋅ B) ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) . . . asociativnı´ za´kon
• Neplatı´ pravidlo: soucˇin nenulovy´ch matic musı´ by´t nenulova´ matice
• (A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . . . distributivnı´ za´kon
• Co tedy platı´? . . .
• C ⋅ (A + B) = C ⋅ A + C ⋅ B . . . distributivnı´ za´kon • α (A ⋅ B) = (α A) ⋅ B = A ⋅ (α B) . . . konstanta • (A ⋅ B)T = BT ⋅ AT . . . transponovana´ matice
[15]
[16]
Prˇı´klad: soustavy lin. rovnic
Komutujı´cı´ matice
Necht’ A ∈ Rm,n.
Kdyzˇ platı´: A ⋅ B = B ⋅ A, rˇ´ıka´me, zˇe matice B komutuje s maticı´ A. b1 x1 x2 b2 A⋅ ... = ... bm xn
Toto je soustava linea´rnı´ch rovnic s m rovnicemi a n nezna´my´mi. Strucˇneˇ zapisujeme: A⋅x = b. Matice A se nazy´va´ matice soustavy, ´ kolem je nale´zt jednosloupcova´ matice b je vektor pravy´ch stran. U vsˇechny jednosloupcove´ matice x, ktere´ vyhovujı´ maticove´ rovnici.
Pozorova´nı´: Komutovat mohou pouze cˇtvercove´ matice stejne´ho typu. ´ loha: Je pevneˇ da´na cˇtvercova´ matice A, je trˇeba najı´t k nı´ U mnozˇinu vsˇech matic B, ktere´ komutujı´ s A. Pozorovanı´: Uvedena´ mnozˇina matic B, ktere´ komutujı´ s danou maticı´ A, tvorˇ´ı linea´rnı´ podprostor linea´rnı´ho prostoru matic Rn,n.
[17]
[18]
Inverznı´ matice
Regula´rnı´ a singula´rnı´ matice
Cˇtvercovou matici s jednicˇkami na diagona´le a nulami jinde znacˇ´ıme E a rˇ´ıka´me ji jednotkova´ matice.
Definice: Cˇtvercova´ matice je regula´rnı´, pokud ma´ inverznı´ matici. Cˇtvercova´ matice je singula´rnı´, pokud nema´ inverznı´ matici.
Pozorova´nı´: A ⋅ E = E ⋅ A = A, analogie s cˇ´ısly: a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a.
Pozorova´nı´: Soucˇin regula´rnı´ch matic je regula´rnı´ matice. Ma´-li matice A inverznı´ matici A−1 a da´le ma´-li matice B inverznı´ matici B−1, pak inverznı´ matice k A ⋅ B je B−1 ⋅ A−1. Platı´ totizˇ:
Definice: Inverzı´ matice ke cˇtvercove´ matici A je takova´ matice B, pro kterou je A ⋅ B = B ⋅ A = E. −1
(viz te´zˇ analogie s cˇ´ısly). Inveznı´ matici znacˇ´ıme A .
(B−1 ⋅ A−1) ⋅ (A ⋅ B) = B−1 ⋅ (A−1 ⋅ A) ⋅ B = B−1 ⋅ E ⋅ B = B−1 ⋅ B = E, (A ⋅ B) ⋅ (B−1 ⋅ A−1) = A ⋅ (B ⋅ B−1) ⋅ A−1 = A ⋅ E ⋅ A−1 = A ⋅ A−1 = E.
Pozorova´nı´: Pokud k matici A inverznı´ matice existuje, pak je urcˇena jednoznacˇneˇ. Du˚vod je zde: B1 = E ⋅ B1 = (B2 ⋅ A) ⋅ B1 = B2 ⋅ (A ⋅ B1) = B2 ⋅ E = B2 Ota´zka: Jak pozna´me existenci inverznı´ matice k matici A?
[19]
[20]
Vy´pocˇet inverznı´ matice eliminacı´
Podmı´nky regularity matice
Algoritmus: Ma´-li A linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky, pak existuje A−1 a lze ji vypocˇ´ıtat takto:
Na´sledujı´cı´ podmı´nky jsou ekvivalentnı´ s regularitou matice A ∈ Rn,n:
(A | E) ∼ (E | A−1) Ke zdu˚vodneˇnı´ te´to metody potrˇebujeme zave´st trˇi typy cˇtvercovy´ch matic, ktere´ (pokud jimi na´sobı´me vybranou matici zleva) „emulujı´ “ jednotlive´ kroky eliminacˇnı´ metody. Soucˇin teˇchto elementa´rnı´ch matic emulujı´cı´ vsˇechny provedene´ kroky je matice P, pro kterou platı´: Veˇta: Je-li A ∼ B, pak existuje regula´rnı´ P takova´, zˇe B = P ⋅ A.
• A ma´ inverznı´ matici (viz definice). • Maticova´ rovnice A ⋅ X = B ma´ rˇesˇenı´ pro kazˇdou B ∈ Rn,m. • Matice A ma´ linea´rneˇ neza´visle´ rˇa´dky. • hod A = n. • existuje eliminacˇnı´ proces, ktery´ provede A ∼ E. • det A 6= 0 (o determinantech pohovorˇ´ıme pozdeˇji)
[21]
Hodnost soucˇinu Veˇta: Je-li P regula´rnı´ a platı´-li B = P ⋅ A, pak A ∼ B. Du˚kaz: P ∼ E a stejne´ kroky eliminace pouzˇijeme na (P | B), tj.: (P | B) = (P | P ⋅ A) ∼ (E | X) = P−1 (P | P ⋅ A) = (E | A), takzˇe A ∼ B. Veˇta: Na´sobı´me-li matici A jakoukoli regula´rnı´ maticı´, nezmeˇnı´ se hodnost. Tedy: hod A = hod(P ⋅ A). Veˇta: hod(A ⋅ B) ≤ min(hod A, hod B) Du˚kaz*: hod A = k, tj. A ∼ C, C ma´ k nenulovy´ch rˇa´dku˚. Existuje tedy P regula´rnı´, zˇe A = P ⋅ C. Da´le platı´: hod(A ⋅ B) = hod(P ⋅ C ⋅ B) = hod(C ⋅ B) ≤ k.
