1
Matice
Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazen´ı z kart´ezsk´eho souˇcinu {1, 2, . . . , m}×{1, 2, . . . , n} do mnoˇziny R. Matici A obvykle zapisujeme takto: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . .. .. , . . . . . . . am1 am2 · · ·
amn
kde aij ∈ R jsou jej´ı prvky. Zkr´ acenˇe zapisujeme tak´e A = (aij ). Pokud m = n, pak naz´yv´ ame A ˇctvercovou. Definice 2 Necht’ A = (aij ) a B = (bij ) jsou matice typu (m, n). Pak souˇcet A + B a αn´ asobek α · A jsou matice typu (m, n) definov´ any jako pro zobrazen´ı, tj. A + B = (aij + bij ) a α · A = (α aij ). Sˇc´ıt´ an´ı matic a skal´arn´ı n´asobek tedy splˇ nuj´ı vˇsechny vlastnosti, kter´e jsme uvedli pro zobrazen´ı. Operaci n´asoben´ı u matic budeme definovat jin´ ym zp˚ usobem.
D˚ usledek 1 Mnoˇzina vˇsech matic typu (m, n) tvoˇr´ı se sˇc´ıt´ an´ım matic a n´ asoben´ım matice re´ aln´ym ˇc´ıslem line´ arn´ı prostor. Nulov´y vektor v tomto prostoru je tzv. nulov´ a matice, tj. matice sam´ych nul. Definice 3 Symbolem A ∼ B vyjadˇrujeme fakt, ˇze matice B vznikla z matice A koneˇcn´ym poˇctem krok˚ u Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. Vˇ eta 1 Relace ∼ je symetrick´ a, tj. A ∼ B p.t.k. B ∼ A. D˚ ukaz: Uk´aˇzeme, ˇze kaˇzd´ a element´arn´ı u ´prava z Gaussovy eliminaˇcn´ı metody je invertovateln´a: 1. Pˇrehozen´ı dvou ˇr´ adk˚ u. Staˇc´ı pˇrehodit ˇradky jeˇstˇe jednou. 2. Vyn´asoben´ı i-t´eho ˇr´ adku re´aln´ ym ˇc´ıslem α 6= 0. Staˇc´ı i-t´ y ˇr´adek vyn´ asobit
1 α.
3. Pˇriˇcten´ı α-n´ asobku i-t´eho ˇr´ adku k j-t´emu. Staˇc´ı pˇriˇc´ıst −α-n´ asobek k j-t´emu ˇr´adku. ˇ adky matice typu (m, n) m˚ R´ uˇzeme ch´apat, jako vektory z lin. prostoru Rn . Takˇze m´ a smysl mluvit o jejich lin. z´avislosti, nez´ avislosti, line´ arn´ım obalu atd. Podobnˇe sloupce tvoˇr´ı vektory z lin. prostoru Rm . Definice 4 Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n) a a1 , . . . , am ∈ Rn jsou jej´ı ˇra ´dky. Line´ arn´ı obal mnoˇziny r : A = {a1 , . . . , am } znaˇc´ıme hr : Ai. Vˇ eta 2 Jeli A ∼ B, pak hr : Ai = hr : Bi.
1
D˚ ukaz: Vˇeta staˇc´ı uk´azat pro matici B vzniklou z A jen jednou element´arn´ı u ´pravou. Zˇrejmˇe vˇsechny ˇr´adky matice B lze zapsat jako line´ arn´ı kombinaci ˇr´adk˚ u z A. Plat´ı tedy, ˇze vˇsechny ˇr´adky B patˇr´ı do hr : Ai. Tedy hr : Bi ⊆ hhr : Aii = hr : Ai. Protoˇze relace ∼ je symetrick´a m´ ame i hr : Ai ⊆ hr : Bi. Definice 5 Hodnost matice A znaˇc´ıme hod A a definujeme hod A = dim hr : Ai. Hodnost matice A je tedy poˇcet prvk˚ u v libovoln´e nejvˇetˇs´ı line´ arnˇe nez´avisl´e podmnoˇzinˇe ˇr´adk˚ u matice A. D˚ usledek 2 Je-li A ∼ B, pak hod A = hod B. Definice 6 Necht’ matice m´ a A ˇra ´dky a1 , . . . , am ∈ Rn . Necht’ pro kaˇzd´e dva po sobˇe jdouc´ı ˇra ´dky ai , ai+1 plat´ı: m´ a-li ˇra ´dek ai prvn´ıch k sloˇzek nulov´ych, pak m´ a ˇra ´dek ai+1 alespoˇ n k + 1 sloˇzek nulov´ych nebo ai+1 = o. Pak A naz´yv´ ame horn´ı troj´ uheln´ıkovou matic´ı. Vˇ eta 3 Pro kaˇzdou matici A existuje horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice B t.ˇz. A ∼ B. Vˇ eta 4 Necht’ A je horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice typu (m, n) a a1 , . . . , ak jsou jej´ı nenulov´e ˇra ´dky. Pak koneˇcn´ a posloupnost a1 , . . . , ak je LN. D˚ ukaz: Vyˇreˇsme pro nezn´am´e α1 , . . . , αk ∈ R rovnici α1 a1 + · · · + αk ak = o . Matice odpov´ıdaj´ıc´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic bude m´ıt vektory a1 , . . . , ak jako sloupce. Necht’ ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain ). Pak bude matice t´eto soustavy vypadat napˇr. nˇejak takto: 0 a11 0 0 ··· 0 a12 0 0 ··· 0 0 a13 a23 0 · · · 0 0 a14 a24 a34 · · · 0 0 . .. .. .. .. .. . . . . a1n a2n a3n · · ·
akn
0
Takˇze α1 = α2 = · · · = αk = 0.
D˚ usledek 3 Necht’ A je matice typu (m, n), B je horn´ı troj´ uheln´ıkov´ a matice t.ˇz. A ∼ B a b1 , . . . , bk jsou nenulov´e ˇra ´dky B. Pak hr : Ai = hb1 , . . . , bk i, b1 , . . . , bk je jeho b´ aze a dim hr : Ai = k. Pˇ r´ıklad Najdˇete b´azi 1 2 A= 1 3
a dimenzi lin. podprostoru hr : Ai. 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 4 4 7 0 1 2 3 4 ∼ 0 1 2 3 4 ∼ 1 1 3 4 0 1 2 1 1 0 0 0 3 2 0 1 2 3 4 5 7 8 12
Tedy dim hr : Ai = hod A = 3.
2
Definice 7 Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n). Matici AT = (aji ), kter´ a je typu (n, m) nazveme transponovanou matic´ı k matici A. Pˇ r´ıklad 1 4 AT = 2 5 . 3 6
1 2 3 , A= 4 5 6
Pozorov´ an´ı 1 Pro matice A, B typu (m, n) plat´ı: (AT )T = A a (A + B)T = AT + BT . Vˇ eta 5 Pro kaˇzdou matici A plat´ı: hod AT = hod A. D˚ usledek 4 Necht’ A je matice typu (m, n). Pak hod A ≤ min{m, n}. Definice 8 Necht’ A = (aij ) je matice typu (m, n) a B = (bjk ) je matice typu (n, p). Pak souˇcin A · B = (cik ) je matice typu (m, p), kde cik =
n X
aij bjk .
j=1
Pˇ r´ıklad 1 1 2 3 · 1 0 −1 1 1 0 0 1 1 1 1 , = · 0 0 −1 −1 1 1
3 6 10 2 = 0 −1 1 2 2 1 1 1 1 = · −2 −2 1 1 −1 −1
Vid´ıme, ˇze A · B = B · A obecnˇe neplat´ı (dokonce ani pro ˇctvercov´e matice). Vˇ eta 6 Necht’ α ∈ R a A, B, C jsou matice odpov´ıdaj´ıc´ıch typ˚ u, aby n´ıˇze uveden´e v´yrazy byly definov´ any. Pak 1. (A · B) · C = A · (B · C), 2. (A + B) · C = A · C + B · C, 3. C · (A + B) = C · A + C · B, 4. α(A · B) = (αA) · B = A · (αB). 5. (A · B)T = BT · AT . D˚ ukaz: 1. Oznaˇcme gil prvek matice (A · B) · C na pozici (i, l) a hil prvek matice A · (B · C) na t´eˇze pozici. Pak ! p p p p X n n X n n X X X X X X bjk ckl = hil . aij aij bjk ckl = gil = aij bjk ckl = aij bjk ckl = k=1
j=1
j=1 k=1
k=1 j=1
3
j=1
k=1
2. Oznaˇcme gik prvek matice (A + B) · C na pozici (i, k) a hik prvek matice A · C + B · C na t´eˇze pozici. Pak gik =
n X
(aij + bij ) cjk =
j=1
n X
(aij cjk + bij cjk ) =
j=1
n X
aij cjk +
j=1
n X
bij cjk = hik .
j=1
3. Obdobnˇe jako pˇredchoz´ı bod. 4. Pro prvek na pozici (i, k) m´ ame: n n n X X X α (αaij )bjk = aij (αbjk ) aij bjk = j=1
j=1
j=1
5. Oznaˇcme gik prvek matice A · B na pozici (i, k) a hik prvek matice BT · AT na t´eˇze pozici. Chceme tedy uk´azat, ˇze gki = hik . gki =
n X j=1
akj bji =
n X
bji akj =
j=1
n X
b′ij a′jk = hik ,
j=1
kde b′ij je prvek BT na pozici (i, j) a a′jk je prvek AT na pozici (j, k). ˇ Definice 9 Ctvercovou matici E typu (n, n) 1 0 0 1 E = 0 0 .. .. . .
nazveme jednotkovou matic´ı, pokud 0 ··· 0 0 · · · 0 1 · · · 0 . .. . . . 0 .
0 0 0 ···
1
Pozorov´ an´ı 2 Necht’ A je matice typu (m, n) a B typu (n, p). Pak 1. A · E = A. 2. E · B = B.
2
Inverzn´ı matice
Definice 10 Necht’ A je ˇctvercov´ a matice typu (n, n) a E je jednotkov´ a matice stejn´eho typu. Matici B typu (n, n), kter´ a splˇ nuje A · B = B · A = E naz´yv´ ame inverzn´ı matic´ı k matici A. Matici B oznaˇcujeme A−1 . Vˇ eta 7 Pokud k matici A existuje A−1 , pak A−1 je urˇcena jednoznaˇcnˇe. D˚ ukaz: Sporem: pˇredpokl´ ad´ ame, ˇze B, C jsou dvˇe r˚ uzn´e inverzn´ı matice k matici A. Pak B = B · E = B · (A · C) = (B · A) · C = E · C = C .
4
ˇ Definice 11 Ctvercov´ a matice A se naz´yv´ a regul´ arn´ı, pokud A−1 existuje. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe ji naz´yv´ ame singul´ arn´ı. Vˇ eta 8 Necht’ A a B jsou regul´ arn´ı matice. Pak A · B je tak´e regul´ arn´ı matice. D˚ ukaz: Uk´aˇzeme, ˇze B−1 · A−1 je inverzn´ı matice k A · B. (B−1 · A−1 ) · (A · B) = B−1 · (A−1 · A) · B = B−1 · E · B = B−1 · B = E (A · B) · (B−1 · A−1 ) = A · (B · B−1 ) · A−1 = A · E · A−1 = A · A−1 = E Dˇr´ıve neˇz si uk´aˇzeme, za jak´ ych podm´ınek inverzn´ı matice existuje a jak ji poˇc´ıtat, uk´aˇzeme si, ˇze jednotliv´e kroky Gaussovy eliminaˇcn´ı metody lze ch´apat jako n´asoben´ı vhodn´ ymi maticemi zleva. Definice 12 Necht’ PU je ˇctvercov´ a matice, kter´ a vznikla z jednotkov´e matice E jednou element´ arn´ı u ´pravou U . Takov´e matice budeme naz´yvat element´ arn´ı. Vˇ eta 9 Necht’ A je matice typu (m, n). Pak PU · A je matice, kter´ a vznikne z A el. u ´pravou U. D˚ ukaz: a31 a11 a12 0 0 1 0 1 0 · a21 a22 = a21 a11 a31 a32 1 0 0 a11 a11 a12 1 0 0 0 1 0 · a21 a22 = a21 αa31 a31 a32 0 0 α 1 0 α a11 a12 a11 + αa31 0 1 0 · a21 a22 = a21 a31 a32 0 0 1 a31
a32 a22 a12 a12 a22 αa32
a12 + αa32 a22 a32
D˚ usledek 5 Pokud A ∼ B, pak B = C · A, kde C je souˇcin element´ arn´ıch matic. D˚ ukaz: Jednotliv´e kroky Gaussovy el. metody m˚ uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı el. matic, tj. B = Cn · (Cn−1 · · · (C2 · (C1 · A)) · · · ) = (Cn · Cn−1 · · · C2 · C1 ) · A . Kaˇzd´ a matice A lze tedy ps´ at ve tvaru C · T, kde C je souˇcin element´arn´ıch matic a T je horn´ı troj´ uheln´ıkov´a.
5
