Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan

Oleh: Dadang Amir Hamzah

STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

1 / 33

Outline 1

Matriks


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5

Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8

Referensi Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

2 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

3 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks √     1 2 e π − 2  3 0 , 2 1 0 −3 ,  0 12 1  , (4). −1 4 0 0 0


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks √     1 2 e π − 2  3 0 , 2 1 0 −3 ,  0 12 1  , (4). −1 4 0 0 0 Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

4 / 33

Definisi Matriks Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolom berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriks dinamakan entri. Berikut ini adalah contoh Matriks √     1 2 e π − 2  3 0 , 2 1 0 −3 ,  0 12 1  , (4). −1 4 0 0 0 Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalam suatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordo matriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatas ordo matriksnya adalah 3 × 2, 2 × 1, 3 × 3, dan 1 × 1. Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besar dan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakan huruf kecil. Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

4 / 33

Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n     A = . .. ..  ..  . .   am1 am2 . . . amn


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

5 / 33

Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinya ditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.   a11 a12 . . . a1n    a21 a22 . . . a2n     A = . .. ..  ..  . .   am1 am2 . . . amn Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudian bagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

5 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

6 / 33

Penjumlahan dan Pengurangan Definisi Jika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahan A + B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Pengurangan matriks A − B adalah matriks yang didapat dari mengurangkan entri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriks yang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Tentukan A + B dan A − B dari     2 1 0 3 −4 3 5 1 A =  −1 0 2 4  B =  2 2 0 −1  4 −2 7 0 3 2 −4 5


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

7 / 33

Perkalian Skalar

Definisi Misalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarang skalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikan setiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalar dari matriks A.   2 1 0 Jika c = −1 dan A =  −1 0 2  tentukan cA 4 −2 7


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

8 / 33

Perkalian Matriks

Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m × r dan B adalah matriks berukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuran m × n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikan entri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolom ke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya. Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya baris pada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

9 / 33

Perkalian Matriks Perhatikan matriks berikut A=


1 2 4 2 6 0



 4 1 4 3 , B =  0 −1 3 1  2 7 5 2

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

10 / 33


1 2 4 2 6 0



 4 1 4 3 , B =  0 −1 3 1  2 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

10 / 33


1 2 4 2 6 0



 4 1 4 3 , B =  0 −1 3 1  2 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4. Misalkan

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4. Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

10 / 33


1 2 4 2 6 0



 4 1 4 3 , B =  0 −1 3 1  2 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. Karena A berukuran 2 × 3 dan B berukuran 3 × 4 jadi AB berukuran 2 × 4. Misalkan

AB =

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24

untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke j kemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 1 dan j = 2 maka a12 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4. Tentukan semua entri matriks AB? Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

10 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

11 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom kedua A dan seterusnya.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

12 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom kedua A dan seterusnya. 

   a11 a12 a13 a11 a21 a31 Jika A =  a21 a22 a23  maka At =  a12 a22 a32  a31 a32 a33 a13 a23 a33


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

12 / 33

Transpos Matriks Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran m × n. Transpos dari matriks A ditulis At adalah matriks berukuran n × m yang dihasilkan dari menukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertama At adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolom kedua A dan seterusnya. 

  a11 a12 a13 a11 Jika A =  a21 a22 a23  maka At =  a12 a31 a32 a33 a13 Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut   1 2 A =  3 0  , B = 2 1 0 −3 , C −1 4 Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

 a21 a31 a22 a32  a23 a33

√  e π − 2 =  0 12 1 , 0 0 0 

Semester 3 , 2015

12 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

13 / 33

Pengertian Inverse Matriks Definisi Misalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. Jika AB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan B adalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi maka A dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse. Inverse dari matriks A ditulis A−1 . I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulis sebagai In . Berikut ini adalah contoh matriks identitas   1 0 ... 0   1 0 0  0 1 ... 0  1 0   I2 = , I 3 =  0 1 0  , In  . . . .  0 1  .. .. . . ..  0 0 1 0 0 ... 1 Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

14 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka A−1 =


1 (Adj(A)) det (A)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

15 / 33

Penggunaan Inverse Dalam SPL Jika A adalah matriks invertibel maka 1 (Adj(A)) det (A) a b Contoh: Misalkan A = maka A−1 = c d A−1 =


Matematika Teknik I

1 ad−bc

d −b −c a

Semester 3 , 2015

.

15 / 33


1 ad−bc

d −b −c a

.

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1 b.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

15 / 33


1 ad−bc

d −b −c a

.

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

15 / 33


1 ad−bc

d −b −c a

.

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dari A. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal maka solusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1 b. Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0. Bandingkan solusi dari SPL x + 2y = 5 2x + y = 1 dengan metode substitusi dan inverse. Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

15 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

16 / 33

Pengertian Determinan Definition Misalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudian A ∈ M . Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakan An×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegi tidak didefinisikan. Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|. a b Determinan dari matriks A = c d det (A) = det

a b c d

= ad − bc.

Bagaimana dengan determinan dari matriks 3 × 3 ?


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

17 / 33

Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

18 / 33

Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20 November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrus adalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856) dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarrus menemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinan untuk matriks berukuran 3 × 3 yang dinamakan skema Sarrus.   a11 a12 a13 Misalkan A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

18 / 33

Skema Sarus Perhatikan matriks dibawah  + + +  a11 a12 a13 a11 a12   a21 a22 a23 a21 a22  a31 a32 a33 a31 a32


     

 a a a  11 12 13   a21 a22 a23 a31 a32 a33

Matematika Teknik I

− a11 a21 a31

 − −  a12   a22  a32

Semester 3 , 2015

19 / 33


     

 a a a  11 12 13   a21 a22 a23 a31 a32 a33

− a11 a21 a31

 − −  a12   a22  a32

det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

19 / 33


     

 a a a  11 12 13   a21 a22 a23 a31 a32 a33

− a11 a21 a31

 − −  a12   a22  a32

det (A) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32   2 1 0 Tentukan determinan dari A =  −1 0 2  4 −2 7


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

19 / 33

Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk n>3?


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

20 / 33

Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk n>3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk n > 3?


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

20 / 33

Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n × n untuk n>3? Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n × n untuk n > 3?

Definisi Misalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan dengan Mij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+j Mij yang dinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij .


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

20 / 33

Contoh Misalkan



 3 1 4 A= 2 5 6  1 4 8

Minor entri a11 adalah

M11

3 1 4 = 2 5 6 1 4 8

= 5 6 4 8

= 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

21 / 33

Contoh Misalkan



 3 1 4 A= 2 5 6  1 4 8


M11

3 1 4 = 2 5 6 1 4 8

= 5 6 4 8

= 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a11 adalah C11 = (−1)1+1 M11 = 16


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

21 / 33

Contoh Misalkan



 3 1 4 A= 2 5 6  1 4 8


M11

3 1 4 = 2 5 6 1 4 8

= 5 6 4 8

= 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus. Kofaktor a11 adalah C11 = (−1)1+1 M11 = 16 Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya? Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

21 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

22 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat   a11 a12 a13 menuliskan determinan dari matriks A =  a21 a22 a23  yang a31 a32 a33 berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11 M11 + a12 −M12 + a12 M13 = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

23 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat   a11 a12 a13 menuliskan determinan dari matriks A =  a21 a22 a23  yang a31 a32 a33 berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11 M11 + a12 −M12 + a12 M13 = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 Coba bandingkan dengan skema Sarus.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

23 / 33

Ekspansi Kofaktor Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat   a11 a12 a13 menuliskan determinan dari matriks A =  a21 a22 a23  yang a31 a32 a33 berukuran 3 × 3 yaitu det (A) = a11 M11 + a12 −M12 + a12 M13 = a11 C11 + a12 C12 + a13 C13 Coba bandingkan dengan skema Sarus. Secara umum determinan dari matriks M berukuran n × n adalah det (M ) = a11 C11 + a12 C12 + · · · + a1n C1n Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama matriks M . Dadang Amir Hamzah (STT)

Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

23 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

24 / 33

Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

Definisi Misalkan A adalah matriks berukuran n × n dan Cij adalah kofaktor dari aij . Matriks   C11 C12 . . . C1n  C21 C22 . . . C2n     .. .. ..  . .  . . . .  Cn1 Cn2 . . . Cnn disebutmatriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

25 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

26 / 33

Aturan Cramer Teorema Misalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaan dan n variabel sedemikian sehingga det (A) 6= 0. Sistem Ax = b mempunyai solusi tunggal yaitu x1 =

det (A1 det (A) ,

x2 =

det (A2 ) det (A) ,

. . . , xn =

det (An ) det (A)

dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entri pada kolom ke j pada matriks A dengan matriks   b1  b2    b= .   ..  bn


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

27 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

28 / 33

Problems 1

Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut a−b b+c 8 1 = 3d + c 2a − 4d 7 6

2

Misalkan    6 −2 4 3 −2 7 A =  6 5 4  dan B =  0 1 3  7 7 5 0 4 9 

Tentukan a. b. c. d.

Baris pertama dari AB. Kolom ketiga dari AB. Baris ketiga dari AA. Kolom ketiga dari AA.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

29 / 33

Problems 3. Misalkan A adalah matriks berukuran m × n dan 0 adalah matriks barukuran m × n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0 maka k = 0 atau A = 0. 4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehingga perkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu baris yang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol. 5. Misalkan



1  2 A=  1 1

3 5 3 3

1 2 8 2

 1 2   9  2

Tentukan A−1 .


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

30 / 33

Problems

6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut a. b.

c.

7x1 3x1 x1 2x1 4x1 −x1 2x1 −x1 x1

− + − −

2x2 x2 3x2 x2

− 4x2 − x2 + x2 − x2

=3 = 5. + x3

+ + + +

−x3 2x3 7x3 3x3 x3

= 4 = −2 = 0. + x4 + 9x4 + x4 − 4x4

= −32 = 14 = 11 = −4.

7. Buktikan aturan Cramer.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

31 / 33

Outline 1

Matriks

2

Operasi Matriks

3

Transpos Matriks

4

Inverse Matriks

5


6

Aturan Cramer

7

Soal-soal Latihan

8


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

32 / 33

Referensi

H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York 2000.


Matematika Teknik I

Semester 3 , 2015

33 / 33

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Recommend Documents