Matematika Teknik
DETERMINAN
Ada satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak peubah dan persamaan sama. Untuk itu, terlebih dahulu dibahas tentang determinan suatu matriks. Misal diberikan matriks 2 x 2 berikut A = ( aij ) ; i,j = 1,2. Maka determinan matriks A, dinotasikan dengan det ( A ) atau | A | diberikan dengan : A = a11 a 22 − a12 a21 Sedang bila diberikan berikut A = ( aij ) ; i,j = 1,2,3. Maka determinan matriks A : A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 Secara umum determinan dari matriks A = ( aij ) ; i,j = 1,2,…,n. dinyatakan dengan rumus : A = ∑ ± a1 j1 a 2 j2 ... anj n dengan ( j1, j2, …, jn ) merupakan permutasi, sedangkan tanda + dan - ditentukan dari permutasi genap dan ganjil. Dalam menentukan nilai determinan suatu matriks, cara di atas sangat sulit dilakukan. Untuk itu, akan diberikan cara yang lebih mudah dengan memperkenalkan minor dan kofaktor suatu matriks. Misal diberikan matriks A = ( aij ) ; i,j = 1,2, … , n. Maka Minor dari elemen aij ( Mij ) didefinisikan dengan determinan suatu matriks yang didapatkan dari matriks A dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Sedangkan kofaktor dari elemen aij
( Cij ) diberikan : Cij = ( − 1) i + j Mij .
Contoh 1 2 3 Diketahui : A = 0 − 3 4 . Tentukan semua minor dan kofaktornya ! 1 − 2 5 Jawab :
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
M11 =
−3 4 = −7 −2 5
; C11 = ( − 1)1+1 M11 = −7
M12 =
0 4 = −4 1 5
;
C12 = ( − 1)1+ 2 M12 = 4
dst
Cara menentukan determinan matriks A = ( aij ) ; i,j = 1,2, … , n. dilakukan dengan dua cara yaitu : (1) Ekspansi / perluasan kofaktor sepanjang baris ke-i, A = ai1 Ci1 + ai 2 Ci 2 + ...+ ain Cin (2) Ekspansi / perluasan kofaktor sepanjang kolom ke-j, A = a1 j C1 j + a 2 j C2 j + ... + anj Cnj Teknik yang baik dalam menentukan nilai determinan suatu matriks dengan melakukan ekspansi sepanjang baris atau kolom yang mempunyai elemen nol terbanyak. Hal ini menunjukkan bahwa determinan matriks segitiga merupakan perkalian dari elemen diagonal utama. Beberapa sifat berikut sangat membantu dalam memudahkan di dalam menentukan determinan matriks. 1. Misal matriks B didapatkan dengan melakukan sebanyak hingga OBE dari matriks A. Maka | A | = | B |. 2. Misal matriks B didapatkan dengan menukarkan satu kali suatu baris terhadap baris lain dari matriks A. Maka | B | = - | A |. 3. Misal matriks B didapatkan dengan mengalikan suatu baris dari matriks A dengan konstata k. Maka | B | = k | A |. Menggunakan sifat-sifat di atas dan nilai determinan matriks segitiga merupakan hasilkali elemen diagonal utama, maka determinan suatu matriks dapat ditentukan dengan melakukan OBE terlebih dahulu sehingga diperoleh matriks segitiga.
Contoh Tentukan determinan dari matriks berikut :
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
1 2 3 4 −2 3 1 0 A= 2 1 2 − 1 3 2 0 1 Jawab : 1 −2 A = 2 3 1 0 D = 0 0
2 3 1 2
3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 1 0 0 7 7 8 0 7 7 8 →B = →C= → 2 − 1 0 −3 −3 −9 0 1 1 3 0 1 0 − 4 − 9 − 11 0 − 4 − 9 − 11
2 3 4 4 1 2 3 0 0 − 13 0 1 1 3 →E= 1 1 3 0 0 −5 1 0 −5 1 0 0 0 − 13
Jadi | A | = -3 ( 1 ) ( 1 ) ( -5 ) ( -13 ) = -195 Penjelasan : | A | = | B | ( sifat 1 ) | B | = -3 | C | ( sifat 3 ) | C | = | D | ( sifat 1 ) | D | = | E | ( sifat 2 ) Dari bentuk perhitungan pada contoh di atas didapatkan suatu kesimpulan bahwa determinan suatu matriks sama dengan nol bila : a. Mempunyai elemen nol pada seluruh baris atau kolom b. Mempunyai paling tidak dua baris yang sebanding. Sifat determinan berikut berhubungan pembahasan kita yang terdahulu yaitu matriks invertibel. Determinan suatu matriks tidak sama dengan nol bila dan hanya bila matriks tersebut merupakan matriks invertibel. Dalam menentukan solusi SPL dengan memandang matriks koefisiennya selain dilakukan dengan cara menentukan inversnya terlebih dahulu dapat juga digunakan metode Crammer berikut. Misal SPL dengan n peubah dan n persamaan, A X = B dengan A invertibel ( | A | ≠ 0 ). Maka solusi tunggal SPL : x1 =
A1
, x2 =
A2
;...; xn =
An
A A A dengan Aj ; j = 1,2,…,n merupakan matriks yang didapatkan dari matriks A dengan mengganti kolom ke-j dengan kolom dari matriks B.
Contoh Tentukan solusi nilai z yang memenuhi SPL berikut : Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
4x + y + z + w = 6 3x + 7y - z + w = 1 7x + 3y - 5z + 8w = -3 x+y+z+2w=3 Jawab : Matriks koefisien SPL dapat dipilih bentuk : 1 4 A= 3 7
2 1 1 1 1 0 − 3 − 3 → 1 0 4 −4 8 0 − 4 − 12
1 1 1 1 7 −1 3 −5
2 1 1 1 2 − 7 0 − 3 − 3 7 → − 5 0 4 − 4 −5 − 6 0 0 − 16 − 11
−3 −3 7 −4 −5 −3 7 A = 4 − 4 − 5 = −3 −4 = − 472 − 16 − 11 − 16 − 11 0 − 16 − 11 1 4 A3 = 3 7
1 3 1 6 7 1 3 −3
2 3 1 1 1 0 − 3 − 6 → 1 0 4 −8 8 0 − 4 − 24
−3 − 6 − 7 −8 A3 = 4 − 8 − 5 = −3 − 32 0 − 32 − 11 848 Jadi nilai z = . 472
2 3 2 1 1 − 7 0 − 3 − 6 − 7 → − 5 0 4 − 8 − 5 − 6 0 0 − 32 − 11
−5 −6 −7 −4 = −848 − 11 − 32 − 11
Soal latihan ( Nomor 1 sd 3 ) Tentukan determinan dari matriks berikut. 3 3 1 1. A = 1 0 − 4 1 − 3 5 5 3 3 0 2 2 0 − 2 2. B = 4 1 −3 0 2 2 10 3 4 3 3. C = 1 9 2
0 3 2 4 2
0 1 3 −1 4 2 6 2 4 2
0 0 3 3 3 Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
( Nomor 4 sd 6 ) Carilah solusi SPL berikut bila mungkin gunakan metode Cramer. 4.
x- 3 y+z=4 2 x - y = -2 4x - 3z=0
5.
-x - 4 y + 2 z + w = -32 2 x - y + 7 z + 9 w = 14 -x + y + 3 z + w = 11 x - 2 y + z - 4 w = -4
6.
3x - y+z=4 -x + 7 y - 2 z = 1 2x+6y- z=5
( Nomor
-1
7 sd 10 ) Tentukan A
dengan
dengan menggunakan rumus : A−1 =
( )
adj ( A) A
adj ( A) = C t (transpose dari C) ; C = Cij ; i , j = 1,2 ,..., n. dan Cij kofaktor dari aij
2 5 5 7. A = − 1 − 1 0 2 4 3 2 0 3 8. A = 0 3 2 − 2 0 − 4 2 9. A = 8 − 5 1 2 10. A = 1 1
0 0 1 0 3 6 3 1 5 2 3 8 3 2
1 2 9 2
Danang Mursita Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
