MASALAH PEMODELAN JARINGAN LOGISTIK BANYAK PRODUK
MUHAMAD YANDRIE AZIS
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
ABSTRACT MUHAMAD YANDRIE AZIS. Logistics Network Problem For Many Products. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI. The logistics network problem especially in the distribution part has attracted intensive attention of the researches and practitioners. Planning logistics network is needed to comprehend the market circumstance and customer demand, so that one can maximize profit and win the competition in the economic globalitation. Planning this logistics network problem can be modeled as a problem of MIP (mixed integer programming). MIP is the optimization problems with linear objective function and constraints as well as some certain integer variables. This paper presents how to optimize the logistics network for many products using MIP to satisfy its objective function and constraints. Model was build based on the request of some products which had to be delivered from some factories to some groceries, and then from a grocery, the products would be delivered to some retailers. There was an example given in this paper about how to solve the problem by using software lingo 8.0.
ABSTRAK MUHAMAD YANDRIE AZIS. Masalah Pemodelan Jaringan Logistik Banyak Produk. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan SISWANDI. Masalah jaringan logistik di bagian distribusi telah menarik perhatian peneliti dan praktisi. Perencanaan jaringan logistik diperlukan untuk memahami keadan pasar dan permintaan konsumen, sehingga dapat digunakan untuk merencanakan proses produksi dan mengorganisir penyimpanan, sehingga dapat memaksimalkan laba dan memenangkan kompetisi dalam globalisasi ekonomi. Permasalahan perencanaan jaringan logistik ini dapat dimodelkan sebagai masalah MIP (mixed integer programming). MIP adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel-variabel tertentu yang bernilai integer. Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan jaringan logistik banyak produk menggunakan model MIP sedemikian sehingga memenuhi fungsi objektif dan kendalanya. Model dibangun berdasarkan adanya permintaan beberapa produk yang harus dikirimkan dari beberapa pabrik ke beberapa grosir, kemudian dari grosir, produk tersebut dikirimkan ke beberapa pengecer. Selanjutnya diberikan contoh kasus yang diselesaikan menggunakan software Lingo 8.0.
MASALAH PEMODELAN JARINGAN LOGISTIK BANYAK PRODUK
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
MUHAMAD YANDRIE AZIS G54103015
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008
Judul Nama NRP
: : :
Masalah Pemodelan Jaringan Logistik Banyak Produk Muhamad Yandrie Azis G54103015
Menyetujui :
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP 131878952
Drs. Siswandi, M.Si. NIP 131957320
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. Hasim, DEA NIP 131578806
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Assalamualaikum, Wr. Wb., Alhamdulillahi Rabbil Alamin, Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat serta nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman. Berbagai permasalahan muncul selama penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bpk. Drs. Prapto Tri Supriyo , M.Kom selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu dan pikirannya membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai, Bpk. Drs. Siswandi, M.Si. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah bapak berikan, Bpk. Ir. N. Kutha Ardhana, M.Sc selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah Bapak berikan. 2. Bapak (H. Muhammad Sugiono) dan Mamah (Hj. Miskiah) yang telah memberikan kasih sayang yang tak terkira, perhatian, bantuan dan dorongan serta doa yang tak henti sehingga penulis bisa menjalankan tugas sebagai mahasiswa sampai pada tahap akhir ini. 3. Kakakku, A Arifin beserta istrinya Teh Eva juga keponakanku Zahra dan Adik-adikku, Hanif juga Latifah yang selalu memberikan semangat dan doanya. 4. Dosen-dosen di departemen matematika, terima kasih atas ilmu yang telah Bapak dan Ibu berikan, serta staff departemen matematika : Mas Deny, Mas Yono, Mas Bono, Bu Ade, Bu Susi, Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika. 5. Teman-teman Matematika 40 : Elis, Nchie, Uve, Sri, Marlin, Yuda, Uli, Walidah, Dwi, Sawa, Mufti, Komeng, Demi, Amie, Mika, Gatha, Indah, Ifni, Iwit, Mita, Icha, Vina, Meta, Achie, Herni, Nisa, Prima (Teman seperjuangan selama menulis skripsi), Aam, Lili, Manto, Mukafi, Ari, Abdilah, Jayadin, Rusli (Terima kasih sudah membantu pemograman), Berri, Rama (Terima kasih telah membantu konsumsi seminar dan sebagai pembahas), Anton, Dimas, Ali, Rahmat, Febrian, Yusuf, Putra. Kalian semua mewarnai kisah bahagia, sedih, susah, senang bersama selama 4 tahun di Departemen Matematika. 6. Adik-adik kelasku Matematika angkatan 41: Niken dan Diah yang telah bersedia menjadi pembahas. 7. Seorang wanita yang telah memberikan warna dalam hidup saya. Terima kasih atas perhatian, semangat dan doanya. 8. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kririk dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis adalah semoga penulisan karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya. Wassalamualaikum Wr. Wb.
Bogor, Januari 2008
Muhamad Yandrie Azis
RIWAYAT HIDUP Muhamad Yandrie Azis dilahirkan di Garut pada tanggal 8 November 1984. Penulis merupakan anak kedua dari pasangan H. Muhammad Sugiono dan Hj. Miskiyah yang bertempat tinggal di Perum Cijati Asri tahap 2 Blok B-12 RT 02/16 Desa Jayawaras Kecamatan Tarogong Kidul Garut 44151. Pada tahun 1991 penulis mulai bersekolah di SDN kartika III-2. Dan tahun 1997 penulis melanjutkan sekolah ke SLTPN 1 Garut. Pada tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 1 Garut dan berhasil menjadi mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Selama mengikuti kegiatan perkuliahan penulis Pernah aktif dalam keanggotaan himpunan profesi matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA dan menjabat sebagai anggota Departemen Sosial Masyarakat pada periode 2004/2005. Penulis juga aktif dalam olahraga Fitness dari tahun 2005 sampai sekarang.
DAFTAR ISI Halaman Daftar Tabel …………………………………………………………………………………… viii Daftar Gambar ………………………………………………………………………………… viii Daftar Lampiran ……………………………………………………………………………… viii I
II
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ……………………………………………………………………… 1.2 Tujuan ………………………………………………………………………………
1 1
LANDASAN TEORI 2.1 Linear Programming ……………………………………………………………… 2.1.1 Solusi suatu Linear Programming …………………………………………. 2.2 Integer Linear Programming ………………………………………………………. 2.3 Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming ……………………………………………………………….
3
III PEMODELAN……………………………………………………………………………
4
IV STUDI KASUS MASALAH PEMODELAN JARINGAN LOGISTIK ……..…………
6
V
1 1 2
SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan……………………………………………………………………………
11
5.2 Saran ………………………………………………………………………………..
11
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………………..
12
LAMPIRAN ………………………………………………………………………………….
13
viii
DAFTAR TABEL
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Kapasitas produksi produk i pada pabrik j (dalam satuan)........................................... Kapasitas penyimpanan produk i pada grosir m (dalam satuan)................................... Permintaan untuk produk i pada pengecer n (dalam satuan)....................................... Biaya pengiriman unit produk untuk produk i dari pabrik j ke grosir m (dalam $)..... Biaya pemyimpanan tetap untuk produk i ke grosir m (dalam $)................................ Biaya pemyimpanan yang tak tetap untuk unit produk i pada grosir m (dalam $)...... Tingkat pemyimpanan rata-rata untuk produk i pada grosir m (dalam $).................. Biaya pengiriman unit produk untuk produk i dari grosir m ke pengecer n (dalam $). Banyaknya produk i yang dikirimkan dari pabrik j ke grosir m.................................. Banyaknya produk i yang dikirimkan dari grosir m ke pengecer n............................
Halaman 6 6 6 7 7 7 7 7 9 10
DAFTAR GAMBAR
1 2 3 4 5 6
Daerah Fisibel IP ……………………………………………………………………… Daerah Fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 ................................................ Metode Branch and Bound untuk menentukan solusi IP .............................................. Daerah Fisibel IP ……………………………………………………………………… Daerah Fisibel untuk Subproblem 4 dan Subproblem 5 ................................................ Daerah Fisibel untuk Subproblem 6 dan Subproblem 7 ................................................
Halaman 3 4 4 14 14 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 2
Contoh penyelesaian suatu LP dengan metode Branch and Bound………………… Program untuk menyelesaikan masalah MIP (mixed integer programming) dengan menggunakan Lingo 8.0.................................................................................
Halaman 14 16
1
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam sepuluh tahun terakhir, masalah jaringan logistik di bagian distribusi telah menarik perhatian peneliti dan praktisi. Perencanaan jaringan logistik diperlukan untuk meneliti keadaan pasar dan memahami pemintaan konsumen, sehingga dapat memulai merencanakan proses produksi dan mengorganisir penyimpanan dengan sungguhsungguh. Hal ini dilakukan supaya dapat memaksimalkan laba dan memenangkan kompetisi dalam globalisasi ekonomi. Ada beberapa jenis model perencanaan jaringan logistik yang dikembangkan oleh para peneliti, seperti distribusi produksi jaringan logistik produk tunggal dengan menggunakan metode pemograman matematika untuk menemukan penempatan fasilitas dengan meminimumkan biaya atau memaksimalkan laba (Chohen dan Lee, 1985; Geotschalkx et al, 1995). Sedangkan Model stokhastik dengan mengambil permintaan konsumen sebagai variabel acak dan menggunakan bilangan bulat stokhastik untuk
memprogram perencanaan distribusi produksi jaringan logistik (logistics network), (Escudero dan Galindo, 1999; MirHassani et al., 2000). Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan jaringan logistik banyak produk menggunakan model MIP (mixed integer programming) sedemikian sehingga memenuhi fungsi objektif dan kendalanya. Proses perencanaan jaringan logistik tersebut dilakukan dengan cara mengirimkan produk yang dihasilkan oleh pabrik ke grosir, kemudian dari grosir produk tersebut akan dikirimkan ke masing-masing pengecer yang berbeda. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan ini adalah membahas model jaringan logistik banyak produk dengan menggunakan MIP (mixed integer programming) guna memenuhi permintaan konsumen dan sekaligus meminimumkan total biaya pengiriman.
II. LANDASAN TEORI Untuk membuat model perencanaan jaringan logistik, diperlukan beberapa pemahaman teori seperti linear programming (LP), integer linear programming (ILP), dan metode branch and bound. Berikut ini akan dibahas satu persatu. 2.1 Linear Programming LP merupakan tindakan untuk memperoleh hasil yang optimal dari tujuan yang diinginkan terhadap kendala yang ada. Model LP meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. Pada tulisan ini, suatu LP mempunyai bentuk standar seperti berikut : Minimumkan fungsi objektif z = cTx Terhadap kendala Ax = b x≥0 dengan b ≥ 0 ....(1) dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m x n yang disebut juga matriks kendala. [Nash & Sofer, 1996]
2.1.1 Solusi suatu Linear Programming Untuk menyelesaikan suatu masalah LP, metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini dikembangkan oleh Dantzig pada tahun 1947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar. Pada LP (1), vektor x yang memenuhi kendala Ax = b disebut solusi dari LP (1). Definisi 1 (Solusi Fisibel) Suatu solusi dikatakan fisibel jika memenuhi semua kendala pada LP. [Nash & Sofer, 1996] Definisi 2 (Daerah Fisibel/Himpunan Fisibel) Daerah fisibel atau himpunan fisibel adalah himpunan dari semua solusi fisibel. [Nash & Sofer, 1996]
2
Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1). Berikut definisi matriks Basis : Definisi 3 (Matriks Basis) Matriks B disebut matriks basis untuk LP (1) jika B adalah matriks tak singular, yaitu matriks yang determinannya tidak sama dengan nol. [Garfinkel & Nemhauser, 1972] Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai ⎛x ⎞ vektor x = ⎜ B ⎟ dengan xB adalah vektor ⎝ xN ⎠ variabel basis dan xN adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax=b dapat dinyatakan sebagai ⎛x ⎞ Ax = ( B N ) ⎜ B ⎟ ⎝ xN ⎠ = BxB + NxN = b
…(2) Karena B adalah matriks tak singular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat dinyatakan sebagai xb = B −1b − B −1 Nx N …(3) Definisi 4 (Solusi Basis) Vektor x disebut solusi basis jika : i. x memenuhi kendala persamaan (Ax=b) dari LP. ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang berpadanan dengan komponen tak nol dari x adalah bebas linear. [Nash & Sofer, 1996] Definisi 5 (Solusi Fisibel Basis) Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x merupakan solusi basis dan x ≥ 0 . [Nash & Sofer, 1996]
Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis dapat dilihat dalam contoh berikut : Contoh 1 Misalkan diberikan LP berikut: Minimumkan z = −2 x − 3 x 1 2 terhadap : −2 x + x + x = 4 1 2 3
− x + 2 x + x = 11 1 2 4 x + x5 = 5 1 x , x , x , x , x5 ≥ 0 1 2 3 4 …(4) Dari LP tersebut didapatkan : ⎛ −2 1 1 0 0 ⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 0 1 0 ⎟ , b = ⎜⎜11⎟⎟ ⎜ 1 0 0 0 1⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Misalkan dipilih
(
)
T T dan x N = ( x1 x2 ) xB = x3 x4 x5 maka matriks basisnya adalah ⎛1 0 0⎞ B = ⎜⎜ 0 1 0 ⎟⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh T x N = ( 0 0) , T xB = B −1b = ( 4 11 5) …(5) Solusi (5) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
2.2 Integer Linear Programming (ILP) Model ILP atau disingkat Integer Programming (IP), adalah suatu model LP yang menggunakan bilangan bulat (integer) sebagai variabel keputusanya. Jika model mengharapkan semua variabel bernilai integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika model hanya mengharapkan variabel-variabel tertentu bernilai integer, maka masalah tersebut dinamakan mixed integer programming. Jika model hanya mengharapkan nilai 0 dan 1 untuk variabelnya, maka masalah tersebut dinamakan zero one integer programming. [Garfinkel & Nemhauser, 1972] Definisi 5(Linear Programming Relaksasi) LP-Relaksasi dari suatu IP merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 01 pada variabelnya. [Winston, 1995]
3
2.3 Metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah Integer Programming Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimal dari masalah IP digunakan software Lingo 8.0 yaitu sebuah program yang didesain untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer menjadi lebih cepat, mudah, dan lebih efisien. Software Lingo 8.0 ini menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah ILP. Prinsip dasar metode branch and bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan membuat subproblemsubproblem. Ö
Branch Membuat partisi daerah solusi ke dalam subproblem. Tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan dari subproblem-subproblem yang lengkap menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dari masalah asli. Karena sifat alami partisi itu, maka proses tersebut dinamakan branching. Ö
Bound Misalkan masalahnya diasumsikan merupakan tipe maksimisasi, nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimum. Operasi ini yang menjadi alasan dinamakan bounding. [Taha, 1975]
Aspek kunci dari metode branch and bound adalah sebagai berikut: Langkah 1 : Periksa apakah IP memenuhi kondisi berikut : 1) Subproblem tidak fisibel. 2) Subproblem menghasilkan solusi optimal dengan semua variabel bernilai integer. 3) Nilai optimal untuk subproblem lebih kecil dari (dalam masalah
memaksimumkan) batas bawah (lower bound/LB). Jika ketiga kondisi tersebut tidak terpenuhi maka cabang subproblem tidak diperlukan. Langkah 2 : Sebuah subproblem mungkin dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan kondisi sebagai berikut : 1) Subproblem tidak fisibel. 2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai optimal dari kandidat terbaik) setidaknya lebih besar dari nilai optimal subproblem. [Winston, 1995] Contoh 2 Misalkan diberikan IP berikut: Maksimumkan z = 7 x + 5 x 1 2 Terhadap : x + 2 x ≤ 13 1 2 9 x + 5 x ≤ 41 1 2 x , x ≥ 0 dan integer 1 2 Daerah fisibel untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut : x2
Solusi Optimal Subproblem 1
8
x1= 1,31 x2= 5,85
6 4 2
x1 2
4
6
8
10
12
14
Gambar 1. Daerah Fisibel IP Metode branch and bound dimulai dengan menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem 1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah di atas adalah x1 = 1,31, x2 = 5,85, dan z = 38,42. Solusi tersebut tidak memenuhi kendala integer. Oleh karena itu, harus dibuat subproblem yang baru dengan memilih variabel yang tidak memenuhi kendala integer. Dengan memilih x2 = 5,85 secara sembarang, diketahui bahwa daerah (5<x2<6) dari daerah fisibel subproblem 1 tidak akan memuat solusi IP yang fisibel karena tidak memenuhi kendala integer. Subproblem yang baru adalah sebagai berikut : Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala ( x2 ≥ 6 ) Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala ( x2 ≤ 5)
Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:
4
x2 8 6 4 2
2
4
6
8
10
Gambar 2. Daerah Fisibel Subproblem 2 dan Subproblem 3
12
14
untuk
Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak dapat diselesaikan secara bersamaan, sehingga harus diselesaikan dengan dua masalah linear programming yang berbeda. Pada subproblem 2 diperoleh solusi x1 = 1, x2 = 6, dan z = 37. Karena semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala integer), maka tidak perlu membuat subproblem baru. Pada subproblem 3 diperoleh solusi x1 = 1,7778, x2 = x1 5, dan z = 37,4446 Karena variabelnya tidak memenuhi kendala integer, maka harus dibuat subproblem baru. Subproblem untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut:
Subproblem 1 x1 = 1,31, x2 = 5,85 dan z = 38,42 x2 ≥ 6
x2 ≤ 5
∗ Subproblem 2
Subproblem 3
x1 = 1, x2 = 6 dan z = 37
x1 = 1,7778, x2 = 5 dan z = 37,4446 x1 ≤ 1
x1 ≥ 2
∗ Subproblem 5
Subproblem 4 Solusi tak fisibel
x1 = 2, x2 = 4,6 dan z = 37
Gambar 3. Metode branch and bound untuk menentukan solusi IP Pada Gambar 3, subproblem 2 dan subproblem 5 merupakan kandidat terbaik karena semua variabelnya bernilai integer. Subproblem 2 dan subproblem 5 merupakan
solusi optimal untuk masalah IP di atas karena mempunyai nilai z sama besar. Solusi lengkapnya dapat dilihat pada lampiran 1.
III PEMODELAN Langkah awal membangun model perencanaan jaringan logistik adalah mendeskripsikan masalah tersebut secara jelas dan lengkap. Selanjutnya masalah tersebut diformulasikan dalam bentuk MIP (mixed integer programming) yang siap diselesaikan dengan metode yang sesuai. Model perencanaan jaringan logistik dapat dilihat dalam gambar 4. Model ini menunjukan alur pengiriman produk dari
pabrik sampai ke pengecer N. Produk I yang dihasilkan dari produksi pabrik J akan dikirimkan ke pengecer N lewat grosir M. Beberapa hal yang akan diselesaikan guna memenuhi permintaan konsumen dan sekaligus meminimumkan total biaya pengiriman produk adalah menentukan berapa banyak produk yang akan dikirimkan melewati masing-masing rute pengiriman produk dan melalui grosir mana saja.
5
J1
M1
N1
J2
M2
N2
Permintaan konsumen ( Produk P1 , P2 ,..., Pl ) JJ
MM
Pabrik
Grosir
NN
Pengecer
Gambar 4. Gambar perencanaan jaringan logistik Fungsi objektif model MIP (mixed integer programming) bertujuan untuk memperkecil total biaya yang meliputi komponen berikut :
Pij
1. Biaya pengiriman poduk dari pabrik ke grosir 2. Biaya penyimpanan tak tetap yang disepakati oleh grosir 3. Biaya pengiriman produk dari grosir ke pengecer
Din
C1ijm
Sedangkan kendala tambahan yaitu:
Cim
1. Jumlah produk yang dikirim dari pabrik ke grosir tidak boleh melebihi kapasitas produksi pada pabrik tersebut. 2. Jumlah produk yang dikirimkan dari grosir ke pengecer tidak boleh melebihi kapasitas penyimpanan produk pada grosir. 3. Jumlah produk yang dikirimkan grosir harus lebih kecil dari jumlah produk yang diterima grosir.
= Kapasitas produksi untuk produk i
K im
Fim
I im
pada pabrik j = Kapasitas penyimpanan untuk produk i pada grosir m = Permintaan untuk produk i pada pengecer n = Biaya pengiriman unit produk untuk produk i dari pabrik j ke grosir m = Biaya penyimpanan tetap untuk produk i pada grosir m = Biaya penyimpanan yang tak tetap untuk unit produk i pada grosir m = Tingkat penyimpanan rata-rata untuk produk i pada grosir m
C 2imn =
Biaya pengiriman unit produk
untuk produk i dari grosir m ke pengecer n. Variabel keputusan:
x1ijm = Banyaknya produk i yang dikirimkan dari pabrik j ke grosir m
Misalkan: Indeks: i = = j m = n =
x Indeks produk Indeks pabrik Indeks grosir Indeks pengecer
Parameter: I = Banyaknya produk J = Banyaknya pabrik M = Banyaknya grosir N = Banyaknya pengecer
2 imn
= Banyaknya produk i yang dikirimkan dari grosir m ke pengecer n
yim
⎧ 1, Jika produk i dikirimkan ⎪ = ⎨ melalui grosir m ⎪0, selainnya ⎩
Model di atas dapat berikut:
diformulasikan sebagai
M J I M I N M I Minimum ∑ ∑ ∑ C1ijm x1ijm + ∑ ∑ yim ( Fim + Cim Iim ) + ∑ ∑ ∑ C 2imn x 2imn m =1 j =1 i =1 m=1 i =1 n=1 m=1 i =1
6
dengan kendala sebagai berikut: 1. Jumlah produk yang dikirimkan dari pabrik tidak boleh melebihi kapasitas poduksi pada pabrik tersebut. M Pij ≥ ∑ x1ijm , ∀i, j m=1 2. Jumlah produk yang dikirimkan keluar dari grosir tidak boleh melebihi kapasitas penyimpanannya. N Kim ≥ ∑ x 2imn , ∀i, m n=1 3. Karena grosir tidak memproduksi produk, maka jumlah produk yang dikirimkan keluar dari grosir tidak boleh melebihi jumlah produk yang dikirimkan ke grosir tersebut. J 1 N 2 ∑ x ijm ≥ ∑ x imn , ∀i, m j =1 n=1
4. Memastikan bahwa semua permintaan konsumen pada pengecer sudah dipenuhi. M Din = ∑ x 2imn , ∀i, n m=1 5. Memastikan semua variabel keputusan 2
x imn adalah tak negatif. x 2imn ≥ 0 ∀i, m, n 6. Memastikan
semua
variabel
keputusan
1
x ijm adalah tak negatif. x1ijm ≥ 0
∀i, j , m
7. Memastikan variabel keputusan yim adalah biner. yim ∈ {0,1} ∀i, m
IV. STUDI KASUS MASALAH PEMODELAN JARINGAN LOGISTIK Suatu pabrik menghasilkan dua macam produk. Produk tersebut akan dikirimkan ke tiga grosir yang berbeda, kemudian dari grosir produk tersebut akan dikirimkan ke delapan pengecer yang berbeda. Asumsi yang digunakan dalam memodelkan jaringan logistik ini terdiri dari: satu pabrik ( J1 ) , dua produk ( I1 , I 2 ) , tiga
grosir
( M1 , M 2 , M 3 )
dan delapan pengecer
( N1, N 2 , N3 , N 4 , N5 , N6 , N7 , N8 ) . Data hipotetik yang dibangkitkan secara acak untuk memodelkan jaringan logistik dengan model MIP (mixed integer programming) diberikan sebagai berikut :
Tabel 1. Kapasitas produksi produk i pada pabrik j (dalam satuan) Pabrik J1 Produk
I1
705
I2
811
Tabel 2. Kapasitas penyimpanan produk i pada grosir m (dalam satuan) Grosir M1 M2 M3 Produk
I1
246
389
422
I2
253
494
312
Tabel 3. Permintaan untuk produk i pada pengecer n (dalam satuan) Pengecer N1 N2 N3 N4 N5 N6 Produk
N7
N8
I1
72
25
44
89
40
12
52
65
I2
52
10
100
79
32
93
60
32
7
Tabel 4. Biaya pengiriman unit produk untuk produk i dari pabrik j ke grosir m (dalam $) Grosir
M1
M2
M3
I1 , J1
31
18
44
I 2 , J1
74
38
98
Produk, Pabrik
Tabel 5. Biaya penyimpanan tetap untuk produk i pada grosir m (dalam $) Grosir M1 M2 M3 Produk
I1
86
61
75
I2
66
21
50
Tabel 6. Biaya penyimpanan yang tak tetap untuk unit produk i pada grosir m (dalam $) Grosir M1 M2 M3 Produk
I1
24
31
91
I2
96
25
97
Tabel 7. Tingkat penyimpanan rata-rata untuk produk i pada grosir m (dalam $) Grosir M1 M2 M3 Produk
I1
155
235
330
I2
170
396
290
Tabel 8. Biaya pengiriman unit produk untuk produk i dari grosir m ke pengecer n (dalam $) Pengecer N1 N N N N N N Produk, Grosir 5
6
7
N8
79
63
36
99
34
58
51
I1 , M 2
23
43
82
64
39
52
94
61
I1 , M 3
91
92
77
72
11
69
98
100
I 2 , M1
89
44
19
53
70
67
85
57
I2 , M 2
63
18
87
21
71
78
88
37
I2 , M 3
49
60
40
71
25
55
10
27
dari pabrik j ke grosir m imn
4
50
x1ijm = Banyaknya produk i yang dikirimkan
x
3
I1 , M 1
Untuk memformulasikan MIP (mixed integer programming) didefinisikan peubah:
2
2
=Banyaknya produk i yang dikirimkan dari grosir m ke pengecer n
yim
⎧1, Jika produk i dikirimkan ⎪ = ⎨ melalui grosir m ⎪0, selainnya ⎩
Untuk : i =1,2 j =1 m =1,2,3 n =1,2,3,4,5,6,7,8
8
Sehingga masalahnya diformulasikan sebagai berikut :
dapat
M J I M I N M I Minimum ∑ ∑ ∑ C1ijm x1ijm + ∑ ∑ yim ( Fim + Cim Iim ) + ∑ ∑ ∑ C 2imn x 2imn m =1 j =1 i =1 m=1 i =1 n =1 m=1 i =1 Dengan kendala sebagai berikut: 1. Jumlah produk yang dikirimkan dari pabrik tidak boleh melebihi kapasitas poduksi pada pabrik tersebut. 3 Pij ≥ ∑ x1ijm , ∀i; j m=1
i = 1,2 m = 1,2,3 4.
P11 ≥ x1111 + x1112 + x1113 , ∀i; j
3 Din = ∑ x 2imn , ∀i, n m=1 D11 = x 2111 + x 2121 + x 2131
P21 ≥ x1211 + x1212 + x1213 , ∀i; j i = 1,2 j =1
2.
D12 = x 2112 + x 2122 + x 2132 ..
Jumlah produk yang dikirimkan dari grosir tidak boleh melebihi kapasitas penyimpanannya. 8 Kim ≥ ∑ x 2imn , ∀i, m n =1
D18 = x 2118 + x 2128 + x 2138
D21 = x 2211 + x 2 221 + x 2231 D22 = x 2212 + x 2222 + x 2232 ..
K11 ≥ x 2111 + x 2112 + ...... + x 2118 ∀i, m K12 ≥ x 2121 + x 2122 + ...... + x 2128 ∀i, m
D28 = x 2 218 + x 2228 + x 2 238 i = 1,2 n = 1,2,3,4,5,6,7,8
K13 ≥ x 2131 + x 2132 + ...... + x 2138 ∀i, m K 21 ≥ x 2 211 + x 2212 + ...... + x 2218 ∀i, m K 22 ≥ x 2221 + x 2 222 + ...... + x 2228 ∀i, m K 23 ≥ x 2231 + x 2 232 + ...... + x 2238 ∀i, m
5.
Karena grosir tidak memproduksi produk, maka jumlah produk yang dikirimkan keluar dari grosir tidak boleh melebihi jumlah produk yang dikirimkan ke grosir tersebut 1 8 2 1 ∑ x ijm ≥ ∑ x imn , ∀i, m j =1 n =1
x 2imn ≥ 0
x1211 ≥ x 2211 + x 2212 + ...... + x 2218 ∀i, m x1212 ≥ x 2 221 + x 2222 + ...... + x 2 228 ∀i, m x1213 ≥ x 2 231 + x 2232 + ...... + x 2 238 ∀i, m
∀i, m, n
i = 1,2 m = 1,2,3 n = 1,2,3,4,5,6,7, 6.
Memastikan semua variabel keputusan
x1ijm adalah tak negatif x1ijm ≥ 0
∀i, j , m
i = 1,2 j =1 m = 1,2,3
x1111 ≥ x 2111 + x 2112 + ...... + x 2118 ∀i, m x1112 ≥ x 2121 + x 2122 + ...... + x 2128 ∀i, m x1113 ≥ x 2131 + x 2132 + ...... + x 2138 ∀i, m
Memastikan semua variabel keputusan
x 2imn adalah tak negatif
i = 1,2 m = 1,2,3 3.
Memastikan bahwa semua permintaan konsumen pada pengecer sudah dipenuhi.
7.
Memastikan variabel keputusan adalah biner yim ∈ {0,1} ∀i, m
i = 1,2 m = 1,2,3
yim
9
Jika masalah di atas diuraikan secara manual sebagai berikut : Minimum C11,1,1 x11,1,1 + y1,1 ( F1,1+C1,1I1,1) + C21,1,1 x 21,1,1 + ........... 1 2 2 1,1,1 x 1,1,1 + y1,1 ( F1,1+C1,1I1,1) + C 1,1,1 x 1,1,8
1
+C
+C11,1,2 x11,1,2 + y1,2 ( F1,2 +C1,2 I1,2 ) + C21,2,1 x 21,2,1 + ........ 1 2 2 1,1,2 x 1,1,2 + y1,2 ( F1,2 +C1,2 I1,2 ) + C 1,2,1 x 1,2,8
1
+C
+C11,1,3 x11,1,3 + y1,3 ( F1,3 +C1,3I1,3 ) + C 21,3,1 x 21,3,1 + ......... 1 2 2 1,1,3 x 1,1,3 + y1,3 ( F1,3 +C1,3I1,3 ) + C 1,3,1 x 1,3,8
1
+C
+C12,1,1 x12,1,1 + y2,1 ( F2,1+C2,1I2,1) + C22,1,1 x 22,1,1 + ........... 1 2 2 2,1,1 x 2,1,1 + y2,1 ( F2,1+C2,1I2,1) + C 2,1,1 x 2,1,8
1
+C
+C12,1,2 x12,1,2 + y2,2 ( F2,2 +C2,2 I2,2 ) + C 22,2,1 x 22,2,1 + .......... 1 2 2 2,1,2 x 2,1,2 + y2,2 ( F2,2 +C2,2 I 2,2 ) + C 2,2,1 x 2,2,8
1
+C
+C12,1,3 x12,1,3 + y2,3 ( F2,3 +C2,3I2,3 ) + C 22,3,1 x 2 2,3,1 + ........... 1 2 2 2,1,3 x 2,1,3 + y2,3 ( F2,3 +C2,3I2,3 ) + C 2,3,1 x 2,3,8
1
+C
Dengan kendala: Misalkan diuraikan kendala 6 x1111 ≥ 0 ∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3 x1112 x1113
≥0
∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3
≥0
∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3
Pada uraian tersebut, terlihat bahwa banyak sekali persamaan maupun pertidaksamaan yang harus diselesaikan. Sangat melelahkan jika digunakan metode branch and bound secara manual. Masalah di atas selanjutnya diselesaikan menggunakan Lingo 8.0 (Lihat lampiran 2).
x1211 ≥ 0
∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3
≥0
∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3
≥0
∀i = 1, 2; j = 1; m = 1, 2, 3
x1212 x1213
Nilai fungsi objektif yang didapat adalah 70248, diperoleh pada iterasi ke 9. Hal ini memperlihatkan bahwa semua pengiriman produk dari pabrik sudah sampai di pengecer. Diuraikan sebagai berikut:
Tabel 9. Banyaknya produk i yang dikirimkan dari pabrik j ke grosir m Grosir
M1
M2
M3
I1 , J1
197
162
40
I 2 , J1
100
298
60
Produk, Pabrik
10
Tabel 10. Banyaknya produk i yang dikirimkan dari grosir m ke pengecer n Pengecer
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
I1 , M 1
-
-
44
89
-
12
52
-
I1 , M 2
72
25
-
-
-
-
-
65
I1 , M 3
-
-
-
-
40
-
-
-
I 2 , M1
-
-
100
-
-
-
-
-
I2 , M 2
52
10
-
79
32
93
-
32
I2 , M 3
-
-
-
-
-
-
60
-
Produk, Grosir
N1
N2
M1
N3 N4
J1
I1
M2 N5 M3
N6
N7 N8
Gambar 5. Jaringan pengiriman produk I1
11
N1
N2
N3
M1
N4
J1
I2
M2 N5 M3
N6
N7
N8
Gambar 6. Jaringan pengiriman produk I 2
pengiriman unit produk untuk produk i dari grosir m ke pengecer n. Pengiriman produk tersebut akan meminimimumkan total biaya pengiriman dengan memilih salah satu alur pengiriman produk ke pengecer melewati grosir.
Dari solusi optimal yang diperoleh dapat diketahui terdapat banyak kemungkinan pilihan bagi suatu produk dapat dikirimkan ke pengecer melewati grosir. Hal ini dipengaruhi oleh tingkat penyimpanan ratarata produk i pada grosir m dan biaya
V. SIMPULAN DAN SARAN 5.1
Simpulan Masalah perencanaan jaringan logistik sangat diperlukan perusahaan untuk mempelajari keadaan pasar, memahami permintaan konsumen, dan memaksimalkan laba yang didapat. Telah diperlihatkan bahwa masalah jaringan logistik dapat dipandang sebagai masalah MIP (mixed integer programming). Untuk mempermudah pembahasan telah dicantumkan contoh kasus yang berkaitan dengan permasalahan jaringan logistik. Adapun data yang digunakan berupa data hipotetik.
Penyelesaian masalah ini menggunakan software Lingo 8.0 dengan metode Branch and Bound, sehingga dapat memenuhi permintaan konsumen dan sekaligus meminimumkan total biaya pengiriman.
5.2
Saran Pada tulisan ini telah dibahas bagaimana memodelkan jaringan logistik dengan model MIP (mixed integer programming). Akan lebih baik lagi jika ada yang menindaklanjuti penelitian ini dengan mengambil data secara real.
12
DAFTAR PUSTAKA Garfinkel, R.S & G.L. Nemhauser. 1972. Integer Programming. John Willey & Sons, New York.
Nash, S.G. & A. Sofer. 1996. Linear and Nonlinear Programming McGraw-Hill, New York.
Ma, Hongze & Suo. Chenxia. 2006. A Model for Designing Multiple Products Logistics Networks. Itnernational Journal of Physical Distribution & Logsctics Management. ABI/INFORM Global pg. 127.
Taha, H.A. 1975. Integer Programming. Academic Press, New York. Winston, W.L. 1995. Introduction to Mathematical Programming 2nded. Duxbury, New York.
13
LAMPIRAN
14
Lampiran 1 Contoh penyelesaian suatu LP dengan metode branch and bound Dari LP pada Contoh 2 Misalkan diberikan integer programming berikut: Maksimumkan z = 7 x + 5 x …(1) 1 2 Terhadap : x + 2 x ≤ 13 …(2) 1 2 9 x + 5 x ≤ 41 …(3) 1 2 x , x ≥ 0 dan integer ...(4) 1 2 Penyelesaian : Daerah fisibel untuk masalah IP di atas diberikan pada gambar berikut : x2
Solusi Optimal Subproblem 1
8
x1= 1,31 x2= 5,85
6 4 2
x1 2
4
6
8
10
12
14
Gambar 1. Daerah Fisibel IP
LP tersebut anggap sebagai Subproblem 1. 1. Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 1 Dengan mengeliminasi persamaan (2) dan (3) didapat x1 = 1,31, x2 = 5,85. Substitusikan hasil tersebut ke dalam persamaan (1) didapat z = 38,42. Karena solusi yang didapat belum memenuhi kendala integer maka harus dibuat subproblem baru, yaitu: Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala ( x2 ≥ 6 ) Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala ( x2
≤5
)
Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan subproblem 3 diberikan pada gambar berikut : x2 8 6 4 2
x1
x1
2
4
6
8
10
12
14
Gambar 2. Daerah Fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 2.
Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 2 x =6 2 Substitusikan x2 = 6 ke persamaan x1 + 2 x2 = 13 …(5)
15
Sehingga didapatkan x1 = 1 . Substitusikan nilai x1 dan x2 yang didapat ke persamaan (1) sehingga diperoleh z = 37. 3.
Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 3 x2 = 5 Substitusikan x2 = 5 ke persamaan (3) Sehingga didapatkan x1 = 1, 7778 . Substitusikan nilai x1 dan x2 yang didapat ke persamaan (1) sehingga diperoleh z = 37,4446. Karena solusi yang didapat belum memenuhi kendala integer maka harus dibuat subproblem baru, yaitu:
( ) Subproblem 5 : Subproblem 3 + kendala ( x1 ≥ 2 ) Subproblem 4 : Subproblem 3 + kendala x1 ≤ 1
Daerah fisibel untuk subproblem 4 dan subproblem 5 diberikan pada gambar berikut : x2 8 6 4 2
x1 2
Subproblem 4
4
6
8
10
12
x1
14
Subproblem 5
Gambar 4. Daerah Fisibel untuk subproblem 4 dan subproblem 5 4.
Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 4 x1 = 1 Substitusikan x1 = 1 ke persamaan (5) Sehingga didapatkan x2 = 6 . Substitusikan nilai x1 dan x2 yang didapat ke persamaan (1) sehingga diperoleh z =37. Karena titik (1,31;5,85) tidak berada di daerah fisibel subproblem 4, maka subproblem 4 tidak memiliki solusi fisibel.
5.
Cari solusi LP-Relaksasi dari subproblem 5 x1 = 2 Substitusikan x1 = 2 ke persamaan 9 x + 5 x = 41 …(6) 1 2 Sehingga didapatkan x2 = 4, 6 . Substitusikan nilai x1 dan x2 yang didapat ke persamaan (1) sehingga diperoleh z = 37.
Dari subproblem-subproblem di atas terlihat bahwa subproblem 2 dan subproblem 5 yang memenuhi kendala integer. Karena nilai fungsi objektik dari kedua subproblem tersebut sama, maka solusi optimal dari LP tersebut terdapat pada titik x1 = 1 dan x2 = 6 serta x1 = 2 dan
x2 = 4, 6 dengan nilai fungsi objektif 37.
16
Lampiran 2 Program untuk menyelesaikan masalah MIP (mixed integer programming) dengan menggunakan Lingo 8.0. MODEL: SETS: PRODUKi/PROD1,PROD2/; PABRIKj/PAB1/; GROSIRm/GROS1,GROS2,GROS3/; PENGECERn/ECER1,ECER2,ECER3,ECER4,ECER5,ECER6,ECER7,ECER8/; PRODUKPABRIK(PRODUKi,PABRIKj):P; PRODUKPENGECER(PRODUKi,PENGECERn):D; PRODUKPABRIKGROSIR(PRODUKPABRIK,GROSIRm):C1,X1; PRODUKGROSIR(PRODUKi,GROSIRm):F,II,Y,C2,K; PRODUKGROSIRPENGECER(PRODUKGROSIR,PENGECERn):C3,X2; ENDSETS MIN = @SUM(PRODUKPABRIKGROSIR(I,J,M):C1(I,J,M)*X1(I,J,M))+ @SUM(PRODUKGROSIR(I,M):Y(I,M)*(F(I,M)+C2(I,M)*II(I,M)))+ @SUM(PRODUKGROSIRPENGECER(I,M,N):C3(I,M,N)*X2(I,M,N)); !KENDALA; @FOR(PRODUKPABRIK(I,J):P(I,J)>=@SUM(GROSIRm(M):X1(I,J,M))); @FOR(PRODUKGROSIR(I,M):K(I,M)>=@SUM(PENGECERn(N):X2(I,M,N))); @FOR(PRODUKGROSIR(I,M):@SUM(PABRIKj(J):X1(I,J,M))>=@SUM(PENGECERn( N):X2(I,M,N))); @FOR(PRODUKPENGECER(I,N):D(I,N)=@SUM(GROSIRm(M):X2(I,M,N))); @FOR(PRODUKGROSIRPENGECER(I,M,N):X2(I,M,N)>=0); @FOR(PRODUKPABRIKGROSIR(I,J,M):X1(I,J,M)>=0); @FOR(PRODUKGROSIR(I,M):@BIN(Y(I,M))); DATA: P = 705 811; D = 72 25 44 89 40 12 52 65 52 10 100 79 32 93 60 32; C1 = 31 18 44 74 38 98; F = 86 61 75 66 21 50; II = 155 235 330 170 396 290; C2 = 73 82 12 53 57 91; K = 246 389 422 253 494 312; C3 =50 79 63 36 99 34 58 51 23 43 82 64 39 52 94 61 91 92 77 72 11 69 98 100 89 44 19 53 70 67 85 57 63 18 87 21 71 78 88 37 49 60 40 71 25 55 10 27; ENDDATA
Global optimal solution found at iteration: Objective value:
Variable P( PROD1, PAB1) P( PROD2, PAB1) D( PROD1, ECER1) D( PROD1, ECER2) D( PROD1, ECER3) D( PROD1, ECER4) D( PROD1, ECER5)
Value 705.0000 811.0000 72.00000 25.00000 44.00000 89.00000 40.00000
9 70248.00
Reduced Cost 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
17
D( PROD1, D( PROD1, D( PROD1, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, D( PROD2, C1( PROD1, PAB1, C1( PROD1, PAB1, C1( PROD1, PAB1, C1( PROD2, PAB1, C1( PROD2, PAB1, C1( PROD2, PAB1, X1( PROD1, PAB1, X1( PROD1, PAB1, X1( PROD1, PAB1, X1( PROD2, PAB1, X1( PROD2, PAB1, X1( PROD2, PAB1, F( PROD1, F( PROD1, F( PROD1, F( PROD2, F( PROD2, F( PROD2, II( PROD1, II( PROD1, II( PROD1, II( PROD2, II( PROD2, II( PROD2, Y( PROD1, Y( PROD1, Y( PROD1, Y( PROD2, Y( PROD2, Y( PROD2, C2( PROD1, C2( PROD1, C2( PROD1, C2( PROD2, C2( PROD2, C2( PROD2, K( PROD1, K( PROD1, K( PROD1, K( PROD2, K( PROD2, K( PROD2, C3( PROD1, GROS1, C3( PROD1, GROS1, C3( PROD1, GROS1, C3( PROD1, GROS1, C3( PROD1, GROS1, C3( PROD1, GROS1,
ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) GROS1) GROS2) GROS3) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6)
12.00000 52.00000 65.00000 52.00000 10.00000 100.0000 79.00000 32.00000 93.00000 60.00000 32.00000 31.00000 18.00000 44.00000 74.00000 38.00000 98.00000 197.0000 162.0000 40.00000 100.0000 298.0000 60.00000 86.00000 61.00000 75.00000 66.00000 21.00000 50.00000 24.00000 31.00000 91.00000 96.00000 25.00000 97.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 73.00000 82.00000 12.00000 53.00000 57.00000 91.00000 246.0000 389.0000 422.0000 253.0000 494.0000 312.0000 50.00000 79.00000 63.00000 36.00000 99.00000 34.00000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1838.000 2603.000 1167.000 5154.000 1446.000 8877.000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
18
C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( C3( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2(
PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1,
GROS1, GROS1, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS3,
ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1)
58.00000 51.00000 23.00000 43.00000 82.00000 64.00000 39.00000 52.00000 94.00000 61.00000 91.00000 92.00000 77.00000 72.00000 11.00000 69.00000 98.00000 100.0000 89.00000 44.00000 19.00000 53.00000 70.00000 67.00000 85.00000 57.00000 63.00000 18.00000 87.00000 21.00000 71.00000 78.00000 88.00000 37.00000 49.00000 60.00000 40.00000 71.00000 25.00000 55.00000 10.00000 27.00000 0.000000 0.000000 44.00000 89.00000 0.000000 12.00000 52.00000 0.000000 72.00000 25.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 65.00000 0.000000
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 40.00000 49.00000 0.000000 0.000000 75.00000 0.000000 0.000000 3.000000 0.000000 0.000000 6.000000 15.00000 2.000000 5.000000 23.00000 0.000000 94.00000
19
X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2( X2(
PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD1, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2, PROD2,
GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS1, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS2, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3, GROS3,
ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) ECER1) ECER2) ECER3) ECER4) ECER5) ECER6) ECER7) ECER8) Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0.000000 0.000000 0.000000 40.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 100.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 52.00000 10.00000 0.000000 79.00000 32.00000 93.00000 0.000000 32.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 60.00000 0.000000 Slack or Surplus 70248.00 306.0000 353.0000 49.00000 227.0000 382.0000 153.0000 196.0000 252.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000
75.00000 27.00000 49.00000 0.000000 48.00000 53.00000 65.00000 62.00000 62.00000 0.000000 68.00000 35.00000 25.00000 51.00000 56.00000 0.000000 0.000000 32.00000 0.000000 0.000000 0.000000 18.00000 0.000000 46.00000 102.0000 45.00000 110.0000 14.00000 37.00000 0.000000 50.00000 Dual Price -1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 -31.00000 -18.00000 -44.00000 -74.00000 -38.00000 -98.00000 41.00000 61.00000 94.00000 67.00000 55.00000 65.00000 89.00000 79.00000 101.0000 56.00000 93.00000
20
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85
0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 44.00000 89.00000 0.000000 12.00000 52.00000 0.000000 72.00000 25.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 65.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 40.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 100.0000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 52.00000 10.00000 0.000000 79.00000 32.00000 93.00000 0.000000 32.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 60.00000 0.000000 197.0000 162.0000 40.00000 100.0000 298.0000 60.00000
59.00000 109.0000 116.0000 108.0000 75.00000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000