MAKALAH GEOMETRI TRANSFORMASI Tentang PENGGOLONGAN, LAMBANG DAN AKSIOMA GEOMETRI
Oleh : ARIF PURNAWAN
: 409.015
ARIF SWANDRI
: 406.253
MAULIDA FITHRIANI
: 409.060
SRI KURNIA YULI SARI : 409.064 ZULFIKAR NASUTION
: 409.090
Dosen Pembimbing : ANDI SUSANTO, S.Si, M.Sc
JURUSAN TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) IMAM BONJOL PADANG 1432 H/ 2011 M PENDAHULUAN Segala puji bagi Allah SWT yang mana berkat limpahan rahmat-Nya kami
dapat menyelesaikan makalah ini, shalawat dan salam kami sampaikan untuk pimpinan umat islam yakni Nabi besar Muhammad SAW. Yang telah membawa umat manusia ke alam yang penuh pengetahuan ini. Pada kesempatan ini kami telah membuat makalah tentang geometri, Diharapkan dapat membantu proses perkuliahan geometri transformasi. Geometri adalah ilmu mengenai bangun, bentuk dan ukuran benda-benda. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antaratitik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang. Di dalam makalah sederhana ini kami mencoba membahas tentang Penggolongan Geometri, Lambang Dan Aksioma Geometri.
PENGGOLONGAN, LAMBANG DAN AKSIOMA GEOMETRI
Geometri secara harfiah dapat diartikan sebagai “ilmu pengukuran bumi”. Kata “Geometri” berasal dari bahasa Yunani, “geo” yang berarti “bumi”, dan “metria” yang berarti “pengukuran”. Ini adalah cabang ilmu dari matematika untuk mempelajari hubungan di dalam suatu ruang, dimana orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya. Geometri adalah salah satu ilmu tertua, ilmu yang menyangkut geometri telah ada sejak zaman Mesir Kuno, Lembah Sungai Indus dan Babilonia, sekitar 3.000 SM. Peradaban zaman dulu telah memiliki pengetahuan tentang irigasi, drainase dan dapat mendirikan bangunan-bangunan raksasa yang tertinggal di masa kini. Diketahui, ilmu geometri telah berkembang lebih dari dua ribu tahun, karenanya persepsi tentang geometri telah mengalami evolusi sepanjang zaman. Prasasti kuno yang menyangkut geometri ditemukan di Mesir, India, hingga Cina. Pada awal abad ke-17, geometri memasuki tahap baru, yaitu geometri dengan koordinat dan persamaan oleh Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (16011665). Hal ini juga turut memberikan peranan dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17. Pengembangan geometri juga dilakukan oleh Girard Desargues (1591-1661). Salah satu buku yang paling berpengaruh dalam geometri, adalah buku “Elements” oleh Euclid. Euclid menulis sekitar delapan buku mengenai geometri. Pada abad ke-20, David Hilbert berusaha memperbaharui dengan memberikan dasar-dasar geometri yang lebih modern. Tahun 1979, buku setebal 1000 halaman tentang “Geometri Modern” juga dipopulerkan Dubrovin, Novikov dan Fomenko. Subjek geometri semakin diperkaya oleh studi struktur intrinsik benda geometris yang berasal dengan Euler dan Gauss, menyebabkan penciptaan topologi dan geometri diferensial, dimana topologi berkembang dari geometri.1 Travers dkk (1987:6) menyatakan bahwa: “Geometry is the study of the relationships among points,lines, angles, surfaces, and solids”. Geometri adalah ilmu yang membahas tentang hubungan antaratitik, garis, sudut, bidang dan bangun-bangun ruang.2 1http://id.shvoong.com/exact-sciences/architecture/2042383-mengenal-geometri/ 2 http://matematikayulianti2.wordpress.com/geometri/
A. Penggolongan Geometri Menurut Ruang Lingkup, Bahasa dan Aksioma 1. Menurut Ruang Lingkup a. Geometri Bidang ( dimensi 2) Geometri
Bidang
(G
Datar
atau
G
Dimensi
Dua)
membicarakan bangun-bangun datar; Yang dibahas dalam Geometri Dimensi Dua adalah, sudut, serta keliling dan luas permukaaan bangun datar. b. Geometri Ruang (dimensi 3) Geometri Dimensi Tiga, yang meliputi bangun ruang dan unsur-unsurnya, luas permukaan bangun ruang, volume bangun ruang dan menentukan hubungan antara unsur-unsur suatu bangun ruang. Sebuah bangun ruang, dalam konteks geometri ruang, adalah himpunan semua titik, garis, dan bidang dalam ruang berdimensi tiga yang terletak dalam bagian tertutup beserta seluruh permukaan yang membatasinya Lebih jauh, yang dimaksud dengan bangun ruang dengan sisi datar adalah bangun ruang yang dibatasi oleh bidang datar. Bangun ruang dengan sisi datar disebut juga sebagai bidang banyak atau polihedron yang berasal dari bahasa Yunani polys yang berarti banyak dan hedron yang berarti permukaan. Bidang-bidang datar pembatas bangun ruang dinamakan sebagai bidang sisi. Ruas garis yang terbentuk oleh perpotongan antara dua bidang sisi bangun ruang disebut rusuk. Ujung-ujung dari rusuk ini dinamakan sebagai titiksudut.3 c. Geometri Dimensi n Yaitu geometri yang tidak bisa digambarkan diruang.
d. Geometri Bola Geometri bola adalah geometri dua dimensi dari permukaan bola. Pada geometri bola, titik didefinisikan seperti pada geometri 3 Untung Trisna Suwaji, Permasalahan Pembelajaran Geometri Ruang SMP dan Alternatif Pemecahannya
datar, tetapi "garis lurus" didefinisikan sebagai "lintasan terpendek antara dua titik" yang disebut geodesik. Pada permukaan bola, geodesik adalah bagian dari sebuah lingkaran besar sehingga dengan demikian sebuah sudut dibentuk oleh dua buah lingkaran besar. Geometri bola melahirkan sebuah konsep trigonometri baru yang disebut sebagai trigonometri bola yang berbeda dari trigonometri biasa (sebagai contoh, dalam sebuah segitiga bola, jumlah semua sudutnya lebih dari 180 derajad). Ilmu geometri bola banyak digunakan dalam navigasi dan astronomi bola. Penentuan arah kiblat misalnya, banyak menggunakan konsep-konsep geometri bola. 2. Menurut Bahasa a. Geometri Murni
( dengan bahasa geometri / gambar )
Gambar geometri sederhana salah satunya adalah garis (garis lurus). Garis berdimensi satu, yaitu: panjang. Garis mempunyai panjang yang tak berhingga. Yang kita pikirkan dalam geometri sesungguhnya hanya ‘penggal garis’ bukan garis yang sesungghnya (dengan panjang tak berhingga). Karena itu, sejumlah matematikawan berpendapat
bahwa
lukisan
dalam
geometri
itu
tidak
perlu
digambarkan, tetapi secara logis dapat dibayangkan (dikonstruksi). Sebagai catatan kita perlu mebedakan antara: garis, sinar garis, dan penggal garis. b. Geometri Analitik
( dengan bahasa aljabar )
Pada awalnya, geometri analitik juga disebut geometri analitis, geometri koordinat atau geometri Kartesius. Belakangan, geometri ini disebut juga sebagai geometri aljabar. Geometri analitik adalah telaah bangun-bangun geometri dengan menggunakan prinsip-prinsip aljabar. Bangun-bangun itu dinyatakan dalam bentuk bilangan vector. Bangunbangun dasar dari geometri analitik adalah titik, garis, dan bidang. Geometri
analitik
sudah
dikembangkan
sejak
jaman
Apolloneus dari Vega. Ia mengembangkan geometri berdimensi satu,
yaitu yang berhubungan dengan garis-garis. Misalnya, mencari sebuah titik yang berada pada sebuah garis kalau perbandingan jaraknya kepada dua titik lain yang juga terletak pada garis yang sama diketahui. Matematikawan Persia, Omar Khayyam, menunjukkan hubungan yang erat antara aljabar dan geometri. Ia mengembang persamaan yang disebut persamaan kubus. Pada abad ke-17, matematikawan Rene Descartes mendedikasikan pemikirannya untuk membuat sistematika geometri analitik yang kita kenal saat ini. Tentu saja untuk menjaga konsistensi teoritis, tidak semua pemikiran para pendahulu disertakan dalam bahasannya. Rene Descartes dipandang sebagai peletak teori-teori geometri analitik di jaman modern ini. c. Geometri Diferensial ( dengan bahasa derivatif ) Geometri deferentisal membahas bagian-bagian dari suatu bangun geometri yang disebut manipol. Manipol merupakan bagian dari suatu bangun gemetri yang cukup sempit, tetapi masih dapat dikenali bentuknya dengan ’mudah’. Lihat Gambar 2. Pada gambar ini disajikan sebuah segitiga dan dua buah garis yang sejajar pada bangun pelana kuda (paraboloida hiperbolik). Tampak bahwa garis-garis itu melengkung sesuai dengan bentuk dari permukaan bangun tersebut. Ambil sebagai contoh dua garis yang tampak tidak sejajar. Ternyata, mereka hanya akan berpotongan di takberhingga. Geometri diferensial ini dalam perkembangannya membentuk sejumlah cabang baru. Misalnya: geometri Riemann, Geometri Finsler, dan geometri kompleks. 4 3. Menurut Aksioma Aksioma yaitu pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan Dalil Pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi, atau suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian. 4http://www.scribd.com/doc/18799859/Belajar-Bangunbangun-Geometri-63-BerbagaiJenis-Geometri
a. Geometri Euclides, Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut : “Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut” b. Geometri Non Euclides, adalah geometri yang tidak lagi mendasarkan diri pada postulat kesejajaran. teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik. c. Geometri Proyeksi, adalah cabang matematika yang terkait dengan bentuk-bentuk geometrikal yang tidak akan berubah ketika bentukbentuk itu diproyeksikan ke bidang yang berbeda. B. Lambang-Lambang Khusus dalam Geometri5 1. A, B, . . .
: titik-titik
2. g, h, . . .
: garis-garis
3. titik (g, h)
: titik potong garis g dan h
4. garis ( A,B ) = → AB 5.
←→ AB : garis melalui A dan B : sinar garis AB dengan pangkal A
6. AB
: ruas garis AB
7. AB
: panjang ruas garis AB
8.
AB
: ruas garis berarah dari A ke B. vektor dengan pangkal A, ujung B
9. A-B-C 10.
∠ABC
11. m ∠ABC
: B terletak di antara A dan C : sudut ABC : besar sudut ABC, dengan satuan derajat
5 B. Susanta,Geometri transformas,i 1990,Yogyakarta.hal.1
12. ≅
: kongruen
13. ~
: sebangun (similar )
14. AB
: ruas gari berarah di titik pangkal A dan ujung titik B
PQ 15. AB =
: ruas garis berarah AB ekivalen dengan ruas garis berarah PQ
16. AB ≅ CD 17.
∆ABC ≅ ∆PQR
18.
ABC
19. m(
ABC )
: ruas garis AB kongruen dengan ruas garis CD : segitiga ABC kongruen dengan segitiga PQR : sudut berarah ABC : ukuran sudut berarah ABC
C. 5 Aksioma Dasar Euclid Aksioma adalah logika atau matematika yang tidak dapat dibuktikan namun sahih. 1. Aksioma Eksistensi / insiden a. Jika ada dua titik berbeda, akan ada tepat satu garis yang memuat dua titik tersebut b. Jika ada tiga titik berbeda dan tidak segaris, maka ada tepat satu bidang yang memuat ketiga titik tersebut. c. Jika ada dua titik berbeda terletak pada suatu bidang, maka garis yang memuat kedua titik tersebut terletak pada bidang. d. Jika dua bidang berpotongan, maka perpotongannya adalah suatu garis. e. Setiap garis memuat sedikitnya dua titik, setiap bidang memuat sedikitnya 3 titik yang tidak segaris dan setiap ruang memuat sedikitnya empat titik yang tidak sebidang. 2. Aksioma urutan a. Jika A dan B dua titik, maka 1) terdapat sedikitnya satu titik C sehingga C diantara A dan B 2) terdapat sedikitnya satu titik D sehingga B
diantara A dan D 3) terdapat sedikitnya satu titik E sehingga A diantara B dan E b. Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka A, B, dan C berbeda & terletak pada satu garis (kolinear). c. Jika A, B dan C suatu titik sehingga B diantara A dan C, maka B diantara C dan A. d. Jika A, B dan C tiga titik kolinear, maka tepat satu dari tiga keadaan ini benar: 1) B diantara A dan C 2) C diantara A dan B 3) A diantara B dan C. 3. Aksioma Kongruensi a. Diketahui suatu ruas garis AB dan suatu titik P pada garis g, maka pada setiap sinar garis di g yang berpangkal di P terdapat tepat satu titik Q yang memenuhi PQ ≅ AB . b. AB ≅ AB c. Jika AB ≅ A' B'
maka
A' B ' ≅ AB d. Jika AB ≅ A' B' ≅
A' B'
A' ' B ' '
dan maka
AB ≅ A' ' B ' ' e. Jika AB dan BC adalah ∠ruas
garis-ruas
garis
tanpa titik serikat pada
A' B' dan
garis g, dan
B 'C ' adalah ruas garisruas
garis
tanpa
titik
serikat pada g’, dan jika A' B' ≅ AB dan B'C ' ≅
BC maka A'C ' ≅ A'C ' f. Diketahui sudut
(h,
k)yang bukan sudut lurus, dan diketahui sinar h’ pada garis g, maka pada setiap sisi g terdapat tepat satu sinar k’ sedemikian hingga ∠ (h’,k’ ≅ ∠(h,k) suatu sudut lurus hanya akan
kongruen
dengan
sudut lurus juga. g. Diketahui sudut
(h,
k)yang bukan sudut lurus, dan diketahui sinar h’ pada garis g, maka pada setiap sisi g terdapat tepat satu sinar k’ sedemikian hingga ∠(h’,k’ ≅ ∠(h,k) suatu sudut lurus hanya akan
kongruen
dengan
sudut lurus juga. h. ∠ (h, k) ≅ ∠ (h, k) i. Jika ∠ (h, k) ≅ ∠ (h’, k’) maka ∠ (h’, k’) ≅ ∠
(h, k) j. jika ∠ (h, k) ≅
∠ (h’,
k’) dan ∠ (h’, k’) ≅ ∠ (h”, k”) maka ∠ (h, k) ≅ ∠ (h”, k”) k. Jika
dalam
segitiga-
segitiga ABC dan A’B’C’ diketahui bahwa AB ≅ A' B' dan AC
≅ A'C '
dan ∠A ≅ ∠A’ maka ∠ B ≅ ∠B’. 4. Aksioma Kesejajaran Dua garis dikatakan sejajar bila kedua garis itu tidak berserikat satu titikpun. Aksioma kesejajaran : Melalui suatu titik di luar sebuah garis terdapat tepat satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui. 5. Aksioma kontinuitas dan kelengkapan 1. Diketahui titik A dan B dan A1 sehingga A-A1-B, kemudian ambil A2, A3, . . . dst. Sehingga A-A1-A2, A1-A2-A3, dst. Dengan AA1 = A1A2 =A2A3 = . . . , maka terdapatlah bilangan positif n sedemikian sehingga A- B – An. 2. Tidak ada titik atau garis yang dapat ditambahkan kepada sistem di atas tanpa melanggar salah satu aksioma di atas. D. Bukti Dalil-Dalil dalam Geometri Euclid Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik. Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non Euclid. Dan banyak
ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometrid an posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan, akhirnya runtuh pada decade 1820-1830. Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat kesejajaran tersebut membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non Euclid )bias saja digunakan. Selanjutnya dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid. 1. Struktur Geometri Bidang Euclid Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut : “ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut” Sejumlah asumsi / postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu : a. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya b. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama c. Jika kesamaan dikurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama d. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya e. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya f. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi ) g. Setiap segmen memiliki titik tengah h. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis i. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan j. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik
pusat dan radius yang diketahui k. Semua sudut siku-siku sama besar Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar diantaranya : 1. Sudut bertolak belakang sama besar Bukti 1 : a. Lu kis gari s l dan m seja jar b. Gar is tran sve rsal h me mot ong teg ak lur us l dan m
di P dan Q c. P = Q (po stul at ke 11) d. P = 1 (po stul at ke 11) e. P dan 1 dua sud ut bert ola k bel aka ng, jadi
sud ut bert ola k bel aka ng sa ma bes ar (ter buk ti) 2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS) Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA ) a. Lu kis ΔA BC da n ΔP QR se hin gg
a A= P, B= Q dan AB = PQ b. Pin da hk an Δ AB C pa da Δ PQ R se hin gg a A beri mpi t den gan
P, B beri mpi t Q dan AB beri mpi t pad a PQ ma ka C beri mpi t pad a R dan C= R ( p ost ulat 5) 3. Teorema kesamaan sudut
alas
segitiga sama kaki
dan
konversinya Bukti : Diberikan Δ ABC dengan AC = BC, maka A = B a. Lukis garis bagi C (aksioma 6) b. Perpanjang garis bagi tersebut hingga memotong AB di D (aksioma 9) c. Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC, 1= 2 (aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ ACD kongruen dengan Δ BCD (S-A-S) d. Jadi A = B (sudut yang berkoresponden sama besar) (terbukti ) Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan A = B maka
AC
=
BC
Bukti : a) Lukis garis bagi C sehingga 1 = 2 (aksioma 6) b) Karena A = B dan 1 = 2 maka ADC = BDC c) Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti) d) Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut e) Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal f) Pembentukan
suatu
sudut
yang
sama,
dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya g) Pembentukan
segitiga
yang
kongruen
dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang di ketahui
