M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi

M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi

Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia.

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Logaritmy

Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y Û x = a

y

[Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený.

• • • • •

Příklad 1: Vypočtěte log5 25 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5 Odtud snadno zjistíme, že y = 2

y

Příklad 2:

7.12.2007 15:55:59

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1z9


1

Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 216 = 3 Řešení 3

Podle definice převedeme na výpočet z = 216 3 3 3 Protože platí 216 = 6 , pak z = 6 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: -1

Podle definice převedeme výpočet log0,1x = -1 na tvar 0,1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10.

± Logaritmy - procvičovací příklady 1.

1380 Výsledek:

2.

2

Stanovte číslo Výsledek:

x, platí-li

log1/10 x = -1

1395

10

3.

1390

Výsledek:

0,2

4.

1388

Výsledek:

6

5.

1376 Výsledek:

0,375

6.

1386 Výsledek:

7.12.2007 15:55:59

3

3


2z9

M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi 7.

1 1381

Určete log4 (log4 4) Výsledek:

0

8.

1394

Výsledek:

2

9.

1385

Výsledek:

4

10.

1371 Výsledek:

0,5

11.

1377 Výsledek:

0,5

12.

1383 Výsledek:

6

13.

1391

Výsledek:

2/3

14.

1387 Výsledek:

15.

1374 Výsledek:

16.

0,5

Stanovte číslo x, platí-li Výsledek:

log10x = -1

1392

0,1

17.

1384

Výsledek:

7.12.2007 15:55:59

1/3


3z9


1

18.

1389

Výsledek: 3

3 4

19.

1373 Výsledek:

0,125

20.

1378 Výsledek:

2

21.

1379 Výsledek:

6

22.

1375 Výsledek:

0,25

23.

1393

Výsledek:

1

24.

1372 Výsledek:

0,25

25.

1382 Výsledek:

16

± Věty o logaritmech

Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y

x = a loga x

(1)

Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x.

x = a loga x y = a loga y xy = a loga xy 7.12.2007 15:55:59


4z9


1

1. Nelze logaritmovat součet logz (a + b) ¹ logz a + logz b

2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz:

a = z logz a b = z logz b ab = z logz ab vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1

ab = z logz ab = z logz a .z logz b = z logz a + logz b Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: logz ab = logz a + logz b Např.:

3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz:

a = z logz a b = z logz b a

logz a =z b b

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ 1 a

logz a z logz a b =z = logz b = z logz a -logz b b z

log z

a = log z a - log z b b

Např.:

7.12.2007 15:55:59


5z9


1

4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz:

a = z logz a n

(

a n = z logz a = z logz a

)

n

= z n.logz a

n

logz a = n . logz a Např.:

± Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1.

1411

Výsledek:

2.

1398 Výsledek:

3.

1403

Určete logz x, je-li

3 x = .3 a. a 7 Výsledek:

7.12.2007 15:55:59


6z9


1

4.

1414

Výsledek:

x=

ab.6 ab 5z 4

5.

1406 Výsledek:

6.

1405 Výsledek:

7.

1401


x = 3 a -3 .4

1 b2

Výsledek:

8.

1402

Výsledek:

9.

1413

Výsledek:

4

x= 10.

a 3 .6 b 5 c 1404

Určete logzx, je-li

x=

a a

Výsledek:

7.12.2007 15:55:59


7z9


1

11.

1418

Výsledek:

12.

1412

Výsledek:

13.

1396


x=

a 2 . tga b 3 .3 c

Výsledek:

14.

1417

Výsledek:

15.

1416

Výsledek:

x = (a - b).3 a 2 .b

16.

1407

Výsledek:

7.12.2007 15:55:59

x = abc


8z9


1

17.

1399 Výsledek:

18.

1415

Výsledek:

x=a+2

19.

1409

Výsledek:

3

2

x = a .b .z

20.

1410

Výsledek:

21.

3 (n+3) 3

x = ab

/z

Určete logz x, je-li x = a1/2 b2/3

1400

Výsledek:

22.

1420

Výsledek:

23.


x = a-2 . b-3

1397

Výsledek:

24.

1408

Výsledek:

x = ab/c

25.

1419

Výsledek:

7.12.2007 15:55:59


9z9


1

Obsah Logaritmy Logaritmy - procvičovací příklady Věty o logaritmech Věty o logaritmech - procvičovací příklady

7.12.2007 15:55:59


1 2 4 6

M - Logaritmy a věty pro počítání s nimi

Recommend Documents