Kode Modul MAT. TKF 201- 02
Fakultas Teknik UNY Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif
DIFERENSIASI FUNGSI
V
h
r wV wr
= 2Srh
dan
wV wh
= S r2
Penyusun : Martubi, M.Pd., M.T.
Sistem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4)
Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif 2005
KATA PENGANTAR
Modul dengan judul Diferensiasi Fungsi ini digunakan sebagai panduan dalam kegiatan kuliah untuk membentuk salah satu subkompetensi, yaitu: “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“.
Modul ini dapat
digunakan untuk semua peserta kuliah Matematika di Semester I pada Program Studi Pendidikan Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri Yogyakarta. Pada modul ini disajikan konsep dasar Diferensiasi Fungsi dan permasalahannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang:
Diferensiasi
Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Diferensiasi Fungsi-fungsi Transenden.
Kegiatan belajar 3 membahas tentang:
Diferensiasi Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensial Parsial. Kegiatan belajar 4 membahas tentang: Aplikasi Diferensiasi Fungsi Untuk dapat mempelajari modul ini dengan mudah mahasiswa diharapkan telah mempunyai pengetahuan dan pemahaman tentang konsep-konsep dasar yang menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep tentang Fungsi Aljabar dan Fungsi-fungsi Transenden dan Geometri. Yogyakarta,
Oktober 2005
Penyusun
Martubi, M.Pd., M.T. 2
DAFTAR ISI MODUL
Halaman HALAMAN SAMPUL ............................................................................ 1 KATA PENGANTAR ............................................................................. 2 DAFTAR ISI .......................................................................................... 3 PERISTILAHAN / GLOSSARY .............................................................. 5 I . PENDAHULUAN................................................................................. 7 A. Deskripsi ......................................................................................... 7 B. Prasyarat ......................................................................................... 7 C. Petunjuk Penggunaan Modul .......................................................... 8 1. Petunjuk bagi mahasiswa .......................................................... 8 2. Petunjuk bagi dosen ............ ...................................................... 8 D. Tujuan Akhir .................................................................................. 9 E. Kompetensi .................................................................................... 9 F. Cek Kemampuan ............................................................................ 11 II. PEMBELAJARAN .............................................................................. 12 A. Rencana Belajar Mahasiswa ......................................................... 12 B. Kegiatan Belajar ............................................................................. 12 1. Kegiatan Belajar 1 ..................................................................... 12 a. Tujuan kegiatan belajar 1 ...................................................... 12 b. Uraian materi .......................................................................... 13 c. Rangkuman 1 .......................................................................... 18 d. Tugas 1 ................................................................................... 19 e. Tes formatif 1 .......................................................................... 19 f. Kunci jawab tes formatif 1 ... .................................................... 20 3
Halaman 2. Kegiatan Belajar 2 ...................................................................... 20 a. Tujuan kegiatan belajar 2 ....................................................... 20 b. Uraian materi 2 ....................................................................... 21 c. Rangkuman 2 .......................................................................... 28 d. Tugas 2 ................................................................................... 30 e. Tes formatif 2 .......................................................................... 31 f. Kunci jawab tes formatif 2 ............... ........................................ 32 3. Kegiatan Belajar 3 .................................................................... 32 a. Tujuan kegiatan belajar 3 ....................................................... 32 b. Uraian materi 3 ....................................................................... 33 c. Rangkuman 3 ......................................................................... 39 d. Tugas 3 .................................................................................. 40 e. Tes formatif 3 ......................................................................... 41 f. Kunci jawab tes formatif 3 ............... ...................................... 41 4. Kegiatan Belajar 4 .................................................................... 42 a. Tujuan kegiatan belajar 4 ....................................................... 42 b. Uraian materi 4 ....................................................................... 43 c. Rangkuman 4 ......................................................................... 58 d. Tugas 4 .................................................................................. 60 e. Tes formatif 4 ......................................................................... 61 f. Kunci jawab tes formatif 4 ............... ...................................... 62 III. EVALUASI ...................................................................................... 63 A. Pertanyaan .................................................................................. 63 B. Kunci Jawaban ............................................................................. 64 C. Kriteria Kelulusan ........................................................................ 65 IV. PENUTUP ........................................................................................ 66 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 67 4
PERISTILAHAN / GLOSSARY
Diferensiasi / Derivative Fungsi : adalah
fungsi lain yang merupakan
turunan dari fungsi yang bersangkutan. Diferensiasal Parsial : adalah
diferensial dari sebuah fungsi terhadap
salah satu variabelnya dengan menganggap variabel lainnya konstan jika fungsi itu mempunyai dua variabel atau lebih. Diferensiasi Logaritmik : adalah cara mendiferensialkan sebuah fungsi berdasarkan sifat-sifat dan turunan fungsi logaritma. Fungsi Aljabar
: adalah sebuah fungsi yang menunjukkan hubungan
secara aljabar dari dua buah variabel atau lebih secara terpisah. Fungsi Eksponensial :
adalah sebuah fungsi yang merupakan
perpangkatan suatu bilangan dengan suatu variabel/fungsi lain tertentu. Fungsi Hiperbolik :
adalah sebuah fungsi yang mempunyai sasaran
sebuah variabel di dalam suatu hiperbola. Fungsi Implisit
: adalah sebuah fungsi yang menunjukkan hubungan
secara implisit ( tersirat ) yang tidak dapat/tidak perlu dipisahkan dalam ruas yang berbeda. Fungsi Logaritma : adalah sebuah fungsi yang merupakan logaritma dari sebuah fungsi eksponensial.
5
Fungsi Majemuk : adalah sebuah fungsi yang merupakan fungsi dari fungsi lainnya. Fungsi Trigonometri : adalah sebuah fungsi yang harganya ditentukan oleh harga suatu sudut tertentu di dalam suatu lingkaran. Gradien :
adalah sebuah istilah untuk menunjukkan kemiringan suatu
garis tertentu. Persamaan Parametrik : adalah sebuah hubungan dua buah variabel melalui variabel ketiga yang merupakan parameter/perantaranya.
6
BAB I PENDAHULUAN
A. Deskripsi Modul dengan judul Diferensiasi Fungsi ini membahas tentang konsep dasar Diferensiasi Fungsi serta permasalahannya
yang
banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup: Diferensiasi Fungsi Aljabar, Diferensiasi Fungsi-fungsi Transenden,
Diferensiasi
Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensiaal Parsial
serta
Aplikasi Diferensiasi Fungsi Modul ini terdiri atas empat kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas tentang: Diferensiasi Fungsi Aljabar. Kegiatan belajar 2 membahas tentang: Diferensiasi Fungsi-fungsi Transenden. Kegiatan belajar 3 membahas tentang: Diferensiasi Parametrik dan Diferensial Parsial.
Logaritmik, Persamaan
Kegiatan belajar 4 membahas
tentang: Aplikasi Diferensiasi Fungsi Pada setiap kegiatan belajar selalu dilengkapi dengan contoh soal dan
pembahasannya
beserta
latihan-latihan
seperlunya
untuk
membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang diharapkan. Setelah selesai mempelajari modul ini mahasiswa diharapkan mempunyai sub kompetensi
“Menggunakan
konsep, sifat, dan
manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“ B. Prasyarat Modul ini berisi materi-materi yang memerlukan dukungan materi lain yang semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materimateri dasar yang seharusnya telah difahami oleh peserta kuliah di Jurusan Pendidikan Teknik Otomotif terutama adalah konsep dasar tentang : Fungsi Aljabar dan Fungsi-fungsi Transenden dan Geometri. 7
C. Petunjuk Penggunaan Modul 1. Petunjuk bagi Mahasisw a Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam menggunakan modul ini ada beberapa prosedur yang perlu diperhatikan, dan dilaksanakan antara lain : a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian
konsep-konsep
teoritis yang disajikan pada modul ini, kemudian fahami pula penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh-contoh soal beserta cara penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada materi yang kurang jelas dan belum bisa difahami dengan baik para mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan. b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri, hal
ini
dimaksudkan
untuk
mengetahui
seberapa
besar
pemahaman yang telah dimiliki setiap mahasiswa terhadap materi-materi yang dibahas pada setiap kegiatan belajar. c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi pada level yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan mengerjakan lagi latihan-latihannya dan kalau perlu bertanyalah kepada dosen yang mengampu kegiatan perkuliahan yang bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan memerlukan pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.
2. Petunjuk Bagi Dosen Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan peran untuk : a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan yang dijelaskan dalam tahab belajar. 8
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan menjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan. d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang diperlukan. e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan. g. Mengadakan
evaluasi
terhadap
pencapaian
kompetensi
mahasiswa yang telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaannya pada setiap akhir kegiatan belajar.
D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul ini mahasiswa diharapkan dapat : “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“.
E. Kompetensi Modul MAT. TKF 201-02 dengan judul Diferensiasi Fungsi ini disusun dalam rangka membentuk sub-kompetensi “Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah diferensiasi fungsi“. Untuk mencapai sub-kompetensi tersebut, terlebih dahulu harus dapat dicapai sub-sub kompetensi beserta kriteria unjuk kerjanya melalui lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai berikut :
9
Sub
Kompetensi
Kriteria Unjuk Kerja
Lingkup Belajar
Mengguna- 1.Menjelaskan 1.Pengertian, kan konsep, pengertian/konnotasi dan aturan dan sep notasi dan sifat-sifat manipulasi sifat-sifat difediferensiasi aljabar rensiasi fungsi . fungsi . dalam 2. Menyelesaikan 22. Diferensiasi pemecahan masalah diferenfungsi masalah siasi fungsi aljabar. diferensiasi aljabar. fungsi. 3. Menyelesaikan 3. Diferensiasi masalah diferenfungsi siasi fungsi majemuk majemuk 4. Menyelesaikan 4. Diferensiasi masalah diferenfungsi siasi fungsi implisit. implisit. 5. Menyelesaikan 5. Diferensiasi masalah diferenfungsi trigosiasi fungsi trigonometri dan nometri dan inversnya inversnya. 6. Menyelesaikan 6. Diferensiasi masalah diferenfungsi hipersiasi fungsi bolik dan hiperbolik dan inversnya inversnya. 7. Menyelesaikan 7. Diferensiasi masalah diferenfungsi ekssiasi fungsi ponensial eksponensial. 8. Menyelesaikan 8. Diferensiasi masalah difefungsi rensiasi fungsi logaritma. logaritma. 9. Menyelesaikan 9. Diferensiasi masalah diferenlogaritmik rensiasi logaritdan persamik dan persamaan paramaan parametrik metrik 10.Menyelesaikan 10. Diferensial masalah diferenparsial siasial parsial. 11. Menerapkan 11. Penerapan konsep diferen konsep siasi pada masa diferensiasi lah geometris fungsi dan masalah maksimum/ minimum fungsi. 12. Menerapkan 12. Penerapan konsep diferenkonsep sial parsial untuk diferensial menghitung perparsial ubahan suatu fungsi.
10
Materi Pokok Pembelajaran Sikap
Pengetahuan
Ketrampilan
Teliti dan 1.Pengertian, cermat notasi dan dalam sifat-sifat menulis diferensiasi simbol fungsi . dan 22. Diferensiasi melakufungsi kan peraljabar. hitungan 3. Diferensiasi fungsi majemuk
Menghitung dengan prosedur dan hasil yang benar
4. Diferensiasi fungsi implisit. 5. Diferensiasi fungsi trigonometri dan inversnya 6. Diferensiasi fungsi hiperbolik dan inversnya 7. Diferensiasi fungsi eksponensial 8. Diferensiasi fungsi logaritma. 9. Diferensiasi logaritmik dan persamaan parametrik 10. Diferensial parsial 11. Penerapan konsep diferensiasi fungsi
12. Penerapan konsep diferensial parsial
F. Cek Kemampuan Sebelum mempelajari Modul MAT. TKF 201 – 02 ini, isilah dengan tanda cek ( ) pertanyaan yang menunjukkan kompetensi yang telah dimiliki mahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan : Sub Kompetensi
Jaw aban
Pertanyaan
Ya
Tidak
Mengguna- 1. Saya mampu menjelaskan pengertian/ konsep notasi dan sifat-sifat diferenkan konsep, siasi fungsi. aturan dan manipulasi 2. Saya dapat menyelesaikan permasaaljabar lahan diferensiasi fungsi aljabar. dalam pemecahan 3. Saya dapat menyelesaikan permasamasalah lahan diferensiasi fungsi majemuk . diferensiasi fungsi. 4. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi implisit. 5. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi trigonometri dan inversnya. 6. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi hiperbolik dan inversnya.
Bila Jawaban “Ya“ Kerjakan Tes Formatif 1 Nomor : 1
Tes Formatif 1 Nomor : 2: a,b,c,e Tes Formatif 1 Nomor : 2 : f Tes Formatif 1 Nomor : 2 : d Tes Formatif 2 No : 1,2,3,4,9,10 Tes Formatif 2 Nomor : 5,13
7. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi eksponensial.
Tes Formatif 2 Nomor : 6,11,12,14
8. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi logaritma.
Tes Formatif 2 Nomor : 7,8,15,16
9. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi logaritmik dan persamaan parametrik.
Tes Formatif 3 Nomor : 1,2
10. Saya dapat menyelesaikan permasalahan diferensial parsial
Tes Formatif 3 Nomor : 3
11. Saya dapat menerapkan konsep diferensiasi fungsi pada masalah geometris dan maksimum / minimum fungsi. 12. Saya dapat menerapkan konsep diferensial parsial dalam menyelesaikan permasalahan yang relevan.
Tes Formatif 4 Nomor : 1,2,3
Tes Formatif 4 Nomor : 4,5
Apabila mahasiswa menjawab Tidak maka pelajari modul ini sesuai materi yang dijawab Tidak tersebut. 11
BAB II PEMBELAJ ARAN
A. Rencana Belajar Mahasisw a Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel di bawah ini dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai. Jenis Kegiatan
Tanggal
Waktu
Tempat Belajar
Alasan Perubahan
Paraf Dosen
1. Pengertian, dan notasi diferensiasi fungsi. 2. Diferensiasi fungsi aljabar. 3. Diferensiasi fungsi majemuk 4. Diferensiasi fungsi implisit 5. Diferensiasi fungsi trigonometri dan inversnya.
6. Diferensiasi fungsi hiperbolik dan inversnya. 7. Diferensiasi fungsi eksponensial.
9. Diferensiasi fungsi logaritma. 10. Diferensisi logaritmik dan persmaan parametrik
11. Diferensial parsial 12. Aplikasi diferensiasi fungsi 13. Aplikasi diferensial parsial
B. Kegiatan Belajar. 1. Kegiatan Belajar 1 : Diferensiasi Fungsi Aljabar a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 : 1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi.
12
2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi aljabar. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi majemuk. 4). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi implisit. b. Uraian Materi 1 : 1). Pengertian, dan Notasi Diferensiasi Fungsi. Deferensiasi ( Derivative / Turunan ) suatu fungsi f (X) adalah fungsi lain f ‘ (X) ( baca : “ f aksen X ” ) yang nilainya pada sembarang bilangan X adalah : f’ (X) = limit ho0 dengan catatan
f (X+h) – f (X) h
-
harga limit tersebut memang ada. Jika limit
tersebut memang ada. Jika limit tersebut memang ada, maka dikatakan bahwa f (X) terturunkan / terdeferensiasikan / terderivativekan di X. Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat dY df ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz : ----- atau dX dX Selanjutnya untuk turunan kedua dan seterusnya tinggal menyesuaikan, yaitu
d2Y dX2
atau Y” dan seterusnya.
Contoh Penerapan Konsep Diferensiasi Fungsi . Untuk memperjelas konsep diferensiasi fungsi sebagaimana telah di sebutkan di atas, maka berikut ini diberikan beberapa contoh penerapanya.
13
a). Jika f(X) = 13X – 6 tentukanlah f ' (4) Jaw ab : f (X) = 13X – 6 f '(X) = limit ho0
f(X + h) – f (X) h
f ' (4) = limit ho0 = limit ho0 = limit ho0
f (4 + h) – f (4) h
-
13 (4 + h) – 6 – 13 (4) + 6 h 13. h
-
= limit 13 = 13 ho0
h
b). Carilah f ' (C) jika diketahui f (X ) = 4X2 – 7X + 8 Jaw ab : f (X) = 4X2 – 7X + 8 f ' (X) = limit ho0 f ' (C) = limit ho0 = limit ho0 = limit ho0
f (X + h ) – f (X) h
-
f ( C + h ) – f (C) h
-
4( C + h )2 – 7 (C + h ) + 8 – (4C2 – 7C + 8 ) h 4C2 + 8Ch + 4h2 – 7C + 8 – 4C2 +7C – 8 h
= limit ( 8C – 7 + 4h ) = 8 C - 7 ho0 c). Tentukanlah f '(X) jika f(X) =
Jaw ab : f(X) =
1 X
-
14
1 X
-
-
-
f '(X) = limit ho0
f(X+h) – f(X) h 1
1
f '(X) = limit ho0 h
X+h
-
–
1 X
1
X – (X+h )
ho0 h
X . (X+h )
= limit
-
-
–1
= limit ho0 X2 + X h –1
=
2
X
=
– X–2 ====
Rumus – Rumus Dasar Turunan Fungsi Aljabar Berdasarkan konsep penurunan sebuah fungsi melalui cara yang telah diuraikan diatas (menghitung limitnya), maka bila diperhatikan ternyata berlaku rumus dasar sebagai berikut : Jika Y = f (X) ; U = g (X) ; V = h (X) dan Y ' = f '(X) C = konstanta ; n = bilangan riil 1. Y = C
Y' = 0
2. Y = CX
Y' = C
3. Y = X
n
4. Y = kX
Y' = n X n
n-1
Y' = kn X
n-1
5. Y = U + V
Y' = U' + V'
6. Y = U – V
Y' = U' – V'
7. Y = U . V
Y' = U'V + UV'
8. Y =
U V
Y' = 15
U'V – UV' 2 V
Contoh: a). Jika Y = 5
maka Y ’ = 0
b). Jika Y = 6 X
maka Y ’ = 6
c). Jika Y = X7
maka Y ’ = 7X6
d). Jika Y = 8X4
maka Y ’ = 32X3
e). Jika Y = 6X3 + 7X2
maka Y ’ = 18X2 + 14 X
f). Jika Y = 5X4 –3X3
maka Y ’ = 20X3 – 9X2
g). Jika Y = ( 3X2 – 4X ) (5X + 6 )
maka
Y = ( 6X – 4 ) ( 5X + 6 ) + ( 3X2 – 4X ) (5) ’
= 30X2 + 16X – 24 + 15X2 – 20X = 45 X2 – 4X – 24 h). Jika Y =
3X – 5 2
X +7
-
’
maka Y =
=
3 ( X2 + 7 ) – 2X ( 3X – 5 ) 2
2
(X +7)
-
– 3X2 + 10X + 21 4 2 X + 14X + 49
Turunan Fungsi Majemuk ( Dalil Rantai Turunan ) Jika Y = f ( U ) dan U = g ( X ) maka turunan Y terhadap X : dY
=
dX
dY dU
.
dU dX
atau Y ’ ( X ) = Y ’ ( U ) . U ’ ( X )
Prinsip ini berlaku untuk sembarang / berapapun tingkat kemajemukan fungsi yang di turunkan. Contoh: a). Y = ( 3X
4 )10
Y’ = 10 ( 3X – 4 )9 . 3 = 30 ( 3X – 4 )9 b). Y = √ X2 + 4X dY dX
7 = ( X2 + 4X
= ( 2X + 4 ).½ ( X2 + 4X 16
½
7)
7 )--½ = ( X+2 ).( X2+4X – 7 )-- ½
Turunan ( Diferensiasi Fungsi ) Implisit Jika Y = X2 + 5X + 6 ; Y terdefinisikan sepenuhnya oleh X, maka Y disebut sebagai fungsi “eksplisit” dari X. Tetapi ada kalanya kita tidak dapat (tidak perlu) memisahkan Y dengan X dalam
rumus
yang
berbeda
misalnya
pada
bentuk :
X2 + 2XY + 3Y2 = 4. Dalam hal semacam ini dikatakan Y sebagai fungsi implisit dari X, karena hubungan dalam bentuk Y = f (X) tidak tampak secara langsung tetapi tersirat didalamnya. dY
Contoh: Tentukanlah
dari fungsi-fungsi berikut ini.
dX
a). X2 + Y2 = 100 b). X2 + Y2
2X
6Y + 5 = 0
Jaw ab : a). X2 + Y2 = 100 dY
2X + 2Y
2Y dY dX
dY dX =
= 0
dX =
2X
2X
=
2Y
X Y
-
b). X2 + Y2 – 2X – 6X + 5 = 0 2X + 2Y
dY dX
( 2Y – 6 ) dY dX
=
–2 –6
dY dX
dY
=0
dX
= 2 – 2X
2 – 2X 2Y – 6 17
=
1–X Y–3
-
c. Rangkuman 1 : 1). Pengertian dan Notasi Diferensiasi Fungsi. Deferensiasi ( Derivative / Turunan )
suatu
fungsi
f (X)
adalah fungsi lain f ‘ (X) ( baca : “ f aksen X ” ) yang nilainya pada sembarang bilangan X adalah :
f’ (X) = limit ho0
f(X+h) – f(X) h
-
Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat dY df ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz: ----- atau dX dX 2). Diferensiasi Fungsi Aljabar Jika Y = f (X) ; U = g (X) ; V = h (X) dan Y ' = f '(X) sedang C = konstanta ; n = bilangan riil maka berlaku rumus dasar : a). Y = C
Y' = 0
b). Y = CX
Y' = C
c). Y = X
n
d). Y = kX
Y' = n X n
n-1
Y' = kn X
n-1
e). Y = U + V
Y' = U' + V'
f). Y = U – V
Y' = U' – V'
g). Y = U . V
Y' = U'V + UV'
h). Y =
U
Y' =
V 18
U'V – UV' V2
3). Diferensiasi Fungsi Majemuk dan Fungsi Implisit Jika Y = f ( U ) dan U = g ( X ) maka turunan Y terhadap X : dY dX
=
dY dU
.
dU dX
atau Y ’ ( X ) = Y ’ ( U ) . U ’ ( X )
Prinsip ini berlaku untuk sembarang tingkat kemajemukan. Jika Y sebagai fungsi implisit dari X, karena hubungan dalam bentuk Y = f (X) tidak tampak secara langsung tetapi tersirat didalamnya maka turunan Y terhadap X dicari dengan menurunkan semua suku persamaan tersebut terhadap X. d. Tugas 1: Tentukanlah turunan dari fungsi-fungsi di bawah ini : 1). Y = X5 – 4X3 + 3X2 – 6X + 10 2). Y = X +
3 X
– 3⅔ X
2
7). Y =
3X – 2 3 – 2X
-
3). Y = (3X + 4X – 3).(5X –7)
8). Y = 5 ( X2 – 3X + 2 )3
4). Y = ( 4 – 6X )7 + (–7X + 4 ) – 6
9). ( X2 + 2XY + 3Y2) = 4
5). ( X –Y )3 – 3 ( X + Y ) = 0
10). X3 + Y3 + 4XY2 = 5
6). X3 + Y3 – 4X2Y + 5X + 6Y = 8 e. Tes formatif 1 : 1). Jelaskan pengertian diferensiasi fungsi lengkap dengan notasinya ! 2). Tentukanlah
Y ‘ (turunan) dari fungsi–fungsi berikut ini ! 5X + 6 a). Y = 2X4 – 6X3 + 7X2 – 9X+12 e). Y = 1 – 4X 7 b). Y = 4 X – + 5½ X – 8 f ).Y = 7(X2 +2X – 3)5 X
c). Y= (7X2 – 3X+5) (2X – 4) d). 4X3 + 2Y3 + 5XY2 – 3X2Y – 7X – 6Y = 9 19
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 1 : 1). Deferensiasi (Derivative/Turunan) suatu fungsi f (X) adalah fungsi lain f ‘ (X) yang nilainya pada sembarang bilangan X adalah : f’ (X) = limit ho0
f(X+h) – f(X) h
-
Jika Y = f (X) , maka turunan pertama Y terhadap X dapat dY df ditulis Y ‘ = f ' (X) atau dengan notasi Leibniz: ----- atau dX dX 2). Turunan pertama Y terhadap X adalah Y ‘ a). Y ‘= 8X3 – 18X2 +14X – 9 b). Y ‘= 4X–½ + 7X–2 + 5½ c). Y ‘= 42X2 – 68X+22 d). Y ‘=
e). Y ‘=
12 X2 – 6XY + 5Y2 – 7 3 X2 – 10XY – 6Y+ 6 29 2
( 1 – 4X )
-
-
f). Y ’ = (X2 + 2X – 3)4 (70X2 +70)
2. Kegiatan Belajar 2 : Diferensiasi Fungsi – fungsi Transenden a. Tujuan Kegiatan Belajar 2 : 1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi trigonometri dan inversnya. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi hiperbolik dan inversnya.
20
3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi eksponensial. 4). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi fungsi logaritma. 5). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi logaritmik dan persamaan parametrik. b. Uraian Materi 2 : Diferensiasi Fungsi – fungsi Transenden Diferensiasi Fungsi Trigonometri Sesuai dengan konsep dasar penentuan diferensiasi (turunan)
sebuah
fungsi
sebagaimana
telah
diuraikan
sebelumnya , maka didalam trigonometri diperoleh rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri sebagai berikut : 1). Y = sin X
o
Y’ = cos X
2). Y = cos X
o
Y’ = sin X
3). Y = tg X
o
Y’ = sec2 X
4). Y = cotg X
o
Y’ = cosec2 X
5). Y = sec X
o
Y’ = sec X . tg X
6). Y = cosec X
o Y’ = cosec X . cotg X
Dari keenam rumus dasar tersebut, sebenarnya yang perlu mendapat perhatian utama hanyalah rumus nomor 1 dan nomor 2 , sebab untuk nomor 3 dan seterusnya dapat diturunkan dari nomor 1 dan 2, yaitu dengan mengingat hubungan antara fungsi-fungsi tersebut , misalnya : tg X =
sin X cos X
; cotg X =
cos X sin X
-; sec X =
21
1
1 ;dan cosec X = ----- cos X sin X
Selanjutnya untuk penyelesaian persoalan-persoalan yang lebih kompleks yang melibatkan berbagai operasi aljabar ( penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan fungsi majemuk ), maka rumus-rumus yang terdapat pada Bab II ( Diferensiasi Fungsi Aljabar ) tetap dapat digunakan Contoh : 1). Jika Y dY dX
= cos X + 3 sin X 4 tg X , maka
- = Y ’ = sin X + 3 cos X 4 sec2 X
= sin ( 5X3 3X2 + 4X 2 )
2). Y
Y’ = 3). Y =
( 15X2 6X + 4 ) . cos ( 5X3 3X2 + 4X + 2 ) sin5 X
= 5 sin4 X . cos X 4). Y = cos 3X . tg X dY dX
-= 3 sin 3X . tg 2X + cos 3X. 2sec2 2X = – 3 sin 3X .tg 2X
5). Y =
Y‘=
=
sin 5X 4X + 1
+ 2 cos 3X. sec2 2X
-
5 cos 5X . ( 4X + 1 ) – 4 sin 5X ( 4X + 1 )2 ( 20X + 5 ) .cos 5X 4 sin 5X ( 4X +1 )2
22
-
-
Diferensiasi Invers Fungsi Trigonometri Invers dari fungsi trigonometri Y = sin X sebagai Y = sin
1
X
dapat ditulis
atau Y = arcus sin X yang biasa
disingkat Y = arc. sin X, selanjutnya invers dari ditulis Y = cos
1
X
Y = cos X
Y = arc. cos X dan invers dari
atau
Y = tg. X ditulis Y = tg 1 X
atau Y = arc. tg X
Pada bentuk Y = sin X permasalahannya yaitu mencari harga sinus dari suatu sudut yang telah diketahui besarnya, sedangkan inversnya Y = arc sin X berarti menentukan besar sudut yang telah diketahui harga sinusnya . Adapun rumus untuk menentukan
1). Y = arc sin X
turunannya adalah :
dY
o
dX
2). Y = arc.cos X
o
3). Y = arc.tg X
o
dY
=
=
dX dY dX
1 (1 – X2 )
-
–1 (1 – X2 )
=
1 1 + X
2
-
-
Contoh : 1. Y = arc. sin 5X o
2. Y= arc.cos 3X o
3. Y= arc. tg 4X o
dY
=
dX dY dX dY dX
23
=
=
5. 1 2
1- (5X) 3.–1
1 – (3X)2 4 1 + (4X)2
=
=
=
5
-
2
1 – 25X –3
1 – 9X2 4 1 + 16X2
-
Diferensiasi Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik adalah fungsi yang memiliki sifat-sifat serupa
dengan
sasaranya.
fungsi
Kalau
trigonometri,
fungsi
tetapi
trigonometri
berbeda
sasarannya
pada
sebuah
lingkaran, namun fungsi hiperbolik pada sebuah hiperbola. Pada fungsi trigonometri dikenal adanya sinus, cosinus, dan tangen, maka pada fungsi hiperbolik juga dikenal adanya sinus-hiperbolik ( sinh ), cosinus-hiperbolik ( cosh ), dan tangenthiperbolik ( tgh ), yang didefinisikan sebagai :
sinh X =
eX – e–X 2
; cosh X =
eX + e–X 2
eX – e–X dan tgh X = X –X e +e
Dengan demikian diperolehlah rumus-rumus dasar turunan fungsi hiperbolik sebagai berikut :
1). Jika Y = sinh X o
2). Jika Y = cosh X o
3). Jika Y = tgh X o
Contoh : Tentukanlah
dY dX
dari :
1. Y = sinh 3X + 4 cosh X 2. Y = X2 sinh X 3. Y = 5 cosh (3X – 1) 24
dY dX dY dX dY dX
= cosh X
= cosh X
= sech2 X
Jaw ab : 1). Y = sinh 3X + 4 cosh X dY dX
= 3 cosh 3X + 4 sinh X
2) Y = X2 . sinh X dY dX
= 2X sinh X + X2 cosh X
3). Y = 5 cosh (3X – 1) dY dX
= 5 . 3 sinh (3X – 1) = 15 sinh (3X – 1)
Diferensiasi Invers Fungsi Hiperbolik Seperti halnya pada fungsi trigonometri, fungsi hiperbolikpun Jika Y = sinh X
juga mempunyai invers. Y = sinh inversnya
–1
X atau Y = arc sinh X, Y = arc . cosh X
maka inversnya Y = cosh X
dan
Y = cosh–1 X, dan
atau
seterusnya untuk bentuk lainnya. Adapun rumus – rumus dasar turunannya adalah :
1). Y = arc sinh X
o
2). Y = arc.cosh X
o
3). Y = arc.tgh X
o
dY dX
25
dY dX dY dX
=
=
=
1 ( X2 + 1 ) 1
-
(X2 – 1) 1 1 – X
2
-
Contoh : Tentukanlah turunan dari : 1). Y = arc . sinh ( 3X ) 2). Y = arc . cosh ( 2X ) 3). Y = arc . tgh ( 4X ) Jaw ab : 1). Y
= arc . sinh ( 3X )
dY
=
dX
3.1
=
( 3X )2 + 1
3
-
9X2 + 1
2). Y = arc . cosh ( 2X ) dY dX
=
2. 1 ( 2X )2 – 1
2
=
4X2 – 1
-
3). Y = arc . tgh ( 4X ) dY dX
=
4. 1
=
1 – ( 4X )2
4 1 – 16X2
-
Diferensiasi Fungsi Eksponensial Fungsi
Eksponensial
adalah
fungsi
yang
berupa
pemangkatan dari suatu bilangan tertentu dengan suatu variable atau fungsi variable tersebut. Bentuk-bentuk fungsi eksponensial meliputi : e X , e f (X) , a X atau a f (X) . Adapun rumus diferensiasinya adalah : 1). Y = e X
o
Y’ = e X
2). Y = e f (X)
o
Y’ = f ‘ (X) . e f (X)
3). Y = a X
o
Y’ = aX . ln a
4). Y = a f (X)
o
Y’ = f ‘ (X) . a f
26
(X)
. ln a
Pada rumus di atas e dan a adalah bilangan tetap tertentu. Contoh : Tentukanlah
dY
atau Y ’ dari fungsi - fungsi di bawah ini :
dX
1). Y = e3X
3). Y = 104X
2). Y = esin 2x
4). Y = 5cos 3X
Jawab : 1). Y = e3X
o
Y ’ = 3e 3X
2). Y = esin2X
o
Y ’ = 2 cos 2X. esin 2X
3). Y = 104X
o
Y ’ = 4.104X . ln 10
o
Y ’ = – 3 sin 3X . 5cos 3X .ln 5
4). Y = 5cos
3X
Diferensiasi Fungsi Logaritma Fungsi logaritma
adalah suatu fungsi yang berbentuk
Y = log ef(X) atau Y = log af(X). Untuk menentukan diferensiasinya digunakan rumus-rumus dasar sebagai berikut : dY
1). Y = log aX
dX dY
2). Y = log a f (X)
dX dY
3). Y = ln X
dX dY
4). Y = ln f (X)
dX 27
=
=
=
=
1 X . ln a f‘(X) f (X) . ln a 1 X
-
f ‘ (X) f (X)
Contoh : 1). Y = log 10X dY dX
- =
1 X. ln 10
2). Y = log 7 dY dX
=
=
3). Y = ln 4X dY dX
-
sin 3X
4X
=
1 X
-
4). Y = X . ln ( sinh X ) dY
sin 3X. ln X
dX
ln 7
4
2
3 cos 3X
3 cotg 3X
=
2
= X.
cosh X sinh X
+ 2X.ln (sinh X)
= X2 cotgh X + 2X ln (sinh X)
-
c. Rangkuman 2 : 1). Fungsi Transenden : adalah fungsi-fungsi selain fungsi aljabar, yaitu : fungsi Trigonometri dan Fungsi Hiperbolik beserta
Inversnya,
Fungsi
Ekponensial
dan
Fungsi
Logaritma. 2). Rumus-rumus dasar Diferensiasi Fungsi tersebut adalah : Diferensiasi Fungsi Trigonometri
a). Y = sin X
o
Y’ = cos X
b). Y = cos X
o
Y’ = sin X
c). Y = tg X
o
Y’ = sec2 X
d). Y = cotg X
o
Y’ = cosec2 X
e). Y = sec X
o
Y’ = sec X . tg X
f). Y = cosec X
o
Y’ = cosec X . cotg X
28
Diferensiasi Invers Fungsi Trigonometri
a). Y = arc sin X
o
b). Y = arc.cos X
c). Y = arc.tg X
dY dX
o
o
=
dY
dX
(1 – X2 )
-
–1
=
dX dY
1
2
(1 – X ) 1
=
1 + X2
-
-
Diferensiasi Fungsi Hiperbolik
a). Y = sinh X
o
b). Y = cosh X
o
c). Y = tgh X
o
dY dX dY
= cosh X
dX dY dX
= cosh X
= sech2 X
Diferensiasi Invers Fungsi Hiperbolik
a). Y = arc sinh X
b). Y = arc.cosh X
c). Y = arc.tgh X
o
o
o
29
dY dX dY dX dY dX
=
=
=
1 ( X2 + 1 ) –1
-
(X – 1) 2
1 1 – X2
-
Diferensiasi Fungsi Eksponensial
a). Y = e X
o
Y’ = e X
b). Y = e f (X)
o
Y’ = f ‘ (X) . e f (X)
c). Y = a X
o
Y’ = aX . ln a
d). Y = a f (X)
o
Y’ = f ‘ (X) . a f
(X)
. ln a
Diferensiasi Fungsi Logaritma dY
a). Y = log aX
o
b). Y = log a f (X)
o
c). Y = ln X
o
d). Y = ln f (X)
o
dX dY
=
=
dX dY dX dY dX
=
=
1 X . ln a f‘(X) f (X) . ln a 1 X
-
f ‘ (X) f (X)
d. Tugas 2 : Tentukan turunan dari fungsi –fungsi di bawah ini 1). Y = 3X3 .cos 5X
5). Y = sec 7X – cotg 5X
2). Y = – cos ( 3X2 – 4X +5 )
6). Y = 3 sin 2X .cosec 2X
3). Y =
4 sin X
1 + cos X
7). Y =
30
4 tg 7X 3 X5
-
4). Y = arc. cos ( X2 )
8). Y = arc. cos ( sec X )
9). Y = X2 tg –1 ( ½ X )
21). Y =
4 tg 7X 3 X5
-
10). Y = arc.tg ( X2 – 1 )
22). Y = ( 5X – 2 ).arc sin 6 X
11). Y = X3 cosh 2X
23). Y = sinh (cos X)
12). Y = tgh 3X
24). Y = cosh3 X
13). Y = sinh –1 X2 – 1
25). Y = 3 cosh –1 4X
14). Y = arc. cosh 3X
26). Y = ( 1 – X2 ) . tgh –1 X
15). Y = 2X
27). Y = X4 . e3X
3–X
16). Y = e
28). Y =
17). Y = log 6 sin 2X 18). Y = 6X – 7
29). Y =
19). Y = e2X. log 10X
30). Y =
20). Y = ln (3 – 8 cos X)
tg 2X e 4X
-
2 3X 3 e2X ln X e 4X
-
-
e. Tes Formatif 2 : 1). Y = X2 .sin 2X
9). Y = 3 sin4 5X
2). Y = 3 tg ( 5 X + 6 ) 3). Y = sin 4). Y =
-
–1
10). Y = arc. tg ( sin X ) 11). Y = 3X2 . 34X
( 3X + 2 )
4 sin X
1 + cos X
12). Y =
e2X 43X
-
5). Y = sinh –1 ( tg X )
13). Y = ( 1 – X2 ) . tgh–1 X
6). Y = e5X. (3X + 1)
14). Y = 5 2 – X. eX – 2
7). Y = 3. log 5X
15). Y = log 3 sin
8). Y = 4 ln tg 7X
16). Y = ln ( cos 4X ) 31
5X
f. Kunci Jawab Tes Formatif 2 : 1). Y’ = 2X sin 2X + 2 X2 cos 2X 2). Y’ = 15 sec 2 (5X+ 6)
10). Y’ =
3
3). Y’ = 2 {1 – (9X +12X + 4)} 4
4). Y’ =
5). Y’ =
1 + cos X
2
( tg X + 1)
sin X 2
1 + sin X
.
11). Y’ = 34X.(6X+12X2.ln3) e2X ( 2 – 3 ln 4 ) 12). Y’ = 3X 4
-
sec2 X
9). Y’ = 60 sin3 5X .cos 5X
13). Y’ = – 2 tgh –1 X + 1
.
14). Y’= 52 – X.eX – 2 (1 – ln 5)
6). Y’ = (15 X + 8 ) e 5X 7). Y ‘ =
1
X ln 5
15). Y =
28 sec2 7X 8). Y = tg 7X
5 cotg 5X ln 3
16). Y ‘ = – 4 tg 4X
3. Kegiatan Belajar 3 : Diferensiasi Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensial Parsial a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 : 1). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi logaritmik. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensiasi persamaan parametrik. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan diferensial parsial.
32
b. Uraian Materi 3 : Diferensiasi Logaritmik, Persamaan Parametrik dan Diferensial Parsial Diferensiasi Logaritmik Pada kegiatan belajar sebelumnya telah diberikan kaidah untuk mendiferensiasikan perkalian / pembagian dua buah faktor. Jika terdapat lebih dari dua buah faktor dengan berbagai variasi susunan perkalian/pembagian, maka kaidah tersebut tidak lagi dapat dipakai ( terlalu rumit ), untuk itu dikembangkan cara pendiferensiasian yang disebut diferensiasi logaritmik, yaitu suatu cara yang mendasarkan pada hasil penurunan fungsi logaritma, dan juga sifat-sifat logaritma. Adapun kaidah umum diferensiasi logaritmik adalah sebagai berikut : Misalnya Y =
U.V
( U, V, W dan Z semuanya fungsi X ) W .Z Maka diferensiasinya terhadap X dapat dicari dengan rumus : 1 dY Y dX
dY dX
=
=
1 dU U dX
+
1 dV
1
dW
1 dZ
V dX
W dX
Z dX
U.V
1
dU
W.Z
U
dX
+
1
dV
1 dW
1 dZ
V dX
W dX
Z dX
Ingat bahwa jika Y = ln X
Y' =
log A.B = log A + log B log
A B
-
= log A -- log B
33
1 X
-
-
Contoh : Tentukanlah diferensiasi ( turunan ) dari : 1). Y =
X3 sin X cos 2X
3). Y =
2). Y = X4 . e3X . cos 4X
e5X X2 sinh 2X
-
Jawab :
X3 . sin X 1). Y = cos 2X dY dX
=
=
X3 sin X
1
cos 2X
1
3X + cos X ( 2 sin 2X) X3 sin X cos 2X
cos 2X X3 sin X
1
2
(
3 X
+ cotg X + 2 tg 2X )
2). Y = X4 e3X cos 4X dY dX
= X4 e3X cos 4X (
1 X4
= X4. e3X . cos 4X (
3). Y = dY dX
=
=
e5X X2 sinh 2X e5X X2 sinh 2X e5X X2 sinh 2X
.4X3 +
4
1
1 . 3e3X + - .– 4 sin 4X ) e3X cos 4X
+ 3 – 4 tg 4X )
X
-
(
5 e5X e5X
(5
2 X
34
2X X2
2 cosh 2X sinh 2X
2 cotgh 2X )
)
Diferensiasi Persamaan Parametrik Dalam beberapa permasalahan tertentu, sering lebih mudah mengungkapkan suatu fungsi dengan menyatakan dalam sebuah variabel bebas ketiga atau biasa disebut parameter. Misalnya X = sin T ; Y = cos 2T.
Bentuk yang demikian
dinamakan persamaan parametrik, karena hubungan X dan Y tidak dinyatakan secara langsung, tetapi melalui sebuah parameter, yaitu T. Selanjutnya
untuk
menentukan
turunan
dari
suatu
persamaan parametrik, digunakan kaidah sebagai berikut : dY dX
dY
=
dT
.
Contoh: Tentukan
dT
dX dY
dX
( Y dan X = fungsi T )
dari persamaan parametrik berikut ini !
1). Y = cos 2t ; X = sin t 2). Y = 3 sin T – sin3 T ; X = cos3 T 4 + 5t
3). Y =
2 + 3t
; X =
2 – 3t 2 + 3t
-
Jaw ab : 1). Y = cos 2t dY dt dY dX
=
;
= – 2 sin 2t dY dt
.
dt dX
X = sin t dX dt
= – 2 sin 2t .
= – 4 sint 35
= cos t 1
cos t
dt dX
=
1 cos t
= – 2. 2 sin t . cos t
1 cos t
-
2). Y = 3 sin θ – sin3 θ dY dθ dY dX
dt
dX
2
= 3 cos θ – 3 sin θ cos θ 3 cos 3θ
=
3). Y = dY
X = cos3 θ
;
– 3 cos 2θ sin θ
dY dX
– cos θ
2 – 3t
X =
2 + 3t 5 (2 + 3t) – 3 (4 +5t) (2 + 3t)2
dX
;
dt
–2
2 + 3t
=
=
(2 + 3t )2 =
= – cotg θ
sin θ
4 + 5t
=-
=
=
dθ
–2 2
( 2 + 3t )
.
( 2 + 3t )2 – 12
- =
= –3 cos2 θ sin θ
-
–3 (2 + 3t) – 3 (2 – 3t) (2 + 3t)2 – 12 (2 + 3t)2 1 6
-
-
-
Diferensial Parsial Jika diketahui suatu fungsi dengan dua variabel bebas atau lebih, maka diferensiasi fungsi tersebut terhadap salah satu variabelnya dengan menganggap variabel lainnya tetap, maka diferensiasi
tersebut
dinamakan
diferensial
parsial
dan
dilambangkan dengan w (delta). Misalnya: Z = f ( X,Y ) maka diferensial parsial Z terhadap X dengan Y konstan ditulis dengan lambang
wZ
,
wX demikian juga difetrensial parsial Z terhadap Y dengan meng-
anggap X konstan ditulis dengan
36
wZ wY
.
Disamping harga-harga koefisien diferansial
wZ wX
dan
wZ
wY
dapat juga dicari koefisien diferensial parsial lainnya baik koefisien diferensial parsial pertama maupun kedua, yaitu : w2Z wX w2Z 2
wX
w2Z wY2
2
w2Z
,
=
wY
2
w2Z
,
wX.wY
w
wZ
wX
wX
=
,
wZ
wY
wY
masing-masing berarti :
wY.wX w2Z
;
w
w2Z
wX.wY w2Z
;
wY.wX
=
=
w
wZ
wX
wY
w
wZ
wY
wX
-
-
Contoh Soal : 1). Jika
diketahui fungsi
semua
koefisien
Z = X2 . Y3 maka tentukanlah
diferensial
parsialnya,
maupun kedua. Jaw ab : Z = X2 Y3
a).
b).
c).
wZ wX wZ wY w2Z wX2
= 2XY3
======
= X2.3Y2 = 3X2Y2
=======
=
w wX
(
wZ wX
) = 37
w wX
( 2XY3 ) = 2Y3
=====
baik pertama
d).
e).
f).
w2Z wY2 w2Z
w2Z wY wX
Catatan :
wZ
(
wY
(
wX w
=
) =
wY
w
=
wX.wY
.
w
=
wZ wY
wY
wY
) =
wZ
(
w
w wX w
) =
wX
( 3X2Y2 ) = 6X2Y
wY
======
( 3X2Y2 ) = 6XY2
======
( 2XY3 ) = 6XY2 ======
Jika diperhatikan dua hasil terakhir ternyata : w2Z
=
wX.wY
w2Z wY.wX
-
Sifat ini berlaku umum untuk semua bentuk atau semua fungsi. 2). Jika diketahui V = ln ( X2 + Y2 ) buktikanlah bahwa : w2V 2
wX
+
w2V
= 0
2
wY
Jaw ab : V = ln (X2 + Y2) wV wX
w2V 2
wX
2X
=
X2 + Y2
=
= wV wY
=
-
2(X2 + Y2) – 2X . 2X 2
2
(X + Y ) 2X2 + 2Y2 – 4X2 (X2 + Y2)2 2Y X2 + Y2
-
38
=
2Y2 – 2X2 (X2 + Y2)2
-
w2V 2(X2 + Y2) – 2Y . 2Y 2X2 – 2Y2 ---- = -------------------------- = -----------wY2 (X2 + Y2) (X2 + Y2)2 w2V
+
wX2
w2V wY2
=
2Y2 – 2X2 (X2 + Y2)2
+
2X2 – 2Y2 (X2 + Y2)2
-
2Y2 + 2X2 – 2Y2 – 2X2 = (X2 + Y2)2 = 0 Jadi terbukti bahw a
w2V wX
2
+
w2V wY
2
= 0
c. Rangkuman 3 : Diferensiasi Logaritmik Misalnya Y =
U.V
( U, V, W dan Z semuanya fungsi X )
W .Z
Maka diferensiasi Y terhadap X dapat dicari dengan kaidah diferensiasi logaritmik sebagai berikut : dY dX
=
U.V
1
dU
W.Z
U
dX
+
1
dV
1 dW
1 dZ
V dX
W dX
Z dX
-
Diferensiasi Persamaan Parametrik Untuk menentukan turunan dari suatu persamaan parametrik, digunakan kaidah sebagai berikut : dY dX
=
dY dT
.
dT dX
Dalam rumus ini : Y dan X = fungsi T T = parameter
-
39
Diferensial Parsial Misalnya: Z = f ( X,Y ) maka diferensial parsial pertama Z terhadap X dengan Y konstan ditulis dengan lambang
wZ
wX Demikian juga difetrensial parsial pertama Z terhadap Y dengan menganggap X konstan ditulis dengan
wZ wY
,
.
Selanjutnya koefisien diferensial parsial keduanya, ditulis : w2Z wX
2
w2Z wX2 w2Z 2
wY
w2Z
,
wY =
=
2
w
w2Z
,
wX.wY
wZ
wX wX w
wZ
wY
wY
,
;
;
w2Z wY.wX w2Z wX.wY w2Z wY.wX
masing-masing berarti :
=
=
w
wZ
wX
wY
-
w
wZ
wY
wX
-
d. Tugas 3 : 1). Tentukan diferensiasi logaritmik dari : a). Y = 3X6. cos 6X. sin 3X
b). Y =
c). Y =
e4X . sin X X cos 2X
d). Y =
e3X ln X 3 (X – 1) 34X 3X
4
. ln 2X
2). Tentukan turunan persamaan parametrik berikut ini ! a). Y = tg θ
; X = ln tg ½θ
b). Y = 4 sin3 θ ; X = 4 cos3 θ 40
c). Y =
4 – 2r 1+r
; X=
2 – 4r 1+r
-
3). Tentukanlah semua koefisien difetrensial parsial pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut ini. a). Z = 3X . sin 2Y b). Z = (X+Y).ln (XY) c). Z = tg (3X+2Y) d). Z =
2X+3Y 2X–3Y
e. Tes formatif 3 : 1). Tentukan diferensiasi logaritmik dari : 2X
a). Y = ( 3X + 1 ). cos 2X . e
b). Y =
X. sin X 1 + cos X
-
2). Tentukan turunan persamaan parametrik berikut ini ! a). Y = sinh 3θ ;
X = cosh 3θ
b). Y = 4 ( θ – sin θ ) ;
X = 4 ( 1 – cos θ )
3). Tentukanlah semua koefisien difetrensial parsial pertama maupun kedua dari fungsi-fungsi berikut ini. a). V =
S 4
2
d h
3X – Y
b). Z =
X + 2Y
-
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 3 : 1). a).
b).
2). a).
dY dX dY dX dY dX
= ( 3X + 1 ).cos 2X.e2X (
=
X. sin X 1 + cos X
(
1 X
= cotgh 3 θ
3X + 1
+ cotg X +
b).
41
3
dY dX
– 2 tg 2X + 2 ) sin X 1 + cos X
)
= cosec θ – cotg θ
3) a).
wV wd
S
=
w2V
2
wd
w2V wh. wd
b).
wZ wX w2Z wX2
S
=
2
2
=
=
w2Z wY. wX
2
w2V wh
w2V wd.wh
7Y
S
wY
2
w2Z
(X + 2Y) 4
wY2
7X2 – 28Y2
w2Z
(X + 2Y) 4
wX.wY
d
– 7X
=
– 14XY – 28Y2
=
d2
4
=
wZ 2
S
= 0
2
.d
(X + 2Y)
=
wh
.h S
=
wV
d.h
(X + 2Y)
= -
=
-
2
28X2 + 56 XY (X + 2Y) 4 7X2 – 28Y2 (X + 2Y) 4
-
-
4. Kegiatan Belajar 4 : Aplikasi Diferensial Fungsi a. Tujuan Kegiatan Belajar 4 : 1). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensiasi fungsi dalam tafsiran geometris. 2). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensiasi fungsi dalam masalah maksimum dan minimum fungsi. 3). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensial parsial dalam menentukan nilai perubahan fungsi.
42
4). Mahasiswa dapat menyelesaikan masalah aplikasi diferensial parsial dalam menentukan kecepatan perubahan fungsi. b. Uraian Materi 4 : Aplikasi Diferensiasi Fungsi Arti Diferensiasi Fungsi Secara Geometris Untuk mendapatkan pengertian arti diferensiasi fungsi secara geometris dapat diperhatikan Gambar 1 di bawah ini : Y= f ( X ) Y K
f (X+h )
H
f (X )
Q(X+h, f (X+h) )
P
M 0
X
h
R
P (X, f(X) )
N
X
X+h
Gambar 1 Dari gambar diatas tampak bahwa : f ( X + h ) – f (X) h
=
HK MN
=
QR PR
= gradien tali busur PQ
Sehingga dideferensiasi fungsi yang dahulu dirumuskan sebagai limit h o0
f ( X + h ) – f (X)
Jika diambil
h h
=
limit ( gradien PQ ) h o0
sangat kecil ( mendekati nol ) maka titik Q
mendekati P atau bahkan berimpit dengan P.
43
f (X+h) – f (X) Sehingga : limit = gradien garis singgung ho0 h kurva di P Karena titik P(X, f (X)) berarti bahwa diferensiasi fungsi Y = f (X):
f ‘ (X) = limit ho0
f (X+h) – f (X) h
= gradien garis singgung di titik (X,Y) pada kurva Y = f (X)
Akhirnya dapat disimpulkan bahwa jika diketahui kurva Y = f (X) maka arti geometris dari f ‘ (X) atau
f ‘ (X) =
dY dX
dY dX
adalah :
= gradien garis singgung di (X,Y) pada kurva Y = f (X)
Catatan : Istilah lain untuk gradien = kemiringan atau “slope” dan dilambangkan : m Persamaan Garis Singgung dan Garis Normal Kemiringan
kurva
Y = f (X)
di sebuah titik P pada
kurva tersebut ditentukan oleh kemiringan garis singgungnya dititik P juga. Karena kemiringan ini berharga maka
besarnya dapat dihitung
dY
dititik P, dX jika persamaan kurvanya
diketahui. Dengan demikian persamaan garis singgungnya juga dapat dicari, yaitu berdasarkan persamaan umum sebuah garis lurus dengan gradien m dan melalui sebuah titik (X1, Y1) , yaitu: Y – Y1 = m (X – X1 ) Selanjutnya jika diperlukan juga dapat ditentukan persamaan garis normalnya, yaitu garis lurus yang melalui P dan tegak lurus
44
terhadap garis singgung di titik P juga. Secara umum diperoleh hubungan gradien kedua garis tersebut, yaitu: –1
Gradien Garis Normal =
Gradien Garis Singgung
Contoh: 1). Carilah persamaan garis singgung dan garis normal pada parabola Y = 3X2 + 4X – 5 dititik ( 1, 2 ) Jawab: Pertama dihitung dulu gradien garis singgungnya (
dY dX
)
Y = 3X2 + 4X – 5 dY dX
= 6X + 4
Untuk X = 1 o
m
=
dY dX
= 6.1 + 4 = 10
Jadi persamaan garis singgung di ( 1, 2 ) Y – 2 = 10 ( X – 1 ) Y = 10X – 10 +2 atau
Y = 10X – 8
Selanjutnya persamaan garis normalnya dapat dicari dengan terlebih dulu menghitung gradien / kemiringannya, yaitu = sehingga persamaan garis normal di titik ( 1, 2 ) adalah : Y–2=
Y =
–1 10
–1 10
(X–1)
10 Y = – X + 21
(X +1) 45
–1 10
-
2). Garis singgung di titik P pada kurva yang persamaannya 4Y = X2 + 4X – 16 sejajar garis 6 X – 2 Y = 5 . Tentukanlah koordinat titik P, persamaan garis singgung dan garis normal di titik P tersebut ! Jaw ab: 4Y = X2 + 4X – 16 Y = ¼ X2 + X – 4 dY dX
= ½X+1
Garis 6 X – 2 Y = 5 Y = 3X – 2 ½ o m =
dY
= 3
dX
Karena garis singgung di P sejajar garis 6X – 2Y = 5 berarti gradiennya sama, yaitu m = 3, sehingga : ½ X + 1 = 3 ½ X = 2 dan diperoleh X = 4 dan Y = 4. Jadi koordinat titip P adalah P ( 4, 4 ). Persamaan garis singgung di P : Y – 4 = 3 ( X – 4 ) Y=3X–8 Gradien garis normalnya m = – 1/3 Persamaan garis normalnya : Y – 4 = –1/3 ( X – 4 ) Y = – 1/3 X + 4/3 + 4
o
3 Y = – X + 16
Kadang-kadang persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk fungsi implisit atau dapat juga berbentuk pasangan persamaan parametrik. Tetapi tidak perlu khawatir karena pada kegiatan belajar
terdahulu telah dijelaskan bagaimana cara
mencari diferensiasinya.
46
Contoh : 3). Carilah persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 3) pada kurva X2 + Y2 – 5 XY + 17 = 0 Jaw ab : X2 + Y2 – 5 XY + 17 = 0 2X + 2 Y
dY dX
( 2Y – 5X )
dY
– 5 Y – 5X
dY dX
dX
=0
dY
= 5 Y – 2X o
Di titik ( 2, 3 ) harga
dY dX =
dX
=
5.3–2.2
=
2.3–5.2
– 11 4
5Y – 2X 2Y – 5X -
-
Persamaan singgung di titik ( 2, 3 ) Y-3=
Y=
– 11 4
– 11 4
(X–2)
X+
11 2
+3
Y = – 2 ¾ X + 8 ½-
atau
4Y = – 11 X + 34
Persamaan garis normalnya : Gradien garis normal =
–1 –11 / 4
=
4 11
-
Persamaan garis normal di titik ( 2, 3 ) : Y–3 =
4 11
(X–2)
47
-
4
Y=
11
X+2
3
atau
11
=============
11 Y = 4 X + 25 ============
4). Tulislah persamaan garis singgung dan garis normal di θ = jika diketahui persamaan Y = cos 2θ
dan
X = sin θ .
S 6
-
Jaw ab : Y dY dθ
= cos 2 θ
X dX
= – 2 sin 2θ
dθ
= sin θ = cos θ o
dθ dX
=
1 cos θ
-
= – 4 sin θ cos θ dY dX
=
dY dθ
dθ
.
dX S
Untuk θ =
6
=
– 4 sin θ. cos θ cos θ dY
o
= – 4 sin θ
= – 4 sin
dX
S 6
= –4. ½ = –2
Jadi kemiringan garis singgung yang melalui (X, Y) adalah –2, sehingga persamaan garis singgung tersebut dapat dicari dengan terlebih dahulu menghitung harga X dan Y untuk yang telah diketahui. S Untuk θ =
6
S X = sin
o
Y = cos
6 S 6
= ½
= ½
? Persamaan garis singgung dapat ditulis : Y – ½ = – 2 (X – ½ )
48
θ
Y = – 2X + 1 ½
atau
Kemiringan garis normal =
2Y = 4X + 3 –1 –2
= ½
Jadi persamaan garis normalnya : Y–½ = ½ (X–½) Y=½X + ¼ =============
atau
4Y = 2X + 1 ==========
Maksimum dan Minimum suatu Fungsi Dalam kehidupan, termasuk juga di bidang teknik otomotif sering kali dihadapkan pada masalah penentuan cara terbaik untuk melakukan sesuatu. Cara terbaik tersebut kadang-kadang menyangkut masalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi pada himpunan tertentu. Masalah-masalah tersebut ternyata dapat dipecahkan dengan bantuan diferensiasi fungsi, baik diferensiasi pertama ataupun diferensiasi kedua. Untuk memahami masalah maksimum dan minimumnya suatu fungsi, perhatikanlah grafik yang menunjukkan hubungan antara suatu fungsi dengan dan diferensiasinya sebagaimana tampak pada Gambar 2 di bawah ini : Dari grafik-grafik tersebut terlihat hal-hal sebagai berikut : 1). Dari kurva Y = f ( X ) tampak bahwa : a). Pada titk A dicapai harga Y maksimum, karena dititik A ini harga Y lebih
besar dibandingkan harga Y yang lain di
dekatnya. b). Pada titik B harga Y minimum, karena lebih kecil dari pada harga Y yang lain di dekatnya. c). Pada titik C kurva mendatar atau didapat harga Y setengah maksimum dan setengah minimum, kurva tidak terus membalik ke bawah tetapi membelok keatas 49
dengan gradien positif yang terus bertambah. Titik ini disebut titik belok. Titik A, B dan C disebut titik balik atau harga stasioner Y. 2). Dari kurva turunan pertama tampak bahwa: Untuk
Y
dY dX
setiap titik balik berlaku
dY dX
A
Y=f(X) C
B
0
dY dX
= 0
X1
X2
X3
X
-
0
Y=f’(X)
X1
X2
X3
d2Y dX2
0
X
Y=f “(X)
X1
X2 50 Gambar 2
X3
X
3). Dari grafik (kurva) turunan kedua terlihat bahwa : a). Jika
b). Jika
c). Jika
d2Y dX2 d2Y dX2 d2Y dX2
> 0 maka Y berharga minimum
< 0 maka Y berharga maksimum
= 0 maka terjadi titik belok
Selanjutnya jika suatu fungsi didefinisikan pada suatu interval tertutup, maka nilai maksimum atau minimumnya dapat terjadi kecuali pada nilai-nilai stasionernya mungkin juga dapat terjadi pada ujung-ujung intervalnya. Contoh Soal : 1). Akan dibuat sebuah kotak siku (berbentuk balok ) dari selembar plat seng yang panjangnya 24 cm dan lebarnya 9 cm. Lembaran seng tersebut dipotong persegi identik pada keempat pojoknya, kemudian dilipat ke atas sisinya sehingga terbentuk kotak ( lihat gambar 3 ). Tentukanlah ukuran kotak agar volumenya maksimum ! X 9 cm
24 c m
24 – 2X Gambar 3
51
9 – 2X
Penyelesaian : Misalnya sisi segi empat pada setiap pojok = X cm dan volumenya = V cm3. Maka V = (24 – 2X).(9 –2X).X = 216 X – 66X2 + 4X3 Harga X adalah : 0 ≤ X ≤ 4,5 Jadi permasalahan dalam soal ini adalah memaksimumkan V pada interval : 0 ≤ X ≤ 4,5. Adapun V akan maksimum jika
V = 216 X – 66X2 + 4X3 maka dV dX
dV dX dV dX
=0
= 216 – 132 X + 12 X2
= 0 o 216 – 132 X + 12 X2 = 0 12 ( 9 – X ).( 2 – X ) = 0 9–X=0 X=9
atau 2 – X = 0
atau
X =2
Untuk X = 9 tidak termasuk dalam interval 0 ≤ X ≤ 4,5 , sedangkan harga X pada ujung-ujung interval yaitu X = 0 dan X = 4,5 harga V = 0 Untuk X = 2 maka
V = 216. 2 – 66.22 + 4.23 = 200
Jadi V maksimum = 200 cm3 , sehingga ukuran kotak agar volumenya maksimum adalah : Panjang kotak = 24 – 2.2 = 20 cm Lebar kotak
= 9 – 2.2 =
5 cm
Tinggi kotak
=
2 cm
52
2). Direncanakan pembuatan sebuah kotak terbuka yang alasnya berbentuk persegi. Volume kotak = 32 liter.
Tentukanlah
ukuran kotak agar bahan yang digunakan sesedikit mungkin ! Penyelesaian : Misal sisi (alas) segiempat = X dm h
dan tinggi kotak = h dm, maka volume kotak V = X2 h 2
X
X h = 32 o h =
32
-
2
X
Gambar 4
Bahan pembuat kotak akan menjadi minimun apabila jumlah luas bahan juga minimun. Jumlah luas bahan pembuat kotak L = X² + 4Xh substitusi h ke dalam L didapat : L = X² +
128 X²
Agar L minimum
2X –
128 X²
dL
o dL dX
dX
= 2X–
128 X²
-
= 0
=0
2X³ – 128 = 0 X³ – 64 = 0 o ( X – 4 ) ( X² + 4X + 16 ) = 0 Persamaan ini hanya dipenuhi bila X = 4 Untuk X = 4 maka h =
32 4²
=
32 16
=2
Jadi ukuran kotak agar bahan yang diperlukan minimum yaitu : Panjang kotak = Lebar kotak = 4 dm Tinggi kotak
53
= 2 dm
Aplikasi Diperensial Parsial pada Perubahan Kecil Fungsi Jika diketahui Z adalah suatu fungsi dari X dan Y atau Z= f (X,Y), maka apabila X dan Y mengalami perubahan tentu saja Z juga berubah. Untuk perubahan kecil X dan Y sebesar GX dan GY akan menyebabkan perubahan Z sebesar GZ. Apabila GZ dijabarkan dalam deret pangkat dari GX dan GY, maka akan diperoleh GZ = A.GX + B.GY + suku-suku GX dan GY yang berpangkat lebih tinggi dengan A dan B adalah fungsi X dan Y. Untuk Y konstan, maka GY = 0, sehingga: GZ = A.GX + suku-suku dalam GX yang berpangkat lebih tinggi. wZ
wZ = A atau jika Gx o 0 maka A =
wX
wX
-
Dengan jalan yang sama jika X konstan, dengan
GY o 0
diperoleh : B=
wZ wY
GZ =-
Jadi
wZ wX
selanjutnya akan diperoleh harga GZ sebagai berikut : wZ GX +
wY
GZ =
GY + suku-suku kecil yang dapat diabaikan.
wZ wX
GX +
wZ wY
GY
Rumus di atas tidak terbatas pada suatu fungsi dengan dua variabel bebas saja, tetapi juga berlaku untuk sembarang fungsi dengan sejumlah variabel ( lebih dari dua variabel ), misalnya : Jika Z = f ( X,Y,….,W ), maka besarnya perubahan Z akibat perubahan setiap variabel bebasnya dapat dihitung dengan rumus : 54
GZ =
wZ wX
wZ
GX +
wZ GY + … +
wY
GW wW
Contoh Soal : 1). Sebuah tabung berbentuk silinder memiliki jari-jari r = 10 cm dan tingginya h = 15 cm. Jika r bertambah sebesar 0,3 cm dan h berkurang 0,2 cm maka berapakah besarnya perubahan volume tabung tersebut ? Penyelesaian: Volume silinder V = S r² h wV wr
=2Srh
dan
wV wh
= S r²
Karena r = 10 cm dan h = 15 cm ,maka : wV wr wV wh
= 2 S . 10 .15 = 300 S
= S . 102
= 100 S
G r = 0,3 ( positif karena bertambah ) G h = – 0,2 ( negative karena berkurang ) Jadi : GV =
wV wr
+
wV wr
Gh
= 300 S .0,3 +100 S .( – 0,2 ) = 90 S – 20 S = 70 S = 220 Jadi volume tabung bertambah sebesar = 220 cm3 ==========
55
V
2). Jika diketahui I =
R
- dengan V = 220 volt dan R = 44 ohm
Maka tentukanlah perubahan I jika V bertambah sebesar 1 volt dan R juga V
Jaw ab : I = wI wV
bertambah 0,4 ohm !
R
-
1
=
wI
dan
R
wR
GV = 1 volt dan GI =
=
=
wI wV 1 R 1 44
=
=–
V 2
R
-
GR = 0,4 ohm wI
GV +
GR wR V
GV
.1
R2 220 2
44
GR
0,4
0,0227
Jadi I turun sebesar = 0,0227 Ampere ============
Aplikasi Diperensial Parsial pada : Kecepatan Perubahan Suatu Fungsi Telah disebutkan terdahulu bahwa jika Z = f (X,Y) maka diperoleh harga Gz besarnya : wZ GZ=
wX
wZ GX +
wY
GY
56
Jika kedua ruas pada persamaan diatas dibagi dengan Gt maka didapat : GZ Gt
=
wZ wX
.
GX Gt
+
wZ
.
wY
GY Gt
-
untuk harga Gt yang sangat kecil ( Gt GZ Gt
o
dZ
dX
GX ;
dt
Gt
o
0 ) maka : GY
dan
dt
dY
o
Gt
dt
-
tetapi koefisien diferensial parsial lainnya yang tidak memuat Gt adalah tetap ( tidak
Jadi :
dZ dt
=
berubah ). wZ wX
.
dX dt
+
wZ wY
.
dY dt
-
Rumus di atas dinamakan rumus kecepatan perubahan suatu fungsi, dan rumus tersebut dapat dikembangkn untuk fungsi lain yang mempunyai lebih dari dua variabel bebas . Contoh Soal : Jari-jari
sebuah
silinder
pertambahan 0,1 cm/detik, dengan
kecepatan
bertambah
dengan
sedangkan tingginya berkurang
pengurangan
0,4
cm/det.
kecepatan perubahan volume silinder itu pada saat dan h = 21 cm. Jaw ab : Volume silinder V = S r2 . h wV wr
=2Srh ;
wV wh
= S r2
Untuk r = 14 cm dan wV wr
h = 21 cm didapat :
= 2 S .14. 21 = 1848 cm2
57
kecepatan Tentukanlah r = 14 cm
wV wh
= S r2 = S. 142 = 616 cm2
Sehingga kecepatan perubahan volume silinder (
dt dV dt
dr = 0,1 cm/det
=
wV wr
.
dr dt
dan
+
wV wh
.
dt
dt
) jika
dh = – 0,4 cm/det.
dt dh
dV
-
= 1848 . 0,1 – 616 . 0,4 = – 61,2 cm3 / det. Jadi, kecepatan pengurangan volume silinder : 61,2 cm3 /det.
c. Rangkuman 4 : 1). Arti geometris dari turunan Y terhadap X adalah : f ‘ (X) =
dY dX
= gradien garis singgung di (X,Y) pada kurva Y = f (X)
2). Persamaan garis singgung pada kurva Y = f (X) dengan gradien m dan melalui sebuah titik (X1, Y1) , yaitu: Y – Y1 = m (X – X1 ) 3). Hubungan antara gradien garis singgung dengan gradien garis normal adalah :
Gradien Garis Normal =
58
–1
Gradien Garis Singgung
4). Harga maksimum dan minimum sebuah fungsi dapat ditentukan dengan pedoman : a). Dari kurva turunan pertama tampak bahwa: Untuk
dY
dY
setiap titik balik berlaku
dX
dX
= 0
b). Dari grafik (kurva) turunan kedua terlihat bahwa : d2Y
(1). Jika
dX2
(2). Jika
(3). Jika
d2Y
> 0 maka Y berharga minimum
< 0 maka Y berharga maksimum
dX2 d2Y dX2
= 0 maka terjadi titik belok
5). Jika Z = f ( X,Y,….,W ), maka besarnya perubahan Z akibat perubahan setiap variabel bebasnya dapat dihitung dengan rumus : GZ =
wZ wX
wZ
GX +
wY
GY + … +
wZ
GW
wW
6). Jika Z = f (X, Y) maka kecepatan perubahan Z dapat dihitung dengan rumus : dZ dt
=
wZ wX
Pada rumus tersebut
.
dX dt wZ wX
+
wZ wY
dan
.
wZ wY
dY dt
masing - masing
adalah diferensial parsial dari Z terhadap X dan terhadap Y. 59
d. Tugas 4 : 1). Tentukanlah persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva-kurva berikut di titik yang diberikan ! a). Pada kurva Y =(X – 2)2 di titik (4, 4) b). Pada kurva X3 + X2Y +Y3 – 7 0 di titik (2, 3) c). Pada kurva Y =
d). Pada ellips
X2 169
2X
di titik ( 3, 3/5 )
X2 + 1 +
Y2 25
= 1 di titik ( 13 cos T , 5 sin T )
2). Seorang mekanik mempunyai 100 meter kawat berduri dan akan dipakai untuk membuat kandang / pagar suatu gudang yang bentuknya seperti gambar di bawah. Y Berapa ukuran pagar tersebut X
agar luasnya maksimum ? AB = BC A
B
C
3). Lihat gambar kandang pada soal nomor 2. Jika diketahui luas masing-masing bagian kandang tersebut = 400 meter persegi. Berapakah ukuran pagar supaya kawat berduri yang diperlukan seminimal mungkin ? 4).
Carilah ukuran tabung tegak dengan
volume
maksimum yang dapat 60
dibuat / ditempatkan di dalam sebuah kerucut seperti gambar di samping jika tinggi kerucut = 60 cm
30 60
dan jari-jarinya 30 cm.
5). Dalam rumus D =
E. h3 12(1–V2)
diberikan besarnya h dan V
masing–masing h = 0,1 r 0,002 dan V = 0,3 + 0,002 Ungkapkanlah harga pendekatan
maksimum dari D jika
diketahui E = 220 Volt ! 6). Diketahui Y = A sin ( pX + a ). cos ( qt + b ). Tentukanlah kesalahan
yang timbul untuk Y sebagai akibat kesalahan
pada X dan t masing – masing sebesar GX dan Gt. 7). Pada segitiga siku - siku di samping X bertambah dengan kecepatan 2 cmdet. X
Y
dan Y berkurang dengan kecepatan 3 cm/det. Hitung kecepatan perubahan
Z
Z segitiga tersebut saat X = 10 cm dan Y = 8 cm !
8). Jika ditentukan Z = 2XY – 3X2Y dan X bertambah dengan kecepatan:
2
cm/detik,
maka
tentukanlah
kecepatan
perubahan Y agar Z tidak bertambah dan tidak berkurang pada saat X = 3 cm dan Y = 1 cm
e. Tes formatif 4 : 1). Tentukanlah persamaan garis singgung dan garis
normal
pada kurva-kurva berikut di titik yang diberikan ! a). Pada kurva Y = X3 – 6X2 + 12X + 1 di titik ( 0, 1 ) b). Pada fungsi / persamaan X = 2 cos3 θ dan Y=2 sin3 T untuk T = ¼ S radian. 2). Jumlah dua bilangan X dan Y adalah 40. Jika hasil kalinya adalah p maka hitunglah hasil kali terbesar kedua bilangan tersebut dan juga tentukanlah kedua bilangan itu. 61
3). Diperlukan sebuah kotak terbuka dengan kapasitas sebesar 36000 liter. Jika panjang kotak harus dua kali lebarnya, tentukanlah ukuran kotak agar bahan pembuat yang diperlukan sesedikit mungkin ? 4). Jika diketahui P =
E2
dengan E = 220 Volt dan R = 8 ohm,
R
tentukanlah perubahan P yang terjadi akibat penurunan E sebesar 5 Volt dan kenaikan R sebesar 0,2 ohm ! 5). Jari-jari lingkaran alas sebuah kerucut berkurang dengan kecepatan
0,2 cm/detik dan tingginya bertambah dengan
kecepatan 0,3 cm/detik. ubahan volumenya
Tentukanlah
kecepatan
pada r = 4 cm dan h = 5 cm.
f. Kunci Jaw ab Tes Formatif 4 : 1). a) . Y = 12 X + 1 dan Y = –
1 12
X+1
b). Y = – X + 2 dan Y = X 2). p maks = 400; X = Y = 20 3) panjang = 60 cm ; Lebar = 30 cm dan
Tinggi = 20 cm.
4). P berkurang : 426,25 W att 5).
dV dt
= – 9,6 cm3/det. = – 30,16 cm3/det (berkurang )
62
per-
BAB III EVALUASI
A. Pertanyaan 1. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! a. Y = 6X4 – 3X2 – 6X +7+ 3 X
f. Y = 5 sin –1 6X
b. Y = ( 2X3 – 3 ) .sin ( 5X – 7 )
g. Y = ( 1 – 4X2 ). tgh–1 2X
c. Y =
2 cos 3X 3 – sin 2X
-
h. Y =
d. Y = 2 ( 4X2 – 5X + 1 ) – 6
3 e 5X 5 2X
-
i. Y = 9. log 7X + 4 ln tg 7X
e. ( 4 X2 – 5XY + 6Y2 ) = 7 2. Tentukan diferensiasi logaritmik dari : a. Y = ( 2 – 5X ). sin 7X . 39X
b. Y =
4X. tg 2X cosh 3X
-
3. Tentukan turunan persamaan parametrik berikut ini ! a. Y = sin 5θ ;
X = 4 cos 2θ
b. Y = 5 ( θ + cos 2θ ) ;
X = 3 ( 1 – sin 2θ )
4. Tentukanlah semua koefisien diferensial parsial pertama dari fungsi-fungsi berikut ini. a. V =
S 3
R2 H
b. Z =
4X + 2Y 3X – 5Y
5. Tentukanlah persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva
Y = 5X2 – 7X + 8
di titik ( 1, 6 )
63
6. Akan dibuat sebuah tangki tertutup berbentuk dengan kapasitas sebesar 2000 liter. Tentukanlah ukuran tangki agar bahan yang diperlukan sesedikit mungkin ? 7. Jika diketahui E = I. R dengan I = 5 Amper dan R = 3 ohm, tentukanlah perubahan E yang terjadi akibat penurunan I sebesar 0,5 Amper dan kenaikan R sebesar 1 ohm ! 8. Jari-jari lingkaran alas sebuah tabung silindris bertambah dengan kecepatan 0,1 cm/detik dan tingginya berkurang dengan kecepatan 0,2 cm/detik.
Tentukanlah
kecepatan perubahan volumenya
jika r = 6 cm dan h = 8 cm. B. Kunci Jaw aban 1. a. Y ‘ = 24X3 – 6X – 6 +1½ X –½ b. Y ‘ = 6X2.sin (5X – 7) + (10X3 – 15) .cos (5X – 7) c. Y ’ =
– 18 sin 3X .+ 6 sin 3X .sin 2X + 4 cos 3X. sin 2X) ( 3 – sin 2X ) 2
d. Y ‘ = (4X2 – 5X +1 ) –7 (– 96 X + 60 ) e.
f.
dY dX dY dX
=
=
8X – 5Y
5X – 12Y 30
1 – 36X
2
-
g. Y ‘ = – 8X tgh–1 2X + 2 15 e5X (15 – 6 ln 5) h. = dX 52X dY
i.
28 sec2 7X = + dX X ln 7 tg 7X
dY
9
64
-
–5
2. a. Y ’ = ( 2 – 5X ).sin 7X. 39X (
b. Y ‘ = dY
3. a.
4. a.
dX wV wR wV wH
4X. tg 2X
(
cosh 3X =
1
– 5 cos 5θ 8 sin 2θ
tg 2X
-
b.
= ⅔SRH
b.
= ⁄3 S R
5. Y = 3 X + 3
dY dX wZ wX
wY dan
– 3 tgh 3X ) 5 – 10 sin 2θ = 6 cos 2θ =
– 14 Y
(3X – 5Y)2
wZ
2
1
+ 7 cotg 7X + 9 ln 3 )
2 sec2 2X
+
X
2 – 5X
=
26 X
(3X – 5Y)2
Y = – 1⁄3 X + 6 1⁄3
6. Jari-jari alas = 6,83 dm, tinggi = 13,65 dm 7. Perubahan E = 3,5 volt ( bertambah ) 8.
dV dt
- = 2,4 S cm/det. = 7,54 cm/det.
C. Kriteria Kelulusan Kriteria Kognitif ( soal nomor 1 sd. 8 )
Skor Bobot (1 – 10) 5
Ketelitian menulis notasi
1
Ketepatan prosedur
2
Ketepatan formula jawaban
1
Ketepatan waktu
1
NILAI AKHIR
65
Nilai
Keterangan
Syarat lulus nilai minimal 56
BAB IV PENUTUP
Demikianlah mudul MAT. TKF 201 – 02 dengan judul Fungsi
ini telah
latihan/tugas,
tes
selesai
formatif
disusun maupun
dengan evaluasi
Diferensiasi
dilengkapi akhir
beberapa
beserta
kunci
jawabannya. Dengan bantuan modul ini diharapkan para mahasiswa dapat memantau sendiri perkembangan kompetensinya, apakah mereka telah benar-benar memiliki kompetensi sebagaimana tercermin pada tujuan yang diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum. Bagi para mahasiswa yang telah mencapai syarat kelulusan minimal maka mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada modul ini dan melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus mengulang kembali belajarnya terutama pada bagian materi-materi yang belum dikuasainya ( belum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh-sungguh dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas yang ada termasuk bantuan dari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini.
66
DAFTAR PUSTAK A
Kreyszig, E. 1993. Matematika Teknik Lanjutan Buku 1 & 2 (Terjemahan). Jakarta: PT. Gramedia. Njoman Susilo dkk., 1988. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga Spiegel, M.R. 1984. Matematika Lanjutan (Terjemahan). Jakarta: Erlangga Stroud, K.A. 1986. Erlangga.
Matematika untuk Teknik (Terjemahan). Jakarta:
67
