LANDASAN TEORI Dalam bagian ini akan dibahas teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan selanjutnya, yang diberikan dalam bentuk definisi-definisi, beberapa lema dan teoremateorema penting. Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak) Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama. Namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 2 (Ruang Contoh) Ruang contoh adalah himpunan yang beranggotakan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan acak dan biasa dinotasikan dengan Ω. [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 3 (Medan-σ) Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut: 1. F 2. Jika A1 , A2 ,... F maka
A F i 1
i
3. Jika A F maka A c F , dengan Ac menyatakan komplemen dari himpunan A. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 4 (Ukuran Peluang) Suatu ukuran peluang P pada ( , F ) adalah suatu fungsi P : F [0,1] yang memenuhi syarat-syarat berikut: 1. P () 0 dan P () 1 2. Jika A1 , A2 ,... F adalah himpunanhimpunan yang saling lepas, yaitu Ai Aj untuk setiap pasangan i, j dengan i j maka
P Ai P( Ai ) . i 1 i 1 Pasangan (, F , P ) disebut
Peubah Acak dan Sebarannya Definisi 5 (Peubah Acak) Suatu peubah acak adalah suatu fungsi X : R dengan sifat bahwa untuk setiap x R , {; X () x} F . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 6 (Fungsi Sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX : R [0,1] , yang diberikan oleh FX (x ) P ( X x ) . [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu) Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai berikut x
FX ( x) f X ( u) du
x R , untuk suatu fungsi f : R [0, ) yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 8 (Fungsi Kepekatan Peluang) Misalkan X adalah peubah acak. Fungsi f : R [0, ) sedemikian sehingga untuk setiap himpunan A R ,
P( X A) f ( x)dx A
disebut fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Nilai Harapan, Ragam, Standar Deviasi dan Koragam Definisi 9 (Nilai Harapan) Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X ( x) . Nilai harapan dari X adalah
E[ X ] xf X ( x) ,
asalkan integralnya ada. ruang
peluang. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]
Beberapa sifat dari nilai harapan 1. Jika k suatu konstanta, maka E [k ] k .
2.
Jika k suatu konstanta dan X 1 , X 2 adalah peubah acak, maka E[ k1 X 1 k 2 X 2 ] k1E[ X 1 ] k 2 E[ X 2 ] .
3. Jika k suatu konstanta dan X 1 , X 2 ,..., X n adalah peubah acak, maka Cov ( X , k 1X 1 k 2 X 2 ... kn X n )
k1Cov( X , X 1 ) k2 Cov( X , X 2 ) ...
Secara umum, jika k1 , k2 ,..., kn adalah konstanta dan X 1, X 2 ,..., X n peubah acak, maka E[ k1 X 1 k 2 X 2 ... k n X n ]
[Ghahramani, 2000]
k1 E[ X 1 ] k2 E[ X 2 ] ... k n E[ X n ]. [Grimmett dan Stirzaker, 1992] Definisi 10 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut Var( X ) E ( X E[ X ]) 2
E[ X 2 ] ( E[ X ])2 Beberapa sifat dari ragam 1. Jika k suatu konstanta, 2 Var (kX ) k Var ( X ) . 2.
kn Cov( X , X n )
adalah
maka
Jika k suatu konstanta dan X 1, X 2 adalah peubah acak, maka Var (k1 X1 k2 X 2 ) k12Var ( X1 ) k22Var ( X 2 )
2k1 k2 E [ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]. [Ghahramani, 2000]
Definisi 11 (Standar Deviasi) Jika X adalah peubah acak, X disebut standar deviasi dari X yang didefinisikan sebagai
X Var( X ) 2 E X E X [Ghahramani, 2000]
Definisi 12 (Koragam) Misalkan X dan Y dua peubah acak dengan E ( X ) 1 dan E( Y ) 2 , maka
Cov ( X ,Y ) E ( X 1 )(Y 2 )
E ( XY ) 1 2 disebut koragam peubah acak X dan Y. Beberapa sifat dari koragam 1. Jika k suatu konstanta dan X ,Y adalah peubah acak, maka Cov( k1 X , k2Y ) k1k2 Cov( X , Y ) 2. Jika k suatu konstanta dan X ,Y adalah peubah acak, maka Cov( k1 X k2 , k3Y k4 ) k1k3Cov( X , Y )
Fungsi Pembangkit Momen Pusat
Momen,
Momen,
Definisi 13 (Fungsi Pembangkit Momen) Fungsi pembangkit momen dari suatu peubah acak X didefinisikan sebagai tx M X ( t) E etx e f ( x) x
untuk t R sehingga nilai harapan di atas ada. Turunan pertamanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak X. d M ' X ( t) M X ( t) xetx f ( x) dt x
M X (0) xe f ( x) x f ( x) '
t0
x
x
M X (0) E[ X ] '
Turunan keduanya di sekitar nol sebagai nilai harapan dari peubah acak X 2 d M ''X ( t) M X ( t) x 2 etx f ( x) dt x
M ''X (0) x 2 et 0 f ( x) x f ( x) 2
x
x
M X (0) E[ X ]. ''
2
[Hogg dan Craig, 1995] Definisi 14 (Momen) Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan massa, maka momen ke-k dari X didefinisikan sebagai m k E ( X k ) , k = 1,2,3,... [Hogg dan Craig, 1995] Definisi 15 (Momen Pusat) Misalkan nilai harapan dari peubah acak X, m1 , maka momen pusat ke-k dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut k m pk E ( X m1 ) , dengan k = 1,2,3,... m1 = momen ke-1= nilai harapan dari peubah acak X. [Hogg dan Craig, 1995]
Deret Taylor, Metode Lagrange, Teorema Amplop
x
Definisi 16 (Deret Taylor) Jika suatu fungsi f dengan y f ( x) memiliki turunan maka fungsi ekspansi deret Taylor
tersebut
f ( x h ) f ( x ) h f '( x )
M (a ) max f ( x, a )
dan
memiliki
h2 f ''( x ) 2!
h3 f '''( x) ... 3!
dengan fungsi M (a ) memberikan nilai maksimal dari fungsi f sebagai fungsi dari parameter a. Diberikan x( a) nilai dari x yang mengatasi maksimisasi masalah dalam parameter a sehingga M (a ) f ( x(a ), a ) . Teorema amplop menyatakan bagaimana perubahan M (a ) sebagai perubahan parameter a, yaitu:
dM (a) f ( x * , a) da a
[Fisher, 1988] Definisi 17 (Metode Lagrange) Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f ( x1 , x2 ) terhadap kendala g ( x1 , x2 ) 0 , adalah dengan menyelesaikan sistem persamaan berikut maksimumkan f ( x1 , x2 ) , dengan kendala g ( x1 , x 2 ) 0 . Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi Lagrange sebagai berikut: L ( x1 , x 2 , ) f ( x1 , x 2 ) g ( x1 , x 2 ) Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim * * ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) akan terpenuhi jika turunan parsial dari fungsi Lagrange sama dengan nol sehingga menghasilkan: L ( x1 , x2 , ) 0 x1
f g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) 0 x1 x1
(a)
L ( x , x , ) 0 x2 1 2 f g ( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) 0 (b) x2 x2 L ( x1 , x2 , ) g ( x1 , x2 ) 0 . Dari persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan titik ekstrim ( x1* , x2* ) . yang berpadanan dengan fungsi g ( x1 , x 2 ) 0 disebut pengali Lagrange. [Rao, 1978] Teorema Amplop Teorema Amplop adalah teorema dasar yang digunakan untuk menyelesaikan maksimisasi masalah dalam mikroekonomi. Pernyataan dari teorema ini sebagai berikut: Diberikan masalah maksimisasi arbitrasi dengan suatu fungsi f bergantung pada parameter a:
x *x ( a )
Turunan pertama dari M bergantung pada a yang diberikan oleh turunan parsial dari f (x , a ) , x tetap, kemudian dihitung pilihan optimal ( x * ). * x x( a) .
Dengan
diprediksikan
[McLennan, 1999] Fungsi Konkaf Definisi 18 (Fungsi Konkaf) Fungsi f dikatakan fungsi konkaf pada selang I jika dan hanya jika f (x1 (1)x2 ) f (x1 ) (1 ) f (x2 ) untuk setiap
x1 , x2 I
dan untuk setiap
0 1 . Jika yang berlaku f (x1 (1)x2 ) f (x1 ) (1) f (x2 ) untuk x1 x2 dan 0 1 maka f dikatakan fungsi konkaf sempurna (strictly concave). [Peressini, 1988] Fungsi Kepuasan Von Neumann Morgenstern
dan
Definisi 19 (Fungsi Kepuasan Neumann dan Morgenstern) Fungsi kepuasan U didefinisikan
Von
' .
Dengan
diberikan
oleh
m1
( m , m1 m) adalah pengeluaran yang paling disukai dan mn ( m , m mn ) adalah pengeluaran yang paling sedikit disukai. Untuk masing-masing pengeluaran m didefinisikan
u (m ) q sehingga m ̴(m1 (q ), mn (1 q ))
(i)
Fungsi kepuasan Von Neumann dan Morgenstern untuk m ' adalah nilai yang diharapkan dari fungsi kepuasan u (m ) sebagaimana didefinisikan
U ( m1 ( q1 ), m2 ( q2 ),..., m n ( q n )) q1 u( m1 ) q2 u( m2 ) ... qn u( mn )
(ii)
[Goyal dan Saxena, 2008]
sekuritas dalam portofolio. E ( R p ) adalah nilai harapan imbal hasil dan pi merupakan proporsi sekuritas dalam portofolio atau ditulis sebagai n
Two-fund Separation Definisi 20 (Two-fund separation) Two-fund separation berlaku jika dan hanya jika portofolio optimal untuk setiap fungsi kepuasan u U tetap dari fraksi positif yang diinvestasikan dalam portofolio pasar dan sisa aset berisiko dituliskan E[u '( kX T ) X ] 0, k 0 u U
E( Rp ) pi E( Ri ) . i 1
Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka jumlah proporsi dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis n
p
1 .
i
i 1
Jika k 1 , investor akan meminjam (mengambil short position dalam aset berisiko), jika k 1 , investor akan meminjamkan (mengambil long position dalam aset berisiko), jika k 1 investor akan menahan portofolio pasar tanpa meminjamkan atau meminjam. [Post dan Versijp, 2005]
Ragam portofolio, merupakan risiko dari portofolio. pi adalah proporsi sekuritas ke-i dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut
Portofolio Optimal Berdasarkan Model Markowitz
Dengan menuliskan
Model Markowitz merupakan model yang menggunakan dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor untuk berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil, E (R ) , dan risiko aset, σ . Model Markowitz ini berlandaskan asumsi sebagai berikut: 1. Hanya dua parameter yang mempengaruhi keputusan investor dalam berinvestasi, yaitu nilai harapan imbal hasil dan risiko. 2. Investor bersifat risk averse. Artinya untuk portofolio dengan imbal hasil yang sama investor akan memilih risiko yang paling kecil, dan juga bila dihadapkan pada tingkat risiko yang sama investor akan memilih portofolio yang memiliki nilai harapan imbal hasil paling tinggi. 3. Investor memiliki periode investasi yang sama. Investor juga memiliki persepsi yang sama untuk nilai harapan imbal hasil, ragam dan koragam dari portofolioportofolio yang ada di pasar. 4. Dalam pembentukan portofolio, hanya sekuritas berisiko saja yang dilihat. 5. Ada n 2 sekuritas yang diperdagangkan dengan ragam berhingga dan nilai harapan imbal hasil yang berbeda. Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan imbal hasil yang diharapkan dari setiap sekuritas dikalikan dengan proporsi masing-masing
Var( R p ) p1 p1 Cov( R1 , R1 ) ...
pn pn Cov( Rn , Rn ) p1 p2 Cov( R1 , R2 ) ... pn1 pn Cov( Rn1 , Rn ) Cov( Ri , Ri ) Var( Ri ) ,
dengan Var( Ri ) adalah ragam sekuritas ke-i maka Var( R p ) p12Var( Ri ) ... pn2Var( Rn )
p1 p2 Cov( R1 , R2 ) ... p1 pn Cov( R1 , Rn ) ... pn 1 pn Cov ( Rn 1 , Rn ) n
n
n
Var(Rp ) pi2Var(Ri ) pi pj Cov(Ri , Rj ) i1
i 1 j 1
; i j . Karena
Cov( Ri , R j ) Cov( R j , Ri )
dengan
Cov (Ri , R j ) adalah koragam sekuritas i dan j untuk i j dan pi p j p j pi maka n
n
n
Var(Rp ) pi2Var(Ri ) 2 pi pj Cov(Ri , Rj ) i 1
i 1 j 1
; i j. Portofolio Markowitz ini digunakan untuk memilih pi sehingga Var( R p ) minimum atau dapat ditulis
min Var ( R p ) { pi } n
dengan kendala
p i 1
i
1 . [Van Keeken, 2001]
Model Indeks Tunggal Model indeks tunggal digunakan untuk menyederhanakan penghitungan pada model Markowitz. Model ini didasarkan pada
anggapan bahwa harga sekuritas berubah searah dengan harga indeks pasar. Model indeks tunggal adalah model yang menyatakan bahwa imbal hasil setiap sekuritas mempunyai hubungan dengan imbal hasil portofolio pasar. Portofolio pasar adalah portofolio yang terdiri atas semua sekuritas yang ada di pasar dan portofolio pasar ini dapat diwakili oleh indeks pasar. Hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut Ri ci bi Rm ;i 1, 2,..., n dengan Ri : imbal hasil sekuritas i,
ci : suatu peubah acak yang menunjukkan komponen dari imbal hasil sekuritas i yang tidak bergantung pada pasar, bi : koefisien risiko yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan Rm ,
Rm : Tingkat imbal hasil dari indeks pasar, juga merupakan peubah acak. Karena ci adalah komponen imbal hasil yang tidak bergantung pada imbal hasil pasar maka ci dapat dipecah menjadi nilai yang diharapkan ( ai ) dan kesalahan/residu ( ) i yang dituliskan sebagai berikut c i a i i ; i 1, 2,..., n . Sehingga hubungan imbal hasil dari suatu sekuritas dengan imbal hasil indeks pasar dapat dituliskan sebagai berikut Ri ai bi Rm i ;i 1, 2,..., n dengan E ( ) 0 , karena persamaan tersebut i berfungsi menduga imbal hasil sekuritas i supaya nilai yang diduga mendekati nilai yang sebenarnya maka diharapkan tidak ada kesalahan atau kesalahannya mendekati nol.
Pada model indeks tunggal, imbal hasil dari sekuritasnya dapat juga dinyatakan dalam bentuk nilai harapan imbal hasil. [Bodie, et al, 2002] Capital Asset Pricing Model (CAPM) Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil dan risiko sebuah sekuritas individual merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor ketika hendak menanamkan modalnya pada sebuah pasar sekuritas. Capital Asset Pricing Model (CAPM) merupakan suatu model untuk memprediksi keseimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko. Model ini memberikan prediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Pendekatan ini berlandaskan pada asumsiasumsi berikut: 1. Terdapat banyak investor, mereka bertindak sebagai price takers yaitu setiap tindakan yang mereka lakukan secara perorangan tidak memengaruhi harga suatu sekuritas. 2. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang sama. 3. Investasi dibatasi hanya pada aset keuangan yang diperdagangkan secara umum seperti saham dan obligasi. 4. Investor tidak membayar pajak atas imbal hasil dan juga tidak terdapat biaya transaksi atas perdagangan sekuritas. 5. Seluruh investor berusaha mengoptimalkan imbal hasil risiko yang rasional. 6. Setiap investor mempunyai harapan yang sama untuk setiap modal yang diinvestasikannya. [Bodie, et al, 2002]
PEMBAHASAN Pembentukan Harga Aset Modal (CAP) Model dari pembentukan harga aset modal yang biasa disebut Capital Assets Pricing Model (CAPM) memberikan prediksi tentang hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. CAPM memprediksi nilai harapan imbal hasil berdasarkan asumsi bahwa seluruh investor menggunakan daftar input yang sama, yaitu estimasi yang sama tentang imbal
hasil yang diharapkan, ragam dan koragam. Ketika seluruh investor dapat meminjam dan memberi pinjaman dana pada tingkat bebas risiko, maka seluruh investor akan mempunyai titik portofolio yang optimal. Ketika pinjaman dibatasi, maka suku bunga pinjaman lebih tinggi daripada suku bunga pemberian pinjaman sehingga portofolio pasar tidak lagi merupakan portofolio optimal
