Kmitání struny 1
Odvození vlnové rovnice
Vlnovou rovnici pro (příčné) vlny šířící se na struně odvodíme za předpokladu, že výchylka struny u(x, t) v rovině, v níž struna kmitá, je malá, což nám umožní provést hned několik zjednodušení. Pro vychýlení elementu struny délky ∆x můžeme u ϕ1 psát pohybovou rovnici F F2 ∂2u ∆m 2 = F2 − F1 , (1) ∂t ∆x ϕ2 F1 F kde ∆m = µ∆x je hmotnost elementu (µ je hmotnost struny vztažená na jednotku délky), F1 a F2 jsou x složkami síly napínající strunu, jejíž velikost F uvažujeme konstantní (bez ohledu na vychýlení struny). Obrázek 1: Element struny. Pro rozdíl F2 − F1 , viz obrázek, platí Jednotlivé osy (pro názornost) nejsou v měřítku. F2 − F1 = F (sin ϕ2 − sin ϕ1 ) . Jelikož předpokládáme, že výchylky struny jsou malé, bude platit cos ϕ1,2 ≈ 1, takže můžeme psát ∂u ∂u F2 − F1 ≈ F (tan ϕ2 − tan ϕ1 ) = F . (2) − ∂x x=x0 +∆x ∂x x=x0
Použitím Taylorova rozvoje dostaneme
u(x + ∆x, t) ≈ u(x, t) +
∂u(x, t) ∆x, ∂x
takže dosazením do vztahu (2) můžeme psát F2 − F1 = F
∂2u ∆x. ∂x2
Dosazením tohoto výsledku do pohybové rovnice (1) dostaneme vlnovou rovnici µ∆x
∂2u ∂2u = F ∆x ∂t2 ∂x2
⇒ 1
∂2u µ ∂2u = . ∂x2 F ∂t2
Výchylku u(x, t) struny kmitající v jedné rovině tedy můžeme popsat pomocí vlnové rovnice 1 ∂2u ∂2u − = 0, (3) ∂x2 vf2 ∂t2 kde pro fázovou rychlost vf vlny šířící se po struně platí s F vf = , µ kde F je velikost síly napínající strunu a µ hmotnost struny vztažená na jednotku její délky.
2
Řešení vlnové rovnice
Jestliže je struna délky l například v hudebním nástroji na koncích upnuta, musí platit (okrajové podmínky) u(x = 0, t) = u(x = l, t) = 0. (4) Budeme předpokládat, že v čase t = 0 platí (počáteční podmínky) ∂u u = u0 (x), = 0, ∂t t=0
(5)
což znamená, že struna má nějakou počáteční výchylku a nulovou počáteční rychlost. Řešení vlnové rovnice můžeme zkusit nalézt následujícím způsobem. Budeme předpokládat, že kmitání struny je periodické v čase. Za tohoto předpokladu můžeme psát (Fourierova řada) ∞ X u(x, t) = cn (x) sin nωt + dn (x) cos nωt, (6) n=1
kde ω = 2π/T je základní kruhový kmitočet a T perioda. Spočítáme druhé derivace výchylky ∞ X ∂2u = c′′n (x) sin nωt + d′′n (x) cos nωt, 2 ∂x n=1
∞ X ∂2u = −n2 ω 2 cn (x) sin nωt − n2 ω 2 dn (x) cos nωt ∂t2 n=1
(7a) (7b)
a výsledek dosadíme do vlnové rovnice (3). Po drobných úpravách dostaneme ∞ X n=1
c′′n (x) + n2 k 2 cn (x) sin nωt + d′′n (x) + n2 k 2 dn (x) cos nωt = 0, 2
(8)
kde k = ω/vf je vlnové číslo. Rovnice (8) bude (pro všechny časy t) splněna tehdy, jestliže bude současně platit c′′n (x) + n2 k 2 cn (x) = 0, d′′n (x) + n2 k 2 dn (x) = 0.
(9a) (9b)
Jedná se o obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, jejichž řešení snadno dostaneme ve tvaru cn (x) = C1n sin nkx + C2n cos nkx, dn (x) = D1n sin nkx + D2n cos nkx.
(10a) (10b)
Dosazením těchto výsledků do řady (6) dostaneme řešení vlnové rovnice ve tvaru u(x, t) =
∞ X
(C1n sin nkx + C2n cos nkx) sin nωt+
n=1
+ (D1n sin nkx + D2n cos nkx) cos nωt. (11)
Vypočteme časovou derivaci výchylky ∞
∂u X = nω (C1n sin nkx + C2n cos nkx) cos nωt− ∂t n=1
− nω (D1n sin nkx + D2n cos nkx) sin nωt. (12)
Má-li být tato derivace v čase t = 0 nulová (počáteční podmínky (5)) můžeme dosazením do vztahu (12) psát ∞ X
0=
nω (C1n sin nkx + C2n cos nkx) ,
n=1
což může být (pro všechna x) splněno, pokud bude platit C1n = C2n = 0 pro všechna n. Řešení (11) vlnové rovnice se tak zjednoduší do tvaru u(x, t) =
∞ X
(D1n sin nkx + D2n cos nkx) cos nωt.
(13)
n=1
Má-li být výchylka struny pro x = 0 nulová, musí po dosazení do vztahu (13) platit 0=
∞ X
D2n cos nωt
⇒
n=1
3
D2n = 0.
Řešení (13) se tedy dále zjednodušuje do tvaru u(x, t) =
∞ X
Dn sin nkx cos nωt.
(14)
n=1
Podle druhé okrajové podmínky má platit u(x = l, t) = 0. To nastane pouze tehdy, bude-li splněno sin nkl = 0
⇒
kl = π
⇒
k=
vf π , ω = kvf = π , l l
takže dosazením do vztahu (14) dostaneme u(x, t) =
∞ X
Dn sin
n=1
nπx nπvf cos t. l l
(15)
Kmitání struny se tedy sestává z jednotlivých módů reprezentovaných jednotlivými sinusovkami (sin nπx/l). Struna zní pouze na některých kmitočtech fn , pro které platí s ωn n F nπvf ⇒ fn = = . ωn = l 2π 2l µ Nejnižší (základní) kmitočet dostaneme pro n = 1, ostatní kmitočty jsou celočíselnými násobky základního kmitočtu, nazývají se vyšší harmonické. Zbývá určit koeficienty Dn ve vztahu (15), jejichž velikost odpovídá amplitudě jednotlivých harmonických. V čase t = 0 má platit počáteční podmínka u(x, t = 0) = u0 (x)
u0 (x) =
⇒
∞ X n=1
Dn sin
nπx . l
(16)
Koeficienty Dn najdeme pomocí tzv. Fourierova fíglu. Obě strany rovnosti (16) vynásobíme výrazem sin mπx/l, kde m je přirozené číslo, a zintegrujeme v mezích h0, li, takže dostaneme Z l Z l ∞ X mπx mπx nπx u0 (x) sin dx = Dn sin dx. (17) sin l l l 0 0 n=1 Jelikož platí
l
mπx nπx sin dx = 0 l l 0 Z l mπx l nπx sin dx = sin l l 2 0 Z
sin
4
pro
n 6= m,
pro
n = m,
dostaneme dosazením do rovnosti (17) vztahy pro jednotlivé koeficienty Dm ve tvaru 2 Dm = l
Z
l
u0 (x) sin 0
mπx dx. l
Kmitání struny tedy můžeme popsat pomocí krásného a přehledného vzorce ∞
2X u(x, t) = l n=1
Z
0
l
nπx nπx nπvf u0 (x) sin dx sin cos t. l l l
Koukněte se do příslušného maplovského worksheetu na konkrétní příklad a animace.
5
