MECHANIKA
1
KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky – matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika – rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve vakuu
c = 3 ⋅ 108 m ⋅ s −1 Mechanický pohyb – změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase. Pohyb je relativní – nutno udat vztažné těleso (vztažnou soustavu).
2
Kartézský souřadný systém
osa
z základníG vektor k osa
x
základní G vektor j počátek [0,0,0]
základní G vektor i
osa
y
3
Vztažné soustavy 3 pravoúhlá (kartézská) – souřadnice x, y, z 3 polární: poloměr r, úhel ϕ 3 cylindrická (válcová): poloměr r, úhel ϕ , souřadnice z 3 sférická (kulová): poloměr r, úhel ϕ , úhel ϑ Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava tj. pravotočivá kartézská soustava pevně spojená se Zemí).
4
Popis pohybu v prostoru a čase bez uvažování příčin pohybu
KINEMATIKA
Studium příčin pohybu a jeho změn
MECHANIKA
DYNAMIKA
Zvláštní část mechaniky:
STATIKA (pohyb nenastává)
5
KINEMATIKA Idealizace Hmotný bod (HB – fiktivní objekt)
3 rozměry tělesa jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé (lze je zanedbat vzhledem např. k uražené dráze)
3 rotační pohyb lze zanedbat 3 těleso nepodléhá deformaci Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy, musíme znát v každém okamžiku základní kinematické veličiny, tj. jeho 3 polohu 3 rychlost 3 zrychlení
(polohový vektor
G v, G a
G r)
6
Základní kinematické veličiny G c (okamžitý) polohový vektor r G d okamžitá rychlost v G e okamžité zrychlení a Vedlejší kinematické veličiny f vektor elementárního úhlového otočení g vektor úhlové rychlosti h vektor úhlového zrychlení
7
c Polohový vektor
Definice
G G G G r = x i +y j + z k G k
Δ
γ
z
β
α osa x
G i
y
Velikost polohového vektoru
G j
osa y
x
G r=r =
x2 + y2 + z 2
Směrové kosiny polohového vektoru − cosα, cosβ, cosγ 8
Pro směrové kosiny platí
x cos α = G r
, cos β =
y G , cos γ = r
z G r
přičemž
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 . Základní vektory G i = G j = G k =
( 1, 0 , 0) ( 0 , 1, 0) ( 0 , 0 , 1)
G i
G k
G j
G Vektor iG: cosα = 1, cosβ = 0, cosγ = 0 Vektor j : cosα = 0, cosβ = 1, cosγ = 0 G Vektor k : cosα = 0, cosβ = 0, cosγ = 1 9
Trajektorie – množina koncových bodů polohového vektoru – znázorněna červeně. Délka trajektorie – dráha s = s(t). trajektorie
G r
G r (t0)
G0 r 0,0,0
G G r = r (t )
G G G G r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
G r (t0+Δt)
t
G Polohový vektor r : počátek vždy v počátku soustavy souřadnic, konec na trajektorii ve sledovaném bodě. Může se „natáhnout“ na neomezenou délku.
Jednotkou dráhy i velikosti polohového vektoru je metr (m). 10
Parametrické rovnice trajektorie
x = x(t ) y = y (t )
x = 2t například:
z = z (t ) Vyloučením času (tj. parametru) obdržíme tvar křivky
y = 3t 2 z = 4t y = f ( x, z ) , po které
se HB pohybuje. Okamžitou polohu HB můžeme tedy popsat třemi skalárními rovnicemi, nebo jednou vektorovou
G G G G G G G G 2 r (t ) = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k například: r (t ) = 2t i + 3t j + 4t k
11
Příklad 1 Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem
G G G r (t ) = (3,6 t + 4, 2)i + (5, 4 t ) j
[SI].
Určete tvar trajektorie. Řešení:
Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou (1) (2)
x = 3,6t + 4, 2 y = 5, 4t
Z rovnice (1) vyjádříme čas:
y
0 2 4 6
2
4
x
x − 4, 2 t= 3,6
a dosadíme do rovnice (2). Po úpravě obdržíme: y = 1,5 x − 6,3. To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5. Úsek na ose y je - 6,3 m. 12
d Okamžitá rychlost Definice G G dr G v= =r dt Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času
Δs
trajektorie
G vA A
B
G Δr G r
Δs = délka oblouku
G vB
G Střední rychlost v mezi body A, B G Δ r Δ s G v = ≈ Δt Δt AB
AB
G G r + Δr Limitní přechod: B → A, potom Δt → 0, střední rychlost 0
G v AB
→
okamžitáGrychlost
v
13
G G v = lim v AB Δt →0
G G Δr dr G = lim =r = Δt →0 Δt dt
Okamžitá rychlost je derivace polohového vektoru podle času
G v = ( v x , v y , v z ) = ( x , y , z )
G v
trajektorie
G r (t ) 0,0,0
Vektor rychlosti má směr tečny ke trajektorii a jeho orientace odpovídá rostoucím hodnotám času t . 14
G v Vektor okamžité rychlosti má tedy směr tečny a jeho
G r (t )
velikost má význam dráhy uražené za jednotku času.
0
Složky vektoru rychlosti:
G dx G dy G dz G G G G G d G G j + k = vx i + v y j + vz k , v = ( xi + yj + zk ) = i + dt dt dt dt velikost rychlosti
G 2 2 2 v = v = vx + v y + vz
.
Jednotkou rychlosti je metr za sekundu (m.s-1) 15
Pozn.
Sledujme pouze velikosti okamžité rychlosti : ds P G G dr ds G dr v= v = = = = s dt dt dt G ds G dr G = r ale v = = s tedy : v = dt dt
16
Příklad 2 G G G 2G Poloha elektronu je dána vztahem r = 3,0t i − 4,0t j + 2,0k . a) Určete G časovou závislost rychlosti elektronu v (t ) . b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku t = 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. c) Určete velikost rychlosti v tomto okamžiku. Řešení:
G G a) Časovou závislost rychlosti elektronu v (t ) získáme derivací polohového vektoru r G G G G G d 2G −1 v ( t ) = (3,0t i − 4,0t j + 2,0 k ) m.s = (3,0 i − 8,0t j ) m.s −1 dt b) V čase t = 2 s má elektron rychlost
G G G G G v(t =2) = 3,0 i − (8,0 ⋅ 2,0) j = (3,0 i − 16,0 j ) m.s −1
c) Velikost rychlosti elektronu v čase t = 2 s
G v = v = vx2 + v 2y = 3,02 + 16,02 = 16 m.s −1 17
Typické hodnoty některých rychlostí
G v
Šíření elektromagnetických vln ve vakuu Orbitální rotace Země kolem Slunce Zvuk ve vzduchu Automobil na dálnici Lidská chůze (průměrná hodnota) Vodivostní elektron v kovu (vdrift)
8
3×10 m/s 3 29,8×10 m/s 332 m/s 45 m/s 1,2 m/s ≈ 0,001 m/s
18
e Okamžité zrychlení Mění-li vektor rychlosti buď velikost nebo směr (případně obojí najednou), pak říkáme, že se těleso pohybuje se zrychlením.
Změna vektoru rychlosti v čase → okamžité zrychlení
G G dv G a= =v dt
Î
G G G G a = a x i + a y j + az k ,
G G 2G G dv d dr d r G G a= = = 2 =v=r dt dt dt dt
kde
a x = v x , a y = v y , a z = vz .
G G dv G dv y G dv G G G G dv d x z a = = v i + v j + v k = i + j + k nebo jinak x y z dt dt dt dt dt
(
)
Jednotkou zrychlení je (m.s-2). 19
Vektor zrychlení nemá při pohybu částice po své trajektorii žádný význačný nebo specifický směr. Obecně
G G G G a = ax i + a y j + az k Obr.: Rozklad okamžitého zrychlení při pohybu částice v rovině xy
G G G a = ax i + a y j
G Uděláme rozklad vektoru zrychlení a
do dvou jiných, také navzájem kolmých ale mnohem názornějších směrů.
Zvolíme směr tečny k trajektorii a směr kolmice (normály) k této tečně. Tato normála směřuje do středu oblouku, který trajektorie v bodě P tvoří. 20
G Jestliže se pak vektor dv mění : má směr : pouze tečny velikost k trajektorii rychlosti ⇒ tečné G
G G v + dv 0 B
dφ
ds
G R
G v
G G v + dv
A
G v
G
G dv
G dv
G dv
Vektor dv nemá žádný specifický směr G ve vztahu k polohovému vektoru R
n
t
v
G zrychlení at
pouze
normály
směr
k trajektorii rychlosti ⇒ normálové G G v, zrychlení a n
21
Změna jen velikosti rychlosti tečné zrychlení
G at
Zrychlení
Změna jen směru rychlosti normálové zrychlení
G an
Obě změny současně
G G G a = an + at
22
Obecný (křivočarý) pohyb G G G at G at – tečné zrychlení, an – normálové zrychlení
a
G an velikost zrychlení je
velikosti složek
Celkové zrychlení je dáno vztahem
G G G a = at + an a = at 2 + an 2 dv at = dt
v2 an = R
kde R je poloměr oskulační kružnice. Shrnutí 23
3 rychlost má směr tečny k trajektorii 3 tečná složka zrychlení at určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku času 3 normálová složka zrychlení an ( an ≥ 0 ) závisí na poloměru křivosti dráhy ⇒ souvisí se změnou směru G pohybu. Směřuje do středu křivosti dráhy, takže i celkové zrychlení
G G Je-li zrychlení a ≠ 0
a směřuje dovnitř zakřivení.
a
3 mění se jen velikost rychlosti, pak 3 mění se jen směr rychlosti,
pak
3 mění se velikost i směr rychlosti, pak
G G a = at G G a = an G G G a = at + an
24
Kruhový pohyb – pohyb v rovině – 2D problém y
G r
G v
Pro popis tohoto pohybu jsou vhodné polární souřadnice:
r (= konst .) a ϕ(t )
ϕ y x
Vztah k souřadnicím kartézským
x
x = r cos ϕ y = r sin ϕ
Polohový vektor
G G G G G r = xi + yj = ( r cos ϕ ) i + ( r sin ϕ ) j
Rovnoměrný pohyb kruhový s časem
ϕ =ωt
Polohový vektor:
− úhlová dráha ϕ narůstá rovnoměrně (ω je velikost úhlové rychlosti otáčení)
G G G r (t ) = ( r cos ωt ) i + ( r sin ωt ) j
25
G a S r
ϕ
G v
Délka oblouku s:
G at
G Obvodová rychlost v :
B
G an
s
s = rϕ
G G G G dr = [( − rω sin ωt ) i + ( rω cos ωt ) j ] v= dt
A Její velikost:
v = vx2 + vy2 = r 2ω2 sin2 ϕ + r 2ω2 cos2 ϕ
v = rω .
26
Vektorově G
ω
G
G G G v =ω×r
dϕ ω= , dt G
G
ϕ G v
Obvodová rychlost
G r
trajektorii.
G v
je vektor, který má směr tečny k
G G G v ⊥ω ⊥ r
Poznámka: Při vektorovém popisu kruhového pohybu leží vektory veličin
G
3 úhlová dráha ϕ , G 3 úhlová rychlost ω
G
3 úhlové zrychlení ε
! v ose otáčení ! 27
Zrychlení
G G G G dv 2 2 a= = ⎡⎣( − rω cos ωt ) i + ( − rω sin ωt ) j ⎤⎦ dt
y
G 2G a = −ω r
G v
G r G
a
x
G Zrychlení a má směr do středu kružnice ⇒ název dostředivé zrychlení
Velikost zrychlení: 2 v an = rω 2 = r
at = 0
(poněvadž
v = ω r ),
(poněvadž velikost rychlosti = konst.) 28
Perioda = doba jednoho oběhu Platí Pro t
ϕ =ωt . = T je ϕ = 2π .
Po dosazení do předchozí rovnice obdržíme
2π = ωT ⇒ T =
2π
ω
[T ] = s
Frekvence (počet oběhů za sekundu) = převrácená hodnota periody
1 f = T
[ f ] = s −1 = Hz
Spojením těchto rovnic dostaneme
ω = 2π f
[ω ] = s-1. 29
Základní druhy pohybů přímočarý rovnoměrný
an = 0 ,
at = 0
přímočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený)
an = 0 , at = konst. ≠ 0
přímočarý nerovnoměrný
an = 0 ,
at ≠ 0
křivočarý rovnoměrný
an ≠ 0,
at = 0
kruhový rovnoměrný
an = konst. ≠ 0 ,
křivočarý nerovnoměrný
an ≠ 0, at ≠ 0
at = 0
30
DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY 1. úloha
G Máme dán polohový vektor r (t ) , odtud
G G G G G G derivace derivace r = r ( t ) ⎯⎯⎯⎯ → v = v (t ) ⎯⎯⎯⎯ → a = a (t ) Úloha je triviální a jednoznačná.
2. úloha
G Známe vektor zrychlení a (t ) , odtud G G G G G integrace integrace a (t ) ⎯⎯⎯⎯ → v = v (t ) ⎯⎯⎯⎯ → r = r (t )
Musíme znát počáteční (okrajové) podmínky.
31
Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený)
G a = konst.
(1)
a) Hledáme rychlost Z definice
G G dv G G G G a= ⇒ dv = a dt ⇒ v = ∫ a dt dt
Po integraci obdržíme Pro
t =0s
pak
G G v = at + C1,
G G v (t = 0) = at N + C1
(neurčitý integrál)
kde C1 je integrační konstanta (libovolná).
⇒
=0
G C1 = v0
Konstanta C1 má význam rychlosti v čase t = 0 s a vztah zapíšeme
G G G v = at + v0
(2) 32
G b) Hledáme polohový vektor r . G G dr v= dt
G G dr = v dt
G G r = ∫ v dt
⇒ ⇒ (neurčitý integrál) G Po dosazení za v z rovnice (2) a následné integraci dostaneme G2 at G G G G G G G r = ∫ v dt = ∫ ( at + v0 ) dt = ∫ at dt + ∫ v0 dt = + v0t + C2 , 2 kde C2 je integrační konstanta (libovolná). Pro
t =0s
1G2 G G r (t = 0) = at + v0t + C2 N 2 N =0
⇒
G C2 = r0
=0
Konstanta C2 má význam polohového vektoru v čase t = 0 s a vztah zapíšeme
G 1G2 G G r = at + v0t + r0 2
(3)
33
2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný)
G v = konst.
Zrychlení je v tomto případě
G G G dv a = 0 , protože a = konst = 0 dt G
Hledáme pouze polohový vektor
G G dr v= dt
⇒
G G dr = v dt
Po integraci obdržíme Pro
t =0s
pak
r.
⇒
G G r = vt + C ,
G G r = ∫ v dt
(neurčitý integrál)
kde C je integrační konstanta (libovolná).
G G G r (t = 0) = r0 = vt N+C
⇒
G C = r0
0
Konstanta C má význam počáteční rychlosti tj.rychlosti v čase t = 0 s. Pro polohový vektor dostáváme
G G G r = vt + r0
34
Shrnutí Aplikace 2. úlohy 1) Pohyb s konstantním zrychlením (tj. přímočarý rovnoměrně zrychlený)
G a = konst.
G G G v = at + v0
G 1G2 G G r = at + v0t + r0 G2 G G
Protože jde o pohyb po přímce (1D) mají vektory a navíc platí
G r =s
a = konst.
a, v , r
shodný směr
, můžeme použít jen velikosti veličin
v = at + v0
1 2 s = at + v0t + s0 2
2) Pohyb s konstantní rychlostí (tj. přímočarý rovnoměrný)
G a=0
G v = konst.
G G G r = vt + r0
Analogicky pro velikosti veličin
a=0
v = konst.
s = vt + s0 35
Poznámky
G G G 3 Pokud jsou vektory rovnoběžné r v a
(ať už souhlasně nebo
nesouhlasně), jedná se o pohyb přímočarý.
3 Mají-li různý směr → křivočaré pohyby. 3 Každá z vektorových rovnic (1), (2) a (3) se dá nahradit třemi skalárními rovnicemi.
3 Rozklad pohybů do zvolených směrů (např. do směrů os x, y, z). 3 Princip nezávislosti pohybů. 3 Pohyb tělesa (hmotného bodu) v tíhovém Zemském poli (v prvním počítačovém cvičení)
36
