Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2
Jelek tanulmányozása A gyakorlat célja A gyakorlat célja a jelekkel való műveletek megismerése, a MATLAB környezet használata a jelek vizsgálatára. Elméleti bevezető Alapműveletek jelekkel Amplitudó módosítás skálázással Adott egy folytonos jel, x(t): R → R . Ha egy amplitúdó skálázást alkalmazunk, akkor egy újabb valós változójú, valós függvényt kapunk vagyis y( t ) = c ⋅ x (t ) jelet. Az alkalmazott c együttható eleme a valós számoknak. Egy függvény valós számmal való szorzása minden tulajdonsága igaz ebben az esetben is. Egy példa látható a következő ábrán.
Ha most egy diszkrét x [n ] : Z → R jel esetében alkalmazzuk, és egy y[n ] = c ⋅ x[n ] jelet kapunk. Ha c egy valós szám akkor a következő ábrán láthatunk egy esetet diszkrét amplitudó skálázásra.
Jelek összeadása, szorzása A következő ábra két folytonos jel összeadását és szorzását mutatja.
1
Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2
A jelek értelmezési tartományát módosító műveletek Időintervallum-skálázás Legyen x(t): R → R folytonos jel, akkor az időintervallum-skálázással kapott y(t) jel felírható mint: Legyen a > 0 és y( t ) = x ( a ⋅ t ) • ha a > 1 akkor időintervallum sürítésről beszélünk • ha 0 < a < 1 időintervallum dilatációról beszélünk Erre a két esetre láthatunk példát a következő ábrán:
Mindkét esetben láthatjuk, hogy a transzformáció során nem változik a jel amplitudó-ja. Legyen most egy x [n ] : Z → R egy diszkrét jel. A diszkrét időintervallum-skálázás legyen y[n ] = x[k ⋅ n ] anikor k egy egész paraméter vagyis k ∈ {±1, ± 2, ± 3, }
2
Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2
Ebből látható, hogy ez a művelet a diszkrét jelek esetében információvesztéssel jár. Most ugyanazt a skálázási műveletet láthatjuk egy másik jel esetében. n ha n páratlan és ez látható a következő ábra bal felében. Legyen ez a jel x[n ] = 0 ha n páros
Az eredményből láthatjuk, hogy a skálázás teljes információvesztéssel jár. Időtükrözés (reflexió) Legyen x(t): R → R folytonos jel. Ekkor az időtükrözés (az idő-tengely tükrözése a vonatkoztatási rendszer origójára nézve) felírható mint : y( t ) = x (− t ); Ha a jel páros, akkor az időtükröző művelet nem változtatja meg a jelet, mert x (− t ) = x ( t ) , míg egy páratlan jel esetében mikor x (− t ) = − x (t ) , a transzformált az Oxre nézve szimetrikus jel lesz. A következő ábra az időtükrözést mutat.
x (t ) = 0 ha t < −T1 és t > T2 y( t ) = 0 ha t < −T2 és t > T1
3
Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2 Legyen egy x [n ] : Z → R egy diszkrét jel. Az időtükrözés művelete legyen y[n ] = x[− n ] . 1 ha n = 1 A diszkrét jel x[n ] = − 1 ha n = −1 és számítsuk ki y[n ] = x[n ] + x[− n ] értékét. 0 ha n = 0 és n > 1 A következő ábrán láthatjuk az y[n ] jel két kompenensét:
Nem nehéz kiszámítani, hogy a két jel összege: y[n ] = 0 . Idő-eltolás Adott egy x(t): R → R folytonos jel. Az idő-eltolás műveletet y( t ) = x ( t − t 0 ); t 0 ≠ 0; és t 0 egy véges valós szám. Ha t 0 > 0 akkor az időtengelyen jobbra toljuk (transzláció) az x(t) grafikonját, ha meg t 0 < 0 akkor meg az eltolás (transzláció) balra történik. Példa:
Legyen egy x [n ] : Z → R egy diszkrét jel. Az idő-eltolást y[n ] = x[n − M ] alakban írhatjuk fel, ahol M egy egész szám. Legyen adott a következő diszkrét jel. 1 ha n = 1,2 1 ha n = −1,−2 akkor x[n + 3] = − 1 ha n = −4,−5 x[n ] = − 1 ha n = −1,−2 0 ha n = −3 és n > −1 0 ha n = 0 és n > 2 Grafikus abrázolásuk:
4
Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2 Vegyük most a következő, nagyon fontos transzformációt: y( t ) = x ( a ⋅ t − b) ahol x,y : R → R , vagyis valós függvények és a,b szigorúan pozitív valós számok. Alapvető az idő-eltolás és az időtükrözés műveletének a sorrendje. Ez a következő: • Első lépés: elvégezzük az idő-eltolás műveletét ( t → t − b ⇒ x (t ) → v( t ) ) • Második lépés: ezután elvégezzük az időtükrözés műveletét ( v( t ) → y( t ) ) A következő ábrán láthatjk a helyes és a helytelen sorrendben végrehajtott műveleteket mutatja. Látható, hogy ez a transzformáció műveleti sorrendfüggő. Ez érvényes a diszkrét műveleti sorrend esetében is.
Egy diszkrét jel esetében következik a helyes sorrendben végrehajtott műveletsor az y[n ] = x[2 ⋅ n + 3] kiszámítására ha a jel: 1 ha n = 1,2 x[n ] = − 1 ha n = −1,−2 0 ha n = 0 és n > 2 Ezt a következő ábrán láthatjuk.
5
Rendszerelmélet I – Laboratóriumi gyakorlat-2
Feladatok: 1. Hozzátok létre a következő jeleket:
2. Származtassátok a következő jeleket: a. u(t)=x(t-Tx) b. v(t)=y(t+Ty) c. w(t)=y(2t+3) d. p(t)=z(-t+2) e. r[nT]=x[2nT-1] A folytonos jelek ábrázolására használjátok a plot függvényt, a diszkrétekére pedik a stem függvényt. A jelek(x,y,z) létrehozását legalább két módszerrel kérem!
Kérdések: 1. Jeleken végzett összetett műveleteknél számít a sorrend? 2. Periodikus folytonos jelet mintavételezve az eredő diszkrét jel is periodikus lesz? Indokoljátok meg a választ példákkal. 3. Soroljatok fel általatok ismert öt jellegzetes jelet!
6
