INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE I

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ

OTAKAR ŠVÁBENSKÝ, ALEXEJ VITULA, JIŘÍ BUREŠ

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE I GE16 MODUL 03 NÁVODY KE CVIČENÍM

STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE · Modul 3

© Otakar Švábenský, Alexej Vitula, Jiří Bureš - Brno 2006

- 2 (161) -

Obsah

OBSAH 1 Úvod ............................................................................................................... 5 1.1 Cíle ........................................................................................................ 5 1.2 Požadované znalosti .............................................................................. 5 1.3 Doba potřebná ke studiu ....................................................................... 5 1.4 Klíčová slova......................................................................................... 5 1.5 Metodický návod na práci s textem ...................................................... 5 1.6 Organizace práce v praktické výuce ..................................................... 5 1.7 Formální a věcný obsah programů ........................................................ 6 1.8 Odpovědnost za převzaté měřické přístroje a pomůcky ....................... 8 1.9 Základní pravidla péče o geodetické přístroje a pomůcky .................... 8 1.10 Zásady bezpečnosti a ochrany zdraví při práci ..................................... 9 2 Použitá terminologie ................................................................................... 13 3 Rozbory přesnosti vytyčení a jeho kontroly ............................................. 17 3.1 Metodika rozborů přesnosti ................................................................ 17 3.2 Elipsa chyb a její úpatnice, extrémní chyby mmax, mmin..................... 21 3.3 Testování měřených veličin ................................................................ 23 3.3.1 Test poměru dvou středních chyb ......................................... 24 3.3.2 Test rozdílu dvou průměrů .................................................... 26 3.3.3 Test střední chyby ................................................................. 27 3.3.4 Test aritmetického průměru .................................................. 29 3.3.5 Testy extrémních odchylek od průměru ............................... 30 3.4 Faktory přesnosti vytyčení .................................................................. 33 3.4.1 Rozbory přesnosti před měřením .......................................... 34 3.4.2 Rozbory přesnosti při měření ................................................ 38 3.4.3 Rozbory přesnosti po měření (vytyčení) ............................... 38 4 Práce s teodolitem, měření a vytyčování úhlu.......................................... 41 4.1 Centrace teodolitu ............................................................................... 41 4.2 Horizontace teodolitu .......................................................................... 44 4.3 Přístrojové chyby a jejich vliv na měřený vodorovný směr a úhel ..... 47 4.3.1 Kolimační chyba ................................................................... 47 4.3.2 Chyba ze sklonu klopné osy dalekohledu ............................. 49 4.3.3 Chyba z nesvislé osy alhidády .............................................. 49 4.4 Vliv přístrojových vad na měření výškových úhlů ............................. 59 4.5 Technika měření vodorovných směrů a úhlů ...................................... 60 4.5.1 Měření vodorovných úhlů ve skupinách ............................... 62 4.5.2 Měření paralaktických úhlů .................................................. 66 4.5.3 Měření úhlu v laboratorní jednotce ....................................... 68 4.6 Měření zenitových úhlů ...................................................................... 71 4.7 Celková střední chyba vodorovného směru, úhlu ............................... 73 4.8 Měření směrů a úhlů elektronickými teodolity, totálními stanicemi .. 76 4.9 Vytyčení úhlu ...................................................................................... 78

- 3 (161) -


5 Měření a vytyčování délek......................................................................... 87 5.1 Měření délek pásmy ........................................................................... 87 5.2 Měření délek elektronickými dálkoměry............................................ 95 5.2.1 Systematické chyby .............................................................. 96 5.2.2 Určení součtové konstanty elektronického dálkoměru ........ 97 6 Výškové vytyčovací metody .................................................................... 105 6.1 Vytyčení výšky nivelací ................................................................... 105 6.2 Trigonometrické vytyčení výšky bodu ............................................. 108 7 Vytyčení polohy bodu polárními souřadnicemi .................................... 115 8 Vytyčení polohy bodu pravoúhlými souřadnicemi ............................... 121 9 Vytyčení polohy bodu protínáním vpřed ............................................... 127 10 Vytyčení polohy bodu protínáním z délek ............................................. 137 11 Vytyčení polohy bodu protínáním zpět .................................................. 143 12 Vytyčení polohy bodu protínáním zpět z úhlu a délky ......................... 147 13 Vytyčení polohy bodu polygonovým pořadem ...................................... 151 14 Závěr ......................................................................................................... 161 14.1 Shrnutí ............................................................................................ 161 14.2 Studijní prameny .............................................................................. 161 14.2.1 Seznam použité literatury ................................................... 161 14.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury ................................. 161 14.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ........................ 161

- 4 (161) -

Úvod

1

Úvod

1.1

Cíle

Cílem je procvičit znalosti v oblasti inženýrské geodézie, zejména spojené s rozbory přesnosti dílčích měřických úloh.

1.2

Požadované znalosti

Je vyžadována dobrá znalost předmětů Geodézie, Teorie chyb a vyrovnávací počet.

1.3

Doba potřebná ke studiu

39 hodin

1.4

Klíčová slova

inženýrská geodézie, vytyčování, rozbory přesnosti, střední chyba

1.5

Metodický návod na práci s textem

Předkládaný učební text je koncipován pro práci s odbornou literaturou. Každá úloha je zpracovávaná od obecného řešení po zjednodušené varianty a posluchač je veden k výběru vhodného řešení.

1.6

Organizace práce v praktické výuce

Práce v praktické výuce (cvičení nebo výuce v terénu) je organizována zpravidla ve skupinách. Skupina posluchačů (měřická skupina) dostává vždy konkrétní měřickou úlohu. Od vedoucího učitele dostává skupina potřebné podklady a výchozí data, konzultuje s ním návrh řešení a postup vypracování úlohy. Každá úloha má obvykle část měřickou (práce v terénu) a část zpracovatelskou (práce v kanceláři). Z každé úlohy zpracovává každý jednotlivý posluchač program. Pouze v některých případech rozsáhlejších úloh (zejména při soustředěné výuce v terénu) se zpracovává jediný elaborát souhrnně za celou skupinu. Pak musí být na každém dílčím dokumentu (zápisníku, náčrtu, výkresu atd.) zřetelně vyznačeno, kdo jej vyhotovil a kdo kontroloval. Program musí mít všechny formální i věcné náležitosti a musí být odevzdán v určeném termínu. V běžném semestrálním cvičení je to nejpozději do jednoho týdne po skončení měřické a výpočetní části úlohy, při soustředěné výuce v terénu pak v termínu, který určí učitel. Překročení stanoveného termínu při odevzdání programu má za následek snížení klasifikačního stupně při hodnocení programu. - 5 (161) -


Věcný obsah programu stanoví vedoucí učitel cvičení. Programy mající věcné či formální závady jsou posluchačům vráceny k opravě nebo přepracování. Současně učitel určí náhradní termín odevzdání. Splnění a řádné odevzdání všech předepsaných programů je jednou z podmínek udělení zápočtu. V každé měřické skupině je určen (zvolen) jeden z posluchačů vedoucím skupiny a další pak zástupcem vedoucího skupiny. Povinnosti a práva vedoucího skupiny: - je v bezprostředním styku s vedoucím učitelem, přebírá od něj operativní pokyny a konzultuje s ním sporné otázky, - odpovídá za převzaté přístroje a pomůcky, - organizuje činnost měřické skupiny a přiděluje konkrétní úkoly jednotlivým členům skupiny, - má přehled o okamžitém stavu prací a konkrétním zaměstnaní každého člena skupiny, - zastupuje skupinu, pokud tato přichází při plnění svých úkolů do styku s veřejností nebo se zástupci státních organizací, - odpovídá za zpracování výsledného elaborátu a jeho včasné odevzdání vedoucímu učiteli.

1.7

Formální a věcný obsah programů

Zpracovávané programy musí obsahovat následující části: 1.

Obálka

2.

Zadání úlohy

3.

Teorie úlohy a rozbory přesnosti

4.

Výpočty

5.

Sestavení výsledků

6.

Technická zpráva

7.

Přílohy

Obálka programu je tvořena dvoulistem nelinkovaného papíru formátu A4. Obsahuje název a číslo úlohy a dále školní rok, jméno, příjmení, ročník a studijní skupinu posluchače. Text obálky je napsán technickým písmem. U rozsáhlejšího elaborátu zpracovaného v jednom exempláři za celou měřickou skupinu se použije obálky na technické výkresy z tuhého papíru. Do obálky jsou vloženy listy nelinkovaného papíru formátu A4 s vypracováním úlohy. Stránky jsou číslovány, text je psán po jedné straně úhledným písmem, inkoustovým nebo kuličkovým perem. Obrázky se rýsují, popř. kreslí na počítači.

- 6 (161) -

Úvod

Zadání úlohy obsahuje textovou část a dále všechny výchozí číselné hodnoty (souřadnice, výšky, apod.) spolu s nezbytnými doprovodnými údaji (jednotky, označení souřadnicového systému, výškového systému atd.). Pokud je sděleno, uvádí se těž číslo zadání. Teoretická část obsahuje návrh řešení úlohy, výběr měřického postupu, požadavky na přesnost jednotlivých měřických úkonů vycházející z příslušných rozborů přesnosti před měřením. Uvede se stručný popis pracovního postupu a plán rozborů přesnosti při měření a po měření. Výpočty obsahují vždy obecný tvar výpočetního vzorce, dosazení číselných hodnot, podstatné mezivýsledky a konečný výsledek s uvedením příslušných jednotek. Konkrétní požadavky vždy sdělí vedoucí učitel. V případě použití programovaného výpočtu se uvede typ použitého výpočetního prostředku, popřípadě se vypíše seznam instrukcí. Sestavení výsledků představuje souhrnné vypsání všech výsledných údajů požadovaných v zadání, nejlépe ve formě přehledné tabulky . Výsledky je třeba uvádět s potřebným počtem platných cifer, nesmí chybět označení jednotek. Charakteristiky přesnosti (střední chyby atd.) se uvádějí s přesností o řád vyšší než je přesnost výsledku. Technická zpráva obsahuje následující body: - stručná charakteristika místa měření a podmínek měření, - použité přístroje a pomůcky, - závěry se zhodnocením dosažených výsledků vzhledem k požadované přesnosti (výsledky rozborů přesnosti po měření), - zvláštní okolnosti měření, zdůvodnění výsledků, - seznam příloh, - seznam členů měřické skupiny s označením vedoucího. V případě nedodržení požadované přesnosti se měření (vytyčení) opakuje. Není-li to z časových důvodů možné, rozhodne učitel o formě ukončení úlohy. Přílohy jsou číslovány a jsou to a)

zápisníky měření,

b)

polní náčrty,

c)

výkresy,

d)

jiné dokumenty

Měřické zápisníky jsou předepsaným způsobem adjustovány, stejně jako polní náčrty. Jsou přiloženy v programu vedoucího skupiny. Výkresy se kreslí na papír, uvádí se vždy měřítko. Pokud učitel nestanoví jinak, skládají se na formát A4 jako technické výkresy. Při počítačovém zpracování se výstupy vytisknou na papír nebo se předávají v elektronické formě v předem dohodnutém formátu. - 7 (161) -


1.8

Odpovědnost za převzaté měřické přístroje a pomůcky

Každá měřická skupina přebírá od skladníka katedry geodézie nebo vedoucího učitele cvičení před zahájením měřických prací geodetické přístroje a pomůcky potřebné ke splnění stanoveného úkolu. Některé běžně dostupné pomůcky a materiál na kancelářské zpracování jsou posluchači povinni obstarat si sami. Za převzaté přístroje a pomůcky nese celá měřická skupina a jmenovitě její vedoucí plnou hmotnou odpovědnost a je povinna vrátit přístroje a pomůcky v takovém stavu, v jakém je převzala. Důležitým pravidlem proto je, aby byly při přebírání všechny přístroje a pomůcky pečlivě prohlédnuty a překontrolována jejich funkce. Na případné poškození přístroje nebo jejich vadnou funkci je třeba ihned při přebírání upozornit, jinak za tyto závady již nese odpovědnost měřická skupiny. Převzetí přístrojů a pomůcek na delší dobu (nikoliv při běžném semestrálním cvičení) se potvrdí záznamem v předtištěném formuláři, kde se vypíší všechny přebírané věci (u přístrojů se zapíší jejich inventární popřípadě výrobní čísla), vypíše se datum převzetí, datum předpokládaného vrácení a dále jméno, příjmení, ročník a studijní skupina vedoucího měřické skupina s jeho vlastnoručním podpisem. Bez potvrzení o řádném vrácení vypůjčených přístrojů a pomůcek nelze uznat splnění úkolu a udělit zápočet. Při vrácení materiálu do skladu je nutné zkontrolovat, zda jsou přístroje čisté, nepoškozené a správně uložené v přepravním pouzdře. Pomůcky musí být očištěné od zbytků trávy či zeminy (hroty noh stativu, patky latí atd.) . Měřická ocelová pásma musí být po celé délce bez nečistot a nakonzervována proti působení koroze. Nevyčištěný a nenakonzervovaný materiál nemůže být převzat zpět do skladu.

1.9

Základní pravidla péče o geodetické přístroje a pomůcky

Každý geodet musí pečovat o své přístroje a pomůcky, ošetřovat je a udržovat v takovém stavu, aby nedošlo k jejich znehodnocení nebo poruše jejich bezvadné funkce. Platí to dvojnásob pro geodety a investiční výstavbě a provozní geodety pracující v oboru inženýrské geodézie, neboť na těchto pracovištích hrozí mnohem více nebezpečí než při běžných geodetických pracích. Mezi samozřejmé zásady péče o geodetické přístroje a pomůcky zejména patří: - geodetické přístroje je třeba chránit před prudkými otřesy a údery při jejich přepravě (zvlášť citlivé jsou přístroje s kompenzátory), - přístroje přenášíme zásadně v přepravním pouzdře, pokud při krátkém transportu ponecháme přístroj na stativu, nikdy jej nepřenášíme jinak než ve svislé poloze, - při vyjímání teodolitu z přepravního pouzdra i při zpětném ukládání jej držíme za alhidádová ramena (vidlice), nikdy za dalekohled či trojnožku,

- 8 (161) -

Úvod

- při měření je třeba přístroje chránit před deštěm a při přesnějších pracích i před přímým slunečním zářením měřickým deštníkem, - dojde-li ke zvlhnutí přístroje působením deště, nikdy mokrý přístroj neuzavíráme do pouzdra, nýbrž jej necháme volně (případně v otevřeném pouzdře) vyschnout, - mokrý přístroj můžeme lehce otřít flanelovým hadříkem, nikdy však přímo neutíráme skleněné optické součásti (objektiv, okulár atd.), - přístroje je třeba skladovat v suchém a řádně zabezpečeném místě, nikoliv v blízkosti tepelných zdrojů, - při měření za nízkých teplot pamatovat vždy na dobu potřebnou k vyrovnání teplot přístroje a prostředí (je závislá na rozdílu teplot a pohybuje se obvykle v rozmezí 15 – 30 minut), - při obsluze přístrojů se nepoužívá násilí, alhidádou se neotáčí při utažené hrubé ustanovce, šrouby hrubých ustanovek se utahují pouze lehce, šrouby jemných ustanovek se točí zvolna, plynule a beze skoků, - jemné ustanovky se nevytáčejí do blízkosti levé krajní polohy (uvolněná pružina protitlačného pera), - při stavění stativu ve svahu, na schodišti atp. vždy umisťovat dvě nohy stativu po svahu, třetí (zkrácenou) proti svahu, - invarové nivelační latě pro přesnou nivelaci je třeba skladovat v přepravních bednách, při jejich přenášení se vyvarovat otřesů a prudkých nárazů a nikdy nepokládat na terén spodní ploškou patky latě, - měřická pásma nelze při přestávkách v práci ponechávat rozvinutá, nýbrž je třeba je vždy svinout na vidlici nebo do pouzdra, - při měření na asfaltovém či betonovém povrchu nikdy nesmýkáme stuhou pásma po zemi, nýbrž ji přenášíme nadzvednutou a mírně napjatou, aby se zamezilo sedření a poškození stupnice pásma, - po skončení práce je nezbytné očistit stuhu pásma od nečistot a nakonzervovat ji ochranným mazadlem (vazelínou, petrolejem apod.) proti rezivění, - nikdy neprovádět samostatnou rektifikaci geodetických přístrojů.

1.10 Zásady bezpečnosti a ochrany zdraví při práci Geodetické složky vykonávající práce na staveništích, ve stavebních objektech, průmyslových či zemědělských závodech, na dopravních komunikacích, v podzemních prostorách atd. jsou vázány předpisy a nařízeními platnými pro práce a pobyt v příslušném typu pracoviště. Jedná se o všeobecné, rezortní či podnikové směrnice týkající se otázek bezpečnosti a ochrany zdraví při práci. Platí to i pro posluchače VUT při praktické výuce a výuce v terénu, koná-li se tato v prostoru staveniště, průmyslového provozu, zemědělského závodu, na dopravní komunikaci atp. Za tím účelem je na začátku takové praxe povinně absolvováno školení či jinak organizované seznámení posluchačů s příslušnými

- 9 (161) -


předpisy a zásadami bezpečnosti a ochrany zdraví, které se doloží podpisy všech účastníku praxe na zvláštním archu. Vedle těchto předpisů je třeba vždy dbát na řadu obecných zásad, vyplívajících ze specifických zvláštností geodetických prací v terénu nebo ve zvláštních podmínkách. Mezi tyto zásady patří: - bezpodmínečný zákaz požívání alkoholických nápojů nebo omamných prostředků před nástupem do práce a v pracovní době, - hlásit každý pracovní úraz svůj nebo jiného posluchače vedoucímu učiteli cvičení, - při měření délek pásem napříč provozované komunikace je nezbytné zabezpečit zastavení provozu po dobu potřebnou k vykonání práce, - při měření na silničních komunikacích nebo na železničních tratích je třeba místo práce označit příslušnými dopravními značkami v souladu s platnými dopravními předpisy a všichni členové měřické skupiny musí být vybaveni jasně viditelnými oranžovými oděvy (vestami), - při práci na železnici je zakázáno používat ocelových pásem při měření v kolejišti, - při měření délek ocelovými pásmy je třeba dbát, aby se stuha nepřiblížila k obnaženým elektrickým vodičům pod proudem,

pásma

- při práci ve výškách (na montážních horizontech výškových budov, při zaměřování drah mostových jeřábů apod.) je třeba dbát zvláštní opatrnosti při práci v nebezpečných okrajových zónách, kde hrozí nebezpečí pádu. Je-li nezbytné se v takových místech pohybovat, je nutné použití zabezpečovacích pásů. Pokud možno neumisťovat měřické body do těchto míst, - je zakázáno provádět geodetické práce v zóně dosahu montážního jeřábu v době jeho činnosti, - o době konání měřických prací je třeba vždy vyrozumět vedení stavby či provozu, při příchodu na pracoviště se ohlásit stavbyvedoucímu, mistrovi či vedoucímu směny a dohodnout s ním potřebné náležitosti, - vykonání měřických prací se zpravidla potvrdí formou zápisu do stavebního deníku či provozního deníku, - je nezbytné pečlivě vybírat místa stanovisek přístrojů z hlediska jejich dostatečné stability a možného ohrožení, - při přestávkách v práci nelze ponechávat geodetické přístroje bez přímého dozoru, - přístroj na stativu nelze opírat o stěny budov či místností, - měřické pomůcky delších rozměrů (výtyčky, nivelační a tachymetrické latě, stativy, opěrné tyče, latě dvojobrazových dálkoměrů, odrazné hranoly na tyčce apod.) se neodkládají opřením o stěnu, nýbrž výhradně položené na podlahu či terén, zamezí se tím případnému poškození těchto pomůcek nebo poranění osob a též poškození jiných předmětů a zařízení při jejich pádu,

- 10 (161) -

Úvod

- na ubikaci je třeba dodržovat vyhlášený ubytovací řád (zejména noční klid), požárně-bezpečnostní předpisy (zákaz kouření, používání elektrických vařičů, topidel apod.) a hygienické zásady platné pro příslušné místo, - ve styku s veřejností je třeba dodržovat zásady slušného chování, - dbát všech příkazů a pokynů vedoucího učitele cvičení. Hlavní všeobecné zásady bezpečnosti a ochrany zdraví při práci jsou obsaženy v zákoníku práce, z něhož vychází řada dalších právních norem, toto právo dále konkretizujících. Na Fakultě stavební VUT jsou v návaznosti na příkaz děkana vydány pokyny k bezpečnosti a ochraně zdraví studentů a pracovní fakulty, podle nichž jsou posluchači již při nástupu do prvního ročníku poučeni o bezpečnostních předpisech. Tyto předpisy je třeba samozřejmě dodržovat i při praktické výuce z inženýrské geodézie.

- 11 (161) -

Použitá terminologie

2


V následujícím přehledu jsou uvedeny některé základní pojmy, veličiny a charakteristiky přesnosti používané v inženýrské geodézii při rozborech přesnosti: - geometrický model měřické (vytyčovací) úlohy je dán vzájemnou konfigurací výchozích (daných) bodů a vytyčovaných bodů, orientací souřadnicové soustavy, počtem měřených (vytyčovaných) veličin a jejich rozmístěním, - pravděpodobnostní model měřické (vytyčovací) úlohy je dán uvažovanou přesností výchozích veličin, uvažovanou přesností měřených veličin, uvažovanými vlivy prostředí, - cílový parametr je kvantitativní (číselný) údaj vyjadřující ve zvolených jednotkách výsledek vytyčení nebo měření (např. délka, úhel, souřadnice, výška, výškový rozdíl atd.), - základní hodnota vytyčované veličiny je hodnota uvedená v projektové dokumentaci (vytyčovacím výkresu), - skutečná hodnota vytyčené veličiny je hodnota zjištěná kontrolním měřením podle ČSN 73 0212 - vytyčovací odchylka je algebraický rozdíl mezi skutečnou a základní hodnotou vytyčené veličiny, - mezní vytyčovací odchylka je předepsaná hodnota vytyčovací odchylky, která nesmí být překročena, - tolerance je absolutní hodnota rozdílu mezních hodnot geometrického parametru, - vytyčovací tolerance je rozdíl mezi oběma mezními vytyčovacími odchylkami, tj. rozmezí povolených nepřesností při vytyčování, - podélná odchylka je odchylka ve směru spojnice bodů, u křivek ve směru tečny v určovaném bodě, - příčná odchylka je odchylka v kolmém směru na spojnici bodů, u křivek ve směru normály v určovaném bodě, - polohová odchylka je odchylka vytyčeného bodu ve vodorovné rovině, stanovená z odchylek ve dvou navzájem kolmých směrech (buď ve směrech os souřadnicové soustavy nebo v podélném a příčném směru) stanovená jako odmocnina ze součtu jejich čtverců, - vnitřní přesnost měření (vytyčení) je přesnost, při níž se nepřihlíží k těm systematickým chybám, které neporušují rozptyl v řadě měření; charakterizuje ji střední náhodná chyba svědčící o vnitřní přesnosti přístroje a měření, která však není dostatečným měřítkem spolehlivosti měření, - vnější přesnost měření (vytyčení) je přesnost zahrnující vliv náhodných i systematických chyb, posuzuje se podle hodnoty střední úplné chyby, - třída přesnosti měření (vytyčení) zahrnuje skupinu vytyčovacích tolerancí odpovídajících určitému zvolenému stupni přesnosti, jednotlivé třídy přesnosti

- 13 (161) -


jsou charakterizovány kritérii pro základní střední chybu a pro způsob vyznačení vytyčovacích značek, - základní střední chyba daná předem volbou přístroje, volbou metody okolnostmi vytyčení, prakticky je určena jako střední chyba z rozsáhlého souboru měření, - střední empirická chyba m je charakteristika přesnosti vypočtená z malého souboru měření podle vzorce n

m = 2

∑ ( x − xi )2 i =1

n −1

n

=

∑v v i =1

i i

n −1

kde x je aritmetický průměr souboru (výběru) a n je rozsah (počet měření) souboru; charakterizuje pouze daný soubor a je pouze odhadem základní střední chyby, - střední chyby jednotlivých souřadnic mx , my jsou charakteristiky přesnosti určení polohy bodu ve směru souřadnicových os, vypočtené podle vzorců n

m = 2 x

∑ ( x − xi )2 i =1

n −1

n

=

∑v

n

m = 2 y

∑ ( y − yi )2 i =1

n −1

i =1

v

xi xi

n −1

n

=

∑v i =1

v

yi yi

n −1

- kovariance mxy je veličina charakterizující stupeň vzájemné závislosti (korelace) mezi oběma souřadnicemi x, y, vypočtená ze vztahu n

mxy =

∑ ( x − xi )( y − yi ) i =1

n −1

n

=

∑v i =1

v

xi yi

n −1

(může být i záporná), - střední polohová chyba m p je charakteristika přesnosti určení polohy vypočtená ze vztahu m 2p = mx2 + m y2

je nezávislá (invariantní) na změně volby souřadnicové soustavy, - střední souřadnicová chyba mx , y je charakteristika přesnosti polohy bodu vypočtená ze vztahu mx2, y = 0,5(mx2 + m y2 ) = 0,5m 2p

je nezávislá (invariantní) na změně volby souřadnicové soustavy, - extrémní chyby mmax, mmin udávají největší a nejmenší chybu v určení polohy, jejich směry jsou navzájem kolmé a určují hlavní poloosy střední elipsy chyb,

- 14 (161) -


- střední elipsa chyb je elipsa stejné hustoty pravděpodobnosti o poloosách mmax, mmin, poskytuje komplexní informaci o polohové přesnosti bodu, - souhrnná střední chyba zahrnuje jak vliv chyb výchozích (daných) veličin tak vliv chyb měření (vytyčení), - relativní střední chyba zahrnuje pouze vliv chyb měřených (vytyčených) veličin za předpokladu bezchybnosti výchozích (daných) veličin, - střední systematická chyba mc zahrnuje vliv systematických chyb nevyloučených metodou měření nebo vyrovnáním, - střední úplná chyba je dána jako odmocnina ze součtu kvadrátů střední náhodné chyby a střední systematické chyby, vyjadřuje vnější přesnost měření (vytyčení), - součinitel konfidence je faktor, jímž se volí šířka konfidenčního intervalu (v násobku základní střední chyby) vzhledem ke zvolenému riziku, označuje se t a volí se obvykle v rozmezí 2 – 3, - konfidenční interval je rozsah, který se zvolenou pravděpodobností (rizikem) obsahuje hodnotu dané veličiny, vyjadřuje se v násobcích součinitele konfidence a základní střední chyby, - poměrná přesnost je poměr střední chyby určité veličiny mx k veličině samé ve tvaru mx : x - primární systém je soustava trvalých bodů tvořících vytyčovací síť pro vytyčování polohy a výškových úrovní stavby, přesnost systému musí vyhovovat požadavkům kladeným na vytyčení hodnot geometrických veličin, - sekundární systém tvoří předmět vytyčení prostorové polohy, tedy u dílčích samostatných pozemních stavebních objektů hlavní polohová čára, hlavní osa, u liniových stavebních objektů HB, CHB, HVB nebo lokální vytyčovací sítě dílčích složitějších a na přesnost náročnějších objektů (mostů, tunelů, apod). - charakteristické body (CHB) půdorysu prostorové stavby bez architektonických podrobností určují v hlavních rysech polohu, rozměr a tvar stavby. Obdobný význam mají charakteristické body mostu, tunelu, upravených prostranství a terénních úprav; - hlavní body trasy (HB) osy liniové stavby jsou body ve vzájemně vymezené vzdálenosti; za HB je vhodné volit body na styku sousedních návrhových prvků; - hlavní výškové body (HVB) jsou to body zpravidla mimo vytyčovanou stavbu a její vliv, ze kterých se vytyčují výškové úrovně.

- 15 (161) -

Rozbory přesnosti vytyčení a jeho kontroly

3


3.1

Metodika rozborů přesnosti

Nezbytnou součástí měřických a vytyčovacích úloh inženýrské geodézie jsou rozbory přesnosti, jejichž účelem je posouzení přesnosti cílových parametrů vytyčení na základě daného geometrického a přijatého pravděpodobnostního modelu úlohy. Jejich význam je dán tím, že požadavky na přesnost jsou ve většině případů striktně vymezeny a jejich splnění je závazné. Při rozborech přesnosti se zpravidla postupuje tak, že základní rozbor se provede za předpokladu působení pouze náhodných chyb měření, v dalších fázích se pak rozbor zpřesňuje zohledněním dalších systematických vlivů. Metody rozborů přesnosti jsou buď analytické (založené na aplikaci zákona přenášení středních chyb) nebo empirické (simulační metody apod.) . Nejčastěji se používá analytických metod ; použití simulačních metod je účelné v těch případech, kdy je funkční závislost složitá a analytická řešení je těžkopádné a komplikované. a)

analytická metoda

cílový parametr vytyčení a je funkcí několika měřených (vytyčovaných) veličin xi

a = f (x1, x2, x3, …… , xn) skutečná náhodná chyba je ( 3.1)

∂a ε xi i =1 ∂xi n

εa = ∑

střední náhodná chyba je ( 3.2) 2

⎛ ∂a ⎞ 2 ⎟⎟ mxi m = ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ n

2 a

Poznámka Zákon přenášení středních chyb platí v tomto tvaru pouze za předpokladu vzájemně nezávislých (nekorelovaných) měření xi . V případě dvojice parametrů (např. dvojice souřadnic x, y udávající polohu vytyčeného bodu ve zvolené soustavě souřadnic) pak je též dvojice určujících funkcí

a = f (x1, x2, x3, ….. , xn)

,

b = g (x1, x2, x3, ….. , xn)

,

střední chyby jednotlivých parametrů jsou dány vzorci

- 17 (161) -


( 3.3) 2

n ⎛ ∂a ⎞ 2 ⎟⎟ mxi ma2 = ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ 2

⎛ ∂b ⎞ 2 ⎟⎟ mx i m = ∑ ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ n

2 b

kovariance se vypočítá ze vzorce ( 3.4)

∂a ∂b 2 mx i i =1 ∂xi ∂xi n

mab = ∑

Poznámka Vzorec pro výpočet kovariance platí v tomto tvaru pouze za předpokladu vzájemně nezávislých (nekorelovaných) měřených veličin xi . Příklady na použití zákona přenášení středních chyb jsou v hojném počtu uváděny v řadě učebnic. V následujícím příkladě je ukázáno použití vzorce pro výpočet kovariance. Příklad 3.1

Odvoďte výraz pro výpočet kovariance mxy mezi oběma souřadnicemi x, y bodu vytyčeného polárními souřadnicemi (Obr. 19), jsou-li výchozí data bezchybná a uvažuje-li se pouze přesnost vlastního vytyčení. Řešení

Souřadnice bodu vytyčeného polárními souřadnicemi jsou dány vzorci x = x A + s. cos α

y = y A + s.sin α

Za předpokladu mx A = my A = 0 jsou střední chyby jednotlivých souřadnic

podle. ⎛ ∂x ⎞ 2 ⎛ ∂x ⎞ 2 2 2 2 2 m = ⎜ ⎟ ms2 + ⎜ ⎟ mα = cos α . ms + s sin α . mα s α ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

2

2

2 x

⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞ 2 2 2 2 2 2 m y2 = ⎜⎜ ⎟⎟ ms2 + ⎜ ⎟ mα = sin α . ms + s cos α . mα ⎝ ∂α ⎠ ⎝ ∂y ⎠ kovariance je podle mxy =

∂x ∂y 2 ∂x ∂y 2 ms + mα ∂s ∂s ∂α ∂α - 18 (161) -


mxy = sin α cosα . ms2 − s 2 sin α cosα . mα2

Z uvedeného vyplývá, že i když původní měřené veličiny jsou nezávislé, tak veličiny z nich vypočtené (odvozené) již závislé (korelované) jsou. Stupeň závislosti (korelace) se měří pomocí korelačního koeficientu rab, který se počítá se vzorce ( 3.5)

rab =

2 mab ma mb

Korelační koeficient nabývá hodnot v rozmezí -1 < rab < 1 . V případě, že rab → 0 jsou obě veličiny nezávislé (jde-li o pravoúhlé souřadnice, pak je střední elipsa chyb orientována souhlasně s osami souřadnicové soustavy), naopak když |rab| → 1, jedná se o těsnou závislost (jde-li o pravoúhlé souřadnice, pak střední elipsa chyb degeneruje v úsečku). b)

metoda simulace

Pomocí zdrojů náhodných čísel s normálním rozdělením pravděpodobností lze uměle vytvářet (quasi) náhodné “měřické“ chyby. Připojováním takto získaných chyb k bezchybným hodnotám modelových veličin (po příslušné rozměrové transformaci) se získají simulované hodnoty měřených veličin (úhlů, délek atd.). Vyhodnocením opakovaných výpočtů s těmito simulovanými veličinami je pak možné získat odhady charakteristik přesnosti cílových parametrů v závislosti na zvolené vstupní přesnosti měřených veličin. Efektivní použití simulačních metod předpokládá výpočty na počítači, včetně vyhodnocení. Jednodušší experimenty menšího rozsahu lze vykonat i s použitím běžného kalkulátoru. Simulační schéma konkrétní úlohy lze stručně vyjádřit následujícím postupem: 1) vytvoření simulačního modelu a jeho analytické vyjádření (geometrický model s bezchybnými veličinami), 2) výběr vhodného zdroje náhodných čísel, sestavení plánu a rozsahu simulace, volba velikostí chyb vstupních veličin, 3) běh simulačního programu na počítači s průběžným zaznamenáváním výsledků jednotlivých simulačních cyklů, 4) statistické vyhodnocení získaných souborů výsledných hodnot, výpočet středních chyb jednotlivých cílových parametrů (souřadnic, výšek atd.), závěrečné zhodnocení výsledků. Simulační metoda nachází použití zejména při složitých úlohách, které nedovolují snadné odvození vzorců pro střední chyby analytickou metodou. Pro simulaci je potřebné mít k dispozici operativní zdroj náhodných čísel. Užívá se dvou způsobů:

- 19 (161) -


- použití daného souboru náhodných čísel (Tabulka č. 1), - použití zvláštního programového tzv. generátoru náhodných čísel . Takto se získává posloupnost náhodných čísel ηi s normovaným normálním rozdělením. Před použitím je třeba čísla transformovat na „quasi“ skutečné chyby podle vzorce

ε x = ηi mx i

kde mx je zvolená vstupní střední chyba měřené veličiny x. Simulace měřených veličin x´i se děje podle vztahu xi′ = x + ε xi

kde x je bezchybná modelová hodnota této veličiny. Analytickým výpočtem se pak získá hodnota cílového parametru a´ v každém i-tém simulačním cyklu (i=1, 2, 3, ….., n, kde n je zvolený rozsah simulace) podle daného funkčního vztahu ai′ = f ( xi′, yi′,....)

Na závěr je k dispozici soubor n hodnot cílového parametru a´1, a´2, …… , a´n,který lze zpracovat podobně jako běžný soubor měření, pouze s tím rozdílem, že namísto oprav k aritmetickému průměru se nyní pro odhady středních chyb použije „quasi“ skutečných chyb

ε a = a − ai′ i

kde a je opět bezchybná modelová hodnota daného parametru. Příslušná střední chyba se vypočte ze vztahu n

m = 2 a

∑ε i =1

ai

εa

i

n

- 20 (161) -


V následující tabulce jsou uvedena náhodná čísla s normovaným normálním rozdělením (E(x)=0, σ = 1). Tabulka č. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

3.2

1 -0.65 0.34 -0.06 0.51 0.60 0.38 -0.34 0.64 0.54 1.42 0.48 0.25 -0.13 1.88 0.46 -0.10 -1.31 1.51 1.24 0.36 0.63 0.31 -0.02 -1.03 0.85 0.44 0.87 0.44 0.49 -0.18 -0.31 -0.71 0.41 0.37 0.67 -1.79 0.53 -0.53 -1.18 0.47

2 0.99 0.57 -0.81 0.78 0.20 0.80 -0.62 1.27 0.08 -1.22 -1.55 -1.51 0.24 -0.63 -0.53 1.82 -1.00 -0.39 0.27 0.86 -0.17 -1.31 -0.17 1.08 1.15 -0.86 -0.25 1.36 -0.30 -2.06 -1.36 -0.42 0.62 -0.30 0.33 -1.21 1.37 -0.45 -1.38 0.66

3 -0.65 0.45 1.04 -1.27 -2.34 0.66 0.15 0.87 0.97 0.62 -0.66 -1.03 -1.07 0.66 -1.44 -1.70 0.13 -0.57 0.21 1.53 0.58 -0.26 -0.76 0.08 0.17 -1.07 -0.43 0.45 -0.54 0.10 -0.72 0.47 -1.82 -0.01 -1.15 0.73 1.08 0.39 -0.88 0.89

4 0.14 0.09 -0.31 0.64 -1.66 0.78 -1.10 0.02 -0.89 -1.64 -0.96 -0.89 0.58 -2.51 0.27 0.96 0.63 -0.70 -0.79 -0.98 0.04 2.37 0.60 -0.41 -1.54 0.81 1.76 0.40 -0.45 -1.02 -0.06 -0.46 -2.63 0.47 0.06 -1.08 -1.85 1.98 1.59 0.24

5 1.70 0.28 0.94 0.60 -0.05 -2.92 0.40 -2.31 0.01 -0.29 0.76 0.90 0.40 -0.69 0.22 1.52 -0.79 0.23 -0.17 0.25 0.71 0.15 0.53 -0.17 -1.40 0.35 -0.57 0.75 0.59 0.93 0.22 0.59 -0.03 -1.67 -0.17 0.76 -0.07 -0.76 1.41 -0.66

6 -0.25 0.93 -1.15 -0.59 -0.03 -0.68 0.30 -1.63 -0.22 1.51 -1.84 1.45 -0.72 -0.44 -0.19 -1.62 -0.24 1.08 -1.62 -0.19 -0.66 1.08 -2.68 0.42 -0.16 0.02 1.13 -0.51 0.58 1.32 1.17 -1.15 -0.36 -0.48 -0.01 -1.40 0.00 -1.10 1.12 0.46

7 -2.12 2.09 0.32 -2.05 0.66 0.58 1.60 -2.09 1.98 -2.60 0.07 0.04 0.06 -0.92 0.98 -0.94 0.78 1.73 -0.80 1.97 -0.48 0.25 -0.38 0.42 -0.25 -0.93 0.20 -0.46 -0.71 -1.48 -1.24 -1.01 -1.32 -0.17 1.98 0.82 -0.82 -0.15 0.66 -2.31

8 -1.65 -1.81 -0.53 -1.47 -0.23 -0.13 1.51 -1.68 1.26 0.74 -2.00 -1.76 -1.59 -1.09 -0.03 -0.54 -0.41 -0.82 0.13 1.26 1.21 0.92 1.30 0.99 -0.43 -0.68 1.14 -0.09 0.66 -1.24 1.22 -1.36 -0.40 0.06 -0.59 -0.18 0.40 0.53 2.94 0.97

9 -0.10 1.77 -0.92 -1.06 2.34 -1.35 1.42 -0.28 -1.31 -0.15 -1.19 -0.53 0.69 1.39 -1.21 2.11 1.03 -0.62 0.90 0.51 0.15 -1.10 -1.28 -0.56 -0.96 -0.07 0.39 1.11 -0.63 0.40 -0.43 0.37 -1.04 0.59 -0.49 -0.73 -1.12 -0.01 -1.39 -1.37

10 0.31 -0.12 1.52 0.63 -0.14 -0.63 -0.72 -0.35 0.44 -2.98 -1.06 1.68 -1.02 -1.86 -0.51 0.54 1.83 1.48 0.16 -0.96 -1.19 -0.67 0.11 0.36 0.85 -0.16 -0.12 0.02 -0.10 0.47 -1.96 -0.64 0.26 -0.25 0.37 -1.03 1.78 -0.48 0.65 -1.03

Elipsa chyb a její úpatnice, extrémní chyby mmax, mmin

Hodnoty středních chyb jednotlivých souřadnic mx, my, při polohovém určení bodu charakterizují dosaženou přesnost pouze ve směrech os použité souřadnicové soustavy a neposkytují informaci o rozložení chyb v jiných směrech. Stejnou vlastnost má i střední souřadnicová chyba mx,y (popřípadě

- 21 (161) -


střední polohová chyba mp), která je navíc invariantní (nezávislá) vzhledem k libovolné transformaci vztažné souřadnicové soustavy. Přesto bývá v mnoha případech potřebné zjistit dosaženou přesnost v určitém (kritickém) směru. To umožní teprve znalost kovariance mxy. Střední chyba ve zvoleném směru o směrníku α vzhledem k ose x je pak dána výrazem ( 3.6)

m(2α ) = mx2 cos 2 α + m y2 sin 2 α + 2 mxy sin α cosα

Množina bodů m(α) vyplňuje křivku, která je úpatnicí elipsy chyb

Obr. 1

Střední elipsa chyb poskytuje komplexní informaci o přesnosti polohového určení bodu. Je dána velikostí svých poloos – extrémních chyb mmax, mmin a úhlem φ stočení směru hlavní poloosy mmax vzhledem k ose x souřadnicové soustavy: ( 3.7)

1 2

ϕ = arctg

2mxy mx2 − m y2 ( 3.8)

2 max

m

2 min

m

mx2 + m y2 = + 2

=

mx2 + m y2

2

−

(m

(m

2 x

− m y2 4

2 x

− m y2

4

)

2

)

+ mxy2

2

+ mxy2

- 22 (161) -


Příklad 3.2

Charakteristiky přesnosti polohového určení bodu P ve směrech jednotlivých souřadnicových os jsou mx = 0,022 m, my = 0,014 m a kovariace mxy = 0,000246 m2. Stanovte velikosti extrémních chyb mmax, mmin a směrník φ hlavní poloosy střední elipsy chyb. Dále vypočtěte velikost střední chyby ve směru α = 60g Řešení

1) výpočet extrémních chyb mmax, mmin :

mx2 + m y2 2

(m

2 x

= 0,000340 m 2

− m y2 ) + mxy2 = 0,000285 m 2 4 2

2 mmax = 0,000340 + 0,000285 = 0,000625 m 2 2 mmin = 0,000340 − 0,000285 = 0,000055 m 2

mmax = 0,0250 m = 25,0 mm

mmin = 0,0074 m = 7,4 mm

2)

výpočet směrníku φ hlavní poloosy střední elipsy chyb :

tg 2ϕ =

2.0,000246 = 1,708 0,0222 − 0,0142

2φ = 66,3g φ = 33,1g

3)

α = 60g

výpočet střední chyby v daném směru α : , sin α = 0,809

, cos α = 0,588

,

m(2α = 60 g ) = 0,0222 . 0,5882 + 0,0142 . 0,8092 + 0,000246 . 0,809 . 0,588

m(2α = 60 g ) = 0,000529 m 2 m(α = 60 g ) = 0,023 m = 23 mm

3.3

Testování měřených veličin

Součástí rozborů přesnosti při měření je ověřování, zda jsou dodrženy předpoklady pravděpodobnostního modelu měřické (vytyčovací) úlohy, tj. zda jsou měřené veličiny získávány s požadovanými statistickými vlastnostmi a s plánovanou přesností. K tomu účelu se používá tzv. statistických testů hypotéz.

- 23 (161) -


Obecný postup testu je následující : a) formulace ověřovaného předpokladu, b) volba a výpočet hodnoty testovacího kritéria, c) vyhledání kritické hodnoty kriteria pro zvolenou hladinu významnosti α, d) porovnání a závěr : zamítnutí či nezamítnutí předpokladu. Je nutné si uvědomit, že žádný test nemůže prokázat platnost nějakého vysloveného předpokladu, lze pouze s určitým rizikem konstatovat, zda existuje či neexistuje důvod k jeho zamítnutí. Následuje řada testů pro analýzu souborů měření.

3.3.1

Test poměru dvou středních chyb

Testem se ověřuje, zda se od sebe významně neliší střední chyby dvou souborů měření, tj. zda oba soubory byly získány se stejnou přesností. Postup testu je následující : 1. z jednoho souboru měření se vypočítá odhad střední chyby m1 a z druhého souboru odhad střední chyby m2 , 2.

vypočítá se testovací kritérium

m12 F= 2 m2 tak, aby F > 1 3. v tabulce Fischer-Snedecorova rozdělení (Tabulka č. 2) najdeme zvolenou hladinu významnosti α a pro dané hodnoty k1= n1 – 1, k2 = n2 – 1 (stupně volnosti) kritickou hodnotu FK (n1, n2 jsou rozsahy prvního resp. druhého souboru měření), 4. při F > FK se zamítá domněnka o stejné přesnosti obou souborů měření (na hladině významnosti α), v opačném případě není důvod domněnku zamítnout. Příklad 3.3

Při měření úhlu byla observace rozdělena do dvou období, vždy po 25 skupinách. Střední chyba prvního souboru byla m = 0,57´´, střední chyba druhého souboru pak m = 0,67´´. Na hladině významnosti α = 0,05 ověřte, zda jsou oba soubory měření stejně přesné. Řešení

1) m1 = 0,67´´

, m2 = 0,57´´

2) testovací kritérium

- 24 (161) -


F=

0,67 2 = 1,38 0,57 2

k1 = k2 = 24 3) kritická hodnota pro α = 0,05 a k1, k2 =24 je FK = 1,98 4) F = 1,38 < FK = 1,98 a tedy s rizikem nesprávného závěru 5% lze považovat oba soubory měření za stejně přesné (rozdíl obou středních chyb je náhodný) Poznámka

Uvedeným postupem se testuje jednostranná hypotéze m1≤m2, tzn. zda soubor měření s větší střední chybou není méně přesný, než soubor s menší střední chybou. Pokud je třeba testovat oboustrannou hypotézu m1 = m2, tzn. zda se přesnosti obou souborů sobě rovnají, musí se z tabulky Fischer-Snedecorova rozdělení vyhledat kritická hodnota FK pro poloviční zvolenou hladinu pravděpodobnosti α/2. V následující tabulce jsou uvedeny kritické hodnoty FK pro α = 5% a α = 1% Fischer-Snedecorova rozdělení. Tabulka č. 2

- 25 (161) -


3.3.2

Test rozdílu dvou průměrů

Testem se ověřuje, zda se významně neliší aritmetické průměry dvou souborů měření, tj. zda rozdíl obou průměrů lze považovat za produkt působení náhodných chyb nebo zda je přítomen systematický vliv. Postup testu je následující : 1) vypočítají se aritmetické průměry x1 , x2 a dále odhady rozptylů (kvadrát středních chyb) m12 , m22 obou souborů měření, 2)

F-testem se ověří, že se oba rozptyly m12 , m22 od sebe významně neliší,

3)

vypočítá se hodnota testovacího kritéria t podle vzorce

t=

x1 − x2

(n1 − 1)m12 + (n2 − 1)m22

n1n2 (n1 + n2 − 2 ) n1 + n2

kde n1, n2 jsou rozsahy (počty měření) prvního resp. druhého souboru, 4)

vypočte se počet stupňů volnosti k = n1 + n2 – 2 ,

5) z tabulky Studentova rozdělení (Tabulka č. 3) se pro zvolenou hladinu významnosti α a pro daný počet stupňů volnosti k vyhledá kritická hodnota tk, 6) při t > tk se zamítne předpoklad rovnosti obou průměrů a usuzuje se na působení systematického vlivu. Tabulka č. 3

Studentovo rozdělení, kritické hodnoty tk (α =0,05 a 0,01)

Příklad 3.4

Při měření vodorovného úhlu byla observace rozdělena do dvou období (dopoledne a odpoledne), vždy ve 25 skupinách. Dopolední soubor měření měl aritmetický průměr x = 34o58´49,46´´ a střední chybu m = 0,57´´, odpolední soubor měl aritmetický průměr x = 34o58´50,12´´ a střední chybu m = 0,67´´. Ověřte, zda rozdíl obou průměrů není ovlivněn systematickou chybou. Řešení

1) rozptyly m12 = 0,325, m22 = 0,450

- 26 (161) -


2) oba rozptyly se významně neliší (viz. Příklad 3.3), 3) testovací kritérium t=

0,66 24.0,324 + 24.0,45

25.25.48 = 3,75 50

4) počet stupňů volnosti k = 25 + 25 – 2 = 48 5) kritická hodnota pro α = 0,05 a k = 48 je tk = 2,02 , 6) t = 3,75 > tk = 2,02 a tedy zamítáme předpoklad rovnosti obou průměrů a usuzujeme na závislost výsledků měření na denní době.

3.3.3

Test střední chyby

Testem se ověřuje předpoklad, že se střední chyba vypočtená ze souboru měření významně neliší od uvažované základní střední chyby m , tj. zda byla dodržena předpokládaná přesnost měření. Postup testu je následující: 1.

vypočítá se odhad střední chyby m z daného souboru měření,

2.

vypočítá se testovací kriterium

b=

m2 2

(n − 1)

m kde m je uvažovaná základní střední chyba a n je rozsah (počet měření) souboru. 3. z tabulky Pearsonova rozdělení (Tabulka č. 4) se pro zvolenou hladinu významnosti α a pro počet stupňů volnosti k = n – 1 vyhledává kritická hodnota χ k2 4.

při b > χ k2 se zamítá domněnka, že střední chyba m odpovídá základní

střední chybě m (s rizikem α se usuzuje na nižší přesnost souboru měření), v opačném případě není důvod tuto domněnku zamítnout. Příklad 3.5

Pro určitý typ teodolitu se předpokládá základní střední chyba čtení úhlového údaje mo = 0,6´´. Při praktické výuce posluchač ověřoval tuto přesnost testovacím měřením. Při opakované koincidenci získal následují soubor 16 měření (údaj bubínku mikrometru): 22,2´´ 23,5´´ 22,4´´ 21,7´´ 24,7´´ 24,8´´ 23,2´´ 25,4´´ 23,2´´ 24,8´´ 24,8´´ 24,0´´ 23,5´´ 23,9´´ 24,9´´ 25,4´´ . Zjistěte, zda lze předpokládat, že přesnost tohoto souboru odpovídá základní střední chybě m .

- 27 (161) -

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE · Modul 3 Tabulka č. 4

Kritické hodnoty χ k2 rozdělení (α = 0,995 ; 0,99 ; 0,975 ; 0,95 ; 0,05 ; 0,025 ; 0,01 ; 0,005)

Řešení

1) aritmetický průměr

x = 23,9´´ ,

střední chyba

m = 1,16´´ ,

2) testovací kriterium

- 28 (161) -


b=

m2 m

2

(n − 1) = 1,162 .15 = 56,1 2 0,6

3) kritická hodnota z tabulky (Tabulka č. 4) pro α = 0,05 a k = 15

χ k2 = 25,0 4) b = 56,1 > χ k2 = 25,0 a tedy (s rizikem 5 %) se zamítá hypotéza, že přesnost daného souboru odpovídá předpokládané přesnosti. Při testovacím měření posluchač dosáhl výrazně nižší přesnosti čtení úhlové stupnice

3.3.4

Test aritmetického průměru

Testem se ověřuje předpoklad, zda se aritmetický průměr x souboru měření významně neliší od uvažované hodnoty A, tzn. zda není podezření na půobení systematické chyby. Postup testu je následující: a)

při známé základní střední chybě m

1. vypočítá se aritmetický průměr x daného souboru měření , 2. vypočítá se hodnota testovacího kriteria u=

x− A m

n ,

kde n je rozsah (počet měření) souboru , 3. vyhledá se kritická hodnota uk z tabulky kvantilů normovného normálního rozdělení (Tabulka č. 5) pro poloviční zvolenou hladinu významovosti α / 2 4. při u > uk se zamítá předpoklad totožnosti hodnot x a A , usuzuje se na systematický vliv. Tabulka č. 5

Kvantily normálního normovaného rozdělení

b)

při neznámé základní střední chybě m

1. vypočítá se aritmetický průměr x měření,

a střední chyba m daného souboru

2. vypočítá se hodnota testovacího kriteria t=

x− A m

n ,

kde n je rozsah ( počet měření ) souboru,

- 29 (161) -


3. z tabulky Studentova rozdělení (Tabulka č. 3) se pro zvolenou hladinu významovosti α vyhledá kritická hodnota tk , 4. při t > tk se zamítá předpoklad totožnosti hodnot x a A , usuzuje se na systematický posun. Příklad 3.6

Pro kontrolu správnosti nastavení měřícího přítroje bylo provedeno 10 měření zkušebního etalonu o délce A = 15,20 m. Byly získány tyto výsledky: 15,23 15,21 15,19 15,16 15,26 15,22 15,23 15,26 15,23 15,29 . Rozhodněte, zda lze považovat s rizikem 5 % omylu nastavení přístroje za správné, nebo je nastavena jiná hodnota než A . Přesnost nastavení a) není známa , b)

m = 0,05 .

Řešení

a) aritmetický průměr x = 15,228 , střední chyba m = 0,037 , testovací kriterium

t=

15.228 − 15.20 10 = 2,39 0.037

kritická hodnota tk pro α = 0,05 je tk = 2,26 (viz. Tabulka č. 3). t = 2,39 > tk = 2,26 a tedy usuzujeme na systematický posun v nastavení přístroje. b) testovací kriterium u=

15.228 − 15.20 10 = 1,77 0.05

kritická hodnota uk pro α / 2 = 0,025 (Tabulka č. 5) je uk = 1,96 , u = 1,77 < uk = 1,96 a tedy nastavení přístroje je v pořádku.

3.3.5

Testy extrémních odchylek od průměru

Podezřelá měření xe nápadně se odchylující od aritmetického průměru x se testují podle McKayova testu (při známé střední chybě), popřípadě podle Grubbsova testu (při neznámé střední chybě). Cílem je získat podklad pro rozhodnutí, zda měření xe ponechat v souboru nebo je vyloučit (s určitým zvoleným rizikem α nesprávného rozhodnutí). a) McKayův test Je předem známá střední chyba metody měření m . Postup při testu je následující: 1. vypočítá se aritmetický průměr x daného souboru měření,

- 30 (161) -


2. pro podezřelá měření se vypočítá hodnota testovacího kritera T podle následujícího vzorce

T=

x − xe m

3. pro zvolenou hladinu významnosti (riziko) α a pro počet měření n kritická hodnota Tk (viz. Tabulka č. 6), 4. při T > Tk vyloučíme podezřelou hodnotu ze souboru měření (s příslušným rizikem nesprávného rozhodnutí α), v opačném případě ji ponecháme. Tabulka č. 6

McKayův test extrémních odchylek, kritické hodnoty Tk (α = 0,05 a 0,01)

Příklad 3.7

Při paralaktickém měření vzdáleností byl na základě rozboru přesnosti stanoven potřebný počet opakování měření paralaktického úhlu n=6 za předpokladu přesnosti jednoho měření mδ = 2cc. Rozhodněte, zda naměřené honoty odpovídají uvažované přesnosti. 1.

8g 26c 48,1cc

2.

46,1

3.

40,2

4.

47,2

5.

50,9

6.

47,0

Řešení

1) aritmetický průměr x = 8g 26c 46,58cc , 2) extrémní opravy jsou v3 = 6,38cc , v5 = -4,32cc , příslušné hodnoty testovacích kriterií jsou T3 = 6,38 / 2 = 3,275 , T5 = 4,32 / 2 = 2,16 , 3) kritická hodnota pro α = 0,05 a n = 6 je Tk = 2,18 , 4) závěry : T5 < Tk a tedy páté měření se ponechá, T3 > Tk a proto třetí měření se vyloučí a soubor se doplní dalším měřením. b)

Grubbsův test

- 31 (161) -


Není předem známá střední chyba metody měření, k dispozici je pouze soubor meřených hodnot. Postup testu je následující : 1. vypočítá se aritmetický průměr x daného souboru měření a dále tzv. střední oprava mv podle vzorce

∑ (x − x ) n

mv =

n

2

i

i =1

n

=

∑v v

i i

i =1

n

2. vypočítá se hodnota testovacího kriteria pro podezřelou hodnotu xe podle vzorce

T=

x − xe mv

3. kritická hodnota Tk se vyhledá pro zvolenou hladinu významnosti α a pro počet měření n (viz. Tabulka č. 7) 4. při T > Tk se podezřelá hodnota vyloučí ze souboru měření, v opačném případě se ponechá, 5. obsahuje-li soubor zbylých hodnot další podezřelé měření, je možné test opakovat, Tabulka č. 7

Grubbsův test extrémních odchylek, kritické hodnoty Tk (α = 0,05 a 0,01 )

Příklad 3.8

Při paralaktickém měření vzdáleností byl naměřen soubor šesti hodnot paralaktického úhlu δ (viz. předchozí Příklad 3.7) . Rozhodněte, zda jde o homogenní soubor neobsahující měření zatížené hrubou chybou. Střední chyba metody měření není předem známá. Řešení

1) aritmetický průměr x = 8g 26c 46,58cc , střední oprava mv = 3,23cc , 2) extrémní opravy je v3 = 6,38cc , příslušné testovací kriterium je T3 = 6,38 / 3,23 = 1,98 , 3) kritická hodnota pro α = 0,05 a n = 6 je Tk = 2,00 (viz. Tabulka č. 7), 4) závěr: T3 < Tk a proto není důvod třetí měření vyloučit, soubor je homogenní.

- 32 (161) -


3.4

Faktory přesnosti vytyčení

Vytyčováním se rozumí souhrn měřických úkonů, jejichž výsledkem je vyznačení (stabilizace) geometrických prvků (bodů, os, rovin, výšek apod.) nezbytných pro výstavbu nebo rekonstrukci podle vypracovaného projektu. Způsob vyznačení musí zajistit jednoznačnost vztažného bodu nebo prvku (nejistota stabilizace vytyčení má být menší než 1/10 příslušné mezní vytyčovací odchylky). Vytyčování stavebních objektů se dělí na a)

vytyčení prostorové polohy (umístění vzhledem k vytyčovací síti),

b)

podrobné vytyčení (vytyčení detailních rozměrů a tvaru) .

Požadavky na přesnost vytyčení jsou závislé od -

velikost a důležitost stavby,

-

funkčních a bezpečnostních požadavků,

-

použité stavební technologie,

-

požadavků na návaznost a estetický účin.

Faktory ovlivňující skutečnou přesnost vytyčovacích prací jsou -

přesnost výchozích projektových parametrů,

-

přesnost a stabilita výchozí vytyčovací sítě,

-

technologie měření použitá k vytyčení,

-

přístrojové vybavení a osobní vlivy,

-

působení vnějších vlivů (stavu prostředí) .

Kritériem kvality vytyčení jsou dosažené vytyčovací odchylky. Je-li překročena hodnota povolené mezní odchylky, považuje se vytyčení za nevyhovující. Hodnoty mezních vytyčovacích odchylek jsou normovány. Požaduje-li se jiná přesnost vytyčení, musí být uvedena ve stavebních projektu spolu s odůvodněním. Vytyčovací odchylka δi je algebraický rozdíl mezi skutečnou hodnotou xi a základní hodnotou x vytyčovaného prvku (délky nebo úhlu – viz. Obr. 2, Obr. 3).

- 33 (161) -


Obr. 2

Obr. 3

δx je mezní vytyčovací odchylka (v obr. značeno Δ). V celém procesu vytyčení je třeba neustále sledovat a analyzovat přesnost ve vztahu k požadované přesnosti cílových parametrů vytyčování. Rozbory přesnosti se dělí na tři fáze: a)

rozbor přesnosti před měřením (vytyčováním),

b)

rozbor přesnosti při měření,

c)

rozbor přesnosti po vytyčení (posouzení dosažených výsledků).

3.4.1

Rozbory přesnosti před měřením

Rozbor přesnosti před zahájením měření (vytyčování) zahrnuje následující body: a)

zjištění požadavků na přesnost dílčích a cílových parametrů,

b)

stanovení středních chyb dílčích a cílových parametrů,

c)

výběr technologie a prostředků vytyčování (metody a přístrojů),

- 34 (161) -


d)

stanovení střední chyby kontrolního měření,

e)

výběr technologie a prostředků kontrolního měření (metody a přístrojů).

Požadavky na přesnost vytyčení jsou stanoveny hodnotami mezních vytyčovacích odchylek δx v ČSN 73 0420-2 pro různé typy objektů. Při jiných nárocích na přesnost platí požadavky projektu. V případech, které nejsou uvedeny v ČSN 73 0420-2, se přesnost vytyčení odvodí z tolerance Tx. Tolerance je absolutní hodnota rozdílu mezních hodnot geometrického parametru. Skládá se z mezní vytyčovací odchylky, odchylky montáže a odchylky stavebních dílců. Pro vytyčovací práce bereme z tolerance 20% a tedy mezní vytyčovací odchylka je dána vztahem

δx =

Tx 5

Pokud hodnota horní a dolní mezní odchylky nejsou shodné (tj. jsou nesouměrné), vytyčuje se zpravidla střed tolerančního intervalu. Střední chyba mx se odvodí z požadované mezní odchylky podle vzorce (3.9)

mx =

δx t

kde t je součinitel kofidence (obvykle v rozmezí t = 2 až 3), který stanoví vytyčovatel s ohledem na ekonomickou závažnost vytyčované hodnoty, možnost její kontroly, uvažovanou metodu měření a možnost vyloučení systematických chyb. Prakticky se volí :

t=2 u jednoduchých a snadno kontrolovatelných vytyčení, kdy lze předpokládat zanedbatelné systematické chyby,

t = 2,5 u složitějších vytyčení, délkových a jiných měření obtížněji kontrolovatelných,

t=3 při nepříznivých podmínkách a obtížném vyloučení systemtických chyb. Součinitel konfidence t=3 se používá jen zcela výjimečně u důležitých a ekonomicky velmi závažných vytyčení. Pokud je hodnota t = 2 nesplnitelná popř. velmi těžko splnitelná lze po dohodě s projektantem vyjimečně volit hodnotu t = 1,64 (nejistota splnění požadavku je 10%).

t = 1,64 je hodnota využívaná ve stavebnictví, může být použita pří splnění výše uvedených požadavků i pro vytyčení Jestliže cílový parametr a je funkcí několika měřených veličin

a = f (x1, x2, ....., xn)

- 35 (161) -


je třeba zahájením měření ještě vypočítat požadované střední chyby jednotlivých měřických úkonů mx1 , mx 2 , ....., mx n . Postupuje se následovně: 1) není-li znám poměr přesnosti jednotlivých úkonů, uplatní se zásada stejného vlivu : (3.10)

m x2i ≤

ma2 ⎛ ∂a n⎜⎜ ⎝ ∂xi

2)

⎞ ⎟⎟ ⎠

2

v další fázi se podíly jednotlivých měření upřesňují

a) stanovením předpokládané velikosti středních chyb několika veličin mx1 , mx 2 , ....., mx n (k < n) . Pak se vypočte část připadající na zbylé chyby (3.11)

⎛ ∂a ⎞ ⎟⎟ m = m − ∑ m ⎜⎜ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ k

2 zb

2 a

2

2 xi

která se pak rozdělí opět podle zásady stejného vlivu mx2k +i ≤

b)

mzb2 ⎛ ⎞ (n − k )⎜⎜ ∂a ⎟⎟ ⎝ ∂xk + i ⎠

2

stanovením předpokládaného poměru velikostí jednotlivých vlivů 2

⎛ ∂a ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ mx1 ⎝ ∂x1 ⎠

2

2

⎛ ∂a ⎞ ⎛ ∂a ⎞ 2 ⎟⎟ m x n2 = A1 : A2 : ..... : An ⎟⎟ mx 2 : ... : ⎜⎜ : ⎜⎜ ∂ ∂ x x ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠

kdy pro jednotlivé střední chyby platí vztahy (3.12)

mx2i ≤

Ai ma2 ⎛ ∂a ⎞ ⎟⎟ Ai ⎜⎜ ∑ i =1 ⎝ ∂xi ⎠ n

2

Složitější vytyčovací úlohy obvykle vyžadují zpracování několika variant rozborů přesnosti pro různé kombinace měřických metod. Často je třeba se rozhodnout, zda se požadované přesnosti dosáhne několikanásobným opakováním měření méně přesným přístrojem nebo metodou, nebo se zvolí ekonomicky náročnější přesnější přístroj či metoda. Aplikace postupu bude ukázána na následujícím příkladu: Příklad 3.9

Je dána mezní odchylka vytyčení relativní výšky δH = 25 mm . K vytyčení byla zvolena metoda trigonometrického měření výšek. Stanovte potřebnou přesnost určení délky ms,měření zenitového úhlu mz, jakož i odměření výšky přístroje mi a výšky cíle mv, je-li z = 85g a s = 90 m .

- 36 (161) -


Řešení

Střední chyba vytyčení výšky mH = δH / t = 25 / 2 = 12,5 mm Relativní výška vytyčovaná trigonometricky je dána vzorcem H = s cotg z + i – v

,

počet měřených veličin n = 4 (délka s, zenitový úhel z, výška přístroje i výška cíle v). 1) zásada stejného vlivu podle (3.10): mH2 m ≤ = 6,78.10− 4 m 2 2 4 cot g z

ms ≤ 0,026 m = 26 mm

2 s

mz2 ≤

mH2 sin 4 z = 0,431.10− 8 rad 2 2 4s

mz ≤ 0,66.10−4 rad = 42cc

mH2 m =m ≤ = 0,39.10− 4 m 2 4 2 i

mi = mv ≤ 0,006 m = 6 mm

2 v

2)

výška přístroje i cíle se změří pásmem s přesností mi = mv = 3 mm . Podle

(3.11) mzb2 = mH2 − mi2 − mv2 = 0,01252 − 2.0,0032 = 1,38.10−4 m 2

a dále dle zásady stejného vlivu mzb2 m ≤ = 0,12.10 − 2 m 2 2 2 cot g z

ms ≤ 0,035 m = 35 mm

2 s

mz2 ≤

mzb2 sin 4 z = 0,763.10-8 rad2 , mz ≤ 0,87.10-4 rad = 56cc 2s 2

3) zenitový úhel tedy stačí vytyčovat v jedné skupině minutovým teodolitem ( mz = 15cc). Pak bude mzb2 = mH2 −

mz2 s 2 − mi2 − mv2 = 1,33.10− 4 m 2 sin 4 z

na délkové měření zbude podíl ms2 ≤

mzb2 = 0,23.10-2 m2 , ms ≤ 0,048 m = 48 mm cot g 2 z

Při výběru metody vytyčení a příslušném rozboru přesnosti se současně určí způsob kontroly a vybere se metoda kontrolního měření včetně rozboru přesnosti. Vytyčovatel kontroluje výsledek vytyčení některým z následujících postupů : a) pomocí kontrolních geometrických prvků (nejčastěji obvodových nebo křížových měr),

- 37 (161) -


b) opakovaným vytyčením stejným postupem se stejnými přístroji a pomůckami, c)

opakovaným vytyčením jiným postupem s přibližně stejnou přesností.

Při kontrole opakováním vytyčení b) a c) se výsledek kontroly zahrnuje do výsledku vytyčení podle pravidel pro dvojice měření. Při výstupní nebo přejímací kontrole vytyčovacích značek musí přesnost měření vyhovovat vztahu (viz. ČSN 73 0212-1) (3.13)

δx

met

≤ 0,4 δ x

kde δ x met je mezní chyba kontrolního měření a δx je mezní vytyčovací odchylka. Je-li nutné požadovanou přesnost m dosáhnout opakováním měření dané veličiny, zjistí se nezbytný počet opakování n ze vztahu (3.14)

n≥

m02 m2

kde m0 je střední chyba jednoho měření. Zaokrouhluje se ovšem na vyšší celé číslo.

3.4.2

Rozbory přesnosti při měření

Rozbory přesnosti při měření se ověřuje, zde jsou měřené (vytyčované) veličiny získávány s požadovanou přesností. Tyto rozbory se zpravidla omezují na testování extrémních odchylek od průměru. Hladina statistické významnosti (riziko) α se pro tyto testy volí s ohledem na použitý součinitel konfidence t následovně (pro jednorozměrné chyby) : při t = 2 se volí α = 0,05 = 5% , při t = 2,5

α = 0,01 nebo 0,05 (1% nebo 5%) .

Ve větších souborech měření (vyšších počtech opakování n) se testuje též náhodnost, střední chyba popřípadě poměr dvou středních chyb atd. Výsledky testování umožní včas rozpoznat nekvalitní měření, které se ze souboru vyloučí a vykonají se doplňující měření. Poskytují jistotu, že byl získán kvalitní měřický materiál.

3.4.3

Rozbory přesnosti po měření (vytyčení)

Dosažená přesnost vytyčení se posuzuje porovnáním naměřené odchylky v kontrolním geometrickém prvku nebo rozdílu dvou vytyčení s mezní vytyčovací odchylkou nebo se střední chybou vytyčení podle vztahu (3.15)

Δ ≤ δ x 2 =t.m 2

kde Δ je zjištěný rozdíl a t je zvolený součinitel konfidence.

- 38 (161) -


Součinitel konfidence se zde volí obvykle stejný jako při rozboru přesnosti před měřením. Pokud se však odhaduje přítomnost systematických chyb, které se obtížně vylučují, volí se zde menší součinitel konfidence než při rozboru přesnosti před měřením (rozdíl dvojice vytyčení by těmito chybami měl být méně ovlivněn) . Ve většině případů se zde volí t = 2 . V tomto případě vzorec (3.15) má tvar Δ ≤ 2m 2 = 2,8. m

Při hodnocení výsledků výstupní či přejímací kontroly, kde přesnost měření splňuje požadavky (3.13), platí pro posouzení zjištěných odchylek vztah (3.16)

Δ ≤ δx

neboť v tomto případě je kontrolní měření vykonáno s řádově vyšší přesností. Byla-li vytyčená hodnota získána z většího počtu měření (n > 3), porovnává se empirická střední chyba memp se základní střední chybou m podle vztahu ⎛ 2⎞ ⎟ memp ≤ m⎜⎜1 + ⎟ k ⎝ ⎠

kde k = n – 1 je počet stupňů volnosti (počet nadbytečných měření) . Nesplnění příslušné nerovnosti znamená nesplnění požadavků na přesnost vytyčení a v takovém případě je třeba vykonat nové (další) měření a vytyčení podezřelých bodů. Pokud je příslušná nerovnost splněna, vytyčovací úloha se ukončí vytyčením průměru původního a kontrolního vytyčení. Příklad 3.10

Mostní osa o délce s = 100 m se má vytyčit s mezní odchylkou δs = 10 mm . K vytyčení bude použito paralaktické metody měření délek. Stanovte kriterium velikosti rozdílu dvou vytyčení osy mostu při volbě součinitele konfidence t = 2,5 (s ohledem na předpokládaný vliv systematických chyb) pro apriorní rozbor přesnosti. Řešení

Požadovaná střední chyba vytyčení podle (3.9) ms = δs / t = 10 / 2,5 = 4 mm Pro stanovení meze pro rozdíl vytyčení se použije součinitele konfidence t=2 (v rozdílu vytyčení se méně uplatní vliv systematických chyb) . Kriterium pro rozdíl je podle (3.15) Δ ≤ 2ms 2 = 2,8.4 = 11,2 mm

Rozdíl dvojího vytyčení délky mostní osy nesmí překročit hodnotu 11,2 mm, v případě překročení je třeba vykonat další vytyčení.

- 39 (161) -


Jiné řešení : Projektovaná délka mostní osy se vytyčí jako průměr původního a kontrolního vytyčení. Pak pro střední chybu jednoho vytyčení bude platit ms 0 ≤ ms 2 = 4.1,4 = 5,6 mm Pro stanovení teoretické meze pro rozdíl obou vytyčení nyní bude platit Δ ≤ 2ms0 2 = 2,8.5,6 = 15,8 mm V případě velikosti rozdílu obou vytyčení menšího než 15,8 mm je možné považovat průměr obou hodnot za správně vytyčenou délku mostní osy.

Při posouzení přesnosti větších souborů vytyčených hodnot (např. v rozsahu celého objektu nebo jeho části), kdy jde o stanovení souhrnné celkové přesnosti vytyčení, se používá vhodných metod matematické statistiky, zejména s ohledem na testování (vylučování) odlehlých měření, ověřování rozdělení pravděpodobností odchylek, testování homogenity přesnosti měření a odhalování (vylučování) případných systematických vlivů. V následujících kapitolách jsou uvedeny vzorce potřebné pro apriorní rozbory přesnosti běžných vytyčovacích úloh. Informace

Upozornění : V následujícím textu je přednostně používáno vyjádření úhlových veličin (zejména odchylek a středních chyb) v obloukové míře (1 rad) . V praxi se však úhly měří v jednotkách stupňové míry (1o) nebo setinné míry (1g) . Pro vzájemný převod se použije vztahů

ω (rad ) = ω o / ρ o = ω g / ρ g

- 40 (161) -

Práce s teodolitem, měření a vytyčování úhlu

4


Při řešení řady úloh v oblasti inženýrské geodézie je rozhodující pro dodržení požadovaných přesností správnost úhlového měření. Více než v běžné měřické praxi je třeba se zde věnovat otázkám centrace, horizontace přístroje a správné technologii měření. Měření jsou často vykonávána v extrémních podmínkách. Ve většině případů se jedná o vysoce přesná měření či vytyčení úhlů.

4.1

Centrace teodolitu

Není-li využívána přesná nucená centrace, staví se teodolit při měření na stativ. Před zahájením vlastního úhlového měření se stativ překontroluje. Ověří se, zda jsou dotaženy šrouby kovových hrotů noh, dále zda je správné a pevné spojení noh a hlavy stativu a funkce zajišťovacích šroubů u stativů se zasouvacími nohami. To znamená, že se zkontroluje, zda nedošlo k uvolnění hlavy, popřípadě zda se neviklají kovové hroty noh stativu a zároveň je-li zajištěno pevné spojení obou polovin noh stativu. V důsledku zanedbání těchto okolností dochází k nestabilnímu postavení teodolitu a k nevysvětlitelným chybám a s nesrovnalostem ve výsledcích měření. Nejdříve postavíme stativ do terénu tak, aby se střed desky stativu ve vodorovné poloze nacházel přibližně nad bodem, na kterém chceme měřit, přičemž vysouvací nohy stativu jsou vysunuty s ohledem na výšku měřiče, maximálně však několik centimetrů od dorazu. Pak zajistíme zašlápnutím hrotů noh stativu do terénu jeho pevné a stabilní postavení. Při práci na dlažbě, betonovém nebo asfaltovém povrchu umístíme hroty do spár, prohlubní apod. a mírně je přišlápneme. Potom upevníme teodolit k hlavě stativu pomocí upínacího šroubu, na jehož háček zavěsíme olovnici tak, aby její hrot byl přibližně ve výšce jeden centimetr nad stabilizací bodu. Při předběžném postavení stativu se obvykle nepodaří umístit teodolit s dostatečnou přesností nad bodem, proto opravíme tuto nepřesnost snížením či zvýšením některé ze zasouvacích noh stativu. Pro jemné zpestření centrace povolíme upínací šroub a posuneme teodolit po desce stativu, až je hrot olovnice přesně nad značkou. Polohu hrotu olovnice vzhledem ke značce posuzujeme ze dvou navzájem kolmých směrů. Dostřeďujeme-li teodolit pomocí olovnice, je očekávaná přesnost centrace 2 – 5 mm v závislosti na tvaru centrační značky a stavu prostředí (vliv větru, osvětlení apod.) . V mnoha případech však tato přesnost centrace nepostačuje. Moderní teodolity jsou běžně vybaveny optickou centrací. Za její pomoci můžeme přístroj centrovat dvěma způsoby : a) Teodolit nejdříve přibližně dostředíme pomocí olovnice, poté přístroj horizontujeme a sejmeme olovnici z háčku. Otáčením okuláru dalekohledu optického dostřeďovače zaostříme záměrný obrazec (soustředné kroužky) a jeho vysouváním a zasouváním zaostříme obraz terénu a stabilizace bodu pod stativem. V této fázi bude chyba dostředění menší než 1 cm. Nyní uvolníme upínací šroub stativu a posunujeme teodolitem po hlavě stativu za současného sledování obrazu bodu optickou centrací a přesně zacílíme na stabilizační - 41 (161) -


značku. Přitom je důležité nenatáčet trojnožkou kolem svislé osy, aby se neporušila horizontace přístroje. Po dostředění opět přitáhneme upínací šroub stativu a překontrolujeme dostředění i horizontaci. Je třeba si uvědomit, že každým novým urovnáním se částečně posune vertikální průmět osy teodolitu. V případě odchylky centrace či horizontace celý postup podle potřeby opakujeme. Je-li v této poloze centrace i horizontace správná, otočíme pro kontrolu alhidádou o 200g . Pokud optický dostřeďovač splňuje bezchybně svou funkci, potom se centrace nezmění a obraz stabilizační značky zůstane ve středu záměrného obrazce dostřeďovače. Případná výchylka je způsobena tím, že není totožná vertikální osa alhidády se záměrnou přímkou optického dostřeďovače teodolitu. V tomto případě, že výchylka není velká, rozdělíme ji posunem teodolitu po desce stativu na polovinu. Je-li nyní centrace správná, opisuje střed záměrného obrazce dostřeďovače při otáčení alhidády malou kružnici okolo stabilizační značky bodu. Neleží-li značka uprostřed této kružnice, je třeba opravu centrace zopakovat. V případě, že výchylka nabývá větší hodnoty, je třeba centrovat teodolit za pomoci správně rektifikovaného samostatného optického dostřeďovače. b) Druhý způsob centrace jen za využití optického dostřeďovače je vhodný pro zkušenější měřiče. Stativ s teodolitem postavíme nad stabilizovaný bod tak, aby hlava stativu byla přibližně vodorovná a nacházela se nad bodem. Tuto polohu překontrolujeme od oka ze dvou navzájem kolmých směrů. Dbáme přitom, aby stavěcí šrouby trojnožky byly vyšroubovány do stejné výšky (asi jedné třetiny rozsahu šroubu) . Jednu nohu stativu zašlápneme do terénu a zaostříme si záměrný obrazec optického dostřeďovače a obraz stabilizovaného bodu . Pokud záměrná přímka dostřeďovače směřuje do blízkosti bodu, zašlápneme i zbývající nohy stativu, v opačném případě posunujeme nezašlápnutými nohami po terénu tak, aby záměrná přímka směřovala do těsné blízkosti bodu a poté nohy zašlápneme. Po zašlápnutí noh stativu se optická centrace poruší. Při stálém sledování obrazu bodu v zorném poli dostřeďovače opět zacílíme pomocí stavěcích šroubů trojnožky teodolitu. Záměrná přímka nyní směřuje na bod, není však svislá. Do svislice ji uvedeme urovnáním krabicové libely přístroje pomocí zasouvání nebo vysouváním noh stativu, přičemž nesmíme používat stavěcích šroubů. Je-li krabicová libela urovnána, urovnáme též alhidádovou libelu, tentokrát stavěcími šrouby trojnožky. Pak zkontrolujeme dostředění, které v této fázi nebude ještě dostatečně přesné (odchylka do cca 1 cm od bodu) . Povolíme upínací šroub stativu a posuneme teodolitu znovu dostředíme cílovou značku. Po dostředění opět dotáhneme upínací šroub a překontrolujeme centraci i horizontaci, popřípadě provedeme potřebné korekce. Na závěr vykonáme kontrolu činnosti dostřeďovače otočením alhidády o 200g a v případě potřeby opravíme centraci jako ad a) Obdobným způsobem bychom vykonali centraci také při použití samostatného optického centrovače. V případě větší chyby v dostředění zjištěné při kontrole funkce centrovače otočením o 200g je třeba provést jeho rektifikaci. Výchylka může být způsobena buď nesprávně rektifikovanou alhidádovou či křížovou libelou nebo tím, že záměrná přímka centrovače není totožná s vertikální osou teodolitu.

- 42 (161) -


V případě nesprávně seřízené libely provedeme její rektifikaci, nebo použijeme postup uvedený v následující kapitole. Rektifikaci záměrné přímky optického centrovače dosáhneme tak, že na milimetrový papír vyznačíme kříž, který dostředíme pod pečlivě urovnaný optický centrovač. Poté otočíme centrovačem o 200g a vzniklou výchylku odstraníme zpoloviny rektifikačními šrouby (posunem záměrného obrazce) . Celý postup několikrát opakujeme. Při posunu objímky záměrného obrazce musíme vždy nejprve jeden rektifikační šroub povolit a druhý poté opatrně dotáhnout. Po skončení rektifikace oba protilehlé šrouby opatrně dotáhneme. Využitím optického dostřeďovače se dosáhne přesnost centrace 0,3 – 0,7 mm v závislosti na kvalitě a tvaru stabilizační značky. V následující tabulce jsou přehledně uvedeny střední chyby me jednotlivých metod centrace: Tabulka č. 8

metoda centrace

me

olovnice

2 – 5 mm

centrační tyč

1 – 2 mm

optický dostřeďovač

0,3 – 0,7 mm

nucená centrace

0,1 mm

Při přesných pracích v inženýrské geodézii je třeba brát pro rozbor přesnosti i vliv chyb způsobených nepřesností centrace (tzn. způsobem centrace) . Jelikož se při vytyčovacích pracích dostřeďuje přístroj nad přesně vyznačený bod a cílí se na střed záměrné značky, neuvažují se centrační změny, ale pouze očekávané střední chyby me, závislé na použitých přístrojích a způsobu dostředění. Střední chybu ve vytyčovaném směru mr, způsobenou chybou dostředění přístroje me, lze vyjádřit vztahem (4.1)

1 mr = me s kde s je délka záměry. Příklad 4.1

Jakého lze použít způsobu centrace, nemá-li mezní chyba δr měřeného směru způsobená nepřesností centrace překročit při cílení na terč vzdálený 60 m hodnotu 10cc ? Řešení

Z mezní chyby δr se přejde na střední chybu mr směru způsobenou vlivem chyby centrace dle vztahu mr = δr / t, kde t je součinitel konfidence. Pro zvolený t = 2 vychází mr = 10cc / 2 = 5cc .Ze vztahu (4.1) vyjádříme me :

- 43 (161) -


me = s

mrcc

ρ cc

a po dosazení za mr = 5cc a s = 60 m dostaneme me =

6.104.5 = 0,5 mm 6.105

Z uvedeného vyplývá, že k centraci přístroje je třeba v tomto případě použít optický dostřeďovač. Příklad 4.2

Jakou chybu v zaměřovaném směru způsobí chyba centrace teodolitu, použijeme-li k dostředění a) olovnice, b) centrační tyče a c) optické dostřeďovače ? Cílová značka je ve vzdálenosti 100 m od teodolitu. Řešení

a) dostředění pomocí olovnice Při centraci pomocí olovnice je chyba me do značné míry závislá na tvaru stabilizační značky a stavu prostředí a uvažuje se její velikost v rozmezí 2 – 5 mm mr = mr =

ρ cc me s

=

6.105.2 = 12cc 5 10

6.105.5 = 30cc 105

pro me = 2 mm

pro me = 5 mm

b) při centraci pomocí centrační tyče je uváděna chyba me = 1 mm .

6.105.1 mr = = 6cc 5 10 c) při centraci optickým dostřeďovačem je me = 0,7 mm .

mr =

6.105.0,7 = 4cc 105

Z uvedeného vyplývá, že chyba ve směru způsobená centrací teodolitu pomocí olovnice může dosáhnout hodnoty až 30cc, pomocí centrační tyče až 6cc a při použití optického dostřeďovače 4cc .

4.2

Horizontace teodolitu

Přístroj urovnáme pomocí stavěcích šroubů trojnožky a alhidádové libely známým způsobem. Nejdříve otočíme alhidádou tak, aby osa alhidádové libely byla rovnoběžná se spojnicí libovolných dvou stavěcích šroubů a jejich protisměrným otáčením libelu urovnáme (Obr. 4). Přitom platí zásada, že palec

- 44 (161) -


levé ruky bublinu táhne nebo ji tlačí. Nyní otočíme alhidádou o 100g a urovnáme libelu zbývajícím šroubem(Obr. 5). Alhidádu poté vrátíme do výchozí polohy a pokud není libela urovnaná, celý postup opakujeme. Teodolit vždy urovnáme při co nejméně vyšroubovaných stavěcích šroubech.

Obr. 4

Obr. 5

Ani v tom případě, je-li alhidádová libela urovnána ve dvou kolmých směrech, nemusí být teodolit správně zhorizontován. Je třeba se ještě přesvědčit o správnosti rektifikace alhidádové libely otočením alhidády o 200g oproti předchozí poloze, v níž je libela urovnána. Nejčastěji to provádíme v poloze nad třetím stavěcím šroubem. Zůstane-li libela i v tomto případě urovnána, pak je přístroj správně zhorizontován a připraven k měření. Vyběhne-li bublina alhidádové libely po otočení alhidády o více dílků stupnice, popřípadě zcela mimo dělení stupnice libely, je třeba ji zrektifikovat. Polovinu výchylky bubliny odstraníme třetím stavěcím šroubem, druhou polovinu rektifikačními šrouby libely. Protože tuto dílčí opravu jsme provedli zkusmo, musíme zpravidla rektifikaci opakovat tak dlouho, až je libela urovnána v každé poloze alhidády. Při každém zpřesnění rektifikace je třeba libelu znovu urovnat dle výše uvedeného postupu. Při rektifikaci vždy jeden rektifikační šroub povolujeme a druhým přitahujeme. Na závěr oba šrouby proti sobě s citem dotáhneme. V případě, že po otočení alhidády o 200g oproti poloze, ve které byla libela urovnána, vychýlí se bublina alhidádové libely mírně (v rozsahu jednoho až dvou dílků), je třeba rozhodnout, zda libelu rektifikovat nebo použít postupu s urovnáním teodolitu s mírně neseřízenou libelou. K rektifikaci přistupujeme pouze v nutných případech, neboť častou rektifikací se šrouby „vychodí“ a libelu pak nelze řádně seřídit ani urovnat. Proto při mírně neseřízené libele postupujeme raději následujícím způsobem: Výběh bubliny libely při kontrolním přetočení alhidády o 200g opravíme z jedné poloviny třetím stavěcím šroubem a zapamatujeme si velikost i směr zbytkové chyby. (Např. jeden dílek stupnice směrem k ustanovce teodolitu – (Obr. 6) . Pak otočíme alhidádou o 100g nad zbývající stavěcí šrouby a jimi

- 45 (161) -


nastavíme tutéž výchylku ve stejné velikosti i směru, a to i tehdy, byla-li libela po přetočení urovnána. (Obr. 7) .

Obr. 6

Obr. 7

Celý postup se opakuje tak dlouho, až má libela stejnou výchylku v kterékoliv poloze alhidády. To znamená, že jsme nastavili chybu libely, tj. úhel, která svírá osa alhidádové libely s osou alhidády, a tedy teodolit je správně horizontován. Méně vhodný způsob měření je při mírně nerektifikované alhidádové libele. Měřením lze vyloučit její chybu tím, že se ve druhé poloze dalekohledu nově urovná libela týmiž stavěcími šrouby. Záměrná rovina tak přejde do souměrné polohy vůči správné poloze. Tím má chyba opačné znaménko a vyloučí se v aritmetickém průměru obou měření (Obr. 8). Při urovnání teodolitu zejména za pomoci přesných alhidádových či sázecích libel je třeba nechat přístroj dostatečně temperovat a chránit jej před přímým slunečním zářením. Vlivem nestejnoměrného prohřátí dochází k deformacím částí přístrojem vlivem roztažnosti kovu a přímým osvitem libely sluncem může nastat vychýlení bubliny i u správně rektifikované libely.

Obr. 8

- 46 (161) -


4.3

Přístrojové chyby a jejich vliv na měřený vodorovný směr a úhel

Chyba z mimostředné alhidády se vyloučí i při měření v jedné poloze dalekohledu čtením na dvou protilehlých místech kruhu, což je prakticky zajištěno u všech novějších typů přístrojů. Složitější problém vzniká z chyb v dělení kruhu a bubínku mikrometru. tyto chyby mohou být náhodné (uvádí se 3cc – 6cc), ale i systematické, které bývají až několikanásobně větší. Tyto chyby lze snížit čtením na různých místech kruhu i mikrometru. Pro vysoce přesná měření je však třeba znát výsledky zkoušek dělení kruhu i mikrometru a zavádět z nich příslušné korekce.

4.3.1

Kolimační chyba

Tuto chybu je třeba občas kontrolovat, neboť vlivem teploty, transportu apod. mění svoji velikost. Způsobuje, že při sklápění dalekohledu se nepohybuje záměrná přímka ve svislé rovině, nýbrž po plášti kužele. Velikost kolimační chyby určíme například zaměřením dalekohledu v první poloze na vzdálený dobře viditelný bod, ležící přibližně v horizontu přístroje. Na vodorovném kruhu čteme úhlový údaj. Dalekohled pak proložíme do druhé polohy, zacílíme na tentýž bod a opět čteme úhlový údaj. Toto čtení by se mělo od původního lišit o 200g. Úhlová odchylka od této hodnoty představuje dvojnásobnou velikost kolimační chyby. Pro přesnější určení velikosti kolimační chyby tento postup několikrát opakujeme. Kolimační chyba se vyloučí při měření ve dvou polohách dalekohledu. V inženýrské geodézii se však často vytyčuje pouze v jedné poloze dalekohledu. V tom případě je třeba vyšetřit, zda vliv kolimační chyby na vytyčovaný směr popř. úhel nepřekračuje povolené meze. Pro směr je chyba způsobená kolimační vadou dána vztahem : (4.2)

Δα =

c c = cos ε sin z

kde Δα je korekce měřeného směru, c je kolimační chyba, ε a z je výškový resp. zenitový úhel záměry. Je patrné, že chyba roste se sklonem záměry a maximální hodnoty dosahuje při ε = 100g (z = 0g) . U vodorovného úhlu je korekce Δω určena vztahem (4.3)

⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟c Δω = Δα 2 − Δα1 = ⎜⎜ − ⎝ cos ε 2 cos ε1 ⎠

nebo v případě měřených zenitových úhlů ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟c Δω = ⎜⎜ − ⎝ sin z2 sin z1 ⎠

Chyba roste se zvětšujícím se rozdílem absolutních hodnot výškových úhlů obou záměr. Maximální hodnoty nabývá při ε 2 − ε 1 = 100g . Při vytyčování v - 47 (161) -


jedné poloze dalekohledu nemá kolimační chyba vliv, jsou-li obě záměry skloněny stejně, tedy je-li ε 2 = ε 1 . Příklad 4.3

Vyšetřete, jaký sklon nesmí překročit záměra, nemá-li korekce z vlivu kolimační vady dalekohledu při vytyčení směru překročit povolenou hodnotu Δα = 50cc . Při zkoušce kolimační vada teodolitu c = 30cc . Řešení

Ze vztahu (4.2) vyjádříme

cos ε =

c 30cc = cc = 0,6 Δα 50

ε = 59 g Z uvedeného vyplývá, že lze vytyčovat zadané směry pouze v jedné poloze dalekohledu se sklonem záměr menším než ±59g Příklad 4.4

Je třeba přesně změřit paralaktický úhel δ . Levá záměra je skloněna pod úhlem ε L = - 20,3g a pravá záměra pod úhlem ε P = 11,5g . Vyšetřete, zda stačí paralaktický úhel měřit v jedné poloze dalekohledu, nemá-li mezní chyba δ δ M překročit hodnotu 10cc (základní střední chyba paralaktického úhlu v jedné jednotce je mδ 0 = 4cc). Úhel bude měřen ve dvou paralaktických jednotkách. Kolimační vada přístroje c=10cc . Řešení

Je-li úhel měřen ve dvou paralaktických jednotkách, pak jeho střední chyba bude mδ =

4 mδ 0 = = 3cc 2 2

Mezní chyba takto změřeného paralaktického úhlu (vnitřní) je při zvoleném součiniteli konfidence t = 2,5 rovna

δ δ = mδ t = 3.2,5 = 8cc Vliv kolimační chyby nesmí tedy překročit hodnotu Δ c = δ δ M − δ δ = 10 − 8 = 2cc

Po dosazení do vztahu (3.3) dostaneme, že vliv kolimační chyby v našem případě činí

Δδ c =

10 10 c c − = − = −0,4cc g g cos ε 2 cos ε1 cos11,5 cos(−20,3 )

Protože Δδ c < Δ c , lze paralaktický úhel v tomto případě měřit jen v jedné poloze dalekohledu.

- 48 (161) -


4.3.2

Chyba ze sklonu klopné osy dalekohledu

U moderních přístrojů se skleněnými kruhy a elektronických teodolitů se tato chyba vyskytuje velice zřídka. Konstrukce ložisek téměř vylučuje možnost změny polohy klopné osy a přístroje jsou již při výrobě dokonale seřízeny. Vyskytne-li se přesto tato chyba, může ji odstranit pouze odborník. Chybu zjistíme, zacílíme-li dalekohled v první poloze na vysoko ležící bod. Pak dalekohled sklopíme do horizontu přístroje, kde čteme údaj na vodorovném měřítku. Totéž provedeme i ve druhé poloze dalekohledu. Z rozdílu obou čtení a ze vzdálenosti měřítka od teodolitu lze vypočítat dvojnásobnou chybu ze sklonu klopné osy dalekohledu. Tato chyba se vyloučí měřením v obou polohách dalekohledu. Při případném sklonu klopné osy dalekohledu i a při měření v jedné poloze dalekohledu se sklonem záměry ε musíme počítat s chybou vytyčeného směru (4.4)

Δα = i.tgε = i. cot g z Je patrné, že velikost korekce vzrůstá se sklonem záměry. Pro korekci vodorovného úhlu platí (4.5)

Δω = Δα 2 − Δα1 = i (tgε 2 − tgε1 ) = i (cot g z2 − cot g z1 )

Při měření v jedné poloze dalekohledu se chyba vyloučí, je-li chyba nabývá maximální hodnoty, je-li ± ε 1 = mε 2 .

ε1 = ε 2 . Tato

Příklad 4.5

Mějme stejné zadání jako u předchozího příkladu, uvažujeme navíc, že teodolit má také sklon klopné osy dalekohledu i = 5cc . Řešení

Postup je podobný jako v předchozím příkladu, pouze vliv chyby ze sklonu klopné osy dalekohledu zde nemá překročit hodnotu Δi = δ δ M − δ δ − Δδ c = 10 − 8 − 0.4 = 1,6cc

Po dosazení do vztahu (4.5)získáme Δδ i = i (tgε 2 − tgε1 ) = 5(tg11,5 g − tg (−20,3g )) = 2,5cc Jelikož Δδ i 〉 Δi , je nyní třeba měřit paralakticky úhel v obou polohách dalekohledu.

4.3.3

Chyba z nesvislé osy alhidády

Tato chyba je nejzávažnější přístrojovou vadou, neboť nám zatěžuje úhlová měření chybami, které nedokážeme eliminovat měřením ve dvou polohách dalekohledu. Vzniká nesprávnou horizontací přístroje, popř. zbytkovou chybou po rektifikaci alhidádové libely.

- 49 (161) -


Pro vodorovný směr vyjadřujeme vliv odklonu točné osy alhidády od svislice vztahem (4.6)

Δα = v.tgε .sin α = v. cot g z.sin α kde v je úhel odklonu osy alhidády od svislice, α je úhel svislé záměrné roviny s rovinou, v níž nastal odklon, ε je výškový úhel záměry (z je zenitový úhel záměry) Při měření vodorovných směrů a úhlů musíme prakticky vždy tuto chybu uvažovat, neboť teodolit není nikdy absolutně přesně zhorizontován. Přesnost urovnání přístroje závisí především na citlivosti alhidádové libely, a na stoupání závitů stavěcích šroubů trojnožky, sklon svislé osy alhidády však způsobuje také naklánění stativu vlivem sedání nebo ohřevem a rovněž nejstejnoměrná temperace přístroje. Pokud to vyžaduje přesnost měření, je třeba zavádět korekce z nedokonalého urovnání přístroje. Ze vztahu (4.6) vyplývá, že při vodorovné záměře nebo je-li α = 0g, (200g) je chyba nulová a že roste se zvětšujícím se sklonem záměr. Maximální hodnoty nabývá, je-li ε = 100g (300g) . Proto se korekce obvykle zavádějí pouze u strmých záměr a u bodů v blízkosti horizontu přístroje se neuvažují. Pro vodorovný úhel se korekce vyjadřuje rovnicí (4.7)

Δω = v(tgε 2 .sin α 2 − tgε1.sin α1 ) = v(cot g z2 .sin α 2 − cot g z1. sin α1 ) Příklad 4.6

Jakou maximální chybou z nesvislosti alhidádové osy bude zatížen směr, měřený teodolitem Zeiss THEO 010B, dokážeme-li alhidádovou libelu urovnat s přesností 1/3 dílku její stupnice? Sklon záměry ε = 65o . Řešení

Protože neznáme směr odklonu alhidádové osy, bereme v úvahu nejméně příznivý případ α = 90 (270o) . Citlivost alhidádové libely přístroje THEO 010B je f = 60cc/2 mm . Je-li chyba jejího urovnání 1/3 dílku, je odklon alhidádové osy od svislice v=

f 60 = = 20cc 3 3

Po dosazení do vztahu (4.6)dostaneme vliv odklonu točné osy alhidády na měřený vodorovný směr Δα = v.tgε .sin α = 20.tg 65o.sin 90o = 43cc Z daného příkladu vyplývá, že i při poměrně přesně urovnané alhidádové libele se dopouštíme značných chyb v měřených směrech, několikanásobně překračující požadovanou přesnost měření, a to i tehdy, měříme-li v obou polohách dalekohledu.

- 50 (161) -


Chyba z nesvislé osy alhidády je chybou systematickou, nestejného znaménka a periodického charakteru. Při pracích v inženýrské geodézii, kde se velmi často využívá strmých záměr, je třeba ji vylučovat z výsledků měření početními korekcemi.

Obr. 9

Dr. Kučera upravil vzorec (4.6) na vhodný tvar, který umožňuje určit korekci pro libovolný měřený směr přímo na podkladě čtení libely a sklonu záměry. (4.8)

Δα =

f II ∑ (l − p )cot g z 4 I

kde f je citlivost alhidádové libely, l, p je čtení levého resp. pravého okraje bubliny libely, I, II jsou polohy dalekohledu, z je zenitový úhel záměry . Okraje bubliny se čtou vždy směrem od okuláru, při počítání dílků od středu trubice na obě strany (Obr. 9). Levou a pravou stranu bubliny posuzujeme vždy při pohledu od okuláru dalekohledu. Okraje bubliny libely čteme pro všechny požadované směry v obou polohách dalekohledu a ve všech skupinách. Abychom nemuseli počítat korekce pro každou skupinu zvlášť, počítáme průměrnou opravu a zavádíme ji k průměru naměřených skupin dle vztahu. (4.9)

Δα =

2n f cot gz ∑ (li − pi ) 4n i =1

kde n je počet skupin. a f je citlivost libely. Citlivost alhidádové libely je třeba předem spolehlivě určit, protože nemusí vždy souhlasit s údajem výrobce. U teodolitů Zeiss THEO 010 a WILD T 2 je f ≈ 20´´/2 mm, u přístroje WILD T 3 je f ≈ 7´´/2 mm.

- 51 (161) -


Po pečlivé horizontaci přístroje s rektifikovanou alhidádovou libelou lze před II

zahájením měření osnovy směrů určit, jakou hodnotu nepřekročí

∑

(li − pi ) .

I

Za tohoto předpokladu lze stanovit mezní hodnotu zenitového úhlu, od kterého je třeba již číst okraje bubliny libely, aby chyba z nesvislosti osy alhidády neovlivnila vodorovný směr. Ze vzorce (4.8) se vyjádří (4.10)

cot g z = Δα

4 II

f .∑ (li − pi ) I

Příklad 4.7

Od jaké hodnoty zenitového úhlu musíme číst okraje bubliny libely a zavádět korekce z nesvislosti osy alhidády, aby tato chyba neovlivnila vodorovný směr ? Měří se přístrojem Zeiss THEO 010A . Po horizontaci teodolitu byla zjištěna hodnota II

∑ (l

i

− pi ) = 1

I

Řešení

Aby chyba Δα neovlivnila vodorovný směr, musí její velikost být menší než polovina nejmenší čtené jednotky, tzn. Δα ≤ 0,5cc . Pro THEO O10A je f=60cc. Po dosazení do (4.10) dostaneme cot g z = ±0,5

4 = ±0,033 60.1

, z = 102,1g (97,9 g )

Z výpočtu vyplývá, že pro vodorovné směry za daných podmínek není třeba zavádět korekce z nesvislosti osy alhidády při záměrách se sklony v rozmezí úhlů od 97,9g do 102,1g . Při vysoce přesných měřeních vodorovných směrů je třeba také znát, s jakou přesností je určena korekce Δα vlivu nesvislé osy alhidády. S využitím zákona hromadění chyb dostaneme ze vztahu (4.9) (4.11)

mΔα = kde

f 2 n

ml cot g z

mΔα je základní střední chyba opravy z nesvislosti osy alhidády,

ml je základní střední chyba čtení konců bubliny libely, vyjádřená v jednotkách dílku libelové stupnice. Příklad 4.8

S jakou přesností je určena korekce z vlivu odklonu svislé osy alhidády při skloněné záměře z = 90g a z = 50g? Měření je vykonáno teodolitem Zeiss THEO 010A ve čtyřech skupinách. - 52 (161) -


Řešení

Přesnost čtení polohy bubliny uvažujeme 1/5 dílku stupnice, tedy ml = 0,2 . Po dosazení do vztahu (4.11)dostaneme při f = 60cc a) pro z = 90g 60 0,2. cot g 90o = 0,5cc 2 4

mΔα =

b) pro z = 50g 60 0,2. cot g 50o = 3cc 2 4

mΔα =

Z výpočtu plyne, že při strmých záměrách značně klesá i přesnost určení korekcí a tím i přesnost měřených směrů. Příklad 4.9

Jakou příčnou chybu ve vytyčení směru na vzdálenost 100 m způsobí zanedbání vlivu nesvislé osy alhidády, vytyčujeme-li teodolitem THEO 010A v jedné skupině, záměra probíhá ve sklonu z = 140g a uvažujeme-li běžný II

rozdíl ve čtení libely

∑ (l

i

− pi ) = 1 dílek stupnice? Citlivost libely f =

I

60cc/2 mm . Řešení

Nejdříve dle vztahu (4.9) vypočteme hodnotu zanedbávané korekce Δα =

2n 60 f cot g z ∑ (li − pi ) = cot g 140 g.1 = 11cc 4n 4.1 i =1

Této opravě vodorovného směru odpovídá příčná chyba q ve vytyčení směru na vzdálenost s = 100 m q=

s.Δα cc

ρ

cc

=

10.11 = 1,8 mm 6.105

Z příkladu jasně vyplývá, že při přesných vytyčovacích pracích je třeba s touto chybou počítat, zejména při strmějších záměrách.

V tabulce (Tabulka č. 9)je ukázka vedení zápisníku měření vodorovných směrů včetně výpočtu korekcí z nesvislosti osy alhidády metodou čtení okrajů bubliny libely. Silněji jsou vyznačeny údaje, které se adjustují. Tabulka č. 9

Zápisník měření vodorovných směrů s výpočtem korekcí z nesvislosti osy alhidády metodou Dr. Kučery.

- 53 (161) -


V inženýrské geodézii se velice často zaměřuje či vytyčuje úhel při strmých záměrách, kdy urovnání teodolitu podle alhidádové libely není dostatečně přesné (viz. Příklad 4.6) a ani postup eliminace tohoto vlivu dle Dr. Kučery není dostatečně přesný, neboť přesnost určení korekcí klesá značně se zvětšujícím se výškovým úhlem záměry (viz. Příklad 4.8) . Přitom je třeba tuto systematickou chybu z výsledků měření vyloučit . Její vliv se dá značně snížit použitím přesné sázecí libely. U teodolitů s automatickým urovnáváním čtecích indexů výškového kruhu je možné využít vysoké přesnosti ustálení indexů k přesnému urovnání teodolitu, popřípadě k výpočtu korekcí Δα s mnohem vyšší přesností. Ustálení čtecích indexů např. u teodolitu fy Zeiss THEO 010A,B se děje s přesností mu = 1cc .

- 54 (161) -


Při urovnání teodolitu podle kompenzátoru svislého kruhu nejdříve pečlivě horizontujeme přístroj podle alhidádové libely. Poté dalekohled s upnutou výškovou ustanovkou (ta zůstává upnuta během celého postupu) otočíme do polohy rovnoběžné se spojnicí dvou stavěcích šroubů, přečteme pečlivě zenitových úhel z1 a zhruba hodnotu vodorovného směru. Pak otočíme alhidádou o 200g a opět čteme zenitový úhel z2. Rozdíl z1 – z2 nám dává dvojnásobnou velikost odklonu osy alhidády od svislice v daném směru. Při stále upnuté výškové ustanovce se na stupnici bubínku mikrometru nastaví čtení z´= (z1 +z2)/2 ; tím se poruší koincidence rysek limbu. Jedním (popř. oběma) příslušným stavěcím šroubem obnovíme opět koincidenci diametrálních rysek. Tím se osa alhidády v daném směru urovnala do svislice. Alhidádu přetočíme o 100g a při stále upnuté výškové ustanovce čteme zenitový úhel z3, po otočení alhidády o dalších 200g čtení z4 . Na stupnici bubínku mikrometru nyní nastavíme čtení z´´=(z3 +z4)/2 (mělo by být totožné se z´) a pomocí třetího stavěcího šroubu opět dílky hlavní stupnice zkoincidujeme. Pokud čtení výškového kruhu zůstává při upnuté ustanovce stejné v každé poloze alhidády, je přístroj urovnán s vysokou přesností a do značné míry se tím předchází vlivu chyby z odklonu osy alhidády od svislice na měřené směry. Přesnost kompenzátoru je vhodné užít při korekci směrů strmějších záměr namísto alhidádové libely. Tohoto způsobu s výhodou používáme, není-li postavení teodolitu dokonale pevné. V první poloze dalekohledu se zacílí na pozorovaný bod (korigovaný směr) a přečte se horizontální i vertikální kruh přístroje. Poté se alhidáda přetočí o 100g ve směru pohybu hodinových ručiček, upne se horizontální i vertikální ustanovka (nejlépe při přibližně vodorovné poloze dalekohledu) a přečte se zenitový úhel z1 . Aniž povolíme vertikální ustanovku, přetočíme alhidádu ještě o 200g doprava a čteme zenitový úhel z2 . S ohledem na správné určení znaménka je nutno dodržet směr otáčení v kladném smyslu při měření v první poloze dalekohledu. Korekce směru z vlivu nesvislosti osy alhidády se pak vytočte ze vztahu (4.12)

1 Δα = ( z1 − z2 ) cot g z 2 kde z je zenitový úhel záměry. Příklad 4.10

Od jaké hodnoty zenitového úhlu je třeba zavádět korekce z nesvislosti vertikální osy alhidády teodolitu THEO 010A, byl-li urovnán pomocí automatických indexů výškového kruhu? Řešení

Rozbor přesnosti se provede pro nejméně příznivý případ, kdy rovina vychýlení alhidádové osy je kolmá k svislé záměrné rovině, tedy když je Δα maximální.Přesnost urovnání teodolitu je závislá na chybě čtení údajů vertikálního kruhu a přesnosti ustálení čtecích indexů. m = mo2 + mu2

- 55 (161) -


kde mo je střední chyba čtení na vertikálním kruhu přístroje, mu je střední chyba ustálení čtecích indexů mo je střední chyba čtených zenitových úhlů z1, z2 při upnuté vertikální ustanovce v libovolné poloze dalekohledu (neuplatňuje se zde vliv cílení). Pro THEO 010A platí mo = 4cc, mU = 1cc a tedy m = 42 + 12 = 17 = 4,1cc . Aby se dal stanovit interval pro z, kdy není třeba zavádět korekce, je třeba určit jaké maximální hodnoty může dosáhnout rozdíl z1 – z2 ve vztahu (4.12). Střední chyba tohoto rozdílu mR se vypočítá s uvážením zákona hromadění středních chyb ze vzorce mR = m 2 = 17 . 2 = 34 = 5,8cc Při zvoleném součiniteli konfidence t = 3 se získá maximální rozdíl z1 – z2 ze vztahu ( z1 − z2 ) max = mR .t = 3 34 = 18cc

Nemá-li se zavádět korekce z nesvislosti vertikální osy přístroje, nesmí překročit hodnotu 0,5cc . Po dosazení do vztahu (4.12) za Δα =0,5cc a (z1–z2) = 18cc dostaneme cot g z =

2.Δα 2.0,5 = = 0,056 z1 − z2 18

z = 96,5g (103,5g) Z toho vyplývá, že při záměrách pod zenitovými úhly v rozsahu od 96,5g do 103,5g není třeba zavádět korekce z vlivu nesvislosti osy alhidády, je-li teodolit urovnán pomocí kompenzátoru výškového kruhu. Příklad 4.11

S jakou přesností je určena korekce z vlivu odklonu svislé osy alhidády na vodorovný směr při skloněných záměrách z = 97g a z = 50g? Měření bylo vykonáno teodolitem THEO 010A v jedné skupině, přístroj byl urovnán pomocí kompenzátoru výškového kruhu. Řešení

S využitím zákona hromadění středních chyb dostaneme ze vztahu (4.12)

mΔα =

cot g z mo 2

kde mo je střední chyba čtení (z1, z2) a mΔα je střední chyba určované korekce pro měření v jedné skupině. a) z = 97g

- 56 (161) -


mΔα =

cot g 97 g 4 = 0,1cc 2

b) z = 50g mΔα

cot g 50 g = 4 = 2,8cc 2

Z uvedeného vyplývá, že přesnost určení korekcí výrazně klesá s rostoucím sklonem záměr. Další možnost využití automatického indexu výškového kruhu se praktikuje v případě pevného postavení teodolitu na pilíři, popř. na pevném podkladě a v osnově zaměřovaných směrů zavádíme korekce z nesvislosti osy alhidády pro více směrů současně. Nejdříve urovnáme přístroj co nejpřesněji podle kompenzátoru (nebo podle alhidádové libely) a výše uvedeným způsobem určíme odklon osy alhidády ve čtyřech směrech vzdálených od sebe úhlově o 100g . (Počínaje od směru α 0 = 0g, a dále α 1 = 100g, α 2 = 200g a α 3 = 300g). Při upnuté vertikální ustanovce čteme postupně ve směru pohybu hodinových ručiček v příslušných směrech zenitové úhly z0, z100, z200, z300 . Z nich určíme složky odklonu osy alhidády od svislice ve dvou navzájem kolmých směrech 1 v0 = ( z200 − z0 ) 2 1 v1 = ( z300 − z100 ) 2 Korekce libovolného směru Δα pak vypočteme ze vztahu (4.13)

Δα = (v0 sin α − v1 cosα ) cot g z kde Δα je úhlová hodnota korigovaného směru a z je zenitový úhel. Výhodou tohoto způsobu je skutečnost, že se nemusí měřit odklon osy alhidády pro každou záměru zvlášť a hodnota příslušné korekce se snadněji určí. V tabulce (Tabulka č. 10) je ukázka vedení zápisníku měření vodorovných směrů včetně výpočtu korekcí z nesvislosti osy alhidády metodou čtení zenitových úhlů. Silněji jsou vyznačeny údaje, které se adjustují. Podmínkou pro správné zavedení oprav z nesvislosti osy alhidády teodolitu metodou Dr. Kučery je přesná znalost citlivosti alhidádové libely, které mají pro jednotlivé teodolity stejného typu různé hodnoty. K tomuto účelu se také s výhodou využívá přesnosti kompenzátoru čtecích indexů výškového kruhu. Alhidáda se natočí tak, aby dalekohled směřoval nad jeden stavěcí šroub a přečte se horizontální údaj. Poté se alhidáda otočí o 100g – tím směřuje osa alhidádové libely nad zvolený stavěcí šroub. Jeho pomocí se přesně nastaví konec bubliny libely na libovolnou rysku libelové stupnice. Alhidáda se vrací do výchozí polohy a přečte se zenitový úhel z1 . Při upnuté vertikální ustanovce se znovu přetočí alhidáda o 100g a bublina alhidádové libely se vychýlí

- 57 (161) -


stavěcím šroubem o n dílků. Opět se teodolit nastaví do výchozí polohy a čte se zenitový úhel z2 . Citlivost alhidádové libely se pak získá ze vztahu f =

z1 − z2 n

Pro zvýšení přesnosti se celý postup může několikrát zopakovat. Tabulka č. 10

Zápisník měření vodorovných směrů s výpočtem korekcí z nesvislosti osy alhidády metodou měření zenitových úhlů.

- 58 (161) -


4.4

Vliv přístrojových vad na měření výškových úhlů

Vliv indexové chyby, způsobené nesprávnou polohou čtecích indexů, se odstraní měřením ve dvou polohách dalekohledu a příslušným výpočtem za předpokladu pečlivého urovnání indexové libely, popřípadě správné funkce automatického urovnání čtecích indexů. U teodolitů s kompenzátorem, který automaticky udržuje čtecí zařízení ve správné poloze (ve svém funkčním rozsahu) a nahrazuje funkci indexové libely, musíme nejdříve překontrolovat bezporuchovou činnost kompenzátoru. Přístroj zhorizontujeme, zacílíme na takový ostře vyznačený bod, aby svislá rovina procházející záměrou protínala jeden stavěcí šroub, a čteme údaj na výškovém kruhu. Pak teodolit nakloníme pomocí zmíněného stavěcího šroubu asi až o 80 mgon. Po znovuzacílení na daný bod musí být čtení na vertikálním kruhu shodné s původním čtením. Vyskytne-li se odchylka, signalizuje to špatnou funkci kompenzátoru a je třeba dát přístroj do opravy mechanikovi. Vliv kolimační chyby na měřený směr je dán vztahem (4.14)

Δε =

c2 tgε 2ρ

nebo Δz =

c2 cot gz 2ρ

I při značné kolimační vadě je její vliv na měřený výškový úhel nepatrný a není třeba k němu přihlížet, zejména používáme-li přesné a správně rektifikované přístroje. Např. je-li kolimační vada přístroje c=100cc a zaměřujeme-li výškový úhel ε =70g, činí chyba způsobená touto vadou Δε = 0,08cc, což je z hlediska měření zcela zanedbatelná hodnota. Chyba vertikálního úhlu způsobená sklonem klopné osy dalekohledu i se dá vyjádřit vzorcem (4.15)

Δε =

i2 tgε 2ρ

nebo

Δz =

i2 cot g z 2ρ

Moderní přístroje jsou již konstrukčně ve výrobě uzpůsobeny tak, že i dosahuje velmi malé hodnoty. Proto i tento vliv je při měření vertikálních úhlů zanedbatelný.

- 59 (161) -


4.5

Technika měření vodorovných směrů a úhlů

Před zahájením měření je třeba zkontrolovat správnou funkci teodolitu a stativu, popřípadě stav observačního pilíře. U stativu se sleduje, zda jsou správně dotaženy železné hroty noh, zda jsou nohy dotaženy k hlavě stativu, zda se nepohybuje hlava stativu a zda jsou pevně spojeny obě části vysouvacích noh stativu. Při měření ze stativu nejdříve vysuneme nohy stativu do požadované výšky a pak řádně zašlápneme hroty noh do terénu (při práci na pevném povrchu umístíme hroty noh do spár v dlažbě popřípadě do prohlubní v asfaltovém či betonovém povrchu a opět je došlápneme). Poté vykonáme přibližné dostředění a horizontaci přístroje a opětovně zkontrolujeme postavení stativu (dotažení zajišťovacích šroubů noh) . Horizontaci provádíme vždy při co nejméně vyšroubovaných stavěcích šroubech. Po přibližném dostředění dotáhneme upínací šroub stativu s citem do pérové podložky tak, aby se přístroj nepohyboval po hlavě stativu, ale stavěcími šrouby šlo lehce točit. Před zahájením vlastního měření je třeba dbát, aby teplota přístroje byla stejná jako teplota okolí a aby během měření nedocházelo k deformacím kovových částí teodolitu a tím k chybám. Délka intervalu pro temperaci přístroje je závislá na rozdílu teplot prostředí a teodolitu. Obvykle se doporučuje po vyjmutí teodolitu z přepravní schránky vyčkat minimálně 20 – 30 minut. Přístroj i stativ chráníme v průběhu měření před přímým působením sluneční záření měřickým deštníkem. Doby temperace využijeme pro přípravu teodolitu k měření ověření zřetelné signalizace cílů. Tato fáze je důležitá zejména tehdy, nebyl-li přístroj dlouho používán nebo probíhá-li měření za velmi chladného počasí, kdy dochází k tuhnutí mazacích olejů v ložiskách teodolitu. Jedná se zejména o důkladné rozhýbání všech částí, které jsou při měření využívány. Protáčíme zvolna alhidádu v obou směrech, prokládáme dalekohled, pohybujeme zaostřovacím šroubem dalekohledu, ověřujeme činnost hrubých a jemných ustanovek, činnost kotouče koincidence mikrometru atd. V této době také pečlivě zaostříme obraz záměrného kříže dalekohledu a nastavíme zaostření čtecího mikrometru. Je vhodné si několikrát zkusit koincidenci a čtení úhlových údajů pro rozcvičení oka a nastavit optimální osvětlení stupnic dělených kruhů tak, aby bylo rovnoměrné a stejné intenzity. Není vhodné přesvětlení ani nízké osvětlení kruhů. Během měření ve skupině nelze měnit osvětlení kruhu ! Potom zkontrolujeme viditelnost všech cílů a průchodnost záměr. Zacílíme postupně na všechny cíle, přičemž pomalu přeostřujeme dalekohled směrem ke stanovisku a kontrolujeme, zda vzdálenost záměrné přímky od překážek není menší než 15 cm s ohledem na možnou refrakci. Nebezpečné jsou zejména překážky záměr v bezprostřední blízkosti stanoviska teodolitu. Na závěr pak vykonáme přesnou centraci a horizontaci přístroje (viz. kapitoly4.1, 4.2). V první poloze dalekohledu zacílíme na počáteční bod osnovy směrů. Aby bylo měření správné, je třeba odstranit paralaxu nitkového kříže. Tu zjistíme při stranovém pohybu oka za okulárem dalekohledu při zaostřeném obrazu cíle i záměrného kříže. Mění-li se vzájemná poloha kříže a cíle, je třeba paralaxu odstranit jemným doostřením záměrného kříže popřípadě cíle. Během měření jedné skupiny již nelze přeostřovat záměrný kříž !

- 60 (161) -


Potom nastavíme na děleném kruhu přístroje požadované čtení na počáteční směr. Nejdříve nastavíme koincidenčním šroubem mikrometru na mikrometrické stupnici údaje minut a vteřin, poté pomocí pastorku pro postrk limbu zkoincidujeme příslušné rysky hlavní stupnice. Závěrečný pohyb pastorku musí být vždy doprava. Po nastavení požadovaného čtení uvolníme ustanovky a otočíme alhidádou několikrát ve směru dalšího čtení (doprava) . Pak teprve znovu zacílíme na počáteční směr. Přitom je třeba dbát abychom alhidádou otáčeli vždy tlakem a tahem na ramena alhidády, nikoliv na dalekohled. Hrubé ustanovky dotahujeme vždy lehce proti sobě (páčky u teodolitů Zeiss THEO 010A,B) nebo nejdříve vertikální a poté horizontální ustanovku (u Zeiss THEO 010 aj.) . Upínáme-li ustanovky v opačném pořadí, může dojít ke strhnutí. Při uvolňování ustanovek postupujeme stejným způsobem, tedy uvolňujeme obě současně nebo nejprve vertikální a poté horizontální. Při práci s jemnými ustanovkami dbáme, aby byl pohyb plynulý a v konečné fázi vždy směřoval proti síle protitlačného pera (tzn. doprava) . Po zacílení sejmeme ruku s jemné ustanovky a opět zkontrolujeme cílení. Podle tvaru cílové značky a její velikosti se k cílení využívá jednoduché nebo dvojité rysky záměrného obrazce. Cílíme vždy v blízkosti středu kříže. Většinu cílových značek (kruhových, tyčových, trojúhelníkových atd.) půlíme příslušnou ryskou na dvě symetrické části. U tyčových cílových značek lze též používat symetrické pointace mezi dvojryskou záměrného kříže. Při čtení pracujeme s koincidenčním šroubem stejně jako s jemnou ustanovkou. Pohybujeme jím stejnoměrně a plynule a poslední pohyb vykonáme vždy doprava. Při koincidenci si nevšímáme stupnice bubínku mikrometru a pozorujeme pouze rysky pohybující se hlavní stupnice. Koincidenci protilehlých rysek provádíme uprostřed zorného pole čtecího mikroskopu. Ne u všech přístrojů lze zkoincidovat všechny rysky v celém v celém viditelném rozsahu. Toho je možné s výhodou využít a přesnost koincidence prostřednictvím rysek lze zkontrolovat u rysek na obou okrajích zorného pole čtecího mikroskopu. Pokud jsou rysky uprostřed zorného pole správně ztotožněny, budou rysky na okrajích odchýleny o stejnou hodnotu, ale opačného směru (Obr. 10). Po koincidenci nejdříve čteme údaj na stupnici a teprve poté sejmeme prsty s točítka mikrometru. Stejným způsobem postupujeme při cílení a čtení na dalších bodech. Měřit a zacházet s teodolitem se musí citlivě, plynule, rovnoměrně s časem a bez zbytečných přerušení.

Obr. 10

V průběhu měření jedné skupiny (paralaktické popřípadě laboratorní jednotky) se nesmí opravovat urovnání teodolitu stavěcími šrouby, nesmí se vykonat přeostření záměrného kříže nebo měnit polohu osvětlovacího zrcátka. Na

- 61 (161) -


základě rozboru přesnosti před měřením se stanoví, zda a u kterých záměr je třeba určit korekce z nesvislosti točné osy alhidády a vykonat příslušná měření zenitových úhlů, popřípadě číst výchylky bubliny alhidádové libely. Měříme-li vodorovné směry ve více skupinách (jednotkách), lze mezi jednotlivými skupinami v případě potřeby provést úpravu horizontace, popřípadě centrace teodolitu či přeostřit záměrný kříž. Pastorkem se nastavuje nová hodnota počátečního čtení a postupuje se stejným způsobem jako v první skupině či jednotce. Na základě měřených údajů zapisovatel vyhodnocuje během měření a po jeho skončení ihned na místě, zda jsou dodržovány požadované přesnosti; popřípadě, zda je třeba rozšířit soubor měření o další skupiny či jednotky. Po skončení měření se dalekohled sklopí do svislé polohy, stavěcí šrouby se srovnají a sníží jejich vyšroubování, přiklopí se osvětlovací zrcátko, povolí hrubé ustanovky a teprve pak se povolí upínací šroub stativu, teodolit se sejme a při povolených hrubých ustanovkách uloží do přepravní schránky. Zasáhnouli přístroj dešťové kapky nebo je-li orosen, je třeba jej před uložením do schránky očistit a osušit. Otřeme všechny kovové části hadříkem, zejména ustanovky a stavěcí šrouby. U moderních přístrojů jsou optické části opatřeny antireflexními vrstvami, proto se nedoporučuje dotýkat se jich ani je čistit. Zvlhlý teodolit necháme v suché větrané místnosti v otevřené schránce zvolna vyschnout, aby voda při vypařování nepoškodila vnitřní jemné mechanické části a nekondenzovala uvnitř přístroje. Pokud přístroj přenášíme na další stanovisko, zkontrolujeme nejdříve, zda je trojnožka sepnuta s horní částí teodolitu a se stativem. Přístroj přenášíme vždy tak, aby osa alhidády byla svislá. Povinností měřiče je přístroj prověřit a chránit jej při přepravě proti nárazům. Pokud je třeba přístroj chránit před vnějšími vlivy, jako jsou sluneční záření, déšť, prach apod., je povinností měřiče zajistit příslušnou ochranu přístroje a pečovat o jeho stav.

4.5.1

Měření vodorovných úhlů ve skupinách

Pro určování vodorovných směrů se v inženýrské geodézii ponejvíce využívá metody měření v řadách a skupinách. Dle rozboru přesnosti před měřením se stanoví, zda se měření vykoná minutovým či vteřinovým přístrojem a jaký je potřebný počet skupin. Používá-li se minutový teodolit, osnova směrů se určuje maximálně ve dvou skupinách. Při využití vteřinového teodolitu se měření vykonává i ve více skupinách. Postup měření při využití všech znalostí kapitoly 4 je následující : Přístroj přesně zcentrujeme a zhorizontujeme na stanovisku a vykonáme příslušné přípravné práce: • temperace přístroje, • procvičení jednotlivých částí teodolitu, • zaostření rysek záměrného kříže a obrazu čtecího mikroskopu, • kontrola cílů a prostupnosti jednotlivých záměr, • nastavení optimální intenzity osvětlení dělených kruhů. - 62 (161) -


Zvolíme počáteční směr osnovy tak, aby záměra byla zřetelná. Je vhodné, aby počáteční směr ležel přibližně v horizontu přístroje (nezavádějí se korekce z nesvislosti vertikální osy alhidády) . Počáteční bod má být dobře osvětlen, proto se při měření ve volném terénu volí zpravidla na severní straně. Při měření v uzavřených prostorách je to obvykle nejlépe zřetelný (kontrastní) bod v průměrné vzdálenosti všech záměr. Za počátek se většinou volí směr mimo určující obrazec, neměl by to v žádném případě být směr na nově určovaný bod. Dalekohled nastavíme do první polohy, protočíme alhidádou několikrát naprázdno ve směru dalšího měření (doprava), zacílíme na výchozí bod a nastavíme požadované čtení. Ještě jednou otočíme alhidádou o plný kruh, pečlivě zacílíme a čteme údaj na horizontální stupnici. (Tento údaj se bude mírně lišit oproti nastavovanému, neboť koincidence pomocí pastorku je obtížná a ne tak přesná, jako pomocí točítka mikrometru) . Poté otáčíme alhidádou ve směru hodinových ručiček a zaměřujeme postupně všechny směry osnovy. Měření zakončíme opakovanou záměrou na počáteční směr. Alhidádou se při měření musí otáčet vždy ve stejném smyslu. Jestliže omylem vynecháme záměru, nevracíme se k ní ve zpětném směru, ale ve stejném směru, v jakém postupuje měření (tzn. otočením o 4 R) . Jakmile byla zaměřena osnova směrů v první poloze dalekohledu opětovnou záměrou na výchozí bod, dalekohled proložíme do druhé polohy, otočíme několikrát alhidádou v opačném směru (doleva) a zacílíme na výchozí směr. Poté otáčíme teodolitem v opačném směru (proti směru hodinových ručiček) a zaměřujeme cíle v obráceném pořadí než v první poloze. Končíme opět záměrou na počátek. Tím je také ukončeno měření osnovy směrů v jedné skupině. Stejným způsobem postupujeme při měření dalších skupin. Měření začínáme vždy v první poloze dalekohledu a do výchozího směru nastavujeme příslušná čtení odpovídající počtu skupin. Jedna osnova by neměla mít více než 10 – 15 záměr. Velkým počtem záměr se prodlužuje doba observace a vzrůstá vliv vnějších chyb ovlivňujících přesnost měření. Záměrou na výchozí bod, která se opakuje v každé skupině v obou polohách dalekohledu, se kontroluje spolehlivost a stabilita postavení teodolitu. Tímto způsobem se zabezpečujeme proti hrubé chybě, která může vzniknout tím, že se změní poloha limbu. Pokud osnova obsahuje pouze dva směry, neuzavírá se tak jako v případě tří a více směrů. Aby se snížil vliv nerovnoměrného dělení limbu a mikrometrické stupnice, nastavujeme v každé skupině jiné počáteční čtení. Koincidenční čtení představuje čtení na dvou protilehlých místech kruhu, převedené do čtecího mikroskopu teodolitu. Proto se bude počáteční čtení v jednotlivých skupinách lišit o hodnotu x=

200 g a + n n

kde n je počet skupin a a je hodnota stupnice mikrometru.

- 63 (161) -


Příklad 4.12

Z rozboru přesnosti před měřením vyplynulo, že je třeba měřit osnovu směrů vteřinovým teodolitem THEO 010B v pěti skupinách. Jaká budou nastavovaná počáteční čtení limbu a mikrometru v jednotlivých skupinách? Řešení

Protože pro teodolit THEO 010B je hodnota stupnice mikrometru a = 10c, bude mít rozdíl nastavení počátečního čtení mezi jednotlivými skupinami hodnotu přibližně x=

200 g 10c + = 40 g 02c 5 5

Protože vlivem přístrojových vad se může čtení mezi I. a II.polohou lišit, nastavujemev první skupině čtení vždy o něco větší než 0g00c00cc . Ulehčujeme tak zapisovateli výpočet redukovaných průměrů. Nastavována počáteční čtení v jednotlivých skupinách pak budou mít hodnoty 1. skupina

0g01c00cc

2. skupina

40g03c00cc

3. skupina

80g05c00cc

4. skupina

120g07c00cc

5. skupina

160g09c00cc

Požadované čtení nastavujeme tak, že nejprve pečlivě zacílíme na výchozí směr, poté nastavíme minuty a vteřiny stupnice mikrometru pomocí koincidenčního šroubu a pastorkem pro postrk limbu nastavíme příslušnou hodnotu údaje na hlavní stupnici koincidencí rysek. Dbáme, aby poslední pohyb pastorku byl doprava. Není nutné koincidovat zcela přesně, protože chceme měření po celém limbu a bubínku přibližně rovnoměrně. Poté otočíme alhidádou několikrát doprava, znovu zacílíme a můžeme započít s měřením. (Během otáčení dochází k mírnému strhnutí limbu) . Rozbor přesnosti měření se skládá (viz. kapitola 3.4): 1.

z rozboru přesnosti před měřením,

2.

z rozboru přesnosti při měření,

3.

z rozboru přesnosti po měření.

Z rozboru přesnosti před měřením určíme, jakým teodolitem a v kolika skupinách budeme osnovu směrů měřit, jaký zvolíme způsob centrace, zda a jaké je třeba zavádět korekce atd. Přesnost měření v jedné skupině posuzujeme z rozdílů hodnot I. a II. polohy v jednotlivých směrech. Tento rozdíl by měl být přibližně konstantní a měl by mít stejné znaménko. Dalším důležitým kriteriem je velikost uzávěru. Je-li základní střední chyba směru měřeného v jedné skupině mr, potom střední chyba uzávěru je dána vztahem

- 64 (161) -


mΨ = mr 2 protože se jedná o rozdíl dvou směrů a tedy je mΨ také střední chybou úhlu měřeného v jedné skupině. Velikost uzávěru by tedy neměla překročit hodnotu Δ Ψ = mΨ .t = mr . 2 . t kde t je součinitel konfidence. Protože doba prakticky o vnitřní přesnost, volí se obvykle theodolitem THEO 010A, pro který výrobce směru měřeného v jedné skupině mr = 5cc, překročit

měření je krátká a jedná se t = 2 . Měříme-li například udává základní střední chybu neměla by hodnota uzávěru

Δ Ψ = mr . 2 . t = 5. 2 . 2 = 14cc Přesnost měření směrů mezi dvěma skupinami posuzujeme z rozdílů redukovaných průměrů daných směrů v jednotlivých skupinách. Protože redukovaný průměr ve skupině je vlastně rozdíl dvou směrů, daného a počátečního, je střední chyba redukovaného průměru směru v jedné skupině dána vztahem mω = mr 2

Potom stření chyba rozdílu redukovaných průměrů daného směru ze dvou skupin je dána mΔω = mω 2

Z toho vyplývá, že by rozdíl libovolného redukovaného směru mezi dvěma skupinami neměl přesáhnout mezní hodnotu Δ Δω = mΔω t = mr 2 2 . t = 2 . mr . t

Pro teodolit THEO 010A platí, že mezní rozdíl redukovaných směrů mezi skupinami je Δ Δω = 2 mr t = 2.5.2 = 20cc Jsou-li rozdíly mezi skupinami stejného znaménka, svědčí to o přítomnosti systematické chyby měření na počátek. Jsou-li rozdíly malé a různých znamének, dá se usuzovat na kvalitní měření s dobrou vnitřní přesností. Dosahují-li rozdíly extrémních hodnot (20cc apod.), svědčí to o méně kvalitním měření a je vhodné přidat další skupinu a porovnáním se všemi skupinami odhalit příčinu snížení kvality měření. Může to být způsobeno mnoha faktory, např. měřičem, vadou přístroje – nerovnoměrným dělením kruhu a bubínku, změnou atmosférických podmínek, nepevným postavením teodolitu, cíle apod. Přesnost měření směrů ve více skupinách hodnotíme testováním odlehlých měření (viz. kapitola 3.3) při známé střední chybě metody měření. Základní střední chyba směru určeného v jedné skupině je mω = mr 2

- 65 (161) -


neboť hodnota redukovaného směru je vlastně dána rozdílem od směru počátečního (je to tedy úhel) . Pro THEO 010A je základní střední chyba redukovaného směru měřeného v jedné skupině mω = 7cc. Ještě před opuštěním stanoviska je třeba spočítat zápisník a provést rozbory přesnosti při a po měření. V kanceláři je třeba spočítat příslušné korekce z vlivu nesvislosti osy alhidády a zápisník adjustovat. Zápisník adjustujeme tak, že tuší vypíšeme záhlaví, označení směrů (číslo, popřípadě název bodu), stupně (gony) v první poloze první skupiny, redukované hodnoty (minuty a vteřiny) všech směrů ve všech skupinách, výsledné hodnoty, popřípadě obrázek, je-li excentrické stanovisko či cíl. V Tabulka č. 9, Tabulka č. 10 jsou uvedeny vzory zápisníků měření vodorovných směrů v řadách a skupinách. Pokud záměry probíhají blízko překážek či nízko nad terénem, ovlivňují vnější faktory prostředí výsledky měření boční refrakcí a snižují přesnost. Střední chyba směru měřeného v jedné skupině je pak lépe charakterizována hodnotou, určenou z vyhodnocení výsledků měření získaných za podobných podmínek.

4.5.2

Měření paralaktických úhlů

Chceme-li přesně znát velikost úhlu daného rozdílem dvou směrů, využívá se v inženýrské geodézii velmi často měření v tzv. paralaktických jednotkách. (Jedná se o upravenou poloviční laboratorní jednotku). Nejčastěji nachází tato metoda uplatnění při paralaktickém měření vzdáleností. Nejdříve zcentrujeme a zhorizontujeme základnovou lať a teodolit. Poté orientujeme základnovou lať pomocí kolimátoru tak, aby směřovala kolmo k určované vzdálenosti. Při kratších záměrách do 20 m cílíme kolimátorem na odpovídající rameno alhidády, při delších na střed teodolitu. Při práci s teodolitem dodržujeme zásady uvedené v kapitole 4.5. Po pečlivé centraci a horizontaci využijeme doby temperování stroje také ke kontrole horizontace a orientace latě. Vodorovnou ryskou záměrného kříže si ověříme, zda cílové značky základnové latě jsou ve stejné výšce. Pokud tomu tak není, lať upravíme stavěcími šrouby trojnožky do vodorovné polohy. (Je třeba provést rektifikaci krabicové libely základnové latě) . Je-li vidět v dalekohledu průzor kolimátoru, je lať správně orientována – v opačném případě je třeba opravit zacílení kolimátorem základnové latě. Protože cílové značky latě jsou stejně vysoko a ve stejné vzdálenosti od teodolitu a tedy cílíme na ně pod stejným zenitovým úhlem, stačí paralaktický úhel měřit pouze v jedné poloze dalekohledu. Jak vyplývá z rozborů v kapitole 4.3, kolimační chyba má pro oba směry stejnou velikost a v jejich rozdílu se vyruší. Také vliv nesvislosti osy alhidády je přibližně stejný pro oba směry, neboť se vždy jedná o velmi ostrý úhel. Paralaktická jednotka se měří podle schématu LLPPPPLL V první poloze dalekohledu při otáčení alhidády ve směru hodinových ručiček. L znamená cílení a čtení na levém a P na pravém terči základnové latě. Každý symbol L nebo P značí nezávislé měření na cílovou značku, tzn. nové cílení a čtení.

- 66 (161) -


Po temperaci přístroje znovu ověříme správnost centrace a horizontace. Otočíme alhidádou několikrát doprava a zacílíme na levý terč základnové latě. Upneme obě ustanovky. Výšková ustanovka zůstává upnuta po celou dobu měření. Nastavíme libovolné čtení limbu pomocí postrku. Protože zaměřujeme velmi ostrý úhel, nastavujeme v každé paralaktické jednotce libovolné počáteční čtení. Abychom však snížili vliv nestejnoměrně děleného bubínku mikrometru, nastavujeme na něm rozdíl mezi jednotlivými jednotkami x=

a n

kde a je hodnota stupnice mikrometru a n je počet paralaktických jednotek. Po nastavení čtení otočíme alhidádou několikrát doprava a zacílíme znovu na levý terč koincidujeme a čteme. Poté porušíme koincidenci i zacílení pomocí točítka mikrometru a jemné vodorovné ustanovky, opět cílíme, koincidujeme a čteme. Otočíme alhidádou ve směru hodinových ručiček a čtyřikrát za sebou cílíme, koincidujeme a čteme na pravém terči. Pokračujeme v otáčení alhidády doprava a měření zakončíme dvojnásobným cílením a čtením na levém terči. Tím je úhel zaměřen v jedné paralaktické jednotce. Pro dosažení správných výsledků je třeba vždy porušit koincidenci před cílením. Při závěrečném pohybu jemnou ustanovkou a točítkem mikrometru otáčíme doprava. Při cílení na základovou lať, jejíž záměrné značky jsou dvojrysky, používáme pro přesnější práce zásadně jemnějších dvojrysek, ke kterým je lať komparována. Cílíme obvykle jednoduchou svislou ryskou poblíž středu záměrného kříže. Vzhledem ke kontrole a posouzení přesnosti měříme paralaktický úhel nejméně ve dvou paralaktických jednotkách. Dodržení přesnosti posoudíme okamžitě testováním odlehlých hodnot při známé základní střední chybě metody (viz. kapitola 3.3). Úhel získaný z jedné paralaktické jednotky je de facto aritmetický průměr ze čtyřikrát měřeného úhlu (rozdíl čtení P – L) v jedné poloze dalekohledu. Je-li střední chyba směru určeného z měření ve dvou polohách dalekohledu mr, pak střední chyba směru měřeného pouze v jedné poloze je mr 2 . Protože výsledný úhel z jedné paralaktické jednotky je určen jako průměr čtyř měření, je jeho základní střední chyba (z jedné paralaktické jednotky) dána vztahem mδ =

2m r 4

= mr

a rovná se tedy střední chybě směru měřeného v jedné skupině. Základní střední chyba paralaktického úhlu měřeného v jedné paralaktické jednotce teodolitem THEO 010A,B je m = 5cc. Mezní rozdíl úhlů uvnitř jedné paralaktické jednotky nemá překročit hodnotu ΔI = 2mr 2 . t = 8 . mr . t Pro teodolit THEO 010A,B při zvoleném součiniteli konfidence t = 2 nemá rozdíl přesáhnout hodnotu 30cc . Mezní rozdíl mezi dvěma paralaktickými jednotkami nemá překročit hodnotu danou vztahem

- 67 (161) -


δ Δ δ = mδ 2 . t Pro teodolit THEO 010A nemá rozdíl mezi dvěmi paralaktickými jednotkami překročit hodnotu 14cc. Měření velmi ostrého úhlu v paralaktické jednotce se velice často využívá i v těch případech, kdy cílové značky levého a pravého ramene úhlu neleží pod stejným zenitovým úhlem a kdy se tedy v plné míře projeví jak vliv kolimační vady, tak i vliv sklonu klopné osy dalekohledu na měřený úhel. V tomto případě vždy měříme sudý počet paralaktických jednotek a to jednu polovinu v první poloze a druhou polovinu ve druhé poloze dalekohledu. Tedy v první poloze systémem L L P P P P L L a ve druhé P P L L L L P P .

4.5.3

Měření úhlu v laboratorní jednotce

Má-li se libovolně velký úhel daný rozdílem dvou směrů změřit s vysokou přesností, lze s výhodou využít metody měření úhlu v laboratorní jednotce. Jedná se o uspořádané měření úhlu, v němž je snížen účinek všech zdrojů chyb soustavy teodolit – stativ (pilíř) plánovitým měřením v krátké době, takže v ní není třeba předpokládat změnu refrakce. Měření v laboratorní jednotce je sestaveno tak, aby ve výsledku byl počtářsky nebo postupem také maximálně eliminován vliv systematických chyb, které se nevyloučí měřením ve dvou polohách dalekohledu. Jedná se o tyto chyby : - stálá chyba limbová, - stálá chyba optického mikrometru, - chyba ze stáčení pilíře či stativu, - chyba z uvolňování napětí způsobeného postrkem limbu, - chyba ze strhávání celého teodolitu, - chyba runová, - chyba z nesvislosti osy alhidády. V současnosti se laboratorní jednotka skládá z měření ve dvou dvojskupinách, přičemž každé cílení a čtení se provádí dvakrát nezávisle po sobě jemnou ustanovkou a točítkem mikrometru. Pro posouzení přesnosti výsledků je třeba minimálně dvou nezávislých měření téhož úhlu. Protože až aritmetický průměr z dvojskupiny lze považovat za nezávislý výsledek, je žádoucí měření vykonat ve dvou dvojskupinách. Schéma laboratorní jednotky viz. Tabulka č. 11, kde n znamená počet laboratorních jednotek, ve kterých se opakuje měření úhlu, i znamená pořadí laboratorní jednotky. V tabulce je také uvedena časová posloupnost měření skupin. Její využití urychluje observaci, neboť poloha dalekohledu a směr otáčení se mění až uprostřed laboratorní jednotky. Při nastavování požadovaného čtení v každé skupině je nutné měnit i nastavení bubínku mikrometru, jak je též uvedeno ve schématu tabulky. Po každém nastavení počátečního čtení je třeba otočit alhidádou ve směru čtení skupiny. Cílení i čtení se vykonává vždy dvakrát nezávisle po sobě. Nejdříve se změní poloha bubínku mikrometru a poté poruší cílení jemnou ustanovkou, znovu se cílí, koinciduje a čte. Jestliže se alhidádou přetočí za pozorovaný směr více, - 68 (161) -


než je rozsah pohybu jemné ustanovky, nikdy se nevrací ve zpětném smyslu, ale přetočí se alhidádou o 400g a pokračuje se v měření. Závěrečný pohyb jemnou ustanovkou je vždy proti tlaku pera, tedy doprava. Po koincidenci rysek stupnice nejdříve čteme a teprve poté sejmeme prsty z točítka mikrometru. Tabulka č. 11

Schéma laboratorní úhlové jednotky Dvojskupina

I

I

II

II

Skupina

I

II

III

IV

Pořadí záměr

ABBA

BAAB

ABBA

BAAB

Směr otáčení

doprava

doleva

doprava

doleva

Poloha dalekohledu

I

II

I

II

Nastavované čtení kruhu Posloupnost měření

xi =

i.1800 4n

1

xi+90o30´30´´ xi+45o15´15´´ xi+135o45´45´´

2

λ1

Výsledek skupiny

5

6

3

4

λ3

λ2

7

8

λ4

V každé skupině se čte pravý i levý okraj bubliny alhidádové (sázecí) libely a při její známé citlivosti f se vypočte v zápisníku korekce z nesvislosti osy alhidády. Je-li laboratorními zkouškami určena skutečná hodnota vteřinového dílku R, vypočte se v zápisníku oprava z runu mikrometru. Korekce z libely a z runu se určí jako průměr pro celou laboratorní jednotku. Z výsledků v jednotlivých skupinách se vypočtou výsledky ve dvojskupinách : L1 =

λ1 + λ2 2

,

L2 =

λ3 + λ4 2

a výsledná hodnota měřeného úhlu L = (L1 + L2 ) / 2

Střední chybu m0 laboratorní jednotky charakterizující vnitřních přesnost měření lze vyjádřit vztahem m0 =

L1 − L2 d = 2 2

Při měření úhlů v n laboratorních jednotkách je střední chyba určena výrazem n

m=

∑d i =1

2 i

2n

- 69 (161) -


Spolehlivost takto určené střední chyby z výsledků měření vzrůstá s počtem laboratorních jednotek. Tabulka č. 12 uvádí příklad vedení zápisníku při měření vodorovného úhlu v laboratorní jednotce s výpočtem korekcí z nesvislosti osy alhidády a runu. Tabulka č. 12

Zápisník měření úhlu v laboratorní jednotce

- 70 (161) -


Pro rozbory přesnosti je však třeba znát předpokládanou (základní) střední chybu laboratorní jednotky pro zvolený teodolit. Ze známé základní střední chyby směru mr měřeného v jedné skupině lze vyjádřit střední chybu úhlu měřeného v jedné skupině mω = mr 2 . Protože úhel v laboratorní jednotce je aritmetický průměr ze 4 skupin, ze kterých je polovina měřena v první poloze pravotočivě a druhá ve druhé poloze dalekohledu levotočivě, je předpokládaná střední chyba úhlu získaného z jedné laboratorní jednotky vyjádřena vztahem mlj

mω m r = 4 2

Například je-li úhel měřen teodolitem THEO 010A, lze předpokládat střední chybu úhlu určeného v jedné laboratorní jednotce mlj =

4.6

mr 5 = = 3,5cc 2 2

Měření zenitových úhlů

Svislé úhly měříme vždy ve dvou polohách dalekohledu. Výjimku tvoří pouze méně přesné práce (tachymetrie apod.), popřípadě takové úlohy, kdy nás zajímá změna výšky bodu v omezeném časovém intervale (např. měření deformací a průhybů konstrukcí při zatěžkávacích zkouškách aj.). Svislé úhly čteme na vertikálním kruhu teodolitu. Oproti měření vodorovných úhlů, kdy úhel je dán rozdílem dvou směrů, zaměřujeme při určování vertikálního úhlu vždy jen jeden směr a druhý je dán automaticky buď vodorovnou, nebo svislou rovinou (u teodolitu s přímým čtením zenitových úhlů). Svislé úhly se v inženýrské geodézii měří při trigonometrickém určování výšek, popřípadě výškových změn, a při převodu šikmých vzdáleností na vodorovné. Máme-li z jednoho stanoviska zaměřit více svislých úhlů, platí zásada, že úhly vztažené k jednotlivým bodům zaměřujeme samostatně, tzn. zaměřujeme každý bod v první a ihned nato ve druhé poloze dalekohledu (nezávisle od ostatních bodů) . Pro urychlení měření postupujeme tak, že na liché body začínáme cílit v první poloze dalekohledu, na sudé body ve druhé poloze (tedy první bod měříme nejdříve v první poloze, poté ve druhé poloze, neprokládáme dalekohled, ale druhý bod měříme v opačném pořadí, tzn. ve druhé a pak v první poloze dalekohledu atd.) . Při měření na kratší vzdálenosti a za stálých klimatických podmínek (v uzavřených prostorách apod.), kdy se neuplatňují refrakční změny, lze měřit postupně všechny body v prvé a potom všechny body ve druhé poloze dalekohledu. Cílíme vodorovnou ryskou záměrného kříže v blízkosti jeho středu, vždy na jednoznačná místa signálu. Zásady přípravy teodolitu, měření, cílení, koincidence a čtení jsou stejné jako při měření vodorovných úhlů a je třeba je v plné míře respektovat. Pro zvýšení přesnosti se velmi často zenitový úhel měří v jedné skupině s dvojím nezávislým cílením a koincidencí. Při měření svislých úhlů vysoké přesnosti se používá postupu navrženého prof. Hradílkem, kdy se hodnota vertikálního úhlu získává měřením v trojskupinách. Schéma trojskupiny a uspořádání měření je následující: - 71 (161) -


zI zI zII zII,

zII zII zI zI,

zI zI zII zII

1.sk.

2.sk.

3.sk.

Pokud teodolit není vybaven kompenzátorem, který udržuje automaticky čtecí indexy výškového kruhu ve správné poloze, musíme před každým čtením urovnávat indexovou libelu, čímž vylučujeme vliv chyby z nedokonale urovnaného přístroje. Součet čtení v prvé a druhé poloze dalekohledu nám dává při měření zenitových úhlů kontrolní hodnotu 400g . Odchylky od této hodnoty jsou způsobeny nevyhnutelnými měřickými chybami, zejména však případným dvojnásobkem indexové chyby. Většina teodolitů je zatížena větší či menší indexovou chybou, která je pro daný stav teodolitu konstantní a stejného znaménka. Výškový kruh je pevně spojen s dalekohledem a otáčí se spolu s ním, zatímco čtecí indexy jsou uváděny do správné polohy buď urovnáním indexové libely, nebo kompenzátorem. Indexová chyba je vlastně úhel, který svírá osa urovnané indexové libely (popřípadě osa indexů urovnaných kompenzátorem) s teoreticky správnou rovinou (nejčastěji vodorovnou). Je-li třeba mechanicky odstranit indexovou chybu, postupujeme následovně: Nejdříve určíme velikost indexové chyby i měřením na ostře viditelný cíl v obou polohách dalekohledu : i=

(

400 g − z I + z II 2

)

Další postup závisí na tom, nemáme-li teodolit s indexovou libelou nebo s kompenzátorem . Chybu výškového indexu teodolitu s kompenzátorem může odstranit pouze mechanik, odlišně podle konstrukce kompenzátoru, například posunutím závěsu kompenzátoru, změnou jeho těžiště, seřizovací planparalelní destičkou, posunem záměrného kříže apod. U těchto teodolitů je však třeba před započetím vlastního měření zkontrolovat bezporuchovou činnost kompenzátoru (viz. kapitola 4.3.3) . U teodolitu s indexovou libelou nastavíme v první poloze na požadovaný směr správnou hodnotu zenitového úhlu z = zI + i pomocí koincidenčního šroubu mikrometrické stupnice. Šroubem indexové libely pak zkoincidujeme rysky hlavní stupnice. Poté indexovou libelu urovnáme jejími rektifikačními šroubky. Na závěr vykonáme kontrolu opětovným měřením v obou polohách dalekohledu a v případě nutnosti (větší odchylka) celý postup opakujeme. Základní střední chyba zenitového úhlu měřeného ve dvou polohách dalekohledu (v jedné skupině) je dána vztahem mz =

mc2 + m02 + mu2 2

kde mc je záklasní střední chyba cílení, mo je základní střední chyba čtení kruhu, mu je základní střední chyba urovnání čtecího indexu.

- 72 (161) -


Střední chyba mu v urovnání libely koincidenčním způsobem se udává jako čtvrtina její citlivosti. Přesnost urovnání čtecího indexu pomocí kompenzátoru je udávána výrobcem. Například pro teodolit THEO 010A,B je mc = 6cc, mo = 4cc a mu = 1cc . Střední chyba zenitového úhlu měřeného tímto teodolitem v jedné skupině je tedy

(6

mz =

2

)

+ 42 + 12 / 2 = 5cc

Za předpokladu neměnnosti refrakce během měření a stálosti indexové chyby přístroje lze v průběhu měření kontrolovat jeho správnost. Rozdíl kontrolních součtů zI + zII na jednotlivých bodech by neměl překročit mezní hodnotu Δ z danou vztahem Δ z = mzI 2 2 . t = 2 mz t

kde výraz m zI = mc2 + m02 + mu2 nám dává střední chybu zenitového úhlu měřeného v jedné poloze dalekohledu, m zI 2 je střední chyba kontrolního součtu, m zI 2 2 je střední chyba rozdílu dvou kontrolních součtů a t je součinitel konfidence. Pro teodolit THEO 010A,B při zvoleném t = 2 vychází Δ z = 62 + 42 + 12 2 2 . 2 = 21cc Příklad 4.13

S jakou přesností byl zaměřen zenitový úhel z = 63g 45c 52cc teodolitem THEO 010 ? Úhel byl měřen v jedné skupině. Řešení

Protože citlivost indexové libely teodolitu THEO 010 je f = 60cc, je mu = f / 4 = 15cc. Střední chyba zenitového úhlu měřeného v jedné skupině tímto teodolitem je 2

m 2 + m02 + mu2 6 2 + 42 + 15 m = c = = 138 2 2 2 z

mz = 12cc

4.7

Celková střední chyba vodorovného směru, úhlu

Základní střední chyba směru, popřípadě úhlu měřeného v jedné skupině udávaná výrobcem je vnitřní přesnost měření bez uvážení vnějších vlivů a při úplné eliminaci systematických přístrojových vad. Střední chyba směru měřeného v jedné poloze dalekohledu je mrI = mc2 + m02 2

- 73 (161) -


kde mc je základní střední chyba cílení a mo je základní stření chyba čtení. Empiricky bylo ověřeno, že velikost střední chyby cílení nejlépe vystihuje vztah mc =

185 cc z

kde z znamená zvětšení dalekohledu teodolitu. Střední chyby mc, mo jsou závislé na použitém typu teodolitu a do značné míry též na schopnostech měřiče a jeho zkušenostech. Využívá-li měřič pro vytyčování delší dobu stejný přístroj, je výhodné stanovit se souboru testovacích měření skutečnou střední chybu mrI pro daný teodolit a měřiče a tuto pak zavádět do rozborů přesnosti. Střední chybu úhlu měřeného v jedné poloze dalekohledu lze vyjádřit jako mωI = mrI 2 střední chybu směru měřeného v jedné skupině mr = mrI / 2

a střední chybu úhlu měřeného v jedné skupině mω = mr 2 = mrI = mc2 + m02

Je-li úhel měřen v n skupinách, stanoví se jeho střední chyba ze vztahu mωn =

(m

2 c

)

+ m02 / n

Střední chyba úhlu měřeného v jedné paralaktické jednotce (ve dvou skupinách) je mδ =

(m

2 c

)

+ m02 / 2

Střední chyba úhlu měřeného v jedné paralaktické jednotce (ve dvou skupinách) je mlj =

(m

2 c

+ m02 )/ 4

Všechny tyto chyby však vyjadřují pouze vnitřní přesnost měření. Bereme-li v úvahu všechny možné chyby, které ovlivňují přesnost úhlového měření, pak je střední chyba směru určeného v jedné poloze dalekohledu vyjádřena vztahem (4.16)

mrI = mα2 e + mα2 * + mc2 + m02 + mi2 e

kde

mα e , mα * jsou střední chyby vlivu centrace přístroje i cíle, e

mi je souhrnná střední chyba všech přístrojových vad a vnějšího vlivu prostředí, jejíž velikost je dána vztahem (4.17)

mi = Δ2c + Δ2v + Δ2i + Δ2k

- 74 (161) -


Δ c je vliv kolimační vady,

kde

Δ i je vliv sklonu klopné osy dalekohledu, Δ v je vliv nesvislosti osy alhidády, Δ k je souhrnný vliv prostředí (refrakce) a dalších přístrojových vad (chyby z dělení kruhu a bubínku mikrometru, fluktuace alhidády apod.) . Ze vztahu (4.17) znamenají symboly Δ pravé chyby jednotlivých vlivů, nebo jsou-li výsledky měření opraveny o příslušné korekce, střední chyby v určení těchto korekcí. Střední chybu úhlu měřeného v jedné skupině pak lze stanovit ze vzorce (4.18)

mω = mω2 e + mc2 + m02 + mi2 kde mω e je střední chyba společného působení chyb centrace teodolitu a cílů a mi = Δ2v + Δ2k

neboť vliv kolimační chyby a sklonu klopné osy se vyloučí měřením v obou polohách dalekohledu. Vhodným měřickým postupem se snažíme maximální měrou eliminovat Δ k , neboť její velikost je prakticky velmi obtížně zjistitelná. Vliv střední chyby způsobené nedokonalostí centrace teodolitů a cílů nelze uvést průměrnou hodnotu, neboť závisí na délce záměry, vytyčovaném úhlu a na způsobu vytyčovaného (zaměřovaného) úhlu a stejné excentricity teodolitu a cílů [1] je střední chyba vlivu excentricit přístroje a cílů na měřený úhel vyjádřena vztahem (4.19)

mω e =

e2 ⎛ ω ⎞ 4 sin 2 + sin 2 ε A + sin 2 ε B ⎟ 2 ⎜ s ⎝ 2 ⎠

kde e je excentricita přístroje i cílů,

ω je vytyčovaný úhel,

ε A , ε B jsou úhly excentricit cílových značek na bodech A, B, s je délka ramen úhlu ω . V inženýrské geodézii se neuvažují změny e, ale jen očekávané střední chyby me, závislé na použitých přístrojích a způsobech dostředění (viz. Tabulka č. 8), tedy ve vztahu (4.19) se nahradí e výrazem me. Pro rozbor přesnosti je třeba uvažovat nejméně příznivý případ, kdy ε A , ε B = ±100g. Za těchto předpokladů je (4.20)

mω e = 4 sin 2

ω me2 2 s2

+2

me2 s2

- 75 (161) -


kde první člen vyjadřuje vliv chyby centrace teodolitu a druhý člen vliv excentricit cílových značek. Z tohoto vztahu vyplývá, že vliv excentricit se projevuje zejména u kratších záměr. Pro úhel ω = 2R = 200g nabývá vliv excentricity teodolitu maximální hodnoty a příslušná střední chyba je vyjádřena vztahem

mωe (max) =

e 6 s

V praxi se často při vytyčování s výhodou užívá empiricky určený vzorec pro střední chybu vlivu excentricit na vytyčovaný úhel mω e =

2000cc s

kde s je délka vytyčovacího paprsku (v jednotkách metrů) a teodolit je centrován s chybou me = 1 mm.

4.8

Měření směrů a úhlů elektronickými teodolity, totálními stanicemi

Zásady měření vodorovných a svislých směrů (úhlů) platí stejně jak pro optické, tak elektronické přístroje. Elektronické přístroje mají některá specifika. Elektronické přístroje jsou choulostivější na působení vnějších podmínek, zejména na změnu teploty a oslunění, což se prakticky projevuje na změně (rozhození) základních osových podmínek přístroje. Před přesnými měřeními je třeba nechat přístroj dostatečně vytemperovat a při měření chránit před osvitem slunce slunečníkem. Elektronické úhlové přístroje mohou být vybaveny jednoosým nebo dvojosým kompenzátorem (senzorem náklonu). Účelem kompenzátoru je určit odklon přístroje od svislice v určitém směru. Jeli přístroj vybaven jednoosým kompenzátorem je třeba s ním pracovat jako s běžným teodolitem. Jednoosý kompenzátor urovnává indexy vertikálního kruhu, tedy kompenzuje ve směru dalekohledu. Dvojosý kompenzátor umožňuje kompenzovat ve dvou kolmých směrech, ve směru dalekohledu (podélném) a ve směru kolmém (příčném). Přesnost a správnost měření vodorovných i svislých úhlů závisí i na přesnosti a správnosti seřízení funkce kompenzátoru. U elektronických přístrojů se hodnoty osových chyb určují měřením a ukládají se do paměti přístroje. Každý měřený směr je pak softwarově korigován o vliv hodnot osových podmínek uložených v přístroji. Postupy pro určení a justáž osových podmínek jsou principiálně stejné u všech přístrojů. Mezi základní osové podmínky se řadí určení a justáž kolimační chyby (Z ⊥ H), indexové chyby a úklonné chyby (V ⊥ H). Častěji je třeba kontrolovat změnu indexové chyby, neboť ta svou plnou hodnotou ovlivňuje přesnost určování výšek trigonometrickou metodou při měření nebo vytyčování v jedné poloze dalekohledu. Kolimační a úklonnou chybu je třeba ověřit vyžaduje-li to úhlová přesnost měření. Indexovou chybu lze ověřovat nezávislým postupem na kolimační a úklonné chybě. Kolimační chyba spolu souvisí a nejprve je vhodné určit a justovat

- 76 (161) -


kolimační chybu a pak úklonnou. Při justáži osových podmínek je třeba mít přístroj pečlivě horizontován. Úklonná chyba koriguje elektronickou libelu (senzor náklonu), podle které lze urovnat přístroj přesněji, než podle jeho trubicové libely na přístroji. Přístroj je správně urovnán, když senzor náklonu nevykazuje změnu při pootočení přístroje kolem jeho svislé osy v rámci horizontu. Postup ověření a justáže indexové chyby: 1) přepneme přístroj do režimu justáže indexové chyby (V0 axis) 2) zaměříme v úrovni horizontu (cca do ±3o) v I. poloze dalekohledu na dobře viditelný jednoznačně identifikovatelný cíl (měřickou značku) a uložíme do paměti přístroje hodnotu svislého úhlu 3) zaměříme na tentýž cíl ve II. poloze dalekohledu a uložíme do paměti přístroje hodnotu svislého úhlu 4) zaměření v I. a II. poloze dalekohledu uvedený v bodech 2) a 3) opakujeme dle potřeby několikrát, zpravidla 3x 5) hodnota indexové chyby se určí z hodnot opakovaného měření v I. a II. poloze dalekohledu aritmetickým průměrem a uloží se trvale do paměti přístroje pro její další použití při měření svislých úhlů Postup ověření a justáže kolimační chyby: 1) přepneme přístroj do režimu justáže kolimační chyby (Collimation) 2) zaměříme v úrovni horizontu (cca do ±3o) v I. poloze dalekohledu na dobře viditelný jednoznačně identifikovatelný cíl (měřickou značku) a uložíme do paměti přístroje hodnotu vodorovného úhlu 3) zaměříme na tentýž cíl ve II. poloze dalekohledu a uložíme do paměti přístroje hodnotu vodorovného úhlu 4) zaměření v I. a II. poloze dalekohledu uvedený v bodech 2) a 3) opakujeme dle potřeby několikrát, zpravidla 3x 5) hodnota kolimační chyby se určí z hodnot opakovaného měření v I. a II. poloze dalekohledu aritmetickým průměrem a uloží se trvale do paměti přístroje pro její další použití při měření vodorovných úhlů Postup ověření a justáže úklonné chyby: 1) přepneme přístroj do režimu justáže kolimační chyby (Horizontal Axis) 2) zaměříme pod strmou záměrou (více než nad ±10o) v I. poloze dalekohledu na dobře viditelný jednoznačně identifikovatelný cíl (měřickou značku) a uložíme do paměti přístroje hodnotu vodorovného úhlu 3) zaměříme na tentýž cíl ve II. poloze dalekohledu a uložíme do paměti přístroje hodnotu vodorovného úhlu 4) zaměření v I. a II. poloze dalekohledu uvedený v bodech 2) a 3) opakujeme dle potřeby několikrát, zpravidla 3x

- 77 (161) -


5) hodnota úklonné chyby se určí z hodnot opakovaného měření v I. a II. poloze dalekohledu aritmetickým průměrem a uloží se trvale do paměti přístroje pro její další použití při měření vodorovných úhlů. Cvičení

Vykonejte ověření indexové chyby, kolimační chyby a úklonné chyby elektronického úhloměrného přístroje. Nejprve zjistěte stav dílčích chyb měřením ve dvou polohách dalekohledu. Pak proveďte v justážním režimu přístroje justáž indexové, kolimační a úklonné chyby. Poté ověřte správnost justáže opětovným měřením ve dvou polohách dalekohledu.

4.9

Vytyčení úhlu

Při méně přesném vytyčování úhlů dvojosným teodolitem střední třídy přesnosti (např. minutový teodolit THEO 020A, B) se nejdříve vykoná pečlivá centrace a horizontace přístroje na stanovisku. Poté se nastaví do výchozího směru nulové čtení. Alhidádovými ustanovkami se nastaví na stupnici vodorovného kruhu hodnota vytyčovaného úhlu. Ve vytyčovaném směru v požadované vzdálenosti se stabilizuje vytyčovaný bod např. dřevěným kolíkem, na jehož hlavě se upřesní poloha bodu hřebíčkem pečlivě zařazeným do směru pomocí svislé rysky záměrného obrazce teodolitu. Takto určený úhel je vytyčen pouze v jedné poloze dalekohledu a je v plné míře zatížen přístrojovými vadami. Pro většinu bodů podrobného vytyčení na běžném typu staveb je tento způsob postačující. Pro zvýšení přesnosti lze celý postup opakovat ve druhé poloze dalekohledu (včetně nového nastavení nulového čtení) a nejpravděpodobnější poloha vytyčeného úhlu leží uprostřed vytyčení z první a druhé polohy dalekohledu. Při přesném vytyčení úhlu nelze tohoto způsobu použít, neboť není možné bezchybně nastavit do výchozího směru požadované (nulové) čtení a nelze se (s ohledem na eliminaci vlivu přístrojových vad) spokojit s jediným čtením na limbové stupnici. Po pečlivé centraci a horizontaci přístroje se vytyčí v jedné poloze dalekohledu poloha požadovaného úhlu a zastabilizuje se například dřevěným kolíkem na jehož hlavě se vhodným způsobem vyznačí přibližná poloha daného úhlu (ryska tužkou, hřebíček apod.). Opakovaným měřením v obou polohách dalekohledu se zjistí skutečná hodnota ω ' takto vytyčeného úhlu. Určí se odchylka úhlu ω ' od projektovaného údaje , tedy ( ω - ω ' ) . Přibližný úhel se opraví o rozdíl, který se vytyčí pomocí vypočteného příčného posunu q dle vztahu

( ω − ω´)cc q=s ρ cc

kde s je vzdálenost vytyčované značky od teodolitu. Hodnota příčného posunu q se nanese s příslušnou správnou orientací kolmo k vytyčovanému směru (Obr. 11) . Pro ověření přesnosti a správnosti vytyčených úhlů se vykoná kontrolní zaměření nově vytyčeného úhlu ω .

- 78 (161) -


Vzájemný vztah přesnosti vytyčeného úhlu a přesnosti příčného posunu je vyjádřen výrazem mq = s

mωcc

ρ cc

Často se vytyčuje směr na hlavě kolíku nebo na ploše (např. betonová patka), na kterou přímo nevidíme. Potom je třeba vhodným způsobem signalizovat přibližnou polohu a pro kontrolní měření konečnou polohu vytyčeného směru. Při méně přesných pracích postačí závěs olovnice, pro přesnější práce je nejvhodnější stativ s terčem s možností optického provážení.

Obr. 11

Postup při přesném vytyčení úhlu : 1) na základě rozboru požadované přesnosti úhlu se stanoví metoda vytyčení a způsob kontroly (viz. kapitola 3), určí se typ teodolitu, způsob stabilizace a pomůcky potřebné k vytyčení. Přesnost vytyčení úhlu může být dána: - střední chybou vytyčovaného úhlu mω - mezní odchylkou vytyčovaného úhlu δ ω - mezní příčnou odchylkou δ q na vytyčovanou vzdálenost. Mezi těmito veličinami platí vztah

δ ω = mω . t

,

δ q = mq . t

,

mq = s

mωcc

ρ cc

Ze střední chyby vytyčovaného úhlu se stanoví počet skupin, v kolika je nutné vykonat zaměření úhlu ω ' , aby byla dodržena požadovaná přesnost (n se zaokrouhluje vždy na celé číslo směrem nahoru) . n=

2mr2 mω2

- 79 (161) -


kde mr 2 udává základní střední chybu úhlu pro daný teodolit měřeného v jedné skupině. 2) Centrace a horizontace teodolitu, vytyčení úhlu ω ' v jedné poloze dalekohledu a jeho vyznačení v dané vzdálenosti s . 3) Zaměření úhlu ω ' v požadovaném počtu n skupin (s rozborem přesnosti při měření) a výpočet rozdílu projektovaného a vytyčeného úhlu ω - ω ' . 4) Výpočet příčného posunu q = s ( ω - ω ' )cc / ρcc a jeho realizace ve správném směru kolmém na vytyčovanou záměru. 5) Kontrolní zaměření a rozbor přesnosti po měření. Příklad 4.14

Vytyčte na stanovisku 12 B od směru na bod 14 úhel ω = 78g 50c 00cc s mezní odchylkou δ ω = 9cc . Úhel stabilizujte ve vzdálenosti 150 m ryskou na betonové patce. Pro rozbor přesnosti neuvažujte vnější vlivy. Řešení

1) Rozbor přesnosti před měřením : Zvolíme, že kontrolní měření vykonáme stejným postupem, se stejným přístrojem a pomůckami a se stejnou přesností jako vytyčení. Výsledek kontroly zahrneme do výsledku vytyčení (tzn. vznikne dvojice vytyčení) . střední chyba vytyčovaného úhlu mω = δ ω / t = 9 / 2 = 4,5cc (pro jednoduchá úhlová měření stačí volit součinitel konfidence t = 2) . Protože vytyčení úhlu bude aritmetický průměr z dvojice vytyčení (vytyčení a kontrolního měření), je střední chyba jednoho vytyčení mω 0 = mω 2 = 4,5 2 = 6,4cc Ze střední chyby úhlu mω 0 je zřejmé, že vytyčení je třeba provést vteřinovým přístrojem, v našem případě teodolitem THEO 010B. Počet opakování skupin vytyčení je n=

mr2 .2 52.2 = = 1,2 ⇒ 2 skupiny . 6,4 2 mω2 0

Střední chybě úhlu mω odpovídá střední chyba příčného posunu mq =

s mωcc

ρ cc

=

1,5 . 10 5 . 4,5 = 1,1 mm 6,4 . 10 5

Závěry : Úhel je třeba vytyčovat teodolitem THEO 010B ve dvou skupinách a příčný posun q realizovat pomocí milimetrového měřítka.

- 80 (161) -


Pomůcky : teodolit THEO 010B, 3 stativy, 2 terče, 2 trojnožky, optický centrovač, olovnice, pásmo, milimetrové měřítko, slunečník. Složení měřické skupiny: vedoucí skupiny, zapisovatel, měřič, 2 pomocníci. 2) Pracovní postup v terénu : a) Pečlivá optická centrace a horizontace teodolitu i terče na bodech 12B, 14. b) Vytyčení úhlu v jedné poloze dalekohledu a jeho vyznačení ryskou na betonové patce. Přesná centrace terče pomocí optického dostřeďovače nad vyznačením přibližného směru. c) Zaměření vytyčeného úhlu ω´ ve dvou skupinách. Souběžná kontrola dodržení požadované přesnosti při měření (viz. Tabulka č. 13): - kontrola rozdílů mezi měřením v první a druhé poloze dalekohledu (rozdíl je přibližně konstantní a stejného znaménka) - kontrola rozdílů redukovaných průměrů skupin (rozdíl nemá překročit hodnotu 20cc) (viz. kapitola 4.5.1.) d) Výpočet zápisníku, stanovení úhlu ω´ (v našem případě ω´ = 78g49c14cc). e) Výpočet posunu q1 q1 = f)

(ω − ω )s = (78,5 − 78,4914).1,5.10 ,

ρ

5

6,4 .10

= 20,3mm

Realizace posunu q1 kolmo k záměře teodolitu doprava. Nové vyznačení vytyčovaného směru a opětovná centrace cílového terče.

g) Kontrolní zaměření vytyčeného úhlu ω´´ ve dvou skupinách a rozborem přesnosti při měření (viz.Tabulka č. 13). h) Výpočet q2

(ω − ω )s = (78,5 − 78,4996).1,5 .10 = ,,

q2 i)

ρ

6,4 .10

5

= 0,9mm

Vynesení q2/2 (protože správná poloha vytyčovaného směru je aritmetický průměr z prvního vytyčení a kontrolního zaměření – jejich rozdíl je q2).

3) Rozbor přesnosti po měření

- 81 (161) -


m q0 =

mω0 s

ρ

=

6,4 .1,5 .10 5 = 1,5 mm 6,4 .10 5

Střední chybu rozdílu dvou vytyčení lze vyjádřit ze vztahu m Δ q = m q0 2 = 1,5 . 2 = 2,1 mm 0

a mezní hodnotu rozdílu dvojice vytyčení ze vztahu

Δq = mΔ q0 t = 2,1. 2 = 4,2 mm Je-li q2 menší než Δq, pak lze považovat vytyčení úhlu ω za správné (tzn. ležící v konfidenčním intervalu ω ± δω). Není-li tato podmínka splněna, je třeba vykonat nové vytyčení a odhalit příčinu vzniklé chyby. V našem případě 0,9 <4,2 mm a tedy vytyčení vyhovuje požadované přesnosti. Tabulka č. 13

Příklad 4.15

Vytyčte ze stanoviska 12B od směru na bod 14 úhel ω = 78g50c00cc, tak aby ve vzdálenosti 100 m nepřekročila příčná chyby mezní hodnotu δq = 2 mm. Vytyčený úhel stabilizujte značkou na betonové patce. Pro rozbor přesnosti uvažujte vnější vlivy (přístrojové vady a centrace stanoviska a cílů). Záměra na bod 14 je vodorovná, záměra na vytyčovaný bod je skloněna pod zenitovým úhlem z = 131g. Řešení

1) Rozbory přesnosti před měřením:

- 82 (161) -


Stejně jako v předcházejícím případě vykonáme kontrolní měření stejným postupem i stejnými pomůckami, se stejnou přesností a zahrneme je do vytyčení. Požadovaná střední příčná chyba mq = δq / t = 2 / 2 = 1 mm. Střední chyba vytyčovaného úhlu mω =

ρ mq s

6,4 .10 5 .1 = = 6,4 cc 5 10

Protože výsledná poloha vytyčeného úhlu bude aritmetický průměr z vytyčení a kontrolního zaměření, je střední chyba jednoho vytyčení úhlu mω0 = mω 2 = 6,4 . 2 = 9 cc Souhrnná střední chyba úhlu vytyčeného v jedné skupině mω ( sk ) = mω2 e + mo2 + mc2 + mi2 kde střední chyba způsobená nedokonalostí centrace teodolitu a cílů je (při použití optické centrace me = 1 mm) mωe = ρ

me 78,5 g ω 1 + 2 sin 2 = 6,4 .10 5 1 + 2 sin 2 = 8,2 cc s 2 2

a mi = Δ2v + Δ2c + Δ2i + Δ2k

(viz. kapitola 4.7.). Protože bude úhel měřen

ve dvou polohách dalekohledu, tak se vyloučí vliv kolimační vady Δc a sklonu klopné osy dalekohledu Δi. Bude-li vytyčení vykonáno v krátkém časovém intervalu a obě záměry budou probíhat ve stejném prostředí, tak i vliv refrakce bude zanedbatelný, Vhodným postupem měření lze maximálně eliminovat i vliv chyb dělení limbu a bubínku mikrometru. Za těchto podmínek můžeme považovat i Δk = 0. Protože jedno rameno úhlu je skloněno pod zenitovým úhlem z = 131g, je třeba vyšetřit, zda je nutné počítat korekce z nesvislosti osy alhidády (viz. kapitola 4.3.3) a popřípadě s jakou střední chybou bude tato korekce vypočtena. Za předpokladu zavedení této korekce do výsledků bude mi = mΔα, kde mΔα je střední chyba stanovení korekce z nesvislosti osy alhidády. Bude-li pro vytyčení použito teodolitu THEO 010A (mo = 4cc, mc = 6cc), je m Δα =

cot g z 2

m0 =

cot g131g 2

. 4 cc = 1,5 cc

Střední souhrnná chyba úhlu měřeného v jedné skupině je mω ( sk ) = mω2 e + mo2 + me2 + mΔ2α = 8,22 + 42 + 62 + 1,52 = 11cc Počet skupin zaměření úhlu ω je tedy

- 83 (161) -


n=

mω2 ( sk ) mω20

112 = 2 = 1,5 ⇒ 2 skupiny. 9

Závěry : Z rozboru přesnosti vyplývá, že pokud bereme v úvahu i vnější vlivy na přesnost měřeného úhlu, je třeba vytyčení i kontrolní měření vykonat ve dvou skupinách a je třeba zavádět i korekce z vlivu nesvislosti osy alhidády. Jelikož střední chyba vytyčení příčného posunu je 1 mm, musí být příčný posun q realizován pomocí milimetrového měřítka. Přístrojové vybavení: THEO 010A, 3 stativy, 2 terče s trojnožkami, optický centrovač, olovnice, pásmo, milimetrové měřítko, sluník. Složení vytyčovací skupiny: vedoucí skupiny, měřič, zapisovatel, 2 pomocníci. 2)Pracovní postup v terénu: Postup se shoduje s technologií vytyčení předcházejícího příkladu P27 s maximální snahou o eliminaci systematických chyb. Měření je rozšířeno o čtení zenitových úhlů a výpočet korekcí z nesvislosti osy alhidády. Vliv chyb v dělení kruhu a bubínku je snížen rozdílným nastavením počátečního čtení. Čtení výchozího směru se od sebe liší mezi jednotlivými skupinami o hodnotu 200g/4 + 10c/4, neboť úhel ω zaměřujeme dvakrát při vytyčení a dvakrát při kontrolním měření. Tabulka č. 14 znázorňuje vedení zápisníku pro zadaný příklad vytyčení. Zapisovatel vykonává ihned na místě rozbor přesnosti při měření. Naměřeny byly následující údaje: úhel ω´=78g50c58cc (úhel je opraven o korekci Δα = 0,5(z1-z2)cotg z= =0,5(100,1238 – 100,1261)cotg 131,2 =+6,1cc) Byl realizován posun q1 =

(ω − ω ′) s = (78,5 − 78,5058) ⋅ 105 = 9,1 mm ρ

6,4.10

Znovu byl zaměřen úhel ω´´ =78g49c99cc (opravený o korekci Δα = +4,2cc) a vypočten posun q2 =

(ω − ω ′′) s = (78,5 − 78,4999) ⋅ 105 = 0,2 mm . ρ

6,4.10

Jelikož je q2 mnohem menší, než mq, není třeba realizovat další posun q2/2. 3) Rozbor přesnosti po měření: Mezní hodnota rozdílu dvojice vytyčení (vytyčení a kontrolního zaměření) je Δq = mΔ q t = mq0 2 t = 0

mω 0 s

ρ

2t=

- 84 (161) -

9.105 2 . 2 = 4 mm 6,4.105


Protože q2 << Δq (0,2<<4), je úhel ω vytyčen s požadovanou přesností. Tabulka č. 14

- 85 (161) -

Měření a vytyčování délek

5


Kvalita měření a vytyčování délek rozhodující měrou ovlivňuje přesnost polohového vytyčení. V závislosti na požadované přesnosti se volí vhodná metoda měření. Používá se přímých nebo nepřímých metod. Mezi přímé metody se řadí měření délek pásmy (ocelovými, invarovými, umělohmotnými), dráty nebo tyčovými měřidly (v průmyslu). Ostatní metody, kdy délku určujeme měřením jiné veličiny, jejímž zpracováním získáváme požadovanou vzdálenost, označujeme jako nepřímé (měření nitkovými, dvojobrazovými či elektronickými dálkoměry, paralaktické nebo trigonometrické určování vzdáleností apod.). Nitkovými dálkoměry lze docílit maximální přesnost asi 2.10-3. s (při délkách do 150 m). Dvojobrazové dálkoměry umožňují měřit délky do 150 m s přesností 2 – 4 . 10-4. s. Paralaktické měření se využívá zejména na krátké vzdálenosti, např. při přesné polygonometrii, v mikrosítích apod., a lze jím dosahovat relativní přesnosti 1:20 000 až 1:100 000. Ocelovými pásmy lze docílit relativní přesnosti 1:2 000 až 1:10 000 na 100 m.

5.1

Měření délek pásmy

Měření délek pásmy je i přes zvyšující se dostupnost dálkoměrů stále častá metoda určování vzdáleností. Při přesných pracích v inženýrské geodézii je třeba postupem měření snížit vliv náhodných chyb a naměřenou délku opravit o korekce z různých vlivů.Tyto systematické chyby je nezbytné maximální měrou eliminovat z výsledků, neboť se nevyloučí opakováním měření a nejsou patrné z rozdílu dvojice měření. K měřené délce s je třeba zavést tyto opravy ze systematických chyb působící na měřenou vzdálenost: a)

oprava z nesprávné délky pásma (pro celou vytyčovanou délku): (5.1)

c1 =

Δl s l

kde Δl je odchylka pásma od nominální hodnoty, s je měřená (vytyčovaná) délka a l je nominální délka pásma. Skutečnou délku pásma, tedy i hodnotu Δl lze zjistit komparací. Testovací zkušebna vydává o komparaci zkušební list, v němž je uvedeno číslo porovnávaného pásma, způsob komparace s uvedenou střední chybou (2.10-5 m pro základnu a 1.10-6 m pro komparátor), teplota komparace, napínací síla, nominální hodnoty dílků pásma (zpravidla po 2 m) s korekcemi se znaménky. Při rozborech je třeba rozlišovat komparované od cejchovaného pásma. Pokud se délka pásma neliší od nominální hodnoty více než o toleranci předepsanou ČSN 25 1105 Měřičská pásma, je označeno cejchovní značkou. (Pro pásmo 20 m je tolerance ± 3,5 mm, pro pásmo 30 m ± 4 mm a pro pásmo 50 m ± 6 mm). Aplikací zákona hromadění středních chyb ze vztahu (5.1) získáme

- 87 (161) -


(5.2)

s mc1 = mΔl l kde mc1 je střední chyba stanovení korekce c1 a m Δl je střední chyba komparace. Ukázka kalibračního listu komparace pásma viz. Tabulka č. 15. b)

oprava z teplotního rozdílu (pro celou vytyčovanou délku)

Tato chyba je způsobena rozdílnou teplotou pásma při měření t a komparační teplotou t0 (5.3)

c 2 = s.α (t − t 0 ) (5.4)

mc2 = s.α .mt kde α je součinitel roztažnosti materiálu (pro ocel α = 10 – 12.10-6 °C-1, pro invar α = 0 – 2,5.10-6°C-1), mt je střední chyba měření teploty pásma. Poznámka

Pro určení této korekce je třeba měřit teplotu stuhy pásma, která se může značně lišit od teploty okolního prostředí. c)

oprava z protažení pásma (pro jeden klad pásma) (5.5)

c3 =

l (F − F0 ) E.q

kde F je napínací síla při měření, F0 je napínací síla při komparaci, q je průřez stuhy pásma a E je modul pružnosti materiálu pásma. d)

oprava z průvěsu pásma (pro jeden klad pásma) (5.6)

c4 = −

l 3G 2 24F 2

kde G je tíha 1 m pásma. Tabulka č. 16 uvádí potřebné veličiny pro jednotlivé druhy současně vyráběných pásem. Poznámka

Systematická chyba c3 je způsobena diferencí napínací síly mezi komparací a měřením. Oprava c4 vystupuje při měření zavěšeným pásmem, které bylo komparováno položené po celé délce. Střední chyba společného určení korekcí c 3 + c 4 je

- 88 (161) -


(5.7)

⎛ l l 3G 2 + m c3, 4 = ⎜⎜ 3 ⎝ E.q 12 F

⎞ ⎟⎟m F ⎠

kde mF je střední chyba určení napínací síly. Tabulka č. 15

- 89 (161) -


e)

oprava z nevodorovné polohy pásma (pro celou délku) (5.8)

⎛ h2 h4 + 3 c 5 = −⎜⎜ ⎝ 2 s 8s

⎞ ⎟⎟ ⎠ (5.9)

m c5 =

h mh s

kde h je výškový rozdíl konců vytyčované délky (za předpokladu stejného sklonu všech kladů pásma) a mh je střední chyba stanovení převýšení h. Poznámka

Není-li dodržen stejný sklon všech kladů pásma, je třeba počítat korekce pro každý klad samostatně a oprava c5 je pak jejich celkový součet. f)

oprava z vybočení ze směru (pro celou délku)

Tato chyba vzniká nepřesným zařazením konců pásma do přímky.

Obr. 12

(5.10)

c6 = −

1 n (δ i − δ i −1 )2 ∑ 2l i = + (5.11)

m c6 =

2 l

n

∑ (δ i =1

i

− δ i −1 ).mδ

kde n je počet kladů pásma, δi je příčná odchylka konců pásma od přímky (s uvážením znaménka + doprava – doleva) a mδ je střední chyba určení odchylek. Protože pro většinu úloh inženýrské geodézie nepřicházejí v úvahu délky vztahované k nulovému horizontu a na zobrazovací rovinu, ale uvažují se skutečné délky v průmětu do vodorovné roviny ve střední nadmořské výšce daného území, nezavádějí se opravy z redukce na nulovou plochu (c7=-H.s/R, kde H je průměr výšek konců měřené délky, R je střední poloměr Země) a oprava ze zobrazení (pro Křovákovo zobrazení je c8= -s.m0, pro Gaussovo zobrazení c8=y2s/2R2, kde m0 je délkové zkreslení zobrazovací rovnoběžky procházející středem určované délky a y je rovinná souřadnice).

- 90 (161) -

Měření a vytyčování délek Tabulka č. 16

- 91 (161) -


Kromě systematických chyb ovlivňují měřenou délku náhodné chyby, jako např. chyba z odhadování čtení, z provážení konců pásma, z promítání značek na stupnici, z označování a přiřazování jednotlivých kladů pásma atd. Celková střední chyba měřené vzdálenosti je dána vztahem (5.12)

m s2 = mc2 + m n2 kde mc vyjadřuje vliv systematických a mn vliv náhodných chyb. Celkový vliv náhodných chyb roste s odmocninou měřené délky (5.13)

mn = λ s

kde koeficient λ závisí na kvalitě pásma, metodice měření a zkušenostech měřiče. Při dodržení všech zásad měření délek pásmy vyhovuje nejlépe hodnota λ = 0,5-1,5.10-3 m1/2. V případě početní eliminace systematických chyb se výsledná délka počítá ze vztahu 6

s = s ′ + ∑ ci i =1

Zbytkové chyby neodstraněné přidáním oprav ci představují systematický podíl ve vztahu (5.12): (5.14)

mc2 = mc21 + mc22 + n.mc23, 4 + mc25 + mc26 Zásady přesného měření délek pásmy: 1) Používat pouze komparovaných pásem a ověřených pomůcek. 2) Měřit či vytyčovat vzdálenosti minimálně dvakrát. 3) Při druhém měření nastavovat jiné počáteční čtení. 4) Sledovat při měření teplotu a měřit při zatažené obloze, kdy jsou teploty pásma i vzduchu blízké (výhodnější je měřit se zavěšeným pásmem) 5) Měřit tutéž délku v různé denní době při zatažené obloze a bezvětří. 6) K napínání používat siloměr. 7) Při použití pásem s centimetrovým popř. decimetrovým dělením určovat doměrky pravítkem s dělením na mm. 8) Zavádět do výsledků všechny potřebné korekce. Příklad 5.1

Dvacetimetrovým ocelovým pásmem KINEX 25 1150.2 vytyčte délku s = 100 m s mezní vytyčovací odchylkou δs = 0,025 m. Zjistěte požadavky na přesnost stanovení veličin nutných pro výpočet oprav systematických vlivů, je-li uvažován koeficient náhodného vlivu λ=0,5.10-3 m1/2.

- 92 (161) -


Řešení

Rozbor přesnosti: kontrolní vytyčení bude vykonáno se stejnou přesností a bude zahrnuto do vytyčení. Požadovaná střední chyba vytyčení délky (při volbě t = 2,5 z důvodu předpokládaných systematických vlivů): m s = δ s / t = 0,025 / 2,5 = 0,010 m = 10 mm Střední chyba jednoho měření (vytyčení): m s0 = m s 2 = 0,010 2 = 0,014 m Podle (5.13) je podíl náhodných chyb dán výrazem m n = λ s = 0,5.10 −3 100 = 0,005 m

Příslušný podíl systematických chyb tedy bude: m c = m s2 − m n2 = 0,014 2 − 0,005 2 = 0,013 m

a) Při aplikaci zásady stejného vlivu vyplývá ze vztahu (5.14), že m ci =

mc

=

5

0,013

= 0,006 m

5

Cílem rozboru přesnosti je stanovit přesnost určení rozdílu skutečné a nominální délky pásma, přesnost měření teploty pásma, přesnost napínací síly, přesnost určení převýšení konců délky a přesnost zařazení konců pásma do směru. Ze vztahů (5.1) až (5.11) vyjádříme s uvážením parametrů pásma KINEX 22 1150.2 (viz. Tabulka č. 16): l 20 0,006 = 0,001 m m Δl ≤ mci = s 100 mt ≤

mF ≤

mh ≤

m ci s.α

=

m ci n

0,006 = 5°C 100.12.10 − 6

1 l l 3G 2 + E.q 12 F 3

= 11 N

s.mci h

- 93 (161) -


Z tohoto vztahu lze pro známé h vypočítat přesnost stanovení převýšení mh, nebo při zvoleném mh stanovit mezní hodnotu h, kdy lze ještě měřit šikmou vzdálenost a převádět ji na vodorovnou, aby byla dodržena požadovaná přesnost. (Je-li mezní h menší než skutečné h, je třeba měřit vzdálenost při vodorovném pásmu a oba konce provažovat). Uvážíme-li, že budeme zařazovat konce pásma do přímky s chybou mδ, pak n

mezní hodnota výrazu

∑ (δ i =1

i

− δ i −1 ) = n.t 2mδ = 5.3. 2 mδ . Po dosazení do

vztahu (5.11) získáme n

∑ (δ

2 l

m ci =

i =1

i

− δ i −1 ).mδ =

2 5.3. 2 .mδ mδ l

a z toho vyjádříme mci .20

mδ =

2 2 .5.3

= 0,06 = 0,24 m

Závěr: V případě početní eliminace systematických chyb je třeba k měření používat komparované pásmo, teplotu stačí odhadovat, k napínaní je třeba siloměru, převýšení h stanovit trigonometricky nebo nivelací a konce pásma zařazovat do směru od oka. b) Použijeme-li komparované pásmo, zařazování do směru se provede teodolitem a konce pásma se urovnají do stejné výšky nivelací, bude mc1 = mc5 = mc6 = 0 Z rozboru je třeba stanovit s jakou přesností budeme měřit teplotu a napínat pásmo. mc i ≤

mt ≤

mF ≤

mc

m ci s.α

=

2 =

= 0,009 m

2 0,009 = 7°C 100.12.10 − 6

0,009 5

0,013

.

1 20 20 3.0,1994 2 + 164955.3,375 12.50 3

= 15 N

Závěr: Měření vykonáme komparovaným pásmem, které budeme napínat odhadem, teplotu rovněž určíme odhadem.

- 94 (161) -


Pracovní postup v terénu: 1) Vytyčení předběžné délky v daném směru. 2) Určení skutečné hodnoty této vzdálenosti měřením s požadovanou přesností. 3) Výpočet diference projektované a předběžné vzdálenosti. 4) Vytyčení požadované délky vynesením vypočtené diference. 5) Kontrolní zaměření vytyčené délky a porovnání požadované a dosažené přesnosti.

Rozbor přesnosti po měření: Je-li rozdíl kontrolního měření a vytyčení menší než hodnota ms0 2 . t = 0,014 2 . 2 = 0,04 m považujeme vytyčení za dostatečně přesné a výsledná vytyčená délka je aritmetický průměr obou měření.

5.2

Měření délek elektronickými dálkoměry

Standardy související s měřením délek elektronickými dálkoměry ČSN ISO 8322-8: Určování přesnosti měřících přístrojů, část 8: Elektronické dálkoměry do 150 m ČSN ISO 8322-9: Určování přesnosti měřících přístrojů, část 9: Elektronické dálkoměry do 500 m ČSN ISO 8322-10: Pozemní stavby – Měřické přístroje – Určování přesnosti během používání - část 10: Rozdíl mezi odraznými terči a hranoly pro měření vzdáleností do 150 m Dálkoměry pracují na principu nepřímého měření času šíření elektromagnetického signálu a to na principu měření fázového rozdílu vyslané a přijaté vhodně modulované nosné vlny. (5.15)

2d = c 0τ kde

c0 ... je rychlost šíření světla

τ ... tranzitní čas měřená délka je složena z celého počtu půlvln a doměrku odpovídajícímu fázovému rozdílu původně vyslané a zpětně přijaté odražené vlny (5.16)

- 95 (161) -


d =n

kde

λ 2

+

Δϕ d λ 2π 2

n ... je počet celých půlvln na trase 2d

λ... vlnová délka odpovídající modulační frekvenci Δϕ d ... fázový rozdíl vyslané a přijaté vlny Přesnost dálkoměru (5.17)

md = ±(a + b ppm) kde

a ... je složka střední chyby nezávislá na velikosti měřené délky b ... je složka střední chyby závislá na velikosti měřené délky ppm (zkratka parts per million), neboli 10-6.d

Složka a zahrnuje především zbytkovou tzv. nulovou chybu (zbytkovou chybu určení součtové konstanty), zbytkovou cyklickou chybu. Složka b zahrnuje zbytkové chyby v důsledku nepřesností měření atmosférických podmínek (zejména teploty a atm. tlaku, příp. i relativní vlhkosti) a zbytkové chyby měřící modulační frekvence.

5.2.1

Systematické chyby

1) součtová konstanta - zbytkový rozdíl délky, který je způsoben tím, že optický a elektronický počátek není přesně totožný s centrem přístroje nebo cíle. Součtová konstanta je vždy vázána na soustavu přístroj - odrazný hranol. Součtová konstanta se liší pro různé druhy odrazných hranolů a způsob jejich použití při měření, přičemž hodnota součtové konstanty může nabývat až několik centimetrů. Zanedbání nebo neověření správnosti součtové konstanty vede k hrubým chybám v měření délek. 2) cyklická chyba - chyba projevující se periodicky v rámci jedné vlnové délky. Její hodnota dosahuje max. několika milimetrů. 3) chyba měřící modulační frekvence - má vliv na vlnovou délku modulované vlny. Způsobuje chybu přímo úměrnou měřené délce. Ověření se provádí buď přímo porovnáním frekvence dálkoměru s frekvenčním etalonem v laboratoři nebo zprostředkovaně na kalibrační geodetické základně (etalonu) o známé délce se určí z rozdílů měřených a etalonových délek. 4) vliv nepřesného nasměrování signálu na odrazný systém - optická osa není totožná se směrem dálkoměrného paprsku. Chyba může dosahovat až několika milimetrů až desítek milimetrů. 5) vliv chodu dálkoměru - změna délky způsobená provozem dálkoměru v čase. Např. změna dálkoměrných vlastností způsobená opotřebováním elektronických obvodů (jejich stárnutím), nebo vliv teplotní stálosti, apod. 6) vliv změny vstupního napětí - ovlivnění délky změnou vstupního napětí záležitost stavu napájecí baterie

- 96 (161) -


7) vliv nevhodné síly signálu - regulace síly signálu pro optimální vyhodnocení délky. Vliv vnitřní vlhkosti, resp. nesprávné funkce regulátoru síly signálu 8) vliv nesprávné funkce meteorologického spínače - nastavovací relé nefunguje správně, nebo softwarová chyba zavedení redukcí z atmosféry 9) vliv zahřátí obvodů - může se projevit na úrovni až několika milimetrů v rozdílu délky změřené ihned po zapnutí přístroje oproti délce změřené po několikerém měření délky. 10) vliv atmosférických podmínek - změna rychlosti šíření vlny v nehomogenním prostředí (index lomu prostředí - refrakce, změna rychlosti šíření vlny). Stav prostředí, ve kterém se elm. signál šíří se popisuje prostřednictvím atmosférickém tlaku, teploty a relativní vlhkosti (napětí vodních par). Systematický rozdíl 1 mm v délce 1 km (tj. 1 ppm) způsobí chyba v teplotě 1oC, v atm. tlaku 333 Pa, v tlaku vodních par 2666 Pa. Při vytyčování do vzdálenosti 150 m lze pro rozbory přesnosti uvažovat pouze složku a střední chyby nezávislou na měřené délce. Ověření stavu: 1) je třeba dodržovat pokyny výrobce ohledně používání elektronického dálkoměru 2) ověření konstant dálkoměru kalibračním měřením 3) ověření správné funkčnosti převodu šikmé délky na vodorovnou 4) ověření souososti dálkoměru (zejména u nasazovacích dálkoměrů) 5) ověření správnosti zavádění atmosférických redukcí a geometrických redukcí (součtové PSM konstanty a násobné PPM konstanty) Rozdělení dálkoměrů podle přesnosti měření délek na vzdálenost 1 km Kategorie dálkoměrů

nejmenší rozlišení

střední chyba md

centimetrové

1 mm

> 5 mm+5ppm

půlcentimetrové

1 mm

3 mm+2ppm až 3 mm+5ppm

milimetrové

1 mm až 0,1 mm

< 2 mm+2ppm

5.2.2

Určení součtové konstanty elektronického dálkoměru

Určení nebo ověření součtové konstanty dálkoměru patří mezi nejdůležitější úkony při práci s elektronickými dálkoměry. Ověření součtové konstanty se vykonává na vhodně zvolené základně o třech úsecích.

- 97 (161) -


ai

bi ci Obr. 13

S ohledem na relativně krátké vzdálenosti je každý z měřených úseků ovlivněn součtovou konstantou a platí (5.18)

(ai + PSM) + (bi + PSM) = (ci + PSM) hodnota součtové konstanty PSM se určí ze vztahu (5.19)

PSM =ci - (ai + bi) Úseky realizujeme pomocí 3 stativů zařazených do přímky a trojpodstavcové soupravy. Stativy by měly být zařazeny v přímce s takovou přesností, aby vybočení neovlivnilo určovanou PSM. Poznámka

např. příčné vybočení q=0,10 m, ovlivní měřenou délku 30 m o 0,17 mm (Pythagorova věta), ale délku 6 m o 0,8 mm. Vzhledem k přesnosti měření délky běžným dálkoměrem s milimetrovou přesností je vliv vybočení na úrovni q=0,10 m na vzdálenost 30 m zanedbatelný (pod rozlišovací schopnost dálkoměru) a stačí stativy zařadit do přímky od oka, ovšem pro délku 6 m je vliv již nezanedbatelný a je tedy třeba úměrně zpřesnit zařazení do přímky, aby vliv na délku nebyl větší, než 0,2 mm, stačí tedy zařadit do přímky přesněji, než na 0,05 m (tedy rovněž stačí pečlivě od oka). Měření dílčích délek úseků základny vykonáváme tam i zpět a získáme měřické dvojice. Výsledná hodnota úseku bude určena aritmetickým průměrem z měření tam - zpět, z rozdílů měření tam - zpět vypočteme přesnost. Příklad 5.2

Určete součtovou konstantu PSM elektronického dálkoměru při využití postupu doporučeného výrobcem měřením tří úseků a, b, c. Postup opakujte pro 3 vhodně zvolené délky úseků a, b, c. Vypočtete hodnotu součtové konstanty PSM a její střední chybu. Řešení

pro 1. úsek určíme PSM(1) =c1 - (a1 + b1) měřeno: tam a1′ zpět a1′′ → a1 =

a1′ + a1′′ 2

- 98 (161) -


tam b1′ zpět b1′′ → b1 =

b1′ + b1′′ 2

tam c1′ zpět c1′′ → c1 =

c1′ + c1′′ 2

Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět) d a1 = a1′ − a1′′ d b1 = b1′ − b1′′ d c1 = c1′ − c1′′ střední chyba jednoho měření délky ve dvojici md1′ =

d a21 + d b21 + d c21 2n

d a21 + d b21 + d c21

=

6

přesnost aritmetického průměru dvojice md1 =

md1′ 2

přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md1 m PSM (1) = md1 3 pro 2. úsek určíme PSM(2) =c2 - (a2 + b2) tam a′2 zpět a 2′′ → a 2 =

a ′2 + a 2′′ 2


b2′ + b2′′ 2

tam c2′ zpět c2′′ → c 2 =

c ′2 + c 2′′ 2

Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět) d a2 = a ′2 − a 2′′ d b2 = b2′ − b2′′ d c2 = c 2′ − c 2′′ střední chyba jednoho měření délky ve dvojici md 2′ =

d a22 + d b22 + d c22 2n

=

d a22 + d b22 + d c22 6

přesnost aritmetického průměru dvojice

- 99 (161) -


md 2 =

md 2′ 2

přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md 2 m PSM ( 2 ) = md 2 3 pro 3. úsek určíme PSM(3) =c3 - (a3 + b3) tam a3′ zpět a3′′ → a 3 =

a3′ + a3′′ 2


b3′ + b3′′ 2

tam c3′ zpět c3′′ → c3 =

c3′ + c3′′ 2

Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět) d a3 = a3′ − a3′′ d b3 = b3′ − b3′′ d c3 = c3′ − c3′′ střední chyba jednoho měření délky ve dvojici d a23 + d b23 + d c23

md 3′ =

=

2n

d a23 + d b23 + d c23 6

přesnost aritmetického průměru dvojice md 3 =

md 3′ 2

přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md 3 m PSM ( 3 ) = md 3 3 Výsledná součtová konstanta se získá aritmetickým průměrem z výsledků tří úseků PSM =

PSM (1) + PSM ( 2) + PSM ( 3) 3 mPSM 1 + mPSM 2 + mPSM 3 3 .3 2

mPSM =

2

2

za předpokladu śtejné přesnosti md1 = md 2 = md 3 = md i mPSM = mdi

- 100 (161) -


Poznámka

Hodnotu mdi lze obecně určit ze všech n hodnot rozdílů dvojic měřených délek podle vztahu n

d i2 1 ∑ i =1 mdi = Přístroj: Topcon GTS 211 D, v.č. LG 4565, ev.č. 802 601, ms 2 n = 3mm+2 ppm Výchozí nastavení přístroje: PSM = -30 mm, teplota = 20oC, atm. tlak = 980 hPa Odrazný hranol: Topcon, montáž -30 mm Měřil: N.N. Zapsal: N.N. Dne: 10.2.2005 Místo: FAST, blok B, 2.NP, chodba Podmínky při měření: teplota vzduchu = 20oC, atm. tlak = 980 hPa Měřené úseky a, b = 5 m, 10 m, 15 m 1. úsek tam a1′ = 4,605 m zpět a1′′ = 4,605 m

→ a1 =

a1′ + a1′′ = 4,605 m 2

tam b1′ = 4,462 m zpět b1′′ = 4,462 m

→ b1 =

b1′ + b1′′ = 4,462 m 2

tam c1′ = 9,064 m zpět c1′′ = 9,063 m

→ c1 =

c1′ + c1′′ = 9,064 m 2

Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět) d a1 = a1′ − a1′′ = 0 mm d b1 = b1′ − b1′′ = 0 mm d c1 = c1′ − c1′′ = +1 mm PSM(1) =c1 - (a1 + b1) = 9,064 - (4,605 + 4,462) = -3 mm střední chyba jednoho měření délky ve dvojici md1′ =

d a21 + d b21 + d c21 2n

=

d a21 + d b21 + d c21 6

=

0 2 + 0 2 + 12 = 0,4 mm 6

přesnost aritmetického průměru dvojice md1 =

md1′ 2

=

0,4 2

= 0,3 mm

- 101 (161) -


přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md1 m PSM (1) = md1 3 = 0,3 3 = 0,5 mm

2. úsek tam a 2′ = 9,693 m zpět a 2′′ = 9,692 m

→ a2 =

a 2′ + a 2′′ = 9,692 m 2

tam b2′ = 9,692 m zpět b2′′ = 9,693 m

→ b2 =

b2′ + b2′′ = 9,692 m 2 c 2′ + c ′2′ = 19,382 m 2

tam c ′2 = 19,382 m zpět c ′2′ = 19,382 m → c 2 = Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět) d a2 = a ′2 − a 2′′ = +1 mm d b2 = b2′ − b2′′ = −1 mm d c2 = c ′2 − c 2′′ = 0 mm

PSM(2) =c2 - (a2 + b2) = 19,382 - (9,692 + 9,692) = -2 mm střední chyba jednoho měření délky ve dvojici md 2′ =

d a22 + d b22 + d c22 2n

=

d a22 + d b22 + d c22 6

=

12 + 12 + 0 2 = 0,6 mm 6


md 2′ 2

=

0,4 2

= 0,4 mm

přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md 2 m PSM ( 2 ) = md 2 3 = 0,3 3 = 0,7 mm

3. úsek tam a3′ = 14,597 m zpět a3′′ = 14,597 m → a3 =

a3′ + a3′′ = 14,597 m 2

tam b3′ = 14,515 m zpět b3′′ = 14,515 m → b3 =

b3′ + b3′′ = 14,515 m 2

tam c3′ = 29,112 m zpět c3′′ = 29,111 m → c3 =

c3′ + c3′′ = 29,112 m 2

Rozdíly měřických dvojic (měření tam - zpět)

- 102 (161) -


d a3 = a3′ − a3′′ = 0 mm d b3 = b3′ − b3′′ = 0 mm d c3 = c3′ − c3′′ = +1 mm PSM(3) =c3 - (a3 + b3) = 29,112 - (14,597 + 14,515) = 0 mm střední chyba jednoho měření délky ve dvojici d a23 + d b23 + d c23

md 3′ =

2n

=

d a23 + d b23 + d c23 6

=

0 2 + 0 2 + 12 = 0,4 mm 6


md 3′ 2

=

0,4 2

= 0,3 mm

přesnost určení PSM, všechny tři úseky měřeny se stejnou přesností md 3 m PSM ( 3 ) = md 3 3 = 0,3 3 = 0,5 mm Výsledek: Výsledná součtová konstanta se získá aritmetickým průměrem z výsledků tří úseků PSM =

PSM (1) + PSM ( 2 ) + PSM ( 3) 3 m PSM 1 + m PSM 2 + m PSM 3 2

m PSM =

2

3

2

=

=

(−3) + (−2) + 0 = −1,7 mm = −2 mm 3 0,5 2 + 0,7 2 + 0,5 2 = 0,6 mm 3

Test významnosti změny PSM: mezní hodnota (nejistota) určení PSM (riziko α = 5% )

δ PSM = t m PSM = 2 m PSM = 1,2 mm Je-li PSM > δ PSM přenastavit.

je třeba hodnotu součtové konstanty v přístroji

Správné nastavení součtové konstanty v přístroji pro použitý odrazný hranol má být PSM= -32 mm.

- 103 (161) -

Výškové vytyčovací metody

6


Při vytyčování převýšení nebo výšek se nejčastěji používá metody geometrické nivelace nebo trigonometrické metody.

6.1

Vytyčení výšky nivelací

Podstata úlohy: Místo, kde chceme výškovou úroveň vytyčit, je třeba stabilizovat vhodnou stabilizací (zpravidla běžně dřevěným kolíkem nebo ocelovou tyčí). Od známého výchozího výškového bodu se geometrickou nivelací určí výška horní úrovně předběžné stabilizace (hlavy kolíku, tyče). Vytyčovaná projektovaná výška (výšková úroveň) se určí z rozdílu projektované výšky a zaměřené výšky hlavy stabilizace. Výškový doměrek se realizuje odměřením výškového rozdílu od hlavy stabilizace a případně se rozdíl vypíše. Přístrojové vybavení: nivelační přístroj potřebné třídy přesnosti, 2 nivelační latě, 2 podložky, svinovací či skládací dvoumetr, milimetrové měřítko

Obr. 14

Označení veličin: HA - výška výchozího výškového bodu H - vytyčovaná výška H' - výška předběžné stabilizace v - rozdíl projektované a zaměřené výšky předběžné stabilizace Výchozí data: výška výchozího bodu HA vytyčovaná (projektovaná) výška H Rozbor přesnosti: střední chyba vytyčené výšky - 105 (161) -


(6.1)

m H2 = m H2 A + m02 Rkm + mv2

kde m0 je jednotková střední kilometrová chyba použité třídy nivelace a Rkm je délka nivelačního pořadu dosazená v jednotkách [km]. Pro kratší pořady s menším počtem sestav (zpravidla Rkm < 0,5) je lépe použít pro výpočet přesnosti výšky vzorec (6.2)

m H2 = m H2 A + nmh2i + mv2

kde n je počet nivelačních sestav v jednom směru měření a mhi je střední chyba jedné sestavy. Pro jednotlivé třídy nivelace platí a) VPN

mhi = 0,1 − 0,3 mm , což odpovídá m0 = 0,4 − 0,8 mm

b) PN

mhi = 0,6 − 1,6 mm , což odpovídá m0 = 2,0 − 5,0 mm

c) TN

mhi > 2 mm , což odpovídá m0 ≥ 5 mm

Měření výšek v bodových polích upravuje detailně "Instrukce pro práce ve výškových bodových polích" (ČÚGK 984 130 I/81, Praha 1981), při vytyčování stavebních objektů ČSN 73 0421, ČSN 73 0422 nyní nahrazených ČSN 73 0420-2. Rozbor přesnosti při měření: Posuzují se dosažené odchylky dvojí nivelace (rozdíly měření tam a zpět) podle kritéria (6.3)

ρ i ≤ 2m0 Rkm = 2mh n i

nebo odchylky v uzávěrech nivelačních polygonů (6.4)

ϕ i ≤ m0 Rkm = mh n i

Jinak se též používá kritérií uvedených v nivelační instrukci. Rozbor přesnosti po měření: počítá se empirická střední kilometrová chyba (6.5)

m0 = 0,5

1 n ρ i2 ∑ n i =1 Ri

kde ρi jsou odchylky dvojí nivelace (tam a zpět).

- 106 (161) -


Příklad 6.1

Výška stabilizace hlavního výškového bodu (HVB) na staveništi se určuje metodou přesné nivelace přístrojem Zeiss Ni 007 se střední kilometrovou chybou m0 = 1,0 mm. Vypočtěte očekávanou střední chybu určení výšky, jeli výška výchozího bodu známa s přesností mH A = 1 mm a délka nivelačního pořadu je 620 m. Řešení

Střední chyba výšky podle (6.1)při zanedbání posledního členu m H2 = m H2 A + m02 Rkm = 0,0012 + 0,0012.0,62 = 1,62.10 −6 m 2

m H = 0,0013 m = 1,3 mm Příklad 6.2

Stanovte střední chybu výškového rozdílu vytyčovaného technickou nivelací. Vytyčuje se nivelačním pořadem o pěti sestavách a střední chyba realizace (odměření rozdílu projektované a naměřené hodnoty) je mv=2 mm Řešení

Střední chyba vytyčeného výškového rozdílu podle (6.2) s vypuštěním prvního členu je m H2 = nmh2i + mv2 = 5.2 2 + 2 2 = 24 mm 2

m H = 5 mm Poznámka

Při výškovém vytyčování někdy nelze pro nedostatek místa dodržet zásadu stejně dlouhých záměr vzad a vpřed. I při pečlivé rektifikaci je pak třeba uvažovat nerovnoběžnost záměrné přímky a osy nivelační libely (kompenzátoru) - šikmost horizontu odchylka se určí ze vztahu o = (s v − s z )ϕ kde ϕ je úhel sklonu záměrné, který se určí zkouškou nivelačního přístroje. Výsledné naměřené převýšení nebo vytyčované čtení na lati vpřed se opraví o korekci o.

Obr. 15

- 107 (161) -


6.2

Trigonometrické vytyčení výšky bodu

Podstata metody: Trigonometricky se určí výška předběžné stabilizace vytyčovaného bodu. Projektovaná výška se vyznačí odměřením vypočteného rozdílu, popřípadě se rozdíl vypíše. Přístrojové vybavení: Teodolit potřebné třídy přesnosti popř. elektronický dálkoměr, záměrný terč, odrazný hranol, milimetrové měřítko, nivelační lať, olovnice.

Obr. 16

Označení veličin: i – výška teodolitu nad stabilizační značkou, v – výška cíle nad stabilizační značkou, s – vzdálenost přístroje a cíle, h – převýšení (tj. rozdíl výšky klopné osy dalekohledu teodolitu popř. dálkoměru a výšky cílové značky), HA – výška stanoviska, H – vytyčovaná výška,

ΔH – výškový rozdíl H – HA, k – refrakční koeficient (střední hodnota k = 0,13), R – poloměr Země (střední hodnota R = 6,37.106 m), z – zenitový úhel záměry.

- 108 (161) -


Výchozí data: výška stanoviska HA, vytyčovaná (projektovaná) výška H Výpočet výšky vytyčovaného bodu: s ≤ 100 m

a)

(6.6)

H = H A + s. cot g z + i − v

b)

s > 100 m (6.7)

H = H A + s. cot g z +

s 2 (1 − k ) +i−v 2.R sin 2 z

Rozbor přesnosti: Střední chyba vytyčované výšky: a) s ≤ 100 m m =m 2 H

b)

2 HA

s2 + cot g z.m + m z2 + mi2 + mv2 4 sin z 2

2 s

s > 100 m (6.8)

m H2 = m H2 A + cot g 2 z.m s2 +

s4 s2 2 + mk2 + mi2 + mv2 m z 4 2 4 sin z 4 R sin z

(

)

relativní střední chyba vytyčované výšky m H A = 0 : a) s ≤ 100 m (6.9)

m H2 = cot g 2 z . m s2 +

s2 m z2 + mi2 + mv2 4 sin z

b) s > 100 m (6.10)

m H2 = cot g 2 z . m s2 +

s4 s2 2 + mk2 + mi2 + mv2 m z 4 2 4 sin z 4 R sin z

Poznámka

Výšku přístroje i je možné určovat a) přímým odměřením výšky klopné osy přístroje nad stabilizační značkou výchozího bodu pásmem, svinovacím dvoumetrem nebo nivelační latí – pak je mi = 2 – 5 mm,

- 109 (161) -


b) vodorovnou záměrou (v obou polohách dalekohledu) na nivelační lať postavenou na nivelačním bodě – pak je mi = 0,5 mm. (Pří přesnějších pracích je však třeba dbát na nebezpečí systematické chyby z diference počátku laťové stupnice a patky latě).

Obr. 17

Výpočet výškového rozdílu dvou bodů (Obr. 17): a)

s ≤ 100 m (6.11)

ΔH 1, 2 = H 2 − H 1 = s 2 cot g z 2 − s1 cot g z1 + v1 − v 2 b)

s > 100 m (6.12)

ΔH 1, 2 = H 2 − H 1 = s 2 cot g z 2 − s1 cot g z1 +

s12 ⎞ 1 − k ⎛ s 22 ⎟ + v1 − v 2 ⎜⎜ 2 − 2 R ⎝ sin z 2 sin 2 z1 ⎟⎠

Rozbor přesnosti: Střední chyba výškového rozdílu dvou bodů: a) s ≤ 100 m (6.13)

mΔ2H 1, 2 = cot g 2 z1ms21 + cot g 2 z2 ms22 +

s12 s22 2 m + mz2 + 2mv2 z sin 4 z1 1 sin 4 z2 2

b) s > 100 m (6.14) mΔ2H1, 2 = cot g 2 z1ms21 + cot g 2 z 2 ms22 +

2 1 4

2 2 4

s s 1 mz2 + mz2 + sin z1 1 sin z 2 2 4 R 2

⎛ s ⎞ 2 s ⎜⎜ ⎟⎟mk + 2mv2 + sin z sin z 1 2 ⎠ ⎝ 4 1 4

Zjednodušující předpoklady: m s1 = m s2 = m s , m z1 = m z2 = m z (stejná přesnost měření délek a stejná přesnost měření úhlů)

- 110 (161) -

4 2 4


a) s ≤ 100 m (6.15)

⎛ s2 s 22 ⎞ 2 ⎟⎟m z + 2mv2 mΔ2H1, 2 = (cot g 2 z1 + cot g 2 z 2 )m s2 + ⎜⎜ 14 + 4 ⎝ sin z1 sin z 2 ⎠

b) s > 100 m (6.16)

⎛ s2 s 22 ⎞ 2 1 ⎟m z + m Δ2H1, 2 = cot g 2 z1 + cot g 2 z 2 m s2 + ⎜⎜ 14 + 4 ⎟ 4R 2 ⎝ sin z1 sin z 2 ⎠

(

)

⎛ s14 s 24 ⎞ 2 ⎜ 4 + ⎟mk + 2mv2 4 ⎜ sin z sin z 2 ⎟⎠ 1 ⎝

Poznámka

Při měření výškových rozdílů se neuplatní vliv výšky přístroje i (není třeba ji měřit). Pokud se měří přímo na stabilizační značky, odpadá poslední člen vyjadřující vliv chyby v odměření výšky cíle nad značkou. Příklad 6.3

Vypočtěte očekávanou střední chybu trigonometrického vytyčení výšky bodu P na vzdálenost s = 520 m, pod zenitovým úhlem z = 93,333g. Vytyčuje se teodolitem THEO 010 (mz = 8cc), střední chyba v určení refrakčního koeficientu mk = 0,05, střední chyba v určení délky ms = 0,03 m, střední chyba výchozí výšky a střední chyby odměření výšek přístroje a cílové značky mi = mv = 3 mm. S jakou úhlovou přesností by bylo třeba vytyčovat, aby byla dodržena mezní chyba výšky δH = 15 mm ? Řešení

1) střední chyba vytyčované výšky podle (6.4): 82 520 4 520 2 + 0,05 2 + 2.0,003 2 = . 2 2 10 2 12 4.6,4 .10 0,995 6,4 .10 −5 −6 + 4,36.10 + 1,15.10 + 1,8.10 −5 = 7,67.10 −5 m 2

m H2 = 0,002 2 + 0,105 2.0,03 2 +

= 4.10 −6 + 9,94.10 −6

m H = 0,088 m = 8,8 mm

2) střední chyba mz při požadavku δH = 15 mm m H = δ H / t = 15 / 2 = 7,5 mm 4 ⎛ s4 2 2 2 ⎞ sin z ⎟ − − = m z2 = ⎜⎜ m H2 − m H2 A − cot g 2 z . m s2 − m m m k i v ⎟ 2 4 R 2 sin 4 z ⎝ ⎠ s

(

= 5,625.10 −5 − 3,309.10 −5

,995 ) 0520 2

4

= 0,839.10 −10 rad 2 ⇒ m z = 9,16.10 −6 rad = 5,8 cc

- 111 (161) -


Příklad 6.4

Stanovte očekávanou střední chybu trigonometricky měřeného výškového rozdílu dvou bodů P1, P2. Vzdálenost těchto bodů od stanoviska teodolitu jsou s1 = 67 m, s2 = 92 m a jejich záměry mají sklony z1 = 116,032g, z2 = 80,542g. Měří se teodolitem THEO 010B (mz=6cc) tak, že se cílí přímo na stabilizační značky obou bodů. Obě vzdálenosti byly určeny se stejnou střední chybou ms = 6 mm. Řešení

Střední chyba výškového rozdílu podle zjednodušeného vztahu (6.11) : m

2 ΔH1, 2

⎛ s12 s 22 ⎞ 2 ⎟⎟m z = ⎜ = (cot g z1 + cot g z 2 )m + ⎜ 4 + 4 z z sin sin 1 2 ⎠ ⎝ 2

2

2 s

⎛ 67 2 92 2 ⎞ 62 ⎟ = 5,97.10 −6 + 1,36.10 −6 = 7,33.10 −6 m 2 = − 0,257 2 + 0,316 2 0,006 2 + ⎜⎜ + 4 4 ⎟ 2 10 0 , 97 0 , 95 6 , 4 . 10 ⎠ ⎝

(

)

mΔH1, 2 = 0,0027 m = 2,7 mm

Trigonometrické určování posunů Svislé posuny pozorovaného bodu se počítají jako algebraické rozdíly trigonometrických výšek určených v jednotlivých etapách (intervalech) měření. Uvažuje se měření z téhož výchozího (stanoviskového) bodu za stejných podmínek a se stejnou přesností (viz. Obr. 18).

(

dH i , j = − s.dz i , j 1 + cot g 2 z

)

kde dz = z j − z i je změna zenitového úhlu. Střední chyba svislého posunu:

(

)

2

2 mdH = 2s 2 1 + cot g 2 z m z2 i, j

Obr. 18

- 112 (161) -


Příklad 6.5

V situaci, kterou uvádí Příklad 6.3, bude použito metody trigonometrického měření výšek pro sledování svislých posunů pozorovaného bodu P. Vypočtěte požadovanou střední chybu zenitového úhlu mz, má-li být mezní chyba svislého posunu mdH mezi dvěma etapami menší než 5 mm. Stanovte též potřebný počet skupin měření teodolitem THEO 010B (mz v jedné skupině je 6cc). Řešení

Střední chyba svislého posunu podle vzorce (6.14):

(

)

2

2 mdH = 2s 2 1 + cot g 2 z m z2

odtud m z2 =

(

2 mdH

2 s 1 + cot g z 2

2

)

2

=

0,005 2

(

2.520 1 + 0,105 2

)

2 2

= 0,452.10 −10 rad 2

m z = 6,72.10 −6 rad = 4,3cc Potřebný počet skupin n=

m z2(o ) m z2

62 = = 1,9 ⇒ 2 skupiny 4,3 2

Optimální podmínky měření, zvláštnosti úlohy: Metoda trigonometrického měření výšek se výhodně používá tehdy, jsou-li vytyčované body obtížně přístupné nebo je-li nivelace neekonomická (velké výškové rozdíly na krátké vzdálenosti). Rozbor vzorců pro střední chyby ukazuje, že jak vliv chyby měřené vzdálenosti ms, tak vliv chyby měřeného zenitového úhlu mz je nejmenší při vodorovné záměře (z = 100g). V tomto případě platí pro relativní střední chybu m H2 = s 2 m z2 + mi2 + mv2 při určování výškových rozdílů není třeba měřit výšku přístroje. Poznámka

Ve výše uvedených vzorcích je vliv refrakce uvážen pouze přibližně. Výsledky výzkumu ukazují na značnou proměnlivost hodnoty refrakčního koeficientu k v průběhu dne i v různých ročních obdobích (závislost na okamžitém stavu atmosféry). Proto bývají výsledky trigonometrického měření výšek na větší vzdálenosti méně přesné než vychází podle apriorního rozboru přesnosti.

- 113 (161) -

Vytyčení polohy bodu polárními souřadnicemi

7


Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu se získá vytyčením délky ve stanoveném směru. Tento rozměr se vytyčuje odměřením úhlů od směru daného spojnicí dvou výchozích bodů. Přístrojové vybavení: a) teodolit, pásmo, terč, vytyčka, 2 stativy, olovnice, milimetrové měřítko, b) teodolit, elektronický dálkoměr nebo dálkoměrný teodolit, 2 stativy, terč, vytyčovací rameno, olovnice.

Obr. 19

Označení veličin :

A, B - výchozí body, P - vytyčovaný bod, s - vytyčovaná polární vzdálenost,

α0- orientační směrník, sA,B – délka spojnice výchozích bodů,

ω - vytyčovaný úhel, α- vytyčovaný směrník. Výchozí data : souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, a)

souřadnice vytyčovaného bodu x, y,

b)

vytyčovací prvky s, α nebo ω.

Výpočet vytyčovacích prvků : s, ω

- 115 (161) -


s=

( x − x A )2 + ( y − y A )2

ω = α − α o = arctg

(7.1)

y − yA y − yA − arctg B x − xA xB − x A

(7.2)

Rozbor přesnosti: střední chyby jednotlivých souřadnic

(

)

mx2 = mx2A + s 2 sin 2 α mα2 0 + mω2 + cos 2 α

(

ms2

)

m y2 = m y2A + s 2 cos 2 α mα20 + mω2 + sin 2 α

střední souřadnicová chyba

(

mx2, y = 0,5 mx2A + m y2A + s 2 mα20 + ms2 + s 2 mω2

m s2

(7.3)

)

(7.4)

Tyto vzorce se použijí, známe-li střední chybu orientačního směrníku mα0 . Zjednodušení modelu úlohy:

Obr. 20

a) 20)

osa x souřadnicové soustavy vložena do spojnice výchozích bodů (Obr.

střední chyby jednotlivých souřadnic m x2 = m x2A +

(

)

s2 sin 2 ω m y2A + m y2B + s 2 sin 2 ω s A2 , B

mω2 + cos 2 ω

m s2

(7.5)

2

⎛ ⎞ s s2 m y2 = ⎜1 − cos ω ⎟ m y2A + 2 cos 2 ω ⎜ s ⎟ s A, B A, B ⎝ ⎠

m y2B + s 2 cos 2 ω

mω2 + sin 2 ω

m s2

střední souřadnicová chyba m

2 x, y

⎡ 2 ⎤ s s 2 ⎞⎟ 2 s 2 2 ⎛⎜ = 0,5⎢m x A + 2 m y B + 1 − 2 cos ω + 2 m y A + s 2 mω2 + m s2 ⎥ ⎜ s A, B s A, B ⎟⎠ s A, B ⎝ ⎣⎢ ⎦⎥

- 116 (161) -

(7.6)


b)

souřadnicová soustava ad a) m x A = m xB = m y A = m y B = m x , y( A )

(stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů) střední chyby jednotlivých souřadnic

⎛ 2s 2 ⎞ m = ⎜⎜1 + 2 sin 2 ω ⎟⎟m x2, y( A ) + s 2 sin 2 ω ⎝ s A, B ⎠ 2 x

mω2 + cos 2 ω

ms2

⎛ ⎞ 2s 2s 2 cos ω + 2 cos 2 ω ⎟m x2, y( A ) + s 2 cos 2 ω m y2 = ⎜1 − ⎜ s ⎟ s A, B A, B ⎝ ⎠

(7.7)

mω2 + sin 2 ω

m s2

střední souřadnicová chyba m

2 x, y

⎛ s s2 ⎜ = 1− cos ω + 2 ⎜ s s A, B A, B ⎝

⎞ 2 ⎟m x , y + 0,5( m s2 + s 2 mω2 ( A) ⎟ ⎠

) (7.8)

c) m x A = m xB = m y A = m y B =0 (bezchybné souřadnice výchozích bodů) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic m x2 = s 2 sin 2 ω

mω2 + cos 2 ω

m s2

m y2 = s 2 cos 2 ω

mω2 + sin 2 ω

m s2

(7.9)

kovariance m xy = − s 2 sin ω cos ω

mω2 + sin ω cos ω

m s2

(7.10)

relativní střední souřadnicová chyba

(

m x2, y = 0,5 m s2 + s 2 mω2

)

(7.11)

d) střední příčná a podélná chyba (relativní) relativní střední podélná chyba

ml = ms

relativní střední příčná chyba

mq=s mω

(7.12)

Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Polární metoda je nejčastější a nejhospodárnější způsob vytyčení na stavbách. Kvalita vytyčování závisí zejména na přesnosti odměřování vzdálenosti. Pásma využíváme pro vytyčování vzdálenosti do jednoho kladu pásma. Paralaktické měření délek nachází uplatnění zejména při krátkých vzdálenostech s vysokými požadavky na přesnost. Nejčastěji se však polární metodou vytyčuje pomocí moderních elektronických dálkoměrů a teodolitů, kdy jejich nasazení značně rozšiřuje dosah této metody, prakticky bez vlivu na přesnost vytyčení polohy bodu. Při přesnějším polárním vytyčení postupujeme obdobně jako při

- 117 (161) -


přesném vytyčení úhlů nebo délek, tj. nejdříve se vytyčí předběžná poloha, která se dále zpřesní pomocí vypočtených posunů. Příklad 7.1

Z bodu 40 základní vytyčovací sítě s orientací na bod 27 vytyčte polární metodou bod č. 3 s mezní souřadnicovou chybou δx,y= 0,025 m. Rozbory přesnosti vykonejte a) s uvážením vlivu vytyčovací sítě, je-li mx,y(A)= 0,009 m b) bez uvážení vlivu vytyčovací sítě Výchozí data :

souřadnice bodů ZVS

souřadnice vytyčovaného bodu

x40=

3 178,02 m

y40=

1 112,59 m

x27=

3 225,13 m

y27=

1 072,11 m

x3 =

3 205,77 m

y3 =

1 131,12 m

Řešení

1) výpočet vytyčovacích prvků ω, s ze vztahů (7.1) , (7.2) a výpočet spojnice výchozích bodů s40,27: ω = α- α0 = 37,4810 – 354,8096 = 82,6714g s=

(x3 − x40 )2 + ( y3 − y40 )2

s40, 27 =

= 33,368 m

(x27 − x40 )2 + ( y27 − y40 )2

= 62,113 m

2) Rozbor přesnosti před měřením Kontrolní měření bude vykonáno stejným způsobem se stejnou přesností a se stejnými pomůckami a bude zahrnuto do vytyčení. Střední souřadnicová chyba vytyčovaného bodu má být mx,y = δx,y / t = 0,025 / 2,5 = 0,01 m a) s uvážením vlivu stabilizace vyjádříme ze vztahu (7.8)

⎛ s s2 cos ω + 2 m s2 + s 2 mω2 = 2m x2, y − 2⎜1 − ⎜ s s A, B A, B ⎝

⎞ 2 ⎟m x , y ( A) − m st2 = 0,136 .10 − 4 m 2 ⎟ ⎠

Při zvolené zásadě stejného vlivu (stejně velká příčná i podélná chyba) je m s2 = s 2 mω2 = 0,5 . 0,136 .10 −4 m 2 = 6,82 .10 −6 m 2 a tedy m s = 6,82 .10 −6 = 0,0026 m = 2,6 mm

- 118 (161) -


mω = ρ

6,82 .10 −6 6,82 .10 −6 5 = = 50 cc 6 , 4 . 10 s2 33,368 2

Jelikož výsledná poloha bodu 3 bude aritmetický průměr z vytyčení a kontrolního zaměření, bude střední chyba jednoho vytyčení m s0 = m s 2 = 3,7 mm mω0 = mω 2 = 71cc

Závěr: pro vytyčení nám bude stačit vytyčovat s běžným typem elektronického dálkoměru. Pomůcky a přístroje: vhodný elektronický dálkoměr,3 stativy, terč, hranol, optický centrovač, pásmo, milimetrové měřítko, 2 trojnožky

b) bez uvážení vlivu chyb vytyčovací sítě Ze vztahu (5.11) při uvážení chyby stabilizace vytyčeného bodu vyjádříme m s2 + s 2 mω2 = 2m x2, y − m st2 = 1,99 .10 −4 m 2

Při aplikaci zásady stejného vlivu získáme (tzn. za předpokladu stejné příčné i podélné chyby) m s2 = s 2 mω2 = 0,5(2m x2, y − m st2

) = 0,995 .10 −4

m2

a tedy m s = 0,995 .10 −4 = 0,01 m mω = ρ

0,995 .10 −4 0,995 .10 −4 5 6 , 4 . 10 = = 1c 90 cc 2 2 s 33,4

Střední chyba jednoho vytyčení (kontrolního zaměření) je m s0 = m s 2 = 0,01 2 = 0,014 m mω0 = mω 2 = 1.9 2 = 2 c 70 cc

Závěr: pro vytyčení nám bude stačit vytyčovat s běžným typem elektronického dálkoměru. Pomůcky a přístroje: vhodný elektronický dálkoměr,3 stativy, terč, hranol, optický centrovač, pásmo, milimetrové měřítko, 2 trojnožky 3) Pracovní postup v terénu :

- 119 (161) -


- centrace a horizontce terče na výchozím bodě 27 a dálkoměru na bodě 40 - vytyčení předběžné polohy bodu (značka na desce, betonové patce apod.) a jeho pečlivá signalizace a centrace - zaměření vzdálenosti sI a úhlu ωI k předběžně vytyčenému bodu s vykonaným rozborem přesnosti při měřením - výpočet příčného a podélného posunu

(

qI = s ω −ωI

)

l I = s − sI

,

- zpřesnění polohy bodu realizací příčného, podélného posunu - nové zaměření úhlu ωII a délky sII k této poloze (rozbor přesnosti při měření) - výpočet nových posunů

(

q II = s ω − ω II

)

,

l II = s − s II

definitivní realizace polohy vytyčením posunů qII/2, lII/2 4) Rozbor přesnosti po měření : Bylo-li vytyčení vykonáno s požadovanou přesností, musí být rozdíl vytyčení a kontrolního zaměření qII a lII v mezích (pro t = 2) Δq max = s mω0 2 t =

a ) 10mm

b) 39mm

- 120 (161) -

Δl max = m s0 2 t =

a) 10mm

b) 39mm

Vytyčení polohy bodu protínáním vpřed

8

Vytyčení polohy bodu pravoúhlými souřadnicemi

Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu se získá vytyčením dvou délek (délky staničení a délky kolmice), které jsou na sebe kolmé. Délka staničení je vytyčována ve směru spojnice výchozích bodů, délka kolmice směřuje vlevo nebo vpravo od této spojnice. Přístrojové vybavení: a) vytyčovací hranol, 2 pásma, 3 vytyčky, olovnice, b) teodolit, 3 stativy, 2 terče, 2 pásma, olovnice, vytyčka.

Obr. 21

Označení veličin:

A, B – výchozí (dané) body, P – vytyčovaný bod, a – délka staničení (úsečky), b – délka kolmice (pořadnice), sA,B – délka spojnice výchozích bodů A, B .

Výchozí data: 1) souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, souřadnice vytyčovaného bodu x, y 2) vytyčovací prvky a, b, sA,B . Výpočet vytyčovacích prvků: a, b

- 121 (161) -


s A, P =

(x − x A )2 + ( y − y A )2

α A, P − α A, B = arctg

y − yA y − yA − arctg B xB − x A x − xA

a = s A, P cos(α A, P − α A, B ) b = s A, P sin (α A, P − α A, B ) Rozbor přesnosti: Obecné vzorce pro přesnost souřadnic bodu určeného metodou pravoúhlých souřadnic jsou složité a pro praxi nevhodné. Vhodnější vzorce se odvozují při zvláštní orientaci vztažné souřadnicové soustavy, kdy osa x je rovnoběžná se spojnicí výchozích bodů. (viz. Obr. 21). Střední chyby jednotlivých souřadnic m x2 = m x2A + ma2 +

⎛ a m = m ⎜1 − ⎜ ss A, B ⎝ 2 y

kde

2 yA

(

)

(

b2 m y2B + m y2A + b 2 mα2 + mω2 2 s A, B

)

(8.1)

2

2 ⎞ ⎟ + a m2 + a 2m2 + m2 α b ⎟ s A2 , B yB ⎠

,

mα je střední chyba v zařazení paty kolmice do spojnice A,B, mω je střední úhlová chyba ve vytyčení pravého úhlu.

Zjednodušení modelu úlohy: a) m x A = m y A = m xB = m yB = m x , y ( A ) (stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů) Střední chyby jednotlivých souřadnic

⎛ 2b 2 m x2 = ⎜⎜1 + 2 ⎝ s A, B

⎞ 2 ⎟m x , y ( A ) + ma2 + b 2 (mα2 + mω2 ) ⎟ ⎠

(8.2)

⎛ 2a 2a 2 ⎞⎟ 2 + 2 ⎟m x , y ( A ) + mb2 + a 2 mα2 m y2 = ⎜⎜1 − ⎝ s A, B s A, B ⎠ Střední souřadnicová chyba

⎛ a2 + b2 a − m x2, y = ⎜⎜1 + 2 s A, B s A, B ⎝

⎞ 2 ⎟m x , y ( A ) + 1 ma2 + mb2 + (a 2 + b 2 )mα2 + b 2 mω2 ⎟ 2 ⎠

[

]

(8.3) (První části výrazů pro střední chyby vyjadřují vliv přesnosti výchozích bodů, druhé části pak vliv vlastního vytyčení). b) m x A = m y A = m xB = m yB = m x , y ( A )

- 122 (161) -

,

ma = mb = ms

,

mα = mω


(stejné přesnosti všech souřadnic výchozích bodů, stejná přesnost úhlového i délkového vytyčení)

⎛ 2b 2 m x2 = ⎜⎜1 + 2 ⎝ s A, B

⎞ 2 ⎟m x , y ( A ) + ms2 + 2b 2 mω2 ⎟ ⎠

(8.4)

⎛ 2a 2a 2 ⎞⎟ 2 m y2 = ⎜⎜1 − + 2 ⎟mx , y ( A ) + ms2 + a 2 mω2 ⎝ s A, B s A, B ⎠ Střední souřadnicová chyba (8.5)

m

2 x, y

⎛ a2 + b2 a = ⎜⎜1 + 2 − s A, B s A, B ⎝

⎞ 2 ⎟m x , y ( A ) + 1 2ms2 + a 2 + 2b 2 mω2 ⎟ 2 ⎠

[

c) m x A = m y A = m xB = m yB = 0

,

(

) ]

ma = mb = ms

,

mα = mω = mω

(bezchybné souřadnice výchozích bodů, stejná přesnost délkového vytyčení a stejná přesnost zařazení paty kolmice a vytyčení pravého úhlu) Střední chyby jednotlivých souřadnic (relativní) (8.6)

m x2 = ms2 + 2b 2 mω2 m y2 = ms2 + a 2 mω2

Střední souřadnicová chyba (relativní) (8.7)

m x2, y =

[

(

) ]

1 2ms2 + a 2 + 2b 2 mω2 2

Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Tato metoda se používá pro vytyčení běžné přesnosti v přehledném rovinatém území. Vytyčení pravého úhlu a zařazení paty kolmice do spojnice výchozích bodů se provádí většinou pentagonem, pouze ve výjimečných případech teodolitem. Metoda je výhodná tehdy, jsou-li kolmice co nejkratší. Příklad 8.1

Dle uvedeného vytyčovacího náčrtu (Obr. 22) vytyčte metodou pravoúhlých souřadnic objekt budovy. Odchylka v poloze vytyčených bodů nemá překročit mezní souřadnicovou chybu δx,y=0,06m. Střední souřadnicová chyba bodů 37, 38 vytyčovací sítě je mx,y(A)=0,015 m. Rozbory přesnosti vykonejte a) s uvážením vlivu chyb výchozích bodů, b) bez vlivu chyb vytyčovací sítě .

- 123 (161) -


Uvažujte, že vytyčené body budou stabilizovány se střední chybou mst=0,005 m.

Obr. 22

Řešení

Rozbory přesnosti vykonáme pro nejméně příznivý případ, tj. pro nejvzdálenější bod (s největším staničením i kolmicí), v našem případě pro bod 3 (a=22,25 m, b=17,95 m).Cílem rozboru přesnosti je stanovit potřebnou přesnost mω a ms. Uvažujme, že dosáhneme stejnou přesnost úhlového zařazení paty kolmice a vytyčení pravého úhlu a také délky budou vytyčeny se stejnou přesností (mα = mω, ma = mb = ms). Požadovaná střední souřadnicová chyba vytyčení mx, y = a)

δ x, y t

=

0,06 = 0,03 m 2

s uvážením vlivu stabilizace vyjádříme ze vztahu (8.5)

(

2ms2 + a 2 + 2b 2

) mρ

2

ω 2

⎛ a2 + b2 a + mst2 = 2m x2, y − 2⎜⎜1 + 2 − s A, B s A, B ⎝

⎞ 2 ⎟m x , y ( A ) = ⎟ ⎠

⎛ 22,25 2 + 17,95 2 22,25 ⎞ ⎟⎟.0,015 2 = 0,0014 = 2.0,03 − 2⎜⎜1 + − 2 49,05 ⎠ 49,05 ⎝ 2

S uvážením zásady stejného vlivu je

(

2ms2 = a 2 + 2b 2

) mρ

2

ω 2

=

0,0014 − mst2 2

- 124 (161) -


ms =

0,0014 − 0,005 2 = 0.019 m 2.2

(

ρ2

)

2

0,0014 − mst2 6,3.10 3 0,0014 − 0.005 2 mω = . . = = 4 c 95cc 2 2 2 2 a + 2b 2 22,25 + 2.17,95 2

b) s uvážením chyby stabilizace vytyčovaného bodu vyjádříme ze vztahu (8.7)

(

2ms2 + a 2 + 2b 2

) mρ

2

ω 2

= 2m x2, y − mst2 = 0,0018

Podle zásady stejného vlivu je 2ms2 = (a 2 + 2b 2 ) ms =

mω2

ρ

2

=

0,0018 = 0,0009 2

0,0009 = 0,02 m 2

mω =

ρ2 a 2 + 2b 2

.0,0009 =

(6,3.10 )

3 2

22,25 2 + 2.17,95 2

.0,0009 = 5 c18 cc

Závěry: V obou případech lze pro vytyčení délek použít pásmo, k vytyčení pravého úhlu pentagon (přesnost vytyčení úhlu pentagonem uvádí výrobce mω = 1- 2c). Kontrola vytyčení: Správnost vytyčení ověříme kontrolním zaměřením vzdáleností mezi vytyčenými body. Střední chyba vzdálenosti vypočtené ze souřadnic bodu je dána vztahem ms = m x , y 2 = 0,03. 2 = 0.04 m. Mezní odchylka kontrolní délky je tedy

δ s = ms . t = 0,04.2 = 0.08 m Je-li mezní chyba délkového měření 2 cm, nesmí se projektovaná a měřená délka lišit více než 6 cm.

- 125 (161) -


9


Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu se získává jako průsečík dvou orientovaných směrů vytyčovaných ze dvou výchozích bodů, mezi nimiž je nebo není možná vzájemná orientace. Přístrojové vybavení: 2 teodolity potřebné třídy přesnosti, záměrný terč, milimetrové měřítko.

Obr. 23


A , B - výchozí (dané) body, P

- vytyčovaný bod,

ωA, ωB- protínací úhly, sA, sB - délky protínacích paprsků, αA, αB - směrníky stran sA, sB, z

- délka protínací základny .

Výchozí data : souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, souřadnice vytyčovaného bodu

x, y

Výpočet vytyčovacích prvků : ωA (úhel PAB), ωB (úhel ABP)

ω A = α A, B − α A = arctg

y − yA yB − y A − arctg x − xA xB − x A

ω B = α B − α B , A = arctg

y − yB y − yB − arctg A x − xB x A − xB

- 127 (161) -


Rozbor přesnosti : Obecné vzorce pro přesnost souřadnic bodu určeného protínáním vpřed jsou komplikované a pro praktické použití nevhodné. Obvykle se používá zjednodušení. Zjednodušení modelu úlohy : a) m x A = m xB = m x ( A )

, m y A = m yB = m y ( A )

, mα A = mα B = mα

(stejná přesnost jednotlivých souřadnic výchozích bodů, stejná přesnost vytyčovaných směrů) střední chyby jednotlivých souřadnic (9.1) m x2 =

m y2 =

(sin

2

α A cos α B + cos α A sin α B )m 2

2

2

2 x( A)

(

+ 2 cos α A cos α B m 2

2

sin 2 (α A − α B )

)

2 y ( A)

(

)

+ s cos α B + s B2 cos 2 α A mα2 2 A

2

(

)

2 sin 2 α A sin 2 α B m x2( A ) + cos 2 α A sin 2 α B + sin 2 α A cos 2 α B m y2( A ) + s A2 sin 2 α B + s B2 sin 2 α A mα2 sin 2 (α A − α B )

střední souřadnicová chyba

m

2 x, y

(sin =

(9.2)

2

α A + sin 2 α B )m x2( A ) + (cos 2 α A + cos 2 α B )m y2( A ) + (s A2 + s B2 )mα2 sin 2 (α A − α B )

b) m x A = m y A = m xB = m yB = 0 ; mα A = mα B = mα (bezchybné souřadnice výchozích bodů, stejná přesnost vytyčovaných směrů) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (9.3)

m x2 =

s A2 cos 2 α B + s B2 cos 2 α A 2 mα sin 2 (α A − α B )

m y2 =

s A2 sin 2 α B + s B2 sin 2 α A 2 mα sin 2 (α A − α B )

kovariance (9.4)

s A2 sin α B cos α B + s B2 sin α A cos α A 2 m xy = mα sin 2 (α A − α B ) relativní střední souřadnicová chyba (9.5)

m x2, y =

s A2 + s B2 mα2 2 2 sin (α A − α B )

- 128 (161) -


Jiný tvar těchto vzorců (při použití vytyčovacích úhlů ωA, ωB a při speciální orientaci souřadnicové soustavy – osa y rovnoběžná s protínací základnou – Obr. 24): relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (9.6)

(

)

s A2 sin 2 ω B + s B2 sin 2 ω A 2 s A4 + s B4 2 z 2 sin 4 ω A + sin 4 ω B 2 mω = mω m = mω = sin 2 (ω A − ω B ) sin 4 (ω A − ω B ) z2 2 x

m y2 =

(

)

s A2 cos 2 ω B + s B2 cos 2 ω A 2 z 2 sin 2 ω A cos 2 ω A + sin 2 ω B cos 2 ω B 2 mω = mω sin 2 (ω A − ω B ) sin 4 (ω A − ω B )

kovariance (9.7)

m xy = −

s A2 sin ω B cos ω B + s B2 sin ω A cos ω A 2 mω sin 2 (ω A − ω B )

Obr. 24

relativní střední souřadnicová chyba (9.8)

m x2, y =

(

)

(

)

s A2 + s B2 z 2 sin 2 ω A + sin 2 ω B 2 2 s A2 s B2 s A2 + s B2 2 m m = = ω ω 2 sin 2 (ω A − ω B ) 2 sin 4 (ω A − ω B ) 4s A2 s B2 − s A2 + s B2 − z 2

c) m x A = m y A = m xB = m yB = m x , y ( A )

(

)

2

; mα A = mα B = 0

(stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů, bezchybné protínací úhly) střední chyby jednotlivých souřadnic (9.9)

m x2 =

cos 2 α A + cos 2 α B 2 mx, y ( A) sin 2 (α A − α B )

- 129 (161) -

mω2


m y2 =

sin 2 α A + sin 2 α B 2 mx, y ( A) sin 2 (α A − α B )

střední souřadnicová chyba (9.10)

m x2, y =

m x2, y ( A )

sin 2 (α A − α B )

Optimální podmínky pro vytyčení, zvláštnosti úlohy: Metoda vytyčování protínáním vpřed je poměrně přesná a rychlá, pro hospodárnou práci je však nezbytné použít dvou teodolitů a pro snadnější dorozumívání přenosných vysílaček. Pomocník musí být řádně zacvičen, aby nedocházelo ke ztrátám přesnosti při konstrukci průsečíků vytyčovaných směrů. Metoda vyžaduje přehledný plochý terén bez překážek v příslušných sektorech výhledu. Při přesném vytyčení se protínací úhly vytyčují vždy v obou polohách dalekohledu a výsledná poloha se určí jako průměr. V současné době nachází metoda protínání vpřed nejčastější uplatnění při přesných deformačních měřeních. Příklad 9.1

Bod P má být vytyčen protínáním vpřed ze stanovisek A, B. Vypočítejte očekávané střední chyby jednotlivých souřadnic s očekávanou střední souřadnicovou chybou, jsou-li výchozí body a) bezchybné b) určeny se střední souřadnicovou chybou m x,y(A) =20 mm Protínací směry se vytyčují se střední chybou mα=15cc. Souřadnice výchozích směrů :

xA= 5263,460 m

yA= 2350,020 m

xB= 5330,260 m

yB= 2502,880 m

Souřadnice vytyčovaného bodu: x= 5425,300 m

y= 2479,120 m

Řešení

sA = 207,0 m

α A = arctg

sB = 98,0 m

129,10 = 42,8660 g 161,84

α B = arctg

− 23,76 = 384,4042 g 95,04

α A − α B = 42,8660 − 384,4042 = 58,4618 g a) m x,y(A) = 0 4,03.10 4 + 0,59.10 4 152 m = . = 0,41.10 −4 m 2 12 0,63 0,405.10 2 x

m y2 =

0,25.10 4 + 0,37.10 4 152 . = 5,5.10 −6 m 2 12 0,63 0,405.10

- 130 (161) -


mx2, y =

8,32.10 4 = 0,23.10 −4 m 2 2.0,63

mx= 0,0064 m = 6,4 mm

my= 0,0023 m = 2,3 mm

mx,y= 0,0048 m = 4,8 mm b) mx,y(A) = 0,020 m z = 166,9 m mx2 = 1,88.4.10 −4 + 0,41.10 −4 = 7,94.10 −4 m 2 m y2 = 1,88.4.10 −4 + 5,5.10 −6 = 7,59.10 −4 m 2 mx2, y = 1,88.4.10 −4 + 0,23.10 −4 = 7,76.10 −4 m 2

mx= 0,0282 m = 28,2 mm

my= 0,0275 m = 27,5 mm

mx,y= 0,0279 m = 27,9 mm Z vykonaného rozboru přesnosti je zřejmé, že v tomto případě je vliv přesnosti výchozích bodů daleko větší než vliv přesnosti vlastního protínání, a tedy v druhém rozboru b) se souhrnná střední chyba prakticky rovná střední chybě v poloze výchozích bodů. Příklad 9.2

V pravoúhlé souřadnicové soustavě jsou dány výchozí body (vytyčovací stanoviska) S, A, B, A´, B´. Úkolem je vytyčit metodou protínání vpřed polohu bodu P na koruně přehradní hráze (kružnice o poloměru r=305,70 m se středem v bodě S), který je vzdálen po obvodu hráze od průsečíku s osou x o délku oblouku d = 6,20 m (viz.Obr. 25). Za tím účelem vypočtěte : 1.

vytyčovací úhel ωS ze stanoviska S,

2.

pravoúhlé souřadnice x, y vytyčovaného bodu P,

3. vytyčovací úhly ωA,ωB ze stanovisek A, B a dále vytyčovací úhly ωA‘, ωB‘ ze stanovisek A´, B´, 4. vytyčovací přesnost mω úhlů ωA, ωB (resp. ωA´,ωB´), potřebnou pro vytyčení bodu P se střední polohovou chybou mP= 0,015 m. Přitom se uvažuje střední chyba v poloze výchozích bodů mP(A) = 0,004 m a střední polohová chyba ve stabilizaci vytyčení mst = 0,003 m. Zároveň stanovte potřebné počty skupin vytyčení úhlů, použijete-li teodolit THEO 015B, jehož střední chyba úhlu měřeného v jedné skupině mω(sk) = 11cc. Výchozí data: souřadnice výchozích bodů: xS = 0

yS = 0

- 131 (161) -


xA = 247,584 m

yA = -179,317 m

xB = 247,584 m

yB = 179,317 m

xA´= 89,450 m

yA´=-183,430 m

xB´=172,890 m

yB´= 198,150 m

Obr. 25

Řešení

1. vytyčovací úhel ω S = 2.

d 6,2 = = 0,020281 rad = 1,2911g r 305,7

pravoúhlé souřadnice vytyčovaného bodu P

x = r cos ωS = 305,637 m, y = r sin ωS = 6,200 m, a) 3.

vytyčovací úhly ωA, ωB

ω A = −arctg ω B = arctg 4.

x − xA 58,053 = − arctg = −19,3070 g = 380,6930 g y − yA 185,517

x − xB 58,053 = arctg = 20,5982 g yB − y 173,117

sA =194,4 m

sB = 182,6 m

- 132 (161) -

sA,B = z = 358,6 m


Ze vzorce(9.2) při uvážení mX(A) = mY(A) = mX,Y(A) lze odvodit požadovanou střední chybu vytyčovaného směru (včetně vlivu přesnosti stabilizace vytyčení):

mα2 ≤

(m

)

− mst2 sin 2 (α A − α B ) − 2mP2 ( A ) 2 s A2 + sB2

2 P

(

)

Platí ovšem

α A = α A, B + ω A

α B = α B, A + ω B

,

a odtud obecně mω2 = mα2 − mα2 A, B

,

kde mα A , B =

mP ( A )

.

s A, B

Pro vytyčovací úhly ω A , ω B tedy platí mω2 ≤

(m

2 P

)

− mst2 sin 2 (α A − α B ) − 2mP2 ( A )

(

2 s +s

= 1,73.10

2 A

−10

2 B

,

)

−

mP2 ( A ) s

2 A, B

=

(0,015

2

)

− 0,0032 0,344 − 2.0,004 2 0,004 2 − = 2.7,11.10 4 358,6 2

mω ≤ 1,32.10 −5 rad = 8,4cc

Počet skupin vytyčení n=

mω2 ( sk ) mω2

=

112 = 1,7 ⇒ 2 skupiny 8,4 2

b) 3. vytyčovací úhly ω A′ , ω B′

α A′ = arctg

189,630 = 45,8398 g 216,187

α A′,B′ = arctg

α B′ = arctg

− 191,950 = 338,5184 g 132,747

381,58 = 86,2948 g 83,44

ω A′ = α A′ − α A′,B′ = 45,8398 − 86,2948 = 359,5450 g ω B′ = α B′ − α B′, A′ = 338,5184 − 286,2948 = 55,2236 g 4.

s A′ = 287,6 m

sB′ = 233,4 m

s A′,B′ = z = 390,6 m

α A′ − α B′ = 45,8398 − 338,5184 = 107,3214 g Ze vzorce (9.2) lze odvodit střední polohovou chybu (včetně vlivu přesnosti stabilizace vytyčení) stejně jako v případě a)

- 133 (161) -


mω2 ≤

(0,015

2

)

− 0,0032 0,987 − 2.0,004 2 0,004 2 . = 5,56.10 −10 5 2 2.1,37.10 390,6

mω ≤ 2,35.10 −5 rad = 15cc Počet skupin vytyčení 112 = 0,5 ⇒ 1 skupina 152

n=

Z rozboru je vidět, že ačkoliv v případě b) byl bod vytyčován na delší vzdálenost, přesto je přesnost vytyčení vyšší. Je to způsobeno optimálnějším úhlem protnutí určujících záměr než v případě a).

Příklad 9.3

V situaci předchozího Příklad 9.2 bude použito stanovisek A, B ke sledování posunů bodu P. Vypočtěte střední chybu určení posunu mdx ve směru souřadnicové osy x (ve směru předpokládaných deformací hráze) mezi dvěma etapami měření posunů. Protínací úhly ωA, ωB budou měřeny v jedné skupině teodolitem Zeiss THEO 010A se střední chybou úhlu měřeného v jedné skupině mω(sk) = 7cc. Centrace přístroje je optická se střední chybou me = 0,5 mm. Dále zjistěte, v kolika skupinách je třeba měřit protínací úhly, má-li být střední chyba určení posunu mdx = 1 mm? Řešení

Při měření posunů se již neuvažuje přesnost stabilizace vytyčení (měří se na stejný bod) a střední polohová chyba výchozích bodů se nahradí střední chybou centrace přístroje m x , y (e ) =

me 0,5 = = 0,35mm = mx , y ( A ) 2 1,4

ze vzorce (9.1)při uvážení mx ( A ) = m y ( A ) = mx , y ( A ) lze odvodit m

2 x

(cos =

2

α A + cos 2 α B )mx2, y ( A ) + (s A2 cos 2 α B + sB2 cos 2 α A )mα2 sin 2 (α A − α B )

kde mα2 = mω2 + mα2 A , B .

mx2 =

(0,299

2

)

+ 0,3182 0,000352 + (3819,2 + 2972,9 )1,23.10 −10 = 2,5.10 − 6 0,587 2

mx = 0,0016m = 1,6mm Posun dx se získá jako rozdíl souřadnic xi – xi-1 a tedy

- 134 (161) -


mdx = mx 2 = 1,6.1,4 = 2,2mm

Při požadavku mdx = 1 mm musí být mx = mdx / 2 = 0,71mm, z předchozího výrazu pak vyjde mω2 ≤

0,000712.0,5866 2 − 0,1902.0,000352 0,00035 2 − = 2,12.10 −11 (3819,2 + 2972,9) 358,6 2 −6

mω ≤ 4,6.10 rad = 2,9

cc

,

72 počet skupin n = = 5,8 ⇒ 6 2,92

- 135 (161) -

Vytyčení polohy bodu protínáním z délek

10


Podstata úlohy: Poloha vytyčeného bodu se určuje jako průsečík dvou kružnic se středy ve výchozích bodech a s poloměry danými vytyčovacími délkami. Přístrojové vybavení: 2 pásma, elektronický dálkoměr, vytyčovací rameno popř. milimetrové měřítko

Obr. 26

Označení veličin: A, B – výchozí body, P – vytyčovaný bod, sA, sB – vytyčovací délky z výchozích bodů A, B ,

αA, αB – směrníky stran sA, sB , z – délka protínací základny . Výchozí data: souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, souřadnice vytyčovaného bodu x, y . Výpočet vytyčovacích prvků sA, sB : sA =

( x − x A )2 + ( y − y A )2

,

sB =

( x − x B ) 2 + ( y − y B )2

Rozbor přesnosti: střední chyby jednotlivých souřadnic - 137 (161) -


(10.1)

cos α A sin α B m 2

m x2 =

+ m 2y = +

2

2 xA

+ sin α A sin α B m 2

2

2 yA

+ sin α A cos α B m 2

sin 2 (α A − α B )

2

2 xB

+ sin α A sin 2 α B m y2B 2

+

sin 2 α B ms2A + sin 2 α A m s2B sin 2 (α A − α B )

cos 2 α A cos 2 α B m x2A + sin 2 α A cos 2 α B m y2A + cos 2 α A cos 2 α B m x2B + cos 2 α A sin 2 α B m 2yB sin 2 (α A − α B )

+

cos 2 α B ms2A + cos 2 α A ms2B sin 2 (α A − α B )


m

2 x, y

=

cos 2 α A m x2A + sin 2 α A m y2A + cos 2 α B m x2B + sin 2 α B m y2B + m s2A + m s2B 2 sin 2 (α A − α B )

Zjednodušení úlohy : a) m x A = m y A = m xB = m y B = 0 (bezchybné souřadnice výchozích bodů) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (10.3)

m = 2 x

m = 2 y

sin 2 α B m s2A + sin 2 α A m s2B sin 2 (α A − α B )

cos 2 α B m s2A + cos 2 α A m s2B sin 2 (α A − α B )

kovariance (10.4)

m xy = −

sin α B cos α B m s2A + sin α A cos α A m s2B sin 2 (α A − α B )


m

b)

2 x, y

=

m s2A + m s2B

2 sin 2 (α A − α B )

m x A = m xB = m x ( A )

, m y A = m yB = m y ( A)

(stejná přesnost x-ových

souřadnic a stejná přesnost y-ových souřadnic výchozích bodů.) střední souřadnicová chyba (10.6)

- 138 (161) -


m

2 x, y

=

(cos

2

α A + cos 2 α B )m x2( A ) + (sin 2 α A + sin 2 α B )m y2( A ) + m s2 + m s2 A

2 sin 2 (α A − α B )

B

c) m x A = m y A = m xB = m y B = m x , y ( A ) (stejná přesnost souřadnic výchozích směrů) střední chyby jednotlivých souřadnic (10.7)

m = 2 x

m = 2 y

(sin

2

(cos

α A + sin 2 α B )m x2, y ( A ) + sin 2 α B m s2 + sin 2 α A m s2 sin 2 (α A − α B )

2

A

B

α A + cos 2 α B )m x2, y ( A ) + cos 2 α B m s2 + cos 2 α A m s2 sin 2 (α A − α B )

A

B


m x2, y =

2m x2, y ( A ) + m s2A + m s2B 2 sin 2 (α A − α B )

d) m x A = m y A = m xB = m y B = 0 , m s A = msB = m s (bezchybné souřadnice výchozích bodů, stejná přesnost měřených délek) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (10.9)

m x2 =

sin 2 α A + sin 2 α B 2 ms sin 2 (α A − α B )

m y2 =

cos 2 α A + cos 2 α B 2 ms sin 2 (α A − α B )

kovariance (10.10)

m xy = −

sin α A cos α A + sin α B cos α B 2 ms sin 2 (α A − α B )


m x2, y =

m s2

sin 2 (α A − α B )

e) m x A = m y A = m xB = m y B = m x , y ( A ) , m s A = m sB = m s (stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů, stejná přesnost měřených délek) střední chyby jednotlivých souřadnic

- 139 (161) -


(10.12)

m x2 = m y2 =

(sin

2

(cos

2

α A + sin 2 α B )(m x2, y ( A ) + m s2 ) sin 2 (α A − α B ) α A + cos 2 α B )(m x2, y ( A ) + m s2 ) sin 2 (α A − α B )


m

2 x, y

=

m x2, y ( A ) + m s2

sin 2 (α A − α B )

Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Z rozboru uvedených vzorců vyplývá, že nejvýhodnější podmínky vytyčení jsou tehdy, blíží-li se hodnota úhlu (αA - αB) hodnotě 100g (300g), naopak přesnost vytyčení výrazně klesá, blíží-li se hodnota tohoto úhlu 0g (200g) . Platí to jak pro vliv chyb výchozích bodů, tak pro vliv chyb ve vytyčovaných délkách. Při použití pásma je metoda efektivní (a prakticky použitelná) jen tehdy, jsou-li protínací délky v rozsahu jednoho kladu pásma. Při použití elektronického dálkoměru se zvětší rozsah metody, zvýší se však nároky na organizaci činnosti vytyčovací skupiny. Délky se měří z vytyčovaného bodu a vytyčuje se postupným přibližováním. Vytyčování polohy bodu protínáním z délek se proto používá méně často v případech, kdy není možná ani jiná orientace na výchozích bodech. Za přibližně optimálních podmínek platí, že střední souřadnicová chyba vytyčeného bodu se prakticky rovná střední chybě vytyčovacích délek. Příklad 10.1

Vypočtěte charakteristiky přesnosti vytyčení polohy bodu protínáním z délek ze dvou výchozích bodů A, B, jejichž střední souřadnicová chyba (všechny souřadnice mají stejnou přesnost) a) mx,y(A) = 0 b) mx,y(A) = 0,020 m . Protínací délky jsou měřeny s relativní přesností ms : s = 1 : 15 000. Výchozí data: souřadnice výchozích bodů souřadnice vytyčovaného bodu

xA= 5263,46 m

yA= 2350,02 m

xB= 5330,26 m

yB= 2502,88 m

x = 5425,30 m

y = 2479,12 m

Řešení

sA = 207,02 m

,

αA = 42,8660g ,

αB =384,4042g - 140 (161) -

sB = 97,96 m ,

αA - αB = 58,4618g


ms A =

ms 207,02 sA = = 0,014 m 15000 s

msB =

ms 97,96 sB = = 0,007 m 15000 s

a) mx,y(A) = 0 m x2 =

0,12.10 −4 + 0,19.10 −4 = 0,484.10 − 4 0,63

1,80.10 −4 + 0,30.10 −4 m = = 3,40.10 − 4 0,63 2 y

m x2, y =

1,96.10 −4 + 0,49.10 −4 = 1,94.10 − 4 0,63

m2 m2 m2

m x = 0,007 m = 7 mm m y = 0,018 m = 18 mm m x , y = 0,014 m = 14 mm

b) mx,y(A) = 0,020 m 1,80.10 −4 m = + 0,484.10− 4 = 3,34.10 − 4 m 2 0,63 2 x

m y2 =

6,20.10 −4 + 3,40.10 − 4 = 13,26.10 − 4 m 2 0,63

m x2, y = 6,35.10 −4 + 1,94.10 −4 = 8,29.10 −4 m 2

m x = 0,018 m = 18 mm m y = 0,038 m = 38 mm m x , y = 0,029 m = 29 mm Příklad 10.2

V situaci předchozího Příklad 10.1 vypočtěte potřebnou přesnost délkového měření, má-li být uvažovaný bod vytyčen s mezní polohovou chybou δP = 0.020 m. Jde o běžné vytyčení (t=2), souřadnice výchozích bodů se považují za bezchybné. Řešení

výpočet střední polohové chyby a střední souřadnicové chyby mP =

δP t

=

0,020 = 0,010 m 2

- 141 (161) -


m x, y =

mP 2

= 0,010 . 0,707 = 0,007 m

výpočet střední chyby vytyčovacích délek – mx,y(A) = 0 m s = m x , y sin (α A − α B ) = 0,007 . 0,79 = 0,006 m Délky je třeba vytyčovat s přesností ms = 6 mm. Příklad 10.3

V situaci Příklad 10.1 vypočtěte střední chybu vytyčeného bodu ve směru daném směrníkem α = 60g. Dále vypočtěte údaje potřebné k sestrojení střední elipsy chyb, tj. extrémní chyby mmax, mmin a směrník ϕ hlavní poloosy chybové elipsy. Souřadnice výchozích bodů se považují za bezchybné. Řešení

výpočet kovariance mxy m xy = −

sin α B cos α B m s2A + sin α A cos α A m s2B sin

2

(α A − α B )

= −0,143.10 − 4 m 2

výpočet střední chyby ve směru α = 60g mα2 =60 g = m x2 cos 2 60 g + m y2 sin 2 60 g + 2m xy sin 60 g cos 60 g = 2,26.10 −4 m 2

mα =60 g = 0,015 m = 15 mm výpočet extrémních chyb mmax , mmin m x2 + m y2 2

= 1,94.10

−4

,

(m

2 x

− m y2 4

)

2

+ m xy2 = 1,46.10 − 4

2 mmax = 1,94.10 −4 + 1,46.10 −4 = 3,40.10 −4 m 2 , ⇒ mmax = 0,018 m 2 mmin = 1,94.10 −4 − 1,46.10 −4 = 0,48.10 −4 m 2 , ⇒ mmax = 0,007 m

výpočet směrníku hlavní poloosy chybové elipsy

tg 2ϕ =

2m xy

m −m 2 x

2 y

=

− 0,286.10 −4 = 0,0981 , 2ϕ = 206,2 g −4 − 2,92.10

- 142 (161) -

, ϕ = 103,1g

Vytyčení polohy bodu protínáním zpět

11


Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu se určuje postupnou aproximací, měří se dva úhly na vytyčovaném bodě mezi záměrami na tři výchozí (dané) body. Přístrojové vybavení: Teodolit potřebné třídy přesnosti, vytyčovací rameno, milimetrové měřítko

Obr. 27


A, B, C – výchozí (dané) body, P – vytyčovaný bod nebo jeho aproximace, sA,B, sA,C, sB,C – vzdálenosti mezi výchozími body, sA, sB, sC – vzdálenosti vytyčovaného bodu P od výchozích bodů A, B, C,

αA, αB, αC – směrníky stran sA, sB, sC, ω1, ω2 – úhly měřené na vytyčovaném bodě . Výchozí data: souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, xC, yC souřadnice vytyčovaného bodu Výpočet vytyčovacích prvků:

x, y

ω1 (úhel APB), ω2 (úhel BPC)

ω1 = α B − α A = arctg

yB − y y −y − arctg A xB − x xA − x

ω 2 = α C − α B = arctg

yC − y y −y − arctg B xC − x xB − x

Rozbor přesnosti: - 143 (161) -


Obecné vzorce pro přesnost souřadnic bodu určeného protínáním zpět jsou velmi komplikované a pro praktické použití nevhodné. Obvykle se používá zjednodušení. Zjednodušení modelu úlohy: a) m x A = m y A = m xB = m y B = m xC = m yC = m x , y ( A )

, mω1 = mω 2 = mω

(stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů, stejná přesnost měřených úhlů) střední chyby jednotlivých souřadnic (11.1)

[(

)

(

) ]

[(

)

(

) ]

m x2 =

1 a 2 + b 2 + c 2 m x2, y ( A ) + s A2 a 2 + sC2 c 2 mω2 2 D

m y2 =

1 d 2 + e 2 + f 2 mx2, y ( A ) + s A2 d 2 + sC2 f 2 mω2 D2


m x2, y =

[(

)

(

) ]

1 s A2 , B + s A2 ,C + s B2 ,C m x2, y ( A ) + s A2 , B sC2 + s B2 ,C s A2 mω2 2 2D

kde D = s A sin ω 2 − s B sin (ω1 + ω 2 ) + sC sin ω1

a = s B cos α C − sC cos α B b = sC cos α A − s A cos α C c = s A cos α B − s B cos α A

d = sB sin α C − sC sin α B e = sC sin α A − s A sin α C f = s A sin α B − s B sin α A

b) m x A = m y A = m xB = m y B = m xC = m yC = 0 , mω1 = mω 2 = mω (bezchybné souřadnice výchozích bodů, stejná přesnost měřených úhlů) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (11.3)

m x2 =

s A2 a 2 + s C2 c 2 2 mω D2

m y2 =

s A2 d 2 + sC2 f 2 2 mω D2

kovariance (11.4)

- 144 (161) -


m xy =

ads A2 + cfsC2 2 mω D2


m

2 x, y

=

s A2 , B sC2 + s B2 ,C s A2 2D

2

mω2

c) m x A = m y A = m xB = m y B = m xC = m yC = m x , y ( A )

, mω1 = mω 2 = 0

(stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů, bezchybné úhly) (11.6)

mx2, y =

s A2 , B + s A2 ,C + sB2 ,C 2 mx , y ( A ) 2D2

Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Nevýhodou metody vytyčování protínáním zpět je skutečnost, že přesnost polohy určovaného bodu je velmi závislá na konfiguraci výchozích bodů a vytyčovaného bodu. Nebezpečný prostor rychlého nárůstu chyby mx,y je v blízkosti tzv. kritické kružnice proložené výchozími body. Optimální podmínky vytyčení nastanou, je-li vytyčovaný bod v blízkosti těžiště výchozích bodů. Doporučuje se použít více výchozích bodů a výsledné souřadnice získat vyrovnáním. Definitivní poloha vytyčovaného bodu se pak vyznačí pomocí vytyčovacího ramena popřípadě pomocí milimetrového měřítka. Příklad 11.1

Vypočítejte střední souřadnicovou chybu mx,y bodu vytyčeného protínáním zpět, platí-li mω1 = mω 2 = 8cc a souřadnice výchozích bodů se považují za a) bezchybné – mx,y(A) = 0, b) stejně přesné – mx,y(A) = 0,010 m. Výchozí data: souřadnice výchozích bodů

souřadnice vytyčovaného bodu

xA = 5150,262 m

yA = 2326,560 m

xB = 5189,324 m

yB = 2106,833 m

xC = 5478,032 m

yC = 2057,673 m

x = 5268,347 m

Řešení

1. výpočet úhlů ω1, ω2, 2. výpočet délek sA, sB, sC, sA,B, sA,C, sB,C, 3. výpočet D, 4. výpočet mx,y ,

- 145 (161) -

y = 2362,163 m


ω1 = 280,8924 g − 218,6424 g = 62,2500 g ω 2 = 338,3924 g − 280,8924 g = 57,5000 g s A = 123,3 m

s A, B = 223,2 m

s B = 267,3 m

s A,C = 423,9 m

s B = 369,7 m

s B ,C = 292,9 m

D = 148,9 m a) m x2, y =

2,1.1010 82 . = 0,285.10 − 4 m 2 2.2,22.10 4 0,4.1012

m x , y = 0,0053 m = 5,3 mm b) mx2, y =

0,315.106.1.10−4 + 0,285.10− 4 = 7,38.10 − 4 m 2 4 2.2,22.10

m x , y = 0,0272 m = 27,2 mm

- 146 (161) -

Vytyčení polohy bodu polygonovým pořadem

12

Vytyčení polohy bodu protínáním zpět z úhlu a délky

Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu se získává jako průsečík dvou kružnic. Jedna kružnice má střed ve výchozím bodě a její poloměr je dán vytyčovací délkou. Druhá kružnice má za tětivu spojnici obou výchozích bodů a středový úhel této tětivy je dvojnásobkem vytyčovacího úhlu. Přístrojové vybavení: Teodolit, pásmo, elektronický dálkoměr, milimetrové měřítko.

Obr. 28

Označení veličin: A, B – výchozí (dané) body, P – vytyčovaný bod nebo jeho aproximace, sA, sB – délky z výchozích bodů A, B,

αA, αB – směrníky výchozích stran sA, sB, sA,B, αA,B – délka a směrník spojnice výchozích bodů,

ω - vytyčovací úhel (úhel APB) . Výchozí data: souřadnice výchozích bodů xA, yA, xB, yB, souřadnice vytyčovaného bodu x, y . Výpočet vytyčovacích prvků sA, ω : sA =

( x A − x )2 + ( y A − y ) 2

- 147 (161) -


ω = α B − α A = arctg

y −y yB − y − arctg A xB − x xA − x

Rozbor přesnosti: Obecné vzorce vyjadřující přesnost polohy bodu určeného protínáním zpět z úhlu a délky jsou dosti složité. V praxi se používají obvykle zjednodušení. Zjednodušení modelu úlohy: a) m x A = m y A = m xB = m y B = m x , y ( A ) (stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů) střední chyby jednotlivých souřadnic (12.1)

(s

m x2 =

m

2 y

2 A

(s =

)

+ s B2 − 2 s A s B cos α A cos α B m x2, y ( A ) + s A2 s B2 sin 2 α A mω2 + (s A cos α B − s B cos α A ) m s2

2 A

2

(s B − s A cos ω )2

)

+ s B2 − 2s A s B sin α A sin α B m x2, y ( A ) + s A2 s B2 cos 2 α A mω2 + (s A sin α B − s B sin α A ) ms2 2

(s B − s A cosω )2


m

2 x, y

(s =

2 A

)

+ s B2 + s A2 , B m x2, y ( A ) + s A2 s B2 mω2 + s A2 , B m s2


b) m x A = m y A = m xB = m y B = 0 (bezchybné souřadnice výchozích bodů) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic (12.3)

s A2 s B2 sin 2 α A mω2 + (s A cos α B − s B cos α A ) m s2 2

m x2 =


s A2 s B2 cos 2 α A mω2 + (s A sin α B − s B sin α A ) m s2 2

m y2 =


kovariance (12.4)

m xy =

− s A2 s B2 sin α A cos α A mω2 + (s A cos α B − s B cos α A )(s A sin α B − s B sin α A )m s2



m

2 x, y

=

s A2 s B2 mω2 + s A2 , B m s2 2(s B − s A cos ω )

2

- 148 (161) -


c) m x A = m y A = m xB = m y B = m x , y ( A )

, mω = 0 , m s = 0

(stejná přesnost všech souřadnic výchozích bodů, bezchybný úhel a délka) střední souřadnicová chyba (12.6)

m x2, y =

(s

2 A

+ s B2 + s A2 , B )m x2, y ( A )

2(s B − s A cos ω )

2

Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Z rozboru uvedených charakteristik přesnosti vyplývá, že se hodnoty středních chyb nebezpečně zvětšují v blízkosti kritické přímky procházející bodem B kolmo ke spojnici obou výchozích bodů A, B. Navíc pro sA > sA,B je úloha dvojznačná. Jinak je rozložení středních chyb podobné jako při metodě polárních souřadnic a jejich velikosti narůstají se vzdáleností od výchozího bodu A. Příklad 12.1

Z výchozích bodů A, B základní vytyčovací sítě je metodou protínání zpět z úhlu a délky vytyčován bod P. Přesnost úhlového a délkového měření je mω = 15cc, ms = 5 mm. Vypočtěte očekávané střední chyby souřadnic a očekávanou střední souřadnicovou chybu bodu P, považují-li se souřadnice výchozích bodů za a) bezchybné – mx,y(A) = 0 b) stejně přesné – mx,y(A) = 0,009 m Výchozí data: souřadnice výchozích bodů souřadnice vytyčovaného bodu

xA = 3178,02 m

yA =1112,59 m

xB = 3225,13 m

yB = 1072,11 m

x= 3205,77 m

y= 1131,12 m

Řešení

sA = 33,368 m

α A = arctg

sB = 62,105 m

− 18,53 = 237,4810 g − 27,75

sA,B = 62,113 m

α B = arctg

ω = α B − α A = 320,1818 − 237,4810 = 82,7008 g a) mx,y(A) = 0

- 149 (161) -

− 59,01 = 320,1818 g 19,36


33,368 2.62,105 2 (− 0,555) .15 2 (10,40 + 51,65) .0,005 2 m = + = 0,3433.10 − 4 2 12 2 53,15 .0,405.10 53,15 2

2

2 x

33,368 2.62,105 2.(− 0,8316 ) .15 2 (− 31,71 + 34,49 ) .0,005 2 m = + = 0,6522.10 −6 2 12 2 53,15 .0,405.10 53,15 2 2 2 2 2 33,368 .62,105 .15 62,113 .0,005 m x2, y = + = 0,1749.10 − 4 2 12 2 2.53,15 .0,405.10 2.53,15 2

2

2 y

mx = 0,0059 m = 5,9 mm

m y = 0,0008 m = 0,8 mm

mx, y = 0,0042 m = 4,2 mm b) mx,y(A) = 0,009 m m x2 =

m y2 =

(33,368

2

(33,368

2

m x2, y =

(33,368

)

+ 62,105 2 + 1074,5 .0,009 2 + 0,3433.10 − 4 = 2,077.10 − 4 2 53,15 + 62,105 2 − 2186,9 ).0,009 2 + 0,6522.10 −6 = 0,8047.10 − 4 53,15 2 2

)

+ 62,105 2 + 62,113 2 .0,009 2 + 0,1749.10 − 4 = 1,441.10 − 4 2 2.53,15

mx = 0,0144 m = 14,4 mm mx, y = 0,0120 m = 12,0 mm

- 150 (161) -

m y = 0,0090 m = 9,0 mm


13


Podstata úlohy: Poloha vytyčovaného bodu je dána polohou koncového bodu volného polygonového pořadu s měřenými (vytyčovaným) vrcholovými úhly a délkami stran. Pořad je připojen a orientován na jediném výchozím bodě. Přístrojové vybavení: Teodolit potřebné přesnosti, elektronický dálkoměr, pásmo, základnová lať.

Obr. 29

Označení veličin

A ≡ 1 – výchozí (daný) bod,

α0 – orientační směrník na výchozím bodě, 1, 2, 3, …., n – vrcholy pořadu, s1, s2, s3, ….., sn-1 – strany pořadu (měřené),

ω1, ω2, ω3, …., ωn-1 – vrcholové úhly (měřené), α1, α2, α3, ….., αn-1 – směrníky stran pořadu, Δxi, Δyi – souřadnicové rozdíly příslušející straně si . Výchozí data: souřadnice výchozího bodu xA, yA, orientační směrník na výchozím bodě α0, souřadnice vytyčovaného bodu x, y .

- 151 (161) -


Výpočet vytyčovacích prvků (na předposlední bodě pořadu) sn-1, ωn-1

(x − xn−1 )2 + ( y − y n−1 )2

s n −1 =

ω n −1 = α n −1 − α n − 2 + 200 g = arctg

y − y n −1 y − y n −1 − arctg n − 2 x − x n −1 x n − 2 − x n −1

Výpočet souřadnic koncového bodu pořadu: (13.1) n −1

n −1

x n = x A + ∑ s i cos α i

y n = y A + ∑ si sin α i

i =1

i =1

Rozbor přesnosti: střední chyby jednotlivých souřadnic koncového bodu pořadu (13.2) n −1

[

]

m x2n = m x2A + ∑ cos 2 α i m s2i + ( y n − y i ) mω2 i + ( y n − y1 ) mα20 i =1

n −1

2

[

2

]

m y2n = m y2A + ∑ sin 2 α i m s2i + ( x n − xi ) mω2 i + ( x n − x1 ) mα20 i =1

2

2

střední souřadnicová chyba koncového bodu pořadu (13.3)

m x2, y (n ) = m x2, y ( A ) +

(

)

1 ⎡ 2 2 n −1 2 ⎤ s1,n mα 0 + ∑ m si + si2,n mω2 i ⎥ ⎢ 2⎣ i =1 ⎦

střední chyba směrníku koncové strany pořadu (13.4) n −1

mα2n −1 = mα20 + ∑ mω2 i i =1

relativní střední chyby jednotlivých souřadnic a relativní střední souřadnicová chyba koncového bodu pořadu (za předpokladu m x A = m y A = mα 0 = 0 ) (13.5) n −1

[

m x2n = ∑ cos 2 α i m s2i + ( y n − y i ) mω2 i i =1

n −1

2

[

m y2n = ∑ sin 2 α i m s2i + (x n − xi ) mω2 i i =1

2

]

] (13.6)

mx2, y (n ) =

(

1 n−1 2 msi + si2,n mω2i ∑ 2 i=1

)

Zjednodušení modelu úlohy:

- 152 (161) -


a) mω1 = mω 2 = mω3 = ........ = mω (stejná přesnost měřených vrcholových úhlů) relativní střední chyba jednotlivých souřadnic koncového bodu pořadu (13.7) n −1

m x2n = ∑ cos 2 α i m s2i + mω2 i =1

n −1

n −1

∑ (y i =1

n −1

∑ (x

m y2n = ∑ sin 2 α i ms2i + mω2 i =1

i =1

− yi )

n

2

− xi )

2

n

relativní střední souřadnicová chyba koncového bodu pořadu (13.8)

1 ⎛ n −1 mx2, y (n ) = ⎜ ∑ ms2i + mω2 2 ⎝ i =1

n −1

∑s i =1

2 i,n

⎞ ⎟ ⎠

b) mω1 = mω 2 = mω 3 = ........ = mω

, m s1 = m s2 = m s3 = ......... = m s

(stejná přesnost vrcholových úhlů a stejná přesnost všech měřených délek stran pořadu) relativní střední chyba v jednotlivých souřadnicích koncového bodu pořadu (13.9) n −1

m x2n = m s2 ∑ cos 2 α i + mω2 i =1

m

2 yn

=m

n −1

2 s

∑ sin

2

i =1

α i + mω 2

n −1

∑ (y i =1

n

− yi )

n

− xi )

n −1

∑ (x i =1

2

2


m x2, y (n ) =

n −1 1⎡ 2 2 2 ⎤ ( ) − + m n 1 m s ω ∑ si ,n ⎥ ⎢ 2⎣ i =1 ⎦

c) mω1 = mω 2 = mω3 = ........ = mω

, m s1 : s1 = m s2 : s 2 = m s3 : s3 = .... = m s : s

(stejná přesnost vrcholových úhlů, stejná relativní přesnost délkového měření) relativní střední chyby jednotlivých souřadnic koncového bodu pořadu (13.11)

m

m

⎛m ⎞ =⎜ s ⎟ ⎝ s ⎠

2 n −1

2 xn

⎛m ⎞ =⎜ s ⎟ ⎝ s ⎠

2 n −1

2 yn

∑ Δx i =1

n −1

2 i

∑ Δy i =1

+ mω2 ∑ ( y n − y i ) i =1

n −1

2 i

2

+ mω2 ∑ ( x n − xi )

2

i =1


- 153 (161) -


m

1 ⎡⎛ m ⎞ = ⎢⎜ s ⎟ 2 ⎢⎣⎝ s ⎠

2 x , y (n )

n −1 ⎤ 2 2 2 s m + ∑ i ω ∑ si ,n ⎥ i =1 i =1 ⎥⎦

2 n −1

d) s1 = s2 =…………=s

,

ω2 = ω3 =……….= 200g

(přímý pořad se stejně dlouhými stranami)

Obr. 30

relativní střední podélná chyba koncového bodu pořadu (13.13)

ml2n = m s2 (n − 1)

relativní střední příčná chyba koncového bodu pořadu (13.14)

n(n − 1)(2n − 1) 2 2 s mω 6

mq2n =

pro n > 5 lze tento vzorec zjednodušit na tvar (13.15)

n − 1,5 2 2 2 n s mω 3

mq2n =

Ještě jednoduší tvar těchto vzorců (pro n > 6): (13.16)

ml2n =

L 2 ms s

mq2n =

L3 7s

mω2

kde L = (n-1).s je celková délka pořadu. Poznámka

V praxi většinou nebývá předpoklad stejných délek stran pořadu splněn. V takové situaci je zvykem dosazovat do uvedených vzorců za s průměrnou délku strany n −1

s=

∑s i =1

i

n −1

- 154 (161) -


Optimální podmínky vytyčení, zvláštnosti úlohy: Z rozboru uvedených vzorců pro přesnost polohy bodu vytyčeného volným polygonovým pořadem vyplývá, že chyby rostou se zvětšující délkou pořadu. Pokud je alespoň přibližně splněn předpoklad přímosti pořadu, pak je pro velikost podélné chyby na konci pořadu rozhodující přesnost délkového měření a pro velikost příčné chyby přesnost úhlového měření. Jsou-li kladeny zvýšené požadavky na přesnost v příčném směru, bývá nezbytné použití trojpodstavcové soupravy pro zpřesnění úhlového měření (důlní prorážkové pořady apod.). Pro rychlost a snadnost výpočtu se i u pořadů zakřiveného tvaru zpravidla nejprve orientačně počítá přesnost pomocí vztahů pro přímý pořad. Při vysokých nárocích na přesnost se některé strany pořadu orientují gyroteodolitem (např. polygonové pořady při výstavbě metra apod.). Příklad 13.1

V podzemním bodě P (ve sklepě) se má prorazit svislý větrací otvor na povrch. Za tím účelem je třeba vytyčit polohu bodu P v terénu pro nasazení vrtné soupravy. Úloha byla řešena pomocí dvou volných polygonových pořadů (podzemního P1 a povrchového P2) se společným výchozím bodem 64 a společnou orientací na bod 63 stávající sítě PBPP. Podzemním pořadem byla určena poloha bodu P, povrchovým pořadem byly určena poloha bodu P´ v blízkosti místa průrazu (viz. Obr. 31).

Obr. 31

Výchozí data: souřadnice

x63 = 1 132 970,23 m

y63 = 498 354,09 m

x64 = 1 133 082,55 m

y64 = 498 375,60 m

Délky byly měřeny s relativní přesností 1:2 000, úhly se střední chybou mω = 15cc. Měřené prvky: pořad P1:

ω64 = 88,3480g

s64 = 60,48 m

(podzemní)

ω101 = 211,6560g

s101= 49,64 m

- 155 (161) -


ω102 = 192,9035g

s102= 48,95 m

pořad P2:

ω64 = 123,0655g

s64 = 50,35 m

(povrchový)

ω201= 182,6330g

s201= 43,29 m

ω202 = 178,8030

s202= 45,06 m

g

Vypočtěte: 1. polární vytyčovací prvky ωP´, sP´ pro vytyčení bodu P z bodu P´, 2. střední souřadnicové chyby bodu P v podzemí a na povrchu a) přibližně podle vzorců pro přímý rovnostranný pořad, b) přesně podle vzorců pro obecný tvar pořadu, 3. celkovou střední chybu vytyčené svislice. Řešení

směrník

α64,63 = 212,0458g

z výpočtu polygonových pořadů P1, P2 se získají výsledky: P1: xP = 1 133 096,06 m

yP = 498 217,57 m

P2: xP´= 1 133 118,40 m

yP´= 498 246,11 m

α202 = 296,5473g 1) výpočet polárních vytyčovacích prvků na bodě P´:

α P′, P = arctg

28,54 = arctg − 1,277529 = 257,7195 g − 22,34

ω P′ = α P´,P − α P´,202 = 257,7195 − 96,5473 = 161,1722 g s P´ =

Δy 28,54 = = 36,24 m sin α sin 257,7195 g

2) při rozboru přesnosti se neuplatní vliv chyb ve výchozích datech, protože se pro oba pořady vychází ze stejného bodu a orientuje se na stejný směr. Lze tedy počítat pouze relativní přesnost. a) přibližný výpočet P1: počet vrcholů n = 4 průměrná délka strany

střední chyba

ms =

s=

s 64 + s101 + s102 159,07 = = 53,023 m 3 3

s = 0,0265 m = 26,5 mm 2000

- 156 (161) -


střední příčná a podélná chyba podle (13.15)a (13.13) mq1 = n.s.mω

n − 1,5 15 = 4.53. 3 6,4.10 5

2,5 = 0,005 m = 5 mm 3

ml1 = m s n − 1 = 0,0265 3 = 0,046 m = 46 mm

(

)

m x2, y (1) = 0,5 mq2l + ml2l = 0,106.10 − 2 m 2

m x , y (1) = 0,033 m = 33 mm P2: počet vrcholů n = 5 s=

průměrná délka strany

s 64 + s 201 + s 202 + s P ´ 174,94 = = 43,735 m 4 4

ms =

střední chyba

43,735 = 0,022 m = 22 mm 2000

střední příčná a podélná chyba mq2 = n.s.mω

n − 1,5 15 = 5.43,7. 3 6,4.10 5

3,5 = 0,006 m = 6 mm 3

ml2 = m s n − 1 = 0,022 4 = 0,044 m = 44 mm střední souřadnicová chyba

(

)

m 2x, y (2 ) = 0,5 0,006 2 + 0,0442 = 9,86.10 −4 m 2

mx , y (2 ) = 0,031 m = 31 mm b) přesný výpočet podle vzorců (13.12) n −1 ⎡⎛ m ⎞ 2 n −1 ⎤ mx2, y = 0,5⎢⎜ s ⎟ ∑ si2 + ∑ si2, P mω2 ⎥ i =1 ⎢⎣⎝ s ⎠ i =1 ⎥⎦

P1: ⎡ 1 m x2, y (1 ) = 0 ,5 ⎢ ⎣ 2000

2

(60 ,5

2

) (

+ 50 2 + 49 2 + 158 , 6 2 + 98 , 4 2 + 49 2

mx , y (1) = 0,033 m = 33 mm P2:

- 157 (161) -

)

⎤ 15 2 = 0 ,108 . 10 − 2 m 2 2 10 ⎥ 6 , 4 . 10 ⎦


(

)

⎡ 1 mx2, y (2 ) = 0,5⎢ 50,42 + 43,32 + 45,12 + 36,22 + 2 ⎣ 2000 + (158,62 + 115,9 2 + 77,62 + 36,22 )

152 ⎤ = 9,83.10−4 m 2 2 10 ⎥ 6,4 .10 ⎦

mx , y (2 ) = 0,031 m = 31 mm 3) celková střední chyba vytyčené svislice mx2, y = mx2, y (1) + mx2, y (2 ) = 0,0332 + 0,0312 = 0,205.10−2 m 2

mx , y = 0,045 m = 45 mm Porovnají-li se oba výpočty, je názorně vidět, že pro alespoň přibližně přímé pořady je rozdíl přibližných a přesných vzorců prakticky nepodstatný (i když teoreticky by měly přibližné vztahy poskytovat poněkud optimističtější charakteristiky přesnosti). Příklad 13.2

Při stavbě tunelu je osa vytyčována od obou portálů protisměrně volnými polygonovými pořady se stejně dlouhými stranami (Obr. 32). První pořad P1 vychází z portálového bodu A a má strany 300 m, druhý pořad vycházející z portálového bodu B má strany 150 m, celková délka každého z obou pořadů (od portálových bodů k místu prorážky) je 1800 m. Délky jsou měřeny elektronickým dálkoměrem KERN DM 504 (ms = 3 mm + 2ppm), úhly jsou měřeny teodolitem KERN DKM2A (mr = 4,5cc) za použití trojpodstavcové soupravy ve třech skupinách. Zjistěte očekávanou střední příčnou a podélnou chybou pořadů v místě prorážky a dále celkovou střední chybu prorážky. Výpočet proveďte ve dvou variantách : a) bezchybné souřadnice výchozích (portálových) bodů a bezchybné připojovací směrníky, b) střední souřadnicové chyby portálových bodů A, B jsou mx,y(A)=0,012 m, mx,y(B)=0,008 m a střední chyba obou připojovacích směrníků je mα 0 =15cc.

Obr. 32

Řešení

- 158 (161) -


střední chyba měřeného vrcholového úhlu mω = mr

2 2 = 4,5 = 3,7 cc ≈ 4cc n 3

(vzhledem k podmínkám měření v podzemí).

a) P1: počet vrcholů n = 7 střední chyba měřené délky ms1 = 0,003 + 2.10 −6.300 = 0,0036 m = 3,6 mm

střední příčná a podélná chyba podle (13.13) a (13.14): mq1 = s1mω

n(n − 1)(2n − 1) 4 = 300 6 6,4.105

546 = 0,0180 m = 18,0 mm 6

ml1 = ms1 n − 1 = 0,0036 6 = 0,0088 m = 8,8 mm P2 : počet vrcholů n = 13 střední chyba měřené délky ms 2 = 0,003 + 2.10−6.150 = 0,0033 m = 3,3 mm

střední příčná a podélná chyba mq 2 = s2 mω

n(n − 1)(2n − 1) 4 = 150 6 6,4.105

3900 = 0,0240 m = 24,0 mm 6

ml 2 = ms 2 n − 1 = 0,0033 12 = 0,0114 m = 11,4 mm b) Použije se vzorců (13.2) zjednodušených pomocí (13.14) při orientaci souřadnicové osy y rovnoběžně se směrem pořadu (mq = mx) P1: střední příčná a podélná chyba mq21 = m x2, y ( A ) + s12 mω2 = 0,012 2 + 300 2

n (n − 1)(2n − 1) 2 + (n − 1) s12 mα20 = 6

42 546 152 2 . + 1800 = 0,225.10− 2 m 2 6,4.1010 6 6,42.1010

ml21 = mx2, y ( A ) + (n − 1)ms21 = 0,0122 + 0,0036 2.6 = 2,21.10 −4 m 2

- 159 (161) -


mq1 = 0,0474 m = 47,4 mm ml1 = 0,0149 m = 14,9 mm P2: střední příčná a podélná chyba mq22 = m x2, y ( B ) + s22 mω2 = 0,0082 + 150 2

n (n − 1)(2n − 1) 2 + (n − 1) s22 mα20 = 6

42 3900 152 2 . + 1800 = 0,244.10 − 2 m 2 6,4.1010 6 6,42.1010

ml22 = mx2, y ( B ) + (n − 1)ms22 = 0,0082 + 0,00332.12 = 1,94.10 −4 m 2

mq 2 = 0,0494 m = 49,4 mm ml 2 = 0,0139 m = 13,9 mm U pořadu P2 s kratšími stranami a větším počtem vrcholů vychází též větší příčná chyba i větší podélná chyba vlastního vytyčení (relativní přesnost vytyčení závisí na počtu vrcholů pořadu). Celková střední chyba prorážky: a) mq2 = mq21 + mq22 = 0,0180 2 + 0,0240 2 = 9,00.10 −4 m 2 mq = 0,0300 m = 30,0 mm b) mq2 = mq21 + mq22 = 0,0474 2 + 0,0494 2 = 0,469.10 −2 m 2 mq = 0,0685 m = 68,5 mm Je patrné, že celkovou střední chybu prorážky významně ovlivňuje přesnost výchozích dat (přesnost výchozích bodů a připojovacích směrníků).

- 160 (161) -

Závěr

14

Závěr

14.1 Shrnutí Předkládaný odborný text je cílen na praktické procvičení znalostí základních úloh inženýrské geodézie. Je zaměřen na rozbory přesnosti vytyčování a jeho kontrolu, na práci s teodolitem při měření a vytyčování úhlu, na měření a vytyčování délek a výšek. Ze souřadnicových úloh jsou zde rozebrány metody vytyčování polárními souřadnicemi, pravoúhlými souřadnicemi, protínáním vpřed z úhlů (směrů), z délek, zpět, z úhlu a délky a polygonovým pořadem. Veškeré úlohy jsou doplněny vzorovými příklady.

14.2 Studijní prameny 14.2.1 Seznam použité literatury [1]

Michalčák, O., Vosika, O., Veselý, M, Novák, Z. Inžinierska geodézia I. Alfa Bratislava a SNTL Praha, 1985

[2]

Michalčák, O., Vosika, O., Veselý, M, Novák, Z. Inžinierska geodézia II.. Alfa Bratislava a SNTL Praha, 1990

[3]

Švábenský, O., Vitula, A. Inženýrská geodézie. Návody ke cvičením I. VUT v Brně, 1993, ISBN 80-214-0499-X

[4]

Švábenský, O., Vitula, A. Inženýrská geodézie. Návody ke cvičením II. VUT v Brně, 1991, ISBN 80-214-0253-9

14.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury [5]

Richardus, P. Project Surveying, A.A.Balkema Rotterdam, 1984

[6]

Mueller, W.: Ingenieurgeodäsie, VB Berlin, 1984

14.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny [7]

http://www.vugtk.cz/nzk/indnzk.html

[8]

http://www.vugtk.cz/odis/index1.html

[9]

http://knihovny.cvut.cz/sluzby/fsv/index.html

[10]

http://library.fce.vutbr.cz/

- 161 (161) -

INŽENÝRSKÁ GEODÉZIE I

Recommend Documents