II. Kinematika hmotn´ eho bodu Vˇsechny vyˇreˇsen´e u ´lohy jsou vyˇreˇseny nejprve obecnˇe, to znamen´a bez ˇc´ısel. ˇ ıseln´e hodnoty jsou dosazeny aˇz tehdy, dospˇejeme-li k vyj´adˇren´ı nezn´am´e C´ pomoc´ı vztahu obsahuj´ıc´ıho pouze zadan´e veliˇciny. Pokud v´am tento zp˚ usob v´ ypoˇctu /ve fyzice obvykl´ y a respektovan´ y/ dˇel´a pot´ıˇze, klidnˇe pouˇz´ıvejte meziv´ ypoˇcty. Zp˚ usoby ˇreˇsen´ı jsou mnohdy v´ıce neˇz jeden. M´ate-li vlastn´ı, nebojte se jej poslat, vyvˇes´ıme jej pro srovn´an´ı. Pˇ r´ıklad 1. M´ısta A, B jsou vzd´ alena 135 km. Souˇcasnˇe vyjede z m´ısta A smˇerem k B automobil st´ alou rychlost´ı 50 km . h−1 a z m´ısta B proti nˇemu motocykl st´ alou rychlost´ı 40 km . h−1 . Vypoˇctˇete, kdy a kde se setkaj´ı. [1,5 h, 75 km od m´ısta A] ˇ sen´ı: Oznaˇcme rychlost auta v1 = 50 km h−1 , rychlost motocyklu v2 = 40 km Reˇ h−1 . Auto i motocykl se pohybuj´ı po stejn´ y ˇcas t, auto uraz´ı dr´ahu s1 , motocykl dr´ ahu s2 . Souˇcet drah d´ a v okamˇziku setk´an´ı vzd´alenost m´ıst A, B, oznaˇcme ji s = 135 km. Plat´ı tedy s = s1 + s2 s = v1 t + v2 t s = t(v1 + v2 ) 135 km 135 s h = 1,5 h. = = t = −1 −1 v1 + v2 90 40 km h + 50 km h Vzd´ alenost m´ısta setk´ an´ı od m´ısta A je rovna dr´aze, kterou za ˇcas t urazil automobil, tedy s1 = v1 t = v1
s 135 km = 50 km h−1 · = 75 km. −1 v1 + v2 40 km h + 50 km h−1
Pˇ r´ıklad 2. Letadlo se vzdaluje od letiˇstˇe rovnomˇern´ym pˇr´ımoˇcar´ym pohybem rychlost´ı 500 km . h−1 . Za 2,5 h za n´ım vylet´ı druh´e letadlo st´ alou rychlost´ı 700 km . h−1 . Kdy a kde ho dohon´ı? [8h 45min od startu prvn´ıho, 4375 km] N´ avod: V okamˇziku, kdy se letadla dohon´ı, obˇe urazila stejnou dr´ahu. Dr´ahu prvn´ıho letadla spoˇc´ıt´ ame jako s1 = v1 t1 , dr´ahu druh´eho letadla jako s2 = v2 t2 = v2 (t1 − 2,5 h). Z rovnosti s1 = s2 spoˇcteme ˇcas. Vzd´alenost od vzletu je rovna dr´ aze kter´ehokoliv z letadel. ˇ c automobilu pl´ Pˇ r´ıklad 3. Ridiˇ anuje j´ızdu do vzd´ alenosti 30 km na dobu p˚ ul hodiny. Nejprve je vˇsak nucen jet 20 minut za kolonou pomal´ych vozidel rychlost´ı 30 km . h−1 . Jakou rychlost´ı by musel jet zb´yvaj´ıc´ıch 10 minut, aby dorazil do c´ıle za pl´ anovanou dobu ? [120 km . h−1 ]
1
ˇ sen´ı: Oznaˇcme s = 30 km vzd´alenost, kterou m´a ˇridiˇc ujet, a t = 0,5 h ˇcas, Reˇ na kter´ y pl´ anoval j´ızdu. Pˇri pomal´e j´ızdˇe jede automobil rychlost´ı v1 = 30 km h−1 po dobu t1 = 20 alenost min = 13 h. Uraz´ı tedy vzd´ s1 = v1 t1 . Zb´ yvaj´ıc´ı vzd´ alenost s2 = s − s1 , mus´ı urazit za ˇcas t2 = t − t1 . Mus´ı tedy jet rychlost´ı v2 =
30 km - 30 km h−1 . s − s1 s − v1 t1 s2 = = = 1 1 t2 t − t1 t − t1 2 h - 3 h
1 3
h
=
20 km = 120 km h−1 . 1 h 6
Pˇ r´ıklad 4. Automobil jel z Hradce Kr´ alov´e do Jaromˇeˇre pr˚ umˇernou rychlost´ı 80 km . h−1 , zpˇet jel pr˚ umˇernou rychlost´ı 40 km . h−1 . Podruh´e jel tam i zpˇet pr˚ umˇernou rychlost´ı 60 km . h−1 . Ve kter´em pˇr´ıpadˇe se vr´ atil dˇr´ıve? V Jaromˇeˇri z˚ ustal v obou pˇr´ıpadech stejnou dobu. 8 9 {s}, {t2 } = 240 {s}, podruh´e] (sloˇzen´e z´avorky znaˇc´ı ˇc´ıselnou [{t1 } = 240 hodnotu) N´ avod: Oznaˇcme s vzd´ alenost HK-Jaromˇeˇr. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe jel ˇridiˇc po dobu t = t1 + t 2 =
s s s(v1 + v2 ) + = . v1 v2 v1 v2
ˇ ıseln´ C´ a hodnota ˇcasu {t}, dosazujeme-li rychlost v m/s, bude {t} = {s} ·
40 + 80 3 9 = {s} = {s}. 40 · 80 80 240
V druh´em pˇr´ıpadˇe jel ˇridiˇc po dobu t0 =
2s , vp
{t0 } =
2 8 {s} = {s}. 60 240
Pozor: ˇcast´ a chyba je, ˇze v prvn´ım pˇr´ıpadˇe se urˇc´ı pr˚ umˇern´a rychlost jako 2 pr˚ umˇer rychlost´ı v1 +v . To nen´ ı pravda. Pr˚ u mˇ e rn´ a rychlost v prvn´ım pˇr´ıpadˇe 2 a dr´ aha , kdyˇ z se m´ a spoˇ c´ıst, vyjde je urˇcen´ a podle definice jako vp1 = celkov´ celkov´ yˇ cas vp1 =
2s = t 1 + t2
s v1
2s 2v1 v2 . = 53,3 km h−1 . s = + v2 v1 + v2
ˇ Pˇ r´ıklad 5. Clun je schopen vyvinout vzhledem ke klidn´e vodˇe rychlost 36 km . −1 h , ˇreka teˇce rychlost´ı 2 m . s−1 . Pojede z m´ısta A smˇerem po proudu 1200 m ˇ na ot´ a zpˇet. Jak dlouho trv´ a cel´ a cesta? Cas aˇcen´ı zanedb´ ame. [4min 10s] ˇ sen´ı: Rychlost ˇclunu vzhledem ke klidn´e vodˇe oznaˇcme v0 = 36 km h−1 = Reˇ 10 m s−1 , rychlost ˇreky oznaˇcme vr = 2 m s−1 . Oznaˇcme s = 1200 m dr´ahu, kterou ˇclun jede tam a zpˇet. 2
Po proudu trv´ a cesta ˇcas t1 =
s vˇclunu po proudu
=
s . v0 + vr
Proti proudu trv´ a cesta ˇcas t2 =
s vˇclunu proti proudu
=
s . v0 − vr
Celkem tedy cesta trv´ a ˇcas t = t1 + t2 =
=
s s(v0 − vr ) + s(v0 + vr ) 2sv0 s = + = = 2 v0 + vr v0 − vr (v0 − vr )(v0 + vr ) v0 − vr2
2 . 1200 m . 10 m . s−1 24000 m2 s−1 = 250 s. −1 2 −1 2 = (10 m s ) −(2 m s ) 96 m2 s−2
Pˇ r´ıklad 6. Deˇst’ov´e kapky padaj´ı st´ alou rychlost´ı svisle dol˚ u a dopadaj´ı na okno vag´ onu pohybuj´ıc´ıho se ve vodorovn´em smˇeru. Kapky zanech´ avaj´ı na oknˇe vag´ onu stopu, kter´ a sv´ır´ a se svislic´ı u ´hel 60◦ . Velikost rychlosti vag´ onu je 54 km . h−1 . Urˇcete rychlost dopadaj´ıc´ıch kapek. [8,7 m . s−1 ] N´ avod: Vektor rychlosti kapek m´ıˇr´ı svisle dol˚ u, vektor rychlosti vag´onu vodorovnˇe. Jejich v´ yslednice urˇcuje smˇer stopy kapek po skle a je tedy pˇreponou v pravo´ uhl´em troj´ uheln´ıku z vektor˚ u, jehoˇz vodorovn´a odvˇesna ”m´a velikost 54 ´ km/h” a u ´hel pˇrepony od svislice je 60◦ . Uloha spoˇc´ıst rychlost kapek znamen´a spoˇc´ıst druhou odvˇesnu v tomto troj´ uheln´ıku. Pˇ r´ıklad 7. Pˇri obj´ıˇzdˇen´ı pˇrek´ aˇzky sn´ıˇzil automobil rovnomˇernˇe rychlost z hodnoty 72 km . h−1 na hodnotu 36 km . h−1 za dobu 5 s a pak po dobu 10 s zrychloval na p˚ uvodn´ı rychlost. Urˇcete, v jak´e vzd´ alenosti pˇred pˇrek´ aˇzkou zaˇcal brzdit a v jak´e vzd´ alenosti za pˇrek´ aˇzkou dos´ ahl p˚ uvodn´ı rychlosti. Spoˇc´ıtejte pr˚ umˇernou rychlost automobilu za dobu uveden´ych 15 s. [s1 = 75 m, s2 = 150 m, vp = 15 m . s−1 ] ˇ sen´ı: Oznaˇcme rychlosti automobilu v1 = 72 km h−1 = 20 m s−1 a v2 = 36 Reˇ ˇ na zpomalov´an´ı oznaˇcme t1 = 5 s, ˇcas na zrychlov´an´ı km h−1 = 10 m s−1 . Cas oznaˇcme t2 = 10 s. Automobil se pˇri brˇzdˇen´ı pohyboval se zrychlen´ım (vyjde z´apornˇe, coˇz znaˇc´ı, ˇze zpomaluje) a1 =
rychlost koncov´a − rychlost poˇc´ateˇcn´ı v2 − v1 = . ˇcas na brˇzdˇen´ı t1
Pˇritom urazil dr´ ahu, kterou spoˇcteme podle vzorce pro rovnomˇernˇe zrychlen´ y pohyb s1 = poˇc´ ateˇcn´ı rychlost . ˇcas + 1/2 . zrychlen´ı . ˇcas na druhou 3
1 1 v2 − v1 2 1 1 s1 = v1 t1 + a1 t21 = v1 t1 + t1 = v1 t1 + (v2 −v1 )t1 = (v2 +v1 )t1 = 75 m. 2 2 t1 2 2 Za pˇrek´ aˇzkou se automobil pohybuje se zrychlen´ım (vyjde kladnˇe, coˇz znaˇc´ı, ˇze automobil zrychluje) v1 − v2 a2 = . t2 Pˇritom uraz´ı dr´ ahu s2 = poˇc´ ateˇcn´ı rychlost . ˇcas + 1/2 . zrychlen´ı . ˇcas na druhou 1 1 v1 − v2 2 1 s2 = v2 t2 + a2 t22 = v2 t2 + t2 = (v1 + v2 )t2 = 150 m. 2 2 t2 2 Pr˚ umˇernou rychlost spoˇcteme jako vp =
s1 + s2 225 m celkov´ a dr´aha = = = 15 m s−1 . celkov´ y ˇcas t 1 + t2 15 s
Pˇ r´ıklad 8. Pˇri rozj´ıˇzdˇen´ı se pohybuje elektrick´y vlak nejprve se zrychlen´ım 0,4 m . s−2 po dobu 20 s a potom se zrychlen´ım 0,8 m . s−2 do t´e doby, neˇz dos´ ahne rychlosti 72 km . h−1 . a) Urˇcete dobu pohybu vlaku. b) Urˇcete dr´ ahu potˇrebnou k dosaˇzen´ı v´ysledn´e rychlosti. c) Naˇcrtnˇete graf rychlosti jako funkce ˇcasu. [35 s, 290 m] N´ avod: a) Urˇcete rychlost vlaku po 20 s (v = at), urˇcete dobu neˇz z t´eto rychlosti zrychl´ı na 72 km/h = 20 m/s (t = rozd´ıl rychlost´ı : zrychlen´ı). b) Seˇctˇete dr´ ahu v prvn´ım a druh´em u ´seku (s = 12 at2 ). c) Grafem budou dvˇe r˚ uznˇe sklonˇen´e u ´seˇcky. Prvn´ı zaˇc´ın´a v poˇc´atku souˇradn´e soustavy, druh´ a v koncov´em bodˇe prvn´ı u ´seˇcky. Druh´a bude strmˇeji stoupat. Pˇ r´ıklad 9. Automobil jede rychlost´ı 90 km . h−1 . Ve vzd´ alenosti 100 m uvid´ı pˇrek´ aˇzku a zaˇcne ronomˇernˇe brzdit. Naraz´ı rychlost´ı 20 km . h−1 . O kolik metr˚ u dˇr´ıve mˇel zaˇc´ıt brzdit, aby nenarazil? [5,2 m] N´ avod: Urˇcete ˇcas t, za jak dlouho auto urazilo onˇech 100 m (100 m = 1/2 . pr˚ umˇer rychlost´ı . t). Urˇcete, s jak´ ym (z´aporn´ ym) zrychlen´ım auto zpomaluje. Urˇcete, jak´ y ˇcas t0 by mu s t´ımto zrychlen´ım trvalo zpomalit z poˇc´ateˇcn´ı rychlosti 20 km/h na nulu. Urˇcete dr´ ahu podle vzorce s = poˇc´ateˇcn´ı rychlost . t0 + 1/2 zrychlen´ı . t0 na druhou. Pˇ r´ıklad 10. Pro u ´ˇcinnost brzd osobn´ıho automobilu je pˇredeps´ ano, ˇze mus´ı pˇri poˇc´ ateˇcn´ı rychlosti 40 km . h−1 zastavit na dr´ aze 12,5 m. S jak velk´ym zrychlen´ım automobil brzd´ı? [4,9 m . s−2 ] 40 N´ avod: v0 = 40 km/h = 3,6 m/s. D´ale plat´ı, ˇze ”koncov´a rychlost - poˇc´ateˇcn´ı rychlost = zrychlen´ı . ˇcas” a ”dr´aha = poˇc´ateˇcn´ı rychlost . ˇcas + 1/2 . zrychlen´ı . ˇcas na druhou”. Po dosazen´ı do tˇechto vzorc˚ u
0 − v0 = at =⇒ t = −
v0 , a
1 v0 1 v2 1 v2 s = v0 t + at2 = −v0 + a 02 = − 0 2 a 2 a 2 a 4
a odtud vypl´ yv´ a, ˇze 1 v02 . = −4, 9 m . s−2 . 2 s To znamen´ a, ˇze automobil se pohybuje se ”z´aporn´ ym” zrychlen´ım o velikosti 4,9 m . s−2 , tedy s t´ımto zrychlen´ım zpomaluje. a=−
Pˇ r´ıklad 11. Automobil jede rychlost´ı 72 km . h−1 a bˇehem 4,0 s rovnomˇernˇe zpomal´ı na 54 km . h−1 . Jakou dr´ ahu pˇri tom uraz´ı? Za jak dlouho od zaˇc´ atku brzdˇen´ı by pˇri st´ ale stejn´em zpomalen´ı zastavil? [70 m, 16 s] N´ avod: v1 = 72 km/h = 20 m/s, v2 = 54 km/h = 15 m/s, t = 4,0 s. Zrychlen´ı je v2 − v1 = −1, 25 m s−2 , a= t dr´ aha vyjde (po dosazen´ı za a) 1 1 s = v1 t + at2 = (v1 + v2 )t = 70 m. 2 2 Automobil by zastavil za dobu t0 =
v1 v1 20 m s−1 = t= · 4 s = 16 s. a v2 − v1 20 m s−1 − 15 m s−1
Pˇ r´ıklad 12. Autobus se pohyboval rychlost´ı 36 km . h−1 . Na dr´ aze 69 m rovnomˇernˇe zrychlil a z´ıskal tak rychlost 46,8 km . h−1 . Jak dlouho mu zmˇena rychlosti trvala? Za jak dlouho od zaˇc´ atku akcelerace by dos´ ahl rychlosti 60 km . h−1 ? [6s, 13,3s] N´ avod: v1 = 36 km/h = 10 m/s, v2 = 46,8 km/h = 13 m/s, s = 69 m. Plat´ı v2 −v1 = at =⇒ a =
v2 − v1 , t
1 1 1 s = v1 t+ at2 = v1 t+ (v2 −v1 )t = (v1 +v2 )t, 2 2 2
odkud plyne, ˇze t=
2s = 6 s. v1 + v2
. Rychlosti v3 = 60 km/h = 16,67 m/s by dos´ahl za ˇcas t=
v3 − v1 v3 − v1 . = t = 13,3 s. a v2 − v1
Pˇ r´ıklad 13. Dr´ ahu tˇelesa pˇri voln´em p´ adu v z´ avislosti na ˇcase zn´ azorn´ıme v pravo´ uhl´ych souˇradnic´ıch jako: a) pˇr´ımku rovnobˇeˇznou s vodorovnou osou, b) pˇr´ımku o smˇernici g, c) parabolu, d) hyperbolu. [(c)] 5
Pˇ r´ıklad 14. Za jak dlouho dopadne k´ amen ve vakuu z v´yˇsky 60 m, je-li g = 9,8 m . s−2 ? [3,50 s] N´ avod: Voln´ y p´ ad je pohyb rovnomˇernˇe zrychlen´ y, plat´ı s 1 2h . h = gt2d =⇒ td = = 3,5 s. 2 g Pˇ r´ıklad 15. Z jak´e v´yˇsky by muselo tˇeleso padat voln´ym p´ adem, aby dopadlo na zem rychlost´ı 100 km . h−1 ? T´ıhov´e zrychlen´ı uvaˇzujme 9,8 m . s−2 . [39,4 m] N´ avod: vd = 100 km/h = 27,7 m/s. Voln´ y√ p´ad je pohyb rovnomˇernˇe zrychlen´ y, pro rychlost dopadu plat´ı vztah vd = 2gh (napˇr. ze z´akona zachov´an´ı mechanick´e energie). Proto vd2 = 2gh =⇒ h =
vd2 . = 39,4 m. 2g
Pˇ r´ıklad 16. Tˇeleso padalo z v´yˇsky 35 m voln´ym p´ adem. Urˇcete rychlost jeho dopadu na zem, je-li g = 9,8 m . s−2 . [26,2 m . s−1 ] N´ avod: Plat´ı vd =
p . 2gh = 26,2 m/s.
Pˇ r´ıklad 17. Za jak dlouho uraz´ı volnˇe padaj´ıc´ı tˇeleso druh´y metr sv´e dr´ ahy? [0,19 s] N´ avod: Urˇcete, za jak dlouho uraz´ı z klidu volnˇe padaj´ıc´ı tˇeleso dr´ahu h1 = 1m ˇ a dr´ ahu h2 = 2m. Casy odeˇctˇete. Vyjde s s 2h2 2h1 . t = t2 − t1 = − = 0,64 s − 0,45 s = 0,19 s. g g Pˇ r´ıklad 18. Kolotoˇc se ot´ aˇc´ı 18kr´ at za minutu. Sedaˇcka je vzd´ alen´ a od osy ot´ aˇcen´ı 4,0 m. Urˇcete rychlost sedaˇcky, dostˇrediv´e zrychlen´ı a kolik radi´ an˚ u uraz´ı za 5,0 s. [v = 7,5 m . s−1 , ad = 14,2 m . s−2 , ϕ = 9,42 rad] ˇ sen´ı: Frekvence ot´ Reˇ aˇcen´ı f=
18 −1 18 = s . 60 s 60
´ Uhlov´ a rychlost sedaˇcky je ω = 2πf,
6
rychlost sedaˇcky je
. v = ωr = 2πf r = 7,5 m . s−1 .
Dostˇrediv´e zrychlen´ı je . ad = ω 2 r = 4π 2 f 2 r = 14,2 m . s−2 . Sedaˇcka uraz´ı radi´ anu za ˇcas t = 5,0 s . ϕ = ωt = 2πf t = 9,42 rad. Pˇ r´ıklad 19. Tˇeleso kon´ a rovnomˇern´y pohyb po kruˇznici o polomˇeru 40 cm, doba jedn´e otoˇcky je 0,60 s. Urˇcete rychlost tˇelesa, frekvenci ob´ıh´ an´ı, u ´hlovou frekvenci a dostˇrediv´e zrychlen´ı.1 [4,19 m . s−1 , 1,67 Hz, 10,5 rad . s−1 , 43,9 m . s−2 ] ´ N´ avod: Perioda pohybu T = 0,60 s. Uhlov´ a rychlost je ω=
2π = 10,5 rad s−1 , T
rychlost tˇelesa je v = ωr =
2πr . = 4,19 m/s, T
frekvence ob´ıh´ an´ı je f=
1 . = 1,67 Hz, T
dostˇrediv´e zrychlen´ı je 4π 2 . r = 43,9 m/s. T2 Pˇ r´ıklad 20. S jak´ym dostˇrediv´ym zrychlen´ım vzhledem k zemsk´e ose se pohybuje mˇesto Oslo, kter´e leˇz´ı na 60◦ severn´ı ˇs´ıˇrky? Kolik radi´ an˚ u uraz´ı za 35 min? Polomˇer Zemˇe je 6378 km. [ad = 0,0169 m . s−2 , ϕ = 0,15 rad] ad = ω 2 r =
N´ avod: Jestliˇze polomˇer Zemˇe je RZ = 6378 km, potom polomˇer kruˇznice, po n´ıˇz se pohybuje Oslo, je 1 RZ . 2 Dostˇrediv´e zrychlen´ı vypoˇcteme ze vztahu (perioda pohybu T = 24 h = 24 . 60 . 60 s) 4π 2 ad = ω 2 r = 2 r = 0,0169 m s−2 . T ´ Uhlovou dr´ ahu vypoˇcteme ze vztahu (t = 35 min) r = RZ cos 60◦ =
ϕ = ωt =
2π . t = 0,15 rad. T
1 Doba jednoho obˇ ehu = perioda se znaˇ c´ı T . Frekvence f je rovna pˇrevr´ acen´ e hodnotˇ e ´ periody f = T1 , mˇ eˇr´ı se v jednotk´ ach Hz (Hertz). Uhlov´ a frekvence ω je zde tot´ eˇ z, co u ´hlov´ a rychlost, plat´ı pro ni vztahy ω = 2π = 2πf T
7
Pˇ r´ıklad 21. Kolikr´ at je u ´hlov´ a rychlost hodinov´e ruˇciˇcky vˇetˇs´ı neˇz u ´hlov´ a rychlost ot´ aˇcen´ı Zemˇe? [dvakr´at] N´ avod: Perioda hodinov´e ruˇciˇcky je T1 = 12 h, perioda ot´aˇcen´ı Zemˇe je T2 = 24 h. Proto 2π T2 ω1 T1 = = 2π = 2, ω2 T1 T2 u ´hlov´ a rychlost ruˇciˇcky je dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz u ´hlov´a rychlost rotace Zemˇe. Pˇ r´ıklad 22. Vrtule letadla se ot´ aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı 200 rad . s−1 . Jakou dr´ ahu ulet´ı letadlo bˇehem jedn´e ot´ aˇcky vrtule, jestliˇze let´ı rychlost´ı 540 km . h−1 ? [4,7 m] N´ avod: ω = 200 rad s−1 , v = 540 km h−1 = 150 m s−1 . Doba jedn´e ot´aˇcky vrtule (perioda jej´ıho pohybu) je T =
2π , ω
za tuto dobu ulet´ı letadlo dr´ahu s=v·T =
2πv . = 4,7 m. ω
8
