Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… . Próba érettségi feladatsor 2014. április 11. I. RÉSZ
Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű keretbe írja! A szürkített négyzetekbe ne írjon! A megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. A feladatokat tetszés szerinti sorrendben megoldhatja. Megoldási idő: 45’.
1.
Adjon meg két olyan halmazt (A és B), amelyekre igaz: A B 1;4;5 és A B 1;2;3;4;5;6 !
A B 2.
2 pont
Egy kilátóhoz vezető út emelkedési szöge 12 0 . Milyen magasan van a kilátó, ha az út hossza 1200 méter? A választ egész méterre kerekítve adja meg! Válaszát indokolja!
1 pont A keresett magasság:
3.
Melyik az a szám, amelynek valódi osztói: 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30?
A keresett szám:
4.
2 pont
Egy szakasz egyik végpontja A(4;5) és B(2;3) . Adja meg a BA vektort koordinátáival és az AB szakasz hosszát!
BA ( d AB 1/9
1 pont
;
)
1 pont 1 pont 2014. 04. 11.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
5.
Hány pozitív valós x értékre teljesül a log 3
1 x Válaszát indokolja! 27
2 pont 1 pont 6.
Az x 2 2 x p 2 0 másodfokú egyenletnek egy valós gyöke van. Mekkora lehet a p valós paraméter értéke? Válaszát indokolja!
2 pont p lehetséges értéke(i):
7.
1 pont
Egyszerűsítse az alábbi törtet! ( x 4 )
16 x 2 x4 Az egyszerűsített tört:
8.
Határozza meg az alábbi kifejezések értelmezési tartományát!
A) B)
2/9
2 pont
1 sin 2 x 1 1 x
A értelmezési tartománya: B értelmezési tartománya:
2 pont 2 pont
2014. 04. 11.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
9.
Az alábbi grafikonok közül melyik ábrázolja az x
2 x függvényt? Írja be a x
rubrikába a megfelelő grafikon betűjelét!
A
B
C A keresett grafikon:
10.
Hány darab 4 „betűs” karakterlánc állítható elő a 13.A kifejezés karaktereiből, ha minden karaktert csak egyszer használhatunk fel? Mekkora a valószínűsége annak, hogy a betűlánc éppen a „13.A” kifejezést adja vissza? (Figyelem! A feladat szempontjából a „.” karakter, valamint az „1” és „3” számok egyaránt betűnek számítanak!) A lehetőségek 1 pont száma: A keresett valószínűség:
11.
12.
2 pont
Döntse el az alábbi állítások igazságértékét! (Igaz vagy Hamis) Írja be a megfelelő válasz betűjelét a rubrikába! Minden pozitív egésznek van prím osztója.
1 pont
Ha egy négyszög rombusz, akkor van köré írható köre.
1 pont
Melyik kifejezés nagyobb? Írja be a megfelelő kifejezés betűjelét a rubrikába! Válaszát indokolja! A log 2 sin 2 2 pont
B 2 cos( )
3/9
2 pont
1 pont
2014. 04. 11.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… . Próba érettségi feladatsor 2014. április 14. II. RÉSZ
Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. A megoldást minden esetben indokolja! A feladatok végeredményét szöveges megfogalmazásban is közölje! Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. A feladatokat tetszés szerinti sorrendben megoldhatja. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania. A nem választott feladat sorszámát írja be az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, a 18. feladatra nem kaphat pontot. A szürke rubrikákba ne írjon! Megoldási idő: 100’.
A
13.
Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 10 2x =
10 100
b) - cos 2 x + 5 cosx = 3 sin 2 x
4/9
a)
4 pont
b)
8 pont
Ö.:
12 pont
2014. 04. 14.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
14.
Az alábbi ábrán a 1;6 intervallumon értelmezett f függvény grafikonja látható. a) Határozza meg az f függvény - hozzárendelési szabályát, - zérushelyeit, - értékkészletét! b) Rajzolja be az x tengelyen az értelmezési tartomány azon intervallumát, ahol az f függvény szigorúan monoton csökken! c) Rajzolja be az ábrába a k : x 2 + y + 3 = 8 egyenletű kört! Adja meg az f függvény és a k kör által meghatározott kisebbik körcikk területét! 2
5/9
2
a)
6 pont
b)
2 pont
c)
4 pont
Ö.:
12 pont
2014. 04. 14.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
15.
Egy faipari üzemben TV-állványokhoz esztergálnak kis tömzsi lábakat. Egy ilyen láb formáját az ábrán látható szabályos hatszög t tengely körüli forgatásával kapjuk. A hatszög oldala 5 cm hosszú. a) Számítsa ki egy állványláb térfogatát cm 3 -ben! Eredményét egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! 400db állványhoz rendelték meg a fenti formát, állványonként 4db-ot. Az elkészült elemeket pácolják, majd a felületüket vékony lakkréteggel vonják be. 2 b) Hány m felületet kell belakkozni?
t
6/9
a)
5 pont
b)
7 pont
Ö.:
12 pont
2014. 04. 14.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… . B
A 16-18. feladatok közül csak kettőt kell kidolgoznia. A kihagyott feladat sorszámát írja be az 1. oldalon álló üres négyzetbe! 16. Az alábbi oszlopdiagram napi bontásban mutatja, hogy hány darab akciófilmet kölcsönöztek egy videotékából az egyik héten. A pénteki adatok elvesztek. 40 35 30 25 20 15 10 5 0 hétfő
kedd
szerda
csüt.
péntek
szombat
vas.
a) Hány filmet kölcsönöztek ebből a filmtípusból pénteken, ha naponta átlagosan 25-öt vittek el? Egészítse ki az ábrát a számításai alapján! A heti zárás alapján az akciófilmeken kívül 25 természetfilmet, kétszer annyi sci-fit, 125 vígjátékot és 75 romantikus filmet is kölcsönöztek. b) Ábrázolja kördiagramon a kölcsönzött filmek eloszlását az 5 filmtípus szerint! c) A filmújdonságokat kategóriánként különböző polcon helyezik el oly módon, hogy a legfelsőn mindig az akciófilmek, a legalsón a drámák találhatók. Egy alkalommal 3 vígjáték, 5 akciófilm és 2 dráma érkezett. Hányféleképpen rendezheti el a filmeket az unatkozó alkalmazott a három polcon? Az éppen érkező fiú az újdonságok közül választ egy filmet. Mennyi a valószínűsége, hogy akciófilmet kölcsönzött?
7/9
a)
5 pont
b)
6 pont
c)
6 pont
Ö.:
17 pont
2014. 04. 14.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
17. Egy nagyvárosban egy februári nap végén 1000 influenzás megbetegedést regisztráltak a város különböző orvosi rendelőiben. A következő nap végén megállapították, hogy 12%-kal nőtt a megbetegedések száma. A következő nap sem csillapodott a járvány, az előző naphoz képest ismét 12%-kal nőtt a megbetegedések száma. Ez a tendencia két hétig tartott, mikortól végre egyre kevesebb beteget számláltak. a) Mennyi új influenzást számláltak a hetedik napon? b) Hányan betegedtek meg összesen a két hét alatt? Válaszát 500 főre kerekítve adja meg! Az országos felmérés után az influenza terjedését a következő formulával közelítették: K ,ahol t a járvány kezdetétől eltelt idő napokban, N(t) a N(t) = 86,8 a t +1 megbetegedések száma t nap elteltével, K a lakosság száma: 9.908.000 fő, az a értéke 0,75. c) Hány nap elteltével mutat a formula 1.682.740 beteget?
8/9
a)
5 pont
b)
6 pont
c)
6 pont
Ö.:
17 pont
2014. 04. 14.
Matematika – középszint
Név:……….…….…………………..Osztály:…… .
18. Három falu közös polgármestert választ. Három jelölt (A, B és C) közül lehet választani. Az 1. faluban 2000, a 2.-ban 1320 választásra jogosult járult az urnákhoz. Az eredményt rögzítő táblázatokról leolvasható, hogy az 1. faluban a választók 42%-a szavazott C jelöltre, A és B jelöltre pedig ugyan annyian adták le a szavazataikat. A 2. faluban az A, B, C jelöltekre 5:7:12 arányban szavaztak. Sajnos a 3. faluban született eredményt rögzítő táblázatot nem mentették, azaz eltűnt. a) Készítse el a 3. faluban született eredményt szemléltető táblázatot, ha a választás összesített végeredménye, azaz a három faluban leadott összes szavazat a következőképpen oszlott meg: A jelölt: 1599 szavazat B jelölt: 2169 szavazat C jelölt: 1776 szavazat. A 3. falu táblázata: A B C
……………szavazat ……………szavazat ……………szavazat
b) Hány választásra jogosult él a 3. faluban, ha a szavazáson 64%-os volt a részvétel? Végeztek közben egy közvélemény kutatást, amiben a szavazók arra a kérdésre válaszoltak, hogy hol találkoztak a polgármester jelöltek választási kampányhirdetéseivel. 92-en látták a helyi TV-ben a politikai hirdetéseket, 108-an olvasták az újságban, és 78-an látták szórólapon (illetve plakáton). A helyi TV-ben és a szórólapokon is 57-en, szórólapon és az újságban is 58-an, TV-ben is és az újságban is 63-an, mindhárom módon pedig 50-en látták. c) Hány szavazót kérdeztek meg falvanként, ha minden megkérdezett válaszolt is, és ugyanannyi szavazót kérdeztek mindhárom faluban? Hány olyan válaszadó volt, aki nem olvasta a hirdetéseket az újságban, de látta a TV-ben és a szórólapokon?
9/9
a)
9 pont
b)
2 pont
c)
6 pont
Ö.:
17 pont
2014. 04. 14.
