34
TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM
Bab 1 – Isyarat (bagian 3)
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
35 1.5.2. Isyarat Eksponensial dan Sinusoidal Kompleks Waktu Diskrit Isyarat eksponensial kompleks waktu diskrit dinyatakan dengan persamaan, x[n] = C α n atau x[n] = C e βn dengan α = e
β
dan C serta α merupakan bilangan kompleks. Jika konstanta C dan α
berupa bilangan riil saja, maka isyarat yang demikian disebut dengan isyarat eksponensial riil. Jika ditinjau dari nilai α, berikut ini adalah perilaku isyarat eksponensial riil: 1. Jika harga α lebih besar daripada satu ( α >1 ), maka isyarat bertambah (naik) secara eksponensial sejalan dengan membesarnya nilai n.
….
….. n
Gambar 1.32 Isyarat x[n] dengan α >1 2. Jika harga α memiliki nilai dalam rentang antara nol dan satu (0<α<1), maka isyarat cenderung menurun secara eksponensial sejalan dengan membesarnya nilai n. …..
….. n Gambar 1.33 Isyarat x[n] dengan 0<α<1
36 3. Jika harga α = 1, maka isyarat tetap pada nilai konstan C meskipun nilai n berubah. 4. Jika harga α memiliki nilai dalam rentang antara nol dan negatif satu (–1<α<0), maka isyarat cenderung menurun secara eksponensial sejalan dengan membesarnya nilai n dan juga mengalami pergantian nilai yang berselang-seling (antara positif dan negatif). …..
…. n
Gambar 1.34 Isyarat x[n] dengan –1<α<0 5. Jika harga α lebih kecil daripada negatif satu ( α < –1 ), maka isyarat bertambah (naik) secara eksponensial sejalan dengan membesarnya nilai n dan juga mengalami pergantian nilai yang berselang-seling (antara positif dan negatif).
….
….. n
Gambar 1.35 Isyarat x[n] dengan α < –1
37 6. Jika harga α = –1, maka isyarat akan mempunyai nilai yang berselang-seling antara +C dan –C sejalan dengan perubahan nilai n. Jika konstanta C = 1 dan β imaginer, maka dapat dinyatakan bahwa x[n] = e jω 0 n
Isyarat ini mendekati isyarat sinusoidal yang dinyatakan x[n] = A cos (ω0n + ϕ)
x[n] =
A jϕ jω0 n A − jϕ − jω0 n e e + e e 2 2
Jika didefinisikan C = ⎢C ⎢ e jθ dan
α = α e jω0 maka isyarat eksponensial kompleks secara umum dapat dinyatakan dengan x[n] = Cα n n
= C e jθ . α e jω0n n
= C α e jθ e jω0n = Cα
n
{ cos(ω 0 n + θ) + jsin(ω0 n + θ) }
Gambar 1.36 berikut merupakan beberapa contoh isyarat sinusoidal waktu diskrit. Pada gambar 1.36 (a) diilustrasikan contoh isyarat sinusoidal waktu diskrit dengan persamaan x[n] = cos (n/6). Pada gambar 1.36 (b) memperlihatkan isyarat sinusoidal waktu diskrit menaik, yaitu jika harga mutlak α lebih besar daripada 1 atau ⎢α⎢> 1, ini juga berarti bahwa α mempunyai rentang pada α < –1 atau α > 1. Sedangkan gambar 1.36 (c) memperlihatkan isyarat sinusoidal waktu diskrit menurun, yaitu jika harga mutlak α lebih kecil daripada 1 atau ⎢α⎢< 1, ini juga berarti bahwa α mempunyai rentang pada –1 < α < 1.
38
n
(a)
n
(b)
n
(c) Gambar 1.36 (a) Isyarat sinusoidal waktu diskrit (b) Isyarat sinusoidal waktu diskrit menaik (c) Isyarat sinusoidal waktu diskrit menurun Berikut adalah sifat-sifat periodik isyarat eksponensial kompleks waktu diskrit: 1. Interval frekuensi yang perlu dipertimbangkan hanya sepanjang 2π saja, yaitu pada rentang 0 ≤ ω0 ≤ 2π atau –π ≤ ω0 ≤ π. Hal ini disebabkan karena
39
e j(ω 0 + 2ππ) = e j2π2 e jω 0 n = e jω 0 n yaitu bahwa isyarat tersebut periodik pada periode 2π. 2. Agar isyarat eksponensial kompleks waktu diskrit x[n] = e jω0 t periodik dengan periode N > 0, maka
x[n + N] = e jω0 (n + N) = e jω0n yang juga berarti bahwa
e jω 0 N = 1 Sehingga ω0 N harus merupakan perkalian bilangan bulat dari 2π, yaitu ω0 N = 2π m Atau dapat dinyatakan kembali sebagai ω0 m = 2π N
Frekuensi dasarnya adalah 2π ω 0 = m N
Dan periode dasarnya adalah ⎧ 2π ⎫ N = m⎨ ⎬ ⎩ ω0 ⎭
Isyarat-isyarat eksponensial waktu diskrit periodik dikatakan terhubung secara harmonik jika dapat dipenuhi
φ k [n] = e
⎛ 2π ⎞ jk ⎜ ⎟ n ⎝N⎠
dimana N adalah peiode dasar 2π/N adalah frekuensi dasar φk[n] adalah isyarat ke-k k = 0, ±1, ±2, ±3, ….
40 1.5.3. Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Tentukan periode dasar isyarat x[n] jika x[n] = e
⎛ 2π ⎞ j⎜ ⎟ n ⎝ 3 ⎠
+e
⎛ 3π ⎞ j⎜ ⎟ n ⎝ 4 ⎠
Penyelesaian: Isyarat x[n] dapat dipandang sebagai jumlahan dua buah isyarat, misalkan x1[n] = e
⎛ 2π ⎞ j⎜ ⎟n ⎝ 3 ⎠
dan
x 2 [n] = e
⎛ 3π ⎞ j⎜ ⎟ n ⎝ 4 ⎠
maka x[n] dapat dinyatakan kembali sebagai x[n] = x1[n] + x2[n] Jika dapat ditemukan periode masing-masing isyarat x1[n] dan x2[n] maka dapat ditemukan pula periode dasar x[n], yaitu saat x1[n] dan x2[n] sama-sama berulang. N01 = periode x1[n] = m 2π = m 2π = 3m ω0
2π
3
Periode merupakan harga yang bulat, sehingga harga m dapat dipilih sebagai bilangan bulat pula. Nilai terkecil untuk m dapat dipilih sama dengan 1, sehingga N01 = 3 N02 = periode x2[n] = m 2π = m 2π = 8 m ω0
3π
4
3
Periode merupakan harga yang bulat, sehingga harga m dapat dipilih sebagai bilangan bulat pula. Agar diperoleh N02 yang bulat, maka nilai terkecil untuk m adalah 3, sehingga N02 = 8 Periode x[n] dapat ditentukan dengan cara mencari selang waktu terkecil dimana x1[n] dan x2[n] tepat berulang secara bersamaan; yaitu kelipatan terkecil antara N01 dan N02 N0 = periode x[n] = 3 x 8 = 24
41 2. Jika x[n] ditentukan dengan persamaan sebagai berikut, untuk n ≥ 0 ⎧1, x[n] = ⎨ ⎩0, untuk n yang lain
Tentukanlah apakah isyarat waktu diskrit x1[n]= x[n] + x[–n] periodik atau tidak. Penyelesaian: Isyarat x[n] dapat digambarkan sebagai berikut. x[n] …
…. -3
-2
-1 0
1
2 …
n
Gambar 1.37 Isyarat x[n] untuk soal no.2 Untuk menentukan isyarat x1[n], maka harus ditentukan terlebih dahulu x[–n] yaitu isyarat waktu balikan dari isyarat x[n]. Selanjutnya kedua isyarat tersebut dijumlahkan untuk memperoleh isyarat x1[n]. Perhatikan gambar 1.38 yang mengilustrasikan proses penyelesaian soal ini. Pada gambar 1.38(c) terlihat bahwa pada saat n = 0 maka nilai x1[0] = 2 sedangkan untuk n yang lain maka x1[n] = 1, atau dapat dinyatakan sebagai untuk n = 0 ⎧2, x1[n] = ⎨ ⎩1, untuk n yang lain
Nilai x1[0]=2 tidak terulang pada nilai n dimanapun, hal ini berarti bahwa x1[n] merupakan isyarat yang tidak periodik. x[n] 1 (a) n
42 x[–n] 1
(b) n
x1[n] = x[n] + x[–n] 2 1
(c) n
Gambar 1.38 (a) Isyarat x[n] (b) Isyarat x[–n] (c) Isyarat x1[n] = x[n] + x[–n]
1.5.4. Soal-soal Tambahan 1. Jika x[n] ditentukan dengan persamaan sebagai berikut, untuk n ≥ 0 ⎧1, x[n] = ⎨ ⎩0, untuk n yang lain
Tentukanlah apakah isyarat waktu diskrit yang dinyatakan dengan persamaan x1[n]= x[n] + x[–n+1] periodik atau tidak. 2. Temukan periode dasar isyarat-isyarat berikut: a. x[n] = cos (2πn/12) b. x[n] = cos (8πn/31) c. x[n] = cos (n/6)
1.6. Fungsi Impuls Satuan dan Fungsi Undak Satuan Pada sub bab ini akan dijelaskan pengertian tentang fungsi impuls satuan (unit impuls) dan fungsi undak satuan (unit step), baik untuk variabel bebas waktu kontinyu
43 maupun waktu diskrit. Untuk mempermudah penjelasan, maka akan dibahas untuk fungsi impuls satuan dan undak satuan waktu diskrit terlebih dahulu.
1.6.1. Fungsi Impuls Satuan dan Fungsi Undak Satuan Waktu Diskrit Fungsi impuls satuan (unit impuls) waktu diskrit dinotasikan sebagai δ[n] dan dinyatakan dengan persamaan ⎧0, untuk n ≠ 0 δ[n] = ⎨ ⎩1, untuk n = 0
Perhatikan gambar 1.39. Fungsi impuls satuan waktu diskrit dalam aplikasinya dapat digunakan untuk proses pencuplikan isyarat lain pada suatu saat tertentu (yang diinginkan). δ [n]
1
0
n
Gambar 1.49 Fungsi impuls satuan waktu diskrit Oleh karena δ[n] hanya mempunyai nilai pada saat n = 0, maka pencuplikan suatu isyarat x[n] dengan menggunakan δ[n] berarti mengalikan nilai isyarat x[n] pada saat n = 0 dengan δ[n], atau dinyatakan x[n] . δ[n] = x[0] . δ[n] Secara umum dapat juga dinyatakan x[n] . δ[n – n0] = x[n0] . δ[n – n0] Fungsi undak satuan (unit step) waktu diskrit dinotasikan sebagai u[n] dan didefinisikan sebagai berikut. ⎧0, untuk n < 0 u[n] = ⎨ ⎩1, untuk n ≥ 0
Perhatikan gambar 1.50. Terdapat hubungan khusus antara fungsi impuls satuan dengan fungsi undak satuan, antara lain adalah sebagai berikut.
44 1. Fungsi impuls satuan dapat diperoleh dengan cara δ[n] = u[n] – u[n – 1] yaitu mengurangi fungsi undak satuan dengan fungsi undak satuan yang telah mengalami alih ragam pergeseran waktu ke arah kanan sebanyak satu satuan. 2. Fungsi undak satuan dapat diperoleh dengan cara u[n] =
0
∑ δ[n − k]
k = −∞
atau u[n] =
∞
∑ δ[n − k] k=0
Dengan kata lain, fungsi undak satuan dapat diperoleh dengan penjumlahan fungsi impuls satuan yang telah digeser sebesar k, dengan k = 0, 1, 2, 3, …. 1
u [n] 0
n
Gambar 1.50 Fungsi undak satuan waktu diskrit
1.6.2. Fungsi Impuls Satuan dan Fungsi Undak Satuan Waktu Kontinyu Fungsi undak satuan waktu kontinyu dinotasikan sebagai u(t) dan didefinisikan sebagai ⎧0, untuk t < 0 u(t) = ⎨ ⎩1, untuk t > 0
Perhatikan gambar 1.51. Nilai u(t) berubah secara mendadak dari nol menjadi satu pada saat t = 0. u(t) 1 0 t Gambar 1.51 Fungsi undak satuan waktu kontinyu
45 Fungsi impuls satuan waktu kontinyu dinotasikan sebagai δ(t) dan didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi undak satuan waktu kontinyu, yaitu δ(t) =
d u(t) dt
Perhatikan gambar 1.52. δ(t) (a) 1 0
t k δ(t) k (b)
0
t
Gambar 1.52 (a) Fungsi impuls satuan waktu kontinyu (b) Fungsi impuls terskala (sebesar k) Fungsi impuls satuan waktu kontinyu yang digunakan untuk proses pencuplikan isyarat x(t) dinyatakan dengan x(t). δ(t) = x(0) . δ(t) atau secara umum juga dapat dinyatakan sebagai x(t).δ(t – t0) = x(t0).δ(t – t0)
1.6.3. Contoh Soal dan Penyelesaian 1. Gambarkan fungsi-fungsi berikut ini. a. δ[n–2] b. δ[n+1] c. u[–n]
46 d. u[n–3] e. u[n+2] Penyelesaian: ⎧0, untuk n ≠ 0 Jika fungsi δ[n] = ⎨ ⎩1, untuk n = 0
Maka:
⎧0, untuk n ≠ 2 a. δ[n − 2] = ⎨ ⎩1, untuk n = 2
⎧0, untuk n ≠ −1 b. δ[n + 1] = ⎨ ⎩1, untuk n = −1 ⎧0, untuk n < 0 Jika u[n] = ⎨ ⎩1, untuk n ≥ 0
Maka: ⎧0, untuk n > 0 c. u[− n] = ⎨ ⎩1, untuk n ≤ 0
⎧0, untuk n < 3 d. u[n − 3] = ⎨ ⎩1, untuk n ≥ 3
⎧0, untuk n < −2 e. u[n + 2] = ⎨ ⎩1, untuk n ≥ −2 Perhatikan gambar 1.53. δ [n–2]
1
(a) 0 1
1
2
3
n
δ [n+1] (b)
-2 -1
0
1
n
47 1
u [–n] (c)
-2 -1 0
n
u [n-3] (d) -1 0 1
1
2
3
4
n
u [n+2] (e)
-3 -2 -1 0
n
Gambar 1.53 Ilustrasi fungsi jawaban soal no. 1 2. Buktikan bahwa: a. δ[n] = u[n] – u[n – 1] ∞
b. u[n] = ∑ δ[n − k] k =0
Penyelesaian: a. Untuk membuktikan bahwa δ[n] = u[n] – u[n – 1], maka akan dibuktikan dari ruas kanan tanda sama dengan. Perhatikan gambar 1.54. 1
u [n] (a) 0
n
48 1
u [n–1] (b)
0 1
n
δ [n]
1
(c) 0
n
Gambar 1.54 Bukti untuk soal no. 2a. Dengan mengurangi fungsi undak satuan waktu diskrit (u[n]) dengan fungsi undak satuan waktu diskrit yang tergeser ke arah kanan satu satuan (u[n–1]), ternyata diperoleh fungsi impuls satuan waktu diskrit. Dengan demikian, soal no. 2a terbukti benar. b. Untuk membuktikan u[n] =
∞
∑ δ[n − k] ,
juga akan diuji dari arah ruas kanan
k =0
tanda sama dengan. Disebelah kanan tanda sigma (Σ), tertulis fungsi impuls satuan yang tergeser ke arah kanan sebesar k satuan, dengan k = 0, 1, 2, 3, …. Tanda sigma sendiri berarti penjumlahan, sehingga komponen di sebelah kanan tanda sama dengan merupakan penjumlahan fungsi impuls satuan yang tergeser nol satuan, satu satuan, dua satuan, tiga satuan, dst. Perhatikan gambar 1.55. Untuk k = 0 δ [n]
1
(a) 0
n
49 untuk k =1 δ [n–1]
1
(b) 0
1
n
untuk k = 2 δ [n–2]
1
(c) 0
1
2
n
untuk k = 3 δ [n–3]
1
(d) 0
1
2
3
4
n
dst, sampai dengan k = ∞ 1
u [n] ….. 0
(e) n
Gambar 1.55 Bukti untuk soal no.2b Gambar 1.55 (a) adalah fungsi impuls tergeser nol satuan, atau tidak tergeser. Gambar 1.55 (b), (c), dan (d) merupakan fungsi impuls yang tergeser masingmasing satu, dua, dan tiga satuan. Jika penggeseran fungsi impuls ini dilakukan terus-menerus sampai dengan k = ∞, kemudian semua fungsi tersebut dijumlahkan, maka akan diperoleh fungsi pada gambar 1.55 (e). Fungsi ini dapat
50 ∞
dinyatakan sebagai
∑ δ[n − k] ,
yang ternyata identik dengan fungsi undak
k =0
satuan u[n]. Dengan demikian persamaan pada soal 2b telah terbukti benar.
1.6.4. Soal-soal Tambahan 1. Buktikan bahwa dalam proses pencuplikan berlaku x(t). δ(t) = x(0) . δ(t) 2. Buktikan pula bahwa x(t).δ(t – t0) = x(t0).δ(t – t0) 3. Buktikan bahwa
δ(t) =
d u(t) dt
