TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM
Bab 1 – Isyarat
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
2
BAB I ISYARAT
Tujuan Instruksional 1. Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem. 2. Khusus Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan: -
Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian tentang isyarat.
-
Mahasiswa dapat menjelaskan perbedaan isyarat waktu kontinyu dan isyarat waktu diskrit.
-
Mahasisawa dapat menjelaskan tentang energi dan daya pada isyarat.
-
Mahasiswa dapat menerapkan berbagai macam
transformasi pada
sebuah isyarat. -
Mahasiswa dapat menjelaskan tentang isyarat periodik, isyarat genap, dan isyarat ganjil.
-
Mahasiswa dapat menjelaskan tentang isyarat eksponensial dan sinusoidal.
-
Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian isyarat harmonik.
-
Mahasiswa dapat menjelaskan tentang fungsi impuls satuan dan fungsi undak satuan.
1.1. Pendahuluan Isyarat merupakan gambaran beraneka macam fenomena fisik yang terjadi (alamiah maupun buatan manusia). Variasi (perubahan) yang terjadi pada sebuah isyarat memuat informasi atau dengan kata lain informasi termuat dalam pola atau
3
variasi isyarat. Sebagai contoh, adalah isyarat yang menyatakan tegangan (v) yang berubah (bervariasi) terhadap waktu (t), dan dinyatakan dengan v(t). Masingmasing besaran, yaitu v dan t adalah sebuah peubah atau variabel. Variabel v, besarnya bergantung pada variabel t. Oleh karena itu variabel v disebut variabel tidak bebas. Sedangkan variabel t tidak bergantung pada variabel manapun, sehingga disebut variabel bebas. Berdasarkan variabel bebasnya, terdapat dua jenis isyarat yaitu: 1. Isyarat waktu kontinyu (iwk) 2. Isyarat waktu diskrit (iwd) Isyarat waktu kontinyu mempunyai variabel bebas yang sifatnya kontinyu, dengan demikian isyarat yang bersangkutan juga akan bersifat kontinyu. Notasi untuk isyarat jenis ini dinyatakan sebagai berikut: f(t) dengan f adalah variabel tidak bebas dan t adalah variabel bebas. Antara kedua variabel dipisahkan dengan tanda kurung lengkung. Ilustrasi sebuah isyarat waktu kontinyu dapat dilihat pada gambar 1.1 berikut. f (t)
t
Gambar 1.1 Isyarat waktu kontinyu (iwk) Isyarat waktu diskrit mempunyai variabel bebas yang sifatnya diskrit (terputus-putus), dengan demikian isyarat yang bersangkutan juga hanya
4
mempunyai nilai pada saat-saat tertentu saja. Isyarat jenis ini, variabel bebasnya hanya mempunyai nilai-nilai yang bulat (integer) saja. Notasi isyarat waktu diskrit dinyatakan dengan: f[n] dengan f adalah variabel tidak bebas dan n adalah variabel bebas. Antara kedua variabel dipisahkan dengan tanda kurung siku. Ilustrasi sebuah isyarat waktu kontinyu dapat dilihat pada gambar 1.2 berikut. f[n] f[-2] f[0]
-3
-2
f[-3]
-1
0 f[-1]
f[2]
1
f[3]
2
3
n
f[1]
Gambar 1.2 Isyarat waktu diskrit (iwd)
1.2. Energi dan Daya Isyarat Dalam banyak penerapan, isyarat menyatakan daya dan energi yang berasal dari sebuah sistem fisik. Sebagai ilustrasi, jika v(t) dan I(t) menyatakan tegangan dan arus terhadap tahanan R, maka daya dari sistem yang bersangkutan adalah: P(t) = v(t).i(t) 1 = . v 2 (t) R
Dan energi total pada interval t1 ≤ t ≤ t2 adalah:
∫
t2 t1
P(t) dt = ∫
t2 t1
1 2 v (t) dt R
atau daya rata-ratanya sebagai berikut:
5
1 t 2 − t1
∫
1 2 v (t) dt R
t2 t1
Untuk isyarat yang dinyatakan dengan bilangan kompleks (terdapat bagian real dan imaginer), maka harus ditemukan modulusnya terlebih dahulu. Selanjutnya, energi total pada interval t1 ≤ t ≤ t2 dapat dinyatakan sebagai:
∫
t2
2
f(t) dt ,
t1
n2
∑ f[n]
untuk isyarat waktu kontinyu (iwk)
2
,
untuk isyarat waktu diskrit (iwd)
n = n1
dan daya rata-ratanya sebagai berikut:
1 t 2 − t1
∫
t2 t1
2
f(t) dt ,
n2 1 ∑ f[n] n 2 − n 1 + 1 n = n1
untuk iwk 2
,
untuk iwd
Pada beberapa sistem mungkin diperlukan pengetahuan tentang daya dan energi isyarat pada interval waktu yang tidak terbatas, yaitu interval - ∞ < t < + ∞ ,
E∞ Δ
lim + T 2 f(t) dt ∫ T → ∞ −T +∞
=
∫ f(t)
2
untuk iwk
dt
−∞
dan E∞ Δ =
2 lim + N f[n] ∑ N → ∞ −N +∞
∑ f[n]
2
untuk iwd
−∞
Sedangkan daya rata-ratanya menjadi:
6
lim 1 + T 2 P∞ Δ f(t) dt ∫ T → ∞ 2 T −T
untuk iwk
dan
P∞ Δ
lim 1 +N 2 f[n] ∑ N → ∞ 2 N+ 1 − N
untuk iwd
Dilihat dari energi dan daya isyarat, maka isyarat dapat dibedakan menjadi tiga kelas yaitu: 1. Isyarat dengan energi total terbatas atau E∞ < ∞. Isyarat jenis ini mempunyai daya rata-rata nol atau P∞ = 0. 2. Isyarat dengan daya rata-rata terbatas atau P∞ < ∞. Isyarat jenis ini mempunyai energi total yang tidak terbatas atau E∞ = ∞. 3. Isyarat dengan daya rata-rata dan energi total yang terbatas. Sebagai contoh adalah isyarat yang dinyatakan dengan persamaan x(t) = t.
1.3. Alih Ragam Variabel Bebas Alih ragam atau transformasi merupakan hal yang sangat penting dalam proses analisis isyarat. Sebagai contoh, dalam mikrofon sebuah pesawat telefon, tekanan yang dihasilkan oleh isyarat audio (dalam hal ini suara manusia) akan mengakibatkan bervariasinya tahanan butir-butir karbon. Selanjutnya tahanan yang bervariasi ini akan menghasilkan arus listrik yang bervariasi pula sesuai dengan suara pada masukan. Berikut ini beberapa alih ragam variabel bebas yang sering dijumpai (variabel bebas yang akan dibahas adalah variabel waktu t). 1. Alih ragam pergeseran waktu Alih ragam pergeseran waktu akan menggeser waktu ke arah positif (tunda) atau ke arah negatif (mendahului). •
Isyarat waktu kontinyu
7
Misalkan x(t) adalah isyarat asli, maka x(t-t0) adalah isyarat tergeser sejauh t0. Jika t0 positif, maka isyarat tersebut tertunda dari versi aslinya. Sedangkan jika t0 negatif, maka isyarat tersebut mendahului versi aslinya. Ilustrasi grafis dapat dilihat pada gambar 1.3. x(t)
a
(a) t x(t) a
(b)
t0
t
x(t) a
(c)
t0
t
Gambar 1.3 (a) Isyarat asli (b) Isyarat tergeser, t0 < 0 (c) Isyarat tergeser, t0 > 0
8
•
Isyarat waktu diskrit Misalkan x[n] adalah isyarat asli, maka x[n-n0] adalah isyarat tergeser sejauh n0. Jika n0 positif, maka isyarat tersebut tertunda dari versi aslinya. Sedangkan jika n0 negatif, maka isyarat tersebut mendahului versi aslinya. x[n]
→
isyarat asli
x[n-n0]
→
isyarat tergeser n0 positif → tertunda n0 negatif → mendahului
Ilustrasi grafis dapat dilihat pada gambar 1.4.
x[n] (a) n
x[n – n0] (b) n n0
9
x[n – n0] (c)
n n0 Gambar 1.4 (a) Isyarat asli (b) Isyarat tergeser, n0 > 0 (c) Isyarat tergeser, n0 < 0 2. Alih ragam waktu balikan (time reversal) •
Isyarat waktu kontinyu Jika isyarat asli dinyatakan dengan x(t) maka isyarat waktu balikan dinyatakan dengan x(-t). Isyarat waktu balikan dapat diperoleh dengan pencerminan terhadap garis t = 0. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 1.5.
•
Isyarat waktu diskrit Jika isyarat asli dinyatakan dengan x[n] maka isyarat waktu balikan dinyatakan dengan x[-n]. Isyarat waktu balikan dapat diperoleh dengan pencerminan terhadap garis n = 0. Ilustrasinya dapat dilihat pada gambar 1.6. Salah satu contoh aplikasi alih ragam waktu balikan adalah proses perekaman pada pita magnetik. Perekaman pada arah maju adalah perekaman isyarat x(t), sedangkan x(-t) menyatakan perekaman pada pita yang sama pada arah balik.
10
x(t) (a) t
x(-t) (b) t
Gambar 1.5 (a) Isyarat asli x(t) dan (b) Isyarat waktu balikan x(-t) x[n] (a) n x[-n] (b) n Gambar 1.6 (a) Isyarat asli x[n] dan (b) Isyarat waktu balikan x[-n]
11
3. Alih ragam penskalaan waktu (time scaling) Alih ragam penskalaan waktu berarti mengalikan variabel bebas (dalam hal ini waktu) dengan suatu tetapan (konstanta) tertentu. Jika isyarat asli dinyatakan dengan x(t) maka penskalaan waktu sebesar k kali dinotasikan dengan x(kt), dengan k adalah konstanta. Ilustrasi pada isyarat waktu kontinyu dapat dilihat pada gambar 1.7 berikut. x(t) (a) -1
0
1
t
x(2t) (b) -½
½
t
x(t/2) (c)
2
0
2
t
Gambar 1.7 (a) Isyarat asli (b) Isyarat di-skala dua kali dan (c) Isyarat di-skala setengah kali Salah satu contoh aplikasi penskalaan waktu adalah pada pemutaran rekaman. Rekaman yang diputar normal adalah isyarat asli, jika pemutarannya
12
dipercepat maka k > 1 (misalnya diputar dengan kecepatan dua kali lipat, yaitu k = 2). Sedangkan rekaman akan diputar dengan diperlambat jika
k < 1
(misalnya diputar dengan kecepatan setengah dari kecepatan normal, yaitu dengan k = ½). 4. Alih ragam oleh persamaan berbentuk x ( αt + β ) Dengan α dan β merupakan suatu konstanta yang diketahui, alih ragam oleh persamaan x ( αt + β ) merupakan gabungan dari beberapa alih ragam yang telah dibahas sebelumnya. Konstanta α dapat merepresentasikan waktu balikan (yaitu jika α < 0) atau merepresentasikan penskalaan waktu (dimampatkan jika α >1 atau direntangkan jika 0 < α <1). Sedangkan konstanta β dapat merepresentasikan pergeseran waktu (yaitu jika β ≠ 0). Perlu diingat bahwa alih ragam atau transformasi sebuah isyarat tidak pernah mengubah bentuk dasar isyarat itu sendiri atau dengan kata lain bentuk isyarat selalu dipertahankan. Gambar 1.8 berikut merupakan ilustrasinya. x(t) 1
-1
(a)
0
1
2
t
x(t - 1) 1
(b) 0
1
2
3
t
13
x(2t) 1
-½
(c)
½
1
t
x(2t - 1) 1
(d)
½
1
3/2
t
x(-t) 1
-2
-1
(e)
0
1
t
x(-t – 0,5) 1
-5/2
-3/2
-½
(f)
½
t
Gambar 1.8 Ilustrasi alih ragam oleh persamaan berbentuk x ( αt + β ) (a) Isyarat asli (a) Isyarat tergeser (α=1 dan β=1) (a) Isyarat terskala (α=2) (a) Isyarat terskala dan tergeser (α=2 dan β=1) (a) Isyarat waktu balikan (a) Isyarat waktu balikan tergeser ((α=-1 dan β=0,5)
14
1.3.1. Contoh Soal dan Penyelesaiannya Berikut ini akan diberikan beberapa contoh soal disertai dengan pembahasan untuk penyelesaiannya. 1.
Jika isyarat waktu kontinyu f(t) dinyatakan seperti dalam gambar 1.9 berikut, maka tentukanlah: a. f(t – 2) b. f(t + 1) c. f(-t) d. f(2t/3) f(t) 2
-2
0
2
t
Gambar 1.9 Isyarat f(t) untuk soal no. 1 Penyelesaian: a. Isyarat yang dinyatakan dengan f(t–2) merupakan isyarat f(t) yang digeser sebesar t0 = 2; berarti digeser ke arah kanan (isyarat ditunda sebesar 2 satuan). Maka isyarat f(t-2) akan diperlihatkan oleh gambar 1.10. f(t-2) 2
0
2
Gambar 1.10 Isyarat f(t-2)
4
t
15
b. Isyarat yang dinyatakan dengan f(t + 1) merupakan isyarat f(t) yang digeser sebesar t0 = - 1; berarti digeser ke arah kiri (isyarat mendahului isyarat asli sebesar 1 satuan). Maka isyarat f(t + 1) akan diperlihatkan oleh gambar 1.11. f(t+1) 2
-3
-1
0
1
t
Gambar 1.11 Isyarat f(t+1) c. Isyarat yang dinyatakan dengan f(-t) merupakan isyarat waktu balikan dari isyarat asli f(t). Isyarat waktu balikan ini dapat diperoleh dengan pencerminan terhadap garis t = 0. Oleh karena isyarat f(t) simetris terhadap sumbu t = 0, maka isyarat f(-t) sama persis dengan isyarat aslinya, yaitu f(t). Isyarat seperti ini disebut isyarat genap (even signal), yaitu jika f(-t) = f(t) atau f[-n] = f[n]. Sedangkan jika isyarat memenuhi kondisi f(-t) = - f(t) atau f[-n] = -f[n], maka isyarat tersebut disebut isyarat ganjil (odd signal). Perhatikan gambar 1.12 berikut.
16
f(-t) 2
-2
0
2
t
Gambar 1.12 Isyarat f(-t) d. Isyarat yang dinyatakan dengan f(2t/3) merupakan isyarat yang terskala waktu, dengan konstanta k = 2/3. Oleh karena k lebih kecil daripada satu, maka isyarat ini merupakan rentangan secara linier dari isyarat aslinya. Perhatikan gambar 1.13 berikut. f(2t/3) 2
-3
0
3
t
Gambar 1.13 Isyarat f(2t/3) 2.
Jika isyarat waktu diskrit f[n] dinyatakan seperti dalam gambar 1.14, maka tentukanlah: a. f[n - 1] b. f[n + 3] c. f[-n] d. f[-n+2]
17
Penyelesaian: a. Isyarat f[n-1] merupakan isyarat tergeser dengan n0 = 1; isyarat tertunda satu satuan atau tergeser ke arah kanan satu satuan. Perhatikan gambar 1.15 (a). b. Isyarat f[n+3] merupakan isyarat tergeser dengan n0 = -3; isyarat mendahului isyarat aslinya sebesar tiga satuan atau tergeser ke arah kiri tiga satuan. Perhatikan gambar 1.15 (b). c. Isyarat yang dinyatakan dengan f[-n] merupakan isyarat waktu balikan dari isyarat asli f[n]. Isyarat waktu balikan ini dapat diperoleh dengan pencerminan terhadap garis n = 0. Perhatikan gambar 1.15(c). d. Isyarat yang dinyatakan dengan f[-n+2] merupakan isyarat yang mengalami alih ragam waktu balikan dan juga pergeseran waktu dari isyarat aslinya yaitu f[n]. Perhatikan gambar 1.15 (d). f[n]
-4 -3 -2 -1
0 1 2 3
n
Gambar 1.14 Isyarat f[n] untuk soal no.2 f[n-1] (a)
-3 -2 -1 0
1 2
3
4
n
18
f[n+3] (b)
-6 -5 -4 -3 -2 –1 0 1
n
f[-n] (c)
-3 -2 -1 0
1 2 3 4
n
f[-n+2] (d)
-1
0
1
2 3
4
5
6
Gambar 1.15 (a) Isyarat f[n-1] (b) Isyarat f[n+3] (c) Isyarat f[-n] (d) Isyarat f[-n+2]
1.3.2. Soal-soal Tambahan 1. Isyarat x[n] merupakan isyarat yang didefinisikan sebagai untuk 0 ≤ n ≤ 3 ⎧1 ⎪ x[n] = ⎨2 untuk n > 3 ⎪0 untuk n yang lain ⎩
n
19
tentukanlah: a. x[n-3] b. x[n+4] c. x[-n] d. x[-n+4] e. x[n-3] – x[n+4] f. x[-n] – x[-n+4] 2. Buktikan bahwa isyarat dengan energi total terbatas akan mempunyai daya rata-rata nol. 3. Buktikan bahwa isyarat dengan daya rata-rata terbatas akan mempunyai energi total yang tidak terbatas. 4. Jika x(t) adalah isyarat waktu kontinyu yang hanya mempunyai nilai tidak sama dengan nol untuk t > 2, maka untuk isyarat-isyarat berikut ini tentukanlah harga t yang pasti bernilai nol. a. x(1-t) b. x(1-t) + x(3-t) c. x(2t) d. x(2t) – x(t) 5. Jika x(t) merupakan suatu isyarat waktu kontinyu yang didefinisikan oleh ⎧ 1, untuk 0 ≤ t ≤ 2 ⎪ x (t ) = ⎨ t , untuk 2 < t ≤ 4 ⎪0, untuk yang lain ⎩
maka tentukanlah: a. x(-t) b. x(t) + x(-t) c. x(t) – x(-t) d. x(t – 1) e. x(-t – 1) f. x(t – 1) + x(-t – 1)
