Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül!

Ketskem´ ety-Pint´ er

1

Feladatok 1.

els˝ o

1. Legyen A, B ∈ ℑ. Adja meg az o¨sszes olyan C ∈ ℑ eseményt, melyre A · C ≡ A · B teljes¨ ul! 2. Legyen A, B ∈ ℑ. Adja meg az A, B-t tartalmaz´ o legsz˝ ukebb σ−algebr´ at! 3. Legyen A1 , A2 , . . . , An ∈ ℑ. Bizony´ıtsa be, hogy P (A1 · A2 · · · · · An ) ≥ P (A1 )+P (A2 )+· · ·+P (An )− (n − 1). ¯ 4. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B ∈ ℑ esetén |P (AB) − P (AC)| ≤ P (B△C) , ahol B△C = B C¯ + BC! 5. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B ∈ ℑ esetén − 41 ≤ P (AB) − P (A) P (B) ≤ 14 ! ¯ ≤ 1! 6. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B ∈ ℑ esetén P (AB) P A¯B 4 7. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B ∈ ℑ esetén P (A△B) = P (A) + P (B) − 2P (AB)! 8. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B, C ∈ ℑ esetén P (AB) + P (AC) − P (BC) ≤ P (A)! 9. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B, C ∈ ℑ esetén P (A + B + C) − P (ABC) ≥ P (B△C)! 10. Bizony´ıtsa be, hogy minden A, B, C ∈ ℑ esetén P (A△B) ≤ P (A△C) + P (B△C)! 11. Bizony´ıtsa be, hogyha P (A) = 0, 9 és P (B) = 0, 8, akkor P (AB) ≥ 0, 7! 12. A K k´ısérlet abban a´ll, hogy véletlenszer˝ uen kiv´ alasztunk n elemnek egy permut´ aci´ oj´ at. Jelentse A ij azt az eseményt, amikor a kiv´ alasztott permut´ aci´ oban az i-edik elem a j-edik helyen a´ll. Fejezze ki Aij -k seg´ıtségével az al´ abbi eseményeket: A: ,,az els˝ o elem a m´ asodikt´ ol balra a´ll”, B: ,,az els˝ o elem sorsz´ ama legfeljebb j”. 13. Legyen A1 , A2 , . . . , An ∈ ℑ és A =

Pn

i=1

´ ıtsuk el˝ Ai . All´ o A-t egym´ ast kiz´ ar´ o események o¨sszegeként!

14. Egy egyetemi évfolyamon a l´ anyok k¨ oz¨ ul 60-nak a haja barna, 40-nek a haja és a szeme is barna, 110 l´ anynak a haja és a szeme k¨ oz¨ ul legal´ abb az egyik barna. H´ any barnaszem˝ u l´ any van az évfolyamon? 15. Egy k´ avéautomata 100 Ft-os érmékkel m˝ uk¨ odik. Egy tetsz˝ oleges 100 Ft-os érmét 0,98 val´ osz´ın˝ uséggel fogad el. Az automata kijelz˝ oje mutatja, hogy még 4 adag k´ avé van benne. Négyen a´llnak az automata el˝ ott 1-1 db 100 Ft-os érmével a kez¨ ukben, amikor odaérkezem. Mekkora a val´ osz´ın˝ usége, hogy jut nekem a k´ avéb´ ol? Mekkora annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy én iszom a 4 adag k¨ oz¨ ul az els˝ ot? 16. H´ arom szab´ alyos dob´ okock´ aval dobunk. A: ,,az o¨sszeg 7”, B: ,, mindegyik p´ aros”, C: ,,van k¨ oz¨ ott¨ uk ¯ és P((A + C)B) ¯ val´ h´ armas”. Sz´ amolja ki a P(A · (B + C)) osz´ın˝ uségeket! 17. Az o¨t¨ oslott´ o esetében melyik lott´ osz´ am lesz a legnagyobb val´ osz´ın˝ uséggel a m´ asodik legnagyobb kih´ uzott sz´ am?


2

18. Az o¨t¨ oslott´ o esetében mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a k¨ ovetkez˝ o heti lott´ osz´ amok legnagyobbika kisebb lesz, mint a r´ ak¨ ovetkez˝ o hét kih´ uzott sz´ amainak legkisebbike? 19. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a lott´ on a kih´ uzott o¨t sz´ am k¨ oz¨ ul nagys´ ag szerint a k¨ ozéps˝ o 50-nél kisebb? 20. Egy sakkt´ abl´ an tal´ alomra elhelyez¨ unk 8 b´ asty´ at. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a b´ asty´ ak nem u ¨tik egym´ ast? 21. Egyszerre n szab´ alyos dob´ okock´ aval dobunk. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy A: az o¨sszes kock´ aval ugyanazt az értéket kapjuk? B: legal´ abb egy hatost dobunk? C: pontosan egy hatost dobunk? 22. Egy urn´ aban a darab fehér és b darab fekete goly´ o van. (a, b ≥ 2). Viszszatevés nélk¨ ul kivesz¨ unk két goly´ ot az urn´ ab´ ol. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy A: a két goly´ o azonos sz´ın˝ u? B: a két goly´ o k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ın˝ u? 23. Harminc sz´ amozott goly´ ot rakunk szét nyolc k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o l´ ad´ aba. (Az elhelyezéskor b´ armelyik goly´ ot ugyanakkora val´ osz´ın˝ uséggel tehet¨ unk b´ armelyik l´ ad´ aba.) Keress¨ uk meg annak az elhelyezésnek a val´ osz´ın˝ uségét, amelynél h´ arom l´ ada u ¨res, kett˝ oben h´ arom goly´ o van, kett˝ obe hat és egybe 12 db goly´ o ker¨ ul! 24. Tekints¨ uk az o¨sszes olyan n hossz´ us´ ag´ u sorozatot, amelyek 0, 1, 2 sz´ amokb´ ol a´llnak. Hat´ arozzuk meg annak a val´ osz´ın˝ uségét, hogy egy véletlen¨ ul v´ alasztott ilyen sorozat: A: 0-val kezd˝ odik; B: pontosan m + 2 db 0-´ at tartalmaz, melyek k¨ oz¨ ul kett˝ o a sorozat végén van; C: pontosan m db 1-est tartalmaz; D: pontosan m0 db 0-´ at, m1 db 1-est és m2 db 2-est tartalmaz. 25. Ketten pénzfeldob´ assal j´ atszanak. Andr´ as nyer, ha egy szab´ alyos érme dob´ asi sorozat´ aban h´ arom fej hamarabb k¨ ovetkezik, mint a fej-´ır´ as-fej sorozat. Viszont Béla a nyer˝ o, ha mindez ford´ıtva t¨ orténik, azaz a fej-´ır´ as-fej sorozat el˝ obb j¨ on mint fej-fej-fej. Egyenl˝ oek a j´ aték nyerési esélyei? Milyen legyen a fej dob´ as´ anak p val´ osz´ın˝ usége, hogy a j´ aték ,, fair” legyen? 26. Legyen A az az esemény, hogy az o¨t¨ oslott´ o h´ uz´ as´ an´ al mindegyik kih´ uzott sz´ am nem nagyobb mint 50, és B pedig az az esemény, hogy mindegyik kih´ uzott sz´ am p´ aros. Sz´ amoljuk ki a P(A), P(B), P(AB), P(A+ B) val´ osz´ın˝ uségeket! 27. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a lott´ oh´ uz´ asn´ al a kih´ uzott legnagyobb és legkisebb sz´ am k¨ ul¨ onbsége éppen k? (4 ≤ k ≤ 89). 28. Egy u ¨res, téglalap alak´ u szob´ aban, melynek falai 10 és 5 méter hossz´ uak, leejt¨ unk egy goly´ ot. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a goly´ o egy olyan pontban fog meg´ allni, amely k¨ ozelebb van a szoba egy sark´ ahoz, mint a szoba k¨ ozéppontj´ ahoz? 29. Egy 10 cm oldalhossz´ us´ ag´ u négyzetr´ acsos h´ al´ ozatra leejt¨ unk egy 3 cm a´tmér˝ oj˝ u k¨ oralak´ u pénzdarabot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a pénzdarab lefedi egy négyzet cs´ ucs´ at?


3

30. Az ABCD négyzetben tal´ alomra v´ alasztunk egy P pontot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy P k¨ ozelebb lesz az AB oldalhoz, mint a négyzet k¨ ozéppontj´ ahoz? 31. Egy d szélesség˝ u lécekb˝ ol a´ll´ o padl´ ozatra ledobunk egy s = 2d hossz´ us´ ag´ u t˝ ut. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a t˝ u két padl´ orést fog egyszerre metszeni? 32. Az egységk¨ or ker¨ uletén véletlenszer˝ uen kiv´ alasztunk h´ arom pontot: A, B és C-t. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a BAC sz¨ og nagyobb lesz 60o -n´ al? 33. Legyen P = (a, b) az egységnégyzet egy véletlen¨ ul kiv´ alasztott pontja és p(x) = 31 x3 − a2 x + b egy harmadfok´ u polinom. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy p(x)-nek pontosan egy, illetve pontosan h´ arom val´ os gy¨ oke van? 34. Tal´ alomra kiv´ alasztunk egy P pontot az egységk¨ or ker¨ uletén, majd egy Q pontot a k¨ orlapon. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a QP szakasz hossza nagyobb, mint 1? 35. A (0, 2) és (0, 3) szakaszokon v´ alasztunk tal´ alomra egy-egy pontot, legyenek ezek x és y. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy az x, y és 1 hossz´ us´ ag´ u szakaszokb´ ol szerkeszthet˝ o h´ aromsz¨ og? 36. A [0, 1] intervallumon tal´ alomra kiv´ alasztunk két sz´ amot. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy az egyik sz´ am t¨ obb, mint kétszerese lesz a m´ asiknak? 37. V´ alasszunk ki egy x és egy y pontot az egységintervallumban! Tekints¨ uk azt a téglalapot, melynek oldalhosszai x és y. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a keletkez˝ o téglalap ker¨ ulete nagyobb, mint 2 és ter¨ ulete kisebb, mint 0, 25? 38. Vegy¨ unk egy véletlen P = (a, b) pontot az egységnégyzetb˝ ol. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a os gy¨ oke? p(x) = ax2 − 2bx + 1 polinomnak nincs val´ 39. Egy urn´ aban b darab fekete és r darab fehér goly´ o van. Véletlenszer˝ uen kih´ uzunk egy goly´ ot. A kih´ uzott goly´ ot és még ugyanolyan sz´ın˝ ub˝ ol c darabot visszatesz¨ unk az urn´ aba. Ezt megtessz¨ uk egym´ as ut´ an b ! n-szer. Igazolja, hogy ezek ut´ an, a fekete goly´ o kih´ uz´ as´ anak val´ osz´ın˝ usége b+r 40. Magyar k´ arty´ aval huszonegyez¨ unk. A k´ artya értékei: als´ o=2, fels˝ o=3, kir´ aly=4, hetes=7, nyolcas=8, kilences=9, tizes=10, a´sz=11. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy 21-¨ unk lesz, ha a 19-et ért¨ uk el az o¨t¨ odik h´ uz´ as ut´ an? 41. Egy kalapban t´ız cédula van, melyekre a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sz´ amjegyek vannak fel´ırva. Visszatevéssel kivesz¨ unk két cédul´ at. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a sz´ amjegyek o¨sszege i, feltéve, hogy a sz´ amjegyek szorzata nem nulla? (i = 0, 1, ..., 18). 42. El˝ osz¨ or feldobunk egy szab´ alyos érmét. Ha fej, egyszer, ha ´ır´ as, akkor kétszer dobunk egy szab´ alyos dob´ okock´ aval. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy lesz hatos? 43. Egy rekeszben 15 teniszlabda van, melyek k¨ oz¨ ul 9 még haszn´ alatlan. H´ arom j´ atékhoz kivesz¨ unk tal´ alomra h´ arom labd´ at, majd a j´ aték ut´ an visszarakjuk azokat a rekeszbe. (Nyilv´ an, ha volt k¨ oz¨ ott¨ uk haszn´ alatlan, az a j´ aték sor´ an elveszti ezt a tulajdons´ ag´ at.) Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy mindh´ arom kivételhez 1 u ´j és 2 haszn´ alt labda ker¨ ul a kez¨ unkbe?


4

44. Egy sz¨ ovegszerkeszt˝ o a karaktereket 7 bitbe k´ odolja, és ezt egy parit´ asbittel egész´ıti ki u ´gy, hogy az 1-ek sz´ ama p´ aros legyen. Teszi ezt azért, hogy egy hib´ at észlelni tudjon, ha p´ aratlan az egyesek sz´ ama. Tegy¨ uk fel, hogy a nyolc bitet egy olyan (´ un. bin´ aris szimmetrikus) csatorn´ an k¨ uldi a´t, amely egy bitet 1 osz´ın˝ uséggel ront el. Milyen val´ osz´ın˝ uséggel kapunk a kimeneten u ´gy nyolc bitet, hogy az hib´ as, 10 val´ de mégsem tudjuk azt észlelni? 45. A vizsg´ az´ ok 75%-a A szakos, 15%-a B szakos és 10%-a C szakos. Annak az eseménynek a val´ osz´ın˝ usége, hogy egy hallgat´ o o¨t¨ ost kap, az A szakosok esetében 0, 4, a B szakosokn´ al 0, 7, és a C szakosokn´ al 0, 6. Ha egy személyr˝ ol tudjuk, hogy o¨t¨ osre vizsg´ azott, akkor milyen val´ osz´ın˝ uséggel lehet A, B illetve C szakos? 46. H´ arom egyforma doboz k¨ oz¨ ul kett˝ oben 2 piros, egyben 1 piros és 1 fehér goly´ o van. Véletlenszer˝ uen kiv´ alasztunk egy dobozt, és abb´ ol egy goly´ ot. Ha ez piros, akkor mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a dobozban marad´ o goly´ o sz´ıne fehér? 47. Egy szab´ alyos kock´ aval addig dobunk u ´jra és u ´jra, am´ıg el˝ osz¨ or hatost nem kapunk. val´ osz´ın˝ usége annak, hogy ek¨ ozben pontosan egyszer dobunk egyest?

Mennyi a

48. Egyetlen szelvénnyel j´ atszom az o¨t¨ oslott´ on. Sz´ amaim k¨ oz¨ ott a 40-es a k¨ ozéps˝ o. Az al´ abbi h´ arom esemény esetleges bek¨ ovetkezése k¨ oz¨ ul melyik n¨ oveli jobban az o¨t¨ os tal´ alatom feltételes val´ osz´ın˝ uségét? A : ,,az els˝ o kih´ uzott sz´ am a 40-es”, B : ,,kih´ uzt´ ak a 40-es sz´ amot”, C : ,,a 40-es sz´ am a kih´ uzott sz´ amok k¨ oz¨ ott a harmadik”. 49. Egy szab´ alyos dob´ okock´ aval addig dobok, am´ıg o¨t¨ ost nem kapok. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy ezalatt nem dobunk hatost? ¯ ol! 50. Bizony´ıtsa be, hogy ha A, B, C teljesen f¨ uggetlen események, akkor az A + B esemény f¨ uggetlen C-t˝ 51. Két konkurens u ¨zletben halat a´rulnak. Az ”A” a´rus aszerint alak´ıtja ki az a´rakat, hogy a ”B” a´rus az el˝ oz˝ o nap mennyiért adta a halat. Reggelente ugyanis feldob egy kock´ at, és ha hatost kap, akkor al´ amegy 10%-al a ”B” a´rus tegnapi a´r´ anak. Viszont, ha nem hatost kap, akkor ugyanazt ´ırja ki ma reggel, amiért a konkurense tegnap a´rult. ”B” kés˝ obb nyit. Neki az a szok´ asa, hogy feldob egy pénzdarabot, és ha fej annak az a´rnak, amit az ”A” kirakat´ aban l´ at, veszi a 120%-´ at, ha ´ır´ as akkor pedig a 80%-´ at és aznap azon az a´rfolyamon fog a´rulni. Ha ”B” vas´ arnap 10 r´ upi´ aért a´rulta a halat, mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy kedden ”A” is legal´ abb annyiért fogja a´rulni? 52. A 19, 26, 54, 89, 90 sz´ amokat j´ atszottuk meg a lott´ on. Legyen A az az esemény, hogy az els˝ o két sz´ amunkat kih´ uzz´ ak, B pedig az, hogy legal´ abb h´ arom takl´ alatunk lesz. P (A + B) =? 53. Kiv´ alasztunk véletlenszer˝ uen egy pontot az egységnégyzetben. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a pont k¨ ozelebb van egy oldalhoz, mint a k¨ ozépponthoz? 54. Andr´ as, Béla és Csaba sorsot h´ uznak. Névsor szerint haladva visszatevés nélk¨ ul kivesznek egy-egy goly´ ot egy dobozb´ ol, melyben eredetileg két fehér és egy fekete sz´ın˝ u goly´ o volt. Az vesz´ıt, aki a feketét h´ uzza. Kinek mennyi r´ a az esélye? 55. Az egységnégyzeten kiv´ alasztunk egy P pontot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy P k¨ ozelebb van a négyzet egy a´tl´ oj´ ahoz, mint egy k¨ ozépvonal´ ahoz?


5

56. Ny´ ari akci´ o sor´ an s¨ or¨ oskupakokba elhelyeztek egy-egy sz´ınes karik´ at az olimpiai szimb´ olumb´ ol, mind az o¨t sz´ınb˝ ol o¨sszesen ugyanannyit. Ha valakinek o¨sszegy˝ ulik mind az o¨t karik´ ab´ ol legal´ abb egy, akkor részt vehet egy sorsol´ ason. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a p´ aly´ az´ ashoz k kupakra van sz¨ ukség? 57. Egy dobozban 100 dob´ okocka van. K¨ uls˝ ore mind egyform´ ak, de az egyik hamis: mindig hatost dobunk vele. A t¨ obbi 99 szab´ alyos. Tal´ alomra kivéve egyet, legal´ abb h´ anyszor kell vele dobnom, hogy vagy bebizonyosodjon, hogy szab´ alyos a kocka, vagy 90%-ig biztos lehessek benne, hogy a hamis kock´ at vettem ki? 58. Egy 10x10 cm-es négyzetr´ acsos h´ al´ ozatra ledobunk 10 db 2 cm a ´tmér˝ oj˝ u pénzdarabot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a pénzek k¨ oz¨ ott lesz olyan, amelyik lefedi valamelyik négyzet cs´ ucs´ at? 59. Egy teheraut´ o 100 l´ ada toj´ ast sz´ all´ıt, mindegyik l´ ad´ aban pontosan 1000 toj´ assal. Sz´ all´ıt´ askor minden toj´ as 0,001 val´ osz´ın˝ uséggel o¨sszet¨ orhet (a t¨ obbit˝ ol f¨ uggetlen¨ ul). A megrendel˝ o akkor vesz a´t egy l´ ad´ at a sz´ all´ıt´ ot´ ol, ha a l´ ad´ aban lév˝ o o¨sszet¨ ort toj´ asok sz´ ama nem haladja meg a 10-et. Menynyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy legfeljebb két l´ ad´ at nem fognak a´tvenni? 60. Az egységnégyzeten egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul kiv´ alasztunk 10 pontot. Ezek k¨ oz¨ ul vegy¨ uk azt, amelyik legk¨ ozelebb esik az orig´ ohoz. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy ez a legr¨ ovidebb t´ avols´ ag 12 -nél kisebb? 61. Az o¨t¨ oslott´ o esetében mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy t¨ obb néggyel oszthat´ o lott´ osz´ amot h´ uznak ki, mint h´ arommal oszthat´ ot? 62. Mutassa meg, hogy tetsz˝ oleges A, B, C eseményekre ¯ + B C¯ ! |P (AB) − P (AC)| ≤ P BC 63. A 32 lapos magyar k´ artyacsomagb´ ol kih´ uzunk hat lapot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy e hat lap k¨ oz¨ ott mind a négy sz´ın el˝ ofordul? 64. H´ arom kock´ aval dobunk. Feltéve, hogy a dobott sz´ amok k¨ oz¨ ott nincsen két egyforma, mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy legal´ abb az egyiken hatos van? 65. Négyszer feldobunk egy szab´ alyos pénzérmét. A : az els˝ o két dob´ as fej, B : az utols´ o két dob´ as ´ır´ as, C : az els˝ o dob´ as megegyezik az utols´ oval. Sz´ amolja ki a P (A + B | C + B) feltételes val´ osz´ın˝ uséget! 66. Két kock´ aval addig dobunk egyszerre, am´ıg mindkét érték azonos nem lesz. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy legfeljebb t´ızszer kell dobni? 67. Egy dobozban o¨sszesen 1000 fehér és fekete goly´ o van. Nem ismert a fehér és fekete goly´ ok ar´ anya. Visszatevés nélk¨ ul kivett¨ unk 100 goly´ ot, és azt tapasztaltuk, hogy k¨ oz¨ ott¨ uk 72 fekete és 28 fehér volt. Mekkora ekkor annak a feltételes val´ osz´ın˝ usége, hogy a fekete és fehér goly´ ok ar´ anya eredetileg 7:3 volt? 68. Igazolja, hogy tetsz˝ oleges A, B eseményekre ¯ P B · A¯ ! P2 (A + B) + P2 (A · B) = P2 (A) + P2 (B) + 2P A · B


69. Igazolja, hogy ha P (A) = 0, 8 és P (B) = 0, 9, akkor

6 7 9

≤ P (A | B) ≤ 89 !

70. Legyenek P (A) = P (B) = p. Tegy¨ uk fel, hogy A és B f¨ uggetlenek. Hat´ arozza meg annak az eseménynek a val´ osz´ın˝ uségét, hogy az A és B k¨ oz¨ ul csak az egyik fog bek¨ ovetkezni! 71. Az I. dobozban egy piros és egy fehér, a II. dobozban két piros és egy fehér goly´ o van. Feldobnak egy kock´ at. Ha a dob´ as eredménye nem nagyobb, mint kett˝ o, a II. dobozb´ ol, k¨ ul¨ onben az I. dobozb´ ol h´ uznak ki két goly´ ot visszatevéssel. Ha tudjuk, hogy mindkétszer pirosat h´ uznak, akkor melyik dobozb´ ol val´ o h´ uz´ asnak nagyobb a feltételes val´ osz´ın˝ usége? 72. Valaki addig dob ismételten egy kock´ aval, am´ıg két egym´ as ut´ ani dob´ as azonos nem lesz. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy ehhez 6 dob´ asra van sz¨ uksége? 73. Egy 5 cm-es szakaszon véletlenszer˝ uen megjel¨ ol¨ unk két pontot. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a keletkez˝ o h´ arom szakasz k¨ oz¨ ott lesz 1 cm-nél r¨ ovidebb is? 74. Igazolja, hogy tetsz˝ oleges A, B, C eseményre ¯ · A¯ = 1. P (A + B + C) + (1 − P (A)) · 1 − P B | A¯ · 1 − P C | B 75. H´ arom kock´ aval dobunk. Ha 12 lesz az o¨sszeg, akkor mekkora val´ osz´ın˝ uséggel lesz a dobott értékek k¨ oz¨ ott hatos? 76. Van-e olyan A és B esemény, ahol P (A | B) ≥ 0, 9 és P B | A¯ ≥ 0, 1? 77. Nem tudom, hogy egy dobozban mennyi fekete és mennyi fehér goly´ o van, csak azt, hogy van 6 piros goly´ o is benne. Megmondt´ ak, hogy a ,,fehéret vagy feketét h´ uzok” eseménynek 35 , a ,,pirosat vagy osz´ın˝ usége. Mennyi fehér goly´ o van a dobozban? feketét h´ uzok” eseménynek pedig 23 a val´ osz´ın˝ uséggel adnak A jelet és 23 val´ osz´ın˝ uséggel B jelet. Az A-t 11111-el, 78. Egy bin´ aris forr´ asb´ ol 13 val´ a B-t 00000-el k´ odolj´ ak. Zajos csatorn´ an a´tk¨ uldve a jeleket, minden bit a t¨ obbit˝ ol f¨ uggetlen¨ ul 0,6 val´ osz´ın˝ uséggel az ellenkez˝ ojére v´ altozhat. A vételi oldalon u ´gy dek´ odolnak, hogy ha az o¨t vett jelben t¨ obb az 1-es A-t, k¨ ul¨ onben B-t vesznek. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a vételi oldalon helyesen dek´ odolj´ ak a jeleket? 79. Igazolja, hogy tetsz˝ oleges A, B, C eseményekre P A\B C¯ + P (AC\B) = P (A\B) + P (AC)! 80. Egy 10 cm szélesség˝ u deszkalapokb´ ol kész´ıtett padl´ ozatra leejt¨ unk t´ız 5 cm hossz´ us´ ag´ u t˝ ut. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy k¨ oz¨ ul¨ uk éppen kett˝ o fog metszeni padl´ orést? 81. Bizony´ıtsa be, hogy ha az A és B eseményre teljes¨ ul P (A) , P (B) ≥ 0, 85, akkor P (AB) ≥ 0, 7. 82. Egy sz´ orakozott polg´ ar elfelejtette bankk´ arty´ aj´ anak személyi azonos´ıt´ o (PIN) k´ odj´ at, csak abban biztos, hogy a négy sz´ amjegy k¨ oz¨ ott pontosan két h´ armas volt, és az els˝ o jegy biztosan nem a nulla volt. Ha t´ız m´ asodpercenként be¨ ut egy lehetséges vari´ aci´ ot, akkor mennyi az esélye annak, hogy egy o´r´ an bel¨ ul eltal´ alja a helyes azonos´ıt´ o sz´ amot? 83. Igazolja, hogy tetsz˝ oleges A, B esemény esetén 4P (AB) (1 − P (A + B)) ≤ 1.


7

84. Két urna k¨ oz¨ ul az egyikben 5 fekete és 7 fehér, a m´ asikban 3 fekete és 8 fehér goly´ o van. Az els˝ ob˝ ol tal´ alomra a´trakunk egyet a m´ asodikba, majd onnan tal´ alomra vissza vesz¨ unk egyet. Megint az els˝ ob˝ ol h´ uzva, mennyi a val´ osz´ın˝ usége a fehérnek? 85. Az o¨t¨ oslott´ o esetében mekkora val´ osz´ın˝ uséggel lesz 13 a legkisebb kih´ uzott lott´ osz´ am? 86. Két szab´ alyos kock´ aval dobunk. F¨ uggetlen-e az al´ abbi két esemény: a dobott sz´ amok o¨sszege p´ aros illetve a két sz´ am k¨ ul¨ onbsége abszol´ ut értékben legal´ abb h´ arom? 87. Eddig t´ızszer dobtuk a szab´ alyos dob´ okock´ aval, és egyszer sem kaptunk hatost. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy a k¨ ovetkez˝ o t´ız dob´ as sor´ an sem kapok hatost? 88. Kétszer egym´ as ut´ an feldobunk egy szab´ alyos pénzérmét. A az az esemény, hogy els˝ ore fejet dobunk, B az az esemény, hogy m´ asodikra dobunk fejet, C pedig, hogy a dob´ asok egyez˝ oek. Bizony´ıtsa be, hogy az {A, B, C} eseményrendszer b´ ar p´ aronként f¨ uggetlen eseményekb˝ ol a´ll, teljesen nem f¨ uggetlen! 89. Egy zajos bin´ aris csatorn´ an az A és B bet˝ ukb˝ ol a´ll´ ou ¨zenetsorozatokat k¨ uldenek a´t. Az A bet¨ ut 000-val a B bet˝ ut 111-el k´ odolj´ ak. Az A és B bet˝ uk ar´ anya a k¨ uldeményben 3:4. A 0 bit 0,2, az 1 bit 0,3 val´ osz´ın˝ uséggel az ellenkez˝ ojére v´ alt a´t a csatorn´ aban. A vételi oldalon a dek´ odol´ asn´ al a t¨ obbségi elvet alkalmazz´ ak: pl. egy h´ arombites sorozatot A bet˝ unek értelmeznek, ha a null´ ak sz´ ama legal´ abb kett˝ o. Mennyi a hib´ as dek´ odol´ as val´ osz´ın˝ usége? 90. Igazolja, hogy tetsz˝ oleges A, B, C eseményre P (AB) + P (AC) ≤ P (A) + P (BC)! 91. Bizony´ıtsa be, hogy ha az A, B eseményre 0, 7 = P (B) ≤ P (A) teljes¨ ul, akkor 0, 57 < P (A | B)! 92. Legal´ abb h´ anyszor kell két szab´ alyos dob´ okock´ aval dobni ahhoz, hogy legal´ abb 90%-os val´ osz´ın˝ uséggel kapjunk dupla hatost a dob´ assorozatban? 93. Legyen A az az esemény, hogy az o¨t¨ oslott´ o sorsol´ ason a legkisebb kih´ uzott sz´ am sem kisebb 50-nél, B pedig legyen az az esemény, hogy mindegyik kih´ uzott sz´ am p´ aratlan lesz. Sz´ amolja ki a P (A + B) val´ osz´ın˝ uséget! 94. Legyen A és B két f¨ uggetlen esemény, C pedig mindkett˝ oj¨ uket kiz´ ar´ o esemény. P (A) = P (B) = P (C) = 31 . P A¯ + B + C =? 95. Andr´ as is és Béla is dob két kock´ aval. Andr´ as o¨sszeadja, Béla o¨sszeszorozza a kapott értékeket. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy Andr´ as kap nagyobb sz´ amot? 96. Legal´ abb h´ any szab´ alyos érmét kell feldobni ahhoz, hogy 0,9-nél nagyobb val´ osz´ın˝ uséggel legyen k¨ ozt¨ uk fej? 97. Legyen A és B két esemény, amelyre 2P (A) = 2P (A | B) = P (B | A) = 12 . Sz´ am´ıtsa ki P (A + B)-t! 98. Dobunk egy szab´ alyos kock´ aval, majd a dobott értéknek megfelel˝ o sz´ am´ u lapot visszatevés nélk¨ ul kih´ uzunk a 32 lapos magyar k´ artyacsomagb´ ol. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a kih´ uzott lapok k¨ oz¨ ott lesz a´sz?


8

99. Minimum h´ any lapot kell kih´ uzni a 32 lapos k´ artyacsomagb´ ol visszatevés nélk¨ ul, hogy 90%-os val´ osz´ın˝ uséggel legyen k¨ oz¨ ott¨ uk a´sz? 100. A 00000 és a 99999 sz´ amok k¨ oz¨ ott tal´ alomra kiv´ alasztunk egyet. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy A: minden sz´ amjegy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o lesz; B: minden sz´ amjegy egyforma; C: csak két sz´ amjegy egyezik meg; D: h´ arom-kett˝ o sz´ amjegy egyezik. 101. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy az o¨t¨ oslott´ o h´ uz´ as´ an´ al A: a kih´ uzott sz´ amok mindegyike p´ aros; B: t¨ obb p´ aros sz´ am lesz, mint p´ aratlan; C: a kih´ uzott sz´ amok a h´ uz´ as sorrendjében n¨ oveked˝ oek. 102. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy egy négytag´ u t´ arsas´ agban legyen két ember, akinek azonos napra esik a sz¨ uletésnapja? (Sz¨ ok˝ onapra es˝ o sz¨ ulinapokkal most ne foglalkozzunk!) 103. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy sorban kérdezve az embereket, az n-edik embernél tapasztalunk el˝ osz¨ or ismétl˝ od˝ o sz¨ uletésnapot? 104. 2N db molekula mindegyike egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul, véletlenszer˝ uen ker¨ ul be a T vagy S térrész valaosz´ın˝ uséggel. melyikébe egyar´ ant 12 − 12 val´ Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy A: ugyanannyi molekula lesz T-ben, mint S-ben; B: T-ben t¨ obb lesz, mint S-ben; C: mindkét térrészben p´ aros sok molekula lesz. 105. Egy dobozban 10 goly´ o van, pirosak és kékek, mindkét sz´ınb˝ ol legal´ abb egy. Nem ismerj¨ uk a doboz tartalm´ at, b´ armely o¨sszetétel ugyanolyan val´ osz´ın˝ uség˝ u. Kétszer h´ uzunk a dobozb´ ol visszatevéssel, és mindkét goly´ o sz´ıne piros volt. Melyik o¨sszetétel a legval´ osz´ın˝ ubb? 106. Valaki dob egy kock´ aval, és ha az eredmény k, akkor k piros és 7 − k fehér goly´ ot beletesz egy u ´rn´ aba. A dob´ as eredményét el˝ ott¨ unk titokban tartja. Ezut´ an 10-szer h´ uz visszatevéssel az u ´rn´ ab´ ol, és a kih´ uzott goly´ o sz´ınét mindig megmondja. Ennek alapj´ an kell eltal´ alni azt, hogy a kock´ an h´ anyast dobott el˝ oz˝ oleg. Hogyan tippelj¨ unk? Mekkora esély¨ unk van a tal´ alatra? ¨ or h´ 107. Egy dobozban 3 goly´ o van: piros, kék, s´ arga. Otsz¨ uzunk visszatevéssel. Feltéve, hogy kéket is és s´ arg´ at is h´ uzunk legal´ abb kétszer, mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy egyszer sem h´ uzunk pirosat? 108. Egy dobozban N piros és M fehér goly´ o van. Visszatevés nélk¨ ul h´ uzva, n h´ uz´ asb´ ol k piros lett. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy az els˝ o h´ uz´ as piros volt? 109. Szab´ alyos kock´ aval dobunk, majd egy szab´ alyos érmét annyiszor dobunk fel, amennyit a kocka mutat. a) mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy egyszer sem dobunk fejet; b) feltéve, hogy egyszer sem dobunk fejet, mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a kock´ aval 6-ost dobtunk? 110. R¨ ontgenvizsg´ alat sor´ an 0, 95 annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy tbc-s beteg betegségét felfedezik. Annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy egy egészséges embert betegnek tal´ alnak 0, 001. A tbc-ben szenved˝ ok ar´ anya a lakoss´ agon bel¨ ul 0, 0001. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy az ember egészséges, ha a´tvil´ ag´ıt´ askor betegnek tal´ alt´ ak?


9

111. Egy 20 cm oldalhossz´ us´ ag´ u négyzetr´ acsos padl´ ozatra ledobunk egy 2 cm élhossz´ us´ ag´ u j´ atékkock´ at. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a kocka teljes terjedelmével a padl´ ozat egy négyzetében lesz? 112. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy ha egy egységnyi szakaszt véletlenszer˝ uen h´ arom részre t¨ or¨ unk, akkor a keletkez˝ o szakaszokb´ ol hegyessz¨ og˝ u h´ aromszög szerkeszthet˝ o?


1

1. m´ asodik 1. Az egységnégyzeten tal´ alomra kiv´ alasztunk egy P pontot. Jel¨ olje X a P és a hozzá legközelebb álló cs´ ucs t´ avols´ ag´ at. Adja meg X eloszlás- és s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 2. Legyen X ∈ E (λ) és Y = X 2 . Adja meg Y s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 3. Legyen az X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o eloszlásf¨ uggvénye F (x) . Legyen Y = max{0, X}, Z = min{0, −X}, V = |X|, és W = −X. Fejezze ki Y, Z, V és W eloszl´ asf¨ uggvényét F (x)-szel! 4. A (0, 1) intervallumban kijel¨ ol¨ unk h´ arom pontot véletlenszer˝ uen. Határozzuk meg a középs˝o pont 0-tól val´ o t´ avols´ ag´ anak eloszl´ asf¨ uggvényét! 5. Egy 32 lapos magyark´ artya-k¨ otegb˝ ol kih´ uzunk egy lapot. Legyen X a kih´ uzott lap értéke. Adja meg és ´ abrázolja X eloszl´ asf¨ uggvényét! Sz´ amolja ki a 7, 5 < X < 10, 2 esemény valósz´ın˝ uségét! 6. Legyen X ∈ U (0, 1) , és Y =

√ 2X. Adja meg Y s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!

7. Egy h´ aztart´ asi gép gy´ ari ¨ onk¨ oltsége 10 000 Ft. A termékre a gyár 1 év garanciát ad, ami szerint a hib´ as gépet ingyen kicseréli, amennyiben az 1 éven bel¨ ul meghib´ asodik. A gyár szakemberei szerint a gép élettartama 30 év v´ arhat´ o érték˝ u exponenciális eloszlás´ u. A termel˝oi ár a gép önköltsége plussz a garanci´ alis cserék ¨ onk¨ oltségének v´ arható értéke. Mekkora legyen a termel˝oi ár? 8. X ∈ E (2) seg´ıtségével gener´ aljon egy Y ∈ G

1 3

valósz´ın˝ uségi változót!

9. Egy gyártm´ anynak az 1%-a selejtes. A darabokat ezresével dobozokba csomagolják. Mennyi a valósz´ın˝ usége annak, hogy egy véletlenszer˝ uen kiv´ alasztott dobozban nincs háromnál több hibás? 10. Egy szab´ alyos pénzérmét addig dobunk fel u ´ jra és u ´jra, m´ıg meg nem kapjuk a második fej et is. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy az els˝ o fej ut´ an a második fej ig ugyanannyi dobásra van sz¨ ukség, mint ah´ any dob´ as kellett az els˝ o fej ig? 2

ur˝ uségf¨ uggvényt! Az X ∈ U (0, 1) seg´ıtségével áll´ıtsunk el˝o olyan 11. Tekints¨ uk az f (x) = 3x7 , x ∈ [1, 2] s˝ Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ ot, amelynek s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye éppen f (x)! √ 12. Milyen b értéknél lesz az f (x) = b x − 2, x ∈ (2, 3) f¨ uggvény s˝ ur˝ uségf¨ uggvény? 13. Egy norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ uségi változ´ o 0, 1 valósz´ın˝ uséggel vesz fel 10, 2-nél kisebb értéket, és 0, 25 val´ osz´ın˝ uséggel 13, 6-n´ al nagyobb értéket. Mennyi a várható értéke és szórása? 14. Egy sz´ am´ıt´ ogépes szerv´ızben egy h´ onap h´ usz munkanapjáb´ ol átlagosan kett˝on nincsen reklamáci´ o. Poisson-eloszl´ ast feltételezve, mennyi annak a valósz´ın˝ usége, hogy egy adott napon három, vagy h´ aromnál t¨ obb reklam´ aci´ o érkezik? uggvényét! 15. Legyen X ∈ U (−1, 2) és Y = X n . Adja meg Y eloszlásf¨ 16. Egy u ¨ teg addig t¨ uzel egy célpontra, am´ıg el nem találja. A találat valósz´ın˝ usége minden lövésnél p. Mennyi az egy tal´ alathoz sz¨ ukséges ´ atlagos l˝ oszerkészlet, a mun´ıci´ o?


2

17. Az A k¨ onyvben az egy oldalon tal´ alható sajtóhibák száma X ∈ P o (λ) , m´ıg a B könyvben ugyanez Y ∈ P o (µ) . Igaz lehet-e a k¨ ovetkez˝ o két áll´ıtás egyszerre: (i) Az A könyvben háromszor annyi sajtóhiba van, mint a B k¨ onyvben. (ii) A B könyvben ötször akkora a hibamentes oldalnak a valósz´ın˝ usége, mint az A k¨ onyvben? 18. A boltban ´ arult izz´ ok 1%-a hib´ as. Ha vesz¨ unk 100 darabot, akkor hány darab lesz benne rossz a legnagyobb val´ osz´ın˝ uséggel, és mekkora ez a valósz´ın˝ uség? 19. Egy 1MFt ¨ onk¨ oltség˝ u sz´ am´ıt´ ogép termel˝oi ár´ at kell meghat´ arozni. A szám´ıtógép élettartama exponenci´ alis eloszl´ as´ u 10 év v´ arhat´ o értékkel. Garanci´ at vállalunk u ´ gy, hogy ha az els˝ o évben a gép elromlik, akkor kicserélj¨ uk, ha a m´ asodik is elromlik egy éven bel¨ ul, akkor visszaadjuk a gép árát. A termel˝oi ár legyen az az érték, amely mellett a kiadás és a bevétel várható értéke megegyezik. (A visszavett gépek értéktelenek.) 20. Egy mérés elvégzéséhez két lehet˝ oség¨ unk van. Vagy egy drága kész¨ ulékkel mér¨ unk egyet, ahol a mérés hib´ aja N (0, 1) eloszl´ as´ u, vagy egy olcsó kész¨ ulékkel mér¨ unk háromszor, és a méréseredményeket atlagoljuk, ahol viszont a mérés hibája már N (0, 1, 6) eloszlás´ ´ u. Melyik mérési technika adja a pontosabb mérést? 21. Egy dobozban 7 db, a sziv´ arv´ any hét sz´ınével egyez˝ o sz´ın˝ u golyó van. Addig h´ uzzuk ki a golyókat visszatevéssel a dobozb´ ol, am´ıg valamennyi sz´ın˝ u golyót ki nem h´ uztuk egyszer. Mi az ehhez sz¨ ukséges X h´ uz´ assz´ am eloszl´ asa? 22. Legyen az X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o eloszlásf¨ uggvénye F (x), s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye pedig f (x). Bizony´ıtsa be, hogy EF (X) = 21 . 23. Legyen X logisztikus eloszl´ as´ u, azaz s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye: fX (x) =

ex , (1+ex )2

x ∈ R. Sz´ amolja ki az X

amot, amelyre P (X < MX ) = P (X ≥ MX ) = medi´ anj´ at, vagyis azt az MX sz´

1 2

teljes¨ ul.

24. Legyen X ∈ P {0, 1, 2, ...} olyan val´ osz´ın˝ uségi változó, melynek létezik a várható értéke. Bizony´ıtsa be, hogy EX = ∞ P (X ≥ i) . i=1 25. Legyen az X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o olyan, hogy P (0 < X < 1) = 1. Bizony´ıtsa be, hogy σ 2 X < EX! 26. Egy baromfiudvarban a gondoz´ o gy˝ ur˝ ujér˝ol lees˝o értékes követ az egyik liba lenyelte. A gondozó kénytelen a lib´ ak lev´ ag´ as´ aval megprób´ alni a k˝o visszaszerzését. Addig vágja le a véletlenszer˝ uen elkapott lib´ akat, am´ıg valamelyik begyében meg nem találja a kövét. Ha összesen 50 liba van a farmon, mennyi a kényszer˝ uségb˝ ol lev´ agott libák számának várható értéke? 27. Legyen Q = (a, b) az egységnégyzet egy véletlenszer˝ uen kiválasztott pontja. Jelölje X a Q pont origótól vett Euklideszi t´ avols´ ag´ at. Mi az X s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye? 28. Legyen X ∈ B 3, 41 , és Y = X 3 . Mi Y eloszlása, és mennyi a várható értéke? 29. Az orig´ ob´ ol kiindulva egy bolha ugrál a számegyenesen. Minden ugrása egységnyi hossz´ u és a többit˝ol f¨ uggetlen¨ ul p val´ osz´ın˝ uséggel jobbra, 1 − p valósz´ın˝ uséggel balra történik. Az ötödik ugrás után megfigyelj¨ uk a bolha helyét. Adja meg ennek az eloszlását! 30. Az X norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ uségi változó várható értéke −5 és tudjuk, hogy P (−5 ≤ X < 0) = 0, 3. Mennyi a P (−5 < X < 4) val´ osz´ın˝ uség?


3

31. Létezik-e az F (x) = x ln x − x + 1, x ∈ [1, e] eloszlásf¨ uggvény˝ u valósz´ın˝ uségi változ´ onak második momentuma? 32. Az X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye −2x 2e , ha 0 ≤ x ≤ 1 fX (x) = , 2x , ha 1 < x ≤ 2 2 3e egyébként pedig fX (x) = 0. Mennyi EX? 33. Egy szab´ alyos pénzérmét addig dobok fel ismételten, am´ıg két fejet, vagy két ´ır´ ast nem kapok. Mennyi a dob´ asok sz´ am´ anak v´ arhat´ o értéke és szórása? 34. Legyen X ∈ E (0, 1) és Y = [X] , azaz X egészrésze. Mennyi az Y diszkrét valósz´ın˝ uségi változó v´ arhat´ o értéke és sz´ or´ asa? 35. Egy j´ atékos rulettezik. H´ arom tétet tesz meg: egy-egy 100 Ft-os zsetont tesz a fekete 13-as számra, ¨ or megismételve ezt a stratégiát, mennyi a játékos nyea fekete mez˝ ore és a p´ aratlan mez˝ ore. Otsz¨ reségének (veszteségének) v´ arhat´ o értéke? (A rulett´ arcsán 0-tól 36-ig állnak a számok, 18 fekete, 18 piros, a 0-´ as z¨ old sz´ın˝ u. A fekete sz´ amok között 9 db páros és 9 db páratlan van. Ha valaki számra tesz, a tétet és még annak 36-szoros´ at seperi be. A fekete vagy páratlan mez˝ okön a téten fel¨ ul mégegyszer megkapja a feltett ¨ osszeget. A 0-ra nem lehet fogadni. Ha 0-ás pörög ki, minden megrakott tétet a bank viszi el.). 36. A 32 lapos magyar k´ artyacsomagb´ ol visszatevés nélk¨ ul addig h´ uzunk, am´ıg piros sz´ın˝ u lapot nem kapunk. Ezut´ an folytatjuk a lapok h´ uz´ asát addig, am´ıg ászt nem kapunk. Jel¨ olje X a kih´ uzott lapok sz´ am´ at! (Ha az ¨ osszes k´ artya elfogyott közben, akkor X = 32 lesz.) Adja meg a P(X = 3) val´ osz´ın˝ uséget! 37. Egy dobozban 1 piros, 2 fehér és 3 zöldsz´ın˝ u golyó van. Visszatevés nélk¨ ul addig h´ uzunk, am´ıg mindh´ arom sz´ınb˝ ol nincs m´ ar legal´ abb egy golyónk. Jel¨ olje X a sz¨ ukséges h´ uzások szám´ at! Adja meg X eloszl´ as´ at és v´ arhat´ o értékét! 38. Az α paraméter melyik értékénél lesz s˝ ur˝ uségf¨ uggvény az f (x) = α 2x − x2 , x ∈ (0, 2)? Adja meg az ehhez a s˝ ur˝ uségf¨ uggvényhez tartoz´ o eloszlásf¨ uggvényt! 39. Egy ´ obudai kisvendégl˝ oben az a szok´ as, hogy a fogyasztás ut´ an a vendéggel feldobatnak három kockát, és ha tripla hatost dob, elengedik a sz´ amlát. Mekkora egy-egy vendég esetén az u ¨ zlet várható vesztesége, ha a fogyaszt´ ast Y -nal lehet jellemezni Ft-ban, ahol Y = X 2 és X ∈ N (30, 10)? 40. Egy X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye A cos x2 fX (x) = 0 a.) b.) c.)

, ha ,

0<x<π . k¨ ulönben

A =? Írja fel az FX eloszl´ asf¨ uggvényt! P X > π2 =?

41. Legyen X ∈ U (0, 1) és Y = arctgX. Sz´ amolja ki Y s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!


4

42. Eloszl´ asf¨ uggvény-e az F (x) = exp (−e−x )? 2

43. Egy kock´ aval dobunk. Jel¨ olje X a dobott számértéket! Adja meg, és rajzolja fel az Y = (X − 3) val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggvényét! 44. Legyen X ∈ P o (3) és Y = X (X − 1) (X − 2). Sz´ amolja ki Y várható-értékét!

45. Addig dobunk egy szab´ alyos kock´ aval, am´ıg 3-nál kisebb számot nem kapunk. Jelölje X az ehhez sz¨ ukséges dob´ asok sz´ am´ at! Melyik valósz´ın˝ uség a nagyobb: P (2 ≤ X ≤ 3) vagy P (X > 3)? 46. Legyen X ∈ E (1) és Y = e−X . Sz´ amolja ki Y várható értékét és szórását! 47. Egy egységnyi oldal´ u szab´ alyos h´ aromszög ker¨ uletén véletlenszer˝ uen kiválasztunk egy pontot. Jel¨ olje X a pontnak a s´ ulypontt´ ol vett t´ avols´ agát! Sz´ amolja ki a P (X ≥ 0, 5) valósz´ın˝ uséget! 48. Egy hipermarket két bej´ arat´ an´ al elhelyeztek 1000-1000 ingyenes hirdetési u ´ jságot. Minden vásárló ugyanakkora val´ osz´ın˝ uséggel vehet el egy lapot bármelyik kupacból. Amikor a két rakás egyikében elfogy az utols´ ou ´ js´ ag is, a m´ asik bejáratnál még X példány található. Adja meg X eloszlását! amolja ki EY -et és σ 2 Y -t! 49. Legyen X ∈ U (0, 1) és Y = ln X1 . Sz´ 50. Az egységnégyzetben véletlenszer˝ uen kiválasztunk n pontot. Jel¨ olje X azon pontok számát, meu kör belsejébe is. Adja meg a P (X ≤ 5) u 12 sugar´ lyek ezek k¨ oz¨ ul beleesnek az 12 , 12 középpont´ val´ osz´ın˝ uséget! 51. Legyen X ∈ P o (2) és Y =

X 2

. Adja meg Y eloszlását!

52. A h paraméter milyen értékénél lesz s˝ ur˝ uségf¨ uggvény f (x) =

2 2 2 4h √ x2 e−x ·h , π

x>0?

53. Egy u ¨ zemben gy´ artott harisny´ ak k¨ ozött átlagosan minden ezredik selejtes. A harisnyákat kétszázasával dobozokba csomagolj´ ak. 1000 dobozt véletlenszer˝ uen kiválasztva, jelölje X az egyetlen selejtes harisny´ at sem tartalmaz´ o dobozok sz´ amát! Adja meg X várható értékét és szórásnégyzetét! 54. H´ anyszor kell feldobnunk egy szab´ alyos pénzérmét ahhoz, hogy a ,,fejek száma 40 és 50 közé esik” esemény val´ osz´ın˝ usége maxim´ alis legyen? 55. Egy 32 lapos k´ arty´ ab´ ol addig h´ uzunk, am´ıg ászt nem kapunk. Jel¨ olje X az eközben kih´ uzott hetesek sz´ am´ at. Sz´ amolja ki a P (X = 0) valósz´ın˝ uséget! 56. Egy dobozban h´ arom piros és két fehér golyó van. Visszatevéssel t´ızszer h´ uzunk a dobozból. Jelölje X a pirosak sz´ am´ at! Adja meg a Z = (X + 2) (X − 2) várható értékét! 57. Legyen X, Y ∈ U (0, 1) két f¨ uggetlen valósz´ın˝ uségi változó és Z = értékét!

X 1+Y

. Sz´ amolja ki a Z várható

58. Az egységnyi oldal´ u négyzet két ´ atellenes oldalán találomra választunk egy-egy pontot. Jel¨ olj¨ uk X-szel uggvényt! a két pont t´ avols´ ag´ at! Adja meg az FX (x) eloszlásf¨


5

59. Egy réten h´ arom szarvas legelészik gyan´ utlanul. Egymásr´ ol nem tudva három vadász lopakodik a tiszt´ ashoz, és egyszerre t¨ uzelnek a vadakra. Mindegyik l¨ ovés talál, és halálos. Mennyi a l¨ ovések ut´ an a rétr˝ ol elszalad´ o szarvasok számának várható értéke és szórása? (Elvileg több vad´ asz is l˝ ohet ugyanabba a szarvasba...) 60. Legyen X ∈ N (m, D) és Z =

X−m 2 D

. Sz´ amolja ki Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!

61. Igazolja, hogy ha X ∈ B (n, p), akkor E

1 1+X

≤

1 (n+1)p !

62. Legyen X, Y ∈ U (0, 1) két f¨ uggetlen valósz´ın˝ uségi változó és Z = f¨ uggvényét!

X Y .

Sz´ amolja ki a Z s˝ ur˝ uség-

63. Milyen c értékre lesz a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvény s˝ ur˝ uségf¨ uggvény? Határozza meg azon változó várható értékét, amelynek ez a s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye. ce|x| , ha x ∈ [−1, 2], f (x) = 0 k¨ ul¨ onben. 64. Egy norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ uségi változ´ o 0, 2 valósz´ın˝ uséggel vesz fel 10-nél kisebb értéket és 0, 3 val´ osz´ın˝ uséggel 14-nél nagyobb értéket. Mik az eloszlás paraméterei? (Φ (0, 52) = 0, 7, Φ (0, 84) = 0, 8). 65. Amerik´ aban a h˝ omérsékletet Fahrenheit-fokokban mérik. Az egyik államban megállap´ıtott´ ak, hogy az ottani X h˝ omérséklet eloszl´ asa nyaranta N (86, 4) . Hogyan változik meg az eloszlás, ha áttér¨ unk a Celsius-sk´ al´ ara? (A Fahrenheit- és Celsius-skála között az átváltási képlet: 59 (X − 32) [o F ] = Y [o C]). 66. Az autók fogyaszt´ as´ at Amerik´ aban mérföld/gallon-ban (mpg) fejezik ki, azaz megadj´ ak hány mérföldet tesz meg a gépj´ arm˝ u egy gallon u ¨ zemanyaggal. Európ´ aban, mint ismeretes a fogyasztást liter/100 km form´ aban adj´ ak meg. Egy Fordr´ ol tudjuk, hogy az X mpg fogyasztását az f (x) s˝ ur˝ uségf¨ uggvény jellemzi. Hogyan kell transzform´ alnunk f (x)-et, ha áttér¨ unk a liter/100 km skálára? (1 mérföld=a km, 1 gallon=b liter, ahol a = 1, 609 és b = 3, 785). 67. Adjuk meg a 90/5 lott´ on kih´ uzott öt szám köz¨ ul a legkisebb eloszlásf¨ uggvényének az értékét a 25 helyen. 68. Egy automata gép a be´ all´ıt´ as szerint 2 kg lisztet adagol a zacsk´ okba, de a technológia következtében a zacsk´ oba ker¨ ult liszt mennyisége N (m, 0, 002) eloszlást követ. El˝ozetes megfigyelésekb˝ol lehet tudni, hogy 0, 01 annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy a zacsk´ oban a liszt mennyisége kevesebb 2 kg-nál. m =? 69. Egy berendezés élettartama norm´ alis eloszlás´ u 6, 3 év várható értékkel és 2 év szórással. Hány év garanci´ at adjunk, hogy 0, 9 legyen annak a valósz´ın˝ usége, hogy a berendezés csak garanciális id˝o ut´ an hib´ asodik meg? 70. H´ arom kock´ aval dobva, mennyi a dobott számok maximumának várható értéke?


1

1. harmadik 1. Legyenek X, Y ∈ G (p) f¨ uggetlenek. Adja meg a P (X = Y ) valósz´ın˝ uséget! 2. Egy aut´ oszerel˝ o m˝ uhelybe érkezve, két autó van el˝ ott¨ unk, az egyiket éppen szerelik. Feltételezve, hogy a szerelési id˝ ok egym´ ast´ ol f¨ uggetlen E (2) eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változók, mennyi a valósz´ın˝ usége, hogy aut´ onk szerelésére 1 (´ or´ an) bel¨ ul sor ker¨ ul? 3. Legyenek X, Y ∈ E (1) f¨ uggetlenek. Bizony´ıtsa be, hogy min{X, Y } ∈ E (2) és hogy max{X, Y } asával! eloszl´ asa megegyezik X + 21 Y eloszl´ 4. A kar´ acsonyf´ ankon 15 db egym´ assal sorosan összekapcsolt sz´ınes ég˝o világ´ıt. Az izzók élettartamai egym´ ast´ ol f¨ uggetlen, k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on exponenciális eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változ´ ok, melyek várható értéke 30 ´ ora. Amikor elalszik a fény, azonnal kicserélem a kiégett izzót. Adja meg az izzócserék közötti id˝ otartam eloszl´ as´ at! 5. A kar´ acsonyf´ ankon 15 db egym´ assal sorosan összekapcsolt sz´ınes ég˝o világ´ıt. Az izzók élettartamai egym´ ast´ ol f¨ uggetlen, k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on exponenciális eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változók. Milyen kellene, hogy legyen az izz´ ok élettartam´ anak v´ arható értéke ahhoz, hogy 100 órás u ¨ zemelés alatt 95%-os valósz´ın˝ uséggel ne kelljen izz´ ot cserélnem? h i ′ ′ 6. Két kiv´ al´ o Forma 1-es versenyz˝ o k¨ orideje az id˝omér˝o edzésen egyaránt egyenletes eloszlás´ u az 1 : 21 , 1 : 22 id˝ ointervallumban. (Az ´ ora ezred m´ asodperc pontossággal tud mérni.) Mennyi a valósz´ın˝ usége annak, hogy azonos id˝ ot fognak menni egy adott körben? Nagyobb vagy kisebb ennél annak a valósz´ın˝ usége, hogy ha mindegyik¨ uknek két k´ısérlete van, akkor a két-két eredmény minimuma azonos?

7. Tegy¨ uk fel, hogy minden héten t´ızmillió szelvénnyel fogadnak. Mennyi annak a valósz´ın˝ usége, hogy t´ız héten kereszt¨ ul nem lesz ¨ ot¨ os tal´ alat? 8. Pincénkben 2 db p´ arhuzamosan kapcsolt izzó világ´ıt. Az izzók élettartamai egymástól f¨ uggetlen, k¨ ul¨ on-k¨ ul¨ on exponenci´ alis eloszl´ as´ u valósz´ın˝ uségi változók, melyek várható értéke 6 hónap. Csak akkor szoktam izz´ ot cserélni, ha m´ ar mindkett˝o kiégett. Vezesse le az izzócserék közti id˝otartam eloszlásf¨ uggvényét! 9. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek, és Z = |X + Y | . Határozza meg Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 10. Legyenek X, Y ∈ E (λ) f¨ uggetlenek, és Z = |X − Y | . Határozza meg Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! ur˝ uségf¨ uggvényét! Mennyi a 11. Legyenek X, Y ∈ E (λ) f¨ uggetlenek, és Z = X + 21 Y. Határozza meg Z s˝ Z v´ arhat´ o értéke és sz´ or´ asa? 12. Egy 32 lapos magyar k´ artyacsomagb´ ol kih´ uzunk visszatevés nélk¨ ul 10 lapot. Legyen Xp , Xz , Xt , Xm T rendre a kih´ uzott piros, z¨ old, t¨ ok és makk sz´ın˝ u lapok száma! Adja meg (Xp , Xz , Xt , Xm ) eloszlását! osz´ın˝ uség? Mennyi a P (Xp < Xz ) val´ uggetlenek. Határozza meg a 13. Legyenek X1 , X2 , . . . , Xn ∈ E (λ) teljesen f¨ uséget! (1 ≤ k ≤ n − 1) . pk = P (X1 + X2 + . . . + Xk ≤ 1 < X1 + X2 + . . . Xk + Xk+1 ) valósz´ın˝


2

14. Az X és Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye a x2 + xy + y 2 , fX,Y (x, y) = 0,

ha 0 < x, y < 1 . egyébként

Mennyi az a értéke? F¨ uggetlen-e X és Y ? 15. H´ aromszor dobunk egy szab´ alyos dobókockával. X a kapott hatosok száma, Y a kapott páros értékek sz´ ama. Adja meg X és Y egy¨ uttes eloszlását, kovariancia mátrixukat. F¨ uggetlen-e X és Y ? 16. Írja fel két f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ uségi v´ altozó egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét, ha az els˝o standard norm´ alis, a m´ asodik pedig 0, 2 paraméter˝ u exponenciális eloszlás´ u! T

u√az origó középpont´ u, egységnyi sugar´ u körlemezen, mi a 17. Ha a v = (X, Y ) vektor egyenletes eloszlás´ s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye a vektor hossz´ anak, kvk = X 2 + Y 2 −nek? T

18. Ha X, Y ∈ U (0, 1), akkor mi az (X + Y, X − Y ) vektora és kovarianciam´ atrixa?

kétdimenziós valósz´ın˝ uségi változ´ o várható érték

19. Legyen az X és Y egy¨ uttes eloszl´ asf¨ uggvénye: FX,Y (x, y) = x3 y, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Mennyi a P (0, 25 ≤ X ≤ 0, 75, 0, 25 ≤ Y ≤ 0, 5) valósz´ın˝ uség? 20. Hat´ arozza meg az orig´ o k¨ ozéppont´ u 1 sugar´ u körlapon vett egyenletes eloszlás kovarianciamátrixát! T

21. Legyen az (X, osz´ın˝ uségi változó s˝ uségf¨ uggvénye ur˝ Y ) vektor val´ f (x, y) = 71 6x2 y − 12xy + 6y + 18x2 − 36x + 18 , x ∈ [0, 1] , y ∈ [0, 1] . F¨ uggetlenek-e a komponensek? 22. Két ember mindegyike addig dob fel egy-egy szab´ alyos pénzérmét, am´ıg az els˝o fej ki nem jön. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége, hogy mindkett˝ onek ehhez ugyanannyi dobásra van sz¨ uksége? 23. Egy j´ ol megkevert 32 lapos magyar kártyacsomagb´ ol leosztunk 8-at. Legyen X = 1, ha a leosztott lapok k¨ oz¨ ott van piros, és X = 0, ha nincs. Legyen továbbá Y = 1, ha van a nyolc lap között ász, és Y = 0 k¨ ul¨ onben. Adja meg X és Y egy¨ uttes eloszlását! 24. Két busz egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul X illetve Y id˝o alatt éri el a meg´ all´ ot, ahol én várakozom. Bármelyik busszal tudom az utamat folytatni. Mennyi a valósz´ın˝ usége, hogy t > 0 id˝on bel¨ ul befut valamelyik, ha X, Y ∈ E (λ) f¨ uggetlenek? 25. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, Z =

X X+Y

. Sz´ amolja ki Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!

26. Legyen X ∈ U (0, 1) . X seg´ıtségével generáljon az origó középpont´ u egységk¨ or ker¨ uletén egyenletes eloszl´ as´ u kétdimenzi´ os véletlen pontot! 27. Egy m˝ uszerben egy bizonyos f˝ oegység átlagos élettartama 2 év, a beép´ıtett ellen˝orz˝o rendszeré pedig 3 év. A haszn´ alat sor´ an egyik sem ¨ oregszik és egyik¨ uk tönkremenetele sem f¨ ugg a másiktól. Mennyi a val´ osz´ın˝ usége, hogy az ellen˝ o rz˝ o rendszer el˝ o bb romlik el, mint a f˝ o egys´ e g? (Seg´ıtség: X ∈ E 21 a orz˝ o egység élettartama, f¨ uggetlenek. Mennyi P (Y < X)?) f˝ oegység, Y ∈ E 13 az ellen˝ 28. Legyen X ∈ P o (0, 5) és Y ∈ P o (0, 1) f¨ uggetlen. Mennyi a P (X + Y = 2) valósz´ın˝ uség?


3

29. Legyen X ∈ G (0, 5) és Y ∈ G (0, 25) f¨ uggetlen. Mennyi a P (X + Y = k) , (k = 2, 3, 4, ...) valósz´ın˝ uség? 30. Sz´ amolja ki az fX (x) = 1, x ∈ [0, 1] és az fY (y) = s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét, fX+Y (t)-t!

2y 5 ,

y ∈ [2, 3] s˝ ur˝ uségf¨ uggvények konvol´ uciós

31. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, Z = 2X − Y . Sz´ amolja ki Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 32. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, Z = X − Y . Sz´ amolja ki Z eloszlásf¨ uggvényét! 33. Bin´ aris, ±1 érték˝ u, egyform´ an val´ osz´ın˝ u szimbólumot k¨ uld¨ unk át zajos csatornán, ahol a szimb´ olumhoz t˝ ole f¨ uggetlen f (z) = 0, 5 (1 − 0, 5 |z|) , z ∈ (−2, 2) s˝ ur˝ uségf¨ uggvény˝ u zaj ad´ odik. Ha a csatorna kimenete pozit´ıv, akkor 1 mellett, egyébként -1 mellett dönt¨ unk. Mennyi a hibás döntés valósz´ın˝ usége? 34. Egy fogorvosi rendel˝ obe érkezve ketten vannak el˝ott¨ unk, az egyiknek éppen most kezdték el a kezelését. A fogorvos egy p´ acienssel 0,5 paraméter˝ u exponenciális id˝o alatt végez. Mennyi annak a valósz´ın˝ usége, hogy egységnyi id˝ on bel¨ ul sorra ker¨ ul¨ unk? Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha p´ arhuzamosan két orvos fogad egyszerre! 35. Egy berendezés X ideig m˝ uk¨ odik hibamentesen, és Y id˝o kell a jav´ıtásához, ahol X ∈ E (λ) és Y ∈ E (µ) egym´ ast´ ol f¨ uggetlenek. Mennyi annak a valósz´ın˝ usége, hogy a gépet egy T > 0 id˝otartam alatt legalább kétszer kellett jav´ıtani? 36. Legyen X ∈ N (5, 2) és Y ∈ N (4, 3) f¨ uggetlen. Adja meg a P (X < Y ) valósz´ın˝ uséget! 37. Az emberek tests´ uly´ at N (75, 12) eloszlással modellezz¨ uk. Ha egy négyszemélyes lift 320 (kg)-os összteherb´ır´ as´ u, akkor mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy egy négy f˝os csoport t´ uls´ ulyos lesz? 38. Egy u ¨ zemben két gép u ¨ zemel egym´ astól f¨ uggetlen X1 és X2 ideig, ahol X1 , X2 ∈ E (0, 2) . A folyamatos gy´ art´ ashoz az egyik gép u ¨ zemeltetése is elegend˝ o, a másik gép tartalék. Ha az éppen m˝ uszakban all´ ´ o gép meghib´ asodik, azonnal a tartalékot áll´ıtják u ¨ zembe. Melegtartalék esetén a tartalékgép is alland´ ´ oan be van kapcsolva, azaz ilyenkor a folyamatos m˝ uködési id˝o max{X1 , X2 }. A hidegtartalékolás esetén a tartalék gépet csak az u ¨ zembeáll´ıtás pillanatában kapcsolják be. Tehát ilyenkor a folyamatos arozza meg a folyamatos u ¨ zemeltetés idejének várható értékét melegu ¨ zemeltetési id˝ o X1 +X2 lesz. Hat´ és hidegtartalékol´ as esetén! 39. Legyen X ∈ E (2). Hat´ arozza meg a cov X, X 2 számot! uggetlen, azonoseloszlás´ u valósz´ın˝ uség˝ u változók. Tegy¨ uk fel, hogy P (Xi > 0) = 40. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn f¨ X1 +X2 +...+Xk k 1. Bizony´ıtsa be, hogy E X1 +X2 +...+Xn = n ! 41. Legyen az X val´ us´ egi v´ altoz´ o olyan, hogy P (X > 0) = α, P (X < 0) = β, EX = a, E |X| = b. osz´ın˝ Sz´ amolja ki cov X, |X| -t! X uggetlen, azonos eloszlás´ u valósz´ uség˝ u változók. P (Xi = 1) = P (Xi = −1) = 42. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn f¨ Pın˝ n 1 1 am´ıtsa ki az Y = i=1 Xi valósz´ın˝ uség˝ u változó várható értékét 4 , P (Xi = 0) = 2 (i = 1, 2, ..., n) . Sz´ és sz´ orás´ at!


4

43. Legyenek X és Y f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ uség˝ u változók. Bizony´ıtsa be, hogy σ 2 (XY ) = σ 2 Xσ 2 Y + 2 2 2 2 (EX) σ Y + (EY ) σ X. 44. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn ∈ U (0, 1) teljesen f¨ uggetlenek. Ezek kijelölnek n + 1 db részintervallumot (0, 1)-en. Jel¨ olje Yk a k-adik részintervallum hosszát (k = 1, 2, ..., n + 1) . Mutassa meg, hogy EYk = 1 ! n+1 45. Fodr´ aszn´ al sorunkra v´ arunk. Mekkora a valósz´ın˝ usége, hogy az átlagosn´ al tovább várakozunk, ha a v´ arakoz´ asi id˝ o E (2)? 46. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn f¨ uggetlen, azonos eloszlás´ u valósz´ın˝ uség˝ u változók, melyeknek léP tezik a várható n 2 2 2 = µ, σ X = d . Fejezze ki µ ´ e s d f¨ u ggv´ e ny´ e ben a σ ( es érték¨ u k ´ e s sz´ o r´ a suk: EX i i i=1 i · Xi ) ´ Pn Pn cov ( i=1 i · Xi , i=1 Xi ) mennyiségeket! 47. H´ arom szab´ alyos kock´ aval dobunk. Jel¨ olje Y a dobott értékek összegét. Adja meg EY -t és σ 2 Y -t! 48. Legyen X ∈ N (0, 1). Sz´ amolja ki R X, X 3 -t! 49. Egy kalapban egy-egy cédul´ ara fel vannak ´ırva az 1, 2, 3 számjegyek. Egymás után, visszatevés nélk¨ ul kivesz¨ unk két cédul´ at. X az els˝ o, Y a második h´ uz´ as eredménye. Adja meg R (X, Y )-t! F¨ uggetlen-e X és Y ? 50. Bizony´ıtsa be, hogy ha X és Y azonos szórás´ u valósz´ın˝ uségi változók, akkor X + Y és X − Y korrel´ alatlanok! T

51. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek. V = X + Y és W = X − Y + 1. Adja meg a (V, W ) vektor kovarianciam´ atrix´ at! arozza 52. Legyenek X, Y f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ uségi változók, ahol EX = 4, EY = 0, σ 2 X = 1, σ 2 Y = 2. Hat´ meg az al´ abbi mennyiségeket: E (5X − 6Y ) , EXY, σ 2 (5X − 6Y + 8) , cov (5X, 6Y ) ! 53. Ultiz´ asn´ al a 32 lapos magyar k´ artyacsomagból kett˝ ot talonba osztanak. Jel¨ olje X a talonba ker¨ ult piros sz´ın˝ u lapok, Y pedig az ´ aszok számát! Sz´ amolja ki X és Y kovarianci´ aját! alatlanok! 54. Bizony´ıtsa be, hogy ha EX = EX 3 = 0, akkor X és X 2 korrel´ 55. Az X és Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye: fX,Y (x, y) =

10x2 y, ha 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 . 0 egyébként

Hat´ arozza meg adott X = x feltétel esetén az Y feltételes s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 56. Legyen az X és Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altozók egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye: 12 2 2 , ha x, y ∈ (0, 1) 5 x − xy + y fX,Y (x, y) = . 0 egyébként ur˝ uségf¨ uggvényt! Számolja ki a kovarianciam´ atrixot és az Sz´ amolja ki, az fX|Y (x | y) feltételes s˝ E (X | Y = y) regresszi´ os f¨ uggvényt is!


5

57. Egy kétdimenzi´ os val´ osz´ın˝ uségi v´ altozó els˝o koordinátájának s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX (x) = 2x, 0 < x < 1. Ha az els˝ o koordin´ ata x, akkor ilyen feltétel mellett az Y második koordináta 1 + x paraméter˝ u exponenci´ alis eloszl´ ast k¨ ovet. Hat´ arozza meg annak valósz´ın˝ uségét, hogy a két koordináta összege kisebb, mint 1! 58. Dobjunk n-szer egy szab´ alyos dob´ okockával. Jel¨ olje X a hatosok, Y pedig a p´ aros dobások számát. Sz´ amolja ki a E (Y | X) regresszi´ ot! 59. Legyen az X, Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (x, y) = max {|X| , |Y |} s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!

1 2πd2

2 2 +y exp − x 2d . Hat´ arozza meg a Z = 2

60. Legyenek az X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlen valósz´ın˝ uségi változók a V vektor komponensei! Adja meg a V vektor hossz´ anak eloszl´ asf¨ uggvényét! T

61. Legyen (X, Y ) ∈ N2

0 0

,

1 1 2

1 2

. Adja meg azt a lineáris transzform´ aciót, amelynek eredményeképp

1 a komponensek f¨ uggetlen standard normális eloszlás´ uak lesznek!

T

62. X és Y egy¨ uttes eloszl´ asa kétdimenziós normális µ = (µ1 , µ2 ) várható érték vektorral és Σ = σ11 σ12 kovariancia-m´ atrixszal. Fejezze ki az E (Y | X) regresszi´ ot µ, Σ komponensei és X σ21 σ22 seg´ıtségével! 63. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek. Sz´ amolja ki P (3X < Y + 1)-t! 64. Egy gabonarakt´ arban a b´ uz´ at X kg-os zsákokba adagolják, ahol X ∈ N (80, 5) eloszlást követ. Egy teheraut´ ora 100 zs´ akot felraknak. Mennyi annak a valósz´ın˝ usége, hogy a zsákok összs´ ulya nem haladja meg a 10 tonn´ at? 65. Az X és Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ ok egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (u, v) = (0, 1) . Adja meg az E (X | Y ) regresszi´ ot! uggetlenek. Mennyi az Y = 66. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn ∈ U (0, 1) teljesen f¨

1 n

4 3

Pn

i=1

u2 − uv + 2v 2 , u, v ∈ Xi szórásnégyzete?

67. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek és Z = eX+Y . Mennyi EZ és σ 2 Z? 68. Tapasztalatok szerint egy u ¨ res vagont X óra alatt lehet feltölteni szénnel és Y óra alatt bauxittal, ahol X ∈ E (1) és Y ∈ E (2) . Két vagont kezdenek el egyszerre tölteni, az egyiket szénnel, a másikat bauxittal. Mennyi annak a val´ osz´ın˝ usége, hogy el˝obb végeznek a szén berakásával, mint a bauxitéval? 69. Egyszerre feldobnak egy kock´ at és egy pénzdarabot. X a fejdobás, Y a hatosdobás indik´ atora. Z = X 2 + Y 2 . Adja meg Z eloszl´ as´ at és várható értékét! 70. Szab´ alyos kock´ aval dobunk. Egy dobozba a dobott értéknek megfelel˝ o fehér golyót rakunk. Ezután a kiegész´ıtj¨ uk a dobozban lév˝ o golyók számát 10-re feketesz´ın˝ u golyókkal. Ezut´ an u ´ jra dobunk a kock´ aval, és annyi goly´ ot kivesz¨ unk a dobozból visszatevés nélk¨ ul, ahányast kaptunk. Jelölje X a kivett goly´ ok k¨ ozt a fehérek, Y pedig a feketék számát! Sz´ amolja ki P (X = 3, Y = 3)-t! uggetlenek. Adja meg az Y = 71. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn ∈ N (0, 1) teljesen f¨

1 n

Pn

i=1

Xi s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!


6

72. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek. X-et az x−tengelyre, Y -t az y-tengelyre felmérve, mekkora a keletkez˝ o téglalap ter¨ uletének v´ arható értéke és szórásnégyzete? amolja ki cov (Z, W )-t! 73. Legyen X ∈ E (1) és Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlen, Z = X 2 , W = 3X − Y. Sz´ 74. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek. Sz´ amolja ki P X + Y < 1, XY <

2 9

-t!

75. Legyenek X, Y ∈ N (−5, 1) f¨ uggetlenek. Sz´ amolja ki σ (3X − Y )-t! ur˝ uségf¨ uggvényt, ha az egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvény fX,Y (x, y) = 76. Hat´ arozza meg az fX|Y (x | y) feltételes s˝ − 32 (x2 −xy+y 2 ) 1 √ e ! π 3

amolja ki cov (Y, Z)-t! 77. Legyen X ∈ N (−4, 2) , Y = 3X + 1, Z = X 2 − 1. Sz´ 78. H´ aromszor dobunk egy szab´ alyos kockával. X a legkisebb, Y a legnagyobb érték. Adja meg az E (X | Y = 3) feltételes v´ arhat´ oértéket! 79. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek. Mennyi a P (kX < Y ) valósz´ın˝ uség, ahol k ∈ N. (Az eredményt a standard norm´ alis eloszl´ asf¨ uggvénnyel, Φ-vel fejezze ki!) 80. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek és Z = 3X + Y. Sz´ amolja ki az E (Z | X) regresszi´ ot! 81. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek. Mekkora valósz´ın˝ uséggel lehet az a = X, b = 1 − X + Y és c = 1 − Y véletlen szakaszokb´ ol h´ aromszöget szerkeszteni? 82. Az X, Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o p´ ar egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (u, v) = 2 u3 + v 3 , ha 0 ≤ u, v ≤ 1. Sz´ amolja ki P X 2 < Y -t! 83. Az X, Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ ok egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (u, v) = Sz´ amolja ki P (X + Y < 1)-t!

√1 , v

ha 0 < u < 1 és 0 < v < u2 .

84. Legyenek X, Y ∈ P o (2) f¨ uggetlenek. Sz´ amolja ki az R (X, X + Y − 1) korrel´ aciós egy¨ utthatót! 85. Kétszer dobunk egy szab´ alyos kock´ aval. X az egyes, Y a hatos dobások száma. Legyen Z = 3X + Y és V = Y − X. Sz´ amolja ki cov (Z, V )-t! 86. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, és Z = X · Y. Sz´ amolja ki Z s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét! 87. Addig dobunk egy szab´ alyos kock´ aval, am´ıg hatost nem kapunk. Jel¨ olje X a dobások számát, Y pedig azt, hogy k¨ ozben h´ anyszor dobunk egyest. Adja meg az E (Y | X) regresszi´ ot! 88. Legyenek X és Y nulla v´ arhat´ o érték˝ u, szórással rendelkez˝o, f¨ uggetlen valósz´ın˝ uségi változók. Igazolja, hogy σ 2 (X · Y ) = σ 2 (X) · σ 2 (Y )! 89. Legyen X ∈ N (m, D) , Y = 3X + 8, Z = 5 − 2X. Sz´ amolja ki az R (Y, Z) korrel´ aciós egy¨ utthatót! uggetlenek. Adja meg a Z = max {X1 , X2 , ..., Xn } el90. Legyenek X1 , X2 , ..., Xn ∈ U (0, 1) teljesen f¨ oszl´ asf¨ uggvényét!


7

91. Legyen X ∈ N (−4, 2) és Y ∈ N (3, 1) f¨ uggetlen. Fejezze ki Φ seg´ıtségével a P (2X < Y ) valósz´ın˝ uséget! 92. Az X és Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (u, v) = perem-s˝ ur˝ uségf¨ uggvényeket! F¨ uggetlen-e X és Y ?

√1 , v

ha 0 < u < 1 és 0 < v < u2 . Adja meg a

93. Egy j´ atékos a k¨ ovetkez˝ o két lott´ oszelvénnyel j´ atszik: 1, 13, 31, 49, 80 illetve 2, 13, 43, 49, 81. Jel¨ olje X azt, hogy h´ any nyertes szelvénye van, Y pedig a nyeretlen szelvények számát. Sz´ amolja ki R (X − 1, Y + 1)-t! 94. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek és Z = sign (X) · Y. Sz´ amolja ki Z eloszlásf¨ uggvényét! 95. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek, U = 3X + 2Y és V = 2X − Y. Adja meg az E (U | V ) feltételes val´ osz´ın˝ uséget! 96. Egy felhaszn´ al´ onak két szerveren is van e-mail c´ıme. Az egyikre naponta X, a másikra Y u ¨ zenet érkezik egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul, ahol X ∈ P o (3) és Y ∈ P o (6) . Mekkora a valósz´ın˝ usége annak, hogy egy nap legfeljebb két u ¨ zenet érkezik ¨ osszesen? 97. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, Z = 2X + 1, V = 3Y . Sz´ amolja ki a P (V < Z) valósz´ın˝ uséget! 98. Két kock´ aval dobunk. X a dobott értékek minimuma, Y pedig a maximuma. Adja meg cov (X, 2Y + 1)et! 99. Legyen az X, Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye fX,Y (x, y) = 54 (x + y + xy) , ha 0 < x < 1 és 0 < y < 1. ot. (K¨ ul¨ onben fX,Y (x, y) = 0.) Adja meg az E (Y | X) regresszi´ 100. Legyen X a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változó, Y = sin (2πX) és Z = cos (2πX) . Sz´ amolja ki az (Y, Z)T pár kovarianciamátrixát! 101. Két azonos képesség˝ u atléta versenyt fut. Mindkettej¨ uk eredményét m = 10, 1 és σ = 0, 1 paraméter˝ u norm´ alis eloszl´ assal jellemezhetj¨ uk másodpercekben. Mennyi a valósz´ın˝ usége, hogy az egyik versenyz˝o legal´ abb 0, 2 m´ asodperccel legy˝ ozi a másikat? 102. Legyen X a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlás´ u valósz´ın˝ uségi változó, melyet kettes számrendszerben ´ırunk fel: X = 0, X1 X2 ..., ahol X1 és X2 a diadikus tört els˝ o és második számjegye. F¨ uggetlen-e X1 és X2 ? 103. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek és Z = 3X + Y + 1. Sz´ amolja ki az E (Z | X) regressziót! 104. T´ız kock´ aval dobunk. X a hatosok, Y a hárommal oszthatók számát jelöli. Adja meg az E (Y | X) regresszi´ ot! 105. Tekints¨ uk a 90/5 lott´ oh´ uz´ ast! Jel¨ olje X a 45-nél kisebb, Y pedig a hárommal osztható számok számát a kih´ uzottak k¨ oz¨ ott! Sz´ amolja ki P (X = 1, Y = 1)-t! 106. Legyenek X, Y ∈ E (1) f¨ uggetlenek, Z = Y 2 tgX −

Y X.

Sz´ amolja ki az E (Z | X) regressziót!

107. Legyenek X, Y ∈ N (0, 1) f¨ uggetlenek és T = min {X, Y } és W = max {X, Y }. Számolja ki a T és W egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét!


8

108. Bizony´ıtsa be, hogy tetsz˝ oleges A, B eseményre |P (AB) − P (A) P (B)| ≤

1 4

teljes¨ ul!

109. Két u ¨ zemet k¨ oz¨ os rakt´ arb´ ol l´ atnak el nyersanyaggal. Az els˝ ou ¨ zem havonta X ∈ N (150, 10), a másik u ¨ zem pedig az els˝ ot˝ ol f¨ uggetlen¨ ul Y ∈ N (210, 15) mennyiség˝ u nyersanyagot használ fel. Mennyi legyen a nyersanyag a h´ onap elején a raktárban, hogy az a hónap végéig 99%-os biztonsággal fedezze a két u ¨ zem sz¨ ukségletét?(Φ (2, 34) = 0, 99) . 110. Az X és Y val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ ok egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye: 0, 25 1 + xy x2 − y 2 , fX,Y (x, y) = 0,

|x| < 1, |y| < 1 . egyébként

Sz´ amolja ki a vet¨ uleti s˝ ur˝ uségf¨ uggvényeket! F¨ uggetlen-e X és Y ? T

111. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek, Z1 = XY és Z2 = X + Y. Adja meg a Z = (Z1 , Z2 ) kovarianciam´ atrix´ at és v´ arhat´ o érték-vektor´ at!

vektor

112. Egy p´ ok ´ altal rakott peték sz´ ama X ∈ P o (λ) . Az egyes peték egymástól f¨ uggetlen¨ ul p valósz´ın˝ uséggel pusztulnak el. Jel¨ olje Y a kifejl˝ od¨ ott peték számát. Adja meg Y eloszlását! 113. Az X, Y p´ ar egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye f (x, y) =

2 0

, ha 0 < x < y < 1 . Sz´ amolja ki a peegyébként

rems˝ ur˝ uségf¨ uggvényeket! F¨ uggetlen-e X és Y ? 114. Két kock´ aval dobunk. X a hatosok száma, Y pedig a dobott értékek minimuma. Sz´ amolja ki R (X, Y )t! 115. Az X, Y p´ ar egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye 0, 8 x2 + xy + 2y 2 , ha 0 < x < 1, 0 < y < 1 . f (x, y) = 0 egyébként Sz´ amolja ki a Z = 2X + Y s˝ ur˝ uségf¨ uggvényét és várható értékét! 116. Legyenek X, Y ∈ U (0, 1) f¨ uggetlenek. Sz´ amolja ki P X 2 + Y 2 < 1 < 2X + Y -t! 117. Az X, Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye f (x, y) =

6y 2 , ha |y| < 1, 0 < x < 1, . 0 egyébként

Mennyi a val´ osz´ın˝ usége annak, hogy az (X, Y ) pár az A(0, 0), B meghat´ arozott h´ aromsz¨ og belsejébe esik?

1 2, 0

,C

1 1 2, −4

cs´ ucspontok által

118. Két kock´ aval dobunk. X az egyesek száma, Y a dobott összeg. Sz´ amolja ki cov(X, Y )-t! 119. Az X, Y egy¨ uttes s˝ ur˝ uségf¨ uggvénye 0, 8 x2 + xy + 2y 2 , ha 0 < x < 1, 0 < y < 1 f (x, y) = . 0 egyébként Sz´ amolja ki a Z =

X Y

v´ arhat´ o értékét!


9

120. Egy dobozban 1 piros és 3 fehér golyó van. Visszatevéssel h´ uzunk 50-szer. X jelentse a kih´ uzott pirosak sz´ am´ at az els˝ o 30, Y pedig az utolsó 30 h´ uz´ as során. Határozza meg az X és Y korrelációs egy¨ utthat´ oj´ at! 121. Az X val´ osz´ın˝ uségi v´ altoz´ o az 1, 2, 3 értékeket rendre 0.2, 0.3, 0.5 valósz´ın˝ uséggel veszi fel, a t˝ole f¨ uggetlen Y pedig a 0, 2, 3 értékeket 0.25, 0.5, 0.25 valósz´ın˝ uséggel veszi fel. Határozza meg X · Y sz´ or´ asnégyzetét!. 122. A [0, 1] intervallumban jel¨ olj¨ unk ki találomra három pontot. Határozza meg a középpont abcisszájának eloszl´ asf¨ uggvényét! 123. Egy szab´ alyos pénzérmét addig dobálok, am´ıg m´ asodszorra nem kapok fejet. Jelölje X a sz¨ ukséges dob´ asok sz´ am´ at. Adja meg X eloszl´ asát, várható értékét és szórását!

A 4. feladatsor Kulcsszavak : Markov- és Csebisev-egyenl½otlenség, karakterisztikus függvény, valószín½uségi változók sorozatainak konvergenciái, nagy számok törvényei, centrális határeloszlás-tételek (Moivre-Laplace-tétel). IV.1 Egy párt szimpatizánsai p valószín½uséggel mennek el szavazni, amit nem ismerünk. A közvéleménykutatók p-t a megkérdezetteknek a pártot választók relatív gyakoriságával becsüli meg. Mekkora legyen a megkérdezettek n számú mintája, ha azt akarják elérni, hogy a becslés a tényleges p értékt½ol legfeljebb 0; 001-el térjen el 99; 9%-os megbízhatósággal? IV.2 Legalább hány meggyelés kell ahhoz, hogy egy 5-nél nem nagyobb szórású valószín½uségi változó értékeinek átlaga 95%-os valószín½uséggel a várható érték 0,01 sugarú környezetébe essen? IV.3 Egy szerencsejátékos meggyeli, hogy átlagosan 63 kísérlet után nyer. legalább hányszor kell kísérleteznie, hogy 0,99 valószín½uséggel nyerjen legalább egyszer? IV.4 Egy mérés elvégzéséhez egy pontatlan eszközünk van, ahol a mérés hibája normális eloszlású. A mérést n-szer végezzük el, majd a mérési eredményeket átlagoljuk. Mekkora legyen a mérések száma, hogy legfeljebb 10 4 valószín½uséggel térjen el az átlag a mérend½o értékt½ol 0; 1-el? IV.5 99%-os valószín½uséggel szeretnénk garantálni, hogy 1000 pénzfeldobásból legalább n-szer fejet kapjunk. Hogyan válasszuk meg n-et, ha a fejdobás valószín½usége p? IV.6 Adottak az X1 ; X2 ; ; X12 2 U (0; 1) teljesen független véletlen számok. Ezek segítségével generáljunk N (5; 2) normális eloszlású véletlen számot! IV.7 Jelölje az X valószín½uségi változó karakterisztikus függvényét f (t): Fejezzük ki az Y = X valószín½uségi változó karakterisztikus függvényét f (t)-vel! IV.8 Jelölje az X és Y független, azonos eloszlású valószín½uségi változók közös valószín½uségi karakterisztikus függvényét f (t): Fejezzük ki az X Y és X+Y 2 változók karakterisztikus függvényeit f (t)-vel! IV.9 Legyenek X1 ; X2 ; : : : ; Xn 2 N (0; 1) teljesen függetlenek, és Y =

n P

Xi2 :

i=1

Adjuk meg Y karakterisztikusfüggvényét!

IV.10 Adja meg a P o() diszkrét eloszlás karakterisztikus függvényét! Ezt felhasználva számolja ki a negyedik momentumot! IV.11 Egy alkatrészgyárban microcheap-ek min½oségét automatával ellen½orzik. 1000 termék megvizsgálása után azt találták, hogy 12 volt selejtes. Mekkora valószín½uséggel állíthatják azt, hogy a többmilliós készletben a selejtarány nem éri el az 1%-ot? 1

IV.12 Legyenek X1 ; X2 ; :::; Xn 2 N (0; 1) teljesen függetlenek! Adja meg az Y = n P 1 Xi karakterisztikus függvényét! n i=1

IV.13 Szkennellel kartonból digitális képet állítanak el½o, amelyet diszken tárolnak. A konvertálás akkor selejtes, ha a digitális képen vizualizálásakor valamelyik adat nem olvasható. A digitalizálási munka megrendel½ojének az az el½oírása, hogy a többmilliós állományban a selejtes konvertálások aránya ne érje el az 1%-ot legalább 95%-os biztonsággal. Milyen n-t½ol áll fenn a P (rn < 0; 02) 0; 95 reláció, ahol rn jelöli a selejtarányt az n elem½u mintában?( (1; 63) = 0; 95). IV.14 Egy focicsapat idegenbe megy játszani. A vendéglátó klub 500 jegyet küldött a csapat szurkolóinak. A klub sejtése szerint a jegyek 60%-ka után lesz érdekl½odés. Hány 50 f½os buszt rendeljenek, ha biztosítani akarják, hogy a jegyet vásárlók 90%-os valószín½uséggel felférjenek a buszokra? IV.15 Legyenek X1 ; X2 ; :::; Xn ; ::: 2 N (0; 1) teljesen függetlenek. Tekintsük az n P X 2 +X 2 Y1 = X12 ; Y2 = 1 2 2 ; ::::; Yn = n1 Xi2 ; ::: valószín½uségi változó sorozai=1

tot! Hová konvergál fYn g 1-valószín½uséggel?

IV.16 Egy nem szabályos kockán a hatos dobásának ismeretlen p valószín½uségét keressük. Hány dobást kell elvégeznünk a kockával ahhoz, hogy a hatos dobás relatív gyakorisága p-t 0,05-nél kisebb eltéréssel közelítse legalább 0,9 valószín½uséggel? IV.17 Egy pályaudvaron az újságárus X lapot ad el óránként, ahol X 2 P o (64) : A Csebisev-egyenl½otlenség segítségével becsülje meg alulról a P (48 < X < 80) valószín½uséget! n i P Xi : Számolja teljesen függetlenek, és Y = n1 IV.18 Legyenek Xi 2 N i; 31 i=1

ki Y karakterisztikus függvényét!

IV.19 Egy társadalomkutató meg akarja becsülni az alkoholisták arányát a munkanélküliek között. Hány meggyelést végezzen ahhoz, hogy a meggyelésekb½ol adódó arány a valódi aránytól 90%-os valószín½uséggel legfeljebb 2%-kal térjen el? IV.20 Ismételten dobunk egy szabályos kockával. Xn jelöli az n-edik dobás után az addigi hatosok számát. Hová, és milyen konvergencia szerint konvergál az Xnn sorozat? IV.21 Tekintsük azt az X valószín½uségi változót, aminek 1 jxj ha jxj 1 fX (x) = 0 ha jxj > 1 a s½ur½uségfüggvénye. Adja meg a 'X (t) karakterisztikus függvényét! 2

IV.22 Egy termékhalmaz selejtarányának becsléséhez n = 100 elem½u mintát vesznek. A minta selejtarányával becslik a teljes halmaz ismeretlen p selejtarányát. Mennyire valószín½u az, hogy a becslés legfeljebb 1%-kal tér el a tényleges p értékt½ol? IV.23 Egy 32 lapos magyar kártyacsomagból kiveszünk visszatevés nélkül 4 lapot. Jelölje X a kivett lapok közötti ászok számát! Adja meg X karakterisztikus függvényét! IV.24 Feldobunk n-szer egy kockát. Jelölje Xn a dobott számok minimumát! st Bizonyítsa be, hogy Xn ! 1! IV.25 Feldobunk n-szer egy kockát. Jelölje Xn az n-edik dobás eredményét és n P 1 Xi : Igazolja, hogy lim P (Zn < 1) = 12 ! legyen Zn = 3;5n n!1

i=1

IV.26 Legyenek X 2 N (0; 1) és Y 2 E (1) függetlenek, Z = 3X Számolja ki Z karakterisztikus függvényét! IV.27 Legyen X 2 N (0; 1) : Bizonyítsa be, hogy P X 2 5 0; 2!

IV.28 Legyen X 2 U (0; 4) és Z = (X

1 + 2Y:

2

2) : Bizonyítsa be, hogy P (Z 6) 29 !

IV.29 Egy szavazókörzetben összesen 20000 szavazásra jogosult állampolgár van. Minden szavazó 0; 40 valószín½uséggel megy el szavazni, a többi választó szándékától függetlenül. Mekkora annak a valószín½usége, hogy a szavazás érvényes lesz vagyis, hogy a szavazópolgárok legalább 40%-a részt fog venni a szavazáson? IV.30 Egy termékbemutató szervezésekor n = 1000 meghívót küldenek szét. A tapasztalat szerint a meghívottak egymástól függetlenül p = 0; 1 valószín½uséggel fogadják el a meghívást és jelennek meg a rendezvényen. Mekkora teremben kell a rendezvényt megtartani, ha azt akarják, hogy a megjelentek mind le tudjanak ülni legalább 90%-os valószín½uséggel? ( (1; 3) = 0; 9). IV.31 Egy dobozban 4 cédula van, rajtuk a 1, 0, 2, 2 számok. 192-ször húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlás tétel alkalmazásával határozzuk meg annak valószín½uségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 90, de 180-nál kisebb.

3

Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül!

Recommend Documents