I. Folyadékok mechanikája Folyadék - külső erőhatás következtében áramlásra képes közeg, amelyet az anyagrétegek viszonylagos elmozdulása jellemzi. A fluidum gyűjtőnév magába foglalja a cseppfolyós anyagokat és a gázokat egyaránt. A folyadékmolekulák között ható kohéziós erők csak az ún. molekuláris hatásgömb sugarának megfelelő távolságban érvényesülnek (r=10-8 m sugarú gömb belsejében). A kohéziós erők elegendő nagyságú összetartó erőként hatnak, amelyek a folyadéknak állandó térfogatot kölcsönöznek, de nem biztosítanak önálló alakot a folyadék számára. I.1. Hidrosztatika: nyugvó folyadékok mechanikája Ismételjünk át néhány fogalmat a nyugalomban levő folyadékok jellemzése céljából, mint sűrűség, nyomás, viszkozitás, felületi feszültség, stb. a). A sűrűség fogalma értelmezés szerint az egységnyi térfogatban levő anyagtömeget jelöli: m ρ= , V kg ⎡m⎤ amelynek SI mértékegysége [ρ ]SI = ⎢ ⎥ = 1 3 . m ⎣ V ⎦ SI Gyakran a viszonylagos sűrűség fogalmát is használjuk, amely alatt általában az illető anyag vízhez viszonyított sűrűségét értjük d =
ρ , ha nem teszünk más pontosító ρvíz
kijelentést. A relatív sűrűség dimenzió nélküli mennyiséget jelent, ahol ρ víz = 1000
kg . m3
b). A nyomás értelmezés szerint az egységnyi felületre ható merőleges nyomóerőt jelenti: ΔF F p = lim , illetve p = ΔS → 0 ΔS S N A nyomás SI mértékegysége a newton per négyzetméter, illetve a pascal ( 1 2 = 1 Pa ). m A gyakorlatban még használatos nyomásmértékegységek: - technikai atmoszféra : 1 at = 1 kgf/cm2, 1 kgf/cm2 = 98100 N/m2, - fizikai atmoszféra: 1 atm = 1,0332 kgf/cm2, illetve - 1 torr = 1 Hgmm = 133,32 N/m2. c). Nyugalomban levő folyadékok viselkedését Pascal és Arkhimédesz törvényei írják le: - Pascal-törvénye: „Zárt edényben levő folyadékra gyakorolt nyomás a folyadék minden részére és az edény falára ugyanolyan mértékű”.
- Arkhimédesz-törvénye: „Minden, részben vagy teljesen folyadékba merülő testre a kiszorított folyadék súlyával megegyező felhajtóerő hat”. Folyadékban úszó test (a folyadékba alámerülő test) esetében az Arkhimédesz-erő nagysága: FA = ρ foly ⋅ g ⋅ Vtest , amelynek támadópontja a kiszorított folyadék súlypontjában felhajtóerőként hat. A folyadékok felszínén úszó testek esetében a felhajtóerő a folyadékba merülő test Vx térfogata által kiszorított folyadék mennyiségével jellemezhető, FA = ρ foly ⋅ g ⋅Vx .
d). Hidrosztatikai nyomás értelmezése Az ideális folyadékban nincsen kitüntetett irány, amelyben a nyomás anizotróp változást mutatna. A folyadék belsejében uralkodó nyomás értékét a folyadék felszínén levő nyomás, illetve a felszíntől mért mélység határozza meg: p = p0 + ρgh A kifejezésben szereplő p0 a folyadék szabad felszíne fölötti nyomást jelenti, amely sajátos esetben a normális légköri nyomással egyezik meg. A normális légköri nyomás tengerszint magasságban, t0=0 ºC hőmérsékleten, φ=45º szélességi körön mérve p0= 760 torr=101325 N/m2=1013 mbar. A kifejezés bizonyítása végett tekintsünk a folyadék belsejében egy hasáb alakú dV elemi térfogatot, amelynek tömegét jelölje dm és vastagságát dz, vízszintes felületének területe legyen dS. A tekintett térfogatelem egyensúlyi állapotát a hatóerők egyensúlya adja, azaz a ráható erők vektori összege legyen zérus:
∑F
z
i
=0.
i
A hasáb alakú folyadékelemre ható függőleges irányú erők vektori összegét skaláris egyenlettel helyettesítve (1. ábra), amelyben a lefelé mutató erőket pozitív előjellel vettük figyelembe:
p ⋅ dS − ( p + dp) ⋅ dS + ρ g dz ⋅ dS = 0 , következik, hogy egyensúly esetén az alulról ható nyomástöbblet értéke dp = ρ ⋅ g ⋅ dz .
1 ábra. A hidrosztatikai nyomás értelmezése A folyadék szabad felszínétől mért távolság függvényében a nyomás a folyadék belsejében fokozatosan nő. Az állandó sűrűségű, nyugvó folyadék felszínétől mért mélység irányában ható elemi
nyomásváltozások összegzésével meghatározhatjuk adott h mélységben uralkodó hidrosztatikai nyomás értékét: p
z =+h
p0
z =0
∫ dp = ∫ ρgdz
p = p 0 + ρgh e). Barometrikus nyomásváltozás: Laplace-törvénye A folyadékokhoz hasonlóan a gázok is gyakorolnak nyomást a környezetükben levő testekre, ahol a légköri nyomás értéke magasságtól függően változik. A fenti gondolatmenet segítségével levezethetjük a légköri nyomás változását magasság függvényében, amelyet Laplace-barometrikus egyenletének is neveznek. A nyomásváltozás képletében elegendően kis dz szintkülönbséget tekintve, a sűrűségváltozást elhanyagolhatóan kicsinek tekintjük dp = − ρ (h) ⋅ g ⋅ dz . A magasság növekedésével a nyomás értéke csökken, ezért a kifejezésben negatív előjelt használtunk. Állandó hőmérsékletű levegőt feltételezve Boyle-Mariotte egyenlete értelmében m ρ p p ⋅ V = ⋅ RT = állandó , vagy = állandó , ahonnan felírhatjuk a ρ (h) = p ⋅ 0 ρ p0 μ sűrűségváltozást a magasság függvényében, amelyet helyettesítve és integrálva, kapjuk:
dp = − ρ (h) ⋅ g ⋅ dz = − p ⋅ p(h)
∫
p0
ln
ρ0 p0
⋅ g ⋅ dz
ρ dp = − g ⋅ 0 ⋅ ∫ dz p p0 h0 h
ρ p = − g ⋅ 0 ⋅ (h − h0 ) p0 p0
p(h) = p0 ⋅ e
−
ρ0 ⋅g p0
⋅ ( h − h0 )
A kifejezés azt mutatja, hogy a légnyomás exponenciálisan csökken a magassággal. A fenti kifejezésben p0 a föld felszínén mért légnyomást, illetve és ρ 0 =1,29 kg/m3 a levegő sűrűségét jelölik. I.2. Felületi feszültségi erő
Tekintsük a mellékelt fényképet, amely azt a pillanatot rögzíti amikor egy nyugalomban levő folyadék szabad felszínébe becsapódó csepp hatására a felszíni folyadékrétegből, mint rugalmas hártyáról „visszapattanó“ apró cseppek a felületi feszültség hatására gömbszerű alakzatot vesznek fel (2. ábra).
2. ábra. Nyugalomban levő folyadék felszíni rétegéből „visszapattanó“ apró cseppek a felületi feszültség hatására gömbszerű alakzatot vesznek fel
Hogyan magyarázhatjuk a felületi feszültség kialakulását? A folyadék szabad felszíne válaszfelületet képez a folyadéktérfogat és a környező szilárd- vagy gázhalmazállapot között. A folyadék felszínén levő molekulák hatásgömbjének csak egyik tartományában találhatóak a folyadék saját molekulái, a másik tartományban a környező tér molekulái találhatóak. Gáz esetében az utóbbi tartományban sokkal kisebb a molekulasűrűség és a köztük ható intermolekuláris erők is jóval kisebbek. Ezért az erők eredője a folyadék belseje felé irányul. A folyadék azon felső rétegében, amelynek vastagsága a molekuláris hatásgömb sugaránál kisebb, a molekulák között ható kohéziós erők eredője a folyadék belseje felé irányúló eredő erőt határoz meg. Ezáltal a felszíni réteg nyomást gyakorol a folyadékra. A folyadék az őt határoló szilárd felületet adott körülmények között nedvesíti (homorú meniszkusz jellemzi a folyadékfelszín görbületét), vagy nem nedvesíti (domború meniszkusz jellemzi a folyadékfelszín görbületét). Ezt a körülményt a folyadékmolekulák között ható kohéziós erők (Fc), illetve a folyadék és környzetét alkotó molekulák között ható adhéziós erők (Fa) határozzák meg. A folyadékot határoló szilárd felület környezetében a szabad folyadékfelszín eltér a vízszintes irányától, a görbült folyadékfelszín merőleges az intermolekuláris erők eredőjének irányára. A szilárd test felületi síkja és a folyadék szabad felszínéhez húzott érintőegyenes által bezárt θ szöget illeszkedési szögnek nevezzük, amelynek értéke 0 ≤θ ≤180˚ között változhat. Azt a tényt, hogy a folyadékok milyen körülmények között nedvesítik a velük érintkező szilárd testeket a felületi feszültség és az adszorpció együttesen határozza meg. Ha a folyadék nedvesíti a szilárd felületet akkor az illeszkedési szög hegyesszög, amelynek értéke θ ≤
π
2
(lásd a 3a. ábrát), illetve a felületet tökéletesen
nedvesítő
folyadék esetén θ =0. Ha a folyadék a szilárd testet nem nedvesíti, akkor az illeszkedési szög tömpaszög,
amelynek értéke θ >
π
2
(lásd a 3b. ábrát).
3. ábra. Homorú, illetve domború meniszkusz kialakulása a folyadék szabad felszínén
Ha θ illeszkedési szög hegyesszög, akkor a folyadék részben nedvesíti a felületet (hidrofil felület), ha pedig θ tompaszög, akkor a folyadék nem nedvesíti a szilárd test felületét (hidrofób felület). A folyadék határfelületén jelentkező felületi erők a folyadék felszíni síkjában érintőlegesen hatnak és felületi feszültséget eredményeznek. A felületi feszültség a folyadékfelszín minimálisra való csökkenését segíti, ezáltal a felszíni réteg úgy viselkedik mint egy kifeszített rugalmas hártya. A folyadékfelszínt csökkentő Fσ felületi feszültségi erő nagysága arányos a határvonal l hosszával, és függ a folyadékra jellemző σ felületi feszültségi együtthatónak nevezett anyagállandó értékétől: Fσ = σ ⋅ l . N ⎡F ⎤ A felületi feszültségi együttható mértékegysége [σ ] = ⎢ ⎥ = 1 . m ⎣l⎦
A folyadékfelszín csökkentését okozó Fσ erőnek a legyőzése pozitív munkavégzést igényel: L = ΔW = σ ⋅ Δ S . A felületi feszültségi erő által végzett L munka ΔW energiacsökkenést eredményez, amely arányos a felületváltozás ΔS = 2l ⋅ Δd nagyságával. Az utóbbi kifejezésben azért jelenik meg a 2-es szorzótényező, mert a folyadékhártyának két felszíne van. Ennek értelmében a felületi feszültségi tényező más alakban is kifejezhető: ΔW ⎡ J ⎤ σ= , ΔS ⎢⎣ m 2 ⎥⎦ A felületi feszültségi tényező anyagállandó, amely jellemzi az adott folyadék fajlagos felületi energiáját. Számos kísérlet igazolja a felületi feszültség munkáját, amelyet kísérletileg bizonyíthatunk a Quinke-féle mérleggel (4. ábra). Az ábrán látható drótkeretet folyadékba merítve (például szappanos vízbe) folyadékhártya képződik a keret síkjában. A kialakuló folyadékhártya rugalmas viselkedését igazolja az a tény, hogy a vízszintes síkban tartott keret l hosszúságú drótszála szabadon elmozdul a folyadékfelszín érintő síkjában. Az elmozdulás a folyadék felszínét összehúzó felületi feszültségi erő hatására történik, csökkentve a folyadék szabad felszínét.
A folyadékfelszín növelését külső terhelő erővel valósíthatjuk meg. A külső erő a felületi feszültségi erő ellenében munkát végez a Δd elmozdulás során és a terhelő erő nagyságával arányos ΔW pozitív energiaváltozást eredményez.
4. ábra. Quinke-féle mérleg a folyadék felületi feszültségének mérése céljából
A felületi feszültség értéke függ az anyagi minőségtől. Desztillált víz esetében, például a felületi feszültségi együttható értéke σ = 7,29 10-2 N·m-1. A felületi feszültség értéke függ a folyadék T hőmérsékletétől is:
σ = C ⋅ (Tk − T ) . Tiszta folyadék felületi feszültsége csökken a hőmérséklet emelkedésével. Ha a folyadék T hőmérséklete eléri a folyadékra jellemző Tk kritikus hőmérsékletet, a felületi feszültség nullára csökken. Ekkor a folyadék és a gázhalmazállapot közti különbség eltűnik. I.3. Kapilláris jelenségek: Jurin-törvénye
A közlekedő edények valamennyi ágában a homogén folyadék ugyanolyan magasságra emelkedik. Ha valamelyik cső átmérője kb. 1 mm-nél kisebb, azaz kapilláris (hajszálcső), a folyadékoszlop magasabban illetve alacsonyabban lesz mint a közlekedő edény nagyobb átmérőjű csövében. Kapilláris esetében a folyadékoszlop magassága attól függ, hogy a folyadék nedvesíti vagy nem nedvesíti a szilárd fal felszínét, amellyel érintkezésben van. Ezt a jelenséget Jurin-törvénye írja le matematikai formában. Nedvesítő folyadék esetében a folyadékra emelő, míg a felületet nem nedvesítő folyadék esetében a folyadékoszlopra süllyesztő erő hat és az átlagos szabadfelszínhez viszonyítva annak lecsúszását eredményezi. Például emelkedés történik víz esetén a tiszta üvegkapillárisban, illetve sülyedést azonosíthatunk higany esetén az üvegkapillárisban. A felületi feszültség addig emeli fel a folyadékot a kapillárisban, amíg a folyadékoszlop súlya egyenlő nem lesz a feszültségi erővel, tehát G=F: π ⋅ r 2 ⋅ h ⋅ ρ ⋅ g = 2π ⋅ r ⋅ σ , amelyből következik a kapilláris magasság kifejezése: h=
2σ r⋅ρ⋅g
Az elmozdulás mértékét mennyiségileg meghatározó Jurin-törvény értelmében a kapilláris emelkedés, illetve sülyedés h értéke függ a kapilláriscső r sugarától, a folyadék ρ sűrűségétől, illetve a folyadékot jellemző σ felületi feszültségi tényező értékétől. Az edényben levő folyadék szabad felszínéhez viszonyított emelkedés meghatározásával, a folyadék sűrűségének és a kapilláris cső sugarának ismeretében, kiszámíthatjuk a felületi feszültségi együttható értékét. A folyadékok szabad felszínén adszorbeálódott anyagok megváltoztatják a folyadék felületi feszültségét. A felületi feszültség nagysága függ az oldat C koncentrációjától. Elméleti megfontolások alapján igazolták, hogy dC koncentrációváltozás dσ változást hoz létre a felületi feszültségben. Adott C koncentrációjú oldat szabad felületén adszorbeált anyag a mennyisége a Gibbs-féle egyenlettel fejezhető ki: C dσ ⋅ a=− RT dC Ha dσ⁄dC <0 a koncentráció növekedésével csökken a felületi feszültség, akkor a > 0, (pozitív adszorpcióról beszélünk). Ha viszont dσ⁄dC >0, vagyis a felületi feszültség nő a koncentrációval, akkor a < 0 (negatív adszorpcióról beszélünk). A pozitívan adszorbeálódó anyagokat kapillár-aktívaknak, a negatívan adszorbeálódó anyagokat viszont kapillár-inaktívaknak nevezzük. A kapilláraktív anyagok megnevezés azokra az anyagokra utal, amelyek a folyadék felületi feszültségét megváltoztatják. Ilyen anyagok a mosószerek, amelyek poláris (hidrofil) és apoláris (hidrofób) komponenseket tartalmaznak. A poláris hidrofil komponens jól oldódik vízben, az apoláris komponens pedig zsírokban oldódik jobban. Ez megkönnyíti a mosóvízben emulgeált zsírcseppek eltávolítását. A folyadékok felületi feszültségének meghatározása céljából különböző mérési eljárásokat alkalmazhatunk. A felületi feszültségi erő mérése Traube-féle sztalagmometriás eljárás szerint azon alapszik, hogy a kapilláris csőből lassan kiszivárgó folyadékcsepp leszakadásának pillanatában a felületi feszültségi erő egyensúlyt tart a cseppre ható nehézségi erő értékével (5. ábra): G= Fσ , azaz m ⋅ g = σ ⋅ 2π ⋅ r A kifejezésben szereplő mennyiségek jelentése: m − a folyadékcsepp tömege (kg), g − nehézségi gyorsulás (m/s2), m = ρ ⋅ v , ahol ρ a folyadék sűrűsége (kg/m3), v − a folyadékcsepp térfogata (m3). Tetszőleges V térfogatú folyadékmennyiségben levő n számú folyadékcsepp esetén V = n ⋅ v , a felületi feszültségi együttható értékét megadó összafüggés:
σ =
ρ ⋅V ⋅ g . 2π ⋅ r ⋅ n
A módszert relatív módszerként is alkalmazhatjuk. A fenti egyenletet két különböző felületi feszültségű folyadékra felírva, amelyek közül az egyik felületi feszültsége ismert, akkor meghatározhatjuk az ismeretlen felületi feszültségű folyadék σ együtthatóját.
5. ábra. Traube-féle sztalagmométer vázlatrajza
A folyadékok felületi feszültségének meghatározására alkalmas módszer az ún. „gyűrű leszakítás” módszere. Ennek lényege, hogy egy érzékeny rugóra rögzített fémgyűrűt a tanulmányozott folyadékba merítjük, majd a folyadékból való kiemelés pillanatában meghatározzuk a rugóerő értékét a folyadékhártya lefele húzó és a rugó emelő ereje által megvalósított egyensúlyi állapot feltételének megfelelően (lásd a 6. ábrát).
6. ábra Folyadékok felületi feszültségének mérése a „gyűrű leszakítás” módszerével
A folyadékhártya a körgyűrű külső és belső pereméhez tapad, ezért a lefele húzó felületi feszültségi erő értéke: Fσ = (2π ⋅ rb + 2π ⋅ rk ) ⋅ σ , ahol rk és rb a gyűrű külső, illetve belső sugara.
A leszakadás pillanatában a rugó által kifejtett emelőerőt meghatározhatjuk a Jolly-féle rugós mérleg (rugós dinamométer) segítségével, amelyre felírható az emelőerő és a megnyúlás értéke közötti összefüggés: F = k ⋅ y1 − y0 A folyadékhártya által kifejtett erő és a rugó erejének egyenlőségéből kiszámíthatjuk a felületi feszültség σ értékét: k ⋅ y1 − y0 σ= 2π ⋅ (rb + rk ) A k rugóállandó meghatározása céljából megmérjük egy ismert m tömegű test (néhány gramm nagyságú tömeget használva) súlya által létrehozott megnyúlást: mg , k= y 2 − y0 amelyben y2 jelöli a rugó megnyúlási értékét az m tömeg hatására.
II. Folyadékok dinamikája II.1. Áramlástani alapfogalmak
A folyékony állapotú anyagok jellemző tulajdonsága, hogy külső erő hatására könnyen megváltoztatják alakjukat, azaz folynak. Az áramló folyadék által kitöltött teret dr áramlási térnek nevezzük, amelynek bármely pontjához hozzárendelhető egy v = dt sebességű folyadékrészecske. A részecskék pillanatnyi sebességvektorai az áramlási vonalak érintőegynese mentén fekszenek és az elmozdulás irányába mutatnak. Ha az áramvonalak a tér pontjaiban párhuzamosak, réteges vagy lamináris áramlásról beszélünk, ellenkező esetben turbulens vagy örvénylő áramlásról beszélünk. A folyadékáramlás leírása céljából ismerni kell azokat a mennyiségeket, amelyek az áramlást jellemzik. Ezek a mennyiségek térkoordináták és időkoordináták szerinti eloszlásban jellemzik a folyadék v=v(x,y,z,t ) áramlási sebességét, p=p(x,y,z,t) nyomását, illetve a közeg ρ = ρ ( x, y, z , t ) sűrűségét, amelyek együttesen határozzák meg az „áramlási teret”. Ugyancsak ismernünk kell a kezdeti feltételeket és az áramlást kiváltó okot, vagyis a hatóerőket. A jelenség egyszerűsített leírása céljából tételezzük fel, hogy a folyadék gyakorlatilag összenyomhatatlan és állandó sűrűségű, azaz homogén folyadék mozgását vizsgáljuk. Továbbá feltételezzük, hogy a folyadék belső súrlódása a sebességtől független, vagyis az úgynevezett newtoni folyadék stacionárius áramlását tanulmányozzuk. Tekintsük a folyadék áramlását egy változó keresztmetszetű csőben, amelyben az áramlás egy Δp stacionárius nyomáskülönbség hatására következik be (7. ábra).
Jelölje az áramlás tömeghozamának értékét Qm =
dm , illetve a térfogati hozam dt
dV , amely az adott keresztmetszeten egységnyi idő alatt áthaladó dt folyadéktömeget, illetve folyadéktérfogatot fekejezi ki. Az ábra jelölései szerint S1 és S2 az áramlási cső harántirányú keresztmetszetei, v1 és v2 az áramlási sebességek, valamint p1 és p2 az áramlást kiváltó nyomások az áramlási cső adott S1 és S2 keresztmetszeti helyein.
értékét Qv =
7. ábra. Stacionárius áramlás jellemző mennyiségei
II.2. Hidrodinamika törvényei II.2.1. Az áramlás folytonosságának (kontinuitásának) törvénye
Ez a törvény a folyadék összenyomhatatlanságát feltételezi. A stacionárius folyadékáramlás folytonosságának törvénye kimondja, hogy az áramlási csőben a térfogatáram állandó: Qv = S1 ⋅ v1 = S 2 ⋅ v2 = állandó azaz, a térfogati hozam időben változatlan. Ez azt jelenti, hogy a lamináris áramlásban levő folyadék áramlási vonalai követik az áramlási cső keresztmetszetét. A nagyobb keresztmetszethez kisebb sűrűségű folytonos eloszlás, illetve a kisebb keresztmetszethez nagyobb eloszlássűrűségű áramlásvonal ábra tartozik. Az elmozduló folyadékrészecskék követik az áramlásvonalakat, így a keresztmetszet változása meghatározza az átáramló folyadék sebességeloszlását. II.2.2. A folyadékáramlás alaptörvénye: Bernoulli-egyenlet
Az áramlásban levő folyadék alapegyenlete a Bernoulli-egyenlet, amely az energiamegmaradás törvényének sajátos alkalmazása a súrlódásmentesen áramló folyadék esetében. Vizsgáljuk meg a nyomáskülönbségből származó erő munkájának hatására elmozduló folyadék helyzeti gravitációs és mozgási energiájának változását.
A munkatétel értelmében az elemi mechanikai munka, amelyet a nyomáskülönbségből származó eredő erő a folyadékoszlopon végez kifejezhető δL = F ⋅dr , illetve a véges elmozdulás során végzett munka kifejezésére felírható: L = S1 ⋅ p1 ⋅ v1 ⋅ t − S 2 ⋅ p 2 ⋅ v2 ⋅ t ≡ p1 ⋅ V1 − p 2 ⋅ V2 A mozgási és helyzeti energia változása: 1 1 2 2 ΔW = ⋅ m ⋅ v2 − ⋅ m ⋅ v1 + m ⋅ g ⋅ h2 − m ⋅ g ⋅ h1 2 2 Az energiamérleg egyenletét alkalmazva felírhatjuk, hogy: L = ΔW 1 1 2 2 p1 ⋅V1 − p 2 ⋅ V2 ≡ ⋅ m ⋅ v2 − ⋅ m ⋅ v1 + m ⋅ g ⋅ h2 − m ⋅ g ⋅ h1 2 2 Az egyenletet átosztva az állandó térfogat V1=V2=V értékével és tekintetbe véve, hogy a folyadék sűrűsége állandó, ρ = állandó , kapjuk az egységnyi térfogatra vonatkozó Bernoulli-egyenletet: 1 ⋅ ρ ⋅ v 2 + ρ ⋅ g ⋅ h + p = állandó 2 1 ⋅ ρ ⋅ v 2 tagot „dinamikai” vagy „torlónyomásnak” 2 nevezzük, a ρ ⋅ g ⋅ h tagot „hidrosztatikai nyomásnak”, illetve a p tag jelentése „sztatikai nyomás”, amely valójában hidrodinamikai nyomás. Az egyenlet azt fejezi ki, hogy az áramlásban levő folyadék teljes nyomása az áramlási cső bármely keresztmetszetén állandó értékű és egyenlő a sztatikai és dinamikai nyomások összegével. Fontos gyakorlati vonatkozása van a Bernoulli-törvénynek, mivel a keresztmetszet szűkületében a folyadék sebessége és dinamikai nyomása nagy, a sztatikai nyomás viszont lecsökken. Ez a nyomásesés olyan mértékű lehet, hogy szívóhatást érvényesít a környezetére. A nagyobb átmérőjű részeken viszont a sztatikus nyomás értéke megnő a dinamikus nyomás csökkenésének kompenzálása végett. A fenti kifejezésben szereplő
II.2. 3. Viszkózus folyadékok áramlása
A lamináris vagy réteges áramlásban levő folyadékok egymáson elcsúszó rétegei között a molekuláris hatás következtében belső súrlódási erők hatnak (8. ábra). A folyadékrétegek egymáshoz képest Δv sebességgel mozognak, ha a szomszédos rétegek sebessége v illetve v + Δv . Az Fs belső súrlódási erő értéke függ az elmozduló folyadékrétegeknek dv sebességesésétől (sebesség-gradiens), az áramlás irányára merőlegesen vett dz érintkezésben levő folyadékrétegek dS felületének nagyságától, illetve a folyadék η viszkozitásától. Ezt a Newton-féle súrlódási törvény fejezi ki, amely lamináris áramlás esetén a következő alakban adható meg: dv Fs = η ⋅ dS ⋅ dz
8. ábra. Belső súrlódás értelemzése a Newton-kifejezés levezetéséhez
A kifejezésben szereplő η mennyiséget dinamikai viszkozitási együtthatónak nevezzük, amely a folyadék természetére és állapotára jellemző belső súrlódási együttható: [η ]SI = ⎡⎢ F ⋅ dz ⎤⎥ = 1 N ⋅2s = 1 Pa ⋅ s . m ⎣ S dv ⎦ SI A dinamikai súrlódási együttható gyakorlati mértékegysége az egy poise, amely 1 P =1 g·cm-1·s-1. Az η értéke víz esetében t= 20 ºC hőmérsékleten η = 0,01 P = 1 cP , amely a hőmérséklet emelkedésével csökken. A dinamikai viszkozitási együtthatót a sűrűség értékével osztva kapjuk a kinematikai viszkozitási együttható értékét:
ν=
η . ρ
Ennek mértékegysége egy stookes (kiejtése stuksz), 1 St=1 cm2.s-1. Az előbbi kifejezések értelmezése során feltételeztük, hogy a folyadékrétegek lamináris áramlásban vannak, amely feltétel Reynolds vizsgálatai szerint akkor teljesül, ρ ⋅r ⋅v ≤ 2320 . ha az ún. Reynolds-szám értéke Re =
η
Azt a sebességet, amelynél a lamináris áramlás átmegy turbulens áramlásba, kritikus sebességnek nevezzük. A kritikus sebesség értéke függ a folyadék η viszkozitásától és fordítottan arányos a folyadék ρ sűrűségével, illetve az áramlási cső r sugarával: vkrit = Re ⋅
η . r⋅ρ
Ha a Reynolds-szám meghaladja a fenti értéket, akkor az áramlás jellege örvénylő vagy turbulens lesz, amelyet a folyadék belsejében kialakuló összetett forgómozgások jellemeznek (9. ábra) .
9. ábra. Turbulens áramlás fényképe
II.2.4. Hagen-Poiseuille-féle törvény
A Hagen-Poiseuille-féle törvény a stacionárius áramlásban levő folyadék térfogathozamát kifejező törvény. Tekintsünk egy hengeres alakú, körkeresztmetszetű áramlási csövet. Legyen dp nyomáskülönbség az r sugarú henger alakú folyadékréteg l szakaszán, amelyből származó aktív erő a belső súrlódás okozta energiaveszteséget fedezi és az állandósult folyadékáramlást fenntartja. Az r sugarú hengergyűrű 2π ⋅ r ⋅ dr felületelemén ható elemi nyomóerő kifejezésére felírható dFnyomó = 2π ⋅ r ⋅ dr ⋅ dp . A folyadékrétegek viszonylagos sebessége folytán az S = 2π ⋅ r ⋅ l felületű belső folyadékréteg gyorsítja az r+dr sugarú külső folyadékréteget (10. ábra).
10. ábra. Hagen - Poiseuille-törvény levezetésének jelölései
Stacionárius áramlásnál az r sugarú cső bármely keresztmetszetében az időegység alatt átáramló folyadék mennyisége egyenesen arányos az adott l hosszúságú cső mentén dp fellépő nyomáseséssel , a cső r sugarának negyedik hatványával, illetve fordítottan l arányos a folyadék η viszkozitásával: Qv =
dV π r 4 dp = ⋅ ⋅ dt 8 η l
Az élő szervezetben fontos szerepe van annak a ténynek, hogy az áramlási erősség a sugár negyedik hatványával arányosan változik. A növényi szállítóedényekben a folyadékáramlást az alig néhány mikrométer átmérőjű kapilláris csövekben a hidrosztatikai nyomáskülönbség és a kapilláris erők valósítják meg, ezáltal a növény számára megfelelő térfogathozamot biztosítanak. A Hagen-Poiseuille kifejezésben szereplő nyomáskülönbségre felírható az alábbi ( p1 − p2 ) = 8 ⋅η ⋅4l ⋅ dV = Rellenállás ⋅ I összefüggés: π ⋅ r dt Ebben a kifejezésben az Rellenállás – áramlási ellenállást jelent, míg a folyadék térfogati dV hozama Qv = ≡ I áramlási erősséget jelenti. dt
A fenti kifejezés alakja az elektromosságtanból ismert Ohm-törvényre emlékeztet, amelyben az elektromos áram erőssége a potenciálkülönbség és az elektromos ellenállás U hányadosaként írható fel, I = . R Hagen-Poiseuille kifejezését felhasználva meghatározhatjuk valamely folyadék ismeretlen dinamikai viszkozitási tényezőjét az ún. Ostwald-féle viszkoziméter segítségével.
II.2.5. Forgásban levő folyadék dinamikája Végezetül elemezzük röviden a forgómozgást végző folyadékban fellépő erőket és ezeknek a folyadékfelszínre gyakorolt hatásukat! Korábbi vizsgálatainkból kiderült, hogy a nyugvó folyadék szabad felszíne merőleges a külső erők eredőjére, ezért homogén gravitációs erőtérben a vízfelület vízszintes síkot alkot, illetve nagykiterjedésű folyadék esetén követi a Föld geometriai alakját. Ez a tulajdonság annak következménye, hogy a folyadékban nem jöhetnek létre érintőleges nyíróerők, illetve feszültségek. Függőleges forgástengellyel rendelkező folyadék esetében a folyadék felszíne felülről nézve homorú forgásfelületet alkot, amelynek szimmetriatengelye egybeesik a forgástengellyel (11. ábra). Az ω szögsebességgel forgó folyadék felszíne merőleges a nehézségi erő és a forgás következtében fellépő centrifugális tehetetlenségi erő által meghatározott R eredő erő irányára.
11. ábra. A forgó folyadék feszíne egy forgásparaboloid felületével azonos, amely merőleges az R eredő erő irányítására
Ez a felület egy forgási paraboloid felszínét mutatja, amelynek függőleges síkkal való metszete egy parabola.
