Hoofdstuk 6 Goniometrie

Hoofdstuk 6 – Goniometrie Opstap Stelling van Pythagoras en tangens O-1a

zijde DE 12

kwadraat

DF 30

900

144

BF ?

1044

BF !1044 BF 32,3 cm zijde KL 30

kwadraat

er sb v

b

900 225

LM 15 KM ?

1125

KM !1125 KM 33,5 cm zijde ST 20

kwadraat 225

SW 25

625

ev

400

TW ?

c d

e

ho

b

In ABC is BC de langste zijde. De aanliggende rechthoekszijde van B is AB. De overstaande rechthoekszijde van B is AC. AC tanB AB 5 tanB 4 1,25 B 51° KM tanL LM tanL 4,5 6,5 0,692

No or d

O-2a

ff Ui tg

TW !225 TW 15 cm

L 35°

b

c

De tangens van de hellingshoek is optrede 10 0,333. aantrede 30

©

O-3a

De hellingshoek is 18°. Van deze trap is de aantrede hetzelfde als bij de trap in opdracht a. De optrede is echter 2 cm groter en dat betekent dat de trap met een optrede van 12 cm steiler is dan de trap in opdracht a. De tangens van de hellingshoek is optrede 12 0,4 aantrede 30 De hellingshoek is 22°.

O-4a

⁄ 106 11003.indb 106

tan 35°

? 21

© Noordhoff Uitgevers bv

02/05/11 7:01 AM

Hoofdstuk 6 – Goniometrie

b

Het vraagteken staat op de plaats van de 6 in het ezelsbruggetje, dus 6 2 3. Er moet hier worden vermenigvuldigd. hoogte 21 tan 35° 14,7 De hoogte van het gebouw is 15 meter. L

O-5a

60˚

30˚ K

b

c

CS CS JS 45 CS 45 tan 40° 37,8 m DS DS tan 8° JS 45 DS 45 tan 8° 6,3 m De hoogte van de toren is 37,8 m 6,3 m 44 m. tan 40°

C

O-7a

5 cm

A

c

d

5 cm

D

3 cm

B

Je gaat de grootte van A met behulp van de tangens berekenen. De tangens kun je alleen gebruiken in een rechthoekige driehoek. Je moet er dus voor zorgen dat A in een rechthoekige driehoek voorkomt. zijde AD 3

kwadraat 9

CD ?

16

AC 5

25

CD !16 CD 4 cm CD tanA AD

©

b

3 cm

ev

O-6a

ff Ui tg

d

ho

c

KM KM tan 60° KL 10 Je moet vermenigvuldigen om de lengte van KM te berekenen. KM 10 tan 60° 17,3 cm

No or d

b

M

er sb v

10 cm

tanA 43 1,333 A 53°

6-1 Sinus 1a b

De lift legt tussen Montana en Rothorn een afstand van 3200 meter af. Het hoogteverschil is 800 meter.


11003.indb 107

⁄ 107 02/05/11 7:02 AM


zijde BR 800

kwadraat 640 000 9 600 000

BM ? MR 3200

d

10 240 000

BM !9 600 000 3098,4 De horizontale afstand is ongeveer 3098 meter. BR tanM BM

2a

sinM

er sb v

800 tanM 3098 M 14°

BR MR

800 sinM 3200

b c

d 4a

b

De overstaande rechthoekszijde van A is BC. De langste zijde in ABC is AC. BC sinA AC sinA 135 A 23° sinP

QR PR

sinP 48 P 30° LM sinK KM sinK 52 90

c

K 35° De overstaande rechthoekszijde van A is BC. BC sinA AB

©

d

ff Ui tg

3a

M 14° De antwoorden zijn hetzelfde.

ho

c

No or d

b

ev

c

e

⁄ 108 11003.indb 108

sinA 24 26 A 67° BC tanA AC tanA 24 10 A 67º Je krijgt hetzelfde antwoord.


02/05/11 7:02 AM


5a

S

R

b c d

T

4 cm

Zijde RT is de overstaande rechthoekszijde van S. Zijde ST is de langste zijde. RT sinS ST sinS 47

b

7a

De glijhoek bereken je het gemakkelijkst met de tangens omdat je de overstaande en de aanliggende rechthoekszijde weet. tan(glijhoek) 10 90 glijhoek 6º

ff Ui tg

6a

ev

S 35º

er sb v

7 cm

In PQR komt geen rechte hoek voor. Je kunt dus niet spreken over een overstaande of aanliggende rechthoekszijde in deze driehoek.

b

8 cm

T 3 cm Q PT sinPRT PR sinPRT 38 PRT 22º R 44º In PRT geldt P 180º 90º 22º 68º

d

3 cm

©

P

c

8 cm

No or d

ho

R

6-2 Cosinus 8a

Voor zowel de tangens als de sinus heb je de overstaande rechthoekszijde nodig. Die weet je in dit geval niet.


11003.indb 109

⁄ 109 02/05/11 7:02 AM


b

zijde

kwadraat

AB 12

144 9,76

BC ? AC 12,4

153,76

b c

d

10

De aanliggende rechthoekszijde van A is AB. Zijde AC is de langste zijde. AB cosA AC cosA 135 A 67º BC tanA AB tanA 125 A 67º Je vindt dus hetzelfde antwoord als in opdracht 9c. cosP

ff Ui tg

9a

PR PQ

ho

cosP 35 P 53º LM KL

No or d

tanK

cosB 10 26 B 67º 11

©

tanK 158 K 28º DE cosD DF cosD 45 75 D 53º BC cosB AB

ev

sinA 3,12 12,4 A 15º

er sb v

BC !9,76 BC 3,12 cm BC sinA AC

cos(hellingshoek)

aanliggende rechthoekszijde langste zijde

cos(hellingshoek) 395 400 hellingshoek 9º 12a b

⁄ 110 11003.indb 110

PQ 9 3 6 m PQ cosP PR cosP 68 P 41º © Noordhoff Uitgevers bv

02/05/11 7:02 AM


c

Je kunt deze vraag op drie manieren beantwoorden: met behulp van de sinus, de tangens of de stelling van Pythagoras. QR tanP PQ QR 6 QR 6 tan 41º 5,3 De afstand van het punt R van de arm tot het wegdek is 5,3 2 7,3 m.

13a

b

cos(kijkhoek zeilboot)

er sb v

tan 41º

aanliggende rechthoekszijde langste zijde

40 cos(kijkhoek zeilboot) 145 De vuurtorenwachter ziet de zeilboot onder een hoek van 74º. aanliggende rechthoekszijde cos(kijkhoek bootje) langste zijde

c

d

zijde BE 37,5

kwadraat

CE ?

4218,75

BC 75

5625

ho

b

BE (150 75) : 2 75 : 2 37,5 cm. Je maakt hierbij gebruik van de symmetrie van de tafel. BE cosB BC cosB 37,5 75 B 60º 1406,25

No or d

14a

ff Ui tg

ev

40 cos(kijkhoek bootje) 106 De vuurtorenwachter ziet het rode bootje onder een hoek van 68º.

CE !4218,75 64,95 De breedte van de tafel is 65 cm. De oppervlakte van de tafel is (37,5 65 : 2) (75 65) (37,5 65 : 2) 7312,5 cm2.

15a b c d

©

6-3 Sinus, cosinus of tangens Gezien vanuit A is BC de overstaande rechthoekszijde. AC is de langste zijde. Je kunt het beste de sinus gebruiken. BC sinA AC sinA 178 A 28º 16a b

Vanuit D gezien is zijde CD de aanliggende rechthoekszijde en vanuit D gezien is zijde DE de langste zijde. Je kunt D met de cosinus berekenen.


11003.indb 111

⁄ 111 02/05/11 7:02 AM


c

cosD

CD DE

cosD 124 D 71º

18a

b c

er sb v

c

In BKL is BK de aanliggende rechthoekszijde en BL de langste zijde. In ADE is AE de aanliggende rechthoekszijde en DE de overstaande rechthoekszijde. In BKL gebruik je de cosinus en in ADE de tangens. BK cosB BL

ev

b

Vanuit M gezien is zijde KL de overstaande rechthoekszijde en vanuit M gezien is zijde KM de langste zijde. Je kunt het beste de sinus gebruiken. KL sinM KM 8 sinM 9,4 M 58º

ff Ui tg

17a

cosB 68 B 41º DE tanA AE tanA 59 A 29º

cosK 117 K 50º o sinL l sinL 58 L 39º sinM

o l

sinM 103 M 17º o tanN a tanN 95 N 61º 20a

b

⁄ 112 11003.indb 112

ho

a l

No or d

cosK

©

19

Je weet de aanliggende rechthoekszijde van de gevraagde hoek en de langste zijde. Je moet de cosinus gebruiken. afstand tot het huis cos(hoek) lengte van de ladder cos(hoek) 2,5 7 De gevraagde hoek is 69º. De hoek is niet groter dan 75º en dus is er aan het veiligheidsvoorschrift voldaan.


02/05/11 7:02 AM


21a

DS is de helft van DB, dus DS 3,2 : 2 1,6 m. zijde DS 1,6

2,56

kwadraat

CS ?

1,44

CD 2

4

CS !1,44 CS 1,2 m 120 cm DS CD

er sb v

c

cos(halve hoek D)

cos(halve hoek D) 1,6 2 halve hoek D 36,9º De grootte van D is 2 36,9º 73,8º. Als je A kleiner maakt worden de hoeken B en D groter. Diagonaal BD wordt kleiner en diagonaal AC wordt groter. Het platform gaat dus omhoog.

ev

b

c d

23a b c

ho

b

In de tangens komt de hoogte van de toren voor als de overstaande rechthoekszijde van K. Verder weet je de lengte van de aanliggende rechthoekszijde. hoogte van de toren tanK 100 Je moet hier vermenigvuldigen. hoogte toren 100 tan 25º De hoogte van de toren is afgerond op hele meters 47 meter. Vanuit M gezien is KL de overstaande rechthoekszijde. Vanuit M gezien is KM de langste zijde. Kies voor de sinus. KL sinM KM 9 sin 65º KM

No or d

22a

ff Ui tg

6-4 Zijden berekenen

C

24a

©

KM 9 : sin 65º 9,9 De lengte van KM is 9,9 cm.

60˚ A

10 cm


11003.indb 113

B

⁄ 113 02/05/11 7:02 AM


25

AB AC 10 cos 60º AC AC 10 : cos 60º 20 De lengte van AC is 20 cm. cosA

AC AB AC tan 32º 8 AC 8 tan 32º 5,0 AC 5,0 cm tanB

er sb v

b

DE EF 12 cosE 13

C

28˚

b

D

afstand = 220 m

tanD

hoogte toren afstand

No or d

26a

ho

GI 5 : sin 72º 5,3 GI 5,3 cm

ff Ui tg

E 23º De som van de hoeken in GHI is 180º. Dus G 180º 90º 72º 18º GH sinI GI 5 sin 72º GI

ev

cosE

B

27

©

hoogte toren 220 hoogte toren 220 tan 28º 116,98 De toren is 116,98 1,78 119 m hoog. tan 28º

Bereken de lengte van BC met behulp van de sinus van B. AC sinB BC 40 sin 14º BC BC 40 : sin 14º 165,3 m De kabel van 150 m is dus niet lang genoeg.

⁄ 114 11003.indb 114


02/05/11 7:02 AM


b

c

De hoek tussen het dak en de muur is 112º. De hoek tussen de zoldervloer en de muur is 90º. De hoek tussen de zoldervloer en het dak is 112º 90º 22º. In CID geldt DI sinC CD DI sin 22º 4,5 DI 4,5 sin 22º 1,69 De zolder is 1,69 m hoog. Voor E in DEG geldt dat E 155º 90º 65º. EG DE 2 cos 65º DE cosE

cos 22º

ev

CI 4,5

ho

CI 4,5 cos 22º 4,17 Het huis is 200 417 617 cm breed.

ff Ui tg

d

DE 2 : cos 65º 4,73 Dakdeel DE is 473 cm. EG AF 2 m BF CI CI cosC CD

er sb v

28a

-

I-2

-

I-3a/e

-

I-4

-

I-5

-

I-6a/c

-

I-7a/c

-

I-8a/c

-

I-9ab

-


11003.indb 115

©

I-1ab

No or d

ICT Tangens, sinus en cosinus

⁄ 115 02/05/11 7:02 AM


6-5 Hoogtelijn-methode 29a

b

In de driehoek zijn twee hoeken van 40º. De driehoek is dus gelijkbenig en een gelijkbenige driehoek is lijnsymmetrisch. hoogte dak tan 40º helft van de breedte van de schuur hoogte dak 9 hoogte dak 9 tan 40º 7,55 De hoogte van het dak is 7,55 m. helft van de breedte lengte dak 9 cos 40º lengte dak cos 40º

C 6 cm

?

30˚

40˚

B

CD BC 3 sin 40º BC BC 3 : sin 40º 4,67 cm BC 4,7 cm BD cos 40º BC BD cos 40º 4,7 sin 40º

©

d

? D CD sin 30º AC CD sin 30º 6 CD 6 sin 30º 3 cm AD cos 30º AC AD cos 30º 6 AD 6 cos 30º 5,2 cm

No or d

A

ho

30ab

c

ff Ui tg

lengte dak 9 : cos 40º 11,75 Een golfplaat moet 11,75 0,20 11,95 lang zijn.

ev

c

er sb v

tan 40º

BD 4,7 cos 40º 3,6 cm e

⁄ 116 11003.indb 116

AB AD BD 5,2 3,6 8,8 cm


02/05/11 7:02 AM


31a

B

160 cm C

80 cm 55˚

D

A

32a

b

er sb v

Er is van de driehoek maar één zijde bekend. Michiel deelt die zijde in twee stukken. Je weet niet hoe lang AF en BF zijn. In elk geval is F niet het midden, want de driehoek is niet gelijkbenig. Met de tekening van Michiel kom je niet verder. In de tekening van Sandra geldt: AD sin 60º AB AD 4 AD 4 sin 60º 3,5 dm In de tekening van Irene geldt:

No or d

sin 60º

BE AB BE sin 50º 4 BE 4 sin 50º 3,1 dm Met de tekening van Sandra kun je in één keer de lengte van AC berekenen. Bij Irene moet je AE en EC berekenen en dan optellen. AD sin 70º AC 3,5 sin 70º AC

©

sin 50º

c

ev ff Ui tg

c

CD AC CD sin 55º 80 CD 80 sin 55º 65,5 De lengte van de hoogtelijn is 66 cm. CD sinB BC 65,5 sinB 160 B 24º sinA

ho

b

AC 3,5 : sin 70º 3,7 dm In de tekening van Irene geldt: BE sin 70º BC 3,1 sin 70º BC BC 3,1 : sin 70º ≈ 3,3 dm


11003.indb 117

⁄ 117 02/05/11 7:02 AM


33a

B 4 0

120 mijl

mij

l

30˚

A

D

C

BD is de gevraagde hoogtelijn. b

In BCD geldt: BD BC BD sin 30º 40 BD 40 sin 30º 20 mijl

er sb v

sin 30º

In ABD geldt: BD AB 20 sinA 120

ev

sinA

BD AD 20 tan 10º AD tanA

AD 20 : tan 10º 113,4 mijl BD CD 20 tan 30º CD tan 30º

No or d

CD 20 : tan 30º 34,6 mijl

ho

c

ff Ui tg

A 10º

AC AD CD 113,4 34,6 148 mijl. d

De kapitein heeft 160 148 12 mijl omgevaren.

34a

R

40˚ P

b

80 dm

©

78 dm

S

Q

RS PR RS sin 40º 78 sin 40º

RS 78 sin 40º 50,1 dm De oppervlakte van PQR is 80 50,1 : 2 2004 dm2.

⁄ 118 11003.indb 118


02/05/11 7:02 AM


Test jezelf T-1/T-8

Zie de antwoorden in je boek.

Extra oefening E-1

sinB

AC BC

er sb v

sinB 37 B 25º DF sinE DE sinE 208 E 24º LM KM

ev

sinK

sinK 45

E-2a b c

ff Ui tg

K 53º

In ABC is AC de langste zijde. De aanliggende rechthoekszijde van A is AB. AB cosA AC

d

tanA

AB AC

tanA 16 12 A 53º

Van PQR weet je de overstaande rechthoekszijde en de langste zijde. Je gebruikt de sinus. Van KLM weet je de aanliggende rechthoekszijde en de langste zijde. Je gebruikt de cosinus. Van ABC weet je de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde. Je gebruikt de tangens. 3 sinP 7,5 P 24º cosL 47 L 55º tanB 74 B 60º

©

E-3a

No or d

A 53º

ho

cosA 12 20

b


11003.indb 119

⁄ 119 02/05/11 7:02 AM


V

E-4a

50˚ 16 cm

ev ff Ui tg

In KLM geldt: sinK 147 K 30º M 180º 90º 30º 60º KL cosK KM KL cos 30º 14 KL 14 cos 30º 12,1 cm In PQR geldt: Q 180º 90º 50º 40º PQ sinR QR PQ sin 50º 15

No or d

E-5

ST SV 16 cos 50º SV SV 16 : cos 50º 24,9 cm cosS

ho

b

T

er sb v

S

PQ 15 sin 50º 11,5 cm PR cosR QR PR cos 50º 15

D

E-6a

1 2

©

PR 15 cos 50º 9,6 cm

8,8 m 1

F

C

158˚ 2,9 m 63° A

E

B

In AED geldt:

⁄ 120 11003.indb 120


02/05/11 7:02 AM


DE AD DE sin 63º 8,8 sin 63º

DE 8,8 sin 63º 7,84

CF 4,9 tan 22º 1,98 m In AED geldt: AE cos 63º AD AE cos 63º 8,8

800 mm

C

600 mm 50˚

D

A

b

c

In ADC geldt: CD sin 50º AC CD sin 50º 600

B

©

E-7a

No or d

ho

AE 8,8 cos 63º 4,00 AB AE EB 4,00 1,98 5,98 De breedte van het huis is 598 cm.

ev

c

In CDF geldt: C1 158º 90º 68º D2 180º 90º 68º 22º In ADE geldt: D1 180º 90º 63º 27º De hoek tussen de dakvlakken is 22º 27º 49º. In CDF geldt: DF DE EF 7,8 2,9 4,9 m CF tanD2 DF CF tan 22º 4,9

ff Ui tg

b

er sb v

De hoogte van het huis is 784 cm.

CD 600 sin 50º 459,6 De lengte van de hoogtelijn is 460 mm. CD sinB BC 460 sinB 800 B 35º


11003.indb 121

⁄ 121 02/05/11 7:02 AM


E-8

Maak eerst een schets van de driehoek ABP met daarin de hoogtelijn PQ. P 400 m

350 m 40˚

B

Q

A

ev

kwadraat 109 375 50 625

PQ 225,0 BP 400

160 000

V-1a C

D

α

?

©

200

No or d

Verwerken en toepassen

ho

BQ !109 375 330,7 AB AQ QB 268,1 330,7 598,8 De afstand van A naar B is 599 m.

ff Ui tg

zijde BQ ?

er sb v

AQ cosA AP AQ cos 40º 350 AQ 350 cos 40º 268,1 m PQ sinA AP PQ sin 40º 350 PQ 350 sin 40º 225,0 m In BPQ geldt:

180

180

β A

80

B

In ACD geldt de stelling van Pythagoras: zijde

kwadraat

AD ?

26 000

CD 80 AC 180

⁄ 122 11003.indb 122

6400 32 400


02/05/11 7:02 AM


80 cosC 180 C 64º Er geldt C D 64º A1 180º 64º 64º 52º De vier hoeken bij punt A zijn 52º, 128º, 52º en 128º.

C

V-2

50 m A

D

65˚

B

25 m E

No or d

ho

In ABC geldt: BC sinA AC 50 sin 65º AC

ev

c

CD AC

er sb v

cosC

ff Ui tg

b

AD !26 000 161,2 De afstand tussen de gaten is 161,2 cm. Er is dus 200 161,2 38,8 cm over. De schroefgaten moeten op elke staander 38,8 : 2 19,4 cm van de bovenkant en de onderkant worden geboord. A1 is de tophoek van de gelijkbenige driehoek met CD als basis.

©

AC 50 : sin 65º 55,17 m In ADE geldt: DE tanA AE 25 tan 65º AE

AE 25 : tan 65º 11,66 m AC AE 55,17 11,66 66,83 m De vangrail is 668 dm lang. T

V-3a

52˚

E

52˚ 113,5


11003.indb 123

S

113,5

F

⁄ 123 02/05/11 7:02 AM


b

TS ES TS tan 52º 113,5 tanTEF

TS 113,5 tan 52º 145,3 De hoogte van de piramide is 145 meter. c

er sb v

T

145,3 A

Met de stelling van Pythagoras bereken je eerst de lengte van de diagonaal AC van het grondvlak van de piramide. kwadraat

AB 227

51 529

BC 227

51 529

AC ?

ev

zijde

AC !103 058 321,0 AS 12 AC 12 321 160,5 TS tanTAC AS 145,3 tanTAC 160,5 TAC 42º V-4a

1 2 39˚ 39˚ 5,6 m

5,6 m

D

B

©

A

No or d

C

ff Ui tg

103 058

ho

d

C

321 m

b

CD AC CD cos 39º 5,6 CD 5,6 cos 39º 4,35 De hoogte van de zolderverdieping is 435 cm. De hoogte van het huis is 580 435 1015 cm.

c

sinC1

cosC1

AD AC AD sin 39º 5,6 AD 5,6 sin 39º 3,52 De breedte van het huis is 2 352 704 cm.

⁄ 124 11003.indb 124


02/05/11 7:02 AM


d

De oppervlakte van ABC is 7,04 4,35 : 2 15,3 m2. De inhoud van de zolderverdieping is 15,3 7,5 114,75 m3. De inhoud van de benedenverdiepingen is 7,5 7,0 5,8 304,5 m3. De inhoud van het huis is 114,75 304,5 419,3 m3. D

V-5a

C

er sb v

t

105˚ A

B

ff Ui tg

ev

In de tekening hierboven wordt de hoek bij punt B verdeeld in een hoek van 90º en een hoek van 15º. In BCD geldt: BD cosB BC 114 cos 15º BC

d

ho

No or d

c

Rekenen 7 R-1a b c d e f g h

4,07 18,63 25,1 47,8 6,78 1,02 3,5 4,3 48,69 0,603 79,4 30,107 57,1 36,66 8,5 28,94 854,22 638,55 0,02 1492,75 8,7 3,6 9,47 14,57 0,7 1,77 7,11 1,17 3,47 84,6 29 3,406 59,006


11003.indb 125

©

b

BC 114 : cos 15º 118,02 t 118,02 : 4 29,51 De lengte van t is 295 decimeter. CD tanB BD CD tan 15º 114 CD 114 tan 15º 30,5462 Er geldt CD AB. De breedte AB van het gebouw is 305 decimeter. De oppervlakte van ABCD is AB BD 30,5462 114 3482,267 m2. De inhoud van het gebouw is opp. ABCD diepte 3482,267 60 208 936 m3. De afstand tussen de twee torens aan de bovenkant is 142 (2 30,5462) 81 meter.

⁄ 125 02/05/11 7:02 AM


R-2a

gram noten prijs in euro’s

400 4,80

1 0,012

720 8,64

De prijs voor 720 gram noten is € 8,64. b

gram noten

400

1

460

1240

prijs in euro’s

4,80

0,012

5,52

14,88

R-3

R-4a

De oppervlakte van driehoek A is 7 5 : 2 17,5 cm2. De oppervlakte van driehoek B is 120 80 : 2 4800 cm2. De oppervlakte van driehoek C is 30 42 : 2 630 cm2. afstand in m tijd in seconden

6 1

360 60

21 600 3600

afstand in m tijd in seconden

35 1

2100 60

126 000 3600

ff Ui tg

b

ev

6 m/s komt overeen met 21,6 km/uur.

35 m/s komt overeen met 126 km/uur. c


62 1

3720 60

223 200 3600

62 m/s komt overeen met 223,2 km/uur. d


103 1

6180 60

370 800 3600

30 000 3600

500 60

8,33 1

No or d


ho

103 m/s komt overeen met 370,8 km/uur. R-5a

er sb v

De prijs van 460 gram noten is € 5,52. De prijs van 1240 gram noten is € 14,88.

30 km/uur komt overeen met 8,3 m/s. b


45 000 3600

750 60

12,5 1

45 km/uur komt overeen met 12,5 m/s. c


110 000 3600

1833,33 60

30,56 1

R-6a

©

110 km/uur komt overeen met 30,6 m/s. aantal leerlingen procenten

720 100

1 ...

315 43,75

315 leerlingen van totaal 720 leerlingen is 43,8%. b

aantal euro’s procenten

450 100

1 ...

78,20 17,38

78,20 euro van totaal 450 euro is 17,4%. c

aantal kilometers procenten

42,198

1

25

100

...

59,24

25 km van totaal 42,198 km is 59,2%. d

aantal uren procenten

36 100

1 ...

15 41,67

15 uur van totaal 36 uur is 41,7%.

⁄ 126 11003.indb 126


02/05/11 7:02 AM


Oefenopdrachten werkboek 1

In ABC geldt: sinA BC 45 BC 45 sin 18º 13,9

BC AB

sin 18º

In DEF geldt: cosF

EF DF

ev

Voor het berekenen van de hellingshoeken van de kabelbanen kun je het handigst de sinus gebruiken. Kabelbaan Montana-Barzettes: 750 sin hellingshoek 2500 0,3 De hellingshoek is 17º. Kabelbaan Les Violettes: 750 sin hellingshoek 3200 0,234 De hellingshoek is 14º. Kabelbaan Montana: sin hellingshoek 200 560 0,357 De hellingshoek is 21º.

b

No or d

De lengte van LM bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras. lengte

kwadraat

KL 100

10 000

KM 180

32 400

LM ?

42 400

LM !42 400 205,9 De afstand van punt L tot punt M is 206 meter. 60 MT 0,291 In LMT geldt: tan L LM 206

©

3a

ho

ff Ui tg

2

er sb v

cosF 22 40 0,55 F 57º GI In GHI geldt: cosG GH 261 cos 38º GH GH 261 : cos 38º 331,2

De kijkhoek waaronder Luuk vanaf punt L de top van de toren ziet, is 16º. 4a

b

De voet van de vuurtoren, de plaats van de zeilboot en de positie van de vuurtorenwachter vormen een rechthoekige driehoek. afstand zeilboot tan 74º 40 afstand zeilboot 40 tan 74º 139 meter Voor de roeiboot geldt: afstand roeiboot tan 68º 40 afstand roeiboot 40 tan 68º 99 meter De afstand tussen de twee boten is 139 99 40 meter.


11003.indb 127

⁄ 127 02/05/11 7:02 AM


T

5ab 5 cm

R

c

U

S

5 cm

In RSU geldt sin 20º

SU SU RS 5

er sb v

SU 5 sin 20º 1,7 ST 2 1,7 3,4 cm

Als Jim een droge landing wil maken, moet hij met zijn hangglider een horizontale afstand van 120 meter 24 meter 144 meter afleggen. In de tekening geldt: afstand tan 84º 15 afstand 15 tan 84º 142,7 Jim haalt de 144 meter dus net niet.

7

Maak een schets van driehoek KLM. Trek de loodlijn LN uit punt L op KM. In driehoek LMN geldt: LN sin 49º 570

ho

LN 570 sin 49º 430,2

ff Ui tg

ev

6

MN 570 MN 570 cos 49º 374 NK 630 374 256 In driehoek KLN kan de lengte van KL berekend worden met behulp van de stelling van Pythagoras. lengte

kwadraat

LN 430,2

185 072

NK 256 KL ?

No or d

cos 49º

65 536

©

250 608

KL !250 608 500,6 De afstand van K naar L is 501 meter. B

8a

4

59˚ A

⁄ 128 11003.indb 128

56˚ D

C


02/05/11 7:02 AM


b

AD AB AD cos 59º 4 AD 4 cos 59º 2,06 km cosA

BD AB BD sin 59º 4 BD 4 sin 59º 3,43 km BD tanC DC 3,43 tan 56º DC

er sb v

sinA

DC 3,43 : tan 56º 2,31 km

ev

AC AD DC 2,1 2,3 4,4 km

37˚

62˚

A

D

14,2 cm

B

14,2 AC AC 14,2 : cos 37º 17,8 cm In ADC geldt cos 37º

ho

b

ff Ui tg

C

9a

CD 14,2 CD 14,2 tan 37º 10,7 cm De beide hoeken bij punt C zijn 53º en 28º.

c d

No or d

tan 37º

CD 10,7 BC BC BC 10,7 : sin 62º 12,1 cm In BCD geldt sin 62º

10a

©

D

6,5 m C

H 129˚ E

G

144˚ 4m

A

5m


11003.indb 129

F

B

⁄ 129 02/05/11 7:02 AM


In DEG geldt tanE

DG EG

DG 5 DG 5 tan 54º 6,88 DF DG GF 6,88 4 10,88 De hoogte van het huis is 1088 cm. CH In CDH geldt cos C CD CH cos 39º 6,5

b

er sb v

tan 54º

©

No or d

ho

ff Ui tg

ev

CH 6,5 cos 39º 5,05 AB AF FB 5 5,05 10,05 De breedte van het huis is 1005 cm.

⁄ 130 11003.indb 130


02/05/11 7:02 AM

Hoofdstuk 6 Goniometrie

Recommend Documents