GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Prostějov 2010

2

Goniometrie ‐ Funkce

Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.

Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.


3

Obsah Goniometrie ................................................................................................................................ 6 Funkce .................................................................................................................................... 6 Funkce ................................................................................................................................ 7 Varianta A .......................................................................................................................... 7 Funkce .............................................................................................................................. 10 Varianta B ........................................................................................................................ 10 Funkce .............................................................................................................................. 12 Varianta C ........................................................................................................................ 12 Goniometrické funkce 1 ........................................................................................................... 15 Goniometrické funkce ostrého úhlu ..................................................................................... 15 Orientovaný úhel a jeho velikost .......................................................................................... 16 Goniometrické funkce 1 ................................................................................................... 18 Varianta A ........................................................................................................................ 18 2. Goniometrické funkce 1 ............................................................................................... 20 Varianta B ........................................................................................................................ 20 Goniometrické funkce 1 ................................................................................................... 22 Varianta C ........................................................................................................................ 22 Goniometrické funkce 2 ........................................................................................................... 24 Funkce sinus a kosinus ......................................................................................................... 24 Grafy funkcí sinus a kosinus ................................................................................................ 27 Goniometrické funkce 2 ................................................................................................... 30 Varianta A ........................................................................................................................ 30 Goniometrické funkce 2 ................................................................................................... 32 Varianta B ........................................................................................................................ 32 Goniometrické funkce 2 ................................................................................................... 37 Varianta C ........................................................................................................................ 37

4


Goniometrické funkce 3 ........................................................................................................... 41 Funkce tangens a kotangens ................................................................................................. 41 Grafy funkcí tangens a kotangens ........................................................................................ 45 Goniometrické funkce 3 ................................................................................................... 47 Varianta A ........................................................................................................................ 47 2. Goniometrické funkce 3 ............................................................................................... 49 Varianta B ........................................................................................................................ 49 Goniometrické funkce 3 ................................................................................................... 51 Varianta C ........................................................................................................................ 51 Goniometrické rovnice ............................................................................................................. 56 Goniometrické rovnice ..................................................................................................... 60 Varianta A ........................................................................................................................ 60 Goniometrické rovnice ..................................................................................................... 63 Varianta B ........................................................................................................................ 63 Goniometrické rovnice ..................................................................................................... 67 Varianta C ........................................................................................................................ 67 Goniometrické vzorce .............................................................................................................. 69 Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi............................................................... 69 Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl ...................................................................... 69 Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: ............................................... 69 Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel ............................................................................ 70 Trigonometrie ....................................................................................................................... 71 Další trigonometrické věty ................................................................................................... 72 Goniometrické vzorce a trigonometrie ............................................................................. 73 Varianta A ........................................................................................................................ 73 Goniometrické vzorce a trigonometrie ............................................................................. 76 Varianta B ........................................................................................................................ 76


5

Goniometrické vzorce a trigonometrie ............................................................................. 78 Varianta C ........................................................................................................................ 78


6

Goniometrie Funkce

Definice: Funkce se nazývá periodická funkce, právě když existuje takové číslo platí následující podmínky: a) Je-li b) Číslo

, pak

0, že pro každé

; .

se nazývá perioda funkce .

Pokud v množině čísel, která jsou periodami periodické funkce , existuje nejmenší kladné číslo, nazýváme ho nejmenší perioda funkce . Definice: Funkce

se nazývá funkce složená z funkcí , (v tomto pořadí), právě když platí:

1.) Definičním oborem funkce 2.) Pro každé je Funkce

se označuje .

je množina všech těch .

.


7

Funkce Varianta A 1 ,

Příklad: Načrtněte graf funkce

.

Řešení:

2

1

f ( x)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

1

2 x

Hodnoty funkce se pravidelně opakují: Pro každé číslo

, které lze zapsat ve tvaru

pro každé číslo

, které lze vyjádřit ve tvaru

1

2 , kde

1.

Hodnoty se pravidelně opakují, funkce je periodická. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

2

je celé číslo, je

1, kde

1

je celé číslo, je

1;

8


Příklady k procvičení: 1) Jaká je množina všech period funkce

1 , kde

? Má funkce nejmenší periodu?

2) Zjistěte, které z daných funkcí jsou periodické, určete jejich nejmenší periodu (pokud existuje) a načrtněte jejich grafy: a)

1 ,

b)

1

, 1 , 2 je periodická. Má tato funkce nejmenší periodu?

3) Rozhodněte, zda funkce

4) Zjistěte, které z uvedených funkcí jsou periodické. Určete jejich nejmenší periody (pokud existují). Načrtněte jejich grafy. 1

a) 1

b)

, 1

,

Výsledek řešeník: 1.) Periodou je 2 , kde

je přirozené číslo, nejmenší perioda je 2.

2.) a)Nejmenší perioda 1, pro všechna sudá

,je hodnota funkce 1 b)Nejmenší perioda 2, pro

, je hodnota funkce 2, pro lichá

, je hodnota funkce 0.

3) Je periodická, nemá nejmenší periodu. 4) a) Je periodická s nejmenší periodou 2, pro lichá x je 1

1 je, pro sudá

je

1;

b) Je periodická s nejmenší periodou 2, pro lichá 1

1

1

2.

je

1

1

0 je, pro sudá

je


2a)

9

2b) 3

f ( x) := 1

trunc( x)

+ ( −1)

trunc( x)

2

3 1

f ( x)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

f ( x)

1

−1 −4

4a) f ( x) := ( −1)

3x

2

1

f ( x)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

1

2 x

4b) f ( x ) := ( − 1 )

3x

+ 1

3x

3

2

1

f(x)

4

3

2

1

0 1 x

1

2

3

4

x

4

10


Funkce Varianta B Příklad: Každé reálné číslo Číslo

lze zapsat ve tvaru

se nazývá celá část čísla

funkcí :

a označujeme je

:

a

, kde

je celé číslo a

. Na obrázku jsou sestrojeny grafy

. Je některá z těchto funkcí periodická?

3 2 1 f ( x)

3

2

1

0

1

2

3

1 2 3 x

g( x)

3

2

3

3

2

2

1

1

1

0

1

2

3

h( x)

3

2

2

3

3

není periodická je periodická s nejmenší periodou 1

Varianta B Varianta C

0 1

Řešení:

Varianta A

1

1

x

Příklad:

2

0, 1 .

x

1

2

3


Příklady k procvičení: 1) Načrtněte graf funkce, která je periodická a navíc má ještě tyto vlastnosti: a) Je omezená a sudá, b) Je shora omezená, ale není zdola omezená, c) Má minimum, nemá maximum. 2) Zjistěte, zda je daná funkce periodická, určete její nejmenší periodu (pokud existuje) a načrtněte její graf:

3) Načrtněte grafy funkcí: a)

3

b)

3

3 3 1

4) Rozhodněte, zda funkce

1

je periodická. Načrtněte její graf.

1.) 3 2 1 f ( x)

3

2

1

0

1

2

3

1 2 3 x

2a.)

2b.)

3

3

2 1.5

1 g( x)

3

2

1

0 1 2

1

2

3

f(x)

4

3

2

1

0 1.5

3 x

3

1

2

3

4

11

12


Funkce Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :

, :

3

.

tomto pořadí) pomocí předpisu

2. Zapište funkci složenou z funkcí ,

(v

Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí \0,

1.)

; do

patří všechna

. Tuto podmínku splňuje každé 2.) Pro každé

Je tedy :

Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

2.

, pro která je , proto

je 3·

2

3·

a .

2

2.

\0.

, čili


13

Příklady k procvičení: 1) Jsou dány funkce

:

2) Jsou dány funkce

:

2

3,

,

:

:

1. Určete složené funkce

√1

;

.

. Určete složené funkce

3) Máme dány funkce :

;

1, :

;

2. Určete složené funkce ; a

sestrojte jejich grafy. 4) Uvažujte funkce :

1.) 2.)

2

2 ;

2

1|. Sestrojte grafy funkcí ; .

1 1

;

√

|

log , :

;

1

3.) |

4.)

4 |

1| ;

5 1|

Grafy k úlohám

3.a)

3.b) 8 7

2 1 3

f ( x)

2

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

6 5

0

1

2

3

4

f ( x)

3 2 1 1

x

0

1

2

3

4

5

14


4.a) 3 2 1 f ( x)

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

6

7

1 2 3

4.b) 3 2 1 g( x)

0 1 2 3

1

2

3

4

5

8

9

10

Goniomettrie ‐ Funkcee

15

Gonio ometrické funkce e1 Goniom metrické funkce f osttrého úhlu u Definice: Sinu us α je poměr délky odvvěsny protilehlé k úhluu α a délky ppřepony pravvoúhlého troojúhelníku. Kossinus

je pooměr délky odvěsny přřilehlé k úhllu

Tan ngens

je poměr p délekk odvěsny prrotilehlé k úhlu ú

Kotangens

.

jee poměr déllek odvěsny y přilehlé k úhlu ú

a délkyy přepony. a odvvěsny přileh hlé. a oddvěsny protiilehlé.


16

Orientovaný úhel a jeho velikost Definice: ,

Uspořádaná dvojice polopřímek úhel

se společným počátkem

se nazývá orientovaný

.

Tento úhel se zapisuje Polopřímka

.

se nazývá počáteční rameno, polopřímka

orientovaného úhlu

, bod

vrchol orientovaného úhlu

koncové rameno .

Kladný smysl otáčení- proti směru hodinových ručiček Záporný směr otáčení- po směru hodinových ručiček Definice: Velikost toho z úhlů , , který opíše polopřímka při otočení z počátečního ramene koncového ramene

do

v kladném smyslu, se nazývá základní velikost orientovaného úhlu

. Definice: Velikostí orientovaného úhlu každé číslo

· 2 , kde

, jehož základní velikost v obloukové míře je , se nazývá je libovolné celé číslo.

Věta: Je-li tvaru

jedna z velikostí orientovaného úhlu 2

, pak množina všech čísel, která lze psát ve

, je rovna množině všech velikostí úhlu

Je-li v rovině dána polopřímka

.

a je-li dáno libovolné reálné číslo , pak v této rovině

existuje právě jeden orientovaný úhel

, jehož jedna velikost v obloukové míře je .

Jednotková kružnice je kružnice se středem

a poloměrem

Ke středovému úhlu 360° tedy přísluší délka oblouku 2 .

1. Délka této kružnice je 2 .


Stupňová míra V úhhlu zapisujem me ve stupnních a) Velikost b) Menší M jednootky c)

minuta;

- jed den stupeň,

1 vteřinaa,

;

ková míra Oblouk a) Velikost V úhhlu zapisujem me v radiánnech, b) Jednotka J r radjeden raadián,

Definice: Radián n je středovýý úhel, kterýý přísluší naa jednotkové kružnici oblouku o o ddélce 1.

Z příméé úměrnosti:

.

.

17

18


Goniometrické funkce 1 Varianta A Příklad: V pravoúhlém trojúhelníku

je délka odvěsny

7cm, cot

délky zbývajících stran tohoto trojúhelníku.

Řešení: Odvěsna cot

7cm

5 4

V trojúhelníku ABC

… přepona; … odvěsna. cot 5 4

7 5 ; 4 5

7 28 5,6cm

7 V daném trojúhelníku je odvěsna


5,6

8,96cm

5,6cm a přepona

8,96cm.

. Vypočítejte


19

Příklady k procvičení: 1) V pravoúhlém trojúhelníku ,

stran

je délka přepony

10cm, tan

. Vypočítejte délky

.

2) Určete délky všech stran a velikosti ostrých úhlů v pravoúhlém trojúhelníku s přeponou

: c)

24cm,

30cm

d)

10dm,

40dm

3) Je dána kružnice o poloměru 10cm a její tětiva, která má délku 12cm. Vypočítejte velikost středového úhlu, která přísluší této tětivě. 4) Nakládací rampa o délce 12 metrů je na jednom konci o tři metry výše než na druhém konci. Jak velký úhel svírá rampa s vodorovnou rovinou?

1.) |

|

2) a) α

6cm, | 18cm, α

14°,

3.) 73°40´ 4.) 14°30´

76°

|

8cm

53°10´,

36°50´; b)

41,2dm,


20

2. Goniometrické funkce 1 Varianta B Příklad: a) Převod radiánů na stupně:

převeďte na stupně.

b) Převod stupňů na radiány:

120° převeďte na radiány.

Řešení: °

a) 1 rad…

… ° ·

Z přímé úměrnosti

·

Obecně

°

b)

°

3 · 18

54°.

54°.

.

…1

120° … °

Z přímé úměrnosti

·

Obecně °

°

0° 0


°

.

.

30°

45°

60°

90°

6

4

3

2

180°

270° 3 2

360° 2


Příklady k procvičení: 1) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 130°, 150°, 210°, 240°, 330° b) 12°30´, 36°, 145°, 317° 2) Velikosti úhlů dané v míře obloukové vyjádřete v míře stupňové: ,

a)

,

,

,

,

3) Velikosti úhlů dané ve stupňové míře vyjádřete v míře obloukové: a) 4°, 5°, 9°, 10°, 15°, 18°, 40° b) 45°, 60°, 90°, 150°, 180°, 270°, 300°, 360° 4) Velikosti úhlů dané v obloukové míře vyjádřete v míře stupňové: a) ,

,

,

,

b)

,

,

,

,

1a.)

, ,

,

,

,

, 0,2 ,

b.)

,

,

, 1,76

2a.) 240°, 144°, 432°, 315°, 126°, 12° ,

3.) a) b)

,

,

, ,

, , ,

, ,

,

,

,2

4.) a) 180°, 60°, 36°, 30°, 1°, 2°, 15°, b) 210°, 108°, 144°, 195°, 270°, 23°

,

21


22

Goniometrické funkce 1 Varianta C Příklad: Jedna z velikostí orientovaného úhlu je a)

; b)

1826°. Určete jeho základní

velikost.

Řešení: 2

a) Určíme takové celé číslo , pro něž platí kde

0, 2

:

4

.

Základní velikost daného orientovaného úhlu je b) Jako v a) zjistíme, že 1826°

334°

6 · 360°.

Základní velikost orientovaného úhlu je 334°.


.

,


23

Příklady k procvičení: 1) Na ciferníku hodin se středem

označte body dané čísly 2, 10, 7, 4 postupně písmeny A,

B, C, D. Určete ve stupňové i obloukové míře základní velikosti orientovaných úhlů ,

,

,

,

,

,

,

.

2) Určete základní velikost orientovaného úhlu, jehož jedna velikost je a) 1800°

b) 333°

c) 1567°

d) 387°

e) 284°

f) 1083°25´

3) Základní velikost orientovaného úhlu

je

. Zjistěte, která z následujících čísel jsou

velikostmi tohoto orientovaného úhlu: 4 7 8 13 5 , , , , , 3 3 3 3 3 4) Základní velikost orientovaného úhlu

. Vypište všechny jeho velikosti

4 ,6 .

z intervalu

1.)

je

, ,

,

,

,

,

,

2.) a) 0°, b) 27°, c) 233°, d) 27°, e) 76°, f) 356°35´ 3.) 4.)

,

, ,

, ,

,

,

10 61 61 , , 3 3 3

24


Gonio ometrické funkce e2 Funkce e sinus a kosinus Jednotkková kružnicce je kružniice s poloměěrem 1 j. (

)

s V… poččátek souřadnicového sytému; Orientovaný úhel … počáteční ram meno meno … koncové ram Souřadnnice bodu : … bodd, v němž koncové k ram meno orientoovaného úhllu

protíná jednotkkovou kružn nici.


25

Definicee: Funkcí sinus se nazzývá funkcee na množinně , kterou u je každém mu Funkcí kosinus se nazývá funkkce na mnoožině , kterrou je každéému

; … zákkladní velikoost orientovvaného úhluu 1,2,3,4… … kvadrantyy souřadniccového systéému

přiiřazeno číslo o přiřazeno číslo

. .

26


Věta: Pro každé

a pro každé sin

·2

sin ,

cos

·2

cos .

Z obrázku jednotkové kružnice je vidět, že hodnoty funkce sinus jsou kladné v prvním a druhém kvadrantu a záporné ve třetím a čtvrtém kvadrantu. Hodnoty funkce kosinus jsou kladné v prvním a čtvrtém kvadrantu a záporné ve druhém a třetím kvadrantu. Funkce sinus a kosinus jsou periodické Z jednotkové kružnice můžeme také usoudit, ze funkce je sudá.

Věta: Pro každé sin cos

sin cos

sin je lichá a funkce

cos


Grafy funkcí sinus a kosinus :

sin ,

2

6,28

2

1

f ( x)

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

4

5

6

7

8

1

2 x

:

cos , 2

1

g( x)

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2 x

1

2

3

27

28


Z obrázků je vidět, že cos

sin

.

Graf funkce sinus se nazývá sinusoida, graf funkce kosinus se nazývá kosinusoida. sin

cos

1,1

1,1

Definiční obor Obor hodnot Rostoucí

V každém intervalu

V každém intervalu 2

2 Klesající

,

2

2

2

2

,

3 2

2


V každém intervalu 2

,2

2

2

,

2

Parita

lichá

Sudá

Omezenost

Shora i zdola omezená

Shora i zdola omezená

Maximum

V každém

2

Minimum

V každém

2

Periodická, perioda 2

Periodicita

,

V každém

2

V každém Periodická, perioda 2

2 ,

Hodnoty funkcí sinus a kosinus

0

6

4

3

2

3 2

sin

0

1 2

√2 2

√3 2

1

0

-1

cos

1

√3 2

√2 2

1 2

0

-1

0


Při sestrojování grafů funkcí sinus a kosinus je upravujeme vždy na tvar: sin … amplituda … perioda … posun po ose … posun po ose

29

30


Goniometrické funkce 2 Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) sin b) cos

¨

c) sin 390° d) cos 270°

Řešení:

a) sin b) cos

sin ¨

c) sin 390° d) cos 270°


√

cos 2 sin 360°

cos 30°

sin 30°

1 (viz jednotková kružnice)

cos

√


Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte sin 3 , sin

7

, cos

9 4

, sin

35 6

, cos

39 18

2) Vypočítejte cos

720° , cos 1290° , sin

1845° , sin 585° , cos 585°

3) Vypočítejte: a) 3 · cos

3 · sin

b) 2 · cos

5 · sin

c)

3 · sin 0°

2 · cos 6 · cos

7 · cos 0°

4) Dokažte, že platí: a) sin 20°

sin 740°

b) cos 54°

cos

1026°

1.) 0; 0; √2; -0,5; √3 2) 1;

√3;

√2;

3.) a) 0,5, b) -6, c) 13

√2;

√2

6 · sin 270°

sin

31

32


Goniometrické funkce 2 Varianta B sin 2

Příklad: Zakreslete graf funkce :

1

Řešení:

Předpis funkce upravíme- :

sin 2

1

Postupně sestrojíme grafy funkcí: : : : : :

sin sin

sin 2

2 2

3 sin 2 2 3 sin 2 2

2 2

1


sin ;

sin

;

2

sin 2

33

2

2

1

f ( x) g( x)

5

4

3

2

1

0

h( x)

1

2 x

1

2

3

4

5

34


3 sin 2 2

2

;

3 sin 2 2

1

2

3

2

1

i( x) j ( x)

5

4

3

2

1

0

1

2

3 x


1

2

3

4

5


Příklady k procvičení: 1) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)

cos

c)

cos

2

b)

2 · cos

d)

cos 2

b)

cos 2

b)

sin

2) Načrtněte grafy těchto funkcí: sin 0,5

a)

Jaké jsou nejmenší periody těchto funkcí? 3) Načrtněte grafy těchto funkcí: sin

a)

2

2

Zapište jejich obory hodnot. 4) Načrtněte postupně grafy funkcí: sin ,

0,5 · sin ,

0,5 · sin 2 ,

0,5 · sin 2 1.) a)

0,5 · sin 2

,

1 c) 4

1

3

f ( x)

3

2

1

0

1

2

3

4

5

2

f ( x)

6

1 3

1

2

1

2

1

5

6

2

3

4

5

6

1

1 1

4

2

3

2

3

d)

b)

3

2 x

x

f ( x)

0 1

f ( x) 0 1

2

3

4

5

6

3

2

1

0 1 1

2

2

3 x

x

35

36 3.) a)


3, 1 1,1

b) 3

2

1

f ( x)

0 1

2

3

4

5

6

1

2

2

1

3

f ( x)

4

3

2

1

0 1

2

1 x

2 x

sin

4.)

f ( x)

0,5 · sin 2

2

1

1 f ( x)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2

x

x

0,5 · sin 2

f ( x)

0,5 · sin 2

2

2

1

1 f ( x)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2

2 x

0,5 · sin 2

x

1

1

f ( x)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 x

3

4

5

6


37

Goniometrické funkce 2 Varianta C Příklad: Zakreslete grafy těchto funkcí: |sin |

a)

sin

b)

|sin |

c)

|sin |

d)

Řešení: a) c)

2

1

1

f ( x)

3

2

1

0

1

2

f ( x)

3

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

1 x 1 x

b) d) 2

1

1

f ( x)

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

f ( x)

3

2

1

0

1

1 x 1 x

38


Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Načrtněte grafy funkcí: a) b)

|

|

|

| ·

2) Načrtněte graf funkce

|

|

3) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)

sin| |

b)

|sin| ||

4) Načrtněte grafy těchto funkcí: |cos |

a) b)

cos

c)

cos

d)

cos

1 1

1.) a)

b)

f ( x) 4

3

2

1

5

5

4 3 2 1

4 3 2 1

1 2 3

f ( x) 0

x

1

2

3

4

4

3

2

1

1 2 3

0

x

1

2

3

4


2.)

39

4.) a) 5

2

4 3

1

2

f ( x)

1

f ( x) 4

3

2

1

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

1

1

2

x

3 x

3.) a) b)

2

2 1

1

f ( x)

f ( x) 4

3

2

1

0

1

2

3

4

4

3

2

1

0

1

1

x

3.)b)

x

4.)c)

2

3 1

2

f ( x)

1 4

3

2

1

0

1

2

3

4

f ( x) 5

4

3

2

1

0 1 1

1 x

2 x

2

3

4

5

40


4d) 1

5

4

3

2

1

0 1

f ( x) 1

2 x

2

3

4

5


Gonio ometrické funkce e3 Funkce e tangens s a kotangens

Definicee: Funkcí tangens t se nazývá funnkce daná vzztahem . Funkcí kotangens se nazývá funkce f danáá vztahem . Tyto funnkce zapisuujeme

41


42

tg je množina všech reálných čísel různých od

Definičním oborem funkce 2

, kde

2 tg

je libovolné celé číslo. Jinak řečeno, definičním oborem funkce

je množina všech

, pro něž

2

1

, kde

a

.

tan je tedy množina, která je sjednocením nekonečně

Definičním oborem funkce

,

mnoha otevřených intervalů tvaru

; přitom

je libovolné celé číslo. Tuto

množinu zapisujeme takto: ,

2 Symbol

2

… označuje sjednocení příslušných intervalů.

Definičním oborem funkce kotangens je množina všech těch čili pro něž je sin

0. V intervalu 0,2

je sin

, pro která má smysl výraz

0 pouze pro čísla 0 a ; dále

víme, že funkce

sin je periodická s nejmenší periodou 2 . Odtud plyne, že definičním

oborem funkce

cotg je množina všech těch

, pro něž

; přitom

libovolné celé číslo. Definiční obor funkce kotangens lze tedy zapsat v tomto tvaru: ,

1

je


43

Věta: a) Pro každé reálné číslo

2

1

, kde

tg b) Pro každé reálné číslo

, kde

, tg

,

cotg

cotg

Věta: Funkce tangens a kotangens jsou liché funkce. Věta: a) Pro každé x z definičního oboru funkce

tg a pro každé

tg b) Pro každé x z definičního oboru funkce

tg cotg a pro každé

cotg

0

cotg

6

4

3

2

3 2

tan

0

√3 3

1

√3

-

0

-

cot

-

√3

1

√3 3

0

-

0

44


tg Definiční obor

cotg 2

Množina všech

1

Množina všech

Obor hodnot Rostoucí

,

2 Klesající

-


2

-

V každém intervalu ,

Parita

Lichá

Lichá

Omezenost

Není omezená ani shora, ani

Není omezená ani shora, ani

zdola

zdola

Maximum

Neexistuje

Neexistuje

Minimum

Neexistuje

Neexistuje

Periodicita

Periodická s periodou

,

Periodická s periodou

,


45

Grafy funkcí tangens a kotangens :

tg ,

2

6,28

5

4

3

2

1

f ( x)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1

2

3

4

5 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

46


:

cotg 5

4

3

2

1

f ( x)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1

2

3

4

5 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9


Goniometrické funkce 3 Varianta A Příklad: Vypočtěte: a) tg b) cotg

Řešení:

a) tg

tg

b) cotg

cotg


3

tg cotg

tg √

tg

√

47

48


Příklady k procvičení: 1) Určete hodnoty: a) tg

, cotg

¨

b) tg

, cotg

2) Určete hodnoty a) tg 300° , cotg 300° b) tg

945° , cotg

945°

3) Vypočtěte: a) tg 30° · cotg 30° b) cotg

sin 30° · tg 60°

· tg 11 · cotg

· tg

4) Vypočítejte: a) b)

1.) a) √3, √3, b) 2) a) √3, 3.) a)

√

√3,

√3, b) -1,-1

, b) 0

4.) a) 2, b)

3

√3

√3

7


2. Goniometrické funkce 3 Varianta B Příklad: Určete definiční obory funkcí: a) b)

cotg

Řešení: a) tg

0 , 2 2

b) cotg

0 ,


2

2

49

50


Příklady k procvičení: 1) Zapište definiční obory funkcí: a) b)

√

2) Vypočítejte: a) 2 · tg 0

sin

cos

b) tg 30° · cotg 30°

cotg

sin 30° · tg 60°

3) Vypočítejte: a) 6 · cotg

5 · sin 2 4 · sin

b) 3 · cos

2 · cos 8 · tg

4) Uspořádejte podle velikosti tato čísla: a) sin 30° , cos 30° , tg 30° , cotg 30° b) cos 4 , sin

5

·

1.) a) 2.) a) 0, b)

2

, tg

,

, cotg

·

,

, b)

√3

3.) a) -2, b) 4 4.) a) sin 30°

tg 30°

b) sin

cotg

5

cos 30° cos 4

cotg 30° tg


51

Goniometrické funkce 3 Varianta C Příklad: Načrtněte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: a)

:

b)

:

tg ,

:

0,5 · tg

0,5 · tg 2 ,

:

0,5 · tg 2

Řešení: a) 5

4

3

2

1 f ( x) g( x)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5 x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

52


b) 5

4

3

2

1 h( x) k( x)

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1

2

3

4

5 x


1

2

3

4

5

6

7

8

9


Příklady k procvičení: 1) Načrtněte grafy těchto funkcí: a)

|cotg |

b)

|cotg 0,5 |

2) Načrtněte graf těchto funkcí: a)

tg

b)

cotg

3) Načrtněte grafy funkcí: a)

cotg

b)

tg

4) Načrtněte graf následující funkce a poté z grafu určete její vlastnosti: 1.) a) 5 4 3 2

f ( x)

1 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1 x

b) 5 4 3 2

f ( x)

1 5

4

3

2

1

0 1 x

tg

53

54


2.) a) 5 4 3 2 1 f ( x)

5

4

3

2

1

1 2

0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

3 4 5 x

b) 5 4 3 2 1 f ( x)

5

4

3

2

1

1 2

0

3 4 5 x

3.) a) 5 4 3 2 1 f ( x)

5

4

3

2

1

1 2

0

3 4 5 x

b) 5 4 3 2 1 f ( x)

5

4

3

2

1

1 2

0

3 4 5 x


4.) 5 4 3 2

f ( x)

1 5

4

3

2

1

0 1 x

1

2

3

4

5

55

56


Goniometrické rovnice Definice: Goniometrickou rovnicí nazýváme každou rovnici, v níž se vyskytují goniometrické výrazy s neznámou , kde

.

Dva základní typy goniometrických rovnic: 1.) sin

, cos

Je-li: a)

0 nebo

1, užijeme pro řešení graf nebo jednotkovou kružnici

b)

0 a zároveň

1, pak zjistíme kořeny

,

0,2

pomocí jednotkové

kružnice popřípadě grafu, známé tabulkové hodnoty nebo kalkulátoru 2

Množina řešení Pozn.: Je-li | | 2.) tg Pro všechna a) Pro

,

2

1, pak rovnice nemá řešení. , cotg má rovnice nekonečně mnoho řešení, která určíme: 0, užijeme grafu nebo vlastností tg cotg

b) Pro

.

0, zjistíme právě jeden kořen

0 0

sin cos 0,

0 0 , přičemž postupujeme jako

v případě 1.). Množina řešení

.

Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní tvar. A to substitucí nebo užitím vzorců pro goniometrické funkce.


Jednotková kružnice funkce sinus

57

58


Jednotková kružnice funkce kosinus


59

Osy cos(x) a sin(x) můžeme zakreslit do jedné kružnice. V obrázku jsou navíc vyznačeny kvadranty.


60

Goniometrické rovnice Varianta A Příklad: Řešte základní goniometrické rovnice: a) sin

1

b) cos

1

c) sin

Řešení:

a)

,

2

b)

,

2

c) Určíme základní úhel

, pro něž je sin

.

6 sin je záporný ve třetím a čtvrtém kvadrantu, tedy 7 6

6 2

6 7 6


11 6 2

,

11 6

2


Příklady k procvičení: 1) Řešte goniometrické rovnice s neznámou a) sin b) tg

1 1

c) cos

0

d) cotg

0

2) Řešte goniometrické rovnice s neznámou a) cotg

1

b) tg

1

c) cos

0,5

d) sin

1

3) Řešte goniometrické rovnice s neznámou a) sin b) cotg

:

√3

c) sin

0,5

d) cotg

√3

4) Řešte v

0,4 :

0,5

Řešte goniometrické rovnice s neznámou

a) cos

:

rovnice: 0,35

b) sin

0,86

c) cotg

1,2

0,4 :

61

62


1.) a)

2

c)

, d) ,

2.) a) c)

,

, ,

,

2 ,

4.) a)

69°30´

,

,

,

,

,

,

, d)

3.) a) ,

,

, b)

,

c)

, b)

2

, d)

, b) ,

· 360°, 290°30´

b)

239°19´

· 360°, 300°41´

c)

140°10´

· 180°

,

, , · 360° ,

· 360°


Goniometrické rovnice Varianta B Příklad: Řešte v : a) sin 2 b) 2 sin 3

1

Řešení: a) Substituce

2

sin 6 7 6 7 12

2

2

6 11 6 11 12

2

7 12

7 6

2 2

11 6

2

2

,

11 12

b) Rovnici budeme řešit substitucí

3

, tj. přejdeme k řešení rovnice 2 sin

1

čili k rovnici sin s neznámou

.

0,5

63

64


Množinu všech jejích kořenů tvoří čísla tvaru 7 6 11 6 kde

2 2

.

Množina všech kořenů původní rovnice se tedy skládá ze všech čísel

,

, pro která platí

právě jeden ze vztahů 7 6 11 6

3 3

2 2

Odtud dostaneme 7 18 11 18

1 2 3 1 2 3

1 1

Neboli 18 5 18 Množinu

2 3 2 3

všech kořenů původní rovnice lze tedy zapsat ve tvaru 18

2 3

,

5 18

2 3

Provedením zkoušky dosazením se přesvědčíme, že jsme se v průběhu řešení nedopustili numerické chyby. 1.) 18

2 3

2 · sin 3

18 7 2 · sin 6 18

2 3

2 · sin 2 · sin

2 3

6 1

1

6

2


18

2 3

18

2 3

2.) 5 18


2 3

5 2 5 2 · sin 18 3 6 11 2 · sin 2 · sin 1 6 6 5 2 1 18 3 2 5 2 5 3 18 3 18

2 · sin 3

2

65

66


Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnice s neznámou a) tg 3 b) sin 2 c) cotg 4

:

0 0 1

2) Řešte rovnice s neznámou 1

a) sin b) cos c) tg

:

45°

1

30°

1

3) Řešte rovnice s neznámou a) sin

:

0

b) tg

√3

4) Řešte rovnice s neznámou a) cos 3

0,5

b) cotg

0

·

1.) a)

·

2.) a)

2 15°

, b)

4.) a)

2 · ,

,

45°

, b)

· 180°

3.) a)

b)

·

, b)

c)

c)

:

2 ·

,

· 360°


67

Goniometrické rovnice Varianta C Příklad: Řešte rovnici s neznámou sin 2

cos 3 · sin 2

Řešení: Rovnici upravíme takto: sin 2 · 1 Číslo

cos 3

0

je kořenem této rovnice, právě když platí

sin 2

0

1

nebo

cos 3

0

Zavedeme substituce: 2

3

Odtud dostaneme dále: sin

0

cos 2

, kde

Množinu všech řešení zadané rovnice tvoří všechna ,

; přitom ,

jsou libovolná celá čísla.

·

2 · 3

2

Nebo také ·

Varianta A Varianta B Varianta C

2 , · 2 3

, kde

, která lze psát v některém z tvarů

Tuto množinu lze zapsat ve tvaru

Příklad:

1

68


Příklady k procvičení: 1) Řešte rovnice s neznámou a) cos

:

sin 2 · cos

b) cotg 2

tg 3 · cotg 2

2) Řešte rovnice s neznámou a) 2 cos b) tg

7 cos 2 tgn

:

3 3

0 0 ž

3) Řešte rovnice s neznámou a) cotg

cotg

b) 2 sin

sin

0

b) tg · cotg

0

0 3

0 :

,

1.) a) 2

2.) a)

2

, b) ,

2

, b)

1,249. ,

3.) a)

4.) a)

,

2

b) ·

cos

:

4) Řešte rovnice s neznámou a) sin · cos

, b) prázdná množina

1 · , 4 ,

1 · ,


Goniometrické vzorce Základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi

š

š

š

š

,

Součtové vzorce a vzorce pro součet a rozdíl Pro goniometrické funkce sinus a kosinus platí tyto věty: Pro všech na reálná čísla , platí

69

70


Vzorce pro poloviční a dvojnásobný úhel Pro každé reálné číslo x platí:


71

Trigonometrie Sinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ

é

, , ,

í

,

Sinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délka jedné strany a velikosti dvou úhlů b) délky dvou stran a velikost úhlu proti jedné z nich.

ě

ž

ú

í

é

72


Kosinová věta: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ

é

, , ,

í

Kosinovou větu používáme, jsou-li v trojúhelníku dány: a) délky všech tří stran b) délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. Další trigonometrické věty

ž é

ú é

, ,

ší

é

ú

í

, ,

ý

č

,

ž

ú

í

ů

1 2

ě

ž

ě

ž

í:

,

ř í ú

é é

:

í


Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta A a)Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže

Příklad 1:

0,6 á

ň

2

,

b) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže 1 á 3

3 ,2 2

ň

Řešení: 1

a)

1

0,6

0,64

1 0,6 0,8

0,8

3 4

4 3 b)

tgx

3 1 1

1

1

1 1

1 1

1

1

1

1 9

1 9 10

1 10

1 √10

9 10

3 √10

73

74


Příklad 2:

Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC,

je-li dáno :

a)

20

,

45°, 51,32

b) a)

Řešení:

180°

105°

180°

, 105°

20 30°

2 51,32

,

45°

20 30°

b)

34,76

126°12´

30°

45°

105°

20 √2 1 2 2

20 √2

38,6

34,76

2. 51,32 . 34,76 .

126°12´

5 949,14

77,13

51,32 126°12´ 77,13

32°28´ 147°32´

ý ú 180°

126°12´

32°28´

21°20´


Příklady k procvičení: 1) Určete zbývající hodnoty goniometrických funkcí, jestliže: e) f)

0,6 á 2,4 á

ň ň

, ,

0,54


2) Dokažte, že pro všechna

, pro která jsou dané výrazy definovány, platí 1 1

2 2

2 2

2

3) Určete délky všech stran a úhlů v trojúhelníku ABC, je-li dáno: c)

188,4

d)

25

,

4) Tři kružnice s poloměry

,

56°18´, ,

25√2 5

95°36´

,

45°

4

,

velikosti úhlů, které svírají středné.

Výsledky:

1a.)

0,8 ;

1b.)

;

; ;

3a.)

332,8

,

3b.)

48,3

4.)

50°28´

,

28°6´, 30°, 59°,

398,1 105°

70°32´

6

se dotýkají vně. Vypočítejte

75

76


Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta B Příklad:

Upravte: 1 1 1 1

1

1

1 Řešení:

1

1

a)

2

sin

2

2

2

2

x 2

0

2

0 0

2

0

2

2

0 0

2 2

2

x 2 2

2 sin

2

2

2 2

b)

2

2

2

2

2

2

c) 1

1 1

1 1 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C


Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete jako součin:

a)

=

b)

=

2) Řešte v a)

rovnice:

2

b

2

3) Zjistěte pro která

mají výrazy smysl a pak je zjednodušte:

2

4) Řešte v

2 1

2

2

1 2

sin 2 .

rovnice:

6

√3 2

6

12

4

1

Výsledky: 1.) a) 2 2.) a) 3.) a) c)

b) ,

,2

4.) a)

,

2

2

,

2

,

b)

,

d)

,

b)

2

1

,

2

,1 b)

2

77

78


Goniometrické vzorce a trigonometrie Varianta C Příklad: Jsou dány funkce :

, :

3

tomto pořadí) pomocí předpisu

.

2. Zapište funkci složenou z funkcí , (v

Řešení: Nebudeme provádět záměnu označení proměnných ve vyjádření funkcí 1)

\0,

; do

patří všechna

Tuto podmínku splňuje každé 2) Pro každé


\0.

je

Je tedy :

, proto

, pro která je

3· 2.

2

3·

2

2.

a . , čili

.


79

Příklady k procvičení: 1) Letadlo letí ve výšce 2 500 m k pozorovatelně. V okamžiku prvního měření bylo vidět pod výškovým úhlem 28°, při druhém měření pod výškovým úhlem 50°. Určete vzdálenost, kterou proletělo mezi oběma měřeními. 2) Vrchol věže stojící na rovině vidíme z určitého místa A ve výškovém úhlu

39°25´ .

Přijdeme-li k jeho patě o 50 blíž na místo B, vidíme z něho vrchol věže ve výškovém úhlu 58°42´. Jak vysoká je věž? 3) Dvě přímé cesty se křižují v úhlu

53°30´ .Na jedné z nich stojí dva sloupy, jeden na

křižovatce, druhý ve vzdálenosti 500 od ní. Jak daleko je třeba jít od křižovatky po druhé cestě, aby byly vidět oba sloupy v zorném úhlu 4) Na vrcholu hory stojí věž hradu vysoká

30 . Křižovatku silnic v údolí vidíme

z vrcholu věže a od její paty v hloubkových úhlech vrchol hory nad křižovatkou.

Výsledky: 1.)

2 600

2.)

82,1

3.)

595

4.)

272

.

32°52´ ,

30°10´. Jak vysoko je

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

Recommend Documents