Goniometrie základní pojmy

teorie

řešené úlohy

cvičení

test

©

nápověda

Goniometrie – základní pojmy

Víš, že… pro úhly v geodézii se místo šedesátinného dělení používá častěji dělení setinné, v němž je plný úhel rozdělen na 400 gradů? obloukovou lampu významně zdokonalil český vynálezce František Křižík (1847–1941)? jednotkovou kružnici najdeme i na pražském orloji?

Naučíš se… pracovat s orientovanými úhly. určit velikost úhlu pomocí obloukové míry. převádět stupně na radiány a naopak.

1 Název: Goniometrie - základní pojmy Téma: ZÁVISLOSTI A FUNKČNÍ VZTAHY

Tento materiál je určen pouze pro užití ve výuce. Více informací na www.fred.fraus.cz © Nakladatelství Fraus, s.r.o. | www.fraus.cz

teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy S pojmem úhel jste se setkali již v geometrii na základní škole, většina z vás tento pojem zná a umí s ním intuitivně pracovat. Například víte, že velikost úhlu můžeme měřit ve stupních, pravý úhel má 90° atd. Přesto však přesná matematická definice úhlu není úplně jednoduchá a skrývá v sobě jistá úskalí. S popisem úhlu a jeho některými vlastnostmi jsme se seznámili také v tématu Planimetrie (Základní planimetrické pojmy a poznatky). Obvykle je úhel definován následovně:

zapamatujeme si

English Terms

Úhel AVB (značíme  AVB ) je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami, které mají společný počátek. Polopřímky VA a VB nazýváme ramena úhlu, bod V nazýváme vrchol úhlu.

goniometry / goniometrie angle / úhel arm of angle / rameno úhlu vertex of angle / vrchol úhlu anticlockwise direction / proti směru hodinových ručiček clockwise direction / po směru hodinových ručiček radian / radián arc / oblouk length of an arc of a circle / délka kruhového oblouku unit circle / jednotková kružnice perigon / plný úhel

B

A

V

Pozor! Uvědomte si zejména, že: • úhel nejsou pouze dvě ramena VA a VB, nýbrž část roviny mezi oběma rameny. • bez dalšího vysvětlení ale není zřejmé, kterou část roviny máme na mysli, protože polopřímky VA a VB vymezují dva různé úhly – konvexní úhel (obr. 1a) a nekonvexní úhel (obr. 1b).

B

B

A

V obr. 1a

V

A

obr. 1b

Orientovaný úhel a jeho velikost V další matematice, ale zejména fyzice a technických aplikacích, však s předchozí definicí úhlu nevystačíme. Zkoumáme-li například otáčení těles, pohyb bodu po kružnici, vlnění atd., je obvykle důležité, zda se pohybujeme z bodu A do bodu B nebo naopak. Není tedy důležitý jen samotný pohyb mezi body A a B, ale svou roli hraje také jeho „orientace“. Z těchto důvodů označujeme jednu polohu (jedno z ramen úhlu) jako počáteční rameno a druhé z ramen nazveme ramenem koncovým. Tak vzniká pojem orientovaný úhel.

zapamatujeme si Uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB se nazývá orientovaný úhel AVB, značíme  AVB. Polopřímku VA nazveme počátečním ramenem, polopřímku VB označujeme jako koncové rameno a bod V se nazývá vrchol orientovaného úhlu  AVB .

2

teorie | 1

Název: Goniometrie - základní pojmy Téma: ZÁVISLOSTI A FUNKČNÍ VZTAHY

Tento materiál je určen pouze pro užití ve výuce. Více informací na www.fred.fraus.cz © Nakladatelství Fraus, s. r. o. © Nakladatelství Fraus, s.r.o. | www.fraus.cz

teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy V souladu s fyzikální interpretací (počáteční a koncový stav nějakého tělesa) si lze orientovaný úhel představit jako počáteční a koncovou polohu polopřímky, která se otáčí kolem vrcholu V V. Otáčíme-li polopřímku proti směru hodinových ručiček, mluvíme o kladném směru otáčení, zatímco při otáčení po směru hodinových ručiček budeme mluvit o záporném směru otáčení (obr. 2). B

V

−

+ V

B

A

obr. 2

A

Na obr. 3 vidíme, že polopřímka VA může přejít do polohy VB buď v kladném směru (otočením o úhel α), nebo v záporném směru (otočením o úhel 360° - α). B

B

α V

V 360° − α

A

obr. 3

A

To ale není všechno. Zvolíme-li třeba kladný směr otáčení, pak polopřímku VA můžeme otočit kolem vrcholu V z její počáteční polohy do koncové polohy VB nekonečně mnoha způsoby, jak naznačuje obr. 4. B

B

α V

V

A

360° + α A

B

V

2 · 360° + α A

obr. 4

Z obr. 4 je patrné, že zatímco velikost úhlu (vyjádřená ve stupních) je číslo z intervalu 〈0, 360), velikost orientovaného úhlu může být libovolně velké (kladné i záporné) číslo. Přesto ale vidíme, že orientované úhly na obr. 4 mají něco společného, a to je úhel α. To nás přivádí k definici základní velikosti orientovaného úhlu:

zapamatujeme si Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí: 1. β = α + k · 360°, k ∈  , 2. α ∈ 〈0°, 360°).

3

teorie | 2



teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Přestože nám připadá měření úhlů ve stupňové míře přirozené a názorné, existuje i jiný způsob, jak měřit velikosti úhlů. Ten vychází z myšlenky měřit velikost úhlu pomocí délky kruhového oblouku, proto hovoříme o obloukové míře. Základní jednotkou obloukové míry je radián. Radián je nejběžněji užívaná jednotka velikosti úhlu nejen v matematice, ale zejména v aplikacích v přírodních vědách. Důvodem je skutečnost, že užití radiánů dovoluje velmi jednoduché formulace řady matematických tvrzení. O této skutečnosti se přesvědčíme v následujících kapitolách.

zapamatujeme si Radián je středový úhel, kterému přísluší na kružnici oblouk délky poloměru. Radiány budeme označovat zkratkou „rad“. Obvykle se pracuje s tzv. jednotkovou kružnicí, tj. kružnicí, jejíž poloměr má délku 1. Úhel o velikosti 1 rad je vyznačen na obr. 5 – jde o úhel, který na jednotkové kružnici vytíná oblouk jednotkové délky.

1 1 rad 1

obr. 5

Vzniká přirozená otázka: kolik radiánů má „celá kružnice“? Hledáme tedy vzájemný vztah mezi stupni a radiány. Ze základní školy víme, že délka kružnice s poloměrem r je rovna 2πr, a tedy délka kružnice s poloměrem 1 je 2π. Z definice radiánu tedy vyplývá, že 360° (plný úhel) je rovno 2π radiánů. Tak dostáváme základní vztah, který nám umožňuje převádět stupně na radiány a naopak.

zapamatujeme si • 360° = 2π rad π 2π rad = rad 360 180 360° 180° = =  57, 296° • 1 rad = 2π π

• 1° =

Nejčastěji užívané velikosti úhlů vyjádřené ve stupních a radiánech jsou v následující tabulce: stupně

0

30

45

60

90

120

135

150

180

270

radiány

0

π 6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2

Poznámka: Při zápisech velikostí úhlů v radiánech obvykle vynecháváme značku rad (zapisujeme jen číselnou hodnotu velikosti).

4

teorie | 3



teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Převodní vztahy mezi stupni a radiány jsou vyjádřeny na obr. 6. π 2 2π 3 3π 4

2,2

2,1

2,0

1,9

1,8

1,3

1,2

π 3 1,1

2,5

120

2,6

110

100

90

80

0,7

70

60

0,5

40

140

0,4

150

30

3,1 3,2

0,3 20

160

3,0

170

10

180

0 = 360

200

3,4

250

3,9

5,9 5,8

260

270

280

290

5,7

300 5,6 5,4

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7 4,8

11π 6

5,5

4,0

4π 3

6,0

310 240

3,8

4,1

6,1

320 230

3,7

obr. 6

0 = 2π 6,2

330

220

3,6

5π 4

0,1

340

210

3,5

0,2

350

190

3,3

π 6

0,6

50

130

2,9

π 4

1,0 0,8

2,8

7π 6

1,4

2,3

2,7

π

1,5

0,9

2,4 5π 6

1,7 1,6

4,9

5,0

5,1

5,2

5,3

7π 4

5π 3

3π 2

Podobně jako v případě, kdy velikost orientovaného úhlu vyjadřujeme ve stupních, zavedeme základní velikost orientovaného úhlu měřeného v radiánech:

zapamatujeme si Základní velikostí orientovaného úhlu β rozumíme velikost úhlu α, pro který platí: 1. β = α + k · 2π, k ∈  , 2. α ∈ 〈0, 2π).

souvislosti Goniometrie je slovo řeckého původu (gónia = úhel, metró = měřím) a označuje oblast matematiky, která se zabývá goniometrickými funkcemi sinus, kosinus, tangens a kotangens. Její důležitou součástí je trigonometrie, která se věnuje užití těchto funkcí při řešení různých úloh o trojúhelnících.

5

teorie | 4



teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Příklad 1 Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 1 000° b) -1 290° c) 119 790°

řešení a) 1 000° 1. krok Číslo 1 000 je větší než 360, tj. odečteme 360. 2. krok 1 000 - 360 = 640

c) 119 790° 1. krok Číslo 119 790 je veliké, a proto použít analogický postup jako v bodech a) a b) je zde z časových důvodů nemožné.

3. krok Číslo 640 je větší než 360, tj. odečteme 360.

2. krok Pro základní velikost úhlu platí: 119 790° = α + k · 360°

4. krok 640 - 360 = 280 < 360

3. krok Odtud plyne: α = 119 790° - k · 360°

závěr Základní velikost úhlu 1 000° je úhel 280°.

4. krok Hodnotu k vypočteme dělením čísla 119 790 číslem 360.

b) -1 290° 1. krok Číslo -1 290 je menší než 0, tj. přičteme 360.

5. krok 119 790 = 332,7… 360 6. krok Odtud plyne, že k = 332 (tj. největší celé číslo menší než číslo 332,7... ).

2. krok -1 290 + 360 = -930 3. krok Číslo -930 je menší než 0, tj. přičteme 360. 4. krok -930 + 360 = -570

7. krok Tedy α = 119 790° - 332 · 360° = 270°. závěr Základní velikost úhlu 119 790° je úhel 270°.

5. krok Číslo -570 je menší než 0, tj. přičteme 360. 6. krok -570 + 360 = -210 7. krok Číslo -210 je menší než 0, tj. přičteme 360. 8. krok -210 + 360 = 150 závěr Základní velikost úhlu -1 290° je úhel 150°.

6

řešené úlohy | 1



teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Příklad 2 Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 7π rad b) -

15π rad 4

c) 73π rad

řešení a) 7π rad 1. krok Číslo 7π je větší než 2π, tj. odečteme 2π. 2. krok 7π - 2π = 5π 3. krok Číslo 5π je větší než 2π, tj. odečteme 2π.

c) 73π rad 1. krok Číslo 73π je veliké, a proto použít analogický postup jako v bodech a) a b) je zde z časových důvodů nešikovné. 2. krok Pro základní velikost úhlu platí: 73π = α + k · 2π 3. krok Odtud plyne: α = 73π - k · 2π

4. krok 5π - 2π = 3π 5. krok Číslo 3π je větší než 2π, tj. odečteme 2π.

4. krok Hodnotu k vypočteme dělením čísla 73 číslem 2. 5. krok 73 = 36,5 2

6. krok 3π - 2π = π < 2π závěr Základní velikost úhlu 7π rad je úhel π rad.

6. krok Odtud plyne, že k = 36 (tj. největší celé číslo menší než číslo 36,5).

15π rad 4 1. krok 15π je menší než 0, tj. přičteme 2π. Číslo 4

7. krok Tedy α = 73π - 36 · 2π = π

b) -

závěr Základní velikost úhlu 73π rad je úhel π rad.

2. krok 15π 7π + 2π = - . 4 4 3. krok 7π Číslo je menší než 0, tj. přičteme 2π. 4 4. krok π 7π - + 2π = 4 4 závěr 15π π rad je úhel rad . Základní velikost úhlu 4 4

7




teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Příklad 3 Velikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech: a) 40° b) 120° c) 67°30′

řešení a) 40° 1. krok π rad . Použijeme vztah 1° = 180 2. krok π 2π rad = rad =  0,698 rad Pro úhel 40° tedy platí: 40° = 40 · 180 9 závěr 40° =  0,698 rad

b) 120° 1. krok π rad Použijeme vztah: 1° = 180 2. krok π 2π rad = rad =  2,094rad Pro úhel 120° tedy platí: 120° = 120 · 180 3 závěr 120° =  2,094rad

c) 67°30′ 1. krok Nejprve vyjádříme úhel 67°30′ desetinným číslem. 2. krok 67°30′= 67,5° 3. krok π rad . Nyní použijeme vztah 1° = 180 4. krok π 3π rad = rad =  1,178 rad Pro úhel 67,5° tedy platí: 67,5° = 67,5° · 180 8 závěr 67,5° =  1,178 rad

8




teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Příklad 4 Velikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních: 7 a) π rad 4 1 b) − π rad 4

c)

12π rad 5

řešení a)

7 π rad 4 1. krok

Použijeme vztah 1 rad = 2. krok Pro úhel

180° . π

7 7 7 180° π rad tedy platí: π rad = π · = 315° 4 4 4 π

závěr 7 π rad = 315° 4

1 b) − π rad 4 1. krok

Použijeme vztah 1 rad =

180° . π

2. krok

1 1 1 180° = − 45° Pro úhel − π rad tedy platí: − π rad = − π · 4 π 4 4

závěr 1 − π rad = − 45° 4

c)

12π rad 5 1. krok

Použijeme vztah 1 rad = 2. krok Pro úhel

180° . π

12π 12π 12π 180° rad tedy platí: rad = · = 432° 5 5 5 π

závěr 12π rad = 432° 5

9




teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Příklad 5 Vypočtěte vzdálenost v na zemském povrchu mezi obratníkem Raka (23°27′ s. š.) a obratníkem Kozoroha (23°27′ j. š.), víte-li, že poloměr Země je 6 400 km.

řešení 1. krok Nejprve si celou situaci schematicky znázorníme na obrázku:

Rak

0

rovník

640

α

Kozoroh

2. krok Nyní vypočítáme velikost středového úhlu α: α = 23°27′ + 23°27′ = 46°54′ = 46,9° 3. krok Z vlastností kružnice o poloměru r plyne, že délka kruhového oblouku, který přísluší středovému úhlu 1°, π r. se vypočte ze vztahu 180 4. krok Odtud po dosazení plyne: π · 6 400 = v = 46,9 ·  5239 km 180 závěr Vzdálenost na zemském povrchu mezi obratníkem Raka a obratníkem Kozoroha je přibližně 5 239 km.

10




teorie

řešené úlohy

cvičení

test

nápověda

Goniometrie – základní pojmy Cvičení 1

výsledek/řešení

Určete základní velikost orientovaných úhlů: a) 1 111° b) -660° 20′ c) -82 431°

Cvičení 2

výsledek/řešení

Určete základní velikost orientovaných úhlů: 23π rad a) 12 b)

161π rad 35

c) -

129 π rad 2

Cvičení 3

výsledek/řešení

Velikosti úhlů ve stupních vyjádřete v radiánech: a) 255° b) -270° c) 227°30′

Cvičení 4

výsledek/řešení

Velikosti úhlů v radiánech vyjádřete ve stupních: 17 a) π rad 5 9 b) - π rad 2

c)

8π rad 3

Cvičení 5

výsledek/řešení

The hands of a clock show 10:15. Express the obtuse angle formed by the hour and minute hands in the radian measure.

11

cvičení | 1



Goniometrie – základní pojmy Matematika pro střední školy Tematický celek: Goniometrie a trigonometrie Vedoucí projektu: doc. RNDr. Eduard Fuchs, CSc. Autoři: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. Mgr. Šárka Gergelitsová (modely v programu GeoGebra) Mgr. Jitka Schovancová (interaktivní cvičení) Autor metodiky: prof. RNDr. Pavel Tlustý, CSc. Odborná spolupráce: Mgr. Michaela Petrová, Mgr. Růžena Písková, Mgr. Jitka Schovancová, PhDr. Irena Vlachynská Odborná redakce: Mgr. Miroslava Nováková Grafická úprava, sazba a ilustrace: Marek Novotný Redakce obrazové části: Dagmar Metlická Koordinátorka e-produkce: Tereza Šitancová Softwarový vývoj: Ing. Jaroslav Svoboda Autoři a zdroje obrazového materiálu: uvedeno níže Součástí flexibooku je následující autorsky chráněný materiál – texty, vyobrazení (fotografie, ilustrace, schémata aj.), rozšiřující multimediální materiál (video, audio) a programy třetích stran (pro další rozšíření funkcí programu). Zdroje tohoto materiálu jsou popsány v následující části tohoto dokumentu, materiál je níže rozčleněn podle typu (audio, video, animace, …). Způsob značení položek v tabulkách: Obr 007_001 Nakladatelství Fraus / Petr Vítek Obr – typ objektu (Ani, Aud, Dok, Obr, Vid, …) 007 – strana v i-učebnici 001 – pořadí objektu na stránce, směr značení směr značení zleva doprava dolů (nejprve jsou uvedeny objekty, které jsou součástí stránky) Nakladatelství Fraus / Petr Vítek – autor objektu Fotografie, grafy a mapy S-Obr 001_001

Shutterstock / © N.Minton, 2014

S-Obr 010_001

Shutterstock / © leonello calvetti, 2014

Obr 000_000

Nakladatelství Fraus / Olga Matulová; Shutterstock / © Chuhail, 2012 12 Název: Goniometrie - základní pojmy Téma: ZÁVISLOSTI A FUNKČNÍ VZTAHY

Tento materiál je určen pouze pro užití ve výuce. Více informací na www.fred.fraus.cz © Nakladatelství Fraus, s.r.o. | www.fraus.cz

Dokumenty a pracovní aktivity Dok 006_001

Nakladatelství Fraus

Dok 007_001


Dok 008_001


Dok 009_001


Dok 010_001


Dok 011_001


Dok 011_002


Dok 011_003


Dok 011_004


Dok 011_005


Dále jsou uvedeny materiály umístěné v samostatné vrstvě „citace – Fraus“. Tyto materiály, označované též jako internetové zdroje a citace, jsou-li u daného titulu využity a nejedná-li se o citace z jiných titulů Nakladatelství Fraus, poskytuje prodávající bezplatně. Jedná se o programy a data, které lze podle sdělení jejich autorů, které měl prodávající k dispozici v době vzniku matrice, pro účely školního vyučování užít volně. Prodávající do těchto programů a dat nijak nezasáhl, pouze zprostředkovává jejich získání. V dále uvedených tabulkách je pro každý z programů či datových souborů uveden internetový odkaz, případně jiný zdroj (např. název CD s volně šířeným softwarem), kde se daný program či datový soubor v době vzniku instalačního datového balíčku nalézal nebo kde ho bylo možno v té době získat. Na daném internetovém odkazu nebo v uvedeném zdroji mohou být uvedeny další podrobnosti o možnosti využití nebo šíření programu či datového souboru. Dále se jedná o citace ve smyslu §31, odst. (1) autorského zákona č. 121/2000 Sb., v takovém případě je v tabulce vždy uveden zdroj a autor citovaného autorského díla. GeoGebra / doplňkové materiály Dok 003_001

GeoGebra

Dok 005_001

GeoGebra

Vydalo Nakladatelství Fraus, Edvarda Beneše 72, 301 00 Plzeň Výhrada práv: Všechna práva vyhrazena. Reprodukce a rozšiřování díla nebo jeho částí jakýmkoliv způsobem jsou bez písemného souhlasu nakladatele zakázány, s výjimkou případů zákonem výslovně povolených. 1. vydání Copyright: © Nakladatelství Fraus, Plzeň 2014


13 Tento materiál je určen pouze pro užití ve výuce. Více informací na www.fred.fraus.cz © Nakladatelství Fraus, s.r.o. | www.fraus.cz

Goniometrie základní pojmy

Recommend Documents