Téma: Úvod (Souřadnice a základy sférické trigonometrie) Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Kartézské souřadnicové soustavy Pravoúhlá pravotočivá kartézská souřadnicová soustava v třírozměrném Euklidovském prostoru je určena bodem O, tzv. počátkem a třemi navzájem kolmými přímkami x, y, z procházejícími počátkem, tzv. souřadnicovými osami. Osy mají svoji kladnou orientaci, jež označuje smysl přibývajících souřadnic. Pravotočivost souřadnicové soustavy je dána tzv. pravidlem pravé ruky říkajícím, že položíme-li pravou ruku na náčrt souřadnicové soustavy tak, aby prsty směřovaly od kladně orientované osy x ke kladně orientované ose y, ukazuje palec smysl kladně orientované osy z. Neníli tato podmínka splněna, jedná se o levotočivou kartézskou souřadnicovou soustavu. Konkrétní souřadnicovou soustavu takto definovanou označujeme symbolem (O, x, y, z). Každá souřadnicová osa je zároveň číselnou osou s počátkem O s danou metrikou (tedy s definovanou vzdáleností, na všech osách stejně). Pro libovolný bod L prostoru utvoříme kvádr s hranami totožnými se souřadnicovými osami, přičemž bod L je jedním z jeho vrcholů (obr.1). Délky hran (včetně orientace) tohoto kvádru na jednotlivých osách (v příslušné metrice) se nazývají souřadnice bodu L. Tento kvádr může být i degenerovaný, když jedna, dvě, nebo i všechny tři dvojice jeho protějších stěn splývají. To pak znamená, že jedna, dvě, popřípadě všechny tři souřadnice bodu L jsou nulové. y yL
L rL j
β
α
0 k
γ
xL
i
x
zL z
Obrázek 1: Vektor ~i, jehož jeden reprezentant (jakožto orientovaná úsečka) spojuje body o souřadnicích 0 a 1 na ose x (v tomto pořadí) se nazývá jednotkovým vektorem směru osy x. Obdobně definujeme i vektory ~j a ~k jakožto jednotkové vektory směru os (po řadě) y a z (obr.1). Definovanou souřadnicovou soustavu můžeme také označovat symbolem (O,~i, ~j, ~k). Vektor ~rL , jehož jeden reprezentant spojuje počátek souřadnic s bodem L se 1
nazývá polohovým vektorem bodu L. Protože vektory ~i, ~j a ~k tvoří bázi Euklidovského prostoru, lze vektor ~rL zapsat jako jejich lineární kombinaci. Protože podle definice souřadnic mají zmíněné bázové vektory (po řadě) souřadnice ~i = [1, 0, 0], ~j = [0, 1, 0] a ~k = [0, 0, 1], jsou koeficienty výše popsané lineární kombinace právě souřadnicemi bodu L. Píšeme tedy ~rL = xL~i + yL~j + zL~k .
(1)
Mějme souřadnicovou soustavu (O, x, y, z) a body A a B různé od počátku o souřadnicích (po řadě) [xA , yA , zA ] a [xB , yB , zB ]. Utvořme polohové vektory těchto bodů ~rA a ~rB . Skalárním součinem těchto vektorů nazýváme číslo (skalár) c = ~rA · ~rB = xA xB + yA yB + zA zB .
(2)
Vzdálenost bodu A resp. B od počátku nazýváme délkou polohového vektoru a značíme ji stejným symbolem jako vektor sám, ovšem bez šipky. Pro skalární součin polohových vektorů pak platí ~rA · ~rB = rA rB cos(~rA , ~rA ) ,
(3)
kde symbolem cos(~rA , ~rB ) značíme kosinus úhlu, který svírají příslušné polohové vektory (jejichž reprezentanti začínají v počátku souřadnic). Protože kosinus je funkce sudá, nezáleží na orientaci popisovaného úhlu. Odtud plyne, že nenulové vektory mají nulový skalární součin právě když (jejich v počátku začínající reprezentanti) jsou na sebe kolmé. Vynásobme nyní rovnici (1) postupně skalárně jednotkovými vektory ~i, ~j a ~k. Vzhledem ke (3) a k jejich kolmosti získáme vztahy ~rL · ~i = x ; ~rL · ~j = y ; ~rL · ~k = z . takže vzhledem ke (3) x = r cos α ; y = r cos β ; z = r cos γ ,
(4)
kde r = |~rL | je délka polohového vektoru (tedy vzdálenost bodu L od počátku) a α, β a γ jsou úhly, jež svírá polohový vektor ~rL po řadě s vektory ~i, ~j a ~k (tedy s kladně orientovanými osami x, y a z souřadnicového systému). Úhlům říkáme směrové úhly vektoru ~rL . Umocněním výrazů ve (4) získáme pro směrové úhly vztah cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 .
(5)
Vztahy (4) zároveň říkají, že jednotlivé souřadnice bodu L tvoří pravoúhlé průměty polohového vektoru do souřadnicových os se směrovými úhly. Kosínům směrových úhlů říkáme směrové kosíny polohového vektoru ~rL .
Transformace natočením Mějme dvě souřadnicové soustavy se společným počátkem O, charakterizované jednotkovými vektory os ~i, ~j, ~k (původní soustava) a vektory os ~i′ , ~j ′ , ~k ′ (nová soustava) (obr.2). Libovolný vektor ~r vyjádříme v původním systému souřadnicemi x, y, z a v novém systému pak souřadnicemi x′ , y ′ , z ′ . Platí tedy 2
~r = x~i + y~j + z~k = x′~i′ + y ′ j~′ + z ′ k~′ .
y
,
y L r
j
, k
z
j i 0 , k
x,
, x
i
z,
Obrázek 2: Vynásobme tuto rovnici skalárně postupně vektory ~i, ~j a ~k. S ohledem na (3) dostaneme x = x′ cos(~i′~i) + y ′ cos(~j ′~i) + z ′ cos(~k ′~i) , y = x′ cos(~i′~j) + y ′ cos(~j ′~j) + z ′ cos(~k ′~j) ,
(6)
z = x′ cos(~i′~k) + y ′ cos(~j ′~k) + z ′ cos(~k ′~k) . Označíme-li souřadnice vektoru ~r maticově jako sloupcové matice r = [x, y, z]T ; r ′ = = [x′ , y ′ , z ′ ]T v původní i nové souřadnicové soustavě a matici T T jako cos(~i′~i) cos(~j ′~i) cos(~k ′~i) ~ ′~ ~ ′~ ~′~ TT = cos(i j) cos(j j) cos(k j) , cos(~i′~k) cos(~j ′~k) cos(~k ′~k)
dostaneme rovnice (6) v maticovém tvaru
r = T T r′ . Provedeme-li inverzní transformaci, zřejmě se pouze jednotkové vektory ~i, ~j a ~k zamění za čárkované a naopak. V matici to znamená záměnu řádků za sloupce a naopak, čili operaci transpozice. Proto platí r′ = T r ,
(7)
kde řádky transformační matice T obsahují směrové kosíny nových souřadnicových os ve starém souřadnicovém systému. Uvažujme speciální případ natočení kolem osy x například o úhel ψ. Potom zřejmě ~i′ = ~i (obr.3), takže cos(~i′~i) = 1, cos(~j ′~i) = cos(~k ′~i) = 0, cos(~j ′~j) = cos ψ, cos(~i′~j) = = 0, cos(~k ′~j) = − sin ψ, cos(~i′~k) = 0, cos(~j ′~k) = sin ψ, cos(~k ′~k) = cos ψ. Pro matici T pak platí 1 0 0 T = 0 cos ψ sin ψ , 0 − sin ψ cos ψ
3
z,
z
ψ k
y k
,
j x
x
,
,
ψ y
, j
Obrázek 3:
takže x′ = x , y ′ = y cos ψ + z sin ψ ,
(8)
z ′ = −y sin ψ + z cos ψ . Analogickou transformaci získáme při natočení kolem os y a z. Pro natočení kolem y dostaneme x′ = x cos ψ − z sin ψ , y′ = y ,
(9)
z ′ = x sin ψ + z cos ψ a pro natočení kolem osy z dostaneme x′ = x cos ψ + y sin ψ , y ′ = −x sin ψ + y cos ψ ,
(10)
z′ = z . Poznámka: Všimněme si, že jednotlivé vztahy vznikají z ostatních tzv. cyklickou záměnou, kdy zaměňujeme x za y, y za z a z zase za x a analogické změny nastávají pro veličiny čárkované.
Sférické souřadnicové soustavy Sférická souřadnicová soustava je určena počátkem O, tzv. hlavní rovinou ρ0 , ve které počátek leží a tzv. hlavním směrem, určeném polopřímkou OH ležící v hlavní rovině. Mějme libovolný bod L v prostoru, popsaný ve vztahu k počátku O polohovým vektorem ~r. Velikost tohoto vektoru r = |~r| označujeme jako první sférickou souřadnici bodu L. Pokud L6=O, označme ϕ1 odchylku polopřímky OL od hlavní roviny ρ0 a nazvěme ji druhou sférickou souřadnicí bodu L (obr.4). Pokud L navíc neleží na kolmici ke hlavní rovině vedené z počátku, definujeme L’ jako pravoúhlý průmět bodu L 4
y N
L r
k2
ϕ1
S ϕ2 k1
x , L
H
ρ0
N
,
z
Obrázek 4:
do hlavní roviny. Odchylku polopřímky OL’ od polopřímky OH označme ϕ2 a nazvěme třetí sférickou souřadnicí bodu L (obr.4). Konvencí určujeme odchylku ϕ1 jako kladnou, leží-li bod L ve vybraném poloprostoru určeném hlavní rovinou. Leží-li bod L v opačném poloprostoru, bereme odchylku ϕ1 jako zápornou. Proto je ϕ1 ∈ h− π2 , π2 i, přičemž |ϕ1 | = π2 právě když bod L leží na kolmici ke hlavní rovině vedené počátkem O (právě pro tyto body není definována souřadnice ϕ2 ). Konvencí rovněž určujeme smysl přibývání souřadnice ϕ2 , pro kterou zřejmě platí ϕ2 ∈ ∈ h0, 2π). Obvykle se to činí matematicky kladně (to je proti smyslu pohybu hodinových ručiček) při pohledu z poloprostoru, kde je ϕ1 > 0. Popsanou sférickou souřadnicovou soustavu označujeme symbolicky jako (O, r, ϕ1 , ϕ2 ). V astronomické praxi často potřebujeme znát polohu objektu na nebeské sféře bez ohledu na jeho vzdálenost od pozorovatele. Pak takový objekt promítáme na fiktivní kouli libovolného konstantního (tedy například jednotkového) poloměru. Sférická souřadnice r pak ztrácí smysl a polohu takového objektu na nebeské sféře určujeme zbylými dvěma výše popsanými souřadnicemi ϕ1 a ϕ2 . Souřadnici ϕ1 nazýváme sférickou šířkou a souřadnici ϕ2 sférickou délkou. Počátek O takové soustavy nejčastěji umísťujeme do pozorovacího stanoviště (tzv. topocentrická souřadnicová soustava), do středu Země (tzv. geocentrická souřadnicová soustava) nebo do středu Slunce (tzv. heliocentrická souřadnicová soustava). Ke sférické souřadnicové soustavě (soustavě na kulové ploše) přiřaďme kartézskou souřadnicovou soustavu o stejném počátku tak, že osa z míří hlavním směrem, osa y je kolmá na hlavní rovinu a míří do poloprostoru, kde ϕ1 > 0 a osa x už je určena tak, aby příslušná soustava byla pravoúhlá pravotočivá. Takto definovanou kartézskou souřadnicovou soustavu nazýváme přidruženou k sférické souřadnicové soustavě (O, r, ϕ1 , ϕ2 ), resp. přidruženou k soustavě souřadnic na kulové ploše (O, ϕ1 , ϕ2 ). Geometrické místo bodů na kulové ploše, kde ϕ1 =konst se nazývá sférická rovnoběžka této konstantě příslušející. Pro ϕ1 = 0 se jedná o tzv. hlavní sférickou rovnoběžku. Je to hlavní kružnice zmíněné kulové plochy a tedy má poloměr stejný jako tato kulová plocha. Pro 0 < |ϕ1 | < π2 se jedná o vedlejší kružnice o menších polo5
měrech. Pro |ϕ1 | = π2 jsou sférickou rovnoběžkou dva body (tzv. póly kulové plochy). Geometrické místo bodů na kulové ploše, kde ϕ2 =konst se nazývá sférický poledník této konstantě příslušející. Vždy se jedná o polokružnice stejného poloměru jako kulová plocha, které procházejí jejími póly. Nechť (0, x, y, z) je kartézská souřadnicová soustava přidružená ke sférické souřadnicové soustavě (O, r, ϕ1 , ϕ2 ). Podle obrázku pak zřejmě platí x = r cos ϕ1 sin ϕ2 , y = r sin ϕ1 ,
(11)
z = r cos ϕ1 cos ϕ2 . Umocněním a sečtením těchto rovnic dostaneme r=
q
x2 + y 2 + z 2 .
Ze druhé rovnice potom jednoznačně vyplývá s
y2 y ϕ1 = arcsin , cos ϕ1 = + 1 − 2 r r a ze třetí rovnice nakonec dvojznačně ϕ2 = arccos
z z resp. ϕ2 = 2π − arccos . r cos ϕ1 r cos ϕ1
Které z těchto dvou řešení je platné, získáme z první rovnice (11) na základě znaménka sin ϕ2 = r cosx ϕ1 (čili podle znaménka souřadnice x). Pro její kladné hodnoty platí první řešení a pro záporné hodnoty druhé řešení (tedy doplňkové řešení do 2π).
Transformace sférických souřadnic při natočení přidružených kartézských souřadnic kolem souřadnicových os Mějme sférické souřadnicové soustavy (O, r, ϕ1 , ϕ2 ) a (O, r, ϕ′1 , ϕ′2 ) a k nim přidružené kartézské souřadnicové soustavy (O, x, y, z) a (O, x′ , y ′ , z ′ ) takové, že čárkovaná kartézská souřadnicová soustava vznikne z původní natočením kolem jednotlivých souřadnicových os vždy o úhel ψ. Odvodíme transformační vztahy mezi příslušnými sférickými souřadnicovými soustavami. 1. Při rotaci kolem osy x dostáváme podle (8) x′ = x , y ′ = y cos ψ + z sin ψ , z ′ = −y sin ψ + z cos ψ . Dosazením (11) a analogických vztahů platných pro čárkované souřadnice dostaneme, vzhledem k tomu, že souřadnice r se nemění, konečný tvar transformace jako 6
cos ϕ′1 sin ϕ′2 = cos ϕ1 sin ϕ2 , sin ϕ′1 = sin ϕ1 cos ψ + cos ϕ1 cos ϕ2 sin ψ ,
(12)
cos ϕ′1 cos ϕ′2 = − sin ϕ1 sin ψ + cos ϕ1 cos ϕ2 cos ψ . 2. Při rotaci kolem osy y dostáváme podle (9) x′ = x cos ψ − z sin ψ , y′ = y , z ′ = x sin ψ + z cos ψ . Analogickým dosazením z (11) dostaneme cos ϕ′1 sin ϕ′2 = cos ϕ1 sin ϕ2 cos ψ − cos ϕ1 cos ϕ2 sin ψ , sin ϕ′1 = sin ϕ1 ,
(13)
cos ϕ′1 cos ϕ′2 = cos ϕ1 sin ϕ2 sin ψ + cos ϕ1 cos ϕ2 cos ψ . 3. Při rotaci kolem osy z podle (10) x′ = x cos ψ + y sin ψ , y ′ = −x sin ψ + y cos ψ , z′ = z . Opětovným dosazením z (11) dostaneme cos ϕ′1 sin ϕ′2 = cos ϕ1 sin ϕ2 cos ψ + sin ϕ1 sin ψ , sin ϕ′1 = − cos ϕ1 sin ϕ2 sin ψ + sin ϕ1 cos ψ ,
(14)
cos ϕ′1 cos ϕ′2 = cos ϕ1 cos ϕ2 . Z výrazů (12) až (14) lze při znalosti ϕ1 , ϕ2 a ψ jednoznačně určit ϕ′1 a ϕ′2 . Inverzní transformace je vždy natočení kolem příslušné osy o úhel −ψ. Protože funkce kosinus je sudá a funkce sinus je lichá, měníme při přechodu k inverzní transformaci u sin ψ znaménko a u cos ψ jej zachováme. Zároveň zaměníme čárkované za nečárkované souřadnice a naopak. Dostaneme tak z (12) při natočení kolem osy x vztahy cos ϕ1 sin ϕ2 = cos ϕ′1 sin ϕ′2 , sin ϕ1 = sin ϕ′1 cos ψ − cos ϕ′1 cos ϕ′2 sin ψ ′ , cos ϕ1 cos ϕ2 = sin ϕ′1 sin ψ + cos ϕ′1 cos ϕ′2 cos ψ . Z těchto výrazů při znalosti ϕ′1 , ϕ′2 a ψ jednoznačně určíme ϕ1 a ϕ2 . Analogicky bychom dokázali naformulovat inverzní transformace k (13) a (14).
7
Nutné minimum ze sférické trigonometrie
Mějme kulovou plochu o středu S, poloměru r a na ní tři body A,B a C (obr.5). Rovina určená body A,B,S pak protíná kulovou plochu v hlavní kružnici, jež jest body A a B dělena na dva oblouky. Menší z těchto oblouků (pokud není jeho délka rovna πr) nazveme stranou c =AB sférického trojúhelníka o vrcholech A,B,C. Analogicky definujeme i strany b =AC a c=AB tohoto trojúhelníka. Sférickým trojúhelníkem ABC pak nazveme menší část kulové plochy oddělené jeho stranami. Vnitřním úhlem sférického trojúhelníka při vrcholu A (ustálené označení α) nazveme menší z odchylek rovin určených body S,A,B a S,A,C. Podobně definujeme zbylé dva vnitřní úhly, a sice při vrcholu B (ustálené označení β) a při vrcholu C (ustálené označení γ).
B β
c
a
A α γ
b
C
Obrázek 5: Strany sférického trojúhelníka jsou určeny příslušnými středovými úhly. Například strana a =BC je určena úhlem BSC. Délka této strany je úměrná velikosti středového úhlu (udávaného v radiánech). Konstantou úměrnosti je poloměr r kulové plochy. Proto je možné strany s k nim příslušnými středovými úhly zaměňovat a formulovat pro ně goniometrické funkce. Na obr.5 je sférický trojúhelník s vyznačenými vrcholy, stranami a vnitřními úhly. Platí pro něj tato základní tvrzení: 1. sinová věta ve tvaru sin a sin α = , sin β sin b 2. kosinová věta pro strany ve tvaru cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α , 3. kosinová věta pro úhly ve tvaru cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a , 4. sinuskosinová věta pro stranu a přilehlý úhel ve dvou tvarech 8
sin a cos β = sin c cos b − cos c sin b cos α , sin a cos γ = sin b cos c − cos b sin c cos α . Poznámka: Z každého z výše uvedených výrazů získáme dva další tzv. cyklickou záměnou, kdy místo a píšeme b, místo b píšeme c a místo c píšeme opět a. Podobně místo α píšeme β, místo β píšeme γ a místo γ opět píšeme α. Platí následující důležité tvrzení: Nejkratší vzdálenost dvou bodů A a B na kulové ploše je délka (kratšího) oblouku hlavní kružnice tyto body spojující.
π −ϕ 1A 2
N ∆ϕ 2 π −ϕ1B 2
A
x
B
Obrázek 6: Jestliže tedy bod A má sférické souřadnice ϕ1A (šířka) a ϕ2A (délka) a bod B souřadnice ϕ1B a ϕ2B , určíme podle předchozího tvrzení jejich nejkratší (úhlovou) vzdálenost. Zvolme sférický trojúhelník ABN, kde N je bod, kde je ϕ1 = π2 (severní pól kulové plochy). Strany a úhly trojúhelníka (obr.6) mají (úhlové) délky znázorněné na obrázku, přičemž ∆ϕ2 = |ϕ2B − ϕ2A |. Chceme určit (úhlovou) délku strany x. Podle kosinové věty pro strany platí cos x = cos(
π π π π − ϕ1A ) cos( − ϕ1B ) + sin( − ϕ1A ) sin( − ϕ1B ) cos ∆ϕ2 . 2 2 2 2
Odtud x[rad] = arccos[sin ϕ1A sin ϕ1B + cos ϕ1A cos ϕ1B cos ∆ϕ2 ]
(15)
a potom x[m] = r[m]x[rad] . Pokud body A a B leží na stejné rovnoběžce (ne však pro ϕ1 = 0), není zřejmě cesta po této rovnoběžce nejkratší. Podle (15) pro ϕ1A = ϕ1B = ϕ1 je nejkratší vzdálenost těchto bodů zřejmě rovna xmin [m] = r arccos(sin2 ϕ1 + cos2 ϕ1 cos ∆ϕ2 ) .
(16)
Vzdálenost po rovnoběžce by zřejmě byla x[m] = r cos ϕ1 · ∆ϕ2 . 9
(17)
Jednotlive grafy odpovidaji zmene sfericke delky 1
0.95
0.9
dmin/d
0.85
0.8
π/8 π/4 3*π/8 π/2 5*π/8 3*π/4 7*π/8 π
0.75
0.7
0.65 0
0.5
1
1.5
sfericka sirka [rad]
Obrázek 7:
Jednotlive grafy odpovidaji sfericke sirce 1
0.95
0.9
dmin/d
0.85
0.8
0.75
π/8 π/4 3*π/8
0.7
0
0.5
1
1.5 2 zmena sfericke delky [rad]
2.5
3
Obrázek 8:
Při stejném poloměru kulové plochy je podíl vzdáleností xmin v závislosti na sférické x šířce pro několik různých rozdílů sférických délek znázorněn na obrázku 7. Závislost na rozdílu sférických délek je pro různé sférické šířky uvedena na obrázku 8. Příklad: Mějme zeměpisné souřadnice na povrchu Země, jako na ideální kouli poloměru rZ =6373 km. Italské město Miláno má zeměpisné souřadnice ϕ1A = 45o a ϕ2A = 10o . Hlavní město Uzbekistánu Taškent má zeměpisné souřadnice ϕ1B = 45o a ϕ2B = 70o . Splňují tedy podmínku míst ležících na stejné nenulové rovnoběžce. Po dosazení do (16) a (17) dostaneme x =4723km a xmin =4610km. Vzdálenost měst braná po rovnoběžce je cca o 2.5% delší. 10
