MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 11 September 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu) yang Lalu) 1. Buktikan bahwa lim(2 x 5) 1. (sdh dibahas) 1 x 3 2. Buktikan bahwa lim x 2. x4 lim x 2 4. bahas li 3. Buktikan k ik bahwa b h b h sekarang k x2
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Bukti bahwa lim x 4. 2
x2
Diberikan ε > 0 sembarang, kita harus mencari δ > 0 sehingga: > 0 sehingga: jika 0 < |x – 2| < δ, maka |x2 – 4| < ε … (*) Untukk itu, kita k bekerja b k mundur d dari d bentuk b k |x2 – 4|. Perhatikan bahwa |x2 – 4| = |x + 2||x 4| = |x + 2||x – 2|≤ (|x|+2)|x 2|≤ (|x|+2)|x – 2| … (+) 2| (+) Jika kita bisa menaksir |x|, maka tugas kita akan mudah. mudah 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
3
Bukti bahwa lim x 4. 2
x2
Karena kita sedang berbicara ttg x di sekitar 2, mari kita asumsikan bahwa |x – 2| < 1. Dalam hal ini, 1 < x < 3, sehingga |x| < 3. ), dapatkan: p Kembali ke ((+), kita |x2 – 4| < 5|x – 2|. Jadi jika |x – Jadi, jika |x 2|< ε/5, maka 2|< ε/5 maka |x2 – 4| < ε. 4| < ε Dengan demikian ada dua hal yang menjamin | 2 – 4| < ε, yaitu: |x – |x 4| it | 2| < 1 2| 1 dan d |x – | 2| < ε/5. 2| /5 Karena itu, kita pilih δ = min { 1, ε/5}. Dengan δ ini, dapat diperiksa bahwa (*) benar. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Ilustrasi Limit L+ε L L–ε
c–δ c c+δ
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Sasaran Kuliah Hari Ini 1.3 Teorema 1 3 Teorema‐Teorema Teorema Limit Menggunakan teorema‐teorema limit dalam penghitungan berbagai limit fungsi limit fungsi aljabar. aljabar 1.4 Limit Fungsi Trigonometri Menghitung berbagai limit fungsi trigonometri.
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
6
MA1101 MATEMATIKA 1A
1.3 TEOREMA‐TEOREMA 1.3 TEOREMA TEOREMA LIMIT LIMIT
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Teorema Utama Limit Misalkan k konstanta, n є k konstanta n є N, f dan N f dan g g fungsi yang mempunyai limit di c. 1 lim k k . 1. x c
2. lim x c. 2 x c
Catatan. Teorema merupakan suatu pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya, dan kemudian dapat digunakan sebagai “senjata” kita dlm pemecahan p masalah terkait.
3. lim kf ( x) k lim f ( x). 3. x c
x c
4. lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x)). x c
9/13/2013
x c
(c) Hendra Gunawan
x c
8
Teorema Utama Limit 5. lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x)). x c
x c
x c
6. lim f ( x) / g ( x) lim f ( x) / lim g ( x), lim g ( x) 0. x c
x c
x c
x c
7. lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n . x c
x c
8. asalkan lim n f ( x) n lim f ( x) , lim f ( x) 0 x c x c x c c untuk n genap. Catatan. Teorema berlaku juga untuk limit sepihak Catatan. Teorema limit sepihak (limit kanan dan limit kiri). 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Contoh Penggunaan Teorema Limit 1 lim(2 x 3 5 x 7) 2 (lim x) 3 5 lim x lim 7 1. x 1
x 1
x 1
x 1
2.13 5.1 7 0. (lim x) lim 5 x 5 x 2 5 lim x2 x2 x2 2. lim x2 x 1 lim( x 1) lim x lim1 2
2
x2
x2
x2
22 5 9 1. 2 1 3 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Contoh Penggunaan Teorema Limit 3. Diketahui 3 Diketahui lim f ( x) 3 dan lim g ( x) 8. x 1 x 1 Tentukan lim f 2 ( x) 3 g ( x) . x1
Jawab: Menggunakan Teorema 5, 7 dan 8,
lim f ( x) g ( x) (lim f ( x)) 3 lim g ( x) 2
x 1
2
3
x 1
x 1
3 3 8 18. 2
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
11
Teorema Substitusi Jika f adalah f adalah fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim f ( x) f (c) xc
asalkan f(c) terdefinisi. Contoh 1. lim(2 x 3 5 x 7) 2.13 5.1 7 0. x 1
x 2 2 2 6 2. Contoh 2. 2. lim x2 x 1 2 1 3 2
9/13/2013
2
(c) Hendra Gunawan
12
Teorema Apit Misalkan f, g, dan f, g, dan h fungsi h fungsi yang memenuhi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk x di x di sekitar c. Jika c Jika M k Maka
lim f ( x) lim h( x) L, x c
x c
lim g ( x) L. x c
Catatan. Teorema Apit berlaku pula untuk limit sepihak. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
13
Contoh Penggunaan Teorema Apit Untuk x > 0 di x > 0 di dekat 0, berlaku 0 berlaku ‐1 ≤ sin(1/x) ≤ 1. Bila il kita ki kalikan k lik ketiga k i ruas dengan d x, maka k ‐x ≤ x.sin(1/x) ≤ x. Karena lim ( x) lim x 0, maka x 0
x 0
lim x sin 1x 0.
x 0
Dengan cara serupa, serupa, lim x sin 1x 0. x 0
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Latihan 1. Menggunakan gg teorema limit, hitunglah: , g 3 a. lim . ( x 4 x 1x ) x 1
x4 1 b. lim . x 3 x 2 1 Catatan. Sebutkan teorema yang anda pakai. 2 lim x cos 1x 0. 2. Buktikan bahwa x 0
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
15
MA1101 MATEMATIKA 1A
1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI 1.4 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Limit Fungsi Trigonometri Limit Fungsi 1. lim sin x sin c
2. lim cos x cos c
3. lim tan x tan c
4. lim cot x cot c
5. lim sec x sec c
6. lim csc x csc c
x c
x c x
xc
9/13/2013
x c
x c x
(c) Hendra Gunawan
xc
17
Bukti bahwa lim sin x sin c x c
P 1 t O
B
A
Untuk t > 0, berlaku t > 0 berlaku 0<|BP|<|AP|. 0<|BP|<|AP| Karena |BP| = sin t dan |AP| < t, maka 0 < sin t < t. 0 < sin t < t Dengan Teorema Apit,
li sin lim i t 0.
t 0
Serupa p dengan g itu,, lim sin t 0. t 0 Jadi lim sin t 0. t 0 Dengan cara serupa, dapat ser pa dapat dibuktikan dib ktikan lim cos t 1. t 0
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
18
Bukti bahwa lim sin x sin c x c
Untuk menunjukkan j bahwa lim sin t sin c, tc misalkan k = t – c sehingga k → 0 ketika t → c. Jadi
lim sin t lim sin(c k ) t c
k 0
lim(sin c. cos k cos c. sin k ) k 0
(sin c).1 (cos c).0 ssin c. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
19
Limit Trigonometri Khusus Limit Trigonometri sin t 1 cos t 1. lim 1. 2. lim 0. t 0 t 0 t t Bukti (1) diperoleh (1) diperoleh dengan menunjukkan bahwa untuk t ≠ 0, berlaku sin t 1 cos t . t cos t Karena lim cos t 1, maka dengan Teorema Apit t 0 sin t kita simpulkan bahwa lim 1. t 0 t 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
20
Latihan sin t 1, 1 Menggunakan fakta bahwa lim 1. t 0 t hitunglah:
sin( x 2 2 x) a. lim sin t. cot 2t b. lim x 0 t 0 2x2 x 1 cos t 0. 2. Buktikan bahwa lim t 0 t
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
21
