Goed aan wiskunde doen Enkele tips
Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D’haeseleer Annemie Vermeyen
Maart 2011
Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave wilt oplossen. Er zijn er natuurlijk zoveel meer, maar vaak maken studenten fouten tegen kleine principes, die ervoor zorgen dat ze een opgave fout maken. Het valt op dat veel studenten wel goed kunnen redeneren, maar dat de uitwerking vaak misloopt door rekenfouten of onnauwkeurigheden. Als je deze richtlijnen volgt, gaat het hopelijk al een stuk beter.
De tips 1. Schrijf ordelijk. Veel fouten in wiskunde gebeuren omdat je cijfertjes ’wegsluipen’. Een voorbeeld: 23 → 23. 2. Houd formules buiten de tekst. Als je vergelijkingen opschrijft, kan je dat best op een aparte regel doen en niet in de regel. Stel dat je het hebt over merkwaardige producten. (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab is daar een voorbeeld van. Dat leest veel minder gemakkelijk dan dat je de formule op een aparte regel zetten zoals: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab Dit is een stuk overzichtelijker. Natuurlijk gaat dit niet altijd, maar waar mogelijk, splits tekst en formules. 3. Schrijf lange berekeningen systematisch. Een veel voorkomend schrijfschema voor lange uitwerkingen is de L-vorm. Zoals dat blokje in Tetris.
Een voorbeeld: bewijs dat (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab Zouden we best op volgende manier opschrijven: (a − b)2 = (a − b) · (a − b) = a · a − b · a + a · (−b) + b · b = a2 − ba − ab + b2 = a2 + b2 − 2ab
Betekenis van kwadraat Distributiviteit Uitwerken Uitwerken
Je zet dus netjes de gelijkheidstekens onder mekaar terwijl je uitwerkt. Zo heb je voldoende plaats om ook naast elke stap de reden van uitwerking te geven. Als je goed kijkt, heeft deze uitwerking de L-vorm.
Goed aan wiskunde doen
1
4. Schrijf netjes. Door veel inktwisser, Typ-Ex, enz. te gebruiken, kan het zijn dat er ineens een plus in een min verandert of omgekeerd. Kleine stukjes doorhalen en er cijfertjes boven schrijven heeft datzelfde probleem. Je kan best bij een te grote fout op een regel de hele regel doorhalen en opnieuw opschrijven. Zonder fouten deze keer! 5. Controleer je gebruikte formules. Als je een stap wilt zetten, controleer dan of je een formule of principe gebruikt dat echt bestaat. Als je twijfelt over het bestaan van een regel, kan je misschien best een andere weg zoeken. Enkele voorbeelden:
Versie student Correcte formule 2 2 2 (x − y) = x − y (x − y)2 = x2 + y 2 − 2xy Studenten herinneren dat (x − y)2 iets met een merkwaardig product te maken heeft. En er was ergens een merkwaardig product met x2 − y 2 in... Je redeneert dat er kwadraten instaan, dat er een minteken in staat, dus dat dit overeenkomt. Zonder eigenlijk zeker te zijn... Je kan het beter met de hand uitrekenen door (x − y) · (x − y) op te lossen met distributiviteit. Versie student Correcte formule √ √ √ √ √ √ x+y = x+ y x·y = x· y Als student denk je, dat linkerlid moet toch vereenvoudigd kunnen worden. Was er zo geen formule om dat te doen? Ik geloof van wel. Dit is dan het resultaat. In √ werkelijkheid is er een regel, maar die zegt enkel iets over producten. x + y kan je niet vereenvoudigen met een simpele formule. Versie student Correcte formule 2x + y = 2xy 2x · y = 2xy Rekenen met letters is niet altijd even eenvoudig. Optellen wordt verward met aan mekaar schrijven van letters. Helaas betekent het aan mekaar schrijven van letters eigenlijk het product maken. Je kan het linkerlid niet nog eenvoudiger schrijven. Elk van die fouten kan vermeden worden door je de correcte regel te herinneren. Ben je niet meer zeker van een regel, probeer hem dan opnieuw af te leiden of test hem met eenvoudige getalletjes. 6. Controleer elke stap. Terwijl je schrijft, kan je best elke stap meteen controleren. Zo vermijd je dat een rekenfout in het begin ervoor zorgt dat je einduitkomst niet klopt. Omdat je meteen controleert, vermijd je ’waar zit die fout nu?’, vooral in lange oefeningen. 7. Gebruik de juiste notaties. Weet dat wat links van het ’is gelijk aan’-teken staat, ook echt gelijk moet zijn aan wat er rechts staat, en omgekeerd. Stel, je krijgt de
Goed aan wiskunde doen
2
opdracht dat je 2 neemt, er dan 3 bijtelt, dan er 4 vanaf trekt, en dan het resultaat maal 7 doet. De correcte manier van schrijven is 2+3=5
5−4=1
1·7=7
Maar door slordigheid van schrijven wordt dit weleens 2+3=5−4=1·7=7 De waarden links en rechts van de gelijkheidstekens zijn niet hetzelfde, dus het gebruik van = is hier fout. 8. ’=’ is niet hetzelfde als ’⇔’. Een ’is gelijk aan’-teken duidt aan dat de waarde links van het teken gelijk is aan de waarde rechts. Een ’als en slechts als’ teken duidt aan dat de uitspraak links hetzelfde betekent als de uitspraak rechts. x−1=3+x−4 x−1=0⇔x=1
9. Let op de volgorde van bewerkingen. De juiste volgorde is: (a) Haakjes uitrekenen. Staan er meerdere haakjes binnen mekaar, dan moet je eerst de binnenste uitrekenen. (b) Machten uitrekenen. Wortels zijn ook machten! (c) Vermenigvuldiging en deling. De vermenigvuldigingen en delingen van links naar rechts uitwerken. 2 + 3 · 6 : 2 = 2 + 18 : 2 = 2 + 9 = 11 (d) Sommen en verschillen. De sommen en verschillen van links naar rechts uitwerken. 10. Let goed op met ’-’. Enorm veel fouten worden gemaakt tegen het ’minteken’. Een belangrijke tip is het gebruik van haakjes. Telkens je een ’−’ voor een hele uitdrukking ziet staan, zet die uitdrukking dan meteen al tussen haakjes. Zo denk je eraan eerst die uitdrukking uit te rekenen (de haakjes) en dan pas de ’−’ toe te passen. Enkele voorbeelden: (a) −(x + y) = −x − y (b) −(x + y)2 = − (x + y)2 = − x2 + y 2 + 2xy = −x2 − y 2 − 2xy x+y −(x + y) −x − y = = (een minteken voor een breuk staat voor de hele 2 2 2 teller van die breuk)
(c) −
Goed aan wiskunde doen
3
11. Let goed op met breuken in breuken. Vergeet de regel niet dat delen door een breuk gelijk is met vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk, dus niet 3 · 52 2 = 3· :7 1 5 7 maar
3· 1 7
2 5
=
2 3· 5
·
1 1 7
2 ·7 = 3· 5
12. Plaats je ’=’ goed bij breuken. We illustreren dit met volgende vraag: bereken 3+5 . De uitwerking wordt bij sommigen: 2+5 3+5=8 2+5=7 Wiskundig gezien staat hier een fout. Je kan geen breuken maken van vergelijkingen. Correct zou zijn: 8 3+5 = 2+5 7 Let dus op waar je gelijkheidstekens zet als je werkt met breuken. Een gelijkaardig probleem treedt op bij volgende berekening: 3+5 7
=
8 7
Technisch gezien is deze berekening juist. Maar de plaats van het gelijkheidsteken kan bij ingewikkeldere oplossingen weleens voor problemen zorgen. Als je te dicht op mekaar schrijft, dreigen ineens de noemers te verdwijnen, enzovoorts. Beter is het gelijkheidsteken ter hoogte van de breukstreep te zetten: 8 3+5 = 7 7
Goed aan wiskunde doen
4
