Tartalomjegyzék GEOMETRIA
1. Vektorok
. . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1. Irányított szakaszok. Vektorok . . . . .
1
1.2. Műveletek vektorokkal . . . . . . . .
3
1.3. Kollineáris vektorok . . . . . . . . .
8
1.4. Helyzetvektor
. . . . . . . . . . .
10
1.5. Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás .
12
1.6. Skaláris szorzás . . . . . . . . . . .
18
2. Analitikus geometria . . . . . . . . . . .
24
3. Trigonometria
37
. . . . . . . . . . . . .
3.1. A trigonometria elemei . . . . . . . .
37
3.2. Trigonometrikus egyenletek . . . . . .
47
3.3. Trigonometria síkmértani alkalmazásai
.
57
1. Valós számok, valós számhalmazok . . . . .
62
2. Valós számsorozatok . . . . . . . . . . .
65
MATEMATIKAI ANALÍZIS
2.1. Valós sorozatok . . . . . . . . . . .
65
2.2. Műveletek valós sorozatokkal
68
. . . . .
2.3. Egyenlőtlenségek és határértékek
. . .
73
2.4. Konvergencia, monotonitás, korlátosság .
75
2.5. Részsorozatok
. . . . . . . . . . .
77
2.6. Néhány fontos határérték . . . . . . .
78
2.7. Határozatlansági esetek feloldása . . . .
80
3. Függvényhatárértékek . . . . . . . . . . 3.1. Függvény határértéke
. . . . . . . .
83 83
3.2. Határértékekkel végzett műveletek . . .
87
3.3. Határértékek tulajdonságai . . . . . .
89
3.4. Fontos határértékek . . . . . . . . .
4. Folytonos függvények
. . . . . . . . . .
4.1. A folytonosság értelmezése
92 96
. . . . . .
96
4.2. Műveletek folytonos függvényekkel . . .
100
4.3. Folytonosság és Darboux tulajdonság . .
101
5. Deriválható függvények . . . . . . . . . .
104
5.1. A derivált értelmezése
. . . . . . . .
104
5.2. A derivált mértani jelentése . . . . . .
109
5.3. Műveletek deriválható függvényekkel . .
110
5.4. Elemi függvények deriváltjai
. . . . .
113
5.5. Összetett függvény deriváltja
. . . . .
115
5.6. Magasabb rendű deriváltak . . . . . .
117
5.7. A differenciálszámítás középértéktételei .
120
5.8. Függvény grafikus képe
. . . . . . .
133
6. A határozatlan integrál . . . . . . . . . .
141
6.1. Primitív függvény. A határozatlan integrál
141
6.2. Primitiválható függvények
145
. . . . . .
6.3. A parciális integrálás módszere
. . . .
149
6.4. Első helyettesítési módszer . . . . . .
152
6.5. Második helyettesítési módszer
. . . .
157
6.6. Törtfüggvények integrálása . . . . . .
159
7. A határozott integrál . . . . . . . . . . .
174
7.1. Riemann-integralható függvények
. . .
174
7.2. Integrálható függvények tulajdonságai . .
180
7.3. A parciális integrálás módszere
. . . .
182
. . . . . .
185
7.4. Első helyettesítési módszer
7.5. Második helyettesítési módszer
. . . .
187
7.6. Középértéktételek . . . . . . . . . .
189
7.7. Az integrálszámítás alaptétele . . . . .
192
7.8. A határozott integrál alkalmazásai
194
. . .
1. Vektorok 1.1. Irányított szakaszok. Vektorok Irányított szakaszok
.
rtelmezés. Az (A,B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB . rtelmezés. Az AB és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB∼CD ), ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek. Megjegyzés. Ha AB∼CD, akkor az AB szakaszt párhuzamos eltolással aCDszakaszra lehet helyezni. Tulajdonság. Az irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz . AB∼AB (reflexív), . ha AB∼CD , akkor CD∼AB (szimmetrikus), . ha AB∼CD és CD∼EF , akkor AB∼EF (tranzitív). .
.
.
AB és CD pontosan akkor D ekvipolensek, ha ABDC B C
A. A
CB
egy paralelogramma vagy az A,B,C,D pontok kollineárisak és az [AD], [BC] felezőpontja megegyezik.
D
. 1
.
Vektorok
rtelmezés. Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük. Jelölés. Az AB irányított szakasz által meghatáro-
− − →
zott vektort AB -vel } jelöljük: { (vagy egy kisbetűvel)
− − → AB= CD| CD∼AB . − − → − − → Megjegyzés. Ha AB∼CD , akkor AB=CD . − − → − − → − Az → u =AB=CD jelöléssel az AB (vagy a − CD ) az → u egy reprezentánsa. − rtelmezés. Az → u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő − és |→ u |-val jelöljük.
− − →
rtelmezés. A nulla hosszúságú AA vektort nullvektornak nevezzük.
− − → − − →
− − →
rtelmezés. Az AB és CD vektorok egyenlőek
− − →
(jelölés: AB=CD ), ha az AB és CD irányított szakaszok ekvipolensek. Megjegyzés. Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk. . reprezentáns létezése) Tétel. (Adott kezdőpontú − Ha adott az → u vektor és egy tetszőleges M pont,
akkor létezik egyetlen olyan M ′ pont, amelyre
−−−→ → − u =M M ′ .
Következmény.
Az egyértelműség alapján, ha
− − → − − → M A=M B , akkor A=B . 2
Az irányított szakaszok halmaza
C
→ − u = D
A
B
G H
→ − v F =
E
− − → − − → − − → . − − A mellékelt ábrán → u =AB=CD=..., → v =EF =
− − → − − =GH=..., CD az → u egy reprezentánsa, EF a → v − − → − − →
egy reprezentánsa, AB=CD .
1.2. Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása
.
− − Az → u és → v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg. . (Háromszög-szabály): egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az .
−−→ → − − → − M N =− u majd az N P =→ v vektorokat. − − →
.
.
− − Ekkor az → ⃗ +⃗ v =M P u és → v összege az u vektor. (Paralelogramma-szabály): ha u ⃗ és ⃗ v nem kollineárisak, egy tetszőleges M pontból ki−−→ − − → − M P =→ v vektorokat, majd az M N QP − − paralelogrammát. Ekkor az → u és → v összege − − → az u ⃗ +⃗ v =M Q vektor.
− u és az indulva megszerkesztjük az M N =→
3
⃗ v .
u ⃗
N u ⃗ M
N
⃗ v P
u ⃗
v ⃗ ⃗+ u
v ⃗ ⃗+ u
M
Háromszög-szabály
⃗ v
Q P
Paralelogrammaszabály
A vektorok összeadásának . tulajdonságai
− − → rtelmezés. Az AB vektor ellentétes vektora a − − → − − → −AB=BA vektor. Tulajdonság. A vektorok összeadásának tulajdonsá-
b, ⃗ a, ⃗ c tetszőleges vektorok): gai (⃗ . asszociatív: (⃗ a+⃗ b)+⃗ c=⃗ a+(⃗ b+⃗ c); .
.
.
.
.
.
.
kommutatív: ⃗ a(+⃗ b=⃗ b+⃗ a; ) a nullvektor
⃗ 0
az összeadás semleges
eleme: ⃗ a+⃗ 0=⃗ 0+⃗ a=⃗ a; minden ⃗ a vektornak van ellentettje (−⃗ a): ⃗ a+(−⃗ a)=(−⃗ a)+⃗ a=⃗ 0.
Feladat. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén
− − → − − → − − → −−→ M A+M C=M B+M D . M. Az ABCD paralelogrammában − − → − − → − − → − − → − − → − − → AB=DC=−CD és AD=BC=−CB . − − → − − → B C M A+M C= M − − → − − → =(M B+BA)+ . −−→ − − → +(M D+DC)= A D 4
− − → −−→ − − → − − → − − → −−→ =M B+M D+BA+DC=M B+M D . Vektorok kivonása
.
− − Az → ⃗ −⃗ v =⃗ u+ u és → v vektorok különbségén az u (−⃗ v ) vektort értjük és a következőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva −−→
− − →
− − felvesszük az M N =→ u és M P =→ v vektorokat. − − → ⃗ −⃗ v =P N . Ekkor u ⃗ v .
u ⃗
N u ⃗
u ⃗− ⃗ v
M
⃗ v
Tetszőleges M,N,P pontok esetén
−−→ − − → M N −M P = −→ − − → − − → P − M N + P M =P N .
− − → − − → Feladat. Az ABC háromszögben az AB+AC és − − → − − → AB−AC vektorok modulusza egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög derékszögű! − − → − − → M. Az AB+AC megszerkesztése érdekében megrajzol− − → − − → − − → juk az ABDC paralelogram-mát: AB+AC=AD , − − → − − → − − → így |AB+AC|=|AD|=AD . − − → − − → − − → − − → A C AB−AC=AB+CA= − − → − − → − − → így CA+AB=CB , − − → − − → − − → |AB−CA|=|CB|= . CB . B D − − → − − → − − → − − → |AB+AC|=|AB−AC|⇒AD=BC , vagyis az ABCD paralelogramma egy téglalap. Tehát ◦ \ m(BAC)=90 . 5
. Vektor szorzása valós számmal
⃗ egy vektor és α egy valós szám. Legyen u ⃗ ̸=⃗ 0 vektornak az α∈R∗ számrtelmezés. Az u mal való szorzatán azt a α⃗ u-val jelölt vektort értjük, amely . azonos állású u ⃗ -val; . ha α>0, akkor azonos irányú, ha α<0, akkor ellentétes irányú u ⃗ -val; . hossza |α|·|⃗ u|-val egyenlő. .
.
.
Ha u ⃗ =⃗ 0 vagy α=0, akkor α·⃗ u=⃗ 0. Vektorok és valós számok szorzásának tulajdonságai .
⃗, ⃗ v vektorok és α,β vaTulajdonság. Tetszőleges u lós számok esetén . (α+β)⃗ u=α⃗ u+β⃗ u; . α(⃗ u+⃗ v )=α⃗ u+α⃗ v; . α(β⃗ u)=(αβ)⃗ u; . 1·⃗ u=⃗ u; . (−α)⃗ u=α(−⃗ u)=−(α⃗ u). .
.
.
.
.
Feladat. Legyen M a [BC] felezőpontja és A egy tetszőleges pont a síkban. Igazoljuk, hogy
− − → 1 (− − → − − →) AM = AB+AC . 2 M. A háromszög-szabály alapján { − − → − − → − − → AM =AB+BM − − → − − → − − → AM =AC+CM
6
− → ⊕ − ⇒2AM =
− → − − → − − → − − → − − → − − → − =AB+AC+BM +CM =AB+AC, | {z } =⃗ 0 − − → 1 (− − → − − →) ahonnan AM = AB+AC . 2 Feladat. Az E , F , G, H pontok az ABCD négyszög [BC], [DA], [AB] illetve [CD] oldalainak a − − → − − → − − → felezőpontjai. Bizonyítsuk be, hogy EF +HG=CA. − − → − − → 1− − → M. G az [AB] felezőpontja, így AG=GB= AB . 2 1 − − → − − → − − → Hasonlóan, BE=EC= BC , 2 − − → − − → 1− − → − − → 1− − → − − → CH=HD= CD , DF =F A= DA. 2 2 − − → − − → D EF +HG= F − − → − − → − − → . =(EC+CD+DF )+ A − − → − − → − − → H (HD+DA+AG)= G − − → − − → − − → =(CD+DA)+(EC+ − − → − − → − − → B E C HD+DF +AG)= − − → 1− − → 1− − → 1− − → 1− − → =CA+ BC+ CD+ DA+ AB= 2 2 2 2 − → − − → − − → − − →) − − → 1 (− BC+CD+DA+AB = =CA+ 2 − → − − → 1 ⃗ − =CA+ ·0=CA. 2 7
3. Trigonometria 3.1. A trigonometria elemei Szög-mértékegységek . rtelmezés. Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π≈3,1415-tel egyenlő. rtelmezés. A kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián. Megjegyzés. Egy szögnek fokban illetve radiánban
180
α =
való mértéke közt fennáll az
xr
összefüg-
π
gés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radiánban kifejezett mértéke.
II.
Pπ/2
P2π/3 P5π/6 Pπ
.
O
P7π/6 P4π/3 III.
I.
Pπ/3 Pπ/6 A P0 P11π/6 P5π/3 P3π/2
37
IV.
A trigonometrikus kör . rtelmezés. Adott egy xOy derékszögű koordinátarendszer. Az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük. Jelölés. Legyen t∈R egy szám. Ekkor egyetlen olyan Pt -vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely
\t )=t. m(AOP
Szinusz és koszinusz
.
Legyen t egy valós szám és Pt a hozzátartozó pont a körön. rtelmezés. A Pt pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sint. rtelmezés. A Pt pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost.
ctgt Pt sint
. t O cost
.
A
O
38
Pt t
T tgt A
T′
Tangens és kotangens . rtelmezés. Az x=1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszintes egyenest pedig kotangens-tengelynek nevezzük. } {
π
+kπ| k∈Z , Pt a 2 t-nek megfelelő pont és T az OPt egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt. rtelmezés. Ha t∈R\{kπ| k∈Z}, Pt a tnek megfelelő pont és T ′ az OPt egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T ′ abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctgt. rtelmezés. Ha t∈R\
Fontosabb értékek
x
.
π
π
π
π
6 1 2 √ 3 2 √ 3 3 √ 3
4 √ 2 2 √ 2 2
3 √ 3 2 1 2 √ 3 √ 3 3
2
0
sinx
0
cosx
1
tgx
0
ctgx
|
1 1
39
1 0 | 0
Fontosabb értékek
2π
x sinx cosx tgx ctgx
.
3π
5π π 3 4 6 √ √ 3 2 1 0 2 2 2 √ √ − 1 − 2 − 3 −1 2 2 2 √ √ − 3 −1 − 3 0 3 √ √ 3 − −1 − 3 | 3
Visszavezetés az első negyedbe .
x∈C2 x∈C3 sinx=sin(π−x) sinx=−sin(x−π) cosx=−cos(π−x) cosx=−cos(x−π) tgx=−tg(π−x) tgx=tg(x−π) ctgx=−ctg(π−x) ctgx=ctg(x−π) x∈C4 sinx=−sin(2π−x) cosx=cos(2π−x) tgx=−tg(2π−x) ctgx=−ctg(2π−x)
40
1. Valós számok, valós számhalmazok rtelmezés. Az A⊆R halmaz véges, ha létezik egy n természetes szám és egy f :A→{1,2,...,n} bijektív függvény. rtelmezés. Az A⊆R hamaz alulról korlátos, ha létezik olyan m∈R, amelyre m≤x, ∀x∈A. Az m az A egy alsó korlátja. rtelmezés. Az A⊆R hamaz felülről korlátos, ha létezik olyan M ∈R, amelyre M ≥x, ∀x∈A. Az M az A egy felső korlátja. rtelmezés. Ha A̸=∅ alulról korlátos, akkor A alsó korlátai között van egy legnagyobb, melyet az A alsó határának vagy infimumának nevezünk és h=infAval jelölünk. Tétel. Legyen ∅̸=A⊆R. Egyenértékű a következő két állítás: . 1. h∈R az A alsó határa; 2. a≥h, ∀a∈A és ∀ε>0, ∃aε ∈A, amelyre aε
0, ∃aε ∈ A, amelyre aε >H−ε. 62
Az R halmaz lezártja
.
rtelmezés. Ha az A halmaz alulról (felülről) nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó (felső) határa −∞ (+∞). Az R=R∪{−∞,+∞} halmazt az R lezártjának nevezzük. Tulajdonság. Az R halmazon végzett műveletek” tu” lajdonságai: . x+(+∞)=(+∞)+x= .
. .
. .
. .
.
.
=(+∞)+(+∞)=+∞, ∀x∈R; x−(+∞)=−(+∞)+x= x+(−∞)=(−∞)+(−∞)=−∞, ∀x∈R; x·(+∞)=(+∞)·x= { +∞, ha x>0 ; −∞, ha x<0 x x = =0, ∀x∈R; +∞ −∞ ∞·∞=(−∞)·(−∞)=∞, ∞·(−∞)=−∞.
Valós szám környezete . rtelmezés. Az x0 valós szám egy környezete egy olyan halmaz, amely tartalmaz egy olyan nyílt intervallumot, amelynek eleme x0 . Egy ilyen halmazt V (x0 )-val jelölünk: V (x0 ) környezete x0 -nak⇔∃ε>0 úgy, hogy (x0 −ε,x0 +ε)⊆V (x0 ).
63
Valós szám környezete -. folytatás Tulajdonság. Az x0 valós szám környezeteinek tulajdonságai: . az x0 minden környezete tartalmazza x0 -t; . ha V az x0 egy környezete és V ⊆U , akkor az U is egy környezete az x0 -nak; . az x0 két környezetének metszete szintén környezete x0 -nak; . az x0 egy tetszőleges V környezete esetén létezik az x0 olyan U környezete úgy, hogy V az U minden pontjának is környezete. Tétel. Ha x̸=y , akkor léteznek a Vx és Vy halmazok, Vx környezete x-nek, Vy környezete y -nak úgy, hogy Vx ∩Vy =∅. .
.
.
.
Torlódási pont, izolált pont . Legyen A⊆R egy halmaz. rtelmezés. Az x0 ∈R pontot az A halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha az x0 tetszőleges környezete az A halmaz végtelen sok elemét tartalmazza. Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát A′ -tel jelöljük. rtelmezés. Ha x0 ∈A és x0 nem torlódási pontja A-nak, akkor x0 az A egy izolált pontja.
Példa. Ha A véges, akkor A-nak nincs torlódási pontja, A minden pontja izolált pont. Az A=(a,b) intervallum torlódási pontjainak halmaza A′ =[a,b]. 64
4. Folytonos függvények 4.1. A folytonosság értelmezése rtelmezés. Az f :D→R függvény folytonos az x0 ∈D pontban, ha az f (x0 ) bármely V (f (x0 )) környezetének megfelel az x0 olyan U (x0 ) környezete, amelyre bármely x∈D∩V (x0 ) esetén f (x)∈V (f (x0 )). Tétel. Az f :D→R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x0 ∈D pontban, ha x0 a D izolált pontja vagy lim f (x)=f (x0 ). x→x0 Tétel. (Heine-féle kritérium) Az f :D→R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x0∈D pontban, ha tetszőleges (xn ), xn ∈ . D, lim x =x0 sorozat esetén n→∞ n lim f (xn )=f (x0 ). n→∞ Tétel. Az f :D→R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x0 ∈D pontban, ha ∀ε>0, ∃δ(ε)>0 úgy, hogy ∀x∈D , |x−x0 |<δ(ε) esetén |f (x)−f (x0 )|<ε. rtelmezés. Az f :D→R függvény folytonos a D halmazon, ha f folytonos a D minden pontjában. Tétel. Az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományuk nyílt intervallumain.
96
Feladat.
Igazojuk, hogy { 2 f (x)= x −2x , ha x∈Q x−2 , ha x∈R\Q nem folytonos az x0 =3 pontban!
az
f :R→R, függvény
M. Tekintsünk egy racionális elemekből álló (an ) sorozatot, amelyre an →x0 és egy irracionális elemekből álló (bn ) sorozatot, amelyre bn →x0 .
2 lim f (an )= lim an −2an = n→∞ n→∞ 2 3 −2·3=3 lim f (bn )= lim bn −2= n→∞ n→∞ 3−2=1. A Heine-féle kritérium alapján f nem folytonos x0 =3-ban. Ekkor
Jobb és bal oldali folytonosság . rtelmezés. Az f :D→R függvény balról folytonos az x0 ∈D pontban, ha x0 a D izolált pontja vagy lim f (x)=f (x0 ).
x→x0 x<x0
rtelmezés. Az f :D→R függvény jobbról folytonos az x0 ∈D pontban, ha x0 a D izolált pontja vagy lim f (x)=f (x0 ).
x→x0 x>x0
97
Szakadási pontok
.
rtelmezés. Ha az f :D→R függvény az x0 ∈D pontban nem folytonos, akkor f szakadásos az x0 pontban és x0 szakadási pont. rtelmezés. Ha ∃ lim f (x)=l∈R, de
x→x0 l̸=f (x0 ), akkor x0 megszüntethető szakadási
pont. rtelmezés.
Ha ∃ lim f (x)=lb ∈R, x→x0 x<x0 ∃ lim f (x)=lj ∈R, de lb ̸=lj , akkor x→x0 x>x0 x0 elsőfajú szakadási pont. rtelmezés. Minden más szakadási pont másodfajú szakadási pont.
Példa. f :R→R,
2x−1 , ha x<1 0 , ha x=1 x 2 , ha x∈(1,2) f (x)= x+1 , ha x∈[2,3] 1 , ha x∈(3,∞) x−3 f folyt. (−∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,∞)-n. lim f (x)= lim f (x)=1, f (1)=0⇒ x↗1 x↘1 ⇒x0 =1 megszüntethető szakadási pont. lim f (x)=4, lim f (x)=3⇒ x↗2 x↘2 ⇒x1 =2 elsőfajú szakadási pont. lim f (x)=4, lim f (x)=+∞⇒ x↗3 x↘3 98
⇒x2 =3 másodfajú szakadási pont. Feladat. Tanulmányozzuk az f :R→R, sinx , ha x<0 x f (x)= , ha x=0 1 2 x −2x+2 , ha x>0 folytonosságát az x0 =0 pontban.
függvény
lim f (x)= x↗x0 =limx↘x f (x)=f (x0 ) egyenlőségsor. 0 sinx =1 lim f (x)= lim x↗x0 x↗0 x ⇒ 2 lim f (x)= lim x −2x+2=1 x↘x0 x↘0 f (x0 )=f (0)=1 lb (x0)=lj (x0)=f (x0)⇒f folyt. x0 -ban. Feladat. Határozzuk meg az a∈R paraméter értékét úgy, hogy f folytonos legyen R -n, ahol f :R→R, { ax2 +x+a+1 , ha x<1 f (x)= . 2 x +ax−2 , ha x≥1 M. Megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a
M. Az f folytonos a (−∞,1) és (1,∞) intervallumokon (az elemi függvények folytonosak), tehát csak
x0 =1-ben kell vizsgálni a folytonosságot. 2 lim f (x)= lim ax +x+a+1=2a+2 x↗x0 x↗1 2 lim f (x)= lim x +ax−2=a−1 x↘x0 x↘1 f (x0 )=f (1)=a−1 ⇒2a+2=a−1⇒a=−3. 99
