GEOMETRI TRANSFORMASI MATERI “TRANSFORMASI BALIKAN”
DISUSUN OLEH : KELOMPOK IV
1. Retno Fitria Pratiwi ( 2010 121 179 ) 2. Nanda Wahyuni Pritama ( 2010 121 140 ) 3. Verawati (2010 121 173 ) KELAS : 5 D Dosen Pengasuh : Malalina, M.Pd
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan karunia rahmat, hidayah serta nikmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas makalah Geometri Transformasi ini. Makalah ini disusun oleh kelompok IV sebagai tugas kelompok mata kuliah Geometri Transformasi. Makalah Geometri Transformasi ini membahas materi Transformasi Balikan. Di dalamnya sedikit memberikan pembahasan tentang ketentuan dan sifat-sifat serta teorema-teorema dalam transformasi balikan, di antaranya diambil dari buku dan internet. Dalam pembuatan makalah ini, penulis menyadari masih banyak terdapat kekurangan, oleh karena itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari semua pihak. Dan penulis mengharapkan agar makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua dalam menambah wawasan dan pengetahuan.
Palembang, Desember 2012 Penulis
Kelompok IV
i
DAFTAR ISI Kata Pengantar ...................................................................................................... i Daftar Isi ............................................................................................................... ii
BAB I. Pendahuluan 1.1 Latar Belakang ..................................................................................................1 1.2 Maksud dan Tujuan ..........................................................................................1
BAB II. Pembahasan Ketentuan dan Sifat-sifat ................................................................................…...2 Teorema 1............................................................................................................... 3 Teorema 2............................................................................................................... 4 Teorema 3............................................................................................................... 6 Teorema 4............................................................................................................... 7
BAB III Kesimpulan ……………………………………………………….……11 Daftar Pustaka ……………………………………………………………….…. 12
ii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembelajaran pada saat ini , pembelajaran tidak hanya diberikan oleh guru,tetapi dengan kemajuan teknologi pelajar diharapkan bisa mandiri dan bermotivasi mencari bahan pembelajaran dan mendiskusikannya. Oleh karena itu, Mata Kuliah Geometri Transformasi ini pembelajarannya dilakukan dengan model diskusi presentasi kelompok. Makalah ini dibuat sebagai hasil diskusi kelompok kami tentang materi Transformasi Balikan yang dipresentasikan.
2.2 Maksud dan Tujuan Maksud dan tujuan makalah ini adalah untuk: 1. Menyelesaikan tugas kelompok mata kuliah Geometri Transformasi. 2. Mengetahui ketentuan dan sifat-sifat dalam transformasi balikan. 3. Mengetahui teorema-teorema transformasi balikan.
1
BAB II PEMBAHASAN TRANSFORMASI BALIKAN KETENTUAN DAN SIFAT-SIFAT Apabila g sebuah garis dan refleksi pada garis g, maka (P) = P. Dapat ditulis juga = .
Jadi, adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I, sehingga I (P) = P, ∀P.
Buktikan bahwa I adalah suatu transformasi. . . ? Jawab : 1. Dengan cara Injektif.
Yaitu harus ditunjukan ∀ , ∈ , ≠ ⇒ ≠
Bukti:
Ambil , ∈ dengan ≠ menurut definisi identitas
∈ ⇒ =
∈ ⇒ = karena ≠ maka:
≠ Jadi, I injektif
2
2. Dengan cara Surjektif
Yaitu harus ditunjukan ∃ ∈ ∃ =
Bukti:
∃ ∈ ∃ = ambil ∈
menurut definisi indentitas jika ∈ maka:
= = sehingga
∀ ∈ ∃ ∈ ∃ = = =
Jadi, I surjektif.
Jika I suatu transformasi maka akan berlaku sifat-sifat berikut: Jika T suatu transformasi maka , TI (P) = T [ I (P) ] = T (P) Jadi TI = T. Begitu pula IT (P) = I [ T (P) ] = T (P) Jadi IT = T sehingga TI = IT = T Dengan demikian transformasi identitas berperan sebagai bilangan 1 dalam himpunan transformasi-transformasi. Dalam himpunan bilangan-bilangan real dengan operasi perkalian pada setiap x≠0 ada balikan
sehingga
=
. = 1.
Maka transformasi balikan T ini dapat ditulis sebagai #
Jadi ##
=#
# = .
3
TEOREMA 1 “Setiap transformasi T memiliki T balikan”
Apabila T transformasi akan dibuktikan bahwa T memiliki balikan. Misalkan balikan T adalah L maka TL = LT = I Maka T [L(x)] = X Jadi L(x) adalah prapeta dari X Diperoleh: T [L(x)] = X atau TL(x) = X Karena (TL) (x) = X maka, Menurut definisi: I(x) = X (TL) (x) = I(x) = X Jadi, TL = I
Akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi. Dari definisi L jelas L suatu fungís yang surjektif, Andaikan L ($ ) = L($)
dan andaikan T(% ) = $ , T(% ) = $ dengan L($ ) = % dan L($) = % Oleh karena T suatu transformasi maka % = %
Kita peroleh $ = $
Akibatnya, ada balikan dari T, sehingga diperoleh &$ = &$
$ = $ sehingga L injektif
Dengan demikian, terbukti bahwa L merupakan fungsi bijektif. Jadi L adalah suatu transformasi. Transformasi L ini disebut balikan dari transformasi T dan dilambangkan dengan & = #
. Jadi & = #
4
.
Contoh Soal 1. Ada dua garis g dan h yang sejajar dan titik A. Padanan S ditentukan sebagai: S (P) = PA ∩ h , ∀P ( g
T (Q)= QA ∩ g, ∀Q ( h Jadi, daerah asal S adalah garis g, dan daerah asal T adalah garis h Sedangkan, daerah nilai S adalah garis h, dan daerah nilai T adalah garis g
T(Q)
g
P
A
S (P)
Q
h
Untuk P ( g, maka (TS)(P) = T [S(P)] = P = I (P).
Untuk Q ( h, maka (ST)(Q) = S [T(Q)] = Q = I (Q). Sehingga TS = ST = 1 Ini berarti T balikan dari S, dan S balikan dari T.
2. Pada suatu sistem orthogonal X 0 Y didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut:
Untuk ∀P (x,y), F (P) = (x + 2. y) dan G (P)=(x-2, 2y) Sehingga (FG) (P) = F [G(P)] = F[(x-2, 2y) = (x,y) = P
Dan (GF)(P) = G [F(P)] = G [(x+2, y)] = (x, y) = P
Jadi (FG)(P) = (GF)(P) = P = I (P), ∀P atau FG = GF = I
Jadi F dan G balikan satu sama lain. Kita tulis lagi G = )
5
TEOREMA 2 “Setiap Transformasi Memiliki Hanya Satu Balikan” Andai T suatu transformasi dengan dua balikan * dan * . Maka (T* )(P) = (* T)(P) = I(P),
Sehingga (T* )(P) = (T* )(P)
∀P dan (T* )(P) = (* T)(P) = I(P),
T[* (P)] = T[* (P)].
Karena T transformasi maka * (P) = * (P),
Jadi balikan T adalah * = * = *.
∀P.
∀P. Sehingga * = *.
TEOREMA 3 “Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri”
Apabila pencerminan pada garis g, Jika (X) = Y, X ( g
maka [ (X)] = X atau ( ) (X) = I (X),
Jadi o = I.
∀X ( g.
Apabila X ( g, maka (X) = X
sehingga (X) = [ (X) ] atau juga o = I.
Jadi untuk setiap X diperoleh : o = I
Dengan demikian =
Definisi : Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu involusi. Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu # dan *
. Komposisi transformasi, yaitu T o S adalah juga suatu transformasi. Jadi
ada balikan # o S .
6
TEOREMA 4 Apabila T dan S transformasi-transformasi maka - . /
0
= 1 0. 2
0
Pembuktian
Kita telah mengetahui bahwa # o S Tetapi *
oT
o (T o S) = *
o (T o S) = I.
o (#
o T) o S = *
oIoS=*
o S = I.
Oleh karena suatu transformasi memiliki hanya satu balikan maka # o S
=*
oT
Jadi, hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi dengan urutan yang terbalik.
Contoh Soal 1. Sederhanakanlah 4
Jawab: 4
= 4 = 4
2. Sederhanakanlah: a. 5 4 67879:
a. 5 4
b. 4 4
= ;5 4 <
= 5 4
= 4 5
= 54
7
b. 4 4 5
= ((4 4 5
=
=
=
4 4 5 5
5
4 4 4
= 5 4
=> =?
, @A +
C> C?
=G =?
, @A +
CH CA
6. a ) VA (B) = ( XA +
= ( 2+
=(0,6)
,3 +
E F
b ) VA ( P )= ( XA + =
,3 +
= ( 2+
=I CIF ,
=(
C F
4
)
C ) Ambil sembarang tititk P ( X2 , Y2 ) Jarak P k Q adalah PQ = J$
=K
+ @ − @
=K I CK IF ,
UA ( P ) =
UA ( Q )= (
=M I
,
CM IF
)
Sehingga jarak P ‘ ke Q ‘ adalah OMPM Q
P’ Q’ = JN
−Q
OKPM
R +N
−Q
CKPS
R
CMTUK
OMTM
= JN
CMPS Q
R +N
R
Karena PQ ≠ P’ Q’ Maka uA tidak mengantikan jadi, UA bukan isometri. A mbil sembarang titik P ( X,Y ) UA (P) = N
=KPM
,
=KPM
UA (P’)= UA N =V
I
WKPM M
C IF R
,, ,
C IF R SPUKPS M
X
WKPY M
= V
UKPZ M
,
=KPY [
= N
,
X
C I\ R≠ [
$, @
Jadi UA bukan involusi.
d ) Andaikan ] UA _]
A
A p b= P
(p) = 7 + 9 , 9 + ^
UA7 + 9 , 9 + ^ Ic=Pd
FIefIg R
,
=N
↓
= $, @
↓
X
y
Ax+ c = 2x-2 Dan by + d = 2y – 3 Jadi koordinat ]
A
(p) = 7 + 9 , 9 + ^= i2 − 2, 2 − 3Q
7. a) 8 HklmW,U =W n$, @|3p (x,y) =( X9 +
=G =m
O F
=( 3+ = b) 8
9
OIF
(P)
, @q
,
,y =7 + 9 , 9 + ^
Maka 8
;rTK s <
c=PdPS
, 9 + ^
=P
= 8 7 + 9 , 9 + ^ = (x,y) = N
c=PdPS
R = ,
= ^7t 9 + ^ =
8
9
=7 + 9 , 9 + ^
(P)
= 2X-3 ,y
8. Menurut teorema 6. #u* Sehingga #&*
=*
= i#&* ] =* =*
&
#
10. ]Avm ( D) = (-3,4) ↔ x =A (-3,4) ↔ D = 5 [ VA(-3,4) ]
↔ y = 5 [2.(-3),2(4) ]
↔ y = − 6, 8 ↔ y = N−6 ,
| R
↔ y = −6, 2
10
O#
#&
BAB III KESIMPULAN Dari penjelasan-penjelasan yang telah diterangkan maka dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut:
1. Setiap transformasi T memiliki balikan. 2. Setiap transformasi memiliki hanya satu balikan. 3. Balikan setiap penceminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri 4. Apabila T dan S transformasi-transformasi maka # o S
11
=*
oT
DAFTAR PUSTAKA Rawuh. 1992. Geometri Transformasi. Bandung : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.
12
