BAB II Galat & Analisisnya
FTI-Universitas Yarsi
Galat - error • Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang b benar) )d darii penyelesaian l i analitis. liti • Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan terhadap nilai eksak • Ada 3 macam kesalahan dasar; 1 Galat bawaan 1.Galat 2.Galat pemotongan 3 Galat pembulatan 3.Galat FTI-Universitas Yarsi
Galat Relatif dan Absolut • Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui) dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya. • Hubungan antara nilai eksak (nilai sebenarnya), nilai perkiraan danxkesalahan = x + e diberikan dalam bentuk : dimana : xx = nilai eksak = pendekatan d k pd d nilai il i sebenarnya b e = kesalahan 3 FTI-Universitas Yarsi
e kesalahan absolut e = x−x Kesalahan absolut tidak menunjukkan j besarnya y tingkat g kesalahan. Contoh : Kesalahan 1 cm pd pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan.
Kesalahan relatif kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan galat absolut dibagi nilai sebenarnya
εe =
e x 100 % x
• Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis • Metode numerik nilai eksak tidak diketahui • Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak) 4 FTI-Universitas Yarsi
εa =
ε x 100 % x
• x nilai p perkiraan terbaik • Dalam metode numerik pendekatan iteratif • Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan sebelumnya, b l sehingga hi :
εa =
x
n +1
x
−x
n +1
n
x 100 %
• dimana : n • x = nilai perkiraan pada iterasi ke n n +1 • x = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1
5 FTI-Universitas Yarsi
Contoh-2 : Hasil pengukuran sebuah jembatan = 9.999 cm Hasil pengukuran sebuah paku = 9 cm Jika nilai sebenarnya berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, Hitung Kesalahan dan Kesalahan relatif persen dari kedua hasil pengukuran diatas. Kesalahan: J b t : Et = 10.000 Jembatan 10 000 – 9.999= 9 999 1 cm Paku : Et = 10 – 9 = 1 cm Kesalahan relatif: Jembatan : et = 1/10.000 * 100%= 0,01% Paku : et = 1/10 * 100% = 10%
Kesimpulan : FTI-Universitas “Hasil Pengukuran Jembatan lebih baik dari hasil pengukuran paku” Yarsi
Kesalahan Relatif Persen Aproksimasi p ((ea) ea = (Kesalahan Aproksimasi / Aproksimasi ) * 100 % = (Aproksimasi sekarang - Aproksimasi sebelumnya) / A k i Aproksimasi i sekarang k * 100 % Pada proses iterasi, iterasi dihentikan jika telah memenuhi kondisi
|ea| < es Dimana es
= tingkat kesalahan yang masih dapat diterima
Hubungan es dengan angka signifikan
es = (0,5 (0 5 * 1022-nn) % FTI-Universitas Yarsi
Contoh : (Taksiran Kesalahan Metode Iterasi): Dalam matematika fungsi-fungsi dapat dinyatakan dalam deret tak hingga. Jadi, jika lebih banyak suku ditambahkan kedalam deret maka aproksimasi menjadi taksiran yang jauh lebih baik. Misal ingin menaksir nilai ex, dengan x=0,5 mengunakan 0 5 = 1.648721271) pendekatan deret deret, menggunakan 3 angka signifikan (e0,5 1 648721271)
x2 x3 x 4 e = 1+ x + + + + ... 2! 3! 4! x
Taksiran ke-1 ke 1
ex = 1
e 0 ,5 = 1
et =
1,648721271 − 1 * 100 % = 39 ,3 % 1,648721271
Taksiran ke-2
ex = 1+ x e 0 , 5 = 1 + 0,5 = 1,5
et =
1,648721271 − 1,5 * 100 % = 9,02 % 1,648721271 FTI-Universitas Yarsi
Galat bawaan (Inheren) Galat dalam nilai data •
Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum hukum hukum fisik dari data yang diukur.
Contoh : Pengukuran g selang g waktu 2,3 detik : ¾ Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik. ¾ Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : ¾ 2,3± 2 3± 0,1 01d detik tik ¾ Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik.
FTI-Universitas Yarsi
Galat Pemotongan (Truncation Error) Pengertian galat pemotongan biasanya merujuk pada galat yang disebabkan oleh penggantian ekspresi matematika t tik yang rumit it dengan d rumus yang lebih l bih sederhana. d h I til h ini Istilah i i berawal b l dari d i kebiasaan k bi mengganti suatu fungsi rumit dengan deret Taylor terpotong (hanya diambil berhingga suku). CONTOH Kita tahu bahwa deret konvergen ke nilai 1. Jika hanya diambil 10 suku pertama, maka diperoleh hampiran Dalam hal ini terdapat galat pemotongan sebesar Dari kalkulus kita ketahui bahwa Misalkan diketahui Cos1,5 = 0,070737 . Jika nilai ini dihampiri dengan mengambil empat suku pertama deret tersebut, maka diperoleh hampiran yang senilai Dibulatkan sampai enam angka desimal. Galat hampiran tersebut sebesar 0,000550 = 0,550x10-3 dan galat relatifnya senilai 0,007753 < 0,5x10-1 . Jadi nilai hampiran tersebut benar sampai satu angka signifikan. FTI-Universitas Yarsi
Galat Pembulatan • Akibat pembulatan angka • Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : • Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 hasilnya y 16,4279 , Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi j di 16,428 16 428
FTI-Universitas Yarsi
Galat Pemotongan (Truncation Error) • •
• • • • •
Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik Contoh pada deret Taylor x 3 takx 5berhingga x 7 x 9:
sin x = x −
3!
+
5!
−
7!
+
9!
− ........
Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting FTI-Universitas Yarsi
Deret Taylor •
Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah d l dalam metode t d numerik, ik tterutama t penyelesaian l i persamaan diferensial.
• • •
Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut. Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg terletak p pada jjarak ∆x dari titik 2xi. ∆x ∆x ∆x n ∆x 3
f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f ' ( x i )
1!
+ f "(x i )
2!
+ f '" (x i )
3!
+ ..... + fn ( x i )
n!
+ Rn
f (x i ) dimana : f ( x i+1 )
= fungsi di titik x = fungsi n g di titik x i + 1
f ' , f " , .....f
= turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi
13 FTI-Universitas Yarsi
∆x = jarak antara xi dan xi + 1
R n = kesalahan pemotongan !
= operator faktorial, misal 2! = 1 x 2
pemotongan g Rn : Kesalahan p n +1 n+2 ∆ ∆ x x + f n +2 (x i ) R n = f n +1 ( x i ) + ..... (n + 1))! (n + 2))!
1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama)
f ( x i +1 ) ≈ f ( x i )
Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan 2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama)
∆x f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f ' ( x i ) 1! Berupa garis lurus ( naik/turun )
14 FTI-Universitas Yarsi
3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)
∆x ∆x 2 + f " (x i ) f ( x i +1 ) = f ( x i ) + f ' ( x i ) 1! 2! f(x)
Order 2 Order 1
y
Order 0
i
xi+1
x
Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor. FTI-Universitas Yarsi
Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor
R n = O( ∆x n+1 ) Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n Indek de n +1 kesalahan esa a a pe pemotongan o o ga mempunyai e pu ya o order de n+1 Kesalahan pemotongan akan kecil bila : 1. Interval ∆ x adalah kecil 2 Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor 2. Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan :
2 3 ∆ x ∆ x O(∆x 2 ) = f " ( x i ) + f '" (x i ) + ..... 2! 3! 16 FTI-Universitas Yarsi
