10/14/2010
UJI HIPOTESIS •UJI RATAAN •UJIVARIANSI
MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar Oktober 2010
© 2008 by UM
PENGERTIAN Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya Dalam statistika, hipotesis yang akan diuji dibedakan menjadi: 1. 2.
Hipotesis nol (H0) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=, ≤ , atau ≥) Hipotesis tandingan (H1) ; tandingan hipotesis H0, mengandung tanda , >, atau <. 2
© 2008 by UM
GALAT (ERROR) H0 benar
H0 salah
H0 ditolak
P(menolak H0 | H0 benar) = galat tipe I = α
keputusan benar
H0 tidak ditolak
keputusan benar
P(tidak menolak H0 | H0 salah) = galat tipe II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini
3
© 2008 by UM
1
10/14/2010
SKEMA UMUM UJI HIPOTESIS H0
•Hipotesis yang ingin diuji •Memuat suatu kesamaan (=, ≤ atau ≥) •Dapat berupa - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain
H1
•Hipotesis yang ingin dibuktikan •Disebut juga hipotesis alternatif perbedaan ((≠, > atau <)) •Memuat suatu p
Hipotesis Statistik ???
mungkin terjadi
Keputusan
H0 ditolak
Kesalahan
H0 tidak ditolak
Kesimpulan
Kesimpulan
H1 benar
Tidak cukup bukti untuk menolak H0
© 2008 by UM
Tipe I
Tipe II
Menolak H0 padahal H0 benar P(tipe I) = α = tingkat signifikansi
Menerima H0 padahal H0 salah P(tipe I) = β 4
STATISTIK UJI DAN TITIK KRITIS
Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan dari tabel statistik y yang H0. Diperoleh p g bersangkutan. g H0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis.
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
daerah kritis = /2
daerah penerimaan H0
1- 0
titik kritis © 2008 by UM
daerah kritis
1- titik kritis
titik kritis
5
diperoleh dari tabel statistik
UJI RATAAN SATU POPULASI uji dua arah
1. H0 : = 0 vs H1 : 0 2 H0 : = 0 vs H1 : > 0 2. 3. H0 : = 0 vs H1 : < 0 uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui 6 © 2008 by UM
2
10/14/2010
STATISTIK UJI UNTUK RATAAN SATU POPULASI Kasus σ2 diketahui
1.
Z
X 0 / n
~ N(0,1) N(0 1)
Tabel Z (normal ( l baku) b k )
2. Kasus σ2 tidak diketahui
T
X 0 s/ n
~ t(n-1)
Tabel t 7
© 2008 by UM
DAERAH KRITIS UJI RATAAN SATU POPULASI σ2 diketahui Statistik uji : H0 : = 0 vs H1 : 0
σ2 tidak diketahui
Z
T
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : = 0 vs H1 : > 0
Z > Zα
T > Tα
H0 : = 0 vs H1 : < 0
Z < - Zα
T < - Tα
titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1 8 © 2008 by UM
UJI RATAAN DUA POPULASI uji dua arah
1. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0 2. H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0 3 H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0 3. uji satu arah
0 adalah suatu konstanta yang diketahui 9 © 2008 by UM
3
10/14/2010
STATISTIK UJI UNTUK RATAAN DUA POPULASI Kasus σ12 dan σ22 diketahui
1.
ZH =
2 2.
X2 μ0
1
σ12 σ 22 n1 n 2
K Kasus σ12 dan d σ22 tidak tid k diketahui dik t h i dan d σ12 ≠ σ ≠ 22
T H =
3.
X
X
1
X2 μ0 S12 S22 n1 n 2
Kasus σ12 dan σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22
TH =
X
© 2008 by UM
1
Sp
X2 μ0
dengan
1 1 n1 n 2
S2p =
(n1 1)S12 (n 2 1)S22 10 n1 n 2 2
DAERAH KRITIS UJI RATAAN DUA POPULASI σ 12, σ 22 diketahui Statistik uji :
σ12, σ22 tidak diketahui
Z
T σ12 = σ22
σ12 ≠ σ22 2
Derajat Kebebasan
n1 + n2 - 2
v=
S12 S 22 n1 n 2 2 2 S 22 1 S12 1 (n 1 1) n 1 (n 2 1) n 2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 0
Z < - Zα/2 atau Z > Zα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
T < - Tα/2 atau T > Tα/2
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 > 0
Z > Zα
T > Tα
T > Tα
H0 : 1 - 2 = 0 vs H1 : 1 - 2 < 0
Z < - Zα
T < - Tα
T < - Tα
11
© 2008 by UM
UJI UNTUK RATAAN BERPASANGAN 1. H0 : d = 0 vs H1 : d 0 2. H0 : d = 0 vs H1 : d > 0 3 H0 : d = 0 vs H1 : d < 0 3.
Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui.
T=
D μ0 ; Sd / n
12
© 2008 by UM
4
10/14/2010
CONTOH 1 Berdasarkan 100 laporan kematian di AS yang diambil secara acak, diperoleh bahwa rata-rata usia saat meninggal adalah 71.8 tahun dengan simpangan baku 8.9 tahun. Hal ini memberikan dugaan bahwa rata rata-rata rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun. a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik b. Untuk tingkat signifikansi 5% , benarkah dugaan tersebut? 13 © 2008 by UM
SOLUSI Diketahui Ditanya: 0 70, X 71.8, s 8.9, a. Hipotesis statistik b Kesimpulan uji hipotesis b. Jawab: Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis: H0: μ = 70 H1: μ > 70
0, 05
14
© 2008 by UM
b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t0.05,(99) = 1.66 t
x 0 71,8 70 2, 02 s 8, 9 n 100
Karena t > t0.05,(99) , maka K k tb berada d pada d d daerah h penolakan sehingga keputusannya H0 ditolak. Jadi dugaan tersebut benar bahwa rata-rata usia meninggal di AS lebih dari 70 tahun.
15 © 2008 by UM
5
10/14/2010
CONTOH 2 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan oleh gosokan, dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan 2 diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya k keausan. S Sampel l bahan b h 1 memberikan b ik rata-rata t t keausan k (sesudah disandi) sebanyak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan 2 memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa ratarata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama. 16 © 2008 by UM
SOLUSI Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan 2. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H 0 : μ1 - μ2 = 2 H 1 : μ1 - μ 2 > 2 17 © 2008 by UM
Tingkat keberartian, α = 0.05
x1 85, s1 4, n1 = 12 x 2 =81, s 2 =5, n 2 =10 Kita gunakan statistik uji untuk variansi kedua populasi tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu tH =
x1 x 2 μ 0 Sp
1 1 n1 n 2
dengan Sp =
(n1 1)S12 (n 2 1)S22 (11)(16) (9)(25) 4.478 n1 n 2 2 12 10 2
Maka diperoleh x x2 μ0 (85 81) 2 tH = 1 1.04 1 1 4.478 (1/12) (1/10) Sp n1 n 2
18
© 2008 by UM
6
10/14/2010
Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n1+n2-2 = 12 +10 - 2= 20, sehingga titik kritisnya adalah t0.05,20 = 1.725. Karena t < 1.725, 1 725 maka H0 tidak ditolak. ditolak Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan 2 lebih dari 2 satuan.
19 © 2008 by UM
CONTOH 3 (DATA BERPASANGAN)
Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kira-kira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut
20
© 2008 by UM
© 2008 by UM
N0
Kadar androgen (ng/ml) sesaat setelah disuntik
Kadar androgen (ng/ml) 30 menit setelah disuntik
Selisih (di)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2.76 5.18 2.68 3.05 4.10 7 05 7.05 6.60 4.79 7.39 7.30 11.78 3.90 26.00 67.48 17.04
7.02 3.10 5.44 3.99 5.21 10 26 10.26 13.91 18.53 7.91 4.85 11.10 3.74 94.03 94.03 41.70
4.26 -2.08 2.76 0.94 1.11 3 21 3.21 7.31 13.74 0.52 -2.45 -0.68 -0.16 68.03 26.55 24.66
21
7
10/14/2010
Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.
22 © 2008 by UM
SOLUSI Ini adalah data berpasangan karena masingmasing unit percobaan (rusa) memperoleh dua kali pengukuran Misalkan μ1 dan μ2 masing-masing menyatakan rata rata-rata rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H0 : μ1 = μ2 atau μD = μ1 - μ2 = 0 H1 : μ1 ≠ μ2 atau μD = μ1 - μ2 ≠ 0 Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% = 0.05
23
© 2008 by UM
Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( di ) adalah
d 9.848
dan s d 18.474
Statistik uji j yang y g digunakan g adalah t=
d d0
sd / n Dalam hal ini t=
9.848 0 2.06 18.474 / 15
24
© 2008 by UM
8
10/14/2010
Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n – 1 = 15 – 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H0 ditolak jika t < - t0.025,14 = -2.145 atau t > t0.025,14 = 2.145. Karena nilai t = 2.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t = 2.06 mendekati nilai t0.025,14 = 2.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen tidak bisa diabaikan.
25 © 2008 by UM
UJI HIPOTESIS TENTANG VARIANSI SATU POPULASI
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah 1. H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 2. H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02 3. H 0 : 2 = 02 vs H 1 : 2 02
Dengan 0 menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui 2
26 © 2008 by UM
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah : 2
( n 1) S 2
02
Jika H0 benar, maka statistik uji tersebut berdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan n-1
27 © 2008 by UM
9
10/14/2010
2 2 2 2 Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika :
2 2
1 ,( n 1) 2
atau 2 2 2
,( n 1)
2 2 2 2 Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika
2 12 ,( n 1) 2 2 2 2 Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0 , tolak H0 2 2 pada tingkat keberartian α jika ,( n1)
2 2
,( n 1)
,2
1 ,( n 1) 2
, 2 ,( n 1) , dan 2 ,( n 1) merupakan nilai-
nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kebebasan n - 1
28
© 2008 by UM
UJI HIPOTESIS TENTANG VARIANSI DUA POPULASI
Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah 1. H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22 2. H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22 3. H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22
Dengan σ12 dan σ22 masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke-2 29 © 2008 by UM
Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah F
S 12 S 22
Jika H0 benar, statistik uji tersebut berdistribusi Fisher dengan derajat kebebasan v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 2
30 © 2008 by UM
10
10/14/2010
Untuk hipotesis H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : F f
1 ,( v1 , v2 ) 2
atau F f 2
,( v1 , v2 )
Untuk hipotesis H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : F f1 ,( v1 ,v2 )
Untuk hipotesis H 0 : 12 22 vs H 1 : 12 22 , tolak H0 pada tingkat keberartian α jika : F f ,( v1 ,v2 ) f ,( v ,v ) , f1 ,( v ,v ) , f / 2,( v ,v ) , dan f1 / 2,( v ,v ) adalah nilai-nilai dari tabel distribusi Fisher dengan derajat 31 kebebasan v1 dan v2 1
2
1
2
1
2
1
2
© 2008 by UM
CONTOH 4
Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan p g baku 1.2 tahun,, apakah p anda setuju j simpangan bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%!
32 © 2008 by UM
SOLUSI H0 : σ2 = 0.81 H1 : σ2 > 0.81 α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1.2 Statistik uji ( n 1) s 2 (9)(1.44) (9)(1 44) 2 16 02 0.81 2 2 Titik kritis adalah ,n 1 0.05,9 16.919
Karena 0.05,9 , maka H0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi 0.9 2
2
33 © 2008 by UM
11
10/14/2010
CONTOH 5
Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh 2, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian 0.10.
34 © 2008 by UM
SOLUSI
Misalkan σ12 dan σ22 adalah variansi populasi dari masing-masing keausan bahan 1 dan bahan 2. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H0: σ12 = σ22 H1: σ12 ≠ σ22 α = 0.10
35 © 2008 by UM
Statistik uji f = s12/ s22 = 16 / 25 = 0.64 H0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika f f
atau f f
1 ,( v1 , v2 ) 2
2
,( v1 , v2 )
Dalam hal ini α = 0.10, v1 = n1 – 1 = 12 – 1 = 11 , dan v2 = n2 – 1 = 10 – 1 = 9. Maka f
1 ,( v1 , v2 ) 2
f 0.95,(11.9) 0.34 dan
f 2
Karena f
1 ,( v1 ,v2 ) 2
f f 2
,( v1 ,v2 )
,( v1 , v2 )
f 0.05,(11.9) 3.11
, maka jangan tolak H0.
Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.
36
© 2008 by UM
12
10/14/2010
REFERENSI Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, Inference USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995. Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice 37 Hall, 2007.
© 2008 by UM
13
