Fyzika I - mechanika

Fyzika I - mechanika ´ Uvod Z´akladn´ı fyzik´aln´ı pojmy Fyzika (fysis je ˇrecky pˇr´ıroda) byla p˚ uvodnˇe vˇedou o pˇr´ırodˇe, tedy souhrnem vˇsech pˇr´ırodn´ıch vˇed, kter´e se s postupem dˇejin osamostatnily. Fyzika si vˇsak zachov´av´a u ´stˇredn´ı postaven´ı mezi vˇsemi pˇr´ırodn´ımi vˇedami, jako z´akladn´ı vˇeda s nejvyˇsˇs´ım stupnˇem pˇresnosti a obecnosti. Ostatn´ı pˇr´ırodn´ı vˇedy jsou fyzikou hluboce ovlivˇ nov´any a jejich odliˇsen´ı od fyziky neb´ yv´a ˇcasto jednoduch´e. Pˇredmˇet fyziky lze vymezit n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: Fyzika studuje obecn´ e vlastnosti l´ atek a pol´ı, pˇ ritom vych´ az´ı z pozorov´ an´ı a pokus˚ u. Na tomto z´ akladˇ e dosp´ıv´ a k obecn´ ym kvantitativn´ım z´ akon˚ um, kter´ e uv´ ad´ı v logickou soustavu tak, aby z n´ı na z´ akladˇ e dedukce vypl´ yvaly pozorovan´ e jevy. Vymezen´ı fyziky a chemie: Fyzika studuje pˇredevˇs´ım z´akony vz´ajemn´eho p˚ usoben´ı ˇc´astic a pol´ı, pˇredmˇetem chemie jsou z´akonitosti sluˇcov´an´ı atom˚ u v molekuly (a rozkladu molekul) a studium vlastnost´ı prvk˚ u a jejich slouˇcenin. Modern´ı chemie je vˇeda, kter´a aplikuje fyziku atom˚ u a molekul na prvky a slouˇceniny. Rozdˇelen´ı fyziky podle jednotliv´ ych obor˚ u, tj. podle jev˚ u, kter´e zkoum´a: • mechanika a akustika (nemˇen´ı se struktura molekul) • termodynamika a statistick´a fyzika (jevy podm´ınˇen´e chaotick´ ym pohybem molekul) • fyzika elektronov´eho obalu (elektˇrina a magnetismus, optika, teorie elektromagnetick´eho pole), bere v u ´vahu, ˇze molekuly se skl´adaj´ı z elektricky nabit´ ych ˇc´astic • jadern´a fyzika studuje jevy na u ´rovni atomov´eho j´adra Fyzika formuluje obecnˇe platn´e z´akony. Mnoh´e maj´ı u ´lohu z´akladn´ıch postul´at˚ u nebo princip˚ u. Z´akladn´ı z´asada, j´ıˇz se fyzika ˇr´ıd´ı, ˇr´ık´a: Vˇ sechny fyzik´ aln´ı jevy maj´ı p˚ uvod v materi´ aln´ıch objektech. Z t´eto z´asady plynou z´asadn´ı poˇzadavky na fyzik´aln´ı teorii, napˇr. 1

• Fyzik´aln´ı pojmy jsou definov´any ve vztahu k materi´aln´ım objekt˚ um. • Fyzik´aln´ı z´akony vyjadˇruj´ı vztahy mezi materi´aln´ımi objekty. Pojem fyzik´aln´ı veliˇciny: jednota kvantity a kvality fyzik´aln´ı vlastnosti, jej´ıˇz je m´ırou. Hodnotu nˇejak´e veliˇciny X ve zvolen´ ych jednotk´ach [X] dostaneme jako souˇcin X  XrX s (I) kde ˇc´ıslo X naz´ yv´ame velikost´ı veliˇciny X v jednotk´ach [X]. Kvantita veliˇciny je tedy d´ana ˇc´ıslem X, zat´ımco kvalita jednotkou [X]. ˇ astice a pole: Nositelem vˇsech fyzik´aln´ıch jev˚ u je hmota (materie), C´ kterou rozum´ıme objektivn´ı realitu nez´avislou na naˇsem vˇedom´ı. Materi´aln´ı objekty dˇel´ıme na dvˇe kategorie: l´ atku a pole. Z hlediska kvantov´e fyziky vˇsak hovoˇr´ıme o l´atkov´ ych a poln´ıch ˇc´astic´ıch (kvantech). Hmota m´a tedy dualistickou povahu. Mˇerov´e jednotky a jejich soustavy: Fyzik´aln´ı veliˇciny lze mˇeˇrit, tj. stanovit jejich velikost v dan´ ych jednotk´ach, neboli zjiˇst’ovat poˇcet jednotek v nich obsaˇzen´ ych. Jednotky jsou z´akladn´ı a odvozen´e. Soustava SI (Syst` eme International d’Unit´ es): 7 z´ akladn´ıch jednotek (samostatn´ e studium ˇ ci opakov´ an´ı). Pohyb, prostor a ˇcas v klasick´e mechanice V pˇr´ırodˇe, kter´a n´as obklopuje, pozorujeme neust´al´ y pohyb, tj. pˇrem´ıst’ov´an´ı tˇeles nebo jejich ˇc´ast´ı. Tento pohyb naz´ yv´ame pohybem mechanick´ ym, a obor fyziky, kter´ y ho popisuje, pak mechanikou. Pod mechanick´ ym pohybem rozum´ıme pohyb jednoho tˇelesa v˚ uˇci jin´emu tˇelesu (vztaˇzn´emu tˇelesu). Podle volby vztaˇzn´eho tˇelesa se jev´ı pohyb sledovan´eho tˇelesa r˚ uznˇe. Pohyb je tedy relativn´ı. Vzhledem k obecnosti fyziky by vˇsak z´akony mechaniky mˇely b´ yt formulov´any tak, aby nez´avisely na volbˇe vztaˇzn´eho tˇelesa. Z tohoto hlediska vych´az´ı Einsteinova obecn´a teorie relativity, kter´a vˇsak pro svou obt´ıˇznost nem˚ uˇze b´ yt pouˇzita k ˇreˇsen´ı vˇetˇsiny konkr´etn´ıch probl´em˚ u. Relativistick´ a mechanika pˇredstavuje souˇcasnou etapu v´ yvoje fyzik´aln´ıho pozn´an´ı. Je pokraˇcov´an´ım pˇredchoz´ı etapy, kterou naz´ yv´ame Newtonovou klasickou mechanikou. V souˇcasn´e dobˇe se na newtonovskou mechaniku d´ıv´ame jako na uspokojiv´ y obraz mechanick´eho pohybu tˇeles sloˇzen´ ych z velk´eho poˇctu atom˚ u, jejichˇz rychlosti jsou mal´e ve srovn´an´ı s rychlost´ı svˇetla. 2

U takov´ ych tˇeles se v´ yraznˇeji neprojev´ı ani kvantov´a povaha hmoty a nen´ı tedy tˇreba pˇrihl´ıˇzet ani ke kvantov´e mechanice, kter´a je dalˇs´ı etapou lidsk´eho pozn´an´ı v oblasti mechaniky mikrosvˇeta. Je tˇreba si uvˇedomit, ˇze veˇsker´ y technick´ y a spoleˇcensk´ y pokrok by byl nemysliteln´ y bez klasick´e mechaniky, a proto klasick´a mechanika pˇredstavuje i nad´ale jeden z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch fyzik´aln´ıch obor˚ u. Pro popis mechanick´eho pohybu zav´ad´ı klasick´a mechanika pojem absolutn´ıho prostoru jako kontinua, v nˇemˇz jsou rozm´ıstˇena pohybuj´ıc´ı se tˇelesa. Absolutn´ı prostor nen´ı pˇr´ıtomnost´ı tˇeles ovlivnˇen, vˇsechna jeho m´ısta jsou rovnocenn´a (homogenita prostoru) a vˇsechny smˇery v nˇem jsou rovnocenn´e (izotropie prostoru). Dalˇs´ım z´akladn´ım pojmem je ˇ cas, kter´ y vyjadˇruje posloupnost pohyˇ se v klasick´e mechanice jev´ı jako samostatn´ bov´ ych dˇej˚ u a jejich trv´an´ı. Cas y, nez´avisl´ y na pohybuj´ıc´ıch se tˇelesech a vˇsude stejnˇe plynouc´ı. K ˇc´ıseln´emu vyj´adˇren´ı polohy tˇelesa pouˇz´ıv´ame soustavy souˇradnic spojen´e se vztaˇzn´ ym tˇelesem. Podle symetrie popisovan´ ych pohyb˚ u lze volit r˚ uzn´e souˇradn´e syst´emy. Nejˇcastˇeji pouˇz´ıv´ame pravo´ uhl´ y (kart´ ezsk´ y) syst´ em, tvoˇren´ y tˇremi navz´ajem kolm´ ymi rovinami, kter´e se prot´ınaj´ı v pravo´ uhl´ ych os´ach x, y, z. Pr˚ useˇc´ık tˇechto os O naz´ yv´ame poˇc´atkem vztaˇzn´e soustavy souˇradnic. Poloha nˇejak´eho bodu A v takov´e soustavˇe souˇradnic je pak urˇcena tˇremi souˇradnicemi x, y, z, kter´e ud´avaj´ı jeho vzd´alenost od tˇechto tˇr´ı rovin, kter´e naz´ yv´ame rovinami souˇradnic. Souˇradnice m˚ uˇzeme povaˇzovat za pravo´ uhl´e parametry polohov´eho vektoru ~r (pr˚ uvodiˇce, r´adiusvektoru). Je tedy (viz tak´e obr.I) ~r  px, y, z q (II) Existuj´ı dalˇs´ı souˇradn´e syst´emy. Kruhovou symetrii v rovinˇe dobˇre vystihuj´ı pol´ arn´ı souˇ radnice x  r cos ϕ y  r sin ϕ

(III)

x  r cos ϕ y  r sin ϕ zz

(IV)

uvodiˇce a ϕ kde r ¥ 0 je velikost pr˚ symetrii odr´aˇz´ı v´alcov´e souˇradnice

P x0, 2πy je pol´arn´ı u´hel. V´alcovou

kde r a ϕ maj´ı stejn´ y v´ yznam jako ve (III). Kulovou symetrii vystihuj´ı sf´erick´e souˇradnice

3

y A ~rA

y

O x z z x Obr´ azek I: Poloha bodu A v kart´ezsk´em syst´emu. x  r cos ϕ sin θ y  r sin ϕ sin θ z  r cos θ kde r, ϕ maj´ı v´ yznam (III) a θ

(V)

P x0, πy je u´hel, kter´y sv´ır´a pr˚uvodiˇc s osou z.

Limity platnosti klasick´e mechaniky - shrnut´ı • pˇr´ıtomnost velk´ ych gravitaˇcn´ıch sil (obecn´a teorie relativity) • rychlosti tˇeles se bl´ıˇz´ı rychlosti svˇetla (speci´aln´ı teorie relativity) • pohybov´e dˇeje na u ´rovni mikrosvˇeta, kdy se zaˇc´ın´a projevovat kvantov´a povaha hmoty (kvantov´a mechanika).

4

Kapitola 1

Mechanika hmotn´ eho bodu 1.1

Kinematika hmotn´ eho bodu

´ Ukolem kinematiky je popis pohybu, aniˇz by n´as zaj´ımaly jeho pˇr´ıˇciny. Pokud se pˇri pohybu neuplatˇ nuj´ı vlastn´ı rozmˇery tˇeles, napˇr. v d˚ usledku sr´aˇzek, ˇci vlastn´ı rotace tˇelesa, m˚ uˇzeme m´ısto tˇelesa zav´est abstraktn´ı u ´tvar, u kter´eho pˇredpokl´ad´ame, ˇze veˇsker´a hmota tˇelesa je soustˇredˇena do jedin´eho bodu, kter´ y naz´ yv´ame hmotn´ ym bodem. Hmotn´ y bod je myˇ slen´ y objekt, kter´ y m´ a vlastnosti re´ aln´ eho tˇ elesa, u kter´ eho jsou vˇ sak pominuty vˇ sechny znaky re´ aln´ eho tˇ elesa (d´ elka, tvar atd.), kter´ e se pˇ ri vyˇ setˇ rov´ an´ı mechanick´ eho pohybu neprojevuj´ı. Geometricky je dr´aha, kterou pohybuj´ıc´ı se hmotn´ y bod v prostoru opisuje, urˇcena polohov´ ymi vektory vˇsech bod˚ u, kter´e hmotn´ y bod pˇri sv´em ´ pohybu prob´ıh´a. Upln´ y popis pohybu hmotn´eho bodu z´ısk´ame, ud´ame-li ˇcasovou z´avislost polohov´eho vektoru, tedy vˇsech jeho souˇradnic (obr.I). ~r  ~rptq x  xptq y  y ptq z  z ptq

(1.1) (1.2)

K popisu ˇcasov´eho pr˚ ubˇehu pohybu hmotn´eho bodu zav´ad´ı kinematika veliˇciny rychlost a zrychlen´ı. Doˇslo-li v ˇcasov´em intervalu pt1 , t2 q k pˇrem´ıstˇen´ı hmotn´eho bodu z polohy B do polohy C, probˇehl tento bod dr´ahu ∆s  s2
s1 za ˇcas ∆t  t2
t1 . Pod´ıl s 2
s1 ∆s v12  (1.3)  t2
t1 ∆t 5

y

∆s ∆~r

B ps 1 , t 1 q A ~rB

Cps2 , t2 q ~rC  ~rB ∆~r ∆~r  ~rC
~rB

~rC

O x z (a) d~r B

p p  


q q

~rB

d~r

~rB

O

(b)

Obr´ azek i: Pohyb hmotn´eho bodu. urˇcuje pr˚ umˇ ernou rychlost hmotn´eho bodu mezi polohami B a C. Zn´azorn´ıme-li okamˇzitou d´elku dr´ahy s od m´ısta A (obr.??) v z´avislosti na ˇcase t, dostaneme ˇcasov´e rozvinut´ı neboli graf pohybu (obr.ii). Pod´ıl ∆s{∆t ud´av´a tg α. Budeme-li zmenˇsovat interval ∆t , bude se bod C bl´ıˇzit bodu B a z´aroveˇ n se u ´hel α bude bl´ıˇzit mezn´ı hodnotˇe α0 , jehoˇz tangenta ud´av´a smˇernici teˇcny ke kˇrivce sptq v okamˇziku t1 a m´a v´ yznam velikosti okamˇzit´e rychlosti 6

s α C s2

α0

B s1

t1

t

t2

Obr´ azek ii: Z´avislost d´elky dr´ahy na ˇcase v diagramu. hmotn´eho bodu v ˇcase t1 v

∆s  ∆tlim Ñ0 ∆t

(1.4)

Tato limita je prvn´ı derivac´ı dr´ahy dle ˇcasu, coˇz m˚ uˇzeme vyj´adˇrit jako d sptq  s  ds  dt dt m{s. V bˇeˇzn´e praxi

v

9

(1.5)

se ˇcasto pouˇz´ıv´a rovnˇeˇz Jednotkou rychlosti je km{hod. Body B a C z obr.?? jsou vzhledem ke zvolen´e soustavˇe souˇradnic urˇceny tak´e pr˚ uvodiˇci ~rB a ~rC , pˇriˇcemˇz plat´ı zˇrejmˇe ~rC

 ~rB

∆~r

(1.6)

Pˇri neomezen´em pˇribliˇzov´an´ı bodu C k bodu B pˇrejde ∆~r v element´arn´ı vektor d~r, kter´ y bude m´ıt smˇer teˇcny k dr´aze v bodˇe B a velikost ds. M˚ uˇzeme pak zapsat, ˇze d~r  ds  ~τ0

(1.7)

kde ~τ0 je jednotkov´ y vektor ve smˇeru teˇcny k dr´aze v bodˇe B a ve smˇeru pohybu. N´asob´ıme-li nyn´ı vztah (1.5) zprava vektorem ~τ0 , dostaneme

7

d~r ~τ0   ~v  ds  ~r dt dt 9

v~τ0

(1.8)

Okamˇ zit´ a rychlost ~v je vektor, kter´ y m´ a smˇ er teˇ cny ke kˇ rivoˇ car´ e dr´ aze v m´ıstˇ e, ve kter´ em okamˇ zitou rychlost urˇ cujeme, a m´ıˇ r´ı ve smˇ eru pohybu. Z ˇcasov´e z´avislosti ~r je tedy rychlost plnˇe urˇcena prvn´ı derivac´ı dle ˇcasu. Zavedeme-li jednotkov´e vektory ve smˇeru souˇradnic ~ı, ~, ~k, lze ps´at



d~r dt

d~r dt

Velikosti sloˇzek vektoru smˇeru os souˇradnic vx

~r  x~ı y~ z~k dx dy dz ~ k ~ı ~ dt dt dt

(1.9) (1.10)

znamenaj´ı pr˚ umˇety okamˇzit´e rychlosti do

dy dz , vy  , vz   dx dt dt dt

(1.11)

Je tedy ~v

 vx~ı

vz~k

vy~

(1.12)

Z pr˚ umˇet˚ u rychlosti lze zjistit velikost rychlosti dle Pythagorovy vˇety

v

 |~v| 

d

b

vx2

vy2

vz2





dx dt

2



dy dt

2



dz dt

2

(1.13)

a smˇerov´e kosiny cos α 

vx vy vz , cos β  , cos γ  (1.14) v v v ˇ ık´a, ˇze Pravidlo (1.12) je pravidlem o skl´ ad´ an´ı rychlost´ı a pohybu. R´ je moˇzno rozkl´adat rychlost bodu na sloˇzky, ale tak´e, ˇze je moˇzno skl´adat r˚ uzn´e rychlosti pˇr´ısluˇsn´e t´emuˇz hmotn´emu bodu. Povaˇzujeme jej za axi´ om, tj. nedokazateln´e pravidlo, jehoˇz opr´avnˇenost je d´ana skuteˇcnost´ı. Pˇri obecn´em (kˇrivoˇcar´em) pohybu se mˇen´ı smˇer rychlosti a obecnˇe tak´e jej´ı velikost. V ˇcasov´em intervalu ∆t se zmˇen´ı vektor ~v na ~v ∆~v (obr.iii). Dˇel´ıme-li tento pˇr´ır˚ ustek rychlosti ˇcasov´ ym okamˇzikem ∆t, v nˇemˇz zmˇena ım zmenˇsov´an´ım nastala, dostaneme pr˚ umˇern´e zrychlen´ı ∆v ∆t a limitn´ ∆~v ~a  lim ∆tÑ0 ∆t

 8

d~v dt



d2~r dt2

 ~r

:

(1.15)

~v

∆~v

~v

∆~v

~v

∆~v

~v

Obr´ azek iii: Zmˇena vektoru rychlosti pˇri kˇrivoˇcar´em pohybu. Zrychlen´ı je vektorem, jehoˇ z smˇ er je totoˇ zn´ y s pˇ r´ır˚ ustkem rychlosti d~v , nikoli se smˇ erem dr´ ahy. Analogicky vektoru rychlosti m˚ uˇzeme ps´at

~a 

~a  ax~ı ay~ az~k dvx dvy dvz ~ k ~ı ~ dt dt dt

(1.16)

tedy a  |~a| 

d

b

a2x

a2y

a2z





dvx dt

2



dvy dt

2



dvz dt

2

(1.17)

(1.18)  aax , cos α2  aay , cos α3  aaz Jednotkou zrychlen´ı je m{s2 . B´ yv´a v´ yhodn´e rozloˇzit zrychlen´ı ~a do dvou cos α1

k sobˇe kolm´ ych sloˇzek, z nichˇz jedna m´a smˇer teˇcny ke kˇrivce jako okamˇzit´a rychlost a druh´a m´a smˇer norm´aly ke kˇrivce (tj. je kolm´a k teˇcnˇe v dan´em bodˇe) a m´ıˇr´ı do stˇredu kˇrivosti. Teˇcn´e zrychlen´ı z´ısk´ame pr˚ umˇetem vektoru zrychlen´ı ~a do smˇeru rychlosti a vyn´asoben´ım jednotkov´ ym vektorem ve smˇeru rychlosti



~v ~v ~at  ~a  (1.19) v v Podot´ yk´ame, ˇze vektor teˇcn´eho zrychlen´ı m˚ uˇze b´ yt souhlasnˇe orientovan´ y s ~v (pokud velikost rychlosti roste) anebo nesouhlasnˇe orientovan´ y (pokud velikost rychlosti kles´a). Velikost teˇcn´eho zrychlen´ı z´ısk´ame jako derivaci velikosti rychlosti podle ˇcasu. Je totiˇz

9

~v ~at

~a

s

~an

Obr´ azek iv: Teˇcn´e a norm´alov´e zrychlen´ı.

dv dt



db 2 vx dt

vy2

vz2



x 2vx dv dt

b

2

2vy

dvy dt

z 2vz dv dt

vy2

vz2

vx2

 ~a v ~v

(1.20)

coˇz je v´ yraz v z´avorce ve vztahu (1.19). Norm´alov´e zrychlen´ı ~an stanov´ıme jednoduˇse jako rozd´ıl ~an

 ~a
~at

(1.21)

Velikost norm´alov´eho zrychlen´ı souvis´ı se zakˇriven´ım dr´ahy pohybu a plat´ı 2

an

 vR

(1.22)

kde R je polomˇer kˇrivosti dr´ahy (oskulaˇcn´ı kruˇznice) a v velikost rychlosti, oboj´ı v m´ıstˇe, kde an urˇcujeme. Norm´alov´ ym zrychlen´ım se budeme d´ale zab´ yvat v pojedn´an´ı o kˇrivoˇcar´ ych pohybech. Klasifikace pohyb˚ u a pˇ r´ıklady Pohyb dˇel´ıme na • pˇr´ımoˇcar´ y, kter´ y se dˇeje v pˇr´ımce • kˇrivoˇcar´ y, coˇz jsou vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpady. Dalˇs´ım krit´eriem je velikost rychlosti: • pohyb je rovnomˇern´ y pˇri |~v |  konst.

• pohyb je nerovnomˇern´ y pˇri |~v |  konst. 10

K popisu pˇ r´ımoˇ car´ eho pohybu dostaˇcuje jedin´a rovnice (osu x orientujeme do smˇeru pohybu. x  xptq

(1.23)

Pˇ r´ımoˇ car´ y rovnomˇ ern´ y pohyb lze obecnˇe zapsat jako x  k1 t

(1.24)

k2

kde k1 a k2 jsou konstanty. Pˇr´ımoˇcar´e nerovnomˇern´e pohyby jsou vˇsechny ostatn´ı pohyby popsan´e rovnic´ı (1.23). D˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıkladem pohybu v t´eto kategorii je pohyb pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇernˇe zrychlen´ y x  k1 t 2

k2 t

k3

(1.25)

kde k1 , k2 a k3 jsou konstanty. Rychlost a zrychlen´ı budou zˇrejmˇe v  2k1 t k2 (1.26) a  2k1 Konstanty k1 , k2 , k3 znamenaj´ı po ˇradˇe poloviˇcn´ı hodnotu zrychlen´ı, rychlost pohybu v0 v ˇcase t  0 a polohu x0 v ˇcase t  0. Rovnice (1.25) pak pˇrejde ve zn´am´ y tvar a x  t 2 v 0 t x0 (1.27) 2 Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem je harmonick´ y pohyb v pˇ r´ımce, dan´ y rovnic´ı x  A sinpωt

αq

x0

(1.28)

kde A a ω jsou kladn´e konstanty, kter´e naz´ yv´ame amplitudou kmitu a kruhovou frekvenc´ı, α je f´ azov´ e posunut´ı a x0 je rovnov´ aˇ zn´ a poloha bodu. Harmonick´ y pohyb zadan´ y rovnic´ı (1.28) se kon´a periodicky v u ´seˇcce
A ¤ x
x0 ¤ A. Rychlost a zrychlen´ı hmotn´eho bodu z´ısk´ame v

 dxdt  Aω cospωt

αq (1.29)

2 a  ddtx2  dv α q 
ω 2 px
x 0 q dt 
Aω sinpωt Zrychlen´ı harmonick´ eho pohybu je tedy u ´ mˇ ern´ e v´ ychylce a m´ıˇ r´ı proti n´ı. Kˇ rivoˇ car´ e pohyby se dˇej´ı bud’ v rovinˇe a pak staˇc´ı k popisu dvˇe parametrick´e rovnice v (1.1) nebo v prostoru a pak mus´ıme pouˇz´ıt vˇsechny tˇri rovnice. Z kˇrivoˇcar´ ych rovnomˇern´ ych pohyb˚ u je v´ yznamn´ y rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb, kter´ y je pops´an rovnicemi 2

11

x  R cospωt y  R sinpωt

αq αq

x0 y0

(1.30)

kde R ¡ 0, ω, α, x0 , y0 jsou konstanty. Neparametrickou rovnici dr´ahy pohybu (kruˇznici) lze z´ıskat vylouˇcen´ım parametru t

px
x0q2 py
y0q2  R2

(1.31)

Rychlost pohybu bude m´ıt sloˇzky vx 
Rω sinpωt αq vy  Rω cospωt αq

(1.32)

a velikost

|~v| 

b

vx2

vy2



b

R2 ω 2 rsin2 pωt

αq

cos2 pωt

αqs  ωR  konst.

Posledn´ı rovnice je zn´am´ y vztah mezi velikost´ı rychlosti hmotn´eho bodu a jeho u ´hlovou rychlost´ı ω. Mezi u ´hlovou rychlost´ı ω a frekvenc´ı f , kolikr´at hmotn´ y bod probˇehl kruˇznic´ı za jednotkou ˇcasu plat´ı jednoduch´ y vztah

 2πf

ω

(1.33)

Doba, za kterou hmotn´ y bod obˇehne kruˇznici, se naz´ yv´a perioda T a plat´ı T

 1{f  2π{ω

(1.34)

Konstanta α m´a v´ yznam u ´hlu, kter´ y sv´ır´a pr˚ uvodiˇc v nulov´em ˇcase s osou x. Zrychlen´ı hmotn´eho bodu bude m´ıt sloˇzky ax 
Rω 2 cospωt ay 
Rω 2 sinpωt

αq αq

(1.35)

a velikost

|~a| 

b

a2x

a2y



`

R2 ω 4

 Rω2  v2{R

Porovn´ame-li sloˇzky vektoru zrychlen´ı (1.35) se sloˇzkami polohov´eho vektoru (1.30), zjist´ıme, ˇze plat´ı ~a 
ω 2~r0

~r0

 px
x 0 , y
y 0 q

(1.36)

~a tedy m´ıˇr´ı do stˇredu kruhu a proto se naz´ yv´a dostˇ rediv´ e zrychlen´ı. Toto zrychlen´ı je totoˇzn´e s norm´alov´ ym zrychlen´ım, zaveden´ ym v (1.21) a 12

(1.22). Stejn´e tvrzen´ı lze vyslovit obecnˇe pro vˇsechny kˇrivoˇcar´e rovnomˇern´e pohyby, nav´ıc lze zaveden´ım pojmu oskulaˇ cn´ı kruˇ znice zobecnit i platnost vztahu (1.22). Pozn´ amka: Vˇsimnˇeme si rovnˇeˇz porovn´an´ım (1.28) a (1.30), ˇze harmonick´ y pohyb vznikne pr˚ umˇetem rovnomˇern´eho kruhov´eho pohybu na nˇekterou souˇradnou osu. Frekvenci f a periodu T harmonick´eho pohybu pak zav´ad´ıme zcela analogicky. Rovnomˇern´ y pohyb m˚ uˇze hmotn´ y bod konat po libovoln´e kˇrivce. Dalˇs´ım typick´ ym pˇr´ıkladem je rovnomˇern´ y pohyb po ˇsroubovici. x  R cos ωt y  R sin ωt z  kt

(1.37)

x  R cos ϕptq y  R sin ϕptq

(1.38)

kde R ¡ 0 a k jsou konstanty. Kˇ rivoˇ car´ y nerovnomˇ ern´ y pohyb je nejobecnˇejˇs´ı pohyb. Zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem je nerovnomˇ ern´ y pohyb po kruˇ znici, dan´ y rovnicemi

kde R ¡ 0 je konstanta a u ´hel ϕ, kter´ y pr˚ uvodiˇc ~r sv´ır´a v ˇcase t s kladn´ ym smˇerem osy x je libovoln´a funkce ˇcasu. Naz´ yv´a se stˇ redov´ y u ´ hel. ´ Ukol pro ˇcten´aˇre: M˚ uˇze b´ yt nerovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb periodick´ y? Pokud ano, naleznˇete pˇr´ıklad. Lze uk´azat, ˇze i v pˇr´ıpadˇe nerovnomˇern´eho kruhov´eho pohybu je velikost dostˇrediv´eho (norm´alov´eho) zrychlen´ı d´ana vztahem (1.22) a zaveden´ım pojmu oskulaˇcn´ı kruˇznice lze tento vztah zobecnit na vˇsechny kˇrivoˇcar´e pohyby. Vektorov´e zn´azornˇen´ı kruhov´eho pohybu: Veliˇciny popisuj´ıc´ı kruhov´ y pohyb lze zn´azornit t´eˇz vektorovˇe. Rovina kruhov´e dr´ahy mus´ı m´ıt v prostoru st´alou orientaci, kterou m˚ uˇzeme charakterizovat vektorem kolm´ ym k t´eto rovinˇe. Pˇriˇrad´ıme tomuto vektoru vhodn´ y v´ yznam i smysl ot´aˇcen´ı. Za tento vektor m˚ uˇzeme vz´ıt vektor stˇredov´eho u ´hlu ϕ ~ a jeho smysl bude takov´ y, aby m´ıˇril na tu stranu roviny ot´aˇcen´ı, odkud vid´ıme smysl ot´aˇcen´ı jako kladn´ y, tedy proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek (obr. v). Vektor u ´hlov´e rychlosti ω ~

ϕ  d~ dt 13

(1.39)

ϕ ~

A ~r

ϕ x

Obr´ azek v: Vektorov´e zn´azornˇen´ı kruhov´eho pohybu. bude zˇrejmˇe m´ıt souhlasn´ y smˇer s ϕ ~ . Nen´ı-li kruhov´ y pohyb rovnomˇern´ y, ´ mˇen´ı se velikost u ´hlov´e rychlosti, nikoli smˇer. Uhlov´ e zrychlen´ı d~ω d2 ϕ ~ ~ε  (1.40)  dt dt2 leˇz´ı opˇet ve smˇeru ϕ ~ a je s n´ım souhlasnˇe orientov´ano v pˇr´ıpadˇe zrychlen´eho pohybu a nesouhlasnˇe v pˇr´ıpadˇe zpomalen´eho pohybu. Obvodov´a rychlost ~v leˇz´ı v rovinˇe kruhov´eho pohybu a plat´ı pro ni zˇrejmˇe

|~v|  ω  r (1.41) Tento vztah plat´ı i pro vˇsechna ~r1 , kde je r1  r sin α (obr.vi), tj. neleˇz´ı-li ~v

 ω~  ~r

poˇc´atek souˇradn´eho syst´emu v rovinˇe pohybu (velikost vektorov´eho souˇcinu je ωr sin α). ˇ Casovou derivac´ı (1.41) obdrˇz´ıme ~a 

d~v dt





d~ω dt

 ~r





ω ~

d~r dt



 p~ε  ~rq pω~  ~vq  ~at

~an (1.42)

nebot’ vektor ~ε  ~r je orientovan´ y stejnˇe jako vektor rychlosti a vektor ω ~  ~v m´ıˇr´ı do stˇredu kruˇznice. 1.2

Dynamika hmotn´ eho bodu

Pojem s´ıly Dosud jsme si nekladli ot´azku, proˇc se hmotn´ y bod pohybuje nebo co je pˇr´ıˇcinou mechanick´eho pohybu. Vz´ajemn´e p˚ usoben´ı mezi tˇelesy urˇcuje mechanick´ y pohyb. Tato p˚ usoben´ı maj´ı v tˇelesech sam´ ych nejr˚ uznˇejˇs´ı p˚ uvod, 14

z ω ~ ~r1

M

y

~r α

x Obr´ azek vi: K v´ ykladu obvodov´e rychlosti. ale jejich spoleˇcn´ y u ´ˇcinek z´aleˇzej´ıc´ı v mechanick´em pohybu, umoˇzn ˇuje zav´est pojem s´ıly. Pojem s´ıly je d´an osobn´ı zkuˇsenost´ı. S´ıla m˚ uˇze m´ıt bud’ statick´ y (deformaˇcn´ı) nebo dynamick´ y (mˇen´ı pohybov´ y stav tˇeles) u ´ˇcinek. Pojem s´ıly lze charakterizovat na pokusu s pruˇzinou. Zp˚ usob´ı-li dvˇe s´ıly libovoln´eho p˚ uvodu stejn´e roztaˇzen´ı pruˇziny, lze m´ıt za to, ˇze jsou stejn´e. Zp˚ usob´ıli jedna s´ıla roztaˇzen´ı dvou pruˇzin stejn´e jako v´ yˇse, m˚ uˇzeme ˇr´ıci, ˇze tato s´ıla je dvojn´asobn´a atd. Ze zkuˇsenosti rovnˇeˇz v´ıme, ˇze s´ıly jsou vektory, maj´ı tedy sv´e p˚ usobiˇstˇe a smˇer. S´ıla p˚ usob´ıc´ı na hmotn´ y bod je vektorem v´ azan´ ym na bod. Skl´ ad´ an´ı a rozkl´ ad´ an´ı sil a moment s´ıly To, ˇze s´ıly jsou vektory, souvis´ı s experiment´aln´ı poznanou skuteˇcnost´ı, ˇze s´ıly lze skl´adat nebo rozkl´adat dle vˇety o rovnobˇeˇzn´ıku sil, tj. pravidla, kter´e lze aplikovat na jak´ekoli vektory (obr. vii) Ot´aˇciv´ y u ´ˇcinek s´ıly F~ vzhledem k libovoln´emu bodu 0 charakterizuje moment s´ıly M

F ρ

(1.43)

kde ρ je rameno s´ıly (obr.viii). V obecn´em pˇr´ıpadˇe, kdy pr˚ uvodiˇc p˚ usobiˇstˇe sv´ır´a se s´ılou u ´hel α, plat´ı pro moment s´ıly

15

F~2 F~1

F~3



~ R

F~1 F~4

F~2

~ R

~  F~1 F~2 R (a) silov´ y rovnobˇeˇzn´ık

~  F~1 F~2 F~3 F~4 R (b) silov´ y mnoho´ uheln´ık

~ Obr´ azek vii: Skl´ad´an´ı sil se spoleˇcn´ ym p˚ usobiˇstˇem. Pokud je R ˇr´ık´ame, ˇze s´ıly jsou v rovnov´aze.

F~ α

p˚ usobiˇstˇe s´ıly

~r

O

ρ Obr´ azek viii: Moment s´ıly.

16



0,

M

 rF sin α

(1.44)

coˇz je velikost vektorov´eho souˇcinu ~ M

 ~r  F~

(1.45)

kter´ y je kolm´ y k rovinˇe ~r, F~ , tedy totoˇzn´ y se smˇerem osy rotace. Zvl´aˇstn´ı postaven´ı mezi silami, ke kter´ ym pˇrihl´ıˇz´ıme pˇri vyˇsetˇrov´an´ı pohybu tˇeles, maj´ı tˇ rec´ı s´ıly. Spoˇc´ıv´a v tom, ˇze tˇrec´ı s´ıly pohyb vˇzdy brzd´ı, zat´ımco jin´e s´ıly mohou pohyb podporovat i brzdit. • Odpor vznik´a pˇri pohybu jednoho tˇelesa po druh´em, ke kter´emu je pˇritlaˇcov´ano jistou silou, pak hovoˇr´ıme o kinetick´ em tˇ ren´ı. • Odpor vznik´a i tehdy, kdyˇz jsou obˇe tˇelesa v klidu a vnˇejˇs´ı s´ıly se je snaˇz´ı uv´est do pohybu, pak hovoˇr´ıme o statick´ em tˇ ren´ı. Zde se omez´ıme na smykov´ e (vleˇ cn´ e) tˇren´ı, kter´e vznik´a pˇri posuvn´em pohybu. Jeho velikost je dle Coulombova z´ akona u ´mˇern´a jen velikosti norm´alov´e s´ıly Fn , kterou je jedno tˇeleso pˇritlaˇcov´ano k druh´emu Ft

 µFn

(1.46)

Veliˇcina µ se naz´ yv´a koeficient smykov´eho tˇren´ı a z´avis´ı na druhu materi´alu, na jakosti styˇcn´ ych ploch a na rychlosti pohybu. Statick´ y koeficient tˇren´ı je v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı neˇz kinetick´ y, napˇr. pro tˇren´ı oceli po oceli je statick´ y koeficient asi 0,15 , zat´ımco kinetick´ y 0,05. Newtonovy z´ akony Klasick´a (newtonovsk´a) dynamika je zaloˇzena na tˇrech z´akladn´ıch Newtonov´ ych (pohybov´ ych) z´akonech. Jsou v´ ysledkem pozorov´an´ı svˇeta. 1. Newton˚ uv z´ akon (princip setrvaˇ cnosti) Kaˇ zd´ e tˇ eleso setrv´ av´ a ve stavu klidu nebo rovnomˇ ernˇ e pˇ r´ımoˇ car´ eho pohybu, nen´ı-li vnˇ ejˇ s´ımi silami nuceno tento stav zmˇ enit. Pˇr´ıpad, kdy v naˇsem vesm´ıru nep˚ usob´ı na tˇeleso ˇz´adn´a s´ıla, nelze experiment´alnˇe realizovat, obsah principu setrvaˇcnosti lze tedy povaˇzovat za duchaplnou extrapolaci naˇsich zkuˇsenost´ı. Podle principu setrvaˇcnosti je s pohybov´ ym stavem tˇeles spojena vlastnost setrvaˇcnosti, kterou se tˇelesa jakoby br´an´ı zmˇenˇe sv´eho pohybov´eho stavu. M´ame t´ım na mysli skuteˇcnost, ˇze tˇeleso se ned´a do pohybu nebo nezmˇen´ı sv˚ uj pohybov´ y stav, dokud na nˇej nezap˚ usob´ı nˇejak´a s´ıla. Podle 1. Newtonova z´akona bude existovat soustava souˇradn´a, ve kter´e se bude pohyb sledovan´eho hmotn´eho 17

bodu jevit jako klid a cel´a tˇr´ıda soustav, v˚ uˇci kter´ ym se bude pohybovat rovnomˇern´ ym pˇr´ımoˇcar´ ym pohybem. Takov´e soustavy naz´ yv´ame inerci´ aln´ımi soustavami souˇ radn´ ymi. Z tohoto hlediska 1. Newton˚ uv z´akon vymezuje inerci´aln´ı soustavu souˇradnou. V inerci´aln´ı soustavˇe souˇradn´e lze jednoznaˇcnˇe urˇcit zrychlen´ı hmotn´eho bodu, kter´e se vyskytuje v 2. Newtonovˇe z´akonˇe. 2. Newton˚ uv z´ akon (z´ akon s´ıly) Existence zrychlen´ı vyˇzaduje dle principu setrvaˇcnosti silov´e p˚ usoben´ı. Vlastnost tˇeles, ˇze pˇri stejn´em silov´em p˚ usoben´ı nab´ yvaj´ı r˚ uzn´ ych zrychlen´ı, charakterizujeme fyzik´aln´ı veliˇcinou hmotnost m, coˇz je skal´arn´ı veliˇcina s jednotkou 1 kg. Vztah mezi silou a jej´ım u ´ˇcinkem - zrychlen´ım lze vyj´adˇrit v nejjednoduˇsˇs´ı formˇe F~ (1.47) nebo ~a  k m tj. pˇr´ım´a u ´mˇernost mezi zrychlen´ım a p˚ usob´ıc´ı silou u jednoho tˇelesa nebo nepˇr´ım´a u ´mˇernost mezi zrychlen´ım a hmotnost´ı u r˚ uzn´ ych tˇeles, p˚ usob´ı-li na nˇe stejn´a s´ıla. Druh´ y pohybov´ y z´akon lze formulovat obecnˇeji, uv´aˇz´ıme-li, ˇze hmotnost tˇelesa nemus´ı obecnˇe b´ yt nez´avisl´a na jeho pohybov´em stavu. Charakterizujeme-li okamˇzit´ y pohybov´ y stav tˇelesa hybnost´ı m~a  k F~

p~  m~v

(1.48)

m˚ uˇzeme 2. Newton˚ uv z´akon ps´at obecnˇeji d d~p m~v  k F~  (1.49) dt dt Tuto formulaci, kter´a bere v u ´vahu napˇr. pohyb tˇelesa s promˇennou hmotou (raketa, relativistick´e rychlosti) podal jiˇz s´am Newton a slovnˇe zn´ı ˇ Casov´ a zmˇ ena hybnosti tˇ elesa je u ´ mˇ ern´ a p˚ usob´ıc´ı s´ıle a m´ a s n´ı stejn´ y smˇ er. V klasick´e mechanice (aˇz na v´ yjimky, napˇr. pohyb rakety) povaˇzujeme hmotnost za konstantn´ı a p´ıˇseme m~a  F~

(1.50)

Velikost konstanty k jsme vzhledem k d´ale popsan´emu zp˚ usobu mˇeˇren´ı hmotnosti zvolili rovnou 1. Z´ıskaj´ı-li dvˇe tˇelesa o hmotnosti m1 a m2 vlivem 18

stejn´eho vnˇejˇs´ıho p˚ usoben´ı r˚ uzn´a zrychlen´ı a1 a a2 , pak pomˇer jejich hmotnost´ı m1 a m2 vyhovuje u ´mˇeˇre m1 a2  m2 a1 Takto urˇcen´a hmotnost se naz´ yv´a setrvaˇ cn´ a.

(1.51)

3. Newton˚ uv z´ akon (princip akce a reakce) S´ıla, kter´a p˚ usob´ı na tˇeleso, m˚ uˇze poch´azet jedinˇe od tˇeles, kter´a vyˇsetˇrovan´e tˇeleso obklopuj´ı. Je zkuˇsenost´ı, ˇze p˚ usob´ı-li hmotn´ y bod 1 (obecnˇe tˇeleso 1) na hmotn´ y bod 2 (tˇeleso 2) silou F~12 , p˚ usob´ı hmotn´ y bod 2 na bod 1 ~ silou F21 , kter´a je stejnˇe velk´a, ale opaˇcnˇe orientovan´a. F~12


F~21

(1.52)

Vz´ ajemn´ e s´ıly mezi dvˇ ema hmotn´ ymi body (tˇ elesy) maj´ı vˇ zdy stejnou velikost, ale opaˇ cn´ y smˇ er. S´ıly pˇ ri r˚ uzn´ ych druz´ıch pohybu (pˇ rehled) • Pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇern´ y pohyb (1.24) F

0

a odtud a  0

(1.53)

• Pˇr´ımoˇcar´ y rovnomˇern´ y zrychlen´ y pohyb (1.26)

 2mk1

(1.54)


mω2px
x0q 
k∆x

(1.55)

F • Harmonick´ y pohyb (1.29) F

• Obecn´ y pˇr´ımoˇcar´ y pohyb F

 maptq

(1.56)

S´ıla je zde ˇcasovˇe promˇenn´a a je v´ yslednic´ı vazbov´ ych a hybn´ ych sil. • Rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb (1.36) F~


mω2~r

(1.57)

• Nerovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb (1.42) F~

 F~t

F~n 19

 m~at

m~an

(1.58)

S´ılu lze rovnˇeˇz rozloˇzit na teˇcnou a norm´alovou (dostˇredivou) sloˇzkou. ~ j´ıˇz tˇelesa podl´ehaj´ı v t´ıhov´em poli, speci´alnˇe D˚ uleˇzitou s´ılou je t´ıha tˇeles G, v t´ıhov´em poli Zemˇe. ~  m~g G

(1.59)

kde ~g je konstantn´ı vektor m´ıˇr´ıc´ı pˇribliˇznˇe do stˇredu Zemˇe, kter´ y naz´ yv´ame t´ıhov´ ym zrychlen´ım. Porovn´av´ame-li pomˇer dvou hmot podle jejich t´ıhy G1 m1 (1.60)  m2 G2 hovoˇr´ıme o porovn´av´an´ı t´ıhov´ ych hmot hmotn´ ych bod˚ u (srovnej (1.51)). Skuteˇcnost, ˇze porovn´an´ı (1.51) a (1.60) vedou ke stejn´ ym z´avˇer˚ um, b´ yv´a formulov´ana jako rovnost t´ıhov´e a setrvaˇcn´e hmoty a je z hlediska Newtonovy fyziky experiment´aln´ım faktem (E¨otv¨osovy pokusy a dalˇs´ı). Hlubˇs´ı smysl tohoto faktu vypl´ yv´a aˇz z obecn´e teorie relativity. Pohybov´ e rovnice hmotn´ eho bodu Z´akon s´ıly, vyj´adˇren´ y rovnic´ı (1.50) rozep´ıˇseme do sloˇzek 2

max

 m ddtx2  Fx

d2 y may  m 2 dt

 Fy

(1.61)

2

maz

 m ddtz2  Fz

Tyto rovnice naz´ yv´ame pohybov´ e rovnice. Jde o tˇri nez´avisl´e rovnice, z nichˇz lze urˇcit pohyb tˇelesa vzhledem ke zvolen´e soustavˇe souˇradnic, zn´ame- li sloˇzky sil v kaˇzd´em okamˇziku (ˇci obr´acenˇe ze zn´am´e dr´ahy, ˇci zn´am´eho pr˚ ubˇehu rychlosti lze urˇcit p˚ usob´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıly). Pohyb ovˇsem tak´e z´avis´ı na tzv. poˇ c´ ateˇ cn´ıch podm´ınk´ ach, tj. poloze a rychlosti hmotn´eho bodu v okamˇziku, kdy s´ıla zaˇcala p˚ usobit. Z matematick´eho hlediska je tento fakt odraˇzen t´ım, ˇze obecn´ y integr´al diferenci´aln´ıch rovnic druh´eho ˇra´du, mezi nˇeˇz pohybov´e rovnice patˇr´ı, obsahuje dvˇe integraˇcn´ı konstanty, kter´e se pr´avˇe urˇc´ı z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. P˚ usob´ı-li na hmotn´ y bod v´ıce sil, poˇc´ıt´ame v pohybov´ ych rovnic´ıch s jejich souˇctem (obr. vii). Pokud se s´ıly navz´ajem ruˇs´ı, pohybuje se hmotn´ y bod dle 1. Newtonova z´akona. Pouˇzit´ı pohybov´ ych rovnic na konkr´etn´ı pˇr´ıpady uk´aˇzeme v dalˇs´ım v´ ykladu.

20

Silov´ e p˚ usoben´ı pˇ ri relativn´ım pohybu Poloˇzme si nyn´ı ot´azku, zda z˚ ust´avaj´ı Newtonovy z´akony v platnosti, pokud se soustava, ke kter´e pohyb vztahujeme, sama pohybuje. Pˇredpokl´adejme dvˇe soustavy souˇradnic S px, y, z q a S 1 px1 , y 1 , z 1 q, z nichˇz prvn´ı povaˇzujeme za pevnou a druh´a se v˚ uˇci n´ı pohybuje posuvn´ ym pˇr´ımoˇcar´ ym pohybem (obr.ix) y1 ~r1

O1

y

M

M x1

z1

~r1

O1 pS 1 q ~ R

~r

~r

~ R O

O(S)

x

z Obr´ azek ix: Urˇcen´ı polohy bodu M v soustav´ach S a S 1 . Mezi polohov´ ymi vektory nˇejak´eho bodu M v soustav´ach S a S 1 plat´ı zˇrejmˇe ~r  ~r1

~ R

(1.62)

Pohybuje-li se hmotn´ y bod, pak jeho rychlost ~v vzhledem ke klidn´e soustavˇe S (absolutn´ı rychlost) je d´ana vztahem

1

~ dR (1.63) dt ~ {dt  ~u je rychlost, kterou se vˇsechna m´ısta v soustavˇe S 1 pozde ˇclen dR ˇ hybuj´ı v˚ uˇci soustavˇe S, naz´ yv´ame ji un´ aˇ sivou rychlost´ı. Clen d~r1 {dt  ~v 1 je pak rychlost´ı, kterou se bod pohybuje vzhledem k soustavˇe S 1 , naz´ yv´ame ji relativn´ı rychlost´ı. Plat´ı tedy ~v

r d~r  d~  dt dt

~v

 ~v1

~u

(1.64)

coˇz je pravidlo o skl´ ad´ an´ı pohyb˚ u. Vztah (1.64) je vyj´adˇren´ım zn´am´eho pravidla o skl´ad´an´ı rychlost´ı, kter´e ovˇsem plat´ı vˇseobecnˇe. Derivac´ı vztahu (1.63) dle ˇcasu dost´av´ame 21

~a



d2~r dt2

~a



~a1

 ~au

d2~r1 dt2

~ d2 R dt2

(1.65)

coˇz je vztah mezi absolutn´ım zrychlen´ım, relativn´ım zrychlen´ım a un´ aˇ siv´ ym zrychlen´ım. Pohyb v inerci´ aln´ı soustavˇ e V inerci´aln´ıch soustav´ach je ~u  konst., takˇze soustava S 1 v˚ uˇci soustavˇe S pohybuje rovnomˇernˇe pˇr´ımoˇcaˇre. Polohy hmotn´eho bodu M v obou soustav´ach souvis´ı vztahem ~r  ~r1

~ut

(1.66)

 F~

(1.67)

yvaj´ı. pokud poˇc´atky obou soustav v ˇcase t  0 spl´ Pˇrechod od jedn´e soustavy souˇradnic k jin´e naz´ yv´ame transformac´ı souˇ radnic. Transformace (1.66) se naz´ yv´a Galileova transformace. Derivujemeli (1.66) dvakr´at dle ˇcasu a vyn´asob´ıme-li hmotnost´ı m, dostaneme m~a  m~a1

ˇ ık´ tj. zrychlen´ı hmotn´eho bodu v obou soustav´ach je stejn´e. R´ ame, ˇ ze Newtonovy pohybov´ e rovnice jsou invariantn´ı vzhledem ke Galileovˇ e transformaci. Bude-li F~  0, bude v obou soustav´ach platit princip setrvaˇcnosti. Rovnice (1.67) znamen´a, ˇze nelze z hlediska ˇz´adn´e z obou soustav rozhodnout, zda je v klidu nebo se pohybuje. Tuto u ´vahu lze rozˇs´ıˇrit na vˇsechny inerci´aln´ı soustavy, protoˇze v nich beze zmˇeny plat´ı Newtonovy z´akony. Tento z´avˇer naz´ yv´ame klasick´ ym principem relativity Newtonovy dynamiky. K inerci´aln´ım soustav´am patˇr´ı s dostateˇcnou pˇresnost´ı i soustava pevnˇe spojen´a se Zem´ı. Pohyb ve zrychlen´ e soustavˇ e Pˇri nerovnomˇern´em pohybu soustavy S 1 vzhledem k soustavˇe S se dle (1.65) liˇs´ı zrychlen´ı ~a1 od zrychlen´ı ~a o hodnotu un´aˇsiv´eho zrychlen´ı ~au , tedy ~a1  ~a
~au . Vyn´asob´ıme-li tuto rovnici hmotnost´ı m, dostaneme m~a1

 m~a
m~au  F~ 1

(1.68)

Tˇeleso se vzhledem ke zrychlen´e soustavˇe S 1 pohybuje tak, jako kdyˇz na nˇe kromˇe s´ıly F~ p˚ usob´ı jeˇstˇe dalˇs´ı s´ıla 22

F~ 


m~au

(1.69)

kter´a m´a opaˇcn´ y smˇer neˇz zrychlen´ı ~au soustavy S 1 a jej´ıˇz velikost je rovna souˇcinu hmotnosti hmotn´eho bodu a zrychlen´ı t´eto soustavy souˇradnic. Tuto s´ılu naz´ yv´ame silou setrvaˇ cnou, zd´ anlivou nebo fiktivn´ı, protoˇze nem´a p˚ uvod v re´aln´ ych tˇelesech. V t´eto souvislosti uv´ad´ıme, ˇze s´ıly, jimiˇz na sebe p˚ usob´ı re´aln´a tˇelesa, jsou s´ıly skuteˇ cn´ e. Shrnut´ı: 2. Newton˚ uv z´akon neplat´ı v neinerci´aln´ıch soustav´ach. Jeho platnosti vˇsak dos´ahneme, kompenzujeme-li zrychlen´ı soustavy zaveden´ım odpov´ıdaj´ıc´ı setrvaˇcn´e s´ıly. Tento z´avˇer je velmi podstatn´ y pro ˇreˇsen´ı mechanick´ ych u ´loh. Dosavadn´ı v´ yklad n´am nab´ız´ı dvˇe moˇznosti: • pracovat d˚ uslednˇe v inerci´aln´ım syst´emu • zaveden´ım setrvaˇcn´ ych sil pˇrej´ıt do neinerci´aln´ıho syst´emu. Oba postupy budeme ilustrovat na n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladu. Uvaˇzujme voz´ık, k jehoˇz vnitˇrn´ı stˇenˇe je pruˇzinou upevnˇena koule (obr.1.10a), kter´a se m˚ uˇze pohybovat bez tˇren´ı. Uvedeme-li voz´ık do pohybu se zrychlen´ım ~a, pozorujeme nataˇzen´ı pruˇziny (kter´a zde hraje u ´lohu vazby) a koule se bude pohybovat se stejn´ ym zrychlen´ım jako voz´ık (obr.1.10b). Popis cel´eho dˇeje z hlediska inerci´aln´ıho a neinerci´aln´ıho syst´emu bude odliˇsn´ y: ~a

(a)

(b)

Obr´ azek x: Zrychlen´ y pohyb voz´ıku. • Z hlediska inerci´aln´ıho syst´emu p˚ usob´ı pruˇzina (vazba) na kouli takovou silou, aby ji udˇelila stejn´e zrychlen´ı jako m´a voz´ık. Tato s´ıla je skuteˇcn´a a je akc´ı. Podle 3. Newtonova z´akona p˚ usob´ı koule na pruˇzinu stejnˇe velkou, ale opaˇcnˇe orientovanou silou. Tato s´ıla zp˚ usob´ı nataˇzen´ı pruˇziny, je rovnˇeˇz skuteˇcn´a a je reakc´ı. 23

• Z hlediska pozorovatele spjat´eho s voz´ıkem zp˚ usob´ı nataˇzen´ı pruˇziny fiktivn´ı s´ıla, kter´a indikuje, ˇze soustava souˇradn´a spjat´a s voz´ıkem je neinerci´aln´ı. Tato s´ıla je kompenzov´ana nataˇzen´ım pruˇziny, tj. skuteˇcnou silou, kter´a p˚ usob´ı rovnˇeˇz na kouli. Nem˚ uˇzeme tedy hovoˇrit o akci a reakci. Z toho plyne d˚ uleˇzit´ y poznatek: 3. Newton˚ uv z´ akon neplat´ı v neinerci´ aln´ım syst´ emu. Pohyb v ot´ aˇ civ´ e soustavˇ e Vyˇsetˇr´ıme d´ale skuteˇcn´e a zd´anliv´e s´ıly, kter´e p˚ usob´ı na hmotn´ y bod, 1 vztahujeme-li jeho pohyb k soustavˇe S , kter´a se vzhledem k inerci´aln´ı soustavˇe S ot´aˇc´ı u ´hlovou rychlost´ı ω ~ (obr.xi) tak, ˇze maj´ı spoleˇcn´ y poˇc´atek a osu z, kter´a je osou ot´aˇcen´ı. Okamˇzitou polohu M v obou soustav´ach ud´av´a polohov´ y vektor ~r  ~r1 . Jeho zmˇeny pˇri pohybu hmotn´eho bodu jsou vˇsak v obou soustav´ach r˚ uzn´e a r˚ uzn´e budou i jeho derivace vzhledem k obˇema soustav´am. y1

y

x1

~u M

~r  ~r1 α

O  O1

x

rk

ω ~ z  z1 Obr´ azek xi: Pohyb v ot´aˇciv´e soustavˇe .

Pro un´aˇsivou rychlost bodu M plat´ı ~u  ω ~  ~r 24

(1.70)

a pravidlo pro skl´ad´an´ı rychlost´ı plat´ı ve tvaru ~v  ~v 1 d~r d1~r  dt dt

ω ~  ~r

(1.71)

ω ~  ~r

kde ˇc´arka vyznaˇcuje derivaci vzhledem k soustavˇe S 1 . Mezi pˇr´ır˚ ustkem 1 1 d~r v soustavˇe S a d ~r v soustavˇe S plat´ı d~r  d1~r

pω~  ~rqdt

(1.72)

Element´arn´ı zmˇeny kaˇzd´eho jin´eho vektoru v obou soustav´ach budou podl´ehat stejn´emu pravidlu. Pro zmˇenu relativn´ı rychlosti vzhledem k soustavˇe S bude ~  ~v 1 qdt d~v 1  d1~v 1 pω d~v 1 d1~v 1  dt pω~  ~v1q dt

(1.73) (1.74)

Tento vztah umoˇzn ˇuje zjistit zrychlen´ı ~a1 hmotn´eho bodu vzhledem k pohybuj´ıc´ı se soustavˇe S 1 , tedy ~a1

1 1

1

v
p ω ~  ~v 1 q  ddt~v  d~ dt

(1.75)

Nyn´ı jeˇstˇe dosad´ıme z (1.71) za ~v 1 v ˇcasov´e derivaci ~a1

v d~ω d~r
 ~r
ω ~
ω ~  ~v 1  dtd p~v
ω~  ~rq
ω~  ~v1  d~ dt dt dt

v d~v
~ε  ~r
ω ~  ~v
ω ~  ~v 1 
~ε  ~r
ω ~  p~v 1  d~ dt dt

ω ~  ~rq
ω ~  ~v 1

v
~ε  ~r
ω ~  pω ~  ~rq
2~ω  ~v 1  d~ dt

(1.76)

Na hmotn´ y bod v ot´aˇciv´e soustavˇe p˚ usob´ı tedy s´ıla F~ 1

v  m~a1  m d~
m~ε  ~r
m~ω  pω ~  ~rq
2m~ω  ~v 1 dt

v Ke skuteˇcn´e s´ıle m d~ dt dalˇs´ı tˇri fiktivn´ı s´ıly: S´ıla

 m~a  F~ F~ 

(1.77)

tak pˇristupuj´ı v ot´aˇciv´e soustavˇe S 1

ω 
m d~  ~r 
m~au dt 25

(1.78)

kde ~au je un´aˇsiv´e zrychlen´ı rotuj´ıc´ı soustavy v m´ıstˇe, kde je pr´avˇe hmotn´ y ´hlov´a rychlost bod, F~  je setrvaˇcn´a s´ıla, obdobn´a s´ıle v rovnici (1.69). Je-li u konstantn´ı, tato s´ıla vymiz´ı. Dalˇs´ı s´ıla F~O 
m~ω  pω ~  ~rq 
m~ω  ~u (1.79) p˚ usob´ı na hmotn´ y bod pˇri rotaci soustavy, je-li v koneˇcn´e vzd´alenosti od osy rotace. Velikost s´ıly je u2 (1.80) FO  mω r sin α  mω rK  m rK kde rK  r sin α je vzd´alenost bodu od osy rotace. Tuto s´ılu naz´ yv´ame silou odstˇredivou, protoˇze m´ıˇr´ı od osy rotace. ˇovat Pozn´amka: Zd´anlivou odstˇredivou s´ılu v rotuj´ıc´ı soustavˇe nesm´ıme zamˇen se skuteˇcnou odstˇredivou silou, kter´a vznik´a jako reakce na dostˇredivou s´ılu a kterou p˚ usob´ı tˇeleso na vazbu, kter´a jej nut´ı ke kˇrivoˇcar´emu pohybu. Posledn´ı s´ıla 2

F~C

2


2m~ω  ~v1  2m~v1  ω

(1.81)

se uplatˇ nuje, pokud hmotn´ y bod m´a v rotuj´ıc´ı soustavˇe rychlost ~v 1 jin´eho smˇeru, neˇz je smˇer osy rotace. To znamen´a, ˇze hmotn´ y bod postupuje m´ısty s r˚ uznou un´aˇsivou rychlost´ı. Tuto s´ılu naz´ yv´ame Coriolisovou silou. Shrnut´ı: M´a-li 2. Newton˚ uv z´akon platit v rotuj´ıc´ı soustavˇe, mus´ı m´ıt formu m~a1

 F~

F~ 

F~O

F~C

(1.82)

Pohyb na zemsk´ em povrchu Souˇradnou soustavu spojenou se Zem´ı povaˇzujeme pˇribliˇznˇe za inerci´aln´ı soustavu, protoˇze zrychlen´e pohyby, kter´e Zemˇe kon´a, nemaj´ı vliv na vˇetˇsinu v´ ypoˇct˚ u v klasick´e mechanice. Vˇetˇsinou uvaˇzujeme • obˇeh kolem Slunce po m´alo v´ ystˇredn´e elipse stˇredn´ı rychlost´ı 29, 8km s
1 , • rotace kolem vlastn´ı osy se st´alou u ´hlovou rychlost´ı ( 7, 292.105 s
1 ).

Dostˇrediv´e zrychlen´ı Zemˇe pˇri pohybu kolem Slunce je jen 0, 0058ms2 . Vlastn´ı rotace Zemˇe, jej´ıˇz u ´hlov´a rychlost je 365 kr´at vˇetˇs´ı neˇz u ´hlov´a rychlost pˇri obˇehu kolem Slunce, m´a v´ yraznˇe vˇetˇs´ı vliv. Velikost odstˇrediv´eho zrychlen´ı m´a v r˚ uzn´ ych m´ıstech na povrchu Zemˇe velikost

26

ω ~

r1

~aO

R ψ

~g x

Obr´ azek xii: Zmˇena t´ıhov´eho zrychlen´ı rotac´ı Zemˇe.

aO

 r1ω2  Rω2 cos ψ

(1.83)

kde r1 je kolm´a vzd´alenost od osy rotace, R je polomˇer Zemˇe a ψ je zemˇepisn´a ˇs´ıˇrka (obr.xii). Odstˇrediv´e zrychlen´ı v Praze ˇcin´ı aO  2, 59.10
2 ms
2  0, 0026g a skl´ad´a se s gravitaˇcn´ım zrychlen´ım ve v´ ysledn´e t´ıhov´e zrychlen´ı, kter´e nem´ıˇr´ı do stˇredu Zemˇe. D´ıky tomuto faktu Zemˇe, kdyˇz byla v plastick´em stavu, nabyla tvaru elipsoidu, zploˇstˇel´eho na p´olech, takˇze t´ıhov´e zrychlen´ı je vˇsude kolm´e k povrchu Zemˇe. Jako norm´ aln´ı t´ıhov´ e zrychlen´ı se defin
2 uje zrychlen´ı gn  9, 80665ms pˇresnˇe, kter´e je pˇribliˇznˇe rovno zrychlen´ı na 45o severn´ı ˇs´ıˇrky pˇri hladinˇe moˇre. V´ yznam norm´aln´ıho t´ıhov´eho zrychlen´ı spoˇc´ıv´a v tom, ˇze umoˇzn ˇuje jednoznaˇcn´e zaveden´ı nˇekter´ ych fyzik´aln´ıch jednotek a ˇze v´ ysledky fyzik´aln´ıch mˇeˇren´ı prov´adˇen´ ych pˇri r˚ uzn´ ych hodnot´ach g lze na tuto hodnotu redukovat. Podot´ yk´ame, ˇze pˇri rozboru pohybu na zemsk´em povrchu z hlediska inerci´aln´ıho syst´emu (nˇekdy se ˇr´ık´a z hlediska soustavy souˇradn´e spjat´e se st´alicemi) nelze v´ yˇse uvedenou argumentaci pomoc´ı odstˇrediv´e s´ıly pouˇz´ıt. T´ıhovou s´ılu zde dostaneme jako vektorov´ y rozd´ıl gravitaˇcn´ı s´ıly a dostˇrediv´e s´ıly nutn´e k rotaˇcn´ımu pohybu v dan´em m´ıstˇe. Nejzn´amˇejˇs´ı pokus prokazuj´ıc´ı neinerci´aln´ı charakter soustavy souˇradn´e spjat´e se Zem´ı je pokus s Foucaultov´ ym kyvadlem. Tento pokus provedl poprv´e Foucault v roce 1851 27

s koul´ı hmotnosti 30kg zavˇeˇsenou na dr´atˇe d´elky 67m v kopuli paˇr´ıˇzsk´eho Pantheonu (uspoˇra´d´an´ı m˚ uˇze ovˇsem b´ yti skromnˇejˇs´ı, d˚ uleˇzit´e je vylouˇcen´ı vnˇejˇs´ıch vliv˚ u na pohyb kyvadla). Pˇri pokusu se ukazuje, ˇze se rovina kyvu vzhledem k podlaze st´aˇc´ı ve smyslu hodinov´ ych ruˇciˇcek u ´hlovou rychlost´ı 1 ω  ω sin ψ (ψ je zemˇepisn´a ˇs´ıˇrka). Nejrychlejˇs´ı je ot´aˇcen´ı na p´olu, kde ˇcin´ı 360o za 24 hodin, na rovn´ıku naopak se rovina kyvu nemˇen´ı. V naˇsich zemˇepisn´ ych ˇs´ıˇrk´ach dojde k otoˇcen´ı roviny kyvu o 360o pˇribliˇznˇe za 31 hodin. Z hlediska neinerci´aln´ıho syst´emu lze pokus s Foucaultov´ ym kyvadlem povaˇzovat za experiment´aln´ı d˚ ukaz Coriolisovy s´ıly (rozbor v´ yˇse popsan´e situace z tohoto hlediska pˇrenech´av´ame posluchaˇci ). Z hlediska inerci´aln´ıho syst´emu je v´ ysledkem p˚ usoben´ı t´ıhov´e s´ıly (skuteˇcn´e) a rotace Zemˇe. Lze jej snadno demonstrovat pomoc´ı globusu (m´ıˇce) a tuˇzky zn´azorˇ nuj´ıc´ı dr´ahu koule pˇri k´ yv´an´ı. Um´ıst´ıme-li kyvadlo na zemsk´em p´olu, z˚ ust´av´a rovina kyvu st´al´a vzhledem ke st´alic´ım a Zemˇe se pod kyvadlem otoˇc´ı jednou za 24 hodin. Na rovn´ıku naopak je dr´aha pohybu vˇzdy teˇcnou k zemsk´emu povrchu a rovina kyvu se nemˇen´ı. V ostatn´ıch poloh´ach na zemsk´em povrchu provedeme rozbor nejl´epe, vezmeme-li jako poˇc´ateˇcn´ı stav kyv ve smˇeru teˇcny k poledn´ıku v dan´em m´ıstˇe, tj. od severu k jihu, ˇci naopak. Jedin´a skuteˇcn´a s´ıla, kter´a na kyvadlo p˚ usob´ı, je s´ıla t´ıhov´a a ta tento smˇer nem˚ uˇze zmˇenit. K veˇsker´ ym zmˇen´am pohybu bude doch´azet pouze v rovinˇe dan´e teˇcnou k poledn´ıku v poˇc´ateˇcn´ım m´ıstˇe a smˇerem t´ıhov´e s´ıly. Pˇrejde-li pˇri rotaci kyvadlo do jin´eho m´ısta, bude dle t´eto argumentace odchylka roviny kyvu d´ana u ´hlem, kter´ y sv´ıraj´ı teˇcna k poledn´ıku v poˇc´ateˇcn´ım m´ıstˇe a teˇcna k poledn´ıku v nov´em m´ıstˇe. Rychlost pˇr´ır˚ ustku tohoto u ´hlu odpov´ıd´a na z´akladˇe jednoduch´e geometrick´e u ´vahy (kterou pˇrenech´av´ame posluchaˇci) v´ yˇse uveden´emu vztahu ω 1  ω sin ψ (odvozen´ı lze naj´ıt v doporuˇcen´e uˇcebnici Hor´aka a Krupky). Existence Coriolisovy s´ıly se na zemsk´em povrchu projevuje jeˇstˇe dalˇs´ımi jevy: • odchylka tˇeles od svislice pˇri voln´em p´adu • st´aˇcen´ı pas´atn´ıch vˇetr˚ u ze severojiˇzn´ıho smˇeru • u ˇrek tekouc´ıch od severu k jihu je prav´ y bˇreh (ve smˇeru toku) podemlet v´ıce neˇz lev´ y (prav´ y bˇreh je strm´ y, lev´ y pozvoln´ y, dobˇre patrn´e u ukrajinsk´ ych ˇrek) • r˚ uzn´e opotˇreben´ı ˇzelezniˇcn´ıch kolejnic vedouc´ıch od severu k jihu pˇri trval´em provozu jedn´ım smˇerem Podotknˇeme jeˇstˇe na z´avˇer, ˇze vlivu odstˇrediv´e s´ıly pˇri rotaci Zemˇe na smˇer v´ ysledn´e s´ıly vyuˇzil mad’arsk´ y fyzik E¨otv¨os k experiment´aln´ımu 28

d˚ ukazu rovnosti setrvaˇcn´e a t´ıhov´e hmotnosti. Kdyby dvˇe tˇelesa z r˚ uzn´ ych l´atek se stejnou t´ıhovou hmotnost´ı mˇela rozd´ılnou setrvaˇcnou hmotnost, musely by v´ ysledn´e t´ıhy m´ıˇrit jin´ ym smˇerem, coˇz se neprok´azalo (odstˇrediv´a s´ıla je totiˇz u ´mˇern´a setrvaˇcn´e hmotnosti). Dalˇ s´ı mechanick´ e veliˇ ciny - pr´ ace, energie, hybnost, impuls, moment hybnosti ´ cinek s´ıly na pohyb tˇelesa lze kvantitativnˇe posuzovat dvoj´ım zp˚ Uˇ usobem: • dle dr´ahy, na n´ıˇz s´ıla na tˇeleso p˚ usobila • dle doby, po kterou s´ıla p˚ usobila Dr´ahov´ yu ´ˇcinek s´ıly a mechanick´a energie 2. Newton˚ uv z´akon uprav´ıme tak, aby neobsahoval ˇcas. Vyjdeme z (1.50) a vyn´asob´ıme rovnici skal´arnˇe element´arn´ım pˇr´ır˚ ustkem pr˚ uvodiˇce m~a  m

d~v  F~ dt d~r d~v m  d~r  md~v   m~v d~v  F~  d~r dt dt

(1.84)

Uprav´ıme v´ yraz ~v  d~v pomoc´ı (1.8) ~v  d~v

 v~τ0  dpv~τ0q  v~τ0 p~τ0dv vd~τ0q  vdv~τ0 ~τ0 v2~τ0  d~τ0  vdv (1.85) nebot’ ~τ0  ~τ0  1 a tedy dp~τ0  ~τ0 q  d~τ0  ~τ0 ~τ0  d~τ0  2~τ0 d~τ0  0 (~τ0 a

d~τ0 jsou tedy navz´ajem kolm´e). M´ame tedy mvdv

 F~  d~r

(1.86)

Integrujeme-li tuto rovnici mezi dvˇema polohami hmotn´eho bodu p~r1 , ~v1 q a p~r2 , ~v2 q, dostaneme 1 2 1 2 mv
mv 2 2 2 1



» ~r2 ~r1

F~  d~r

(1.87)

kde v2 a v1 jsou velikosti rychlost´ı pˇr´ısluˇsn´ ych polohov´ ym vektor˚ um ~r2 a ~r1 . Libovoln´ e vnˇ ejˇ s´ı silov´ e p˚ usoben´ı na vyˇ setˇ rovan´ e tˇ eleso z hlediska probˇ ehl´ e dr´ ahy urˇ cuje tzv. dr´ ahov´ y integr´ al s´ıly (jde obecnˇ e o kˇ rivkov´ y integr´ al) 29

A12



» ~r2 ~r1

F~  d~r

(1.88)

kter´ y se naz´ yv´a mechanick´ a pr´ ace. Jednotkou mechanick´e pr´ace je y pr´aci, kterou vykon´a s´ıla 1N na dr´aze 1m ve smˇeru dr´ahy. joule pJ q rovn´ Lev´a strana rovnice (1.87) vyjadˇruje zmˇenu pohybov´eho stavu tˇelesa v d˚ usledku mechanick´e pr´ace. Veliˇcinu Ek

 12 mv2

(1.89)

naz´ yv´ame kinetickou energi´ı hmotn´eho bodu nebo tˇelesa. Shrnut´ı: Pˇr´ır˚ ustek kinetick´e energie hmotn´eho bodu mezi dvˇema m´ısty urˇcen´ ymi polohov´ ymi vektory ~r1 a ~r2 odpov´ıd´a vykonan´e mechanick´e pr´aci s´ıly mezi tˇemito dvˇema m´ısty. Pˇrijmeme n´asleduj´ıc´ı konvenci: • Pokud vnˇejˇs´ı s´ıly pohyb tˇelesa podporuj´ı, povaˇzujeme vykonanou pr´aci za kladnou. Pˇr´ır˚ ustek kinetick´e energie je kladn´ y. Tedy dEk  dA. • Pokud vnˇejˇs´ı s´ıly pohyb tˇelesa brzd´ı, povaˇzujeme vykonanou pr´aci za z´apornou a z´aporn´ y je i pˇr´ır˚ ustek kinetick´e energie. Stejnˇe lze ˇr´ıci, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe pohybuj´ıc´ı se tˇeleso kon´a pr´aci na okoln´ıch tˇelesech. Kˇrivkov´ y integr´al, tedy i (1.88) m˚ uˇzeme (analogicky Riemannovu integr´alu) vypoˇc´ıtat jen, zn´ame-li pr˚ ubˇeh integrovan´e funkce. Pro element pr´ace plat´ı (1.90) dA  F~  d~r  F~  ~τ0 ds  F ds cos α α je u ´hel mezi silou a teˇcnou k dr´aze (obr. xiii). F~ a α jsou funkce ˇcasu a polohy. Z rovnice (1.88) plyne ihned, ˇze pr´aci kon´a pouze teˇcn´a sloˇzka s´ıly. Pˇr´ıklad: Vypoˇc´ıt´ame pr´aci s´ıly v t´ıhov´em poli. T´ıhov´a s´ıla p˚ usob´ı ve vˇsech m´ıstech pohybu tˇelesa, a proto ˇr´ık´ame, ˇze v prostoru, kde pohyb tˇeles vyˇsetˇrujeme, je silov´ e pole. Existence jak´ehokoli silov´eho pole v prostoru se projevuje tak, ˇze na vloˇzen´e tˇeleso p˚ usob´ı obecnˇe nˇejakou silou. Silov´e ~  m~g konstantn´ım co do smˇeru pole t´ıhy se vyznaˇcuje silov´ ym vektorem G i velikosti. Sledovan´ y hmotn´ y bod bude pˇrem´ıstˇen z m´ısta 1 rx1 , y1 , z1 s do m´ısta 2 rx2 , y2 , z2 s (obr. xiv) bez pˇr´ıtomnosti tˇren´ı Dle (1.90) m´ame A12



»2 1

Gds cos α  G

»2 1 30

ds cos α  mgy1
mgy2

(1.91)

F~

α

F~ α α F~ Obr´ azek xiii: K v´ ykladu pr´ace. y 1 ~r1

ds 2

α

ds  cos α

~ G ~r2 x

z Obr´ azek xiv: Pr´ace v t´ıhov´em poli Pˇritom konstantn´ı s´ılu G jsme postavili pˇred integr´al a hodnoty ds cos α pˇredstavuj´ı pr˚ umˇety elementu dr´ahy do vertik´aln´ıho smˇeru. Vykonan´a uˇzeme ji vyj´adˇrit ve tvaru pr´ace A12 ¡ 0, pokud y1 ¡ y2 . M˚ A12

 Ep
Ep 1

2

(1.92)

Dle (1.88) a (1.89) je tato pr´ace rovna pˇr´ır˚ ustku kinetick´e energie hmotn´eho bodu mezi body 1 a 2. A12

 Ek
Ek 2

1

(1.93)

porovn´an´ım obou rovnic plyne E k1

E p1

 Ek

2

31

E p2

 konst

(1.94)

Veliˇcinu Ep , kter´a je funkc´ı polohy hmotn´eho bodu v silov´em poli, naz´ yv´ame polohovou (potenci´ aln´ı) energi´ı a souˇcet obou energi´ı pokl´ad´ame za celkovou mechanickou energii hmotn´eho bodu. Pak plat´ı, ˇze celkov´a mechanick´a energie je konstantn´ı veliˇcina. Uveden´ y pˇr´ıklad lze zobecnit. Pˇredstavme si v t´ıhov´em silov´em poli pohyb hmotn´eho bodu po uzavˇren´e dr´aze z m´ısta 1 do m´ısta 2 a zpˇet (obr. 1.15). 1 d~r

~r

O

d~r

~r

2 Obr´ azek xv: Pohyb tˇelesa v silov´em poli po uzavˇren´e dr´aze. Pro pr´aci s´ıly po takov´e dr´aze plat´ı A  A12

(1.95)

A21

a dle (1.92) A12

 Ep
Ep 1

A21

2

 Ep
Ep 2

1

(1.96)

a celkov´a pr´ace s´ıly po uzavˇren´e dr´aze je nulov´a, coˇz vyjadˇrujeme podm´ınkami ¾

F~  d~r  0

E

 Ek

Ep

 konst.

(1.97)

kde je symbolicky vyj´adˇren integr´al po uzavˇren´e dr´aze. T´ıhov´e pole je d˚ uleˇzit´ ym pˇr´ıpadem potenci´ alov´ eho neboli konzervativn´ıho pole, pro kter´e plat´ı, ˇze se v nˇem zachov´av´a mechanick´a energie. Vztahy (1.97) plat´ı v jak´emkoli konzervativn´ım poli a vyjadˇruj´ı z´akon zachov´ an´ı mechanick´ e energie. Pokud proti pohybu tˇelesa p˚ usob´ı nˇejak´ y odpor (tˇren´ı), doch´az´ı k tomu, ˇze tˇeleso na uzavˇren´e dr´aze ztrat´ı ˇc´ast sv´e mechanick´e energie na u ´ˇcet pr´ace, kterou mus´ı vykonat pˇri pˇrekon´av´an´ı odporu vnˇejˇs´ıch sil. Celkov´a pr´ace, kterou konaj´ı s´ıly pˇri pohybu po uzavˇren´e dr´aze je z´aporn´a. Takov´a silov´a pole se pak naz´ yvaj´ı nekonzervativn´ı neboli dissipativn´ı. Zde doch´az´ı 32

k ˇc´asteˇcn´e pˇremˇenˇe mechanick´e energie v jin´e druhy energie (teplo) dle obecn´ eho principu zachov´ an´ı energie. Shrnut´ı: Z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie je d˚ usledek Newtonov´ ych z´akon˚ u. Je zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadem obecn´eho z´akona zachov´an´ı energie. M´ırou rychlosti v´ ykonu pr´ace nebo zmˇeny energie je veliˇcina v´ ykon, kter´a je definov´ana jako

 dA dt

(1.98)

F  d~r  dA   F~  ~v dt dt

(1.99)

P Plat´ı zˇrejmˇe P

~

Jednotkou v´ ykonu je 1W (watt), kter´ y znamen´a pr´aci 1J (joule) za 1 sekundu. Je-li v´ ykon P st´al´ y, plat´ı pro pr´aci zˇrejmˇe AP t

(1.100)

ˇ Casov´ yu ´ˇ cinek s´ıly, hybnost a impuls Vyjdeme opˇet z rovnice (1.50), kterou n´asob´ıme element´arn´ı dobou dt (1.101)  F~ dt Sledujeme-li p˚ usoben´ı s´ıly v intervalu pt1 , t2 q, dostaneme integrac´ı md~v

m~v2
m~v1



» t2

F~ dt

(1.102)

t1

´ cinek s´ıly z hlediska doby vyjadˇruje tedy ˇcasov´ Uˇ y integr´al I~ 

» t2

F~ dt

(1.103)

t1

kter´ y naz´ yv´ame impulsem s´ıly. Impuls s´ıly vede ke zmˇenˇe hybnosti tˇelesa dle (1.48) a je p~2
p~1

 I~

(1.104)

Pˇr´ır˚ ustek hybnosti, zp˚ usoben´ y silou v urˇcit´em ˇcasov´em intervalu, je urˇcen co do smˇeru i velikosti impulsem s´ıly. Impuls s´ıly umoˇzn ˇuje posoudit v´ ysledn´ y ˇcasov´ y efekt p˚ usob´ıc´ıch sil, aniˇz bychom museli detailnˇe zn´at jejich ˇcasovou z´avislost. Rovnice (1.102) 33

umoˇzn ˇuje nahradit ˇcasovˇe z´avisl´ y efekt p˚ usob´ıc´ıch sil efektem pr˚ umˇern´e s´ıly I~ 

» t2 t1

F~ dt  F~ pt2
t1 q

(1.105)

Vˇsimneme si, ˇze pˇri stejn´e zmˇenˇe hybnosti je pr˚ umˇern´a s´ıla velk´a, je-li ˇcasov´ y interval mal´ y. Napˇr´ıklad pˇri ˇceln´ıch sr´aˇzk´ach, kter´e trvaj´ı kr´atkou dobu, p˚ usob´ı obrovsk´e s´ıly, vedouc´ı napˇr. k roztˇr´ıˇstˇen´ı aut. Moment s´ıly a moment hybnosti V rovnici (1.45) jsme zavedli moment s´ıly k posouzen´ı ot´aˇciv´eho u ´ˇcinku ~ ~ s´ıly vzhledem k bodu O pM  ~r  F q. Hledejme nyn´ı, jak´e veliˇciny budou charakterizovat pohyb v pˇr´ıpadˇe ot´aˇcen´ı kolem nˇejak´eho bodu. Dosad´ıme za s´ılu do rovnice pro moment s´ıly ~ M

v  ~r  F~  ~r  m d~ dt

(1.106)

a vyuˇzijeme identity d~r d~r d p ~r  m~v q   m dt dt dt kde prvn´ı ˇclen napravo je nulov´ y. Je tedy

~r  m

d~v dt

(1.107)

d d~b p~r  m~vq  dt dt

(1.108)

~b  p~r  m~v q  ~r  p~

(1.109)

~ M



kde v´ yraz

naz´ yv´ame momentem hybnosti hmotn´eho bodu vzhledem k pevn´emu bodu O. Rovnice (1.108) je analogi´ı 2. Newtonova z´akona pro moment s´ıly a moment hybnosti. Ve v´ ykladu o mechanice tuh´eho tˇelesa uvid´ıme, ˇze hybnost a moment hybnosti charakterizuj´ı pohybov´ y stav tˇelesa podobnˇe jako mechanick´a energie.

34

Kapitola 2

Gravitaˇ cn´ı z´ akon 2.1

Newton˚ uv gravitaˇ cn´ı z´ akon

Dva hmotn´e body o hmot´ach m1 a m2 , jejichˇz vzd´alenost je r, p˚ usob´ı na sebe silou velikosti F

2  κ mr1m 2

(2.1)

Konstantu κ zde naz´ yv´ame gravitaˇcn´ı konstantou. Je urˇcena experiment´alnˇe jako κ  p6, 670  0, 007q  10
11 N m2 kg
2 , nebot’ jednotky pro s´ılu, hmotnost a d´elku jsou v soustavˇe SI urˇceny nez´avisle na gravitaˇcn´ım z´akonˇe. S´ıla (2.1) je pˇritaˇzliv´a a p˚ usob´ı ve smˇeru spojnice hmotn´ ych bod˚ u (ˇci stˇred˚ u homogenn´ıch koul´ı). Maj´ı-li hmotn´e body polohov´e vektory ~r1 , ~r2 , pak pro s´ılu F~21 , j´ıˇz p˚ usob´ı prv´ y bod na druh´ y plat´ı vektorovˇe F~21


κ |~rm
1m~r2|3 p~r2
~r1q 2

1

(2.2)

Vˇsimneme si, ˇze pˇritaˇzliv´a s´ıla m´a opaˇcn´ y smˇer neˇz vektor ~r2
~r1 . S´ıla, kterou p˚ usob´ı druh´ y bod na prv´ y, je d´ana 3. Newtonov´ ym z´akonem a plat´ı ~ ~ yv´ame Newtonov´ ym gravitaˇ cn´ım F12 
F21 . Rovnice (2.1) a (2.2) naz´ z´ akonem. Newton˚ uv gravitaˇcn´ı z´akon vyhovuje velmi pˇresnˇe jak pozemsk´ ym pozorov´an´ım, tak i pˇri v´ ypoˇctu pohyb˚ u kosmick´ ych tˇeles, je-li rychlost mal´a ve srovn´an´ı s rychlost´ı svˇetla. Pˇresto obsahuje v sobˇe ot´azku, jak´ ym zp˚ usobem se m˚ uˇze na d´alku pˇren´aˇset silov´e p˚ usoben´ı jednoho tˇelesa na druh´e, bez ohledu na to, stoj´ı-li mezi nimi dalˇs´ı tˇelesa. Newton s´am o p˚ uvodu gravitaˇcn´ı s´ıly nespekuloval a sv˚ uj z´akon povaˇzoval za pouh´ y popis skuteˇcnosti. Probl´em spoˇc´ıv´a v tom, ˇze v Newtonovˇe dobˇe se nepˇripisoval ˇz´adn´ y v´ yznam prostoru, kter´ y obklopuje tˇelesa. Dnes v´ıme, ˇze gravitaˇcn´ı pole, kter´e kolem sebe tˇelesa vytv´aˇrej´ı, tento prostor ovlivˇ nuje, a povaˇzujeme jej za formu existence hmoty. Shrnut´ı: Vz´ajemn´e pˇritahov´an´ı je zp˚ usobeno vz´ajemnou interakc´ı tˇeles a gravitaˇcn´ıch pol´ı. Zobecnˇen´ı Newtonova z´akona (2.1) a (2.2) pod´av´a 35

obecn´a teorie relativity. Uvaˇzujme gravitaˇcn´ı silov´e pole, kter´e vznik´a v okol´ı hmotn´eho bodu o hmotnosti M a p˚ usob´ı na hmotn´ y bod o hmotnosti m. Poloˇzme poˇc´atek soustavy souˇradn´e do bodu o hmotnosti M . Bude-li m ! M , m˚ uˇzeme tuto soustavu pokl´adat v dobr´em pˇribl´ıˇzen´ı za inerci´aln´ı. V takov´e soustavˇe souˇradn´e bude platit F~

~r 
κ mM r3

(2.3)

je-li polohov´ y vektor hmotn´eho bodu m ~r. Touto rovnic´ı je zad´ano gravitaˇcn´ı silov´e pole bodu M . S´ıla (2.3) je u ´mˇern´a hmotnosti m, jej´ı normalizac´ı na jednotkovou hmotnost dostaneme intenzitu gravitaˇ cn´ıho pole F~ I~  (2.4) m Pozn´amka: intenzitu pole lze ovˇsem zav´est v jak´emkoli silov´em poli. Vypoˇcteme nyn´ı pr´aci A12 vykonanou polem na hmotn´ y bod, pˇrejde-li z m´ısta urˇcen´eho polohov´ ym vektorem ~r1 do m´ısta s polohov´ ym vektorem ~r2 . Bude platit A12



» r2 r1

F~  d~r 

» r2 r1

~r  d~r 
κmM
κ mM r3

» r2 r1

1 ~r   d~r r2 r

(2.5)

umˇetem elementu dr´ahy d~r do smˇeru ~r a Skal´arn´ı souˇcin ~rr  d~r je pr˚ m˚ uˇzeme jej oznaˇcit dr. Bude pak platit A12


κmM

» ~r2 ~r1

1 1 dr  κmM p r2 r2


r1 q

(2.6)

1

Pr´ace A12 je tedy z´avisl´a pouze na rozd´ılu vzd´alenosti bod˚ u ~r1 a ~r2 od poˇc´atku soustavy souˇradn´e. Gravitaˇcn´ı silov´e pole je tedy konzervativn´ı. S vyj´ımkou poˇc´atku soustavy souˇradn´e plat´ı pro rozd´ıl potenci´aln´ıch energi´ı v m´ıstech ~r1 a ~r2 Ep2
Ep1 
A12 . Dosad´ıme-li tento vztah do (2.6), dostaneme E p2
E p1


A12  κmM p r1
r1 q 1

(2.7)

2

Zvol´ıme nyn´ı nulovou hodnotu potenci´aln´ı energie v nekoneˇcnˇe vzd´alen´em bodˇe rovnu nule. Budeme-li za tento bod povaˇzovat bod 2 v (2.7) (Ep2  0 , r12 Ñ 0) a budeme-li bod ~r1 povaˇzovat za obecn´ y bod ~r, dostaneme 36

E p1


κmM r

(2.8)

potenci´aln´ı energii gravitaˇcn´ıho pole bodu o hmotnosti M jako skal´arn´ı funkci souˇradnic, v tomto pˇr´ıpadˇe vzd´alenosti r. 2.2

Pohyb v zemsk´ em t´ıhov´ em poli

S t´ıhovou silou jsme se sezn´amili jiˇz dˇr´ıve. Uk´aˇzeme nyn´ı souvislost (1.59) s Newtonov´ ym gravitaˇcn´ım z´akonem (2.2). Uveden´ y postup plat´ı samozˇrejmˇe zcela obecnˇe, my vˇsak budeme uvaˇzovat pro n´azornost pouze speci´aln´ı pˇr´ıpad t´ıhov´eho pole Zemˇe. Pˇrijmeme nyn´ı bez d˚ ukazu tvrzen´ı, ˇze gravitaˇcn´ı pole vnˇe Zemˇe lze popsat v´ yrazy (2.1) a (2.2), poloˇz´ıme-li poˇc´atek soustavy souˇradn´e do stˇredu Zemˇe. V bl´ızkosti zemsk´eho povrchu lze v´ yraz 3 2
κMZ ~r{r pokl´adat za pˇribliˇznˇe st´al´y a rovn´y v´yrazu
κMZ ~r0{RZ , kde RZ je polomˇer Zemˇe a ~r0 je jednotkov´ y vektor v radi´aln´ım smˇeru (tj. svisle vzh˚ uru). Pro gravitaˇcn´ı zrychlen´ı v bl´ızkosti zemsk´eho povrchu pak dostaneme m~g

Z ~r0 
κ mM 2 R Z

~g

Z 
κ M ~r0 R2

(2.9)

Z

g

Z  κM 2 R Z

Zd˚ uraznˇeme jeˇstˇe jednou, ˇze uveden´e zaveden´ı gravitaˇcn´ıho zrychlen´ı lze prov´est jen pro tak velk´ y prostor u povrchu Zemˇe, kde je moˇzno zanedbat zmˇenu gravitaˇcn´ı s´ıly se vzd´alenost´ı od stˇredu Zemˇe a tak´e vz´ajemn´ y u ´hel svislic v jednotliv´ ych m´ıstech uvaˇzovan´eho prostoru. Poznamenejme rovnˇeˇz, ˇze skuteˇcn´e zrychlen´ı u zemsk´eho povrchu je d´ano rozd´ılem gravitaˇcn´ıho zrychlen´ı (2.9) a odstˇrediv´eho zrychlen´ı, o kter´em jsme pojednali v minul´e kapitole. Toto zrychlen´ı pak naz´ yv´ame t´ıhov´ ym zrychlen´ım a silov´e pole dan´e gravitaˇcn´ım polem a polem odstˇrediv´e s´ıly (situaci uvaˇzujeme z hlediska neinerci´aln´ıho syst´emu) naz´ yv´ame t´ıhov´ ym polem. Obecn´ y pohyb v t´ıhov´em poli naz´ yv´ame vrhem. Pohybuje-li se hmotn´ y bod v t´ıhov´em poli, p˚ usob´ı na nˇej ve vertik´aln´ım smˇeru t´ıhov´a s´ıla, a budeme-li uvaˇzovat pohyb ve vzduchopr´azdnu, nebudou p˚ usobit tˇrec´ı s´ıly. Bude-li smˇer t´ıhov´e s´ıly totoˇzn´ y se z´aporn´ ym smˇerem osy y, pˇrejdou pohybov´e rovnice (1.61) do tvaru

37

d2 x dt2 d2 y dt2 d2 z dt2

0 
g

(2.10)

0

kter´e jsme jiˇz kr´atili nenulovou hmotnost´ı m (tj. pohybov´e rovnice zˇrejmˇe nez´avis´ı na hmotnosti). Integrac´ı uveden´ ych rovnic dostaneme sloˇzky vektoru okamˇzit´e rychlosti a sloˇzky polohov´eho vektoru hmotn´eho bodu. Integrace znamen´a naj´ıt takov´e vektorov´e funkce ~rptq a ~v ptq, abychom jejich dvojn´asobn´ ym, resp. jednoduch´ ym derivov´an´ım obdrˇzeli rovnice (2.10). V souladu s obecn´ ym v´ ykladem o pohybov´ ych rovnic´ıch budou tyto funkce obsahovat integraˇcn´ı konstanty, kter´e se urˇc´ı z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek, (tj. poˇc´ateˇcn´ı polohy a poˇc´ateˇcn´ı rychlosti), tj. situace v ˇcase t  0. Pro sloˇzky vektoru okamˇzit´e rychlosti. dx dt dy dt dz dt

 vx  vx

0

 vy 
gt  vz  vz

v y0

(2.11)

0

~v0  pvx0 , vy0 , vz0 q je poˇc´ateˇcn´ı rychlost. Pro sloˇzky polohov´eho vektoru dostaneme z (2.11) jednoduˇse x  v x0 t x0 1 y 
gt2 vy0 t 2 z  v z0 t z 0

y0

(2.12)

y vektor hmotn´eho bodu. kde ~r0  pxx0 , yy0 , zz0 q je poˇc´ateˇcn´ı polohov´ Rovnice (2.12) lze jednoduˇse sepsat do jedin´e vektorov´e rovnice ~r  ~r0

1 2 ~g t (2.13) 2 Uveden´ y popis lze zjednoduˇsit, zvol´ıme-li soustavu souˇradnou tak, aby ~r0  0. D´ale uv´aˇz´ıme-li, ˇze ve smˇeru osy z nep˚ usob´ı ˇz´adn´a s´ıla, m˚ uˇzeme pohyb pokl´adat za rovinn´ y v rovinˇe xy. Uv´aˇz´ıme-li jeˇstˇe, ˇze na poˇc´atku ~v0 t

38

y

dr´aha pohybu ~v0 α x Obr´ azek i: Pohyb v t´ıhov´em poli. sv´ır´a vektor ~v0 s osou x u ´hel α (elevaˇcn´ı u ´hel), lze rovnice (2.12) pˇrepsat do jednoduch´eho tvaru (viz rovnˇeˇz obr. i) x v0 t cos α

v0t sin α
12 gt2 z 0

y

(2.14)

Tvar rovnice dr´ahy zjist´ıme vylouˇcen´ım parametru t ze vztah˚ u (2.14). t y

x v0 cos α 1 gx2 2 v02 cos2 α

 x tan α


 pkonst.qx
pkonst.1qx2

(2.15)

ysledkem coˇz je rovnice paraboly (s vyj´ımkou pˇr´ıpadu α  90 , kdy bude v´ pˇr´ımoˇcar´ y pohyb - vrh svisl´ y). Odvod’me nyn´ı z (2.14) a (2.15) parametry vrhu. Nejvyˇsˇs´ı v´ yˇska a ˇcas jej´ıho dosaˇzen´ı. Nejvyˇsˇs´ı v´ yˇsky hmotn´ y bod dos´ahne, kdyˇz vy  0 (bod obratu). Plat´ı vy


gt

v0 sin α  0

(2.16)

odtud m´ame t1

α  v0 sin g

a po dosazen´ı do (2.14) 39

(2.17)

h  y1

 v0t1 sin α
12 gt21

h h

v02 sin2 α 1 v02 sin2 α
2 g g2 g 1 v02 sin2 α 2 g

(2.18)

Nejvˇetˇs´ı v´ yˇsky se dos´ahne pˇri vrhu svisl´em vzh˚ uru, kdy je α  90 a pak h  v02 {2g • Dostˇrel (dolet), tj. horizont´aln´ı vzd´alenost mezi m´ıstem vypuˇstˇen´ı a m´ıstem doletu. T´eto vzd´alenosti hmotn´ y bod dos´ahne, bude-li y v (2.14) rovno nule

 v0t sin α
12 gt2  0 v0 sin α t2   2t1 g y

(2.19)

kde ˇreˇsen´ı t  0 (ˇcas vypuˇstˇen´ı) neuvaˇzujeme. Dosad´ıme-li do prvn´ı rovnice (2.14), m´ame 2

x2 x2

 v0t2 cos α  2v0 cosgα sin α 

v02 sin 2α g

(2.20)

Nejvˇetˇs´ıho dostˇrelu se dos´ahne, kdyˇz α  45 . Pˇri vrhu v atmosf´eˇre pˇristupuje k t´ıhov´e s´ıle jeˇstˇe odpor vzduchu. Ten m´a za n´asledek, ˇze dr´aha, kterou vrˇzen´e tˇeleso opisuje, jiˇz nen´ı parabola, ale kles´a strmˇeji neˇz stoup´a. Takov´e kˇrivky naz´ yv´ame balistick´ e a nauku, kter´a se jimi zab´ yv´a, vnˇejˇs´ı balistikou. 2.3

Pohyb v nehomogenn´ım gravitaˇ cn´ım poli - Keplerova u ´ loha

Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pohyb voln´eho hmotn´eho bodu o hmotnosti m v gravitaˇcn´ım silov´em poli (2.2). Uveden´ y v´ ypoˇcet plat´ı opˇet obecnˇe, my vˇsak budeme pro n´azornost uvaˇzovat pod hmotn´ ym bodem M Slunce a pod hmotn´ ym bodem m nˇekterou z planet. Hovoˇr´ıme pak o ˇreˇsen´ı Keplerovy u ´lohy. Pole popsan´e rovnic´ı (2.2) je centr´ aln´ı silov´ e pole. Centr´aln´ım silov´ ym polem naz´ yv´ame kaˇzd´e pole, kde s´ılu lze ps´at ve tvaru 40

F~

 f prq ~rr

(2.21)

Stˇred centr´aln´ı s´ıly je v poˇc´atku soustavy souˇradn´e a velikost r polohov´eho vektoru je radi´aln´ı vzd´alenost. f prq je libovoln´a skal´arn´ı funkce r. Pˇri pohybu hmotn´eho bodu v poli centr´aln´ı s´ıly je moment s´ıly v˚ uˇci stˇredu centr´aln´ı s´ıly nulov´ y, protoˇze

 ~r  F~  ~r  f prq ~rr  0 podle (1.108) je pak d~b{dt  0, tedy ~b  ~b0  konst. a ~ M

|~b0|  |~r  m~v|  rmv sin α  konst.

(2.22)

(2.23)

Podle pravidel o vektorov´em souˇcinu mus´ı vektory ~r a ~v leˇzet v rovinˇe kolm´e ke konstantn´ımu ~b0 , pohyb v centr´aln´ım poli je tedy rovinn´ y. V´ yraz 1 a v diferenci´aln´ım pˇribl´ıˇzen´ı v´ yznam plochy opsan´e 2 rv sin α z (2.23) m´ pr˚ uvodiˇcem hmotn´eho bodu za jednotku ˇcasu (ii) a naz´ yv´a se ploˇ snou rychlost´ı. Plat´ı vp

b0  12 rv sin α  2m  konst.

(2.24)

d~r α ~v

~r ~r

d~r

vp M dS

1 dr 1 r sin α  rv sin α  dS  dt 2 dt 2

 12 |~r  d~r|  12 rdr sin α

Obr´ azek ii: Pohyb v centr´aln´ım poli. Rovnice (2.24) je obsahem 2. Keplerova z´akona: Plochy opsan´ e pr˚ uvodiˇ cem planety za jednotku ˇ casu jsou konstantn´ı. 41

Hled´an´ı dr´ahy hmotn´eho bodu v gravitaˇcn´ım poli si m˚ uˇzeme usnadnit pouˇzit´ım z´akona zachov´an´ı energie, nebot’ gravitaˇcn´ı pole je konzervativn´ı. Celkov´a mechanick´a energie EM hmotn´eho bodu bude konstantn´ı, a protoˇze pohyb je rovinn´ y, staˇc´ı n´am k jeho popisu pol´arn´ı souˇradnice r a ϕ (viz. rovnice (III) v u ´vodu skript). (N´ asleduj´ıc´ı odvozen´ı dr´ ahy pohybu nebude vyˇzadov´ ano ke zkouˇsce a v´ yklad I. Keplerova z´ akona bude vyˇzadov´ an pouze v pˇrehledu).

Sloˇzky rychlosti dostaneme derivov´an´ım ((III)) dle ˇcasu vx

dϕ cos ϕ
r sin ϕ  dr dt dt

(2.25)

dr dϕ sin ϕ r cos ϕ vy  dt dt Pro konstantn´ı vektor b0 z (2.23) d´ale plat´ı (viz obr. ii) b0

 mrv sin α  mr2 dϕ dt

(2.26)

Pro celkovou mechanickou energii plat´ı dle (1.97) a (2.8) EM

 E0  Ek

Ep

 12 mv2
κmM  konst. r

(2.27)

D´ale plat´ı z (2.24) v

2



vx2

vy2





dr dt

2



r

2

dϕ dt

2

(2.28)

a tedy E0

 12 m



dr dt

2



r2

dϕ dt

2 


κmM r

Z rovnic (2.25) a (2.28) m˚ uˇzeme nyn´ı urˇcit z´avislosti

dr dt

(2.29) a

dϕ dt .

Je

dϕ b0  (2.30) mr2

dt 2E0 2α b20 dr (2.31) 
dt m mr m2 r2 kde jsme zavedli α  κmM . Pˇri ˇreˇsen´ı Keplerovy u ´lohy n´as m´ısto ˇcasov´ ych z´avislost´ı rptq a ϕptq zaj´ım´a pouze dr´aha ϕprq. Vyuˇzijeme vztahu dϕ dr

dt  dϕ dt dr 42

(2.32)

Dosad´ıme-li sem z (2.30) a (2.31), m´ame dϕ dr

b0 b  mr 2

1 2E0 m




2α mr

(2.33)

b20 m2 r 2

a pol´arn´ı u ´hel ϕ bude d´an integr´alem z prav´e strany dle promˇenn´e r. Jak se lze pˇresvˇedˇcit derivov´an´ım, je v´ ysledkem integrace funkce b0 r


αm b

ϕ  arccos b 2mE0 zkrat’me nyn´ı zlomek v´ yrazem

αm b0 ,

ϕ  arccos

0

k

α 2 m2 b20

(2.34)

kde bude

b20 bαmr


1

2E0 b20 α2 m

k

(2.35)

1

Oznaˇcme jeˇstˇe nyn´ı

ε

p

b20 αm

2E0 b20 α2 m

1

(2.36)

(2.35) pak pˇrejde na tvar ϕ  arccos

p r


1 ε

k


1 cospϕ
k q  ε p r 1 ε cospϕ
k q

(konec nepovinn´eho odvozen´ı)

43

p r

(2.37)

coˇz je pol´arn´ı rovnice kuˇzeloseˇcky. Zde veliˇcina r ud´av´a vzd´alenost bodu ´hlem, kter´ y pr˚ uvodiˇc na kuˇzeloseˇcce od jednoho ohniska a u ´hel pϕ
k q je u sv´ır´a s osou kuˇzeloseˇcky proch´azej´ıc´ı ohniskem. Pro urˇcen´ı charakteru kuˇzeloseˇcky je rozhoduj´ıc´ı parametr ε. Plat´ı   . . . elipsa   1 ε (2.38)  1 . . . parabola   ¡ 1 . . . hyperbola Podm´ınka (2.38) znamen´a dle (2.36)  . . . elipsa    0 E0  0 . . . parabola   ¡ 0 . . . hyperbola

(2.39)

Omez´ıme -li se na E0   0, je obsahem rovnice (2.37) 1. Kepler˚ uv z´akon: Planety ob´ıhaj´ı kolem Slunce po elips´ ach, v jejichˇ z jednom ohnisku leˇ z´ı Slunce. Je-li E0 ¥ 0, nen´ı dr´aha hmotn´eho bodu uzavˇren´a a hmotn´ y bod projde silov´ ym polem pouze jednou. Nejmenˇs´ı velikost rychlosti, kterou mus´ı hmotn´ y bod ve vzd´alenosti r od centr´aln´ı hmoty m´ıt, aby mohl pole opustit, z´ısk´ame z podm´ınky E0

 12 mv2
κ mM 0 r v



2κM r

(2.40)

Dosad´ıme-li sem hmotnost Zemˇe za M a polomˇer Zemˇe RZ za r, dostaneme 2. kosmickou rychlost (rychlost k opuˇstˇen´ı Zemˇe pˇri startu ze zemsk´eho povrchu). Jej´ı hodnota je pˇribliˇznˇe 11, 2 km{s. Odvod’me (odvozen´ı opˇet nebude vyˇzadov´ano ke zkouˇsce) na z´avˇer jeˇstˇe vztah mezi dobou obˇehu hmotn´eho bodu a velikost´ı velk´e poloosy a tohoto pohybu. Souˇcin ploˇsn´e rychlosti a doby obˇehu T mus´ı b´ yt roven obsahu elipsy o poloos´ach a, b

 πab

(2.41)

 2mπab

(2.42)

T vp Dosad´ıme-li sem z (2.24), m´ame T b0

Z teorie kuˇzeloseˇcek vypl´ yv´a, ˇze v pˇr´ıpadˇe elipsy je parametr p roven 44

b2 a.

Dosad´ıme-li za p z (2.36), m´ame b  b0


a 1 2

αm Dosad´ıme nyn´ı do (2.42) a rovnici uprav´ıme
a 1 2

 2mπab0 αm T  2πm a α
4π 2 ma3 2 T  α

T b0

1 2

T2 a3

(2.43)

3 2

1 2

(2.44)

2

4π  κM  konst.

(konec nepovinn´eho odvozen´ı)

Posledn´ı rovnice vyjadˇruje 3. Kepler˚ uv z´akon: Pod´ıl druh´ e mocniny obˇ eˇ zn´ e doby a tˇ ret´ı mocniny velk´ e poloosy je konstanta. Pak pomˇ er druh´ ych mocnin obˇ eˇ zn´ ych dob dvou planet je roven pomˇ eru tˇ ret´ıch mocnin jejich velk´ ych poloos. Ke 3. Keplerovu z´akonu lze doj´ıt element´arnˇe pro kruhov´e dr´ahy obˇehu, uvˇedom´ıme-li si, ˇze dostˇredivou s´ılu, nutnou pro vznik rovnomˇern´eho kruhov´eho pohybu realizuje gravitaˇcn´ı s´ıla (d˚ ukaz pˇ renech´ av´ ame ˇ cten´ aˇ ri jako cviˇ cen´ı). Pˇrep´ıˇseme-li posledn´ı rovnici v (2.44) pro kruhovou dr´ahu a  r pomoc´ı zn´am´ ych vztah˚ u ω  2π {T a v  ωr κM v2 (2.45)  2 r r3 Dosad´ıme-li sem za r polomˇer Zemˇe RZ a za M jej´ı hmotnost MZ , dostaneme rychlost, jakou mus´ı m´ıt hmotn´ y bod, aby ob´ıhal kolem Zemˇe v jej´ı bezprostˇredn´ı bl´ızkosti. Dostaneme tzv. I. kosmickou rychlost

 Jej´ı velikost je pˇribliˇznˇe 7, 9 km{s. vI

45

κMZ RZ

(2.46)

Kapitola 3

Kmity Kmitav´ ym pohybem (kmit´an´ım, oscilac´ı) naz´ yv´ame obecnˇe takov´ y pohyb hmotn´eho bodu nebo tˇelesa, pˇri nˇemˇz bod nepˇrekroˇc´ı koneˇcnou vzd´alenost od jist´e rovnov´aˇzn´e polohy. Rovnov´aˇznou polohu by bod zaujal, kdyby byl v klidu. Je- li ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh pravideln´ y, tj. opakuje-li se s periodou T , pak jej naz´ yv´ame kmitav´ ym periodick´ ym pohybem. Nejjednoduˇsˇs´ım kmitav´ ym pohybem je pohyb po u ´seˇcce. Pohybuj´ıc´ı se hmotn´ y bod pak naz´ yv´ame line´ arn´ım oscil´ atorem. Je-li pr˚ ubˇeh pohybu pops´an harmonickou funkc´ı psin, cosq, pak pohyb naz´yv´ame line´arn´ım harmonick´ym pohybem. Se z´akladn´ımi vlastnostmi tohoto pohybu jsme se sezn´amili v rovnic´ıch (1.28) a (1.29) a v rovnici (1.55) jsme uk´azali, ˇze p˚ usob´ıc´ı s´ıla m´a smˇer v´ ychylky a m´ıˇr´ı proti n´ı. Je-li kmitav´ y pohyb pops´an nˇejakou jinou periodickou funkc´ı, m˚ uˇzeme ke kvalitativn´ımu rozboru vyuˇz´ıt Fourierovu anal´ yzu. Fourier uk´azal, ˇze kaˇzd´ y periodick´ y pohyb lze zcela form´alnˇe rozloˇzit na nekoneˇcnˇe mnoho harmonick´ ych pohyb˚ u, jejichˇz frekvence jsou v pomˇeru pˇrirozen´ ych ˇc´ısel f : f2 : f3 : . . .  1 : 2 : 3 : . . .

(3.1)

Zde f se naz´ yv´a z´ akladn´ı frekvence a je rovna frekvenci obecn´eho periodick´eho pohybu, frekvence fi naz´ yv´ame vyˇ sˇ s´ımi harmonick´ ymi frekvencemi. Obr´acenˇe lze ˇr´ıci, ˇze skl´ad´an´ım harmonick´ ych kmit˚ u vznikne obecn´ y periodick´ y pohyb. V t´eto kapitole se budeme zab´ yvat pouze line´arn´ım harmonick´ ym oscil´atorem a skl´ad´an´ım harmonick´ ych kmit˚ u. 3.1

Netlumen´ e harmonick´ e kmity

Poloˇzme poˇc´atek soustavy souˇradn´e do rovnov´aˇzn´e polohy kmitav´eho pohybu a uvaˇzujme kmit´an´ı ve smˇeru osy x. Pak m´a s´ıla p˚ usob´ıc´ı na hmotn´ y bod o hmotnosti m konaj´ıc´ı line´arn´ı harmonick´ y pohyb jednoduch´ y tvar

46

F


kx

(3.2)

a pohybov´e rovnice (1.61) se zredukuj´ı na d2 x m 2 
kx dt (3.3) 2 dx m 2 kx  0 dt (3.3) je homogenn´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty. Tyto rovnice maj´ı obecn´e ˇreˇsen´ı ve tvaru x  Ceλt

(3.4)

Integraˇcn´ı konstanty urˇc´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek a λ z tzv. charakteristick´e rovnice, kterou dostaneme dosazen´ım (3.4) do (3.3)

0 0 k λ2 
m

mCλ2 eλt kCeλt mλ2 k

λ1,2

 i

(3.5)

k m

Obecn´e ˇreˇsen´ı (3.4) nabude tvaru line´arn´ı kombinace x  C1 e

i

`k

mt

C 2 e
i

`k

mt

(3.6)

Pro n´azornou interpretaci (3.6) vyuˇzijeme nyn´ı Eulerova vztahu

eix  cos xi sin x (vyuˇz´ıv´ame z´aroveˇ n sudosti funkce cos a lichosti funkce sin).



x  C1 cos

k t m

i sin

 pC1





k t m

C2 cos

C2 q cos

k t m

k t
i sin m

i pC1
C2 q sin



k t m

(3.7)

k t m

Oznaˇc´ıme nyn´ı C1 C2  A sin α i pC1
C2 q  A cos α 47

(3.8)

dostaneme x  A sin α cos



k k t A cos α sin t m m Tento vztah pˇrejde s vyuˇzit´ım souˇctov´eho vzorce sinpα β q  sin α cos β cos α sin β na rovnici obdobnou (1.28) x  A sin



(3.9)



k t m

(3.10)

α

Porovn´an´ım (1.28) a (3.10) dost´av´ame pro u ´hlovou rychlost harmonick´eho pohybu d˚ uleˇzit´ y vztah (viz t´eˇz 1.55).



k (3.11) m Vlastnosti netlumen´eho line´arn´ıho harmonick´eho pohybu jsme jiˇz probrali v I. kapitole (rovnice (1.28), (1.29), (1.33), (1.34) a (1.55)). Modelem netlumen´eho line´arn´ıho harmonick´eho oscil´atoru je napˇr. pohyb tˇelesa upevnˇen´eho na pruˇzinˇe po vodorovn´e rovinˇe bez tˇren´ı, kter´ y vznikne, vych´ yl´ımeli tˇeleso z rovnov´aˇzn´e polohy (relaxovan´a pruˇzina) a pot´e uvoln´ıme. Konstanta k v rovnici (3.11) se pak naz´ yv´a tuhost pruˇ ziny. ω

3.2

Energie harmonick´ ych kmit˚ u

Vypoˇcteme nyn´ı celkovou mechanickou energii E hmotn´eho bodu, kter´ y kon´a harmonick´ y kmit podle rovnice (1.28), tj. x  A sinpωt αq x0 . Rychlost pohybu byla d´ana rovnic´ı (1.29) jako dx{dt  Aω cospωt αq. Pak pro kinetickou energii hmotn´eho bodu plat´ı Ek

 12 mv2  12 mA2ω2 cos2pωt

αq

(3.12)

Potenci´aln´ı energii hmotn´eho bodu v m´ıstˇe x stanov´ıme z rovnice (1.90) Ep
Ep0 
A0x a pˇredpisu pro s´ılu (3.2). Nulovou hladinu potenci´aln´ı energie poloˇz´ıme pˇritom do rovnov´aˇzn´e polohy hmotn´eho bodu x0 , tj. Ep0  0. Bude pak Ep


A0x 

»x

x0

k pξ
x0 qdξ

kde ξ jsme oznaˇcili integraˇcn´ı promˇennou ξ v´ ychylky x. V´ ypoˇctem dostaneme

48

P px 0 , x q

(3.13) k odliˇsen´ı od

Ep





1 2 kξ 2

x


rkx0ξ sxx  12 kx2
12 kx20
kx0x

kx20

0



(3.14) 1 1 k px2
2xx0 x20 q  k px
x0 q2 2 2 Z´avislost Ep pxq je parabolick´a, s vrcholem v bodˇe x  x0 , kde Ep  0. Maxima nab´ yv´a Ep v bodech maxim´aln´ıch v´ ychylek x  x0  A. Dosad´ıme nyn´ı za x
x0 z (1.28) a (3.11) do (3.14) x0

1 αq  mω 2 A2 sin2 pωt 2 Pro celkovou mechanickou energii pak dostaneme Ep

 12 kA2 sin2pωt

 Ek Ep  12 mω2A2 1 E  mω 2 A2 2 E



cos2 pωt

αq

αq

(3.15)



sin2 pωt

αq

(3.16)

Vˇsimneme si, ˇze rovnice (3.11) a (3.16) urˇcuj´ı netlumen´ y line´arn´ı harmonick´ y pohyb aˇz na f´azovou konstantu α, kter´a se v tˇechto rovnic´ıch nevyskytuje. Na obr. (i) je pr˚ ubˇeh potenci´aln´ı a celkov´e mechanick´e energie hmotn´eho bodu v z´avislosti na v´ ychylce x. Vid´ıme, ˇze v okamˇziku maxim´aln´ı v´ ychylky x0  A je kinetick´a energie nulov´a a potenci´aln´ı energie maxim´aln´ı, zat´ımco v rovnov´aˇzn´e poloze x0 je tomu naopak. Vˇsimnˇeme si, ˇze jak celkov´a energie, tak i energie kinetick´a a potenci´aln´ı jsou z´avisl´e na druh´e mocninˇe amplitudy A. Ep

E

x0
A

x0

x0

A

x

Obr´ azek i: Energie netlumen´eho line´arn´ıho harmonick´eho kmitu.

49

3.3

Tlumen´ e harmonick´ e kmity

V re´aln´ ych podm´ınk´ach se pˇri kmitav´em pohybu uplatn´ı u ´ˇcinek brzd´ıc´ıch sil a amplituda i frekvence pohybu budou s ˇcasem klesat. Hmotn´ y bod bude konat tlumen´ y harmonick´ y pohyb. V naˇsem modelu tˇelesa na pruˇzinˇe vznikne tlumen´ y harmonick´ y pohyb zaveden´ım nenulov´e tˇrec´ı s´ıly mezi tˇeleso a podloˇzku. Re´alnou tlum´ıc´ı s´ılu m˚ uˇzeme ˇcasto zav´est vztahem F~v


kv~v

(3.17)

kter´ y dobˇre vystihuje experiment´aln´ı poznatek, ˇze s´ıla odporuj´ıc´ı pohybu tˇelesa v kapalin´ach a plynech je u ´mˇern´a rychlosti pohybu tˇelesa a m´ıˇr´ı proti jej´ımu smyslu. Pohybov´a rovnice pro netlumen´e kmity (3.3) pˇrejde pro tlumen´e kmity do sloˇzitˇejˇs´ı podoby dx d2 x m 2 
kx
kv dt dt 2 dx dx 0 m 2 kx kv dt dt Zavedeme nyn´ı oznaˇcen´ı ω02

(3.18)

 mk

(3.19) kv 2δ  m zde ω0 zˇrejmˇe odpov´ıd´a frekvenci kmit˚ u, kdyby nebyly tlumen´e, tj. kdyby δ  0. S t´ımto oznaˇcen´ım pˇrejde (3.18) do tvaru dx d2 x 2δ ω02 x  0 2 dt dt Tuto rovnici ˇreˇs´ıme stejnˇe jako rovnici (3.3), tj. poloˇz´ıme x dosazen´ım do (3.20) z´ısk´ame charakteristickou rovnici λ2

 Ceλt a

0

(3.21)

δ 2
ω02

(3.22)

C 2 e λ2 t

(3.23)

ω02

2δλ

(3.20)

jej´ıˇz koˇreny jsou d´any pˇredpisem λ1,2


δ 

b

a obecn´e ˇreˇsen´ı bude m´ıt tvar xptq  C1 eλ1 t 50

• je-li δ 2
ω 2 ¡ 0, pak jsou λ1,2 re´aln´e a pohyb nebude harmonick´ y. Bude platit s oznaˇcen´ım D



b

xptq  C1 ep
δ

δ 2
ω02

Dqt

(3.24)

C2 ep
δ
Dqt

(3.25)

Konkr´etn´ı pr˚ ubˇeh funkce (3.25) je ovlivnˇen integraˇcn´ımi konstantami, kter´e je tˇreba urˇcit z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. Obecn´ ym rysem xptq je, ˇze v koneˇcn´em ˇcase m˚ uˇze nab´ yt nulov´e hodnoty nejv´ yˇ se jednou. Anulov´an´ım v´ yrazu (3.25) dostaneme totiˇz podm´ınku e2Dt 
C2{C1, kterou lze splnit pˇri t ¡ 0 jen tehdy, kdyˇz C2{C1  
1. Se vzr˚ ustaj´ıc´ım ˇcasem konverguje xptq obecnˇe k nule, nebot’ δ i D jsou kladn´e a zˇrejmˇe δ ¡ D. Tlumen´ı je tedy tak velk´e, ˇze oscil´ator se po vych´ ylen´ı z rovnov´aˇzn´e polohy do n´ı vrac´ı zpˇet, ale v koneˇcn´em ˇcase ˇ ık´ame proto, ˇze oscil´ator kon´a aperiodick´ j´ı nedos´ahne. R´ y pohyb. Na obr´azku ii je uveden pr˚ ubˇeh xptq pro dvoj´ı typickou volbu poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (pln´a ˇc´ara) x  x0 , x  0, • je-li δ 2
ω02 λ 
δ.

v v

 0,  v0 ,

pro t  0 pro t  0

(3.26a) (3.26b)

 0, dostaneme pouze jeden koˇren charakteristick´e rovnice

´pln´ ym ˇreˇsen´ım rovnice (3.20). Bez Funkce xptq  C1 e
δt nen´ı vˇsak u d˚ ukazu uvedeme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe m´a u ´pln´e ˇreˇsen´ı tvar xptq  C1 e
δt

C2 te
δt

 pC 1

C2 tqe
δt

(3.27)

jak se lze ostatnˇe pˇresvˇedˇcit zpˇetn´ ym dosazen´ım do (3.20). Pr˚ ubˇeh funkce (3.27) je podobn´ y pr˚ ubˇehu (3.25) s t´ım, ˇze nulov´e polohy bude dosaˇzeno opˇet nejv´ yˇse jednou a to v ˇcase t 
CC12 . T´eto rovnici lze pro yˇse, a to C1 {C2   0. t ¡ 0 vyhovˇet ponˇekud mˇekˇc´ı podm´ınkou neˇz v´ ˇ ık´ame, ˇze hmotn´ R´ y bod kon´a mezn´ı aperiodick´ y pohyb. Obecnou vlastnost´ı mezn´ıho aperiodick´eho pohybu je, ˇze se vzr˚ ustaj´ıc´ım ˇcasem konverguje funkce xptq k nule rychleji neˇz v pˇr´ıpadˇe aperiodick´eho pohybu. Pr˚ ubˇeh xptq pro poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky (3.26) je uveden rovnˇeˇz v obr´azku ii. Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı tento pohyb pro typickou volbu poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek (3.26a), kter´e odpov´ıdaj´ı tomu, ˇze v nulov´em ˇcase udˇel´ıme hmotn´emu 51

V´ ychylka

aperiodick´ y pohyb mezn´ı aperiodick´ y pohyb

(a) Pˇri poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınk´ach (3.26a)

ˇ Cas

Obr´ azek ii: Pr˚ ubˇeh xptq pro r˚ uzn´e u ´rovnˇe tlumen´ı a r˚ uzn´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky. bodu v rovnov´aˇzn´e poloze rychlost v0 . Vypoˇcteme nejdˇr´ıve rychlost z (3.27) dx dt

 r
δpC1

C2 tq

C2 s e
δt

(3.28)

a (3.26b) dosad´ıme do (3.25) a (3.28) C1  0 C2  v0

(3.29)

tedy pohyb (3.25) je d´an rovnic´ı x  v0 te
δt

(3.30)

Odvod´ıme nyn´ı maxim´aln´ı v´ ychylku pohybu pˇri zadan´e rychlosti v0 , tj. nalezneme extr´em funkce dan´e pˇredpisem (3.30)

tm



dx  v  v0 e
δt p1
δtq  0 dt 1 (kde t Ñ 8 neuvaˇzujeme) δ

dosad´ıme-li tuto podm´ınku do (3.30), m´ame 52

(3.31)

xm

v0  v0 1δ e
1  eδ

(3.32)

V´ yznam t´eto rovnice spoˇc´ıv´a v urˇcen´ı v0 z v´ ychylky xm , zn´ame-li tlum´ıc´ı konstantu δ (napˇr. urˇcenou jin´ ym pokusem). Typickou aplikac´ı je stanoven´ı rychlosti vs stˇrely o hmotnosti ms , let´ıc´ı pod´el osy x. Prodˇel´a-li tato stˇrela dokonale nepruˇzn´ y r´az s tˇelesem m, kter´e m˚ uˇze konat tlumen´ y harmonick´ y pohyb (zde speci´alnˇe v mezn´ım aperiodick´em stavu), bude dle z´akona zachov´an´ı hybnosti (viz pˇr´ıˇst´ı kapitola) ms v s

 p m s m qv 0 ms v s v0  m m

(3.33)

s

a v´ ychylka bude xm

 pm msvms qeδ

(3.34)

s

Uveden´e v´ ychylce se ˇr´ık´a balistick´ a v´ ychylka a metoda urˇcov´an´ı rychlost´ı z v´ ychylek dostala podle tohoto pˇr´ıkladu n´azev balistick´ a metoda. • je-li δ 2
ω02

  0, budou koˇreny charakteristick´e rovnice komplexn´ı b


δ  i ω02
δ2 
δ  iω (3.35) a kde jsme zavedli oznaˇcen´ı ω  ω02
δ 2 . Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.20) λ1,2

bude m´ıt tvar

x  C1 ep
δ

iω qt

C2 ep
δ
iωqt

 e
δt

C1 eiωt

C2 e
iωt



(3.36)

Uprav´ıme tento vztah uˇzit´ım Eulerova vztahu x  e
δt pC1 cos ωt

iC1 sin ωt

 e
δtrpC1

C2 cos ωt
iC2 sin ωtq

C2 q cos ωt

ipC1
C2 q sin ωts (3.37)

Nyn´ı oznaˇc´ıme stejnˇe jako v (3.8) ´pravu analogC1 C2  A sin α a ipC1
C2 q  A cos α a provedeme u ickou (3.9)

53

x  e
δt A psin α cos ωt

cos α sin ωtq

x  Ae
δt sinpωt

αq

(3.38)

zde A a α jsou konstanty, kter´e urˇc´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. Rovnice (3.38) je form´alnˇe shodn´a s (3.10), u ´lohu amplitudy zde vˇsak hraje
δt v´ yraz Ae , jehoˇz velikost se s ˇcasem zmenˇsuje. Proto tento pohyb naz´ yv´ame tlumen´ ym harmonick´ ym pohybem. Pr˚ ubˇeh funkce xptq pro tlumen´ y harmonick´ y pohyb je zn´azornˇen na obr. iii. Pomˇer dvou po sobˇe n´asleduj´ıc´ıch v´ ychylek na stejnou stranu bude zaveden´ım periody pohybu T

V´ ychylka

xptq

ˇ Cas

Obr´ azek iii: Pr˚ ubˇeh xptq pro tlumen´ y harmonick´ y kmit. x1m

x2m

 A e
δpt

1

 A e
δt sinpωt1 αq Tq sinrpωt1 ωT q αs x1m  eδT x 1

(3.39)

2m

kde jsme vyuˇzili periodicity funkce sin pˇri zv´ yˇsen´ı argumentu o ωT  2π. Veliˇcina β

 eδT

(3.40)

se naz´ yv´a u ´ tlumem kmit˚ u a jej´ı pˇrirozen´ y logaritmus γ

 ln eδT  δT

se naz´ yv´a logaritmick´ y dekrement u ´ tlumu. 54

(3.41)

3.4

Vynucen´ e harmonick´ e kmity

Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pˇr´ıpad, kdy na hmotn´ y bod kromˇe elastick´e s´ıly F 
kx usob´ı jeˇstˇe dalˇs´ı s´ıla FH , jej´ıˇz pr˚ ubˇeh je d´an a odporuj´ıc´ı s´ıly Fv 
kv v p˚ harmonickou funkc´ı FH

 F0 sin Ωt

(3.42)

kde F0 je amplituda s´ıly a Ω je kruhov´a frekvence. Pohybov´a rovnice bude m´ıt tvar d2 x m 2  F Fv FH 
kx
kv v F0 sin Ωt dt a po zaveden´e substituci analogicky (3.19), tj. ω02  k {m a 2δ pˇrejde do tvaru

(3.43)

 kv {m

d2 x F0 dx 2 sin Ωt (3.44) 2δ ω  0 dt2 dt m Pohybov´a rovnice (3.44) je nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice 2. ˇra´du s konstantn´ımi koeficienty, jej´ıˇz obecn´e ˇreˇsen´ı m´a tvar xptq  xh ptq

xp ptq

(3.45)

kde xh ptq je obecn´e ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsn´e rovnice bez prav´e strany (homogenn´ı ˇ sen´ı horovnice) a xp ptq je jedno (partikul´arn´ı) ˇreˇsen´ı rovnice (3.44). Reˇ mogenn´ı rovnice jsme jiˇz vyˇsetˇrovali (3.38), o partikul´arn´ım ˇreˇsen´ı budeme pˇredpokl´adat, ˇze obsahuje harmonickou funkci o stejn´e frekvenci (, jako m´a s´ıla FH. Obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) bude m´ıt tvar xptq  Ae
δt sinpωt

αq

B sinpΩt

ϕq

(3.46)

Zde prvn´ı ˇclen popisuje pr˚ ubˇeh tlumen´ ych vlastn´ıch kmit˚ u oscil´atoru s maxim´aln´ı v´ ychylkou A a kruhovou frekvenc´ı ω. Amplituda vlastn´ıch kmit˚ u kles´a s ˇcasem k nule a tedy po odeznˇen´ı tzv. pˇ rechodov´ e doby bude ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) pˇredstavovat pouze druh´ y ˇclen ve (3.46), tj. xptq  B sinpΩt

ϕq

(3.47)

Hovoˇr´ıme pak o ust´ alen´ em (stacion´ arn´ım) ˇ reˇ sen´ı pohybov´e rovnice (3.44) a kmity, kter´e popisuje, naz´ yv´ame kmity nucen´ ymi (vynucen´ ymi). Zde B je amplituda nucen´ ych kmit˚ u, Ω jejich kruhov´a frekvence a ϕ je f´azov´a konstanta, ud´avaj´ıc´ı f´azov´e posunut´ı vynucen´ ych kmit˚ u za periodickou vyvol´avaj´ıc´ı silou. Dosad´ıme nyn´ı (3.47) do (3.44), abychom urˇcili B a ϕ. M´ame postupnˇe 55

dx dt d2 x dt2

 ΩB cospΩt

ϕq


Ω2B sinpΩt ϕq ϕq 2δΩB cospΩt ϕq ω02 B sinpΩt


Ω2B sinpΩt

ϕq 

F0 sin Ωt m (3.48)

Tuto rovnici uprav´ıme pomoc´ı souˇctov´ ych vzorc˚ u B





pω02
Ω2q cos ϕ
2δΩ sin ϕ sin Ωt   F0 sin Ωt B pω02
Ω2 q sin ϕ 2δΩ cos ϕ cos Ωt  m

(3.49)

Aby (3.47) bylo ˇreˇsen´ım rovnice (3.44), mus´ı b´ yt rovnice (3.49) splnˇena pro vˇsechna t. Protoˇze funkce sin Ωt a cos Ωt jsou line´arnˇe nez´avisl´e, mus´ı se ˇc´ıseln´e koeficienty stoj´ıc´ı u tˇechto funkc´ı na lev´e i prav´e stranˇe sobˇe rovnat, tedy 



pω02
Ω2q cos ϕ
2δΩ sin ϕ  Fm0 (3.50)  2  2 B pω0
Ω q sin ϕ 2δΩ cos ϕ  0 Pˇredpokl´ad´ame B  0, pak z druh´e rovnice (3.50) vypoˇc´ıt´ame f´azovou B

konstantu ϕ.



ω02
Ω2 tan ϕ

tan ϕ 

2δΩ  0
2δΩ ϕ  arctan 2 ω0
Ω2


2δΩ , ω02
Ω2

(3.51)

Umocn´ıme nyn´ı obˇe rovnice (3.50) na druhou a seˇcteme (1. ˇclen 1. rovnice s 1. ˇclenem 2. rovnice atd.) 

p
Ω q cos ϕ
4δΩp
Ω q cos ϕ sin ϕ  B 2 pω02
Ω2 q2 sin2 ϕ 4δΩpω02
Ω2 q sin ϕ cos ϕ  B 2 pω02
Ω2 q2

B

2

ω02

2 2

2

ω02

2

B

56

a



F02 4δ Ω sin ϕ  2 m  2 2 2 4δ Ω cos ϕ  0  F2 4δ 2 Ω2  02 m 2

F0 m Ω2 2

pω02
q

2

2

4δ 2 Ω2 (3.52)

Stacion´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (3.44) bude tedy m´ıt tvar xptq  a

F0 m Ω2 2

pω02
q



4δ 2 Ω2

2δΩ arctan 2 Ω
ω02

sin Ωt



(3.53)

Amplituda B ust´alen´eho ˇreˇsen´ı (3.53) je pˇr´ımo u ´mˇern´a v´ yrazu F0 {m, tj. amplitudˇe nut´ıc´ı s´ıly normovan´e na jednotku hmotnosti. D´ale je zˇrejm´e, ˇze B podstatnˇe z´avis´ı na frekvenci Ω. Budou-li ω0 a Ω nab´ yvat bl´ızk´ ych hodnot, a δ bude mal´e, m˚ uˇze B nab´ yvat znaˇcn´e velikosti. Jev, kdy mal´a bud´ıc´ı veliˇcina zp˚ usob´ı velkou odezvu jin´e veliˇciny, naz´ yv´ame rezonanc´ı. Najdeme nyn´ı, pˇri jak´e frekvenci Ω nab´ yv´a B maxim´aln´ı hodnoty. Pro takov´e Ω mus´ı b´ yt splnˇena podm´ınka extr´emu funkce B pΩq, tj. dB dΩ




F0 8δ 2 Ω
4pω 2
Ω2 qΩ m

2 rp
q Opomineme-li moˇznosti Ω1  0 a Ω2  u ´pravˇe

Ωr



ω02

b

Ω2 2

0

4δ 2 Ω2

s

3 2

8, je n´ami hledan´y extr´em po

4δ 2
2pω02
Ω2r q  0 Ω2r  ω02
2δ 2

ω02
2δ 2 ,

(3.54)

ω0

¡δ

`

(3.55)

2

kde jsme oznaˇcili Ωr tzv. rezonanˇcn´ı frekvenci. Ωr existuje pouze, pokud je tlumen´ı dostateˇcnˇe mal´e, aby v´ yraz pod odmocninou nab´ yval re´aln´e hodnoty (pˇripsan´a podm´ınka). Vˇsimneme si, ˇze pˇri nenulov´em tlumen´ı je obecnˇe Ωr

  ω0

(3.56)

Z´avislost B pΩq se naz´ yv´a rezonanˇcn´ı kˇrivkou amplitudy. M´a tvar zn´azornˇen´ y na obr. iv pro r˚ uzn´e hodnoty koeficientu u ´tlumu δ. Rozborem f´azov´eho posunut´ı ϕ (3.51) se podrobnˇeji zab´ yvat nebudeme. Kvalitativnˇe lze ˇr´ıci, ˇze v oblasti rezonance se v´ ychylka zpoˇzd’uje o π {2 za bud´ıc´ı silou. Bud´ıc´ı s´ıla FH je tak pˇribliˇznˇe ve f´azi s rychlost´ı a urychluje hmotn´ y bod v nejvhodnˇejˇs´ı f´azi jeho pohybu. 3.5

Geometrick´ e zn´ azornˇ en´ı harmonick´ ych kmit˚ u, komplexn´ı symbolika

Netlumen´e kmit´an´ı line´arn´ıho harmonick´eho oscil´atoru ve smˇeru osy x jsme popsali rovnic´ı 57

δ0 δ1 δ2 δ3 δ0

B pΩq



Ω

ω0

Obr´ azek iv: Rezonanˇcn´ı kˇrivka amplitudy pro r˚ uzn´e hodnoty koeficientu u ´tlumu 0   δ0   δ1   δ2   δ3 . Symbolem  je oznaˇcena kˇrivka spojuj´ıc´ı maxima rezonanˇcn´ıch kˇrivek pro r˚ uzn´a δ. xptq  A sinpωt

αq

(3.57)

kde A je amplituda kmitu, ω kruhov´a frekvence kmitu a α je poˇc´ateˇcn´ı f´aze kmitu. Tento harmonick´ y pohyb lze v´ yhodnˇe zn´azornit v Gaussovˇe rovinˇe komplexn´ıch ˇc´ısel jako rotaci ˇcasov´eho vektoru (f´azoru) o velikosti dan´e amplitudou A u ´hlovou rychlost´ı ω. K pˇrechodu do komplexn´ı symboliky uˇzijeme Euler˚ uv vztah eipωt αq

 A cospωt

αq

iA sinpωt

αq

(3.58)

Obraz tohoto komplexn´ıho ˇc´ısla lze ch´apat jako koncov´ y bod vektoru, jehoˇz poˇc´atek leˇz´ı v pr˚ useˇc´ıku re´aln´e a imagin´arn´ı osy Tento vektor oznaˇcujeme jako ˇ casov´ y vektor (f´ azor) p´ısmenem se stˇr´ıˇskou, tedy p  Aeipωt αq A

(3.59)

V´ yraz (3.57) m˚ uˇzeme pak ch´apat jako imagin´arn´ı ˇc´ast (3.59), tj. xptq  ImtAeipωt αq u

(3.60)

Pozn´amka: Netlumen´e kmit´an´ı lze popsat rovnˇeˇz funkc´ı xptq  A cospωt αq. V komplexn´ı symbolice bychom pak zapsali xptq  RetAeipωt αq u. 58

Im

p A

xptq

ωt

α

Re Obr´ azek v: Zn´azornˇen´ı komplexn´ıho ˇc´ısla v Gaussovˇe rovinˇe. 3.6

Skl´ ad´ an´ı kmit˚ u

P˚ usob´ı-li na hmotn´ y bod v´ıce sil typu (3.2) najednou, kon´a bod sloˇzit´ y periodick´ y pohyb odpov´ıdaj´ıc´ı superpozici kmit˚ u vyvolan´ ych jednotliv´ ymi silami. Hovoˇr´ıme o skl´ad´an´ı kmit˚ u. Zap´ıˇseme nyn´ı rovnici (3.3) pro dvˇe r˚ uzn´e vynucuj´ıc´ı s´ıly Fi ptq d 2 x1 m 2 dt d 2 x2 m 2 dt

dx1 dt dx2 kv dt kv

kx1 kx2

 F 1 pt q

(3.61)

 F 2 pt q

kde funkce x1 ptq a x2 ptq jsou ˇreˇsen´ımi pro vynucuj´ıc´ı s´ıly F1 ptq a F2 ptq. Seˇcteme-li obˇe rovnice

m

d2 px1 dt2

x2 q

kv

d px1 dt

x2 q

k px1

x2 q  F1 ptq

F2 ptq

(3.62)

Vid´ıme, ˇze funkce px1 x2 qptq  xptq ˇreˇs´ı rovnici pro s´ılu F1 ptq F2 ptq  F ptq. T´ım je dok´az´ano u ´vodn´ı tvrzen´ı, kter´e naz´ yv´ame principem superpozice. Platnost principu superpozice je sv´az´ana s linearitou diferenci´aln´ıch rovnic (3.61). Budou-li tyto rovnice neline´arn´ı, napˇr. nahrad´ımeli ˇclen kx1 ˇclenem kx21 atd., ztrat´ı princip superpozice platnost. Zde se 59

budeme zab´ yvat pouze skl´ad´an´ım line´arn´ıch harmonick´ ych kmit˚ u a to n´asleduj´ıc´ıch parametr˚ u: • skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u se stejnou frekvenc´ı • skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uznou frekvenc´ı • skl´ad´an´ı navz´ajem kolm´ ych kmit˚ u Skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u se stejnou frekvenc´ı Uvaˇzujme dva kmitav´e pohyby x1 ptq  A1 sinpωt x2 ptq  A2 sinpωt

α1 q α2 q

(3.63)

zde A1  A2 a α1  α2 . Sloˇzen´ı obou pohyb˚ u m˚ uˇzeme jednoduˇse p1 a A p2 v Gaussovˇ e rovinˇe. V´ ysledn´emu reprezentovat pomoc´ı ˇcasov´ ych vektor˚ uA kmitu bude dle principu superpozice pˇriˇrazen ˇcasov´ y vektor pA p1 A

p2 A

(3.64)

Situace v ˇcase t  0 je zakreslena na obr. vi Im p A p2 A

α2

α2
α1 α

p1 A

α1 Re Obr´ azek vi: Skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u stejn´e frekvence v Gaussovˇe rovinˇe. p odpov´ıd´ Velikost v´ ysledn´eho vektoru A a amplitudˇe v´ ysledn´eho kmitu a dle obr. vi se urˇc´ı pomoc´ı kosinov´e vˇety. 60

2A1 A2 cospα2
α1 q (3.65) ysledn´a amplituda rovna Jsou-li kmity ve f´azi, tj. α2
α1  0, pak je v´ souˇctu amplitud A  A1 A2 . Maj´ı-li kmity opaˇcnou f´azi, tj. α2
α1  π , je v´ ysledn´a amplituda rovna rozd´ılu amplitud A  A1
A2 . Pro poˇc´ateˇcn´ı f´azi α v´ ysledn´eho kmitu plat´ı A2

 A21

A22
2A1 A2 cosrπ
pα2
α1 qs  A21

tan α 

A1 sin α1 A1 cos α1

A22

A2 sin α2 A2 cos α2

(3.66)

p na osu y a ve jmenokde v ˇcitateli stoj´ı pr˚ umˇet v´ ysledn´eho vektoru A p na osu x. vateli pr˚ umˇet A ych harmonick´ ych kmit˚ u stejn´e frekvence Shrnut´ı: sloˇzen´ım dvou stejnosmˇern´ vznikne harmonick´ y kmit o stejn´e frekvenci, kter´ y je pops´an funkc´ı

xptq  A sinpωt

αq

(3.67)

kde A je d´ano rovnic´ı (3.65) a α rovnic´ı (3.66). Skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uznou frekvenc´ı Pˇredpokl´adejme dva d´ılˇc´ı kmitav´e pohyby o stejn´e amplitudˇe A, kter´e zaˇcneme vyˇsetˇrovat v ˇcase, kdy maj´ı stejn´e f´azov´e u ´hly α x1 ptq  A sinpω1 t x2 ptq  A sinpω2 t

αq αq

(3.68)

Pouˇzijeme-li vzorec pro souˇcet sin˚ u dvou r˚ uzn´ ych u ´hl˚ u sin φ φ ψ φ
ψ 2 sin 2 cos 2 , dostaneme dle principu superpozice x  x1

 2A cos pω1
2 ω2qt sinr pω1

ω2 qt

sin ψ



αs (3.69) 2 Liˇs´ı-li se znaˇcnˇe ω1 a ω2 , je v´ yraz (3.69) nepˇrehledn´ y. Lze uk´azat, ˇze v´ ysledn´e kmit´an´ı bude periodick´e jen tehdy, bude-li pomˇer frekvenc´ı obou d´ılˇc´ıch kmit˚ u d´an pomˇerem cel´ ych ˇc´ısel nn21 . Pˇri splnˇen´ı t´eto podm´ınky bude v´ ysledn´e kmit´an´ı pops´ano periodickou a obecnˇe neharmonickou funkc´ı, kter´a se opakuje po uplynut´ı nejkratˇs´ı doby, na kterou pˇripad´a n1 kmit˚ u s periodou ω1 a n2 kmit˚ u s periodou ω2 (obr. vii) Jsou-li vˇsak frekvence kmit˚ u ω1 a ω2 bl´ızk´e, pˇritom budeme pˇredpokl´adat ω1 ¡ ω2 , je frekvence pω1
ω2 q{2 podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz frekvence pω1 ω2 q{2. Pak na v´ yraz (3.69) lze pohl´ıˇzet jako na harmonick´ y kmit x2

61

x 1 pt q x 2 pt q

A

t

0


A x1 ptq

2A

x 2 pt q

A t

0


A
2A Obr´ azek vii: Skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u s r˚ uzn´ ymi frekvencemi. x  aptq sinr

pω1

ω2 qt

αs 2 kde na m´ıstˇe amplitudy je ˇcasovˇe promˇenn´a funkce aptq  2A cos

pω1
ω2qt

(3.70)

(3.71) 2 V´ ysledn´ y pohyb je tedy harmonick´ y pohyb s frekvenc´ı rovnou stˇredn´ı frekvenci kmit˚ u x1 ptq a x2 ptq, tj. pω1 ω2 q{2, a ˇcasovˇe promˇennou amplitudou aptq s frekvenc´ı rovnou poloviˇcn´ı hodnotˇe rozd´ılu ω1 a ω2 , tj. pω1
ω2q{2. Tato situace je zn´azornˇena na obr. viii. Vˇsimneme si, ˇze ob´alku kmit˚ u tvoˇr´ı funkce aptq a
aptq. Odtud i z obr. viii je pak zˇrejm´e, ˇze frekvence zmˇeny amplitudy kmitu je jen ω1
ω2 (nebot’ ym zmˇen´am amplitudy bˇehem jedn´e periody aptq dojde ke dvˇema periodick´ 62

x 1 pt q t

x 2 pt q t x1 ptq

aptq

x 2 pt q

t


aptq Obr´ azek viii: Skl´ad´an´ı stejnosmˇern´ ych kmit˚ u bl´ızk´ ych frekvenc´ı. ˇ ık´ame, ˇze sloˇzen´ım dvou kmit˚ sloˇzen´eho kmitu. R´ u bl´ızk´e frekvence vznikaj´ı r´azy o frekvenci dan´e rovnicemi ωR  ω1
ω2 fR  f1
f2

(3.72)

Vznik r´az˚ u lze pozorovat napˇr. pˇri souˇcasn´em znˇen´ı dvou bl´ızk´ ych akuˇ ım bliˇzˇs´ı t´ony, t´ım je frekvence r´az˚ stick´ ych t´on˚ u. C´ u niˇzˇs´ı. Pˇri rovnosti frekvence obou t´on˚ u r´azy vymiz´ı. Tohoto jevu se vyuˇz´ıv´a pˇri ladˇen´ı hudebn´ıch n´astroj˚ u. Skl´ad´an´ı dvou navz´ajem kolm´ ych kmit˚ u Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze hmotn´ y bod kon´a harmonick´e kmity ve dvou navz´ajem kolm´ ych smˇerech. Tyto kmity pop´ıˇseme funkcemi 63

xptq  A1 sin ωt y ptq  A2 sinpωt

(3.73) (3.74)

αq

Rovnici dr´ahy dostaneme, vylouˇc´ıme-li z obou rovnic ˇcas t. Rovnici (3.74) rozep´ıˇseme dle souˇctov´eho vzorce sinpωt αq  sin ωt cos α cos ωt sin α a dosad´ıme do n´ı za sin ωt z prvn´ı rovnice sin ωt 

xptq , A1





xptq y ptq  A2 cos α cos ωt sin α A1 y ptq xptq
A cos α  cos ωt sin α A2 1

(3.75)

Tuto rovnici umocn´ıme na druhou a dosad´ıme za cos2 ωt  1
sin2 ωt y 2 ptq A22


2 ypAtqxAptq cos α 1 2

x2 ptq cos2 α  2 A1



1




x2 ptq sin2 α 2 A1

(3.76)

po z´avˇereˇcn´e u ´pravˇe dostaneme x 2 pt q y ptqxptq y 2 ptq cos α
2  sin2 α (3.77) 2 2 A2 A1 A2 A1 Toto je rovnice elipsy v pravo´ uhl´ ych souˇradnic´ıch, jej´ıˇz natoˇcen´ı je d´ano f´azov´ ym rozd´ılem α. Uvaˇzujme nyn´ı, ˇze f´azov´ y rozd´ıl α  0. Pak se rovnice (3.77) zjednoduˇs´ı na y 2 ptq A22

y ptqxptq x2 ptq
2 A A A21 1 2 

2 y ptq xptq
A A2 1 y

0 0

(3.78)

 AA2 x 1

coˇz je rovnice pˇr´ımky. Bude-li jeˇstˇe A1  A2 , bude pˇr´ımka p˚ ulit 1. a 3. kvadrant kart´ezsk´ ych souˇradnic (obr. ixa). Bude-li α  π a A1  A2 , dostaneme obdobnˇe pˇr´ımku na ni kolmou (obr. ixe) y


AA2 x 
x 1

64

(3.79)

Bude-li f´azov´ y rozd´ıl kruˇznice (obr. ixc).

π 2

a A1

 A2  A, redukuje se (3.77) na rovnici

y 2 ptq x2 ptq 1 A22 A21 y 2 ptq x2 ptq  A2

(3.80)

V´ ysledkem je pravotoˇciv´ y rovnomˇern´ y kruhov´ y pohyb. Pˇreps´an´ı (3.73) a (3.74) vede v tomto pˇr´ıpadˇe k rovnic´ım pro rovnomˇern´ y pohyb po kruˇznici (1.30) xptq  A sin ωt π y ptq  A sinpωt q  A cos ωt 2 2A

2A

2A

(3.81)

2A

2A

2A

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Obr´ azek ix: Skl´ad´an´ı dvou navz´ajem kolm´ ych kmit˚ u stejn´e amplitudy a) α  0 b) 0   α   π2 a 3π 2   α   2π π c) α  2 d) π2   α   π a π   α   3π 2 e) α  π. znici levotoˇciv´ y. Pro Bude-li f´azov´ y rozd´ıl α  3π 2 , bude pohyb po kruˇ π 3π A1  A2 a f´azov´e rozd´ıly 0   α   2 a 2   α   2π vznikaj´ı eliptick´e kmity dle obr. ixb a to pravotoˇciv´e pro prvn´ı pˇr´ıpad a levotoˇciv´e pro druh´ y pˇr´ıpad. 3π π Pro A1  A2 , 2   α   π a π   α   2 vznikaj´ı eliptick´e kmity dle obr. ixd, kter´e jsou v prvn´ım pˇr´ıpadˇe ... V obecn´em pˇr´ıpadˇe, kdy frekvence ω1 , ω2 kmit˚ u (3.73) a (3.74) nejsou stejn´e, vznikne jejich sloˇzen´ım kˇrivka omezen´a na obd´eln´ık, pro kter´ y plat´ı


A1 ¤ x ¤ A1


A2 ¤ y ¤ A2

(3.82)

Budou-li frekvence ω1 , ω2 v pomˇeru cel´ ych ˇc´ısel m a n, vzniknou sloˇzen´ım kmit˚ u kˇrivky charakteristick´eho tvaru, kter´e naz´ yv´ame Lissajousov´ ymi 65

obrazci. Na obr. x jsou tyto obrazce nakresleny pro hodnoty pomˇeru uzn´e hodnoty f´azov´eho rozd´ılu α. Vˇsimneme si, ˇze pomˇer m{n  1{2, 2{3 a r˚ poˇctu m´ıst, v kter´ ych se na vz´ajemnˇe kolm´ ych stran´ach Lissajous˚ uv obrazec dot´ yk´a obd´eln´ıka (3.82), odpov´ıd´a pomˇeru m{n. 2A1 1{2

2A2

2A1 2{3

2A2

Obr´ azek x: Lissajousovy obrazce.

66

Kapitola 4

Mechanika soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´ eho tˇ elesa 4.1

Popis soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´ eho tˇ elesa

Soustavou hmotn´ ych bod˚ u rozum´ıme v´ıce hmotn´ ych bod˚ u, kter´e mohou vz´ajemnˇe interagovat. Oznaˇc´ıme jejich poˇcet N . Tuto soustavu urˇc´ıme, zad´ame-li hmotnosti bod˚ u mi a jejich polohy ~r, kde i  1, . . . , N . Protoˇze kaˇzd´ y polohov´ y vektor m´a tˇri souˇradnice, bude poloha soustavy zad´ana 3N souˇradnicemi. Poˇcet nez´avisl´ ych souˇradnic, kter´ ymi urˇc´ıme jednoznaˇcnˇe polohu nˇejak´eho hmotn´eho objektu, naz´ yv´ame poˇ ctem stupˇ n˚ u volnosti. Jsou-li polohov´e vektory ~ri navz´ajem nez´avisl´e, pak soustavu, kter´a je jimi urˇcena, nazveme volnou soustavou hmotn´ ych bod˚ u. Voln´a soustava hmotn´ ych bod˚ u m´a 3N stupˇ n˚ u volnosti. Kromˇe voln´e soustavy hmotn´ ych bod˚ u zav´ad´ıme d´ale tuhou soustavu hmotn´ ych bod˚ u. Ta se vyznaˇcuje nepromˇenn´ ymi vzd´alenostmi mezi hmotn´ ymi body. Vyberme v tuh´e soustavˇe 3 hmotn´e body mk , ml , mm kter´e neleˇz´ı v jedn´e pˇr´ımce a maj´ı polohov´e vektory ~rk , ~rl , ~rm . Vzd´alenosti tˇechto bod˚ u jsou pak pevnˇe d´any a plat´ı pro nˇe dkl

 |~rk
~rl |,

dkm

 |~rk
~rm|,

dlm

 |~rl
~rm|

(4.1)

tedy a

 apxk
xl q2 pyk
yl q2 pzk
zl q2 dkm  pxk
xm q2 pyk
ym q2 pzk
zm q2 a dlm  pxl
xm q2 pyl
ym q2 pzl
zm q2 dkl

(4.2)

9 souˇradnic 3 bod˚ u o hmotnostech mk , ml , mm , je tedy sv´az´ano 3 rovnicemi, tj. pouze 6 souˇradnic je nez´avisl´ ych. Z geometrick´eho n´azoru je vˇsak zˇrejm´e, ˇze 3 hmotn´e body neleˇz´ıc´ı v jedn´e pˇr´ımce, ud´avaj´ı polohu cel´e tuh´e soustavy. Poˇcet stupˇ n˚ u volnosti tuh´e soustavy hmotn´ ych bod˚ u je 6. 67

Dosavadn´ı v´ yklad rozˇs´ıˇr´ıme nyn´ı zaveden´ım pojmu tuh´ eho tˇ elesa. Pojem tuh´eho tˇelesa vznikne abstrakc´ı re´aln´eho tˇelesa, kdy se zachov´av´a tvar a rozloˇzen´ı hmoty re´aln´eho tˇelesa, a pˇredpokl´ad´a se, ˇze vzd´alenosti mezi jednotliv´ ymi body tˇelesa se nemˇen´ı pˇri libovoln´ ych sil´ach na tˇeleso p˚ usob´ıc´ıch. Zaveden´ı tuh´eho tˇelesa umoˇzn ˇuje zvl´adnout probl´emy, pˇri kter´ ych nelze zanedbat nenulov´e rozmˇery re´aln´ ych tˇeles a d´ale pak probl´emy spojen´e s rotac´ı tˇeles. Tuh´e tˇeleso je urˇceno zad´an´ım jeho hustoty jako funkce souˇradnic ρ  ρp~rq  0

(4.3)

pˇritom hustota je definov´ana jako limitn´ı pod´ıl ρ  lim

M dM (4.4)  V Ñ0 V dV Postupem analogick´ ym (4.1) a (4.2) lze uk´azat, ˇze tuh´e tˇeleso m´a 6 stupˇ n˚ u volnosti, podobnˇe jako tuh´a soustava hmotn´ ych bod˚ u. D´ale definujeme hmotn´ y stˇ red tuh´e soustavy hmotn´ ych bod˚ u polohov´ ym vektorem



°N

ri i1 mi~

°N

(4.5) m i i 1 Poloha hmotn´eho stˇredu zde nemus´ı spl´ yvat s polohou nˇekter´eho z hmotn´ ych bod˚ u soustavy. V´ yraz ve jmenovateli odpov´ıd´a celkov´e hmotnosti tuh´e soustavy M. Zobecnˇen´ım v´ yrazu (4.5) lze definovat hmotn´ y stˇred i pro tuh´e tˇeleso ~rs

~rs



³

~rρdV V ρdV

³V

(4.6)

V tuh´em tˇelese zpravidla hmotn´ y stˇred spl´ yv´a s nˇekter´ ym bodem tˇelesa, typickou v´ yjimkou je dut´a koule. V´ yraz ve jmenovateli m´a s pˇrihl´ednut´ım ke (4.4) opˇet v´ yznam hmotnosti tuh´eho tˇelesa M . Vidˇeli jsme nyn´ı, ˇze pˇrechod od diskr´etn´ı soustavy hmotn´ ych bod˚ u ke spojit´emu tuh´emu tˇelesu ˇcin´ıme nahrazen´ım souˇctu diskr´etn´ıch veliˇcin mi a ~ri integr´alem ze spojitˇe promˇenn´ ych veliˇcin ρp~rq a ~r. Tuto analogii mezi (4.5) a (4.6) lze ˇcasto pouˇz´ıt pˇri odvozen´ı z´avˇer˚ u pro tuh´e tˇeleso. Vˇetˇsinu v´ ypoˇct˚ u lze jednoduˇseji prov´est pro tuhou soustavu hmotn´ ych bod˚ u. Pomoc´ı t´eto analogie je lze pak zobecnit na tuh´e tˇeleso.

68

o

ϕ

A

Obr´ azek i: Stanoven´ı polohy tuh´eho tˇelesa. 4.2

Kinematika tuh´ eho tˇ elesa

Tuh´a soustava hmotn´ ych bod˚ u a tuh´e tˇeleso maj´ı pouze 6 stupˇ n˚ u volnosti a jejich poloha je tedy stanovena ud´an´ım 6 souˇradnic. Jednou z moˇznost´ı ud´an´ı polohy tuh´eho tˇelesa je pouˇzit´ı relac´ı (4.1) v´azan´ ych podm´ınkou (4.2), tedy ud´an´ı polohy tˇr´ı bod˚ u neleˇz´ıc´ıch v jedn´e pˇr´ımce. Tento postup se vˇsak pro nepˇrehlednost nepouˇz´ıv´a. Vhodnˇejˇs´ı postup je ud´an´ı polohy jednoho bodu, d´ale osy proch´azej´ıc´ı t´ımto bodem a natoˇcen´ı tˇelesa kolem t´eto osy. Postup je zn´azornˇen na obr. i. Bod je oznaˇcen A, osa o a natoˇcen´ı je ud´ano u ´hlem ϕ mezi pˇr´ımkou pevnou v tˇelese (pln´a ˇc´ara) a pˇr´ımkou pevnou v prostoru (ˇc´arkovanˇe). Poloha bodu A je urˇcena 3 u ´daji rxA , yA , zA s a smˇer osy o je urˇcen dvˇema u ´daji, napˇr. sloˇzkami jednotkov´eho vektoru v jej´ım smˇeru ~v  pv1 , v2 , v3 q, yu ´daj kde sloˇzky jsou v´az´any podm´ınkou v12 v22 v32  1. Posledn´ı, ˇsest´ reprezentuje u ´hel natoˇcen´ı ϕ. Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı pohyb tuh´eho tˇelesa. Nejprve se budeme zab´ yvat speci´aln´ım pˇr´ıpadem, kdy bod A a osa o zachov´avaj´ı po celou dobu pohybu v tˇelese i prostoru st´alou polohu. Jedinou ˇcasovˇe promˇennou veliˇcinou je u ´hel ϕ a ud´an´ım jeho ˇcasov´e z´avislosti je pohyb urˇcen ϕ  ϕ pt q

(4.7)

Uveden´ y pohyb se naz´ yv´a rotac´ı tuh´ eho tˇ elesa kolem pevn´ e osy. Vˇsechny body tˇelesa maj´ı v kaˇzd´em okamˇziku stejnou u ´hlovou rychlost a stejn´e u ´hlov´e zrychlen´ı

69

Obr´ azek ii: Translace tuh´eho tˇelesa.

ω

 dϕ dt

(4.8)

dω d2 ϕ  dt2 ε (4.9) dt Pro kaˇzd´ y bod rotuj´ıc´ıho tˇelesa plat´ı vˇse, co bylo uvedeno pro kruhov´ y pohyb hmotn´eho bodu. Obecnˇejˇs´ım pohybem tuh´eho tˇelesa je pohyb, pˇri kter´em pouze jeden jeho bod (napˇr. bod A z obr. i) zachov´av´a v tˇelese i prostoru st´alou polohu. Tento pohyb naz´ yv´ame rotac´ı tuh´ eho tˇ elesa kolem pevn´ eho bodu. Lze uk´azat, ˇze v kaˇzd´em okamˇziku lze toto ot´aˇcen´ı popsat jako rotaci tuh´eho tˇelesa kolem pevn´e osy proch´azej´ıc´ı pevn´ ym bodem. V pr˚ ubˇehu ot´aˇcen´ı se zde obecnˇe mˇen´ı jak orientace osy ot´aˇcen´ı, tak i u ´hlov´a rychlost. Podle Eulerovy vˇ ety je rychlost libovoln´eho bodu ot´aˇcej´ıc´ıho se tˇelesa d´ana i v tomto pˇr´ıpadˇe vzorcem ~v

 ω~  ~r

(4.10)

Nakonec pohyb, pˇri kter´em maj´ı vˇsechny body tuh´eho tˇelesa stejn´ y vektor rychlosti ~rT ptq, naz´ yv´ameposuvn´ ym, postupn´ ym nebo translaˇ cn´ım pohybem (obr. ii) Podle Chaslesovy vˇ ety lze libovoln´ y pohyb tuh´eho tˇelesa sloˇzit z posuvn´eho pohybu a rotace kolem pevn´eho bodu. Rychlost ~v libovoln´eho bodu tuh´eho tˇelesa lze urˇcit sloˇzen´ım rychlosti ~vT jednoho libovoln´eho bodu A tˇelesa a rychlosti dan´e ot´aˇcen´ım kolem tohoto bodu (4.10). Je tedy ~v ptq  ~vT ptq 70

ω ~  ~r

(4.11)

B

~v

~r1

~r ~vT ptq

~vT1 ptq

A1

~a

A

Obr´ azek iii: Z´avislost rychlosti bodu tˇelesa na volbˇe vztaˇzn´eho bodu A. kde ~r je vektor veden´ y z bodu A do bodu, jehoˇz rychlost ~v urˇcujeme. Je podstatn´e zjistit, jak z´avis´ı vyj´adˇren´ı rychlosti ~vT ptq na volbˇe bodu A. K tomu zvol´ıme v tˇelese dva body: A s rychlost´ı ~vT ptq a A1 s rychlost´ı ~vT1 ptq a urˇc´ıme rychlost bodu tˇelesa oznaˇcen´eho jako B (obr. iii). Dle (4.11) m˚ uˇzeme ps´at pro rychlost bodu B pˇri vztaˇzn´ ych bodech A a 1 A ~v ptq  ~vT ptq ω ~  ~r ~v ptq  ~vT1 ptq ω ~ 1  ~r1

(4.12a) (4.12b)

a d´ale m˚ uˇzeme vyj´adˇrit rychlost ~vT1 bodu A1 pˇri vztaˇzn´em bodu A ~vT1 ptq  ~vT ptq

ω ~  ~a

mezi vektory ~r, ~r1 a ~a plat´ı pˇritom

~r  ~a

~r1

(4.13)

(4.14)

Dosad´ıme-li (4.14) do prvn´ı rovnice (4.12), m´ame ~v ptq  ~vT ptq

ω ~  ~a

ω ~  ~r1

(4.15)

a porovn´an´ım se (4.13) je d´ale ~v ptq  ~vT1 ptq

ω ~  ~r1

(4.16)

Srovn´an´ım (4.16) a (4.12b) dost´av´ame d˚ uleˇzitou relaci ω

 ω1 71

(4.17)

Shrnut´ı: Rovnice (1.64) je z´akladn´ı rovnic´ı kinematiky tuh´eho tˇelesa. ´ Uhlov´a rychlost ot´aˇcen´ı tˇelesa ω nez´avis´ı na volbˇe vztaˇzn´eho bodu, v˚ uˇci kter´emu ot´aˇcen´ı uvaˇzujeme. Velikost posuvn´e rychlosti vˇsak na volbˇe vztaˇzn´eho bodu z´avis´ı. 4.3

Dynamika tuh´ eho tˇ elesa

Princip akce a reakce v soustavˇe hmotn´ ych bod˚ u 3. Newton˚ uv z´akon umoˇzn ˇuje pˇrechod od dynamiky hmotn´eho bodu k dynamice soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´eho tˇelesa. V mechanice soustavy hmotn´ ych bod˚ u rozliˇsujeme tzv. vnˇ ejˇ s´ı s´ıly, tj. s´ıly, kter´e maj´ı p˚ uvod v bodech (tˇelesech), kter´e k dan´e soustavˇe nepoˇc´ıt´ame, od sil vnitˇ rn´ıch, kter´ ymi na sebe p˚ usob´ı jednotliv´e body vyˇsetˇrovan´e soustavy. Budeme-li napˇr´ıklad Sluneˇcn´ı soustavu povaˇzovat za soustavu hmotn´ ych bod˚ u, budou gravitaˇcn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı mezi Sluncem a jednotliv´ ymi planetami typick´ ymi vnitˇrn´ımi silami soustavy. Uvaˇzujme nyn´ı soustavu hmotn´ ych bod˚ u mi . P˚ usob´ı-li hmotn´ y bod m1 na hmotn´ y bod m2 silou F~12 bude hmotn´ y bod m2 na hmotn´ y bod m1 ~ p˚ usobit silou F21 tak, ˇze plat´ı F~12


F~21

tedy F~12

F~21

0

(4.18)

Stejn´a u ´vaha plat´ı pro libovolnou dvojici hmotn´ ych bod˚ u, takˇze m´ame

pF~12

F~21 q

pF~13 pF~23

F~31 q F~32 q

pF~14 pF~24 pF~34

F~41 q F~42 q F~43 q

...  0 ...  0 ...  0 ...  0

(4.19)

takˇze v´ yslednice vˇ sech vnitˇ rn´ıch sil soustavy je rovna nule. S´ıly F~ij a F~ji leˇz´ı nav´ıc vˇzdy v jedn´e pˇr´ımce, takˇze maj´ı vzhledem k libovoln´emu bodu stejn´e rameno a jejich momenty se navz´ajem ruˇs´ı. Proto i v´ ysledn´ y moment vnitˇ rn´ıch sil soustavy vzhledem k libovoln´ emu bodu prostoru je nulov´ y. Vnitˇrn´ı s´ıly nemohou tedy zp˚ usobit pohyb soustavy jako celku. K tomu je vˇzdy zapotˇreb´ı vnˇejˇs´ıch sil. Vˇety o hybnosti a momentu hybnosti soustavy Podle 2. Newtonova z´akona je ˇcasov´a zmˇena hybnosti i-t´eho bodu soustavy d´ana rovnic´ı 72

d~pi (4.20)  F~i dt kde F~i je v´ yslednice vˇsech vnitˇrn´ıch a vnˇejˇs´ıch sil, kter´e na bod p˚ usob´ı. F~i

 F~ipI q

pE q F~i

(4.21)

Takov´e rovnice m˚ uˇzeme postupnˇe napsat pro N bod˚ u soustavy a seˇc´ıst N ¸ d~pi



N ¸



dP~ dt

N ¸

pI q F~i

pE q F~i

(4.22) dt i 1 i1 i1 V´ yslednice vˇsech vnitˇrn´ıch sil (1. ˇclen na prav´e stranˇe (4.22)) je vˇsak dle (4.19) rovna nule, takˇze plat´ı s uv´aˇzen´ım p~i  mi~vi d ¸ mi~vi dt i1 N

°N



N ¸ i1

pE q F~i

 F~ pEq

(4.23)

yslednice vnˇejˇs´ıch kde P~  i1 mi~vi je celkov´a hybnost soustavy a F~ pE q v´ sil. Doch´az´ıme k formulaci I. impulsov´ e vˇ ety neboli vˇ ety o hybnosti soustavy: ˇ Casov´ a zmˇ ena celkov´ e hybnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u je rovna v´ ysledn´ e vnˇ ejˇ s´ı s´ıle. Uk´aˇzeme nyn´ı, ˇze celou soustavu hmotn´ ych bod˚ u v rovnici (4.23) m˚ uˇzeme nahradit jedin´ ym bodem a to hmotn´ ym stˇredem (4.5) s hmotnost´ı cel´e soustavy M



N ¸ i1

(4.24)

mi

Vyn´asob´ıme nyn´ı rovnici (4.5) celkovou hmotnost´ı soustavy a derivujeme dle ˇcasu

M~rS

M

d~rS dt



N ¸ i1

mi

d~ri dt



N ¸ i1

mi~vi





N ¸ i1

N ¸ i1

p~i

mi~ri (4.25)

 P~

Dosad´ıme-li nyn´ı ze (4.25) do (4.23) za P~ m´ame dP~ dt



d d~rS M dt dt

d2~rS  M dt2 73

 M~aS

(4.26)

kde jsme oznaˇcili ~aS zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu soustavy. Obsah rovnice (4.26) b´ yv´a oznaˇcov´an jako vˇ eta o pohybu hmotn´ eho stˇ redu soustavy. Slovnˇe ji lze formulovat takto: Hmotn´ y stˇ red soustavy se pohybuje jako hmotn´ y bod, kter´ y m´ a celkovou hmotnost M soustavy a na nˇ ejˇ z p˚ usob´ı v´ yslednice p E q vnˇ ejˇ s´ıch sil F~ . Zab´ yvejme se na tomto m´ıstˇe n´azornou interpretac´ı hmotn´eho stˇredu. Poloha hmotn´eho stˇredu v rovnici (4.5) je jednoznaˇcnˇe urˇcena polohami jednotliv´ ych bod˚ u. Vzorec (4.5) odpov´ıd´a obecn´emu pravidlu pro hled´an´ı stˇredn´ı hodnoty veliˇcin, jimˇz pˇrisuzujeme r˚ uznou v´ahu, tj. r˚ uznˇe velk´ y pod´ıl na vyˇsetˇrovan´em jevu. Tˇemito veliˇcinami jsou v dan´em pˇr´ıpadˇe polohov´e vektory ~ri hmotn´ ych bod˚ u soustavy a v´ahami jejich hmotnosti mi . Poloha hmotn´eho stˇredu nez´avis´ı na volbˇe poˇc´atku soustavy souˇradnic (d˚ ukaz pˇrenech´av´ame posluchaˇci - Hor´ak, Krupka, Fyzika I, str. 136). Zmˇen´ı-li se konfigurace soustavy ˇci tvar tuh´eho tˇelesa, zmˇen´ı se i poloha hmotn´eho stˇredu. Hmotn´ y stˇred b´ yv´a ekvivalentnˇe naz´ yv´an tˇ eˇ ziˇ stˇ em. Tento n´azev je odvozen z p˚ usoben´ı t´ıhov´eho pole na soustavu. Na hmotn´e body soustavy p˚ usob´ı soustava rovnobˇeˇzn´ ych sil, kter´e vˇsem bod˚ um soustavy udˇeluj´ı stejn´e zrychlen´ı. Nahrad´ıme je v´ yslednic´ı, kter´a urˇcuje celkovou t´ıhu soustavy. F~ pE q



N ¸ i1

mi~g

 M~g

(4.27)

V´ ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil pak bude ~ pE q M



N ¸ i1

pE q ~ri  F~i



N ¸ i 1

~ri  mi~g



N ¸ i1

mi~ri  ~g

(4.28)

Dle definice hmotn´eho stˇredu (4.5) je vˇsak N ¸ i1

mi~ri  ~g

 M~rS  ~g  ~rS  M~g

(4.29)

V´ ysledn´ y moment t´ıhov´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na soustavu hmotn´ ych bod˚ u (tuh´e tˇeleso) je roven momentu t´ıhy soustavy (tˇelesa), pˇredpokl´ad´ame-li, ˇze t´ıha se nach´az´ı v hmotn´em stˇredu. Moment t´ıhov´ ych sil v˚ uˇci hmotn´emu stˇredu je nulov´ y. N´azev tˇeˇziˇstˇe pro hmotn´ y stˇred pouˇz´ıv´ame proto, ˇze je p˚ usobiˇstˇem t´ıhov´ ych sil. Pozn´amka: Pojem tˇeˇziˇstˇe lze zav´est pouze v homogenn´ım t´ıhov´em poli. Nehomogenn´ı gravitaˇcn´ı pole k pojmu tˇeˇziˇstˇe nevede, v´ yslednice sil bude 74

proch´azet jin´ ym bodem, neˇz je hmotn´ y stˇred (tˇeˇziˇstˇe). Vyˇsetˇr´ıme nyn´ı, jak´ y vliv na pohyb soustavy maj´ı momenty sil p˚ usob´ıc´ı na jednotliv´e body. Zap´ıˇseme rovnici (1.108) pro kaˇzd´ y hmotn´ y bod d~bi ~i M (4.30)  dt ~i kde ~bi je moment hybnosti vzhledem k libovoln´emu pevn´emu bodu a M je moment v´ yslednice vˇsech sil na bod p˚ usob´ıc´ıch k t´emuˇz bodu. Do tohoto ~ i  ~ri  F~i a bodu poloˇz´ıme rovnˇeˇz poˇc´atek souˇradn´eho syst´emu. Pak M s pomoc´ı (4.21) m´ame d´ale d~bi dt

 ~riF~i  ~ripF~ipI q

pE q pI q ~r F~ pE q F~i q  ~ri F~i i i

 M~ ipI q

~ pE q (4.31) M i

Seˇcteme-li tyto rovnice pro vˇsechny body soustavy (pˇri zachov´an´ı pevn´eho vztaˇzn´eho bodu, dostaneme N ~ ¸ d bi



N ¸

~ pI q M i

N ¸

~ pE q M i

(4.32) dt i1 i1 i1 Jak jsme vˇsak uk´azali dˇr´ıve - (4.18), (4.19) a text - prvn´ı ˇclen na prav´e ° ~bi  ~b a °N M ~ dostaneme ~ pE q  M stranˇe (4.32) je nulov´ y. Oznaˇc´ıme-li N i i1 i 1 koneˇcnˇe ze (4.32) d~b (4.33)  M~ dt coˇz je II. impulsov´ a vˇ eta neboli vˇ eta o momentu hybnosti soustavy: ˇ Casov´ a zmˇ ena momentu hybnosti soustavy hmotn´ ych bod˚ u vzhledem k libovoln´ emu pevn´ emu bodu je rovna v´ ysledn´ emu momentu vnˇ ejˇ s´ıch sil vzhledem k t´ emuˇ z bodu. II. impulsov´a vˇeta je splnˇena tak´e tehdy, zvol´ıme-li za vztaˇzn´ y bod hmotn´ y stˇred soustavy, kter´ y obecnˇe nen´ı pevn´ y. S´ıly, kter´e zp˚ usobuj´ı zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu, vˇsak v nˇem maj´ı sv´e p˚ usobiˇstˇe a jejich moment v˚ uˇci nˇemu je nulov´ y. Zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu do rovnice pro p˚ usoben´ı celkov´eho vnˇejˇs´ıho momentu nevstoup´ı. Vlastn´ı pohyb hmotn´eho stˇredu nem´a vliv na ot´aˇcen´ı jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u kolem osy, kter´a j´ım proch´az´ı. V´ yznam hmotn´eho stˇredu tak spoˇc´ıv´a v tom, ˇze ˇcin´ı z obou impulsov´ ych vˇet obecn´ y z´akon pro pohyb soustavy bod˚ u ˇci tuh´eho tˇelesa. Shrnut´ı: Hmotn´ y stˇred (tˇeˇziˇstˇe) soustavy se pohybuje jako hmotn´ y bod, na kter´ y p˚ usob´ı v´ yslednice vˇsech vnˇejˇs´ıch sil a jehoˇz hmotnost je rovna 75

ˇ celkov´e hmotnosti soustavy. Casov´ a zmˇena momentu hybnosti soustavy vzhledem ke hmotn´emu stˇredu (tˇeˇziˇsti) nebo vzhledem k libovoln´emu pevn´emu bodu je rovna v´ ysledn´emu vnˇejˇs´ımu momentu vzhledem k t´emuˇz bodu. Uk´azali jsme, ˇze tuh´a soustava bod˚ u ˇci tuh´e tˇeleso maj´ı 6 stupˇ n˚ u volnosti. Dvˇe vektorov´e rovnice (4.23) a (4.33) pˇredstavuj´ı 6 skal´arn´ıch rovnic pro urˇcen´ı 6 funkc´ı popisuj´ıc´ıch plnˇe pohybov´ y stav tˇelesa. Jsou obsaˇzeny ve dvou vektorov´ ych funkc´ıch ~vT ptq a ω ~ ptq. Bod A na obr. (i), kter´ y se uˇci kter´emu jsme uvaˇzovali rotaci, jsme dopohybuje rychlost´ı ~vT ptq a v˚ sud volili libovolnˇe. Vybereme-li za nˇej hmotn´ y stˇred, bude rovnice (4.26) jednou z jeho pohybov´ ych rovnic. Pohybovou rovnici pro stanoven´ı druh´e funkce ω ~ ptq odvod´ıme v dalˇs´ım v´ ykladu. Ve zvl´aˇstn´ım pˇr´ıpadˇe, kdy na soustavu nep˚ usob´ı vnˇejˇs´ı s´ıly nebo kdy p E q v´ yslednice vnˇejˇs´ıch sil je nulov´a, je F~  0 a M~ pEq  0 Takovou soustavu naz´ yv´ame dynamicky izolovanou ˇ cili osamocenou (uzavˇ renou) a plat´ı pro ni z´ akony zachov´ an´ı hybnosti a momentu hybnosti. Celkov´ a hybnost izolovan´ e soustavy je rovn´ a vektorov´ emu souˇ ctu okamˇ zit´ ych hybnost´ı jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u soustavy a z˚ ust´ av´ a st´ al´ a co do smˇ eru i velikosti. Neboli tˇ eˇ ziˇ stˇ e izolovan´ e soustavy se pohybuje podle 1. Newtonova z´ akona. Moment hybnosti osamocen´ e soustavy je roven vektorov´ emu souˇ ctu moment˚ u hybnosti jednotliv´ ych hmotn´ ych bod˚ u vzhledem ke hmotn´ emu stˇ redu ˇ ci k libovoln´ emu pevn´ emu bodu a je st´ al´ y co do smˇ eru i velikosti. V kapitole o gravitaˇcn´ım poli jsme uk´azali, ˇze moment hybnosti hmotn´eho bodu pohybuj´ıc´ıho se v centr´aln´ım poli (2.23) je st´al´ y. Z tohoto hlediska je II. impulsov´a vˇeta zobecnˇen´ım II. Keplerova z´akona a centr´aln´ı s´ıly, tedy napˇr. gravitaˇcn´ı s´ıly mezi kosmick´ ymi objekty lze povaˇzovat za vnitˇrn´ı s´ıly, povaˇzujeme-li dotyˇcn´e objekty za izolovanou soustavu.

76

Energie soustavy hmotn´ ych bod˚ u a tuh´eho tˇelesa Pojmy kinetick´e a potenci´aln´ı energie hmotn´eho bodu a pr´ace vykonan´e na hmotn´ y bod lze snadno rozˇs´ıˇrit na soustavu hmotn´ ych bod˚ u a tuh´e tˇeleso. Kinetickou energii soustavy hmotn´ ych bod˚ u nazveme v´ yraz Ek



N ¸ 1

2 i1

mi vi2

(4.34)

tedy souˇcet kinetick´ ych energi´ı vˇsech hmotn´ ych bod˚ u soustavy. Podobnˇe m˚ uˇzeme ps´at pro pr´aci, kterou vykonaj´ı s´ıly F~ pˇrejdou-li body soustavy z polohy 1 do polohy 2. A

N ¸

»2

i1 1

F~i d~ri

(4.35)

kde integr´al v sumˇe znaˇc´ı pr´aci vykonanou na i-t´ y hmotn´ y bod. Analogicky jako pro hmotn´ y bod plat´ı pak A  E k2
E k1

(4.36)

Zmˇeny kinetick´e energie ovlivˇ nuj´ı jak vnˇejˇs´ı, tak i vnitˇrn´ı s´ıly. Vnitˇrn´ı s´ıly mohou vˇsak tak uˇcinit pouze u voln´e soustavy hmotn´ ych bod˚ u. V tuh´e soustavˇe hmotn´ ych bod˚ u a v tuh´em tˇelese vnitˇrn´ı s´ıly vzhledem k nepromˇenn´ ym vzd´alenostem mezi body pr´aci nekonaj´ı. Jsou-li vnˇejˇs´ı i vnitˇrn´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na soustavu konzervativn´ı, je pr´aci A vykonanou na syst´em moˇzno vyj´adˇrit jako u ´bytek potenci´aln´ı energie mezi m´ısty 1 a 2 E p1
E p2

A

(4.37)

Porovn´an´ım (4.36) a (4.37) m´ame E p1

E k1

 Ep

E k2

2

(4.38)

coˇz je z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie soustavy bod˚ u ˇci tuh´eho tˇelesa. M˚ uˇzeme jej slovnˇe formulovat takto: Jsou-li vnˇ ejˇ s´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na tˇ eleso konzervativn´ı, je souˇ cet potenci´ aln´ı a kinetick´ e energie soustavy bod˚ u ˇ ci tuh´ eho tˇ elesa konstantn´ı. Pozn´amka: Podle K¨onigovy vˇety lze kinetickou energii soustavy hmotn´ ych bod˚ u rozloˇzit na dva ˇcleny Ek



1 M vS2 2 77

1¸ 2 mi viS 2 i1 N

(4.39)

kde prvn´ı ˇclen pˇredstavuje kinetickou energii hmotn´eho bodu o hmotnosti cel´e soustavy M a rychlosti hmotn´eho stˇredu ~vS a druh´ y ˇclen kinetickou energii pohybu hmotn´ ych bod˚ u soustavy v˚ uˇci jej´ımu hmotn´emu stˇredu. Tento ˇclen b´ yv´a naz´ yv´an vnitˇrn´ı kinetickou energi´ı soustavy. Rozebereme nyn´ı ponˇekud d˚ ukladnˇeji v´ yraz (4.34) pro kinetickou energii. • Soustava (tˇeleso) kon´a pouze posuvn´ y pohyb. V tomto pˇr´ıpadˇe je rychlost vˇsech bod˚ u a tedy i tˇeˇziˇstˇe stejn´a a rovn´a vS . Dosad´ıme-li za vi  vS do (4.34), bude Ek



N ¸ 1

2 i1

mi vS2

 12 M vS2

(4.40)

Kinetick´a energie tuh´eho tˇelesa je rovna kinetick´e energii tˇeˇziˇstˇe s hmotnost´ı rovnou celkov´e hmotnosti tˇelesa. • Soustava (tˇeleso) se ot´aˇc´ı kolem pevn´e osy. Ot´aˇc´ı-li se tˇeleso kolem pevn´e osy okamˇzitou u ´hlovou rychlost´ı ω maj´ı hmotn´e body vzd´alen´e ri od osy rotace ~vi  ω ~  ~ri , jej´ıˇz velikost je vi  ri ω. Dosad´ıme-li do (4.34), dostaneme Ek



N ¸ 1

2 i1

mi vi2



N ¸ 1

2 i1

mi ri2 ω 2



1 2¸ mi ri2 ω 2 i1 N

(4.41)

protoˇze ω je pro vˇsechny body tˇelesa stejn´e. Souˇcet N ¸ i1

mi ri2

J

(4.42)

naz´ yv´ame moment setrvaˇ cnosti. M´ame tedy Ek

 12 Jω2

(4.43)

Kinetick´a energie tˇelesa rotuj´ıc´ıho kolem pevn´e osy je rovna poloviˇcn´ımu souˇcinu jeho momentu setrvaˇcnosti vzhledem k t´eto ose a ˇctverce u ´hlov´e rychlosti. • Soustava (tˇeleso) kon´a obecn´ y pohyb. Podle (4.10) a (4.11) lze obecn´ y pohyb tˇelesa v kaˇzd´em okamˇziku nahradit posuvn´ ym pohybem rychlost´ı vT a rotac´ı u ´hlovou rychlost´ı ω kolem osy proch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem

78

 12 M vT2

1 J0 ω 2 (4.44) 2 kde M je hmotnost tˇelesa a J0 je moment setrvaˇcnosti vzhledem k okamˇzit´e ose rotace jdouc´ı tˇeˇziˇstˇem. Ek

Moment setrvaˇcnosti Pˇrejdeme-li od tuh´e soustavy hmotn´ ych bod˚ u k tuh´emu tˇelesu, ˇcili spojit´emu rozloˇzen´ı hmoty, pˇrejde definice momentu setrvaˇcnosti (4.43) do integr´aln´ıho tvaru J



»

r2 dm

(4.45)

m

kde r je vzd´alenost elementu hmoty dm od osy rotace. Zaveden´ım hustoty tˇelesa ρ lze v´ yraz(4.45) pˇrepsat do tvaru J



½

r2 ρdV

(4.46)

V

Je-li tˇeleso homogenn´ı, lze hustotu ρ jakoˇzto konstantn´ı veliˇcinu postavit pˇred integr´al J

ρ

½

r2 dV

(4.47)

V

Vol´ıme-li za osu rotace osu z, budou vzd´alenosti r (4.47) bude m´ıt tvar J

ρ

½

px 2

y 2 qdV



a

x2

y 2 a v´ yraz

(4.48)

V

Moment setrvaˇcnosti lze tak´e vyj´adˇrit jako souˇcin hmotnosti tˇelesa a ˇctverce jist´e stˇredn´ı vzd´alenosti R, v n´ıˇz by musela b´ yt soustˇredˇena hmotnost tˇelesa, aby moment setrvaˇcnosti byl roven momentu setrvaˇcnosti tˇelesa

 M R2 ,

R

J (4.49) M Vzd´alenost R se naz´ yv´a polomˇ er setrvaˇ cnosti (gyraˇ cn´ı polomˇ er) tˇelesa pro danou osu. Moment setrvaˇcnosti z´avis´ı na poloze rotaˇcn´ı osy vzhledem k tˇelesu a na rozloˇzen´ı hmotnosti v tˇelese. Pro vˇsechny rovnobˇeˇzn´e osy je nejmenˇs´ı J

79

y dm r1 A

y

r

x

x

T

a

Obr´ azek iv: K odvozen´ı Steinerovy vˇety. moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose, kter´e proch´az´ı tˇeˇziˇstˇem tˇelesa. Moment setrvaˇcnosti vzhledem k ose jdouc´ı bodem A rovnobˇeˇznˇe s tˇeˇziˇstn´ı osou T  Z (na obr. iv jsou obˇe osy kolm´e k n´akresnˇe) bude J



»

r12 dm 

»

rpa

xq

2

y sdm  2

»

pa2

2ax

r2 qdm

(4.50)

Zde dle (4.6) »

2axdm  2a

»

xdm  0

(4.51)

protoˇze jsme poˇc´atek soustavy souˇradn´e zvolili v tˇeˇziˇsti a tedy J

 a2

»

»

dm

r2 dm  M a2

J0

(4.52)

Obsahem vztahu (4.52) je Steinerova vˇeta, kter´a ˇr´ık´a: Moment setrvaˇ cnosti J tˇ elesa k libovoln´ e ose je roven momentu setrvaˇ cnosti J0 tˇ elesa vzhledem k ose proch´ azej´ıc´ı tˇ eˇ ziˇ stˇ em (hmotn´ ym stˇ redem), zvˇ etˇ sen´ emu o souˇ cin hmotnosti tˇ elesa M se ˇ ctvercem vzd´ alenosti a obou os. D˚ usledkem Steinerovy vˇety je v´ yˇse uveden´e tvrzen´ı J ¡ J0 . ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti homogenn´ıho v´alce o hmotPˇr´ıklad: V´ nosti M , v´ yˇsce v a polomˇeru podstavy R a rozbor valen´ı tohoto v´alce po naklonˇen´e rovinˇe. V´alec rozdˇel´ıme na v´alcov´e plochy element´arn´ı tlouˇst’ky dr (obr. v), kter´e maj´ı hmotnost 80

o

r R v dr Obr´ azek v: V´ ypoˇcet momentu setrvaˇcnosti v´alce vzhledem k ose symetrie. dm  ρdV

 ρ2πrdrv

(4.53)

kde hustotu vypoˇc´ıt´ame dle vztahu ρ

M M  V πR2 v Dosad´ıme-li ze (4.54) do (4.53), m´ame

(4.54)

dm 

M 2M rdr  (4.55) 2πrdrv πR2 v R2 Element hmotnosti dm m´a moment setrvaˇcnosti dJ, pro kter´ y plat´ı dle (4.45) 2M r3 dr (4.56) dJ  r dm  R2 Uv´aˇz´ıme-li, ˇze promˇenn´a r zde nab´ yv´a hodnot v intervalu x0, Rq, dostaneme J integrac´ı 2

J



»R

»R

r dm  2

0

0

3

2M r dr R2



»R

2M 3 r dr R2 0





2M r4 R2 4

R 0



2M R4 R2 4

 12 M R2

(4.57) K v´ ypoˇctu rozboru valen´ı po naklonˇen´e rovinˇe vyuˇzijeme z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie. S´ıly valiv´eho tˇren´ı totiˇz na rozd´ıl od sil vleˇcn´eho tˇren´ı nekonaj´ı pr´aci (nedissipuj´ı energii), protoˇze v´alec v m´ıstˇe dotyku neklouˇze. Urˇceme nyn´ı zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu, prob´ıh´a-li valen´ı po naklonˇen´e rovinˇe, kter´e s horizont´aln´ı rovinou sv´ır´a u ´hel α (obr. vi) 81

S

~aS

h

s S α Obr´ azek vi: Valen´ı v´alce po naklonˇen´e rovinˇe.

Na obr. vi. jsme vyznaˇcili dvˇe polohy v´alce pˇri valen´ı, prvn´ı ve v´ yˇsce h a druhou v nulov´e v´ yˇsce. Zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu v´alce bude konstantn´ı, protoˇze na nˇej p˚ usob´ı konstantn´ı urychluj´ıc´ı s´ıla. Zaˇcne-li valen´ı ve v´ yˇsce h, bude tam v´alec m´ıt potenci´aln´ı energii Ep

 M gh

(4.58)

V nulov´e hladinˇe se tato potenci´aln´ı energie zmˇen´ı na kinetickou energii, kter´a bude dle (4.44) 1 2 Jω ptq (4.59) 2 ´hlov´a rychlost rotace. kde vS ptq je rychlost hmotn´eho stˇredu a ω ptq u V´alec pˇritom probˇehl dr´ahu s, pro kterou plat´ı Ek

 12 M vS2 ptq

sin α 

s

h , s

h sin α

(4.60)

a to za ˇcas, pro kter´ y plat´ı

1 2s t s  aS t2 , 2 aS a z´aroveˇ n dle (4.61) m˚ uˇzeme ps´at pro vS ptq

(4.61)

` vS ptq 2h , vS ptq  taS  2saS  aS t aS sin α Porovn´ame nyn´ı (4.58) a (4.59) a dosad´ıme za vS ptq za (4.62)

M gh 

1 M vS2 ptq 2

1 vS2 J 2 R2

2h 1 1 1 2h aS J aS 2 M gh  M 2 sin α 2 sin α R Po kr´acen´ı a u ´pravˇe, kdy zat´ım nedosazujeme za J, m´ame pro aS 82

(4.62)

(4.63)

Mg







M sin α aS

J aS R2 sin α



(4.64)

Mg M sin α

J R2 sin α

Vid´ıme, ˇze zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu kles´a s momentem setrvaˇcnosti J. Dosad´ıme-li nyn´ı za moment setrvaˇcnosti ze (4.57), m´ame koneˇcnˇe aS





Mg M sin α

1 2 2MR 2 R sin α

g 1 2

1 sin α



g 3 2 sin α

 23 g sin α

(4.65)

Vid´ıme, ˇze zrychlen´ı hmotn´eho stˇredu je menˇs´ı neˇz pˇri klouzav´em pohybu bez tˇren´ı, kdy by dos´ahlo zn´am´e hodnoty g sin α. ˇ sen´ı izolovan´e soustavy 2 hmotn´ Reˇ ych bod˚ u - probl´em 2 tˇeles Uk´aˇzeme nyn´ı, ˇze pohyb izolovan´e soustavy 2 hmotn´ ych bod˚ u m1 a m2 lze pˇrev´est na ˇreˇsen´ı pohybu jednoho bodu v centr´aln´ım silov´em poli. Poˇc´atek soustavy souˇradn´e poloˇz´ıme do hmotn´eho stˇredu soustavy (obr. vii) m2 ~r2 ~r ~r1

S

m1 Obr´ azek vii: Izolovan´a soustava 2 hmotn´ ych bod˚ u. Podle definice hmotn´eho stˇredu plat´ı m1~r1

m2~r2

0

(4.66)

a d´ale zavedeme vektor ~r ~r  ~r1
~r2

(4.67)

kter´ y je s ~r1 a ~r2 rovnobˇeˇzn´ y (obr. vii) a m˚ uˇzeme ps´at (postupnˇe s vyuˇzit´ım ~r1  ~r
~r2 a ~r2  ~r1
~r) ~r1

 m m2m ~r, 1

~r2

2

1 ~r  m
mm 1

83

2

(4.68)

Pro rychlosti hmotn´ ych bod˚ u plyne z (4.68) ~v1

 m m2m ~v, 1

~v2

2

1 ~v  m
mm 1

(4.69)

2

kde ~v  ~v1
~v2 . Pˇredpokl´ad´ame-li nyn´ı, ˇze mezi body soustavy budou p˚ usobit pouze konzervativn´ı s´ıly, m˚ uˇzeme zapsat z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie ve tvaru E k1

Ep  E0  konst. 1 m2 v22 Ep  E0 2

E k2 1 m1 v12 2

(4.70)

a po dosazen´ı ze (4.68) za v12 a v22 bude 1 m22 v2 m1 2 2 pm1 m2 q

1 m21 v2 m2 2 2 pm 1 m 2 q 1 m 1 m 2 pm 1 m 2 q 2 v 2 pm1 m2 q2 1 m1 m2 2 v 2 m1 m2

Ep

 E0

Ep

 E0

Ep

 E0

(4.71)

Z´akon zachov´an´ı momentu hybnosti v naˇs´ı soustavˇe m˚ uˇzeme zapsat ve tvaru

p~r1  m1~v1q p~r2  m2~v2q  B~ 0

(4.72)

Dosad´ıme-li sem z (4.68) a (4.69), m´ame ~0 B





m2 m1








m1 ~r 
m1m2 ~v  m1 m2 ~r  ~v m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 2 2  pmm1mm2 q2 p~r  ~vq pmm1mm2 q2 p~r  ~vq  (4.73) 1 2 1 2 m1 m2  m m p~r  ~vq  ~r  mm1mm2 ~v 1 2 1 2

Z rovnic (4.71) a (4.73) je zˇrejm´e, ˇze z´akony zachov´an´ı pro izolovanou soustavu dvou hmotn´ ych bod˚ u lze pˇrepsat tak, ˇze p˚ uvodn´ı dva hmotn´e body nahrad´ıme jedn´ım o tzv. redukovan´ e hmotˇ e mr

 mm1mm2 1

(4.74) 2

Rovnice (4.71) a (4.73) lze pro centr´aln´ı silov´a pole ˇreˇsit stejnˇe jako jsme uˇcinili pˇri rozboru Keplerovy u ´lohy (ˇcl. 2.3). V´ ysledkem je nalezen´ı 84

m2

~r2

S m1

~r1

Obr´ azek viii: K ˇreˇsen´ı probl´emu dvou tˇeles se vz´ajemn´ ym gravitaˇcn´ım p˚ usoben´ım (Keplerovy u ´lohy). z´avislosti rpϕq pro bod s redukovanou hmotou a z t´eto z´avislosti dostaneme dle rovnic (4.68) z´avislosti r1 pϕq a r2 pϕq. Je-li z´avislost rpϕq rovnic´ı kuˇzeloseˇcky, jsou zˇrejmˇe r1 pϕq a r2 pϕq tak´e rovnicemi kuˇzeloseˇcek. Z rovnice (4.66) d´ale plyne, ˇze rozmˇery kuˇzeloseˇcek, po kter´ ych se pohybuj´ı hmotn´e body m1 , m2 jsou v pomˇeru r1 {r2  m2 {m1 . Dvˇe takov´e eliptick´e dr´ahy uv´ad´ıme na obr. viii. Pozn´amka: Obdobn´ y postup lze prov´est i pro jin´a centr´aln´ı pole (elektrostatick´e pole, elastick´a vazba apod.). Pˇ rehled u ´ loh o r´ azu tˇ eles Pohybov´ y stav tˇeles a hmotn´ ych bod˚ u se spojitˇe mˇen´ı s ˇcasem, takˇze souˇradnice jednotliv´ ych element˚ u tˇelesa (ˇci hmotn´ ych bod˚ u soustavy) jsou spojit´e a koneˇcn´e funkce ˇcasu. Dojde-li vˇsak bˇehem pohybu ke koliz´ım tˇeles ˇci hmotn´ ych bod˚ u, pozorujeme n´ahl´e zmˇeny co do smˇeru i velikosti. V mnoha pˇr´ıpadech plat´ı, ˇze vz´ajemn´e s´ıly mezi tˇelesy nab´ yvaj´ı bˇehem kolize znaˇcn´ ych hodnot a p˚ usob´ı po kr´atk´ y ˇcasov´ y interval ∆t. Tyto s´ıly jsou silami vnitˇrn´ımi a jejich impulsy vedou ke zmˇenˇe hybnosti koliduj´ıc´ıch tˇeles. Vnˇejˇs´ı s´ıly, kter´e mohou po interval ∆t na koliduj´ıc´ı tˇelesa p˚ usobit, jsou ˇcasto zanedbateln´e, takˇze soustavu m˚ uˇzeme pokl´adat za dynamicky izolovanou. V takov´e soustavˇe plat´ı z´akon zachov´an´ı hybnosti a z´akon zachov´an´ı momentu hybnosti. R´azy klasifikujeme na z´akladˇe srovn´an´ı hodnoty kinetick´e energie syst´em˚ u pˇred koliz´ı EKA a kinetick´e energie syst´emu po kolizi EKB . Jestliˇze se kinetick´a energie nemˇen´ı EKA

 EKB

(4.75)

hovoˇr´ıme o dokonale pruˇ zn´ em r´ azu. Naopak, jestliˇze je po r´azu ki85

m1

m2

m1

~vB

~v2

~v1

m2

Obr´ azek ix: Dokonale nepruˇzn´ y r´az. netick´a energie menˇs´ı (dojde k jej´ı dissipaci), tedy EKA

  EKB

(4.76)

jde o nepruˇ zn´ y r´ az. Dokonale nepruˇ zn´ y r´ az je takov´ y, po nˇemˇz koliduj´ıc´ı tˇelesa jsou spojen´a (jedno uv´ızne v druh´em). V pˇr´ıpadˇe dokonale nepruˇzn´eho r´azu je dissipace kinetick´e energie maxim´aln´ı. V naˇsem v´ ykladu se budeme zab´ yvat nejjednoduˇsˇs´ımi typy r´az˚ u. U jednobodov´ ych stˇredov´ ych r´az˚ u budou tˇeˇziˇstˇe obou tˇeles leˇzet na spojnici proch´azej´ıc´ı bodem dotyku. Takov´e r´azy lze popsat jako jednorozmˇern´e. Dokonale nepruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´az Tˇeleso hmotnosti m1 se pohybuje rychlost´ı ~v1A a m´a hybnost p~1A , tˇeleso hmotnosti m2 se pohybuje rychlost´ı ~v2A a m´a hybnost p~2A . Po dokonale nepruˇzn´em r´azu se obˇe spojen´a tˇelesa m1 m2 pohybuj´ı s rychlost´ı ~vB . Necht’ se pohyb dˇeje pouze pod´el osy x, pak budou nenulov´e pouze x-ov´e sloˇzky vektor˚ u rychlosti a hybnosti a bude platit (obr. ix). pA

 p1A

 m1v1A p B  pm 1

p2A

m2 v2A m 2 qv B

Podle z´akona zachov´an´ı hybnosti mus´ı b´ y t pA

 m1vm1A

(4.77)

 pB , tedy

m2 v2A (4.78) m2 1 Pˇr´ıklad: Balistick´e kyvadlo (obr. x). Rozbor pokusu na zjiˇstˇen´ı rychlosti stˇrely. Mˇeˇr´ıme nejvˇetˇs´ı u ´hlovou v´ ychylku ϕ, kter´e kyvadlo dos´ahne po z´asahu stˇrelou o hmotnosti m let´ıc´ı rychlost´ı vs . Rychlost soustavy stˇrela - kv´adr po r´azu bude dle (4.78) ms v s vK  (4.79) ms M vB

86

ϕ

L

L

h

~vs

ms

M

Obr´ azek x: Pohyb balistick´eho kyvadla po dokonale nepruˇzn´em r´azu se stˇrelou. kde M je hmotnost bloku kyvadla. Pˇri dosaˇzen´ı maxim´aln´ı v´ ychylky se kinetick´a energie dan´a (4.79) zmˇen´ı na potenci´aln´ı energii 1 pms 2

m2s vs2 Mq pms M q2  pms M qgh 1 m2s vs2  gh 2 pms M q2

(4.80)

h vyj´adˇr´ıme podle obr. x jako h  L
L cos ϕ  Lp1
cos ϕq

(4.81)

kde L je d´elka z´avˇesu, dosad´ıme do (4.80) a vypoˇc´ıt´ame vs vs2 vs

 pms 

M q2

2gLp1
cos ϕq m2s ms M a 2gLp1
cos ϕq ms

(4.82)

Pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´az Chov´an´ı tˇeles pˇred r´azem a po r´azu je zakresleno na obr. xi. Obdobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe plat´ı z´akon zachov´an´ı hybnosti, tˇelesa se vˇsak pˇri r´azu nespoj´ı. M˚ uˇzeme ps´at m1 v1A

m2 v2A

 m1v1B

m2 v2B

(4.83)

V rovnici (4.83) vystupuje 6 nezn´am´ ych. Mus´ıme zn´at 5 veliˇcin k urˇcen´ı ˇsest´e. 87

m2

m1

m2

m1

~v1A ~v2A (a) situace pˇred r´azem

~v1B ~v2B (b) situace po r´azu

Obr´ azek xi: Pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´az.

Dokonale pruˇzn´ y jednorozmˇern´ y r´az Situace se zjednoduˇs´ı v pˇr´ıpadˇe dokonale pruˇzn´eho r´azu, pˇri kter´em nedoch´az´ı k dissipaci energie a plat´ı tedy z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie. Pak m´ame 2 v´ ychoz´ı rovnice, kter´e d´ale upravujeme (uvaˇzujeme pouze xov´e sloˇzky rychlosti) m1 v1A m2 v2A  m1 v1B m2 v2B 1 1 1 1 2 2 2 2  m1 v1A m2 v2A m1 v1B m2 v2B 2 2 2 2 m1 pv1A
v1B q  m2 pv2B
v2A q 2 2 2 2 m1 pv1A
v1B q  m2pv2B
v2A q

(4.84)

Podˇel´ıme-li druhou rovnici prvn´ı, dostaneme v1A v1B  v2A v2B v1A
v2A 
pv1B
v2B q

(4.85)

Vid´ıme, ˇze relativn´ı rychlosti obou tˇeles se zachov´avaj´ı, pˇri r´azu vˇsak mˇen´ı znam´enko. Uvaˇzujme nyn´ı, ˇze jedno z tˇeles bylo pˇred sr´aˇzkou v klidu, napˇr. v2A  0. Pak z podm´ınek (4.84) a (4.85) dostaneme m1 v1A

 m1v1B

m2 v2B v1B  v2B

v1A

(4.86)

Dosad´ıme-li za v2B do prvn´ıho vztahu, m´ame m1 v1A

 m1v1B

m2 v1A

v1B v2B

 v1A





m1
m2 m1 m2

1

m2 v1B

m1
m2  v1A m m 1

 v1A m 2m1m 1

(4.87) (4.88)

2

(4.89) 2

Uvaˇzme nyn´ı nˇekolik speci´aln´ıch pˇr´ıpad˚ u relativn´ıch hmotnost´ı koliduj´ıc´ıch tˇeles: 88

a) m1  m2 , pak z (4.88) v1B  0 a z (4.89) v2B  v1A . Tˇeleso, kter´e bylo p˚ uvodnˇe v klidu, se po r´azu pohybuje rychlost´ı rovnou rychlosti druh´eho tˇelesa pˇred r´azem, zat´ımco druh´e tˇeleso se zastav´ı. Tento v´ ysledek znal jiˇz Jan Marek z Marku v 17. stolet´ı.

b) m1 " m2 , pak z (4.88) v1B  v1A a z (4.89) v2B  2v1A . Vˇetˇs´ı tˇeleso pokraˇcuje d´ale a u ´bytek jeho rychlosti je mal´ y. Menˇs´ı tˇeleso odskoˇc´ı s t´emˇeˇr dvojn´asobnou rychlost´ı oproti p˚ uvodn´ı rychlosti vˇetˇs´ıho tˇelesa. c) m1 ! m2 , pak z (4.88) v1B 
v1A a z (4.89) v2B  0. Lehˇc´ı tˇeleso se odraz´ı pˇribliˇznˇe s tout´eˇz rychlost´ı, jako byla jeho rychlost pˇred r´azem, zat´ımco tˇeˇzˇs´ı tˇeleso z˚ ust´av´a pˇribliˇznˇe v klidu.

Pozn´amka k ˇsikm´ ym (dvourozmˇern´ ym r´az˚ um) V pˇr´ıpadˇe, kdy rychlosti koliduj´ıc´ıch tˇeles sv´ıraj´ı nˇejak´ y obecn´ y u ´hel, mus´ıme r´azy uvaˇzovat jako v´ıcerozmˇern´e. Pokud i zde zanedb´ame vlastn´ı rotaˇcn´ı pohyb, m˚ uˇzeme aplikovat z´akon zachov´an´ı hybnosti, ale ve vektorov´e podobˇe p~1A

p~2A

 p~1B

p~2B

(4.90)

odkud plyne, ˇze se hybnost zachov´av´a ve sloˇzk´ach px , py , pz . Pˇri pruˇzn´em r´azu tˇelesa na pevnou stˇenu se tak u ´hel dopadu mus´ı rovnat u ´hlu odrazu. Statika tuh´ eho tˇ elesa Zjednoduˇsen´ı prostorov´e soustavy sil P˚ usob´ı-li na tˇeleso v t´emˇze bodˇe dvˇe stejnˇe velk´e protismˇern´e s´ıly F~ a
F~ (obr. 4.12a, ruˇs´ı se navz´ajem, jejich v´yslednice je nulov´a a na pohyb tˇelesa nemaj´ı vliv. Stejnˇe je tomu, p˚ usob´ı-li s´ıly nikoli v jednom bodˇe, ale v jedn´e pˇr´ımce (tˇeleso je dokonale tuh´e), jak je zn´azornˇeno na obr. 4.12b. S´ıla je tedy v tuh´em tˇelese vektor v´azan´ y na pˇr´ımku (paprsek s´ıly) a m˚ uˇzeme j´ı ve smˇeru t´eto pˇr´ımky libovolnˇe posouvat. Takto m˚ uˇzeme sloˇzit dvˇe r˚ uznobˇeˇzn´e s´ıly F~1 a F~2 , maj´ıc´ı r˚ uzn´a p˚ usobiˇstˇe v tuh´em tˇelese (obr. xiii). D´ale, p˚ usob´ı-li s´ıla F~ v bodˇe o polohov´em vektoru ~r tuh´eho tˇelesa (obr. xiv), m˚ uˇzeme j´ı rovnobˇeˇznˇe posunout do libovoln´eho bodu O tak, ˇze v tomto bodˇe pˇripoj´ıme dvˇe stejnˇe velk´e protismˇern´e s´ıly F~ 1 a
F~ 1 pF~  F~ 1 q, kter´e jsou v rovnov´aze. Vedle pˇrenesen´e s´ıly F~ 1 pak zb´ yvaj´ı dvˇe opaˇcnˇe 1 orientovan´e s´ıly
F~ a F~ , kter´e se neruˇs´ı, ale tvoˇr´ı dynamick´ y prvek, kter´ y naz´ yv´ame dvojic´ı sil. Vypoˇcteme moment t´eto dvojice vzhledem k libovoln´emu bodu O1 89

F~ F~


F~


F~
F~ (a) p˚ usoben´ı stejnˇe velk´ ych protismˇern´ ych sil v jednom bodˇe

(b) pˇrenesen´ı s´ıly v jej´ım paprsku

Obr´ azek xii: P˚ usoben´ı sil na dokonale tuh´e tˇeleso

F~1

F~1

F~2

F~ F~2

Obr´ azek xiii: Skl´ad´an´ı r˚ uznobˇeˇzn´ ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tuh´e tˇeleso.

90

O1 F~ 1

~r1

F~

~r2 ~r

O


F~ 1 Obr´ azek xiv: Posunut´ı s´ıly F~ do bodu mimo jej´ı paprsek. ~ M

 p~r1  F~ q p~r2 
F~ q  p~r1
~r2q  F~  ~r  F~

(4.91)

Vid´ıme, ˇze moment dvojice sil nez´avis´ı na volbˇe vztaˇzn´eho bodu, ale pouze na vzd´alenosti p˚ usobiˇst’ jednotliv´ ych sil. Je to tedy voln´ y vektor, kter´ y m˚ uˇzeme pˇren´est do libovoln´eho m´ısta v tuh´em tˇelese, zachov´ame-li jeho velikost a orientaci v prostoru. Smˇer momentu dvojice sil urˇc´ıme jako obvykle dle pravidla pravotoˇciv´eho ˇsroubu. Silov´ a dvojice vznikaj´ıc´ı rovnobˇ eˇ zn´ ym posunut´ım s´ıly v tuh´ em tˇ elese se jmenuje doplˇ nkov´ a dvojice sil. V dokonale tuh´ em tˇ elese m˚ uˇ zeme kaˇ zdou s´ılu posunout do libovoln´ eho bodu O, pˇ ripoj´ımeli doplˇ nkovou dvojici sil, jej´ıˇ z moment je co do smˇ eru i velikosti roven momentu p˚ uvodn´ı s´ıly vzhledem k nov´ emu p˚ usobiˇ sti O. ~ ~ P˚ usob´ı-li na tˇeleso soustava sil F1 , . . . , FN v r˚ uzn´ ych p˚ usobiˇst´ıch, jejichˇz poloha je vzhledem k libovoln´emu bodu O d´ana pr˚ uvodiˇci ~r1 , . . . , ~rN , m˚ uˇzeme tuto soustavu nahradit jedinou silou ~  R

N ¸ i1

F~i

(4.92)

p˚ usob´ıc´ı v bodˇe O a doplˇ nkovou dvojic´ı sil, pro jej´ıˇz moment plat´ı ~ M



N ¸ i1

~i M



N ¸ i1

~ri  F~i

(4.93)

Rovnov´aha tuh´eho tˇelesa ˇ ık´ame, ˇze tuh´e tˇeleso je v rovnov´aze, jestliˇze v´ R´ yslednice vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso je rovna nule, tj. F~ pE q

0

91

(4.94)

a v´ ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso je roven nule, t.j. ~ pE q M

0

(4.95)

pE q uzn´ych V pˇredchoz´ım v´ ykladu jsme vidˇeli, ˇze p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ıch sil F~i v r˚ bodech tˇelesa lze nahradit v´ yslednic´ı tˇechto sil p˚ usob´ıc´ıch v nˇejak´em bodˇe O a doplˇ nkovou dvojic´ı sil. Pokud bude tato v´ yslednice nulov´a, bude nulov´ y 1 tak´e jej´ı moment v˚ uˇci libovoln´emu vztaˇzn´emu bodu O . Moment vnˇejˇs´ıch sil bude v tomto pˇr´ıpadˇe roven momentu doplˇ nkov´e dvojice sil, kter´a vznikne pˇrenesen´ım vˇsech sil do bodu O. Tento moment vˇsak podle (4.91) nez´avis´ı na volbˇe vztaˇzn´eho bodu.

T T

(a) st´al´a (stabiln´ı)

(b) vratk´a (labiln´ı)

T

(c) voln´a (indiferentn´ı)

Obr´ azek xv: Rovnov´aˇzn´a poloha tuh´eho tˇelesa. Podm´ınky rovnov´ahy tuh´eho tˇelesa lze pak zformulovat do jedin´e vˇety. Tˇ eleso je v rovnov´ aze, kdyˇ z v´ yslednice vnˇ ejˇ s´ıch sil F~ pE q p˚ usob´ıc´ıch ~ v´ na tˇ eleso a moment M ysledn´ e dvojice sil jsou rovny nule. Rozebereme nyn´ı struˇcnˇe na konkr´etn´ım pˇr´ıkladu koule a misky ˇci vodorovn´e podloˇzky moˇzn´e rovnov´aˇzn´e polohy tˇelesa (obr. xv) a) vych´ ylen´ı vede ke vzr˚ ustu potenci´aln´ı energie a n´asledn´emu samovoln´emu n´avratu do v´ ychoz´ı polohy b) vych´ ylen´ı vede k poklesu potenci´aln´ı energie a samovoln´emu vzdalov´an´ı od v´ ychoz´ı polohy c) vych´ ylen´ı nem´a vliv na potenci´aln´ı energii. Pohybov´ a rovnice pro ot´ aˇ cen´ı tˇ elesa kolem pevn´ e osy ~ ~ , kde ~b je moment hybnosti tˇelesa Vyjdeme z druh´e impulsov´e vˇety ddtb  M ~ je v´ vzhledem k libovoln´emu pevn´emu bodu a M ysledn´ y moment vnˇejˇs´ıch sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso vzhledem k t´emuˇz bodu. Necht’ je t´ımto bodem bod A na ose rotace (obr. xvi) Moment hybnosti nˇekter´eho bodu tˇelesa, napˇr. B, je d´an vektorov´ ym souˇcinem 92

~bi

 ~ri  mi~vi

(4.96)

kde ~ri je pr˚ uvodiˇc veden´ y z bodu A do bodu B. Moment hybnosti je kolm´ y na rovinu tvoˇ renou vektory ~ri a ~vi a nen´ı rovnobˇ eˇ zn´ y s osou rotace. Rozloˇz´ıme jej proto na sloˇzky ~biK a ~biR , z nichˇz prvn´ı je kolm´a k ose rotace a druh´a je s osou rotace rovnobˇeˇzn´a. Stejnˇe rozloˇz´ıme i moment vnˇejˇs´ıch sil. Druhou impulsovou vˇetu pak lze pˇrepsat d~b dt



d ¸~ bi dt i1 N



d ¸~ biK dt i1

d ¸~ biR dt i1

N

N

 M~  M~ K

~R M

(4.97)

Tˇeleso ot´aˇcej´ıc´ı se kolem pevn´e osy m´a 1 stupeˇ n volnosti a zmˇena jeho pohybov´eho stavu z´avis´ı pouze v pˇr´ır˚ ustku d~ω u ´hlov´e rychlosti ω ~ (zrychlen´ı nebo zpomalen´ı ot´aˇcen´ı). Zmˇenu d~ω m˚ uˇze zp˚ usobit jen sloˇzka momentu ~ R , kter´a m´a t´ M yˇz smˇer jako d~ω . Z druh´e impulsov´e vˇety se uplatn´ı pouze ˇc´ast d ¸~ biR dt i1 N

 M~ R

(4.98)

Tuto rovnici lze upravit dle obr. xvi o ω ~ ~ri1 ~bi

α ~biK

B ~biR α

~vi

~ri

A

Obr´ azek xvi: Rotace tˇelesa kolem pevn´e osy. 93

|~biR|  |~bi| sin α  |~rimi~vi| sin α  privimiq sin α  ri2 sin2pαqmiω  miri12ω kde zˇrejmˇe plat´ı vi tak´e



(4.99) ~ ωri sin α. Protoˇze biR a ω ~ jsou rovnobˇeˇzn´e, plat´ı ~biR

 miri12ω~

(4.100)

Dosad´ıme nyn´ı ze (4.99) do (4.98) d ¸~ biR dt i1 N



d ¸ ~ mi ri12 ω dt i1 N



d dt



N ¸

i1

 

~ mi ri12 ω

 M~ R

(4.101)

V´ yraz v kulat´e z´avorce pˇredstavuje moment setrvaˇcnosti tˇelesa vzhledem ~R  M ~ , m´ame koneˇcnˇe k ose rotace. Oznaˇc´ıme-li jeˇstˇe M d~ω d (4.102) p J~ω q  J  J~ε  M~ dt dt kde ~ε je u ´hlov´e zrychlen´ı. Protoˇze osa rotace m´a st´alou orientaci, lze ps´at skal´arnˇe dω d2 ϕ Jε  J  J dt2  M (4.103) dt Ze srovn´an´ı (4.102) s druhou impulsovou vˇetou (4.98) plyne, ˇze sloˇzka momentu hybnosti do smˇeru osy rotace je d´ana ~bR

 J~ω

(4.104)

Rovnice (4.102) a (4.103) jsou pohybov´ ymi rovnicemi tˇelesa pro ot´aˇcen´ı kolem pevn´e osy. Pokud doch´az´ı bˇehem ot´aˇcen´ı ke zmˇen´am konfigurace soustavy hmotn´ ych bod˚ u ˇci ke zmˇen´am tvaru tuh´eho tˇeles, plat´ı ve tvaru d pJ~ωq  M~ dt ~ Pokud je takov´a soustava izolovan´a, je M mentu hybnosti m´a tvar J~ω

 konst.,

Jω

(4.105)

 0 a z´akon zachov´an´ı mo-

 konst.

(4.106)

tedy v r˚ uzn´ ych okamˇzic´ıch J1 ω1

 J2ω2 94

(4.107)

F~ S

~aS

R F~t ~ G

α Obr´ azek xvii: Silov´e p˚ usoben´ı pˇri valen´ı po naklonˇen´e rovinˇe. Pokles momentu setrvaˇcnosti vzhledem k pevn´e ose rotace vede k r˚ ustu u ´hlov´e rychlosti, ˇcehoˇz vyuˇz´ıvaj´ı napˇr. krasobruslaˇri pˇri piruet´ach. Pˇr´ıklad: Vrat’me se jeˇstˇe jednou k valen´ı homogenn´ıho v´alce o polomˇeru podstavy R a hmotnosti M po naklonˇen´e rovinˇe, sv´ıraj´ıc´ı s horizont´aln´ı rovinou u ´hel α (obr. xvii) a nalezneme hmotn´e zrychlen´ı aS hmotn´eho stˇredu pomoc´ı obou impulsov´ ych vˇet. Dle vˇety o pohybu hmotn´eho stˇredu plat´ı (4.108) M~aS  F~
F~t kde F~  M g sin α je urychluj´ıc´ı sloˇzka t´ıhy a F~t je s´ıla vyvolan´a valiv´ ym tˇren´ım. Protoˇze vˇsechny vektory leˇz´ı ve stejn´em smˇeru, lze vztah (4.108) zapsat i skal´arnˇe M aS

 M g sin α
Ft

(4.109)

Nenulov´ y moment v˚ uˇci hmotn´emu stˇredu m´a pouze s´ıla valiv´eho tˇren´ı F~t , druh´a impulsov´a vˇeta bude m´ıt tvar (skal´arnˇe) Jε  J

aS  Ft R (4.110) R ˇ sen´ım soustavy rovnic (4.109) a (4.110) z´ısk´ame opˇet v´ Reˇ ysledek (4.65) 2 aS  3 g sin α (pˇrenech´av´ame posluchaˇci). Fyzick´e a matematick´e kyvadlo Fyzick´ e kyvadlo je kaˇzd´e tˇeleso otoˇcn´e bez tˇren´ı kolem vodorovn´e osy neproch´azej´ıc´ı tˇeˇziˇstˇem. Je-li ϕ okamˇzit´a v´ ychylka tˇeˇziˇstˇe z rovnov´aˇzn´e

95

O

O

α

a

l

α T x

m~g

(a) fyzick´e

(b) matematick´e

Obr´ azek xviii: Kyvadlo polohy, mg t´ıha kyvadla, kterou si mysl´ıme soustˇredˇenou v tˇeˇziˇsti, a a je vzd´alenost tˇeˇziˇstˇe od osy rotace, p˚ usob´ı na kyvadlo dle obr. xviiia moment M


mga sin ϕ

(4.111)

Moment zde p˚ usob´ı proti v´ ychylce, proto jej oznaˇcujeme z´aporn´ ym znam´enkem. Dle (4.103) bude d2 ϕ Jε  J 2 
mga sin ϕ (4.112) dt ˇcili d2 ϕ mga (4.113) sin ϕ  0 dt2 J 2 Pro mal´e v´ ychylky lze poloˇzit sin ϕ  ϕ a oznaˇc´ıme-li d´ale mga J  ω  konst., dostaneme rovnici d2 ϕ ω2ϕ  0 (4.114) 2 dt kter´a je shodn´a s diferenci´aln´ı rovnic´ı netlumen´eho harmonick´eho pohybu. Perioda kmitav´eho pohybu kyvadla je pak d

T

 2π  2π ω

J mga

(4.115)

a p˚ ulperioda (doba kyvu) ˇcin´ı polovinu t´eto hodnoty. Vˇsimneme si, ˇze perioda nez´avis´ı na maxim´aln´ı v´ ychylce z rovnov´aˇzn´e polohy. 96

Chyba vznikl´a nahrazen´ım skuteˇcn´eho pohybu kyvadla harmonick´ ym   ychylce 5 asi pohybem ˇcin´ı pˇri maxim´aln´ı v´ ychylce 1 asi 0, 002%, pˇri v´ 0, 05%. Matematick´ ym kyvadlem naz´ yv´ame hmotn´ y bod o hmotnosti m zavˇeˇsen´ y na tuh´em vl´aknu d´elky l, jehoˇz hmotnost je zanedbateln´a (obr. xviiib). Moment setrvaˇcnosti matematick´eho kyvadla je J  ml2 a perioda bude dle (4.115) s dosazen´ım a  l d

T

 2π

d

 2π mgl ml2

l g

(4.116)

D´elka lr z´avˇesu matematick´eho kyvadla, kter´e k´ yv´a stejnˇe jako fyzick´e kyvadlo, se naz´ yv´a redukovan´ a d´ elka fyzick´ eho kyvadla. Lze uk´azat, ˇze opatˇr´ıme-li fyzick´e kyvadlo druh´ ym bˇritem ve vzd´alenosti lr od prvn´ıho, takˇze obˇe osy kyvu jsou poloˇzeny asymetricky vzhledem k tˇeˇziˇsti ˇci symetricky se vzd´alenosti rovnou polomˇeru setrvaˇcnosti R, bude kyvadlo k´ yvat kolem obou os se stejnou periodou. Takov´e kyvadlo se naz´ yv´a reverzn´ı a pouˇz´ıv´a se k pˇresn´emu mˇeˇren´ı t´ıhov´eho zrychlen´ı na z´akladˇe mˇeˇren´ı periody. Pozn´amky k rotaci pevn´eho bodu, hlavn´ı osy setrvaˇcnosti

(nebude vyˇzadov´ ano ke

zkouˇsce)

Podle Chaslesovy vˇety je moˇzno obecn´ y pohyb rozloˇzit na translaˇcn´ı pohyb bodu pevn´eho v tˇelese a rotaci tˇelesa kolem tohoto bodu. Pˇri okamˇzit´e u ´hlov´e rychlosti tˇelesa ω ~ je okamˇzit´a rychlost ~ui nˇekter´eho bodu tˇelesa, pˇr´ısluˇsej´ıc´ı jeho rotaˇcn´ımu pohybu ~ui  ω ~  ~ri , kde ~ri je pr˚ uvodiˇc bodu vzhledem k pevn´emu bodu v tˇelese. Moment hybnosti tohoto bodu bude ~bi

 ~ri  mi~ui  mi~ri  pω~  ~riq

(4.117)

a moment hybnosti cel´eho tˇelesa ~b 

N ¸ i 1

mi~ri  pω ~  ~ri q

(4.118)

vyuˇzit´ım vzorce pro sloˇzen´ y vektorov´ y souˇcin ~a p~b ~cq  p~a ~cq~b
p~a ~bq~c dostaneme ~b 

N ¸ i1

~
pω ~  ~ri q~ri s mi rri2 ω

(4.119)

Vid´ıme, ˇze pouze prvn´ı ze sˇc´ıtanc˚ u na prav´e stranˇe m´a smˇer rovnobˇeˇzn´ y ~ s b, takˇze celkov´ y moment hybnosti nen´ı obecnˇe rovnobˇeˇzn´ y s vektorem 97

u ´hlov´e rychlosti. Toto je pˇr´ıˇcina sloˇzit´eho chov´an´ı tuh´ ych tˇeles pˇri rotaci kolem pevn´eho bodu. Nav´ıc jsou vˇsechny tˇri veliˇciny ~b, ~ri a ω ~ ve (4.119) ˇcasovˇe z´avisl´e. Rovnici (4.119 lze zjednoduˇsit, vybereme-li k popisu rotace nam´ısto laboratorn´ı soustavy soustavu spojenou s rotuj´ıc´ım tˇelesem, takˇze jejich poˇc´atky spl´ yvaj´ı (jsou um´ıstˇeny v bodˇe, v˚ uˇci nˇemuˇz rotaci uvaˇzujeme). Pak budou polohov´e vektory ~ri ˇcasovˇe nepromˇenn´e a vektorovou rovnici (4.119) bude moˇzno form´alnˇe zapsat jako ~b  J ω ~

(4.120)

kde J m´a charakter matice (z matematick´eho hlediska jde o veliˇcinu tenzorov´e povahy) 



Jxx Jxy Jxz J  Jyx Jyy Jyz Jzx Jzy Jzz

(4.121)

V´ yznam sloˇzek matice je n´asleduj´ıc´ı: diagon´aln´ı ˇcleny ud´avaj´ı moment setrvaˇcnosti vzhledem k pˇr´ısluˇsn´e souˇradn´e ose soustavy ot´aˇcej´ıc´ı se s tˇelesem. ˇ Cleny se sm´ıˇsen´ ymi indexy, pro kter´e plat´ı Jxy  Jyx atd. se naz´ yvaj´ı deviaˇcn´ımi momenty a souvis´ı s momenty odstˇrediv´ ych sil, kter´e p˚ usob´ı na okamˇzitou osu rotace tˇelesa. Souˇradnou soustavu spjatou s tˇelesem lze zvolit tak, aby deviaˇcn´ı momenty byly rovny nule. Souˇradn´e osy takov´e soustavy splynou pak s v´ yznaˇcn´ ymi osami symetrie zkouman´eho tˇelesa a budeme je naz´ yvat hlavn´ımi osami setrvaˇ cnosti. Zn´ame-li momenty setrvaˇcnosti vzhledem k hlavn´ım os´am setrvaˇcnosti, m˚ uˇzeme snadno vypoˇc´ıtat moment setrvaˇcnosti v˚ uˇci libovoln´e ose proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem soustavy souˇradn´e. Bude platit J

 νx2Jxx

νy2 Jyy

νz2 Jzz

(4.122)

kde νi jsou sloˇzky jednotkov´eho vektoru ve smˇeru osy. Pˇr´ıklad: M´ame urˇcit moment setrvaˇcnosti vzhledem k tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcce homogenn´ıho kv´adru, zn´ame-li hlavn´ı momenty setrvaˇcnosti Jxx , Jyy , Jzz (obr. xix) Souˇradnice jednotkov´eho vektoru ve smˇeru tˇelesov´e u ´hlopˇr´ıˇcky jsou zˇrejmˇe

98

z

y ~ν x

c u b a Obr´ azek xix: K v´ ypoˇctu momentu setrvaˇcnosti.

νx

`

νy

`

a2

νz

`

a2

a2

a b2 b b2 c b2

c2 c2

(4.123)

c2

V´ yraz (4.122) pak d´av´a pro v´ ysledn´ y moment setrvaˇcnosti J

 aJ`xx

bJyy a2 b2

99

cJzz c2

(4.124)

Kapitola 5

Mechanika kontinua 5.1

Z´ akladn´ı pojmy mechaniky kontinua

Pro vyˇsetˇrov´an´ı pohybu plyn˚ u, kapalin a pro vyˇsetˇrov´an´ı mechanick´ ych dˇej˚ u, pˇri nichˇz se mˇen´ı vz´ajemn´a vzd´alenost jednotliv´ ych bod˚ u pevn´e l´atky zav´ad´ıme pˇredstavu spojit´eho prostˇred´ı - kontinua. Struktura pevn´ ych l´atek neodpov´ıd´a pˇredstavˇe spojit´eho prostˇred´ı, pˇresto lze makroskopick´ y popis pohybu kapalin a plyn˚ u, stejnˇe jako deformaˇcn´ı chov´an´ı pevn´ ych l´atek na z´akladˇe t´eto pˇredstavy dobˇre prov´est. V mechanice kontinua pˇripisujeme charakteristick´e veliˇciny prostˇred´ı k jednotliv´ ym geometrick´ ym bod˚ um. To je matematick´a abstrakce, kter´a umoˇzn´ı vyuˇz´ıt rozpracovanou teorii funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych. Z fyzik´aln´ıho hlediska ch´apeme veliˇciny jako pr˚ umˇern´e hodnoty z tak velk´eho okol´ı bodu, aby se v tomto okol´ı jiˇz neprojevovala nespojit´a struktura l´atky. S´ıly v kontinuu, napˇ et´ı a deformace S´ıly v kontinuu lze podle jejich p˚ usoben´ı rozdˇelit na objemov´ e a ploˇ sn´ e. Objemov´e s´ıly p˚ usob´ı souˇcasnˇe na vˇsechny ˇc´astice (elementy) kontinua. Typickou objemovou silou je s´ıla t´ıhov´a. Ploˇsn´e s´ıly p˚ usob´ı na povrch vyˇsetˇrovan´e ˇc´asti kontinua a maj´ı za n´asledek obecnˇe deformaci kontinua. Pˇri deformaci kontinua dojde tedy ke zmˇenˇe rovnov´aˇzn´e polohy ˇc´astic, coˇz m´a za n´asledek vznik sil mezi ˇc´asticemi, kter´e se snaˇz´ı kontinuum vr´atit do p˚ uvodn´ıho stavu. Deformace kontinua dos´ahne koneˇcn´eho stavu, kdyˇz s´ıly mezi ˇc´asticemi jsou schopny odol´avat vnˇejˇs´ımu p˚ usoben´ı. Deformovan´e kontinuum se dost´av´a do stavu napjatosti. Charakterizujeme jej veliˇcinou, kter´a se naz´ yv´a napˇ et´ı. Pojem napˇet´ı lze pochopit na z´akladˇe myˇslen´eho pokusu: vydˇel´ıme v dokonale pruˇzn´em kontinuu malou oblast ohraniˇcenou kulovou plochou. Budeme-li nyn´ı kontinuum nap´ınat tahovou silou (p˚ usob´ıc´ı v jednom smˇeru), pˇretvoˇr´ı se koule obecnˇe v trojos´ y elipsoid. Kdybychom tento elipsoid vyˇ nali z kontinua, nabyl by p˚ uvodn´ıho tvaru. Tvar elipsoidu bychom zachovali, pokud bychom na nˇej p˚ usobili 100

stejn´ ymi silami, jako na nˇej p˚ usobilo jeho okol´ı, kdyˇz byl v kontinuu. Lze tak nahradit vnitˇrn´ı p˚ usoben´ı okol´ı na vyˇsetˇrovanou ˇc´ast kontinua p˚ usoben´ım vnˇejˇs´ım, kter´e je moˇzno kvantitativnˇe vyj´adˇrit. S´ıly jsou rozdˇeleny po ploˇse vyˇsetˇrovan´e ˇc´asti kontinua a pod´ılem ~σ

~

 ddSF

(5.1)

kter´ y m´a koneˇcnou hodnotu, je vyj´adˇreno napˇet´ı v pˇr´ısluˇsn´em m´ıstˇe myˇslen´e plochy, kter´a oddˇeluje navz´ajem r˚ uzn´e ˇc´asti kontinua v napjat´em stavu. Z principu akce a reakce je zˇrejm´e, ˇze s´ıla, kterou p˚ usob´ı jedna ˇc´ast kontinua na druhou, je stejnˇe velk´a, ale opaˇcnˇe orientovan´a neˇz s´ıla, kterou p˚ usob´ı druh´a ˇc´ast na prvn´ı. Obecnˇe p˚ usob´ı element´arn´ı s´ıla dF~ v libovoln´em smˇeru vzhledem k norm´ale ~n pˇr´ısluˇsn´eho elementu plochy dS. Lze ji pak prom´ıtnout do norm´aly k elementu plochy dS a do teˇcn´e roviny k elementu plochy dS. Z´ısk´ame tak norm´alovou s´ılu dF~n a teˇcnou s´ılu dF~t a pod´ıly ~σn

~

Fn  ddS

(5.2)

dF~t (5.3) ~τ  dS urˇcuj´ı norm´ alov´ e napˇ et´ı ~σn a teˇ cn´ e napˇ et´ı ~τ . Norm´alov´e napˇet´ı m´a charakter tahu nebo tlaku na ploˇsce dS dvou ˇc´ast´ı kontinua, kter´e z obou stran k ploˇsce pˇril´ehaj´ı, zat´ımco teˇcn´e napˇet´ı zp˚ usobuje zmˇenu tvaru jednotliv´ ych element˚ u nam´ahan´eho kontinua. Vrat’me se nyn´ı k myˇslen´emu pokusu s kulovou oblast´ı v kontinuu. Kdyby velikost norm´alov´eho napˇet´ı byla na kulov´e ploˇse vˇsude stejn´a, zmˇenil by se pouze polomˇer kulov´e plochy, nikoli vˇsak tvar. K pˇrechodu v elipsoid je tˇreba, aby norm´alov´e napˇet´ı v jednotliv´ ych m´ıstech plochy byla r˚ uznˇe velik´a a s t´ım pˇr´ımo souvis´ı pˇr´ıtomnost teˇcn´ ych napˇet´ı. ˇ ıselnˇe ud´av´a napˇet´ı s´ılu Jednotkou napˇet´ı je pascal (Pa), tedy N m
2 . C´ p˚ usob´ıc´ı na ploˇse jednotkov´eho ploˇsn´eho obsahu. Kolem kaˇzd´eho bodu kontinua si m˚ uˇzeme pˇredstavit malou oblast omezenou kulovou plochou, kter´a se pˇremˇen´ı v elipsoid, je-li tˇeleso v napjat´em stavu. 3 osy elipsoidu maj´ı tu vlastnost, ˇze v jejich smˇeru jsou s´ıly, kter´ ymi okol´ı na elipsoid p˚ usob´ı, kolm´e k jeho povrchu. V tˇechto smˇerech existuj´ı pouze norm´alov´a napˇet´ı, zat´ımco v ostatn´ıch smˇerech budou existovat napˇet´ı norm´alov´a i teˇcn´a. Tato tˇri norm´alov´a napˇet´ı se naz´ yvaj´ı hlavn´ımi napˇet´ımi (je zde analogie s hlavn´ımi momenty setrvaˇcnosti). Jedno z nich m´a maxim´aln´ı velikost a jedno minim´aln´ı velikost. Hodnoty ostatn´ıch norm´alov´ ych 101

y

y

y

τyx

τyz τyy

τxx τzx z

τxz

τxy

x

τzy

x

τzz

x

z

z

Obr´ azek i: Sloˇzky tenzoru napˇet´ı. napˇet´ı leˇz´ı mezi nimi. Vytknˇeme nyn´ı v napjat´em tˇelese malou ploˇsku, pak element´arn´ı ploˇsn´a s´ıla dF~ i pˇr´ısluˇsn´e napˇet´ı dF~ {dS budou obecnˇe m´ıt jinou orientaci, neˇz je norm´ala ~n k t´eto ploˇsce. Pˇredstavme si, ˇze tato ploˇska leˇz´ı postupnˇe v rovin´ach souˇradn´e soustavy xyz a proved’me rozklad vektoru napˇet´ı na d´ılˇc´ı napˇet´ı ve smˇeru os souˇradnic. Vˇsechna napˇet´ı oznaˇc´ıme znakem τ se dvˇema indexy, z nichˇz prvn´ı ud´av´a smˇer osy souˇradnic, v nˇemˇz napˇet´ı p˚ usob´ı a druh´ y smˇer, k nˇemuˇz je rovina, v n´ıˇz napˇet´ı p˚ usob´ı kolm´a (smˇer norm´aly ~n k t´eto rovinˇe). Situace je zn´azornˇena na obr. i. Tato napˇet´ı lze pˇrehlednˇe uspoˇra´dat v matici 



τxx τxy τxz τ  τyx τyy τyz τzx τzy τzz

(5.4)

ˇ sme nyn´ı ot´azku, zda lze pomoc´ı tˇechto u Reˇ ´daj˚ u urˇcit vektor napˇet´ı n´aleˇzej´ıc´ı libovolnˇe orientovan´e ploˇsce proch´azej´ıc´ı bodem P , v˚ uˇci kter´emu jsme napˇet´ı τij pi, j  x, y, z q urˇcili (bod P je poˇc´atkem soustavy souˇradn´e v obr. i). Necht’ je touto ploˇskou stˇena mal´eho ˇctyˇrstˇenu (obr. ii), jehoˇz dalˇs´ı tˇri stˇeny leˇz´ı v rovin´ach souˇradnic. Na ˇctyˇrstˇen p˚ usob´ı jednak ploˇsn´e s´ıly od okol´ı a jednak objemov´e s´ıly u ´mˇern´e jeho hmotnosti. Objemov´e s´ıly jsou u ´mˇern´e souˇcinu ∆x∆y∆z, zat´ımco ploˇsn´e s´ıly souˇcin˚ um ∆x∆y, ∆x∆z, ∆y∆z. Budeme-li ˇctyˇrstˇen zmenˇsovat, lze objemov´e s´ıly jakoˇzto veliˇcinu tˇret´ıho ˇra´du zanedbat oproti ploˇsn´ ym. P˚ usob´ı-li nyn´ı napjat´e kontinum v ploˇse ∆S na ˇctyˇrstˇen silou ∆F~n , budou v rovnov´aˇzn´em stavu jej´ı sloˇzky ve smˇeru os souˇradnic stejnˇe velk´e jako souˇcet opaˇcnˇe orientovan´ ych sil, jimiˇz v pˇr´ısluˇsn´em smˇeru p˚ usob´ı obklopuj´ıc´ı kontinuum, na ˇctyˇrstˇen v ostatn´ıch ploˇsk´ach ∆Sx , ∆Sy , ∆Sz . M´ame tedy

102

y ∆F~n

∆S

~n ∆y ∆Sx

∆Sz

P O

∆x x

∆z ∆Sy z

ˇ rstˇen k urˇcen´ı rovnov´ahy vnitˇrn´ıch sil. Obr´ azek ii: Ctyˇ ∆Fxn  τxx ∆Sx ∆Fyn  τyx ∆Sx ∆Fzn  τzx ∆Sx

τxy ∆Sy τyy ∆Sy τzy ∆Sy

τxz ∆Sz τyz ∆Sz τzz ∆Sz

(5.5)

Ploˇsky ∆Sx , ∆Sy , ∆Sz m˚ uˇzeme vyj´adˇrit pomoc´ı ploˇsky ∆S a vektoru norm´aly k n´ı ∆Sx

 ∆Snx, ∆Sy  ∆Sny , ∆Sz  ∆Snz

(5.6)

Dosad´ıme (5.6) do (5.5) a podˇelen´ım ∆S dostaneme v´ yrazy pro napˇet´ı (vˇsimneme si opˇet analogie se z´apisem momentu setrvaˇcnosti pˇri rotaci kolem pevn´eho bodu σxn  τxx nx σyn  τyx nx σzn  τzx nx

τxy ny τyy ny τzy ny

τxz nz τyz nz τzz nz

(5.7)

Stav napjatosti kontinua je tak jednoznaˇcnˇe pops´an. Rovnici (5.7) lze s vyuˇzit´ım pravidla o n´asoben´ı vektor˚ u matic´ı zapsat jednoduˇse ~σn

 τ ~n 103

(5.8)

Matici τ danou pˇredpisem (5.8) naz´ yv´ame tenzorem napˇ et´ı. Z podm´ınek rovnov´ahy nˇejak´e ˇc´asti napjat´eho kontinua lze uk´azat, ˇze tento tenzor je symetrick´ y, tj. ˇze τxy  τyx , τxz  τzx , τyz  τzy Pˇrejdˇeme nyn´ı k vyj´adˇren´ı deformace pˇri obecn´e napjatosti, kter´a je v kaˇzd´em bodˇe kontinua urˇcena vektorem posunut´ı ~u. Je ~u  ~r1
~r

(5.9)

kde ~r je pr˚ uvodiˇc oznaˇcuj´ıc´ı polohu vybran´eho m´ısta v nenapjat´em kon1 uvodiˇc t´ehoˇz m´ısta v kontinuu napjat´em. Toto posunut´ı je tinuu a ~r pr˚ z´avisl´e na souˇradnic´ıch, m˚ uˇze se od m´ısta k m´ıstu mˇenit (jinak jde o pohyb cel´eho kontinua). Postoup´ıme-li pod´el osy x o element dx, zmˇen´ı se posunut´ı o dux . Takovou deformaci ve smˇeru osy x oznaˇc´ıme εxx a p´ıˇseme pro ni B ux εxx  (5.10) Bx Analogicky z´ısk´ame v´ yrazy pro deformace ve smˇeru os y a z. εyy

 BBuyy

B uz εzz  Bz

(5.10)

Zb´ yv´a urˇcit deformace zp˚ usoben´e smykov´ ymi napˇet´ımi, napˇr εxy (obr. iii). Obr. iiia ukazuje posunut´ı hranolu v d˚ usledku teˇcn´e s´ıly. Plat´ı pro nˇej γxy  ux {y  tan α, kde index x vyznaˇcuje, ˇze jde o posunut´ı ve smˇeru osy x a index y vyznaˇcuje, ˇze norm´ala k ploˇsce, kde posunut´ı uvaˇzujeme m´a smˇer osy y. Deformace ˇctverce v t´ yˇz kosoˇctverec lze dos´ahnout tak´e posuvem rovnobˇeˇzn´ ym s osou y (obr. iiib), pro kter´ y plat´ı γyx  uy {x  tan α. Sloˇzen´ım obou deformac´ı dojde vˇsak pouze k pootoˇcen´ı hranolu jako celku o u ´hel α. Bude-li tedy γyx


γxy

(5.11)

deformace nevznikne. K deformaci dojde, sloˇz´ıme-li vˇsak dva jednoduch´e smykov´e posuvy γxy a γyx (obr. iiid, e, f). Pˇritom nedojde k rotaci hranolu jako celku (´ uhlopˇr´ıˇcky ˇctverce nezmˇen´ı svou orientaci v prostoru). Tuto deformaci naz´ yv´ame prost´ ym smykem. Jedna z u ´hlopˇr´ıˇcek se zkr´at´ı a druh´a prodlouˇz´ı. Zmˇena prav´eho u ´hlu pˇri deformaci je pops´ana u ´hlem α. Pˇri mal´ ych 104

y

y

y

ux

α

α

α




x


uy


x (a)

x

α

(b)

y

(c) y

y

α

α


(d)

x







α

α

x

(e)

(f)

x

Obr´ azek iii: Deformace hranolu pˇri prost´em smyku. deformac´ıch je tan α  α, tedy αxy

 γxy  γyx a 2αxy  γxy γyx

(5.12)

Pomˇern´a posunut´ı pˇr´ısluˇsn´a smykov´ ym posuv˚ um v kolm´ ych smˇerech lze ps´at B ux γxy  By (5.13) uy B γyx  Bx M´ıstn´ı zmˇena prav´eho u ´hlu pˇri deformaci v rovinˇe xy je pak vyj´adˇrena v´ yrazem 

1 B ux B uy (5.14) αxy  2 By Bx αxy naz´ yv´ame u ´ hlem smyku a pouˇzijeme pro nˇej oznaˇcen´ı αxy

 εxy

(5.15)

(5.10) a (5.14) lze napsat soubornˇe ve formˇe εij



1 2



B ui B uj

Bj Bi 105

i, j

 x, y, z

(5.16)

Poloˇzme poˇc´atek soustavy souˇradn´e do bodu P , kter´ y se pˇri deformaci posune o ~u. Deformaci naz´ yv´ame homogenn´ı, jestliˇze sloˇzky vektoru ~u jsou pˇr´ımo u ´mˇern´e souˇradnic´ım, napˇr. uy  εyy ˇci uy  αyx x  εyx x. V pˇr´ıpadˇe homogenn´ı deformace m´ame pro sloˇzky vektoru posunut´ı dohromady

 εxxx uy  εyx x uz  εzx x

ux

εxy y

εxz z

εyy y

εyz z

εzy y

εzz z

(5.17)

Souˇcinitele lze opˇet sepsat pˇrehlednˇe do matice 



εxx εxy εxz  ε  εyx εyy εyz εzx εzy εzz

(5.18)

~u  ε~r

(5.19)

a 5.17 zapsat jako

tedy vztah mezi vektorem posunut´ı ~u a polohov´ ym vektorem ~r. Matice (5.19) je vyj´adˇren´ım tenzoru mal´ ych deformac´ı a podle (5.14) je symetrick´a, stejnˇe jako matice tenzoru napˇet´ı. Zd˚ uraznˇeme jeˇstˇe jednou, ˇze cel´a u ´vaha byla provedena pouze pro mal´e deformace. Ty jsou tedy pops´any v kaˇzd´em bodˇe 6 nez´avisl´ ymi ˇc´ıseln´ ymi u ´daji. Z´avislost deformace na ˇcase z´ısk´ame derivac´ı tenzoru mal´ ych deformaci (5.16) dle ˇcasu

Bεij  1 B  Bui Buj  1  B2ui Bt 2 Bt Bj B i 2  B tB j  2 2  12 BBjuBti BBiButj  12 BBvji

B 2 uj

Bt Bi

B vj Bi

(5.20)

kde jsme zamˇenili poˇrad´ı derivov´an´ı a ˇcasov´e derivace vektoru posunut´ı nahradili sloˇzkami rychlosti. V´ yraz 



1 B vi B vj Dij  (5.21) 2 Bj Bi je rovnˇeˇz tenzorov´e povahy a naz´ yv´ame jej tenzorem rychlosti deformace. Rovnice rovnov´ ahy a pohybov´ a rovnice kontinua

106

Na z´akladˇe pˇredchoz´ıho v´ ykladu lze zformulovat n´asleduj´ıc´ı z´avˇery: Rovnov´aha kontinua nastane, bude-li v´ yslednice vˇsech vnˇejˇs´ıch sil (objemov´ ych i ploˇsn´ ych) p˚ usob´ıc´ıch na dan´e kontinuum nulov´a, tedy F~v

F~s

0

(5.22)

Je-li v´ yslednice tˇechto sil nenulov´a, bude m´ıt element kontinua zrychlen´ı ~a a je moˇzno ps´at F~v F~s  m~a (5.23) Pˇredstav´ıme-li si nyn´ı oblast v kontinuu, kter´e bude m´ıt objem V , bude uzavˇren´a plochou S a hustota kontinua bude ρ, m˚ uˇzeme rovnici (5.23) vyj´adˇrit v integr´aln´ım tvaru ½

¿

ρI~V dV V

~σ ds 

S

½

d2~u ρ 2 dV dt

(5.24)

V

kde prvn´ı ˇclen na lev´e stranˇe pˇredstavuje celkovou objemovou s´ılu (I~V je intenzita, tj. objemov´a s´ıla na jednotku hmotnosti), druh´ y ˇclen na lev´e stranˇe je celkov´a ploˇsn´a s´ıla (je vyznaˇcena integrace pˇres uzavˇrenou plochu) a ˇclen na prav´e stranˇe ud´av´a integr´aln´ı souˇcet souˇcin˚ u hmotnosti a zrychlen´ı vˇsech element˚ u oblasti V . Rovnice (5.24) je pohybovou rovnic´ı kontinua v integr´aln´ım tvaru. Vyuˇz´ıv´a se v mechanice tekutin. V dalˇs´ım v´ ykladu pojedn´ame oddˇelenˇe o mechanice pevn´eho kontinua (pevn´ ych l´atek) a tekut´eho kontinua (plyn˚ u a kapalin). 5.2

Deformace pevn´ ych l´ atek a Hooke˚ uv z´ akon

´ Ukolem nauky o deformaci pevn´ ych l´atek (speci´alnˇe pruˇznosti-elasticitˇe pevn´ ych l´atek) je zjistit kvantitativn´ı vztah mezi deformacemi a napˇet´ımi, kter´e v tˇelesech bud´ı vnˇejˇs´ı s´ıly. Tah a tlak Nejjednoduˇsˇs´ı je tzv. pˇr´ımkov´a napjatost, pˇri kter´e je tyˇc d´elky ℓ zat´ıˇzena silou F a prodlouˇz´ı se o ∆ℓ  ℓ1
ℓ (obr. iv) S´ıla F je kompenzov´ana pˇr´ıtomnost´ı tuh´eho z´avˇesu a deformovan´a tyˇc je proto v klidu. Vˇsechny ˇc´asti tyˇce jsou nam´ah´any stejnou silou a pˇredpokl´ad´ameli, ˇze je tyˇc z homogenn´ıho materi´alu, bude prodlouˇzen´ı ∆ℓ rovnomˇernˇe rozdˇeleno a mezi prodlouˇzen´ım a celkovou d´elkou tyˇce bude pˇri konstantn´ı s´ıle platit zˇrejm´a u ´mˇernost

107

ℓ

ℓ1

∆ℓ Obr´ azek iv: Tyˇc ˇctvercov´eho pr˚ uˇrezu nam´ahan´a tahovou silou F . ∆ℓ  ℓ

(5.25)

Bude-li m´ıt tyˇc vˇsude stejn´ y pr˚ uˇrez, bude vˇsude stejn´e i norm´alov´e napˇet´ı a vztah (5.2) bude moˇzno vyj´adˇrit v integr´aln´ı formˇe

 FS

σn

(5.26)

Souvislost mezi deformac´ı a napˇet´ım v tˇelese popsal poprv´e Hooke, kter´ y formuloval v´ ysledek sv´eho pozorov´an´ı vˇetou: Deformace je u ´ mˇ ern´ a napˇ et´ı materi´ alu. Tato vˇeta je zn´am´ y Hooke˚ uv z´ akon, kter´ y plat´ı ovˇsem pro mal´e elastick´e deformace a mal´e napˇet´ı v tˇelese. Poznamenejme zde, ˇze elastick´a (pruˇzn´a) deformace je takov´a, kdy po skonˇcen´ı p˚ usoben´ı vnˇejˇs´ı s´ıly tˇeleso se vr´at´ı do p˚ uvodn´ıho stavu. Naproti tomu plastick´a deformace vede k trval´ ym tvarov´ ym zmˇen´am. V pˇr´ıpadˇe tyˇce nam´ahan´e tahem lze ps´at s pˇrihl´ednut´ım k (5.25) dℓ  kℓdσn

(5.27)

kde k je l´atkov´a konstanta charakterizuj´ıc´ı deformovatelnost tˇelesa. Integrac´ı (5.27) z´ısk´ame »ℓ

1

dℓ ℓ

k

»σn

dσn1

0

ℓ

(5.28)

ℓ1 ln  kσn ñ ℓ1  ℓekσn ℓ Vid´ıme, ˇze pˇri obecn´e deformaci nen´ı deformace u ´mˇern´a napˇet´ı, ale roste dle exponenci´aln´ıho z´akona. U cel´e ˇrady l´atek (kovy, keramiky) je vˇsak kon108

stanta k velmi mal´a, napˇr. pro ocel je 5.10
12 m2 N
1 . Ocel pˇritom odol´av´a trval´e deformaci do napˇet´ı asi 200 MPa (2.108 N m
2 ). Exponent v (5.28) je pak menˇs´ı neˇz 10
3 a exponencielu lze nahradit prvn´ımi dvˇema ˇcleny Maclaurinova rozvoje e

kσn

a m´ame tedy

1

pkσnq2

kσn

2

...  1

ℓ1
ℓ  ∆ℓ  kℓσn

kσn

(5.29) (5.30)

tedy line´arn´ı u ´mˇernost mezi prodlouˇzen´ım tyˇce a norm´alov´ ym napˇet´ım. Pomˇer ∆ℓ ℓ1
ℓ (5.31) ε  ℓ ℓ ud´av´a ˇc´ıseln´e prodlouˇzen´ı tyˇce jednotkov´e d´elky a naz´ yv´a se pomˇ ern´ e prodlouˇ zen´ı. (5.30) pak pˇrejde do tvaru ε  kσn

(5.32)

Konstanta k se naz´ yv´a poddajnost a ud´av´a ˇc´ıselnˇe, o kolik se prodlouˇz´ı d´elkov´a jednotka pˇri jednotkov´em napˇet´ı. Protoˇze je k u vˇetˇsiny materi´al˚ u splˇ nuj´ıc´ıch Hooke˚ uv z´akon velmi mal´a, uˇz´ıv´a se ˇcastˇeji jej´ı pˇrevr´acen´e yv´ame Young˚ uv modul neboli modul hodnoty 1{k  E, kterou naz´ pruˇ znosti v tahu. Dalˇs´ım experiment´aln´ım poznatkem je, ˇze pˇri pod´eln´em nam´ah´an´ı tyˇce se pr˚ uˇrez zmenˇsuje se zat´ıˇzen´ım rovnˇeˇz dle Hookeova z´akona. Prodlouˇzen´ı tyˇce o ∆ℓ  ℓ1
ℓ vede ke zkr´acen´ı strany pˇr´ıˇcn´eho ˇrezu o ∆a  a
a1 a zav´ad´ıme analogicky (5.30) pomˇern´e pˇr´ıˇcn´e zkr´acen´ı η



∆a a



a
a1 a

(5.33)

a plat´ı (analogicky (5.32)) η

 kl σn

(5.34)

kde kl je pˇr´ıˇcn´a poddajnost. Dosazen´ım za σn z (5.32) m´ame r˚ uzn´a vyj´adˇren´ı 1 σn (5.35)  kl kε  kl Eε  υε  m1 ε  mE m se naz´ yv´a Poissonova konstanta a υ  m1 Poissonovo ˇ c´ıslo. Poisη

sonova konstanta ud´av´a, kolikr´at je pomˇern´e prodlouˇzen´ı vˇetˇs´ı neˇz pomˇern´e pˇr´ıˇcn´e zkr´acen´ı. Tento pomˇer je pro r˚ uzn´e materi´aly r˚ uzn´ y a je tˇreba jej 109

c b a Obr´ azek v: Hranol podroben´ y vˇsestrann´emu kolm´emu tlaku. stanovit experiment´alnˇe. Teoreticky lze stanovit pouze meze, v nichˇz Poissonova konstanta mus´ı leˇzet. S vyuˇzit´ım (5.31) a (5.33) lze nakonec pro rozmˇery ℓ1 a a1 deformovan´e tyˇce ps´at
σn 1 ℓ  ℓp1 εq  ℓ 1 E
(5.36) σ n 1 a  ap1
η q  a 1
mE Vˇsechny dosud uveden´e vztahy plat´ı i pro nam´ah´an´ı tlakem, zde je vˇsak 1 ℓ   ℓ a a1 ¡ a, tj. tyˇc se pod tlakem zkracuje a jej´ı pˇr´ıˇcn´ y pr˚ uˇrez se zvˇetˇsuje. Aby veliˇciny ε, η, σn podrˇzely kladn´e hodnoty i pro pˇr´ıpad tlaku, redefinujeme (5.31) a (5.33) ε  pℓ
ℓ1 q{ℓ,

η

 pa1
aq{a

(5.37)

Vyˇsetˇr´ıme jeˇstˇe deformaci tˇelesa, kter´e je vystaveno vˇsestrann´emu kolm´emu tlaku (obr. v). Kdyby tlak p˚ usobil jen v jednom smˇeru, napˇr. hrany c, hranol by se v tomto smˇeru zkr´atil a v ostatn´ıch prodlouˇzil. Protoˇze vˇsak tlak p˚ usob´ı i ve smˇerech a, b, mus´ıme stejnou u ´vahu udˇelat i pro tyto smˇery. Dle (5.36) m´ame c : a1 b1 c1

ap1 ηq bp1 ηq cp1
εq

b : a1 b1 c1

ap1 ηq bp1
εq cp1 ηq

a : a1 b1 c1

ap1
εq bp1 ηq cp1 ηq

(5.38)

D´elka hran po deformaci bude a1  ap1
ε b 1  b p1
ε c 1  c p1
ε 110

2η q 2η q 2η q

(5.39)

a objem po deformaci bude V1

 a1b1c1  abcp1
ε

2η q3

 V r1
3pε
2ηqs

(5.40)

kde jsme zanedbali ˇcleny druh´eho a vyˇsˇs´ıho ˇra´du, protoˇze ε a η jsou mal´a ˇc´ısla. Pro relativn´ı zmˇenu objemu vych´az´ı V1
V V



∆V V




3pε
2ηq 
3 E1




2 mE



σn


3pmmE
2q σn

(5.41) Vid´ıme, ˇze ve shodˇe s Hookeov´ ym z´akonem, je objemov´a deformace (pomˇern´a zmˇena objemu) u ´mˇern´a napˇet´ı σn . V´ yraz γ

1 
∆V V σ

(5.42)

n

je definov´an pod´ılem relativn´ıho u ´bytku objemu a tlaku, kter´ y tento u ´bytek zp˚ usobuje, a naz´ yv´a se objemov´ a stlaˇ citelnost. Jej´ı pˇrevr´acen´a hodnota je pak nov´ y modul pruˇznosti (analogicky zaveden´ı E z rovnice (5.41), kter´ y se naz´ yv´a objemov´ y modul pruˇ znosti K. Z (5.41) plat´ı K

 γ1  3pmmE
2q  3p1
E 2υq

(5.43)

yt vˇzdy kde jsme poloˇzili m  υ1 . Modul objemov´e pruˇznosti mus´ı b´ kladn´ y (jinak by se objem stlaˇcov´an´ım zvˇetˇsoval), a proto ze (5.43) vypl´ yv´a, ˇze Poissonovo ˇc´ıslo mus´ı leˇzet v intervalu 0 υ

  12

(5.44)

Krajn´ı hodnota υ  12 d´av´a γ  0, tj. ∆V  0, tedy tˇeleso se chov´a jako nestlaˇciteln´e. Pˇredpoklad nestlaˇcitelnosti se ˇcasto uˇz´ıv´a v mechanice kapalin, aˇckoli kapaliny jsou v´ıce stlaˇciteln´e neˇz pevn´e l´atky. Pruˇznost ve smyku Deformace prost´ ym smykem byla jiˇz pops´ana (obr. iiia a text). Zde pˇrekresl´ıme situaci pro hranol o rozmˇerech a, b, c a zopakujeme z´akladn´ı vztahy. Teˇcn´a s´ıla p˚ usob´ı v rovinˇe horn´ı stˇeny hranolu a zp˚ usob´ı posunut´ı horn´ı stˇeny o u (obr. vi) Pr˚ umˇern´e posunut´ı bude γ

 ub

(5.45)

a m´a v´ yznam u ´hlu γ v obloukov´e m´ıˇre, nebot’ tan γ  γ  ub pro mal´e deformace. γ se tak´e naz´ yv´a u ´ hel smyku nebo t´eˇz smykov´ a deformace. Teˇcn´e napˇet´ı p˚ usob´ı v ploˇse velikosti S  ac a plat´ı pro nˇej 111

u γ b

c a Obr´ azek vi: Deformace hranolu prost´ ym smykem

τ

Ft  FSt  ac

(5.46)

Pˇri smykov´e deformaci plat´ı opˇet Hooke˚ uv z´akon, tedy rovnice (5.45) a (5.46) jsou sv´az´any v´ yrazem γ

 kτ

nebo τ

 Gγ

(5.47)

Konstanta k se naz´ yv´a souˇ cinitel posunut´ı, ˇcastˇeji se uˇz´ıv´a jej´ı pˇrevr´acen´a znosti ve smyku. hodnota G  1{k, kter´a se jmenuje modul pruˇ yv´a modul torze, protoˇze Pozn´amka: Modul pruˇznosti ve smyku se tak´e naz´ prost´ y smyk se vyskytuje pˇri zkrucov´an´ı tyˇce kruhov´eho pr˚ uˇrezu silovou dvojic´ı. Mezi u ´hlem zkroucen´ı ϕ a kroutic´ım momentem Mk , d´elkou tyˇce l a polomˇerem tyˇce r plat´ı u ´mˇera ϕ

Mk l (5.48) r4 Odtud plyne, ˇze tenk´a dlouh´a vl´akna se i malou silou znaˇcnˇe zkrout´ı. Toho se vyuˇz´ıv´a k mˇeˇren´ı mal´ ych silov´ ych moment˚ u (torzn´ı v´ahy). Pozn´amka: Lze odvodit n´asleduj´ıc´ı vztah mezi moduly G, E, Poissonovou konstantou m a Poissonov´ ym ˇc´ıslem υ mE E  2pm 1q 2p1 υ q Z nerovnosti (5.44) pak pro G plyne G

E 3

  G   E2 112

(5.49)

(5.50)

Materi´al ErN m
2 s υ γ rm2 N
1 s GrN m
2 s (Young) (Poisson) (stlaˇcitelnost) (smyk) Hlin´ık

7, 2.1010

0,34

1, 3.10
11

2, 7.1010

Mˇed’ ˇ Zelezo

1, 2.1011

0,35

7, 1.10
12

4, 6.1010

2, 1.1011

0,28

6, 3.10
12

7, 8.1010

Tabulka 5.1 Na z´avˇer uv´ad´ıme v tabulce 5.1 elastick´e konstanty nˇekter´ ych kovov´ ych materi´al˚ u Zobecnˇen´ı Hookeova z´akona (nebude poˇzadov´ano ke zkouˇsce) Uk´azali jsme, ˇze pˇri obecn´e napjatosti jsou napˇet´ı ˇci deformace v kaˇzd´em bodˇe kontinua pops´ana tenzory napˇet´ı a deformace. Line´arn´ı teorie pruˇznosti vych´azej´ıc´ı z Hookeova z´akona pˇredpokl´ad´a, ˇze kaˇzd´a sloˇzka tenzoru napˇet´ı je line´arn´ı funkc´ı vˇsech sloˇzek tenzoru deformace, tedy napˇr. τxx

 Cxxxxεxx

Cxxyy εyy Cxxzz εzz Cxxxy εxy Cxxyz εyz Cxxzx εzx (5.51)

Dostaneme tak 6 rovnic, kter´e lze zapsat τij



¸

Cijkl εkl ,

i, j, k, l  x, y, z

(5.52)

k,l

Koeficienty Cijkl se naz´ yvaj´ı elastick´ e koeficienty a jsou sloˇzkami tzv. tenzoru elastick´ ych koeficient˚ u, kter´ y je ˇctvrt´eho ˇra´du. Tenzor napˇet´ı a tenzor deformace jsou symetrick´e, tedy i tenzor elastick´ ych koeficient˚ u je symetrick´ y a to v indexech i a j, k a l. Obecnˇe je tedy 36 nez´avisl´ ych elastick´ ych koeficient˚ u. Pokud je tˇeleso homogenn´ı, tj. jeho elastick´e vlastnosti jsou vˇsude stejn´e, pˇr´ısluˇs´ı vˇsem bod˚ um tˇelesa stejn´e elastick´e koeficienty, jinak jsou funkc´ı souˇradnic. Rovnice (5.52) je zobecnˇ en´ y Hooke˚ uv z´ akon, a plat´ı i pro anizotropn´ı krystalick´e l´atky, kter´e na stejnˇe velk´a napˇet´ı r˚ uzn´eho smˇeru reaguj´ı r˚ uznˇe. Stupeˇ n anizotropie z´avis´ı na krystalografick´e soustavˇe (kubick´a soustava m´a niˇzˇs´ı poˇcet nez´avisl´ ych elastick´ ych koeficient˚ u neˇz trojklonn´a). Nejjednoduˇsˇs´ı je (5.52) pro homogenn´ı izotropn´ı tˇeleso, kde vystaˇc´ıme pouze se 2 nez´avisl´ ymi elastick´ ymi koeficienty, kter´ ymi lze volit napˇr. Cxxyy

 λ, Cxyxy  2µ,

z´aroveˇ n Cxxxx 113

 Cxxyy

Cxyxy

λ

2µ (5.53)

Tyto koeficienty se naz´ yvaj´ı Lam´ eho konstanty. Zaved’me nyn´ı tzv. invariant tenzoru deformace vztahem ϑ  εxx

εyy

(5.54)

εzz

a d´ale tzv. Kronecker˚ uv symbol δij , kde δij  1, kdyˇz i  j, a δij  0, kdyˇz i  j. Zobecnˇen´ y Hooke˚ uv z´akon pro izotropn´ı l´atky pˇrejde pak do tvaru τij τxx τxy

 λϑδij  λpεxx 

2µεij i, j  x, y, z εyy εzz q 2µεxx 2µεxy

(5.55)

atd. Zavedeme-li jeˇstˇe tzv. invariant tenzoru napˇet´ı vztahem θ

 τxx

τyy

(5.56)

τzz

m˚ uˇzeme z (5.55) vyj´adˇrit θ

 p3λ

2µqϑ

(5.57)

Sloˇzky εii tenzoru deformace jsou pomˇern´a prodlouˇzen´ı d´elkov´ ych element˚ u, kter´e pˇred deformac´ı mˇely smˇer os souˇradnic. Objem hranolku ∆x, ∆y, ∆z se tedy pˇri mal´e deformaci zmˇen´ı

 ∆xp1 εxxq∆yp1 ∆V 1  ∆x∆y∆z p1 εxx ∆V 1  ∆V ∆V ϑ ∆V 1

εyy q∆z p1 εyy

εzz q

εzz q (5.58)

ϑ m´a tedy v´ yznam pomˇern´e zmˇeny objemu pˇri mal´e deformaci ϑ

∆V 1
∆V ∆V

a naz´ yv´a se objemov´a dilatace. P˚ usob´ı-li na tˇeleso vˇsestrann´ y kolm´ y tlak, jsou napˇet´ı τii p˚ usob´ıc´ı na tˇeleso. Invariant tenzoru napˇet´ı je tedy roven θ


3p

(5.59)


p tlaky (5.60)

Pozn´amka: Z rovnic (5.59) a (5.60) je zˇrejm´a nez´avislost ϑ a θ na volbˇe souˇradn´eho syst´emu. Proto se naz´ yvaj´ı invarianty. Objemovou stlaˇcitelnost zavedenou vztahem (5.42) zde dostaneme 114

∆V 1
∆V 1 γ ∆V p a modul objemov´e pruˇznosti



 p
ϑq


3θ



 3ϑθ

(5.61)


3ϑθ  λ

2 µ (5.62) 3 Vztah mezi Youngov´ ym modulem E a Lam´eho konstantami dostaneme rozeps´an´ım vztahu (5.55) pro prost´ y tah, napˇr. K

 λpεxx εyy εzz q 2µεyy (5.63) pˇritom pˇr´ıˇcn´e zkr´acen´ı je η 
εxx 
εzz . Pro pˇr´ıˇcn´e zkr´acen´ı plat´ı dle (5.35) η  ϑεyy , takˇze je τxx

τyy

 λpεyy
2ϑεyy q

2µεyy

 εyy

(5.64)

ϑ vyj´adˇr´ıme ze vztahu (5.43) 2ϑ  1


E 3K

(5.65)

a za K dosad´ıme z (5.62) 2ϑ  1
V (5.64) m´ame pak τyy

 λεyy




1


E 3λ

E 3λ

(5.66)

2µ

εyy

2µ

2µεyy

 Eεyy

(5.67)

odkud m´ame u ´pravou E

λ
1

E 3λ E



2µ

2µ

µp3λ 2µq λ µ

(5.68)

Vztah mezi modulem pruˇznosti ve smyku a Lam´eho koeficienty dostaneme, rozep´ıˇseme-li vyj´adˇren´ı tenzoru mal´ ych deformac´ı pro nam´ah´an´ı hranolu prost´ ym smykem dle obr. iiia. Pak bude B ux {B x  0 a tedy

B ux B uy 1 B ux (5.69) εxy   By Bx 2 By Tento diferenci´aln´ı pod´ıl odpov´ıd´a pod´ılu u{b v (5.45), pro kter´ y plat´ı

1 2



115

u τxy  b G Kombinac´ı (5.70) a (5.69) a (5.55) dostaneme τxy

 2Gεxy  2µεxy

tedy

(5.70)

(5.71)

Gµ

Nakonec kombinac´ı (5.66) a (5.68) vypoˇc´ıt´ame υ

 2 pλ λ µ q

(5.72)

Shrnut´ı: Moduly E, G, K a Poissonovo ˇc´ıslo υ lze vyj´adˇrit pomoc´ı dvou Lam´eho konstant λ a µ, kter´e postaˇcuj´ı k urˇcen´ı elastick´ ych vlastnost´ı homogenn´ıho izotropn´ıho tˇelesa. (konec nepovinn´e ˇca´sti) Plastick´a deformace Budeme-li materi´al, napˇr. tyˇc na obr. iv zatˇeˇzovat st´ale vˇetˇs´ı silou a zjiˇst’ovat z´avislost prodlouˇzen´ı na napˇet´ı, uk´aˇze se, ˇze line´arn´ı z´avislost σ pεq dan´a Hookeov´ ym z´akonem plat´ı jen pro mal´e deformace. V cel´em rozsahu deformac´ı aˇz do pˇretrˇzen´ı tyˇce zjist´ıme pro typick´ y kovov´ y materi´al z´avislost σ pεq dle obr. vii. Napˇet´ı σu je mezn´ı napˇet´ı, kter´e jeˇstˇe splˇ nuje Hooke˚ uv z´akon a naz´ yv´a se mez´ı u ´ mˇ ernosti. Pˇri dalˇs´ım zatˇeˇzov´an´ı do meze pruˇznosti σE z˚ ust´av´a tyˇc jeˇstˇe pruˇzn´a, z´avislost σ pεq vˇsak jiˇz nesplˇ nuje Hooke˚ uv z´akon. Pˇri zatˇeˇzov´an´ı nad σE zjist´ıme po odt´ıˇzen´ı trvalou plastickou deformaci. σE je tedy mezn´ı napˇet´ı, kter´e jeˇstˇe nevyvol´a trvalou plastickou deformaci. Naz´ yv´ame ho mez pruˇ znosti (v technick´e praxi se naz´ yv´a mez kluzu). Mez pruˇznosti se velmi ˇspatnˇe mˇeˇr´ı. Zav´ad´ı se proto m´ısto n´ı tzv. smluvn´ı mez kluzu σ02 , (oznaˇcuje se t´eˇz Rp 0, 2) coˇz je napˇet´ı, kter´e zp˚ usob´ı trvalou plastickou deformaci ε  0, 002  0, 2%. Dalˇs´ı zatˇeˇzov´an´ı vyvol´a jiˇz plastickou deformaci a v´ yznamn´e mikrostrukturn´ı zmˇeny v materi´alu (vznik a pohyb strukturn´ıch defekt˚ u). Mikrostrukturn´ı zmˇeny maj´ı za n´asledek zpevnˇen´ı materi´alu, a proto napˇet´ı nutn´e k deformaci st´ale stoup´a. Z´aroveˇ n kles´a pr˚ uˇrez tyˇce, coˇz m´a za n´asledek, ˇze skuteˇ cn´ e napˇet´ı, vztaˇzen´e k aktu´aln´ımu pr˚ uˇrezu je vyˇsˇs´ı neˇz smluvn´ı napˇ et´ı, vztaˇzen´e k poˇc´ateˇcn´ımu pr˚ uˇrezu. Maxim´aln´ı smluvn´ı napˇet´ı, kter´eho v pr˚ ubˇehu deformace dos´ahneme, se naz´ yv´a mez pevnosti σm (oznaˇcuje se t´eˇz Rm a ˇcasto se naz´ yv´a pevnost v tahu). Pˇri tomto napˇet´ı se tyˇc v nˇekter´em m´ıstˇe zaˇskrt´ı a posl´eze pˇretrhne. Proto smluvn´ı napˇet´ı 116

σ

2 σm σ02 σE σu

1

ε  0, 002

εf

ε

Obr´ azek vii: Z´avislost napˇet´ı na pomˇern´em prodlouˇzen´ı pro kovov´e materi´aly. 1- smluvn´ı napˇet´ı vztaˇzen´e na p˚ uvodn´ı pr˚ uˇrez, 2- skuteˇcn´e napˇet´ı bere v potaz zmˇeny pr˚ uˇrezu v pr˚ ubˇehu deformace. pˇred lomem opˇet kles´a. Trval´a deformace tyˇce po lomu se naz´ yv´a taˇznost εf (oznaˇcuje se t´eˇz A). Podobnˇe se kovov´e materi´aly chovaj´ı i pˇri deformaci tlakem, samozˇrejmˇe, pokud nedojde k ohybu. Mez pruˇznosti v tlaku je obvykle velmi bl´ızk´a mezi pruˇznosti v tahu. Meze pevnosti v tahu a tlaku se vˇsak mohou v´ yznamnˇe liˇsit. 5.3

Mechanika tekutin

Kapaliny a plyny, soubornˇe naz´ yvan´e tekutiny se liˇs´ı od pevn´ ych l´atek t´ım, ˇze jejich ˇc´astice nejsou v´az´any k urˇcit´e rovnov´aˇzn´e poloze, ale mohou mˇenit svou vz´ajemnou polohu. Tekutiny snadno mˇen´ı sv˚ uj tvar, popˇr´ıpadˇe i objem. Nem˚ uˇze se v nich tedy trvale udrˇzet teˇcn´e napˇet´ı, protoˇze to uv´ad´ı ˇc´astice tekutin do vz´ajemn´eho pohybu. Rovnov´aˇzn´ y stav tekutiny se tedy vyznaˇcuje absenc´ı teˇcn´ ych napˇet´ı. Tekutiny nemaj´ı ani charakteristick´ y tvar, ale pˇrizp˚ usobuj´ı se tvaru n´adoby. Kapaliny pˇritom vytv´aˇrej´ı volnou hladinu, kter´a je kolm´a k v´ yslednici p˚ usob´ıc´ıch sil. Pˇri proudˇen´ı re´aln´ ych kapalin se uplatˇ nuj´ı s´ıly vnitˇrn´ıho tˇren´ı mezi jednotliv´ ymi vrstvami proud´ıc´ı kapaliny (souvis´ı s teˇcn´ ymi napˇet´ımi), kter´e zp˚ usobuj´ı dissipaci mechanick´e energie. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚ u vystaˇc´ıme vˇsak se zjednoduˇsenou 117

111 000 000 111 000 111 000 111 A

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 B

(a) Pole vektoru rychlosti

(b) Proudnice proud´ıc´ı kapaliny

Obr´ azek viii pˇredstavou ide´ aln´ı tekutiny, kter´a se pohybuje bez vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Rozd´ıl mezi kapalinami a plyny se projevuje v reakci na vnˇejˇs´ı tlak. Kapaliny jsou velmi m´alo stlaˇciteln´e, i kdyˇz zpravidla o nˇeco v´ıce neˇz pevn´e l´atky. Nejsou-li tlaky pˇr´ıliˇs velk´e, lze kapaliny povaˇzovat za nestlaˇciteln´e (tento pˇredpoklad zahrnujeme do pojmu ide´aln´ı kapaliny. Jakmile vnˇejˇs´ı tlak na kapalinu povol´ı, nabude kapalina sv˚ uj p˚ uvodn´ı objem, kapaliny jsou tedy dokonale pruˇzn´e. Naproti tomu plyny jsou snadno stlaˇciteln´e, ˇcili jsou to l´atky, u nichˇz lze snadno zmˇenit tvar i objem. Kinematika tekutin

N´asleduj´ıc´ı u ´vahy provedeme pro ide´aln´ı tekutiny, v´ ysledek pak lze zobecnit i na pohyby skuteˇcn´ ych tekutin. Pohyb tekutiny vyˇsetˇrujeme vzhledem k soustavˇe souˇradnic, kter´a je napˇr. pevnˇe spojen´a s potrub´ım. Vzhledem k t´eto soustavˇe m´a kaˇzd´a ˇc´astice tekutiny rychlost ~v . Vektor rychlosti lze v nˇekter´em okamˇziku v kaˇzd´em m´ıstˇe zn´azornit (obr. viiia), dostaneme tak pole vektoru rychlosti tekutiny. Takto zn´azornˇen´e vektory jsou teˇcnami ke kˇrivk´am, kter´e naz´ yv´ame proudnice, nebo proudov´ e ˇ c´ ary (obr. 5.8b). Nen´ı-li proudˇen´ı ust´alen´e (stacion´arn´ı), mˇen´ı se obraz proudnic v kaˇzd´em okamˇziku. Aby obraz proudnic pˇredstavoval dr´ahy, po nichˇz se ˇc´astice tekutiny pohybuj´ı, mus´ı b´ yt proudˇen´ı stacion´arn´ı (proudnice se pak s ˇcasem nemˇen´ı). Proudnicemi zn´azorˇ nujeme rovnˇeˇz velikost rychlosti v r˚ uzn´ ych m´ıstech. Pouˇz´ıv´ame pˇritom hustotu proudnic, tj. poˇcet proudnic proch´azej´ıc´ıch jednotkovou plochou kolmou ke smˇeru proudˇen´ı. Na obr. 5.8b proch´azej´ı ploˇskou A 2 proudnice a ploˇskou B 1 proudnice. Rychlost tekutiny v m´ıstˇe A bude dvojn´asobn´a oproti rychlosti v m´ıstˇe B. Trubicov´ yu ´tvar, jehoˇz pl´aˇst’ je tvoˇren proudnicemi se naz´ yv´a proudov´ a 118

~v α ~ dS

~ Obr´ azek ix: Tok tekutiny element´arn´ı plochou dS. trubice, a vnitˇrek element´arn´ı proudov´e trubice proudov´ e vl´ akno. Oznaˇc´ımeli S nˇekter´ y pˇr´ıˇcn´ y pr˚ uˇrez proudov´e trubice a maj´ı-li ˇc´astice tekutiny vˇsude v m´ıstˇe pr˚ uˇrezu S stejnou rychlost v, proteˇce za element ˇcasu dt tekutina, jej´ıˇz hmotnost je d´ana vztahem dm  ρSvdt

(5.73)

Pod´ıl

dm  Qm  ρSv (5.74) dt definuje hmotnostn´ı (pr˚ u)tok, s jednotkou kgs
1 . Podˇel´ıme-li Qm hustotou tekutiny ρ, dostaneme objemov´ y (pr˚ u)tok Qm QV   Sv (5.75) ρ Nen´ı-li v kaˇzd´em bodˇe zvolen´eho pr˚ uˇrezu rychlost ~v ˇc´astic stejn´a, zavedeme ~ Element´arn´ı pr˚ element´arn´ı toky dQm a dQV element´arn´ımi pr˚ uˇrezy dS. uˇrez ~ znaˇc´ıme jako vektor, protoˇze m˚ dS uˇze m´ıt vzhledem k vektoru ~v obecnˇe ~ rozum´ıme pˇredpis libovolnou orientaci (obr. ix). Vektorem dS ~  ~ν dS (5.76) dS kde ~ν je jednotkov´ y vektor norm´aly k ploˇse obsahu dS. Pro element hmotnostn´ıho toku dostaneme pak ~  ρvdS cos α dQm  ρ~v dS

(5.77)

~ Celkov´ kde α je u ´hel mezi ~v a dS. y hmotnostn´ı tok libovolnou plochou dostaneme pak integrac´ı Qm



¼

dQm



S

¼

~ ρ~v  dS

(5.78)

S

Zab´ yvejme se nyn´ı hmotnostn´ım tokem uzavˇrenou plochou S, kter´a omezuje objem tekutiny V o hmotnosti m

½

ρdV V 119

(5.79)

U uzavˇren´e plochy orientujeme vektory norm´al pˇr´ısluˇsn´e element˚ um ~ smˇerem kolmo ven. Hmotnostn´ı tok uzavˇrenou plochou smˇerem plochy dS ven se pak mus´ı rovnat u ´bytku tekutiny v objemu V za jednotku ˇcasu, dm tedy
dt . M´ame pak ¿

dQm S pV q



¿

S pV q

~ 
dm ρ~v  dS dt




½ V

Bρ dV Bt

(5.80)

kde jsme vyuˇzili zamˇenitelnost integrace dle prostorov´ ych souˇradnic a ˇcasov´e derivace. Vztah (5.80) se naz´ yv´a rovnice kontinuity, pro koneˇcnou ˇc´ast prostoru V omezenou plochou S. (5.80) lze upravit pomoc´ı Gaussovy vˇety vektorov´e anal´ yzy. ¿ ½ ~ divpρ~v qdV ρ~v  dS (5.81) S pV q

V

Bρvy Bρvz . Rovnaj´ı-li se integr´aly v (5.81) a (5.80), kde divρ~v  BBρvxx By Bz mus´ı se rovnat i integrandy a m´ame koneˇcnˇe


BBρt

(5.82)

 0 ñ div~v  0

(5.83)

divρ~v

To je rovnice kontinuity vyj´adˇren´a diferenci´alnˇe pro jednotliv´a m´ısta vyplnˇen´a proud´ıc´ı tekutinou. Je-li proudˇen´ı ust´alen´e (tj. ρ  ρptq) a kapalina nestlaˇciteln´a, (tj. ρ  konst., ρ  ρpx, y, z q), zjednoduˇs´ı se rovnice kontinuity na ρ div~v

Vyˇcleˇ nme nyn´ı z proud´ıc´ı tekutiny proudovou trubici a protnˇeme ji uzavˇrenou plochou S (obr. x). Pak do prostoru ohraniˇcen´eho S vstupuj´ı ˇc´astice tekutiny plochou S1 a vystupuj´ı plochou S2 . Bude tedy ¿

S pV q

~ ρ~v  dS



¼ S1

~ ρ~v  dS

¼

~ ρ~v  dS

S2


Q m

1




¼

¼

~1 ρ~v  dS

S1

Q m2

~ ρ~v  dS

S2

 0 ñ Qm  Qm  konst. 1

2

(5.84)

~ 1 je opaˇcnˇe orientov´an neˇz vektor dS. ~ kde vektor dS Za ust´alen´eho proudˇen´ı je hmotnostn´ı tok tekutiny libovoln´ ym pr˚ uˇrezem proudov´e trubice konstantn´ı. Jsou-li rychlost ~v a hustota ρ v cel´em pr˚ uˇrezu konstantn´ı, lze rovnici kontinuity ps´at v jednoduch´em tvaru Qm

 ρSv  konst. 120

(5.85)

S pV q ~ dS ~1 dS ~ dS

~v

~v

S2 S1 Obr´ azek x: K rovnici kontinuity. a u nestlaˇciteln´e kapaliny je nav´ıc Qv

 Sv  konst.

(5.86)

Hydrostatika a aerostatika Budeme nejdˇr´ıve studovat chov´an´ı tekutiny, kter´e je v relativn´ım klidu, napˇr. v˚ uˇci n´adobˇe. Silov´e p˚ usoben´ı v tekutinˇe lze pak charakterizovat tlakem. Tlak, kter´ ym na sebe dvˇe ˇc´asti kapaliny p˚ usob´ı na ploˇse styku tˇechto dvou ˇc´ast´ı se naz´ yv´a hydrostatick´ y, resp. u plyn˚ u aerostatick´ y. Jeho zdrojem m˚ uˇze b´ yt t´ıˇze, setrvaˇcn´e s´ıly ˇci vnˇejˇs´ı s´ıly p˚ usob´ıc´ı na kapalinu napˇr. prostˇrednictv´ım p´ıstu. Tento tlak podl´eh´a Pascalovu z´ akonu: P˚ usob´ı-li na tekutinu vnˇ ejˇ s´ı tlak pouze v jednom smˇ eru, pak uvnitˇ r tekutiny p˚ usob´ı v kaˇ zd´ em m´ıstˇ e stejnˇ e velk´ y tlak a to ve vˇ sech smˇ erech. Tento z´akon souvis´ı s nepˇr´ıtomnost´ı teˇcn´ ych napˇet´ı v tekutinˇe za stavu rovnov´ahy. Znamen´a to, ˇze pokud vydˇel´ıme v tekutinˇe kulovou plochu a pot´e vystav´ıme tekutinu silov´emu p˚ usoben´ı, nevznikne z kulov´e plochy elipsoid bud’ v˚ ubec anebo se rychle vr´at´ı do p˚ uvodn´ıho tvaru (se zmˇenˇen´ ym polomˇerem v pˇr´ıpadˇe stlaˇcitelnosti). To ale znamen´a pˇr´ıtomnost norm´alov´ ych napˇet´ı, kter´e maj´ı vˇsude stejnou velikost. Uvaˇzujme nyn´ı homogenn´ı kapalinu v n´adobˇe, kde hladina dosahuje v´ yˇse h a vypoˇc´ıtejme tlak, kter´ ym kapalina p˚ usob´ı na dno n´adoby v d˚ usledku sv´e t´ıˇze (obr. xi). Vydˇelme v kapalinˇe hranol o v´ yˇsce h a podstavˇe S. Na dno n´adoby

121

F~

h

h

S Obr´ azek xi: Tlak v kapalinˇe zp˚ usoben´ y vlastn´ı t´ıhou. p˚ usob´ı tlakov´a s´ıla rovn´a t´ıze kapaliny hranolu. Tato s´ıla je

 ρghS

(5.87)

 FS  ρgh

(5.88)

F a tlak bude tedy P

Hydrostatick´ y tlak je tedy u ´mˇern´ y hustotˇe kapaliny a roste line´arnˇe s hloubkou pod povrchem kapaliny. Nez´avis´ı na pr˚ uˇrezu svisl´eho sloupce kapaliny ani na pr˚ uˇrezu n´adoby ˇci mnoˇzstv´ı kapaliny v n´adobˇe. V kaˇzd´e n´adobˇe libovoln´eho tvaru lze vytknout svisl´ y sloupec kapaliny alespoˇ n element´arn´ıho pr˚ uˇrezu. Kapalina obklopuj´ıc´ı tento sloupec by mohla jeho t´ıhu ovlivnit jen teˇcn´ ymi napˇet´ımi, kter´a tam vˇsak za podm´ınek rovnov´ahy nemohou existovat. Proto je tlak ve vˇsech bodech kapaliny v t´eˇze vodorovn´e rovinˇe stejn´ y. Tento v´ ysledek se naz´ yv´a hydrostatick´ e paradoxon. Vyuˇz´ıv´a se v cel´e ˇradˇe technick´ ych aplikac´ı, napˇr. u hydraulick´ ych lis˚ u (pˇrenech´av´ame posluchaˇci k rozmyˇslen´ı). V´ ysledky (5.87) a (5.88) se zˇrejmˇe nezmˇen´ı, pokud v obr. (xi) nahrad´ıme dno n´adoby dalˇs´ı vrstvou kapaliny. Stejnˇe tak, uv´aˇz´ıme-li, ˇze n´adoba s kapalinou je vystavena p˚ usoben´ı atmosf´erick´eho tlaku s hodnotou pA u hladiny, bude v´ ysledn´ y tlak na dno n´adoby d´an souˇctem atmosf´erick´eho a hydrostatick´eho tlaku P  pA ρgh (5.89) Pozn´amka: V plynech vznik´a rovnˇeˇz aerostatick´ y tlak, kter´ y je vˇsak pˇri bˇeˇzn´ ych rozmˇerech n´adob zanedbateln´ y proti vlastn´ımu tlaku plynu. Projev´ı se znatelnˇe jen v ovzduˇs´ı, kter´e obklopuje Zemi, ˇci jin´a kosmick´a tˇelesa do znaˇcn´e v´ yˇsky. D˚ uleˇzit´ ym d˚ usledkem hydrostatick´eho tlaku zp˚ usoben´eho vlastn´ı t´ıhou kapaliny je Archimed˚ uv z´ akon. 122

p

y

∆y

y

∆y

y

∆z ∆x ∆p

p

x z

Obr´ azek xii: K objasnˇen´ı Archim´edova z´akona. Tˇ eleso je v tekutinˇ e nadlehˇ cov´ ano silou, kter´ a se rovn´ a t´ıze tekutiny t´ ehoˇ z objemu, jako je objem tˇ elesa (resp. jeho d´ılu) obklopen´ eho tekutinou. Uvaˇzujeme hranol ponoˇren´ y do tekutiny dle obr. xii. Vodorovn´e sloˇzky hydrostatick´ ych tlak˚ u se navz´ajem vyrovn´avaj´ı. Na horn´ı podstavec hranolu p˚ usob´ı naznaˇcen´ ym smˇerem s´ıla dan´a F1

 p∆x∆z

(5.90)

Na spodn´ı podstavu p˚ usob´ı s´ıla opaˇcn´eho smˇeru dan´a F2

 pp

∆pq∆x∆z

 p∆x∆z

ρg∆y∆x∆z

 F1

ρgV

(5.91)

V´ yslednice obou sil m´ıˇr´ı vzh˚ uru (nadlehˇcuje tˇeleso) a je rovna vztlakov´e s´ıle (5.92) Fvz  F2
F1  ρgV coˇz je t´ıha kapaliny zauj´ımaj´ıc´ı objem hranolu. Zopakujme jeˇstˇe, ˇze jednotkou tlaku je 1 pascal (Pa) rozmˇeru Nm
2 . Lze se setkat s dalˇs´ımi (nepov. olen´ ymi) jednotkami: 1 bar  105 Pa, 1 technick´a atmosf´era  0, 9807.105 Pa  . 1 kilopond pkpqcm
2 , 1 torr  133, 3 Pa. Atmosf´erick´ y tlak 123

Hg h p

p

Obr´ azek xiii: Torricelliho pokus se rtut´ı. T´ıhou ovzduˇs´ı vznik´a u povrchu Zemˇe (ˇci jin´eho kosmick´eho tˇelesa) aerostatick´ y tlak, kter´ y naz´ yv´ame atmosf´erick´ ym nebo barometrick´ ym tlakem. Lze jej demonstrovat zn´am´ ym Torricelliho pokusem (obr. xiii) Atmosf´erick´ y tlak se ponˇekud mˇen´ı se stavem ovzduˇs´ı a s nadmoˇrskou v´ yˇskou. Jako norm´aln´ı atmosf´erick´ y tlak definujeme pn  1, 01325.105 Pa  1013, 25 hPa (hektopascal)  760 torr  1, 01325 bar  1, 0332 kpcm
2 . Pˇri mal´ ych v´ yˇskov´ ych rozd´ılech lze pokles atmosf´erick´eho tlaku vypoˇc´ıtat podobnˇe jako u kapalin za pˇredpokladu konstantn´ı hustoty. Pˇri vyˇsˇs´ıch v´ yˇskov´ ych rozd´ılech je tˇreba jiˇz vz´ıt v potaz pokles hustoty vzduchu s v´ yˇskou, kter´ y lze pˇribliˇznˇe (za pˇredpokladu st´al´e teploty) vyj´adˇrit dle Boyle - Mariotteova z´akona pro izotermick´ y dˇej ρ  pρ0 {p0 qp, kde ρ0 a p0 jsou hustota ´ a tlak vzduchu u zemsk´eho povrchu. Ubytek tlaku dp s pˇr´ır˚ ustkem v´ yˇsky dy je tedy dp 
ρgdy dp p






ρ0 p0



pgdy (5.93)


ρp0 gdy 0

Integrujeme-li v mez´ıch p0 a p pro tlak a y0 a y pro v´ yˇsku od zemsk´eho povrchu, »p

ρ0 d˜ p 
g p˜ p0

p0

ln

p p0

»y

d˜ y y0

 ρp0 gpy
y0q 
ρp0 g∆h 0

0

124

(5.94)

a tedy

(5.95) p  p0 e Tlak tedy kles´a s v´ yˇskou dle exponenci´aln´ıho z´akona. Vztah (5.95) se naz´ yv´a barometrick´ a rovnice. Pozn´amka: Pˇri zmˇenˇe v´ yˇsky doch´az´ı vˇetˇsinou i k v´ yrazn´ ym zmˇen´am teploty. Do barometrick´e rovnice je pak tˇreba jeˇstˇe zapoˇc´ıtat teplotn´ı roztaˇznost plyn˚ u. ρ0 g∆h p0

Hydrodynamika (aerodynamika) ide´aln´ı tekutiny ´ Ukolem hydrodynamiky (resp. aerodynamiky) je nal´ezt vztahy mezi veliˇcinami, kter´e zp˚ usobuj´ı zmˇeny pohybov´eho stavu tekutiny a veliˇcinami popisuj´ıc´ımi pohyb tekutiny. Tento vztah ud´av´a pohybov´a rovnice tekutiny, kterou jsme pro obecn´e kontinuum uvedli v (5.24) v integr´aln´ım tvaru. Tuto rovnici lze pˇrepsat i do diferenci´aln´ıho tvaru, kter´ y se naz´ yv´a Eulerova hydrodynamick´ a rovnice. Pˇri ˇreˇsen´ı praktick´ ych u ´loh vˇsak vych´az´ıme ˇcastˇeji z energetick´e bilance proud´ıc´ı tekutiny. Zmˇena kinetick´e energie sledovan´eho mnoˇzstv´ı tekutiny je rovna pr´aci sil, kter´e tuto zmˇenu vyvolaly. Tento z´avˇer vyuˇzijeme nyn´ı pro sestaven´ı z´akladn´ı rovnice proudˇen´ı ide´aln´ı kapaliny. Na z´avˇer se zm´ın´ıme o zobecnˇen´ı tohoto postupu na proudˇen´ı ide´aln´ıho plynu. Bernoulliho rovnice Mˇejme trubici, kter´a se svaˇzuje a zuˇzuje ve smˇeru toku (obr. xiv) a uvaˇzujme ˇc´ast kapaliny mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 . Podle rovnice kontinuity teˇce kapalina v uˇzˇs´ı ˇc´asti trubice rychleji neˇz v ˇsirˇs´ı. Mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 p˚ usob´ı tedy na kapalinu nˇejak´a s´ıla, kter´a m˚ uˇze vzniknout t´ım, ˇze v m´ıstech S1 a S2 jsou r˚ uzn´e tlaky. Zrychluj´ıc´ı s´ıla bude m´ıt smˇer toku, pokud v m´ıstˇe, kde je pr˚ uˇrez ˇsirˇs´ı a kapalina teˇce pomaleji, bude vyˇsˇs´ı tlak neˇz v uˇzˇs´ım m´ıstˇe. K vnˇejˇs´ım sil´am, kter´e p˚ usob´ı na ˇc´ast kapaliny mezi pr˚ uˇrezy S1 a S2 , patˇr´ı jednak t´ıha, jednak tlakov´e s´ıly 1 1 p1 S1 a p2 S2 (ˇc´arkou vyznaˇcujeme skuteˇcnost, ˇze se jedn´a o tlak v proud´ıc´ı kapalinˇe). Tlaky kolm´e k pl´aˇsti trubice se navz´ajem ruˇs´ı. V dobˇe dt se zvolen´a ˇc´ast kapaliny (oblast I) posune nahoˇre o ds1 a dole o ds2 , takˇze bude mezi pr˚ uˇrezy S11 a S21 (oblast II). Proudˇen´ı povaˇzujeme za ust´alen´e. Pr´ace vykonan´a t´ıhovou silou bude takov´a, jako kdyby kapalina pˇreˇsla z prostoru ´bytku mezi S1 a S11 do prostoru mezi S2 a S21 . Tato pr´ace bude rovna u potenci´aln´ı energie mezi obˇema m´ısty a pro zvolenou hmotnost kapaliny dm rovna dmg ph1
h2 q. Pr´ace vykonan´a tlakov´ ymi silami bude dle obr. xiv p11 S1 ds1
p12 S2 ds2 . Celkov´a pr´ace vnˇejˇs´ıch sil bude rovna pˇr´ır˚ ustku 1 1 kinetick´e energie kapaliny v prostorech mezi pr˚ uˇrezy S1 , S1 a S2 , S2 , kde 125

p11 II S1

I S11

~v1 ~v2 h1

S2 S 1 2 p12

ds1 h2

ds2

Obr´ azek xiv: Proudˇen´ı kapaliny trubic´ı kapalina m´a rychlosti v1 a v2 1 1 dmv22
dmv12  dmg ph1
h2 q p11 S1 ds1
p12 S2 ds2 (5.96) 2 2 Pro nestlaˇcitelnou kapalinu je objem elementu dm st´al´ y a roven S1 ds1  S2 ds2 . Dˇel´ıme-li (5.96) t´ımto objemem, dostaneme 1 1 2 ρv2 ρgh2 p12  ρv12 ρgh1 p11  konst. (5.97) 2 2 kde jsme na kaˇzdou stranu pˇrevedli ˇcleny odpov´ıdaj´ıc´ı jednomu pr˚ uˇrezu. Rovnice (5.97) vyjadˇruje z´akon zachov´an´ı mechanick´e energie pro ide´aln´ı kapaliny a naz´ yv´a se Bernoulliho rovnic´ı. Je vztaˇzena k jednotkov´emu objemu kapaliny. Vyˇsetˇrme nyn´ı proudˇen´ı ide´aln´ı kapaliny vodorovnou trubic´ı promˇenn´eho pr˚ uˇrezu, kter´a se ve smˇeru toku zuˇzuje (obr. xv). Podle rovnice kontinuity je v2 ¡ v1 a dle (5.97) plyne pro rozd´ıl tlak˚ u p11
p12

 12 ρv22
12 ρv12

(5.98)

Vid´ıme, ˇze u ´bytek tlaku v proud´ıc´ı kapalinˇe je roven pˇr´ır˚ ustku pohybov´e energie kapaliny jednotkov´eho objemu. Pokles tlaku pˇri zv´ yˇsen´ı rychlosti kapaliny b´ yv´a nˇekdy oznaˇcov´an jako hydrodynamick´ e paradoxon. Bernoulliho rovnici lze pouˇz´ıt i na jeden a t´ yˇz pr˚ uˇrez. Je-li kapalina v klidu, m´a ve 126

S1

S2 ~v1 h1

 h2

~v2

p12

p11

Obr´ azek xv: Tok kapaliny vodorovnou trubic´ı, kter´a se zuˇzuje. y. D´a-li se do pohybu rychlost´ı zvolen´em pr˚ uˇrezu tlak p a ˇclen 21 ρv 2 je nulov´ v, bude dle (5.97) platit 1 (5.99) p1  p
ρv22  p
p2 2 yv´ame hydrodynamick´ y Tlak v kapalinˇe klesne o hotnotu p2 , kterou naz´ tlak. Pozn´amka: u ide´aln´ıho plynu se odvozen´ı Bernoulliho rovnice komplikuje faktem, ˇze ˇc´ast pr´ace vnˇejˇs´ıch sil se spotˇrebuje na stlaˇcen´ı plynu. Pˇr´ır˚ ustek kinetick´e energie je pak niˇzˇs´ı neˇz u kapalin. Bernoulliho rovnice nach´az´ı mnoˇzstv´ı aplikac´ı v technice (napˇr. vodomˇery, vodn´ı v´ yvˇevy, ˇci konstrukce kˇr´ıdel letadel). Viz obr. xvi, xvii a xviii.

h1
h2

Obr´ azek xvi: Venturi˚ uv vodomˇer. Pr˚ utok kapaliny se urˇc´ı z rozd´ılu h1
h2 . Proudˇen´ı re´aln´e kapaliny Proudˇen´ı ide´aln´ı kapaliny potrub´ım je charakterizov´ano stejnou rychlost´ı proudˇen´ı ve vˇsech m´ıstech pr˚ uˇrezu (obr. 5.19a). Naproti tomu se vrstvy 127

ˇcerpac´ı prostor

~v2

~v1

S2

S1

Obr´ azek xvii: Princip vodn´ı v´ yvˇevy. F~

F~1

F~2

Obr´ azek xviii: Obt´ek´an´ı kˇr´ıdla vzduchem pˇri letu letadla. Pod´el horn´ı strany kˇr´ıdla je rychlost proudˇen´ı v´ yraznˇe vyˇsˇs´ı neˇz pod´el spodn´ı strany. Vznik´a tam proto dle Bernoulliho rovnice podtlak. V´ ysledn´a s´ıla F~ p˚ usob´ıc´ı na kˇr´ıdla je d´ana vektorov´ ym souˇctem dynamick´e vztlakov´e s´ıly F~1 a odporov´e s´ıly F~2 . re´aln´e kapaliny pohybuj´ı promˇennou rychlost´ı, kter´a je nejvyˇsˇs´ı uprostˇred trubky a smˇerem ke stˇenˇe kles´a aˇz k nule (obr. 5.19b). Zmˇena rychlosti ve smˇeru kolm´em na smˇer rychlosti zp˚ usobuje niˇzˇs´ı tˇren´ı, kter´e jsme u ide´aln´ıch kapalin neuvaˇzovali. Vnitˇrn´ı tˇren´ı m´a za n´asledek D

C

D

C

A

B

A

B

(a) ide´aln´ı kapalina

(b) re´aln´a kapalina

Obr´ azek xix: Rychlostn´ı profil proudˇen´ı kapaliny potrub´ım.

128

vznik teˇcn´ ych napˇet´ı. Vztah mezi teˇcn´ ym napˇet´ım τ a zmˇenou rychlosti proudˇen´ı ve smˇeru kolm´em ke smˇeru proudˇen´ı y popsal Newton rovnici dv τ η (5.100) dy kde konstanta u ´mˇernosti se naz´ yv´a dynamick´ a viskozita. Kapaliny splˇ nuj´ıc´ı vztah (5.100) naz´ yv´ame newtonovsk´ ymi. Jednotkou dynamick´e viskozity je Pa.s. η z´avis´ı velmi v´ yraznˇe na teplotˇe dle empirick´eho vztahu B (5.101) η  Ae T kde A, B jsou konstanty. M´ısto dynamick´e viskozity se nˇekdy uˇz´ıv´a i tzv. kinematick´ a viskozita, kter´a je definov´ana jako η (5.102) υ ρ

Jej´ı jednotkou je m2 s
1 .

Pozn´amka: Newton˚ uv vztah plat´ı pro vˇetˇsinu kapalin. Nesplˇ nuj´ı jej kapaliny, kter´e obsahuj´ı vˇetˇs´ı shluky molekul (koloidn´ı vztahy, emulze, suspenze apod.). Takov´e kapaliny naz´ yv´ame nenewtonovsk´e. Typick´ ym pˇr´ıkladem je ˇskrobov´ y maz. Zmˇenu rychlosti proudˇen´ı v newtonovsk´e kapalinˇe lze matematicky charakterizovat pomoc´ı cirkulace vektoru rychlosti. Vloˇz´ıme do proud´ıc´ı kapaliny uzavˇrenou kˇrivku ABCD, jak je zn´azornˇeno na obr. xix a) i b). Cirkulac´ı vektoru rychlosti ~v rozum´ıme kˇrivkov´ y integr´al po uzavˇren´e kˇrivce ABCD ¾

~v  d~r 

»B A

~v  d~r

»C B

~v  d~r

»D C

~v  d~r

»A D

~v  d~r

(5.103)

kde d~r je element posunut´ı. Pro u ´seky BC a DA jsou vektory ~v a d~r navz´ajem kolm´e, tedy pˇr´ısluˇsn´e integr´aly jsou nulov´e. Pro ide´aln´ı kapalinu je nulov´ y i souˇcet zbyl´ ych dvou integr´al˚ u, protoˇze rychlost proudˇen´ı je vˇsude stejn´a. Tedy pro ide´aln´ı kapalinu plat´ı ¾

~v  d~r  0

(5.104)

Pro re´alnou kapalinu je souˇcet zbyl´ ych dvou integr´al˚ u v (5.103) nenulov´ y a plat´ı tedy ¾ ~v  d~r  0

(5.105)

Je-li cirkulace vektoru rychlosti nenulov´a, vytv´aˇrej´ı se v proud´ıc´ı kapalinˇe v´ıry. Vznik v´ır˚ u je d˚ usledkem pˇr´ıtomnosti silov´ ych dvojic v proud´ıc´ı re´aln´e kapalinˇe (obr. xx). 129

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 Obr´ azek xx: Vznik v´ır˚ u v proud´ıc´ı re´aln´e kapalinˇe. Spodn´ı ˇc´ast elementu se pohybuje rychleji neˇz horn´ı a m´a proto snahu ot´aˇcet se kolem osy kolm´e k n´akresnˇe, jak naznaˇceno. Podle intenzity vytv´aˇren´ı v´ır˚ u lze proudˇen´ı rozdˇelit na lamin´ arn´ı, pˇ rechodov´ e a turbulentn´ı. Pˇri lamin´arn´ım proudˇen´ı se d´ıky mal´e rychlosti a pˇr´ıtomnosti vnitˇrn´ıho tˇren´ı v´ıry znatelnˇe nerozvinou a kapalina se neprom´ıch´av´a. Profil proudˇen´ı je parabolick´ y, jak naznaˇceno na obr. xx. Lamin´arn´ı proudˇen´ı se m˚ uˇze udrˇzet pouze do jist´e stˇredn´ı rychlosti proudˇen´ı. Pˇri zv´ yˇsen´ı rychlosti proudˇen´ı nad tuto mez doch´az´ı ke vzniku pˇrechodov´eho a posl´eze turbulentn´ıho proudˇen´ı. Turbulentn´ı proudˇen´ı se vyznaˇcuje znateln´ ymi v´ıry a doch´az´ı k prom´ıch´av´an´ı kapaliny. Rychlost ˇc´astic kapaliny se nepravidelnˇe mˇen´ı a rychlostn´ı profil nen´ı parabolick´ y (obr. xxi)

Obr´ azek xxi: Rychlostn´ı profil pro turbulentn´ı proudˇen´ı. Zmˇeny rychlosti pod´el pˇr´ıˇcn´eho ˇrezu potrub´ım nejsou tak v´ yrazn´e, jako pro lamin´arn´ı proudˇen´ı. 130

Lamin´arn´ı proudˇen´ı potrub´ım Rozebereme proudˇen´ı kapaliny potrub´ım o polomˇeru r a d´elce ∆l (obr. xxii)

x

y p12

r p11

∆l

Obr´ azek xxii: K rozboru lamin´arn´ıho proudˇen´ı potrub´ım. Proudˇen´ı uvaˇzujeme ve smˇeru osy x a jeho rychlost se mˇen´ı v pˇr´ıˇcn´em pr˚ uˇrezu od nuly pˇri stˇenˇe potrub´ı do maxim´aln´ı hodnoty uprostˇred. Na kapalinu p˚ usob´ı tlakov´e s´ıly a s´ıly vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Uvaˇzujme element kapaliny ve tvaru v´alce o polomˇeru y a d´elce ∆l. V´ ysledn´a tlakov´a s´ıla na tento v´alec p˚ usob´ı ve smˇeru proudˇen´ı a je rovna (po d´elce potrub´ı doch´az´ı k poklesu tlaku v d˚ usledku vnitˇrn´ıho tˇren´ı) Fp

 πy2pp11
p12q  πy2∆p1

(5.106)

Proti tlakov´e s´ıle p˚ usob´ı s´ıla vnitˇrn´ıho tˇren´ı, jej´ıˇz velikost je d´ana souˇcinem teˇcn´eho napˇet´ı a povrchu stˇeny v´alcov´eho elementu Ft

 2πy∆lτ

(5.107)

Pˇri ust´alen´em lamin´arn´ım proudˇen´ı se obˇe s´ıly vyrovnaj´ı πy 2 ∆p1

 Ft  2πy∆lτ

(5.108)

Za τ dosad´ıme z Newtonova z´akona (5.100) s uv´aˇzen´ım faktu, ˇze v naˇsem dv . Dostaneme pˇr´ıpadˇe rychlost v s rostouc´ı hodnotou y kles´a, tedy τ 
η dy

131

postupnˇe πy 2 ∆p1

dv 
2πy∆lη dy

∆p1 ydy dv 
2∆lη ∆p1 2 y v 
C 4∆lη

(5.109)

Velikost integraˇcn´ı konstanty urˇc´ıme z podm´ınky, ˇze rychlost je nulov´a u stˇeny potrub´ı py  rq ∆p1 2 r (5.110) C 4∆lη Dost´av´ame pak kvadratickou z´avislost rychlosti na y - souˇradnici  ∆p1 v r2
y 2 (5.111) 4∆lη tedy rychlostn´ı profil je parabolick´ y. Objemov´ y pr˚ utok Q potrub´ım vypoˇc´ıt´ame integrac´ı pr˚ utoku element´arn´ımi plochami dS ve tvaru mezikruˇz´ı o polomˇeru y a tlouˇst’ce dy, kolm´ ych na smˇer proudˇen´ı. Plat´ı  ∆p1 dQ  vdS  r2
y 2 2πydy 4∆lη V´ ysledn´ y objemov´ y pr˚ utok z´ısk´ame integrac´ı

Q

»r

 ∆p1 r2
y 2 2πydy 4∆lη





2π∆p1 r2 y 2 4∆lη 2

0




y4 4

r 0

(5.112)



π∆p1 4 r 8∆lη

(5.113)

Vztah (5.113) je naz´ yv´an Hagen-Poiseuillov´ ym z´ akonem a plat´ı pouze pro lamin´arn´ı proudˇen´ı kapaliny. Pomoc´ı objemov´eho pr˚ utoku se zav´ad´ı tzv. stˇredn´ı rychlost proudˇen´ı, coˇz je rychlost, jakou by musela kapalina proudit v cel´em potrub´ı pr˚ umˇeru d, aby se dos´ahlo stejn´eho pr˚ utoku jako v (5.113) 4Q (5.114) ~v  2 πd Bezrozmˇern´a krit´eria toku K popisu turbulentn´ıho proudˇen´ı je tˇreba uˇz´ıt empirick´e vztahy, kter´e byly z´ısk´any zobecnˇen´ım velk´eho poˇctu mˇeˇren´ı. Hydromechanick´e dˇeje se ˇcasto studuj´ı na zmenˇsen´ ych modelech re´aln´ ych zaˇr´ızen´ı. Aby bylo moˇzno takto z´ıskan´e v´ ysledky pˇren´est na origin´al, mus´ı model a origin´al splˇ novat 132

krit´eria geometrick´e a hydromechanick´e podrobnosti. K dosaˇzen´ı hydromechanick´e podobnosti navrhl Reynolds krit´erium charakterizovan´e bezrozmˇern´ ym parametrem - tzv. Reynoldsov´ ym ˇc´ıslem. Dalˇs´ım d˚ uleˇzit´ ym bezrozmˇern´ ym parametrem je souˇcinitel vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Oba parametry obsahuj´ı snadno mˇeˇriteln´e veliˇciny charakterizuj´ıc´ı proudˇen´ı: stˇredn´ı rychlost ~v (5.114), dynamick´a viskozita η a pokles tlaku zp˚ usoben´ y vnitˇrn´ım tˇren´ım vztaˇzen´ y 1 na jednotku d´elky potrub´ı ∆p {∆l. Reynoldsovo ˇc´ıslo je definov´ano jako veliˇcina u ´mˇern´a pomˇeru stˇredn´ı hodnoty kinetick´e energie objemov´e jednotky kapaliny a pr´ace potˇrebn´e na pˇrem´ah´an´ı vnitˇrn´ıho tˇren´ı ve stejn´em objemu, kter´e je rovno pˇr´ımo umˇernou hodnotu zmˇeny rychlosti od teˇcn´emu napˇet´ı. Dosad´ıme-li za dv dr pr˚ 2¯ v y pomˇer stˇeny potrub´ı ke stˇredu v¯{r  d , bude dotyˇcn´ 1 v2 2 ρ¯ v η 2¯ d

 14 ρ¯ηvd

(5.115)

Reynoldsovo ˇc´ıslo se pak definuje bez ˇc´ıseln´eho souˇcinitele jako Re 

ρ¯ vd η

(5.116)

Je zˇrejm´e, ˇze se vzr˚ ustaj´ıc´ı stˇredn´ı rychlost´ı proudˇen´ı hodnota Reynoldsova ˇc´ısla stoup´a. Je-li tedy rychlost proudˇen´ı mal´a, pˇrevl´adne vliv vnitˇrn´ıho tˇren´ı, v´ıry se podstatnˇe nerozvinou. Hodnota Re bude mal´a. Se vzr˚ ustaj´ıc´ı rychlost´ı poroste intenzita tvorby v´ır˚ u a lamin´arn´ı proudˇen´ı se zmˇen´ı v turbulentn´ı. Dojde k tomu pˇri urˇcit´e kritick´e hodnotˇe Rekr , kter´a se pro dan´ y syst´em urˇcuje experiment´alnˇe (typick´a hodnota Rekr  1000). Re ¡ Rekr indikuje turbulentn´ı proudˇen´ı. Nakonec hodnoty Re Ñ 8 indikuj´ı potenci´alov´e (nev´ırov´e) proudˇen´ı kapaliny bez vnitˇrn´ıho tˇren´ı. Souˇ cinitel vnitˇ rn´ıho tˇ ren´ı λ se pouˇz´ıv´a k vyj´adˇren´ı ztr´aty mechanick´e energie pˇri proudˇen´ı kapaliny pˇr´ım´ ym potrub´ım a je definov´an vztahem ∆p1 ℓ d

λ ¯ Ek



1

2 ∆p ℓ d ρ¯ v2

(5.117)

kde E¯k  12 ρ¯ v 2 je stˇredn´ı kinetick´a energie objemov´e jednotky kapaliny. Pouˇzit´ım Hagen-Poiseuillova z´akona lze naj´ıt n´asleduj´ıc´ı vztah mezi λ a Re (odvozen´ı pˇrenech´av´ame posluchaˇci) λ

64 Re

(5.118)

ych typ˚ u proudˇen´ı bezrozmˇern´ ymi parameShrnut´ı: Charakterizace jednotliv´ try 133

Proudˇen´ı ide´aln´ı kapaliny λ  0 Turbulentn´ı proudˇen´ı Lamin´arn´ı proudˇen´ı

Re Ñ 8

λ mal´e Re ¡ Rekr

λ velk´e Re   Rekr

Stokes˚ uv z´akon Pohybuje-li se tˇeleso v tekutinˇe, klade tekutina jeho pohybu odpor, kter´ y je pˇri pomal´e rychlosti u ´mˇern´ y jej´ı velikosti. Pro kouli polomˇeru r pohybuj´ıc´ı se pomalu rychlost´ı v v neohraniˇcen´em prostˇred´ı tekutiny, kter´a kouli lamin´arnˇe obt´ek´a, odvodil Stokes odporovou s´ılu F

 6πηrv

(5.119)

Pˇri voln´em p´adu koule ve viskozn´ı kapalinˇe bude jej´ı rychlost vzr˚ ustat aˇz do chv´ıle, neˇz odporov´a s´ıla (5.119) vyrovn´a s´ılu t´ıhovou. Koule dos´ahne mezn´ı rychlosti vm , pro kterou bude zˇrejmˇe platit V ps
ρqg

 6πηrvm

(5.120)

kde V je objem koule, s jej´ı hustota a ρ hustota kapaliny. Dosazen´ım za objem koule dostaneme 2 gr2 ps
ρq vm  (5.121) 9 η Mezn´ı rychlost kles´a s druhou mocninou polomˇeru koule. Pˇr´ıkladem je velmi mal´a rychlost sedimentace drobn´ ych ˇc´asteˇcek v suspenz´ıch. Voln´eho p´adu kuliˇcek zn´am´eho polomˇeru a hustoty lze rovnˇeˇz vyuˇz´ıt k mˇeˇren´ı dynamick´e viskozity. ych sil p˚ usob´ıc´ıch na tˇeleso libovoln´eho Pozn´amka: Vyˇsetˇrit velikost odporov´ tvaru pˇri r˚ uzn´ ych rychlostech pohybu v˚ uˇci tekut´emu prostˇred´ı je ovˇsem velmi sloˇzit´ yu ´kol, kter´ y je tˇreba ˇcasto ˇreˇsit experiment´alnˇe.

134

Kapitola 6

Vlnˇ en´ı Pojem vlnˇen´ı je kaˇzd´emu dobˇre zn´am z bˇeˇzn´eho ˇzivota. Jde o ˇs´ıˇren´ı rozruchu, kter´ y vznikne, uvedeme-li napˇr. element kontinua do kmitav´eho pohybu. Prostˇrednictv´ım elastick´ ych vazeb mezi elementy kontinua se pak kmitav´ y pohyb a jeho energie ˇs´ıˇr´ı prostorem (pohyb elementu kontinua vˇsak z˚ ust´av´a omezen na pohyb kolem rovnov´aˇzn´e polohy). Vytv´aˇr´ı se tak postupn´e vlnˇen´ı. Vlnˇen´ı m˚ uˇzeme rozdˇelit na mechanick´ e, jehoˇz typick´ ym pˇr´ıkladem je zvuk, a elektromagnetick´ e, kter´e vznik´a pˇri zrychlen´em pohybu nabit´ ych ˇc´astic nebo pˇri zmˇen´ach elektronov´e struktury l´atek. Rozd´ıl mezi obˇema druhy vlnˇen´ı spoˇc´ıv´a v tom, ˇze ˇs´ıˇren´ı mechanick´eho vlnˇen´ı je v´az´ano na hmotn´e prostˇred´ı, zat´ımco elektromagnetick´e vlnˇen´ı se m˚ uˇze ˇs´ıˇrit hmotn´ ym prostˇred´ım i vakuem. V tomto v´ ykladu se budeme zab´ yvat pouze mechanick´ ym vlnˇen´ım, i kdyˇz matematick´ y popis je obdobn´ y i pro elektromagnetick´e vlnˇen´ı, jeˇz bude pˇredmˇetem elektˇriny, magnetismu a optiky. 6.1

Z´ akladn´ı pojmy vlnˇ en´ı

Mechanick´e vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se trojrozmˇern´ ym kontinuem m˚ uˇzeme rozdˇelit podle vztahu smˇeru, ve kter´em kmitaj´ı ˇc´astice kontinua, a smˇeru, ve kter´em se rozruch ˇs´ıˇr´ı, na pˇ r´ıˇ cn´ e (transverz´aln´ı) a pod´ eln´ e (longitudin´aln´ı). Vznik pˇr´ıˇcn´eho vlnˇen´ı lze demonstrovat na pokusu s lanem (obr. i a), kde je nositelem pˇrenosu elastick´a deformace lana. Element lana P kon´a pohyb ve smˇeru kolm´em na ˇs´ıˇren´ı vlny, ale ve smˇeru totoˇzn´em se ˇs´ıˇren´ım vlny se nepˇrem´ıst’uje. U pod´eln´eho vlnˇen´ı konaj´ı ˇc´astice kontinua kmitav´ y ˇıˇren´ı pod´eln´eho pohyb ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı, aniˇz by se pˇritom pˇrem´ıst’ovaly. S´ vlnˇen´ı lze demonstrovat na pokusu s pruˇzinou, kde se ˇs´ıˇr´ı oblast lok´aln´ıho stlaˇcen´ı a prodlouˇzen´ı (obr. i b). ˇıˇren´ı pˇr´ıˇcn´eho vlnˇen´ı je omezeno na pevn´e l´atky, protoˇze vyˇzaduje Pozn´amka: S´ pˇr´ıtomnost teˇcn´ ych napˇet´ı. Ta se v kapalin´ach a plynech nemohou trvale udrˇzet, proto se v nich pˇr´ıˇcn´e vlnˇen´ı rychle utlum´ı. Pod´eln´e vlnˇen´ı 135

K

P

R R

K

P R

P

K

R

P

pod´eln´e (a) pˇr´ıˇcn´e vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se (b) v pruˇzinˇe lanem

K vlnˇen´ı

Obr´ azek i: K oznaˇcuje kompresn´ı oblast, R relaxaˇcn´ı oblast. je podm´ınˇeno pˇr´ıtomnost´ı norm´alov´ ych napˇet´ı a m˚ uˇze se ˇs´ıˇrit vˇsemi druhy prostˇred´ı. Pokud zdroj vlnˇen´ı (kmitaj´ıc´ı ˇc´astice kontinua) kon´a harmonick´ y pohyb, oznaˇc´ıme vznikl´e vlnˇen´ı jako harmonick´ e vlnˇ en´ı. Frekvence harmonick´eho kmitu bude i frekvenc´ı harmonick´eho vlnˇen´ı. V dalˇs´ım v´ ykladu se budeme zab´ yvat pouze harmonick´ ym vlnˇen´ım. Rychlost, s jakou se rozruch ˇs´ıˇr´ı prostˇred´ım, oznaˇcujeme jako rychlost ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı neboli f´ azovou rychlost. Z´avis´ı na druhu prostˇred´ı. Minim´aln´ı vzd´alenost mezi dvˇema body, kter´e pˇri ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı kmitaj´ı ve stejn´e f´azi oznaˇcujeme jako vlnovou d´elku λ. Z´avis´ı rovnˇeˇz na druhu prostˇred´ı. Poloˇzme nyn´ı poˇc´atek souˇradn´eho syst´emu do zdroje pˇr´ıˇcn´eho harmonick´eho vlnˇen´ı a uvaˇzujme jednorozmˇern´e vlnˇen´ı, ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru osy x. V´ ychylky ˇc´astic budou ve smˇeru kolm´em na smˇer osy x a oznaˇc´ıme je u. Zdroj v poˇc´atku bude konat harmonick´ y pohyb, pro jehoˇz v´ ychylku plat´ı u0 ptq  A sin ωt

(6.1)

Rozruch se bude ˇs´ıˇrit pod´el osy x f´azovou rychlost´ı v, takˇze do nˇejak´eho bodu P o souˇradnici x doraz´ı za ˇcas τ  x{v. Znamen´a to, ˇze v´ ychylka ychylka zdroje v ˇcase t
τ  t
x{v. upx, tq v bodˇe P bude stejn´a jako v´ Bude tedy platit

x x  A sin ω t
v upx, tq  u0 t
(6.2) v Harmonick´e vlnˇen´ı je tedy pops´ano harmonickou funkc´ı souˇradnic a ˇcasu. Naz´ yv´ame ji vlnovou funkc´ı. V´ yznam veliˇcin vystupuj´ıc´ıch ve vlnov´e funkci je zˇrejm´ y z obr. ii, kter´ y zachycuje harmonick´e vlnˇen´ı ve dvou 1 r˚ uzn´ ych ˇcasech t a t a ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh v´ ychylky bodu x  λ. 136

u

λ

A

x

1

p  q
A

v pt1
tq

t1

(a)

upx  λq A

t

t1

1

t


A p 1
q

T (b)

Obr´ azek ii: Harmonick´e vlnˇen´ı ve dvou r˚ uzn´ ych ˇcasech t1 pr˚ ubˇeh v´ ychylky bodu o souˇradnici x  λ.

137

¡ t a ˇcasov´y

Vlnov´a funkce (6.2) popisuje postupn´e harmonick´e vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se v kladn´em smˇeru osy x. Vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se v z´aporn´em smˇeru osy x bude pops´ano vlnovou funkc´ı
x upx, tq  A sin ω t (6.3) v Vlnovou funkci lze rovnˇeˇz vyj´adˇrit pomoc´ı vlnov´e d´elky λ. Podle definice vlnov´e d´elky je v m´ıstech x a x
λ stejn´a v´ ychylka upx
λ, tq  upx, tq


x
λ x A sin ω t
 A sin ω t
v v 

(6.4)

a stejn´a rychlost pohybu ˇc´astic

Bu   Bu B t x
λ B t
x
λ x Aω cos ω t
 Aω cos ω t
v v

(6.5)

Aby obˇe podm´ınky byly splnˇeny, mus´ı se argumenty goniometrick´ ych funkc´ı liˇsit o 2π, tedy 




x
λ x ω t
 ω t
v 2π (6.6) v odkud dostaneme n´asleduj´ıc´ı vztahy mezi vlnovou d´elkou, f´azovou rychlost´ı, periodou a frekvenc´ı

λ  T, λ  vT, v v Vlnovou funkci lze pak zapsat ve tvaru

 λf



t x upx, tq  A sin 2π
T λ Koneˇcnˇe zav´ad´ıme tzv. vlnov´e ˇc´ıslo k vztahem k

 2π λ

(6.7)



(6.8)

(6.9)

S n´ım pˇrejde vlnov´a funkce do tvaru upx, tq  A sinpωt
kxq

(6.10)

ychylky vˇsech ˇc´astic ve stejn´e Pozn´amka: Jestliˇze u pˇr´ıˇcn´eho vlnˇen´ı leˇz´ı v´ rovinˇe, hovoˇr´ıme o line´arn´ı nebo rovinn´e polarizaci. Pokud jednotliv´e ˇc´astice kmitaj´ı v r˚ uzn´ ych smˇerech (mohou opisovat napˇr. Lissajousovy obrazce s urˇcit´ ym f´azov´ ym zpoˇzdˇen´ım), hovoˇr´ıme o nepolarizovan´em vlnˇen´ı. Speci´aln´ım 138

u x

λ{2 λ

v

u Obr´ azek iii: Pod´eln´e harmonick´e vlnˇen´ı. pˇr´ıpadem je, kdyˇz v´ ychylky u se ve vˇsech rovin´ach rovnomˇernˇe ot´aˇcej´ı a ˇc´astice pˇritom opisuj´ı kruˇznici nebo elipsu, hovoˇr´ıme o kruhovˇe nebo elipticky polarizovan´em vlnˇen´ı. U pod´eln´eho harmonick´eho vlnˇen´ı se harmonick´a v´ ychylka uskuteˇcn ˇuje ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı. Obraz pod´eln´eho vlnˇen´ı lze z´ıskat, sklop´ıme-li pˇr´ıˇcnˇe kmitaj´ıc´ı body do smˇeru ˇs´ıˇren´ı (obr. iii). Jednotliv´e body line´arn´ı ˇrady se pak stˇr´ıdavˇe zhuˇst’uj´ı a zˇred’uj´ı. 6.2

Vlnov´ a rovnice

Vlnov´a funkce (6.8) je ˇreˇsen´ım tzv. vlnov´e rovnice, kterou nyn´ı nalezneme. Zderivujeme vlnovou funkci dvakr´at dle souˇradnice a dvakr´at dle ˇcasu. Bude B2u 
A 4π2 sin 2π  t
x

B x2 λ2 T λ  (6.11) 2 2 B u 
A 4π sin 2π t
x

B t2 T2 T λ Porovn´an´ım tˇechto vztah˚ u z´ısk´ame tzv. vlnovou rovnici pro vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ı se ve smˇeru osy x

B2u  T 2 B2u  1 B2u Bx2 λ2 Bt2 v2 Bt2

(6.12)

Tento postup lze zobecnit na vlnovou funkci popisuj´ıc´ı ˇs´ıˇren´ı v prostoru a dostaneme obecnou vlnovou rovnici B2u B2u B2u  1 B2u (6.13) B x2 B y 2 B z 2 v 2 B t 2 Lze uk´azat, ˇze vlnovou rovnici splˇ nuj´ı nejen harmonick´ e funkce typu   (6.2), ale libovoln´e funkce argument˚ u t
xv a t xv . Plat´ı pˇritom, ˇze kaˇzd´a funkce splˇ nuj´ıc´ı vlnovou rovnici popisuje vlnˇen´ı. 139

dm

Obr´ azek iv: V´ ykon pˇren´aˇsen´ y harmonick´ ym vlnˇen´ım v napnut´e strunˇe. 6.3

V´ ykon pˇ ren´ aˇ sen´ y vlnˇ en´ım a intenzita vlnˇ en´ı

Odvozen´ı v´ ykonu pˇren´aˇsen´eho vlnˇen´ı v line´arn´ı ˇradˇe provedeme na pˇr´ıkladu vlny proch´azej´ıc´ı napnutou strunou (obr. iv) Element dm vln´ıc´ı se struny kon´a line´arn´ı harmonick´e kmity s energi´ı dE

 12 dmω2A2  12 ρl dxω2A2

(6.14)

kde ρl je line´arn´ı hustota struny a dx jej´ı d´elkov´ y element. V´ ykon z´ısk´ame jako energii pˇrenesenou za jednotku ˇcasu elementem struny P

1 2 2 dx 1 ρl ω A ρl vω 2 A2  dE   dt 2 dt 2

(6.15)

Lze uk´azat, ˇze v´ ykon kaˇzd´eho harmonick´eho vlnˇen´ı z´avis´ı na veliˇcin´ach v, ω a A stejnˇe jako v (6.15). Intenzitou vlnˇ en´ı rozum´ıme v´ ykon vlnˇen´ı pˇrenesen´ y jednotkovou plochou kolmou ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı. Odvod´ıme ji na pˇr´ıkladu pod´eln´eho harmonick´eho vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ıc´ıho se vzduchov´ ym sloupcem pr˚ uˇrezu S. V´ ychylka objemov´eho elementu ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı je 



t x upx, tq  A sin 2π
(6.16) T λ Energii elementu plynu, kter´ y kon´a harmonick´ y pohyb vyj´adˇr´ıme obdobnˇe jako v (6.14) dE

 12 dmω2A2  12 ρSdxω2A2

(6.17)

a intenzita bude I

1 2 2 dx 1  S1 dE   ρω A ρvω 2 A2 dt 2 dt 2 140

(6.18)

Vid´ıme, ˇze intenzita je z´avisl´a na v, ω a A stejn´ ym zp˚ usobem jako v (6.15), pouze line´arn´ı hustota je zde nahrazena objemovou hustotou. Jednotkou intenzity vlnˇen´ı je Wm
2 . Intenzita vlnˇen´ı se nˇekdy ud´av´a jako hladina intenzity B vztaˇzen´a k referenˇcn´ı Intenzitˇe I0 B

 log II

(6.19)

0

Protoˇze log II00  log 1  0, je hladina vztaˇzn´e intenzity rovna 0. Hladina intenzity zvuku B se ud´av´a v decibelech (dB) a plat´ı β

 10 log II

(6.20)

0

kde se za referenˇcn´ı intenzitu povaˇzuje konvenˇcn´ı prahov´a hodnota slyˇsitelnosti dan´a hodnotou I0  10
12 Wm
2 pˇri frekvenci 1 kHz. 6.4

Interference vln v pˇ r´ım´ eˇ radˇ e, stojat´ e vlnˇ en´ı

Pˇri zm´ınce o kruhovˇe nebo elipticky polarizovan´em vlnˇen´ı jsme popsali vlny, kter´e vznikaj´ı, pokud element kontinua kon´a sloˇzen´e harmonick´e kmity. Napˇr. pˇri kruhov´e polarizaci kon´a element dva nez´avisl´e, navz´ajem kolm´e harmonick´e kmity, jejichˇz sloˇzen´ım (superpozic´ı) vznikaj´ı kmity kruhov´e. Lze to ch´apat tak, ˇze se v bodov´e ˇradˇe ˇs´ıˇr´ı dvˇe nez´avisl´e vlny popsan´e v´ ychylkami u1 px, tq a u2 px, tq, jejichˇz sloˇzen´ım dle principu superpozice vznikne v´ ysledn´a vlna upx, tq  u1 px, tq

u2 px, tq

(6.21)

Skl´ad´an´ı vln, jeˇz se souˇcasnˇe ˇs´ıˇr´ı ve stejn´e ˇradˇe, naz´ yv´ame interferenc´ı. Budeme se nad´ale zab´ yvat interferenc´ı vln stejn´e vlnov´e d´elky a tedy i stejn´e periody, pˇritom p˚ ujde vˇzdy o dvˇe vlny pˇr´ıˇcn´e nebo dvˇe vlny pod´eln´e. V´ ychylky v´ ysledn´e vlny dostaneme algebrick´ ym souˇctem obou d´ılˇc´ıch v´ ychylek. Protoˇze sloˇzen´ım dvou harmonick´ ych kmit˚ u vznikne harmonick´ y kmit, vznikne i sloˇzen´ım dvou harmonick´ ych vln harmonick´a vlna. Pro charakter v´ ysledn´e vlny bude rozhoduj´ıc´ı f´azov´e posunut´ı, stejnˇe jako tomu bylo u sloˇzen´ ych kmit˚ u. Uvaˇzujme dvˇe interferuj´ıc´ı vlny 


u1 px, tq  A1 sin ω t



u2 px, tq  A2 sin ω t


141

x v x v



ϕ1 ϕ2



(6.22)

u ~v

u1 px, tq

x x1

u2 px, tq

d

x2

Obr´ azek v: Interference vln stejn´e vlnov´e d´elky. y F´azov´ ymi posunut´ımi ϕ1  ϕ2 vznikne mezi obˇema vlnami dr´ahov´ y na obr. v. Dr´ahov´ ym rozd´ılem rozum´ıme rozd´ıl d  x2
x1 zn´azornˇen´ pˇritom vzd´alenost dvou bod˚ u, jejichˇz kmity prob´ıhaj´ı se stejnou f´az´ı. Pˇri postupu obou vln se body x1 a x2 pohybuj´ı smˇerem nahoru. Jejich f´aze je tedy rovna 0, 2π, 4π, . . . a plat´ı


x1 ω t
ϕ1 v
x2 ω t
ϕ2 v Odeˇcteme-li obˇe rovnice, dostaneme ϕ2
ϕ1

 0, 2π, . . .  0, 2π, . . .

2π 2π  ωv px2
x1q  vT d d λ

(6.23)

(6.24)

pˇritom m˚ uˇzeme k v´ yrazu na prav´e stranˇe pˇripoˇc´ıtat libovoln´ y n´asobek 2π. Podle pravidel o skl´ad´an´ı kmit˚ u se kmity bod˚ u x1 a x2 nejv´ıce zes´ıl´ı, y budou- li kmitat ve f´azi, tj. ϕ2
ϕ1  0, 2π, 4π, . . . Tomu pˇr´ısluˇs´ı dr´ahov´ rozd´ıl λ 2π d  0, 2π, . . . ñ d  . . . ,
λ, 0, λ, 2λ, . . .  2k (6.25) λ 2 kde k je cel´e ˇc´ıslo. Amplituda vlnˇen´ı bude v tomto pˇr´ıpadˇe d´ana souˇctem A1 A2 . Kmity bod˚ u x1 a x2 se maxim´alnˇe zeslab´ı, pokud bude f´azov´e y rozd´ıl bude posunut´ı ϕ2
ϕ1  π, 3π, 5π . . . tedy dr´ahov´ d  x2
x1

 . . .
12 λ, 12 λ, 32 λ, 52 λ, . . .  p2k
1q λ2 142

(6.26)

Zde se v´ ysledn´a amplituda rovn´a rozd´ılu obou amplitud A  A1
A2 . Jsou-li A1 a A2 stejn´e, vlnˇen´ı se interferenc´ı zcela zruˇs´ı. Dalˇs´ı d˚ uleˇzit´ y pˇr´ıpad interference nastane, ˇs´ıˇr´ı-li se obˇe vlny bodovou ˇradou v navz´ajem opaˇcn´ ych smˇerech. Poloˇzme poˇc´atek souˇradnice x do m´ısta, kde se v ˇcase t  0 proti sobˇe postupuj´ıc´ı vlny se stejnou amplitudou A setkaj´ı tak, ˇze mezi kmity bod˚ u x nebude ˇz´adn´ y f´azov´ y posun. Pak budou jednotliv´e vlny pops´any rovnicemi 

t u1  A sin 2π T  t u2  A sin 2π T






x λ

x λ

(6.27)

kde prvn´ı vlna postupuje napravo a druh´a nalevo. V´ ysledn´a vlna bude urˇcena souˇctem obou v´ ychylek. S pouˇzit´ım souˇctov´ ych vzorc˚ u bude platit t t x x u  u1 u2  A sin 2π cos 2π
A cos 2π sin 2π T λ T λ t t x x A sin 2π cos 2π A cos 2π sin 2π (6.28) T λ T λ

 2A

t x cos 2π sin 2π λ T Ve vˇsech m´ıstech bodov´e ˇrady vzniknou harmonick´e kmity se stejnou f´az´ı, ale promˇennou amplitudou, kter´e z´avis´ı na souˇradnici x podle vztahu u

Av

 2A cos 2π λx

Amplituda bude nejvˇetˇs´ı v m´ıstech, pro kter´e plat´ı cos 2π λx

(6.29)

 1, tedy

λ 2λ 3λ x  0,  ,  ,  , . . . (6.30) 2 2 2 Tato m´ısta naz´ yv´ame kmitnami k. Mezi nimi leˇz´ı m´ısta, tzv.uzly u, kde jsou body trvale v klidu. Plat´ı pro nˇe cos 2π λx  0, tedy λ 3λ 5λ (6.31) x   , , ,... 4 4 4 Takto vznikl´e vlnˇen´ı naz´ yv´ame stojat´ ym pˇ r´ıˇ cn´ ym vlnˇ en´ım. Jeho ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh je vyobrazen na obr. vi. Podobnˇe jako u pˇr´ıˇcn´eho vlnˇen´ı vznikne stojat´e vlnˇen´ı i u vlnˇen´ı pod´eln´eho. Pozn´amka: Stojat´e vlnˇen´ı nepˇren´aˇs´ı ˇz´adnou energii, protoˇze obˇe vlny, kter´e ho vytv´aˇrej´ı, pˇren´aˇsej´ı stejnou energii, ale kaˇzd´a opaˇcn´ ym smˇerem. D˚ uleˇzitost stojat´eho vlnˇen´ı spoˇc´ıv´a ve skuteˇcnosti, ˇze toto vlnˇen´ı vznik´a v line´arn´ıch u ´tvarech odrazem postupn´ ych vln na konci u ´tvaru. Na pevn´em 143

{ t0

t  T {4

u

{  {  {  {

x

t  T {2

u

u x

t  3T {4 x

u x

(a) vlnˇen´ı postupuj´ıc´ı v z´aporn´em smˇeru osy x u

u

u

u

x x

x

x

(b) vlnˇen´ı postupuj´ıc´ı v kladn´em smˇeru osy x u

 {  {  {

k

u

u

k

λ{2

u

u

u

x

u

x u

x

k

(c) stojat´e vlnˇen´ı vznikl´e superpozic´ı a) a b) ˇ Obr´ azek vi: Casov´ y pr˚ ubˇeh stojat´eho vlnˇen´ı konci se vlna odr´aˇz´ı s obr´acenou f´az´ı, nebot’ konec nem˚ uˇze kmitat a jeho reakc´ı vznikne s´ıla, kter´a zmˇen´ı v´ ychylku posledn´ıho bodu v opaˇcnou a vlna se ˇs´ıˇr´ı zpˇet. Postupuj´ıc´ı a odraˇzen´e vlnˇen´ı vytv´aˇr´ı stojat´e vlnˇen´ı, kter´e m´a na pevn´em konci uzel. Na voln´em konci bodov´e ˇrady se posledn´ı bod vych´ yl´ı a zpˇetn´ ym p˚ usoben´ım na pˇredchoz´ı bod jej vych´ yl´ı ve stejn´em smyslu. Vlna se odr´aˇz´ı se stejnou f´az´ı a vytvoˇr´ı s postupuj´ıc´ı vlnou stojat´e vlnˇen´ı, kter´e m´a na konci kmitnu. M´a- li bodov´a ˇrada oba konce pevn´e, mohou na n´ı vzniknout jen takov´e stojat´e vlny, kter´e maj´ı na obou konc´ıch uzly. Na d´elce l bodov´e ˇrady mus´ı b´ yt celistv´ y poˇcet p˚ ulvln, tedy λn n  l, n  1, 2, 3, . . . (6.32) 2 Bodov´a ˇrada tedy m˚ uˇze chvˇet s frekvencemi v n νn  v (6.33)  λn 2l Tyto frekvence naz´ yv´ame vlastn´ımi frekvencemi. Z´akladn´ı frekvence v v ulvlna. Frekvence bude ν1  λ1  2l a pˇri n´ı se na ˇradˇe vytvoˇr´ı jedin´a p˚ νn vyˇsˇs´ıch harmonick´ ych jsou celistv´ ym n´asobkem z´akladn´ı frekvence, tedy νn  nν1 . Stejn´ y v´ ysledek dostaneme u bodov´e ˇrady s obˇema konci voln´ ymi. Na obou konc´ıch budou kmitny a uprostˇred uzel. Bude-li jeden konec ˇrady pevn´ y a druh´ y voln´ y, bude na jednom konci uzel a na druh´em kmitna. Na bodovou ˇradu se rozloˇz´ı lich´ y poˇcet ˇctvrtvln. 144

x

(a) oba konce pevn´e

(b) oba konce voln´e

(c) jeden konec pevn´ y a jeden voln´ y Obr´ azek vii: Chvˇen´ı bodov´e ˇrady pˇri z´akladn´ı frekvenci Pˇri z´akladn´ı frekvenci pˇripadne na d´elku l jedna ˇctvrtvlna, takˇze vlnov´a d´elka λ1  4l a ν1  4lv . Pro vyˇsˇs´ı harmonick´e plat´ı p2n
1q λ4n  l a νn  λvn  p2n
1q 4lv  p2n
1qν1 . Srovn´an´ım vˇsech tˇr´ı pˇr´ıpad˚ u uv´ad´ıme v obr. vii. Popsan´ ym zp˚ usobem mohou pˇr´ıˇcnˇe chvˇet struny a pod´elnˇe tenk´e tyˇce a vzduchov´e sloupce. Kromˇe z´akladn´ıho chvˇen´ı vznikaj´ı vˇzdy i vyˇsˇs´ı harmonick´e, o jejichˇz poˇctu a amplitudˇe rozhoduje zp˚ usob rozechvˇen´ı. Toho se vyuˇz´ıv´a u hudebn´ıch n´astroj˚ u. 6.5

ˇ ıˇ S´ ren´ı vln v prostoru

Podstatu vlnˇen´ı jsme vyloˇzili na modelu bodov´e ˇrady. Smˇer bodov´e ˇrady byl i smˇerem ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı. Obecnˇe se smˇer ˇs´ıˇren´ı vln charakterizuje tzv. paprskem. Bodov´a ˇrada pˇredstavuje jedin´ y paprsek. V trojrozmˇern´em prostoru je vlnˇen´ı charakterizov´ano vˇzdy svazkem paprsk˚ u. V prostoru, j´ımˇz se vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı, lze v´est tzv. vlnoplochy, v jejichˇz bodech maj´ı kmity vlnˇen´ı vˇzdy stejnou f´azi. Ve svazku rovnobˇeˇzn´ ych paprsk˚ u jsou vlnoplochy roviny kolm´e ke smˇeru ˇs´ıˇren´ı vlny, hovoˇr´ıme pak o rovinn´ e vlnˇ e. Obecnˇe mohou m´ıt vlnoplochy i jin´ y tvar, element´arn´ı ˇc´ast vlnoplochy lze vˇsak vˇzdy povaˇzovat za rovinnou a kolmou k paprsku, kter´ y j´ı proch´az´ı. Vlnoplocha je obecnˇ e v kaˇ zd´ em bodˇ e kolm´ a k paprsku, kter´ y j´ım proch´ az´ı. Prostorov´e vlnˇen´ı si tak´e m˚ uˇzeme pˇredstavit jako postup jednotliv´ ych 145

vlnoploch f´azovou rychlost´ı v. Rovinn´a vlna se m˚ uˇze ˇs´ıˇrit v obecn´em smˇeru, kter´ y je charakterizov´an jednotkov´ ym vektorem ~n kolm´ ym k vlnoploch´am. Poloha jednotliv´ ych bod˚ u na zvolen´em paprsku je ~r. Skal´arn´ı souˇcin ~r  ~n  s pˇredstavuje pr˚ umˇet pr˚ uvodiˇce do smˇeru paprsku, tedy vzd´alenost vlnoplochy od vlnoplochy proch´azej´ıc´ı pr´avˇe poˇc´atkem soustavy souˇradn´e. Harmonickou rovinnou vlnu lze popsat pomoc´ı vzd´alenosti s

s ω  A sin ωt
v ~n  ~r ups, tq  A sin ω t
(6.34) v Pod´ıl ωv je vlnov´e ˇc´ıslo a vektor ~k

 ωv ~n

(6.35)

bude charakterizovat rovnˇeˇz smˇer ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı prostorem. Naz´ yv´ame jej vlnov´ ym vektorem. Harmonick´a rovinn´a vlna pak bude pops´ana vztahem up~r, tq  A sinpωt
~k  ~rq (6.36) Uvaˇzujme nyn´ı zdroj vlnˇen´ı jako malou pulsuj´ıc´ı kouli (ˇci bodov´ y zdroj vlnˇen´ı) v izotropn´ım prostˇred´ı nepohlcuj´ıc´ım energii. Vlnˇen´ı se bude ˇs´ıˇrit do vˇsech smˇer˚ u f´azovou rychlost´ı v a za ˇcas t dospˇeje do vzd´alenosti r  vt, tedy na povrch koule o polomˇeru r Vznik´a kulov´ a vlna. Energie pˇren´aˇsen´a vlnˇen´ım se v tomto pˇr´ıpadˇe rozdˇeluje na st´ale vˇetˇs´ı plochy 4πr2 . Na ploˇsnou jednotku kulov´e plochy pˇripad´a dle (6.14) energie u ´mˇern´a E



A2 S



A2 r2

(6.37)

tedy amplituda kmit˚ u na vlnoploch´ach kles´a jako Ar se vzd´alenost´ı od zdroje. Pro pulsuj´ıc´ı kouli o polomˇeru r0 a pro harmonick´e kmity jej´ıch bod˚ u na povrchu ve smˇeru pr˚ uvodiˇce a s amplitudou A bude kulov´a vlna pops´ana rovnic´ı 

r0 A r
r0 (6.38) upr, tq  sin ω t
r v u bodov´eho zdroje v m´ıstˇe r  0 to bude

1
r (6.39) upr, tq  f t
r v Kolem bodov´eho zdroje si lze pˇredstavit libovolnˇe mal´e vlnoplochy, kter´e v limitn´ım pˇr´ıpadˇe nazveme element´ arn´ımi vlnoplochami. Na myˇslence element´arn´ıch vlnoploch zaloˇzil Huygens sv˚ uj slavn´ y princip mechanismu ˇs´ıˇren´ı vlnˇen´ı prostorem: Vlnˇ en´ı se ˇ s´ıˇ r´ı prostorem tak, ˇ ze vˇ sechny body, do nichˇ z vlnˇ en´ı dospˇ eje, se st´ avaj´ı bodov´ ymi zdroji element´ arn´ıho vlnˇ en´ı, kter´ e 146

se kolem kaˇ zd´ eho bodu rozˇ s´ıˇ r´ı na element´ arn´ı vlnoplochy. Nov´ a v´ ysledn´ a vlnoplocha je ob´ alkou vˇ sech element´ arn´ıch vlnoploch ve smˇ eru, v nˇ emˇ z se vlnˇ en´ı ˇ s´ıˇ r´ı. Huygens˚ uv princip podrobnˇe rozvedl Fresnel, kter´ y uk´azal, ˇze element´arn´ı vlnˇen´ı od jednotliv´ ych bod˚ u se navz´ajem interferenc´ı zesiluj´ı pouze na vnˇejˇs´ı ob´alce pˇr´ısluˇsn´ ych element´arn´ıch vlnoploch, zat´ımco vˇsude jinde se interferenc´ı ruˇs´ı. Rychlost elastick´ ych vln v l´atk´ach Urˇcen´ı rychlosti vln v r˚ uzn´ ych l´atk´ach je obecnˇe dosti sloˇzit´a u ´loha. Zde uvedeme pouze nˇekolik v´ ysledk˚ u. Rozkmit´ame-li napjatou strunu v nˇekter´em m´ıstˇe, ˇs´ıˇr´ı se strunou pˇr´ıˇcn´e vlny f´azovou rychlost´ı



σ ρ kde σ je tahov´e napˇet´ı struny a ρ jej´ı hustota. Rychlost ˇs´ıˇren´ı pod´eln´ ych vln v tyˇci je d´ana vzorcem vst

(6.40)

d

vtyˇc 

E ρ

(6.41)

kde E je Young˚ uv modul a ρ hustota tyˇce. Rychlost ˇs´ıˇren´ı pod´eln´ ych vln v kapalin´ach a plynech d

vkap



K ρ

(6.42)

kde K je modul objemov´e pruˇznosti a ρ je hustota kapaliny ˇci plynu. Rychlost pˇr´ıˇcn´ ych a pod´eln´ ych vln v pevn´ ych l´atk´ach d

vpˇr  vpod



G ρ

3m
1 K ρm 1

(6.43) (6.44)

kde G je modul pruˇznosti ve smyku, K modul objemov´e pruˇznosti a m Poissonova konstanta. Rychlost pod´eln´ ych vln je asi dvakr´at vˇetˇs´ı neˇz rychlost vln pˇr´ıˇcn´ ych.

147

replacemen

1

Z2 Z1

1

w ~

2 3

2

4

4

Z3 Z4

3

P

Z

P ~u

(b) z klidn´eho zdroje

(a) z pohybuj´ıc´ıho se zdroje

ˇıˇren´ı vln Obr´ azek viii: S´ 6.6

Doppler˚ uv jev

Doppler˚ uv jev (Doppler˚ uv princip) se t´ yk´a z´avislosti frekvence vlnˇen´ı na vz´ajemn´e rychlosti zdroje a pˇrij´ımaˇce vlnˇen´ı. Obecnˇe jej lze charakterizovat takto: Jestliˇ ze se zdroj vlnˇ en´ı a pozorovatel pohybuj´ı, pak pˇ ri vz´ ajemn´ em pˇ ribliˇ zov´ an´ı je frekvence pˇ rij´ıman´ eho vlnˇ en´ı vyˇ sˇ s´ı a pˇ ri vzdalov´ an´ı naopak niˇ zˇ s´ı. Rozebereme dva v´ yznaˇ cn´ e pˇ r´ıpady: 1. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidn´emu pozorovateli v klidn´em prostˇred´ı (obr. 6.8a) Je-li rychlost zdroje w  konst., pak se vlnoplochy smˇerem k pozorovateli zhuˇst’uj´ı. Vlnoplocha 1 byla vysl´ana z m´ısta Z1 , vlnoplocha 2 po periodˇe T z m´ısta Z2 vzd´alen´eho o wT , vlnoplocha 3 po dalˇs´ı periodˇe T z m´ısta Z3 , jehoˇz vzd´alenost od Z2 je wT atd. Vlnov´a d´elka je tak smˇerem k pozorovateli o ∆λ  wT kratˇs´ı. Protoˇze f´azov´a rychlost vlnˇen´ı se nemˇen´ı, pˇrij´ım´a pozorovatel vlnˇen´ı s frekvenc´ı v v v v ν (6.45)    νz  v w λ
∆λ λ
wT
v
w ν ν kter´a je vyˇsˇs´ı neˇz frekvence ν, kterou by pozorovatel pˇrij´ımal z klidn´eho zdroje. Pokud se bude zdroj od pozorovatele vzdalovat (nahrad´ıme w Ñ
w), dostaneme z (6.45) v ν (6.46) νz  v w kde νz

  ν.

2. Pozorovatel se pohybuje ve smˇeru ˇs´ıˇren´ı vln od zdroje rychlost´ı u (obr. 6.8b). Zdroj i prostˇred´ı jsou v klidu, ˇcili v pevn´em bodˇe je frekvence ν  λv , 148

nicm´enˇe v˚ uˇci pozorovateli m´a vlnˇen´ı rychlost v
u, takˇze registruje jen v
u v
u  νp  ν (6.47) λ v vln za sekundu. νp je tedy menˇs´ı neˇz ν. Pokud se zdroj a pozorovatel vzdaluj´ı, bude νp zˇrejmˇe vˇetˇs´ı neˇz ν. Pohybuj´ı-li se zdroj i pozorovatel, dostaneme kombinac´ı (6.46) a (6.47) νzp

u u  λv

∆λ  λv

wT  vv

wu ν

(6.48)

Kdyby se stejn´ ym smˇerem pohybovalo i prostˇred´ı, kter´ ym se vlnˇen´ı ˇs´ıˇr´ı, napˇr. rychlost´ı v˜, museli bychom za rychlost v dosadit rychlost v v˜. Z rovnic (6.45) a (6.46) je zˇrejm´e, ˇze zmˇena frekvence nen´ı stejn´a, pohybujeli se v klidn´em prostˇred´ı stejnˇe rychle zdroj k pozorovateli nebo obr´acenˇe pozorovatel ke zdroji. Ke zmˇenˇe frekvence zˇrejmˇe nedoch´az´ı, pokud se pozorovatel i zdroj pohybuj´ı stejn´ ym smˇerem stejnou rychlost´ı u  w, takˇze se jejich vz´ajemn´a vzd´alenost nemˇen´ı. Pak se pohybuj´ı oba stejnˇe i vzhledem k prostˇred´ı a naopak, pokud se prostˇred´ı bude pohybovat stejnˇe rychle vzhledem k pozorovateli i zdroji, nebude se mˇenit frekvence pˇrij´ıman´eho vlnˇen´ı. Proto napˇr. v´ıtr nemˇen´ı frekvenci hudebn´ıch t´on˚ u z nepohybuj´ıc´ıch se hudebn´ıch n´astroj˚ u.

149

Kapitola 7

Z´ aklady speci´ aln´ı teorie relativity ´ Jak jsme uvedli jiˇz v Uvodu k t´eto pˇredn´aˇsce, klasickou mechaniku nelze pouˇz´ıt pˇri popisu dˇej˚ u, kter´e prob´ıhaj´ı pˇri rychlostech bl´ızk´ ych rychlosti .
1 8 elektromagnetick´eho vlnˇen´ı, speci´alnˇe svˇetla (c  3.10 ms ). V t´eto kapitole pod´ame z´aklady Einsteinovy speci´aln´ı teorie relativity, kter´a umoˇzn ˇuje obecnˇejˇs´ı popis pohybu v inerci´aln´ıch soustav´ach bez ohledu na velikost rychlosti. 7.1

Postul´ aty speci´ aln´ı teorie relativity

Speci´aln´ı teorie relativity je zaloˇzena na dvou postul´atech: 1. postul´ at: Fyzik´aln´ı z´akony plat´ı ve vˇsech inerci´aln´ıch syst´emech a vˇsechny inerci´aln´ı syst´emy jsou rovnocenn´e. Jde o zobecnˇen´ı Galileova principu relativity na vˇsechny fyzik´aln´ı z´akony. Tento postul´at hovoˇr´ı pouze o zachov´an´ı fyzik´aln´ıch z´akon˚ u, nikoli o zachov´an´ı hodnot veliˇcin v jednotliv´ ych inerci´aln´ıch syst´emech. Napˇr. pˇri pruˇzn´e sr´aˇzce z˚ ust´av´a zachov´ana celkov´a hybnost, ale hodnota hybnosti je v r˚ uzn´ ych syst´emech r˚ uzn´a. Podobn´ y z´avˇer plat´ı i pro prostorov´e souˇradnice a ˇcas. 2. postul´ at: Rychlost elektromagnetick´eho vlnˇen´ı ve vakuu c je ve vˇsech smˇerech a ve vˇsech inerci´aln´ıch syst´emech stejn´a (invariantn´ı). Nˇekdy se dod´av´a, ˇze nez´avis´ı na vz´ajemn´e rychlosti zdroje a pozorovatele. Tento postul´at vych´az´ı ze zobecnˇen´ı v´ ysledk˚ u nˇekter´ ych experiment˚ u prov´adˇen´ ych na konci minul´eho stolet´ı, pot´e, co se uk´azala neudrˇzitelnost pˇredstavy tzv. ´eteru, jako prostˇred´ı pro ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´eho vlnˇen´ı. Pozdˇeji byl prok´az´an jeˇstˇe dalˇs´ımi experimenty. Siln´ ym argumentem pro tento postul´at je rovnˇeˇz Maxwellova teorie elektromagnetismu, z n´ıˇz lze obdrˇzet vlnovou rovnici pro ˇs´ıˇren´ı elektromagnetick´ ych vln. Z t´eto rovnice vych´az´ı ` pro rychlost ˇs´ıˇren´ı vztah c  1{ ε0 µ0 , kde ε0 a µ0 jsou permitivita a permeabilita vakua, tedy veliˇciny nez´avisl´e na volbˇe souˇradn´eho syst´emu. Vˇsimnˇeme si, ˇze z hlediska tohoto postul´atu neplat´ı klasick´e pravidlo o skl´ad´an´ı 150

rychlost´ı, kter´e tak z˚ ust´av´a omezeno na rychlosti podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz je rychlost elektromagnetick´eho vlnˇen´ı. 7.2

Lorentzova transformace

Uvaˇzujme dva inerci´aln´ı syst´emy S a S 1 , kter´e spl´ yvaly v ˇcase t  0 a kter´e se v˚ uˇci sobˇe pohybuj´ı rychlost´ı v ve smˇeru osy x  x1 . Necht’ je v ˇcase t  0 vysl´an ze spoleˇcn´eho poˇc´atku elektromagnetick´ y puls. V obou syst´emech se zaˇcne ˇs´ıˇrit kulov´a vlna a body, kam vlna doraz´ı v soustavˇe S a v n´ı plynouc´ım ˇcase t vytvoˇr´ı kulovou plochu o polomˇeru ct. V soustavˇe S 1 se podobnˇe za ˇcas t1 vytvoˇr´ı kulov´a vlnoplocha o polomˇeru ct1 . Pro obˇe bude platit: y 2 z 2  c2 t 2 y 12 z 12  c2 t12

Soustava S : x2 Soustava S 1 : x12

(7.1)

Pro tyto podm´ınky lze nal´ezt line´arn´ı transformaci zachov´avaj´ıc´ı invariantnost Maxwellov´ ych rovnic elektromagnetick´eho pole. Protoˇze tuto transformaci poprv´e odvodil Lorentz, naz´ yv´a se Lorentzovou transformac´ı. Jej´ı fyzik´aln´ı zd˚ uvodnˇen´ı vˇsak podal teprve Einstein. x

x1

b

t1

tb

vt1 1
y z

v2 c2

 y1  z1

(7.2)

v 1 c2 x

1


v2 c2

nebo zpˇetnˇe x
vt1 1 b x  1


t1

v2 c2

y1  y z1  z t
cv2 x1

b

1


151

v2 c2

(7.3)

Z Lorentzovy transformace plyne, ˇze ˇcas t v soustavˇe S plyne odliˇsnˇe neˇz ˇcas t1 v soustavˇe S 1 . Nav´ıc jej nelze oddˇelit od souˇradnic (napˇr. t1 z´avis´ı nejen na t, ale tak´e na souˇradnici x), jako tomu bylo v Newtonovˇe absolutn´ım prostoru. O ˇcasu a prostorov´ ych souˇradnic´ıch budeme nad´ale hovoˇrit jako o ˇctyˇrrozmˇern´em ˇcasoprostoru. D´ale je zˇrejm´e, ˇze bude-li rychlost pohybu soustav b v mal´a ve srovn´an´ı s rychlost´ı elektromagnetick´eho vlnˇen´ı, pˇrejdou v´ yrazy 1
vc2 pˇribliˇznˇe v 1 a v transformaci Galileovu. 2

7.3

v2 c2

v 0, a Lorentzova transformace pˇrejde

Z´ akladn´ı pojmy teorie relativity

V tomto odstavci zavedeme nˇekolik pojm˚ u d˚ uleˇzit´ ych pro dalˇs´ı v´ yklad. Kaˇzd´emu bodu prostoru pˇrip´ıˇseme v inerci´aln´ım syst´emu tˇri prostorov´e souˇradnice (polohov´ y vektor). Kaˇzd´emu bodu prostoru je zapotˇreb´ı rovnˇeˇz pˇripsat ˇcas. To lze s ohledem na Lorentzovu transformaci uˇcinit n´asleduj´ıc´ıc´ım myˇslenkov´ ym pokusem: um´ıst´ıme do kaˇzd´eho bodu syst´emu pozorovatele y puls. Pozorovatel´e s hodinami a v ˇcase t  0 vyˇsleme elektromagnetick´ v bodech o vzd´alenosti r od poˇc´atku souˇradn´eho syst´emu detekuj´ı pˇr´ıchod elektromagnetick´e vlny v ˇcase t  rc a na tuto hodnotu naˇr´ıd´ı sv´e hodiny. Ud´ alost´ı v teorii relativity rozum´ıme dˇej, kter´emu lze pˇripsat tˇri prostorov´e souˇradnice a ˇcas na lok´aln´ıch hodin´ach, tedy ˇctyˇri souˇradnice px, y, z, tq v ˇcasoprostoru. Tyto souˇradnice z´avis´ı na soustavˇe, v n´ıˇz je ud´alost pops´ana. Necht’ jsou ve v´ yˇse zaveden´ ych souˇradn´ ych syst´emech S a S 1 dvˇe ud´alosti pops´any souˇradnicemi px1 , y1 , z1 , t1 q a px2 , y2 , z2 , t2 q, resp. px11 , y11 , z11 , t11 q a px12, y21 , z21 , t12q. Vyj´adˇr´ıme-li vztahy mezi neˇc´arkovan´ymi a ˇc´arkovan´ymi souˇradnicemi pomoc´ı Lorentzovy transformace (7.2) resp. (7.3), dostaneme pro rozd´ıly x2
x1 , resp. x12
x11 atd. x2
x1

1

b  ∆x  ∆x

v∆t1 1


v2 c2

y2
y1  ∆y  ∆y 1 z2
z1  ∆z  ∆z 1 ∆t1 cv2 ∆x1 t2
t1  ∆t  b 2 1
vc2 resp.

152

(7.4)


v∆t b  ∆x 1
vc ∆y 1  ∆y ∆z 1  ∆z ∆t
cv ∆x 1 ∆t  b 1
vc ∆x1

2

2

(7.5)

2

2

2

Dvˇe ud´alosti definujeme jako souˇcasn´e, jestliˇze je rozd´ıl jejich ˇcasov´ ych souˇradnic nulov´ y (a pˇritom se liˇs´ı v prostorov´ ych souˇradnic´ıch). Necht’ jsou dvˇe ud´alosti souˇcasn´e v syst´emu S, pak plat´ı ∆t  0

ale v syst´emu S 1 plat´ı

(7.6)


2 ∆x ∆t1  b c v

1


v2 c2

(7.7)

a ud´alosti nejsou souˇcasn´e. 7.4

Kinematick´ e d˚ usledky Lorentzovy transformace

Dilatace ˇcasu Ukazuje se, ˇze d´elka ˇcasov´eho intervalu mezi dvˇema ud´alostmi z´avis´ı v relativistick´e mechanice na souˇradn´em syst´emu, ve kter´em ji mˇeˇr´ıme. Uvaˇzme tedy opˇet dva souˇradn´e syst´emy S a S 1 a proved’me n´asleduj´ıc´ı myˇslenkov´ y pokus. Se soustavou S 1 je pevnˇe spojen zdroj svˇetla a zrcadlo (obr. ia). V soustavˇe S oznaˇc´ıme jako ud´alost 1 vysl´an´ı svˇeteln´eho pulsu smˇerem k zrcadlu a jako ud´alost 2 pˇr´ıjem odraˇzen´eho pulsu. ˇ obou ud´alost´ı mˇeˇr´ıme stejn´ Cas ymi hodinami a mezi obˇema ud´alostmi 1 y interval ubˇehne v soustavˇe S tzv. vlastn´ı ˇcasov´ ∆t0

 ∆t1  2D c

(7.8)

V syst´emu S mˇeˇr´ıme ˇcas ud´alosti 1 a 2 r˚ uzn´ ymi hodinami, protoˇze k nim doch´az´ı v r˚ uzn´ ych m´ıstech prostoru (obr. ib). Dostaneme pˇritom ∆t  L2

 p 12 v∆tq2 153

2L c

(7.9)

D2

(7.10)

S

Zrcadlo

1

Zrcadlo

S

L

L 1

D

D 1

1 ,2 1

1

1

1

2 v∆t

Zdroj

Zdroj

(a) pozorov´an´ı v soustavˇe S1

Zdroj

(b) pozorov´an´ı v soustavˇe S

Obr´ azek i: Dilatace ˇcasu Dosad´ıme-li ze (7.8) a (7.9) za D a L do (7.10), dostaneme 1 2 2 c ∆t 4

 14 v2∆t2

∆t  b

b

1 2 2 c ∆t 4

∆t1

1


(7.11)

 γ∆t0

v2 c2

kde γ  1{ 1
vc2 je tzv. Lorentz˚ uv faktor. Protoˇze γ ¡ 1, je zˇrejmˇe y interval je tak kratˇs´ı, neˇz ˇcasov´ y interval mˇeˇren´ y ∆t ¡ ∆t0 . Vlastn´ı ˇcasov´ r˚ uzn´ ymi hodinami v jin´em inerci´aln´ım syst´emu. Tento jev oznaˇcujeme jako dilataci ˇ casu. Vztah (7.11) plyne pˇr´ımo ze vztahu (7.6) uv´aˇz´ıme-li, ˇze 1 ∆x  0. Kontrakce d´elek Uvaˇzujme opˇet dva souˇradn´e syst´emy S a S 1 . Se souˇradn´ ym syst´emem 1 S necht’ je pevnˇe spojena tyˇc leˇz´ıc´ı ve smˇeru osy x (obr. ii). V syst´emu S 1 je tyˇc v klidu a jej´ı d´elka bude 2

∆x1

 x12
x11  L0

(7.12)

coˇz je tzv. vlastn´ı d´elka. Vzhledem k syst´emu S se tyˇc pohybuje a jej´ı d´elku je tˇreba stanovit jako rozd´ıl prostorov´ ych souˇradnic koncov´ ych bod˚ u tyˇce v tomt´eˇz okamˇziku. Ze vztahu (7.7) dostaneme s uv´aˇzen´ım ∆t  0 ∆x1

 b ∆x v  L0 1
c 2

2

154

(7.13)

y1 t11

1

 t12

1 1 1 1 1

t2 t1 111111111111111111 000000000000000000 000000000000000000 111111111111111111 x11



z1

x12 x1



1 1 1 1z

(a)

y t1

 t2

t1 t2 11111111111111 00000000000000 00000000000000 11111111111111 x1

x2 x

(b)

Obr´ azek ii: Kontrakce d´elek. a) mˇeˇren´ı d´elky v soustavˇe S 1 , b) mˇeˇren´ı d´elky v soustavˇe S, v˚ uˇci kter´e se tyˇc pohybuje. Oznaˇc´ıme-li ∆x  L, bude

v2 L0 L  L0 1
2  (7.14) c γ D´elka pohybuj´ıc´ı se tyˇce je tak menˇs´ı, neˇz vlastn´ı d´elka tyˇce L0 . Tento jev naz´ yv´ame kontrakc´ı d´ elky. Transformace rychlosti (skl´ad´an´ı rychlosti) Uvaˇzujme opˇet souˇradn´e syst´emy S a S 1 a tˇeleso, kter´e se pohybuje uˇci soustavˇe S 1 . Plat´ı rychlost´ı ~u v˚ uˇci soustavˇe S a rychlosti u~1 v˚ ux uy uz

 dx dt  dy dt

(7.15)

 dz dt

resp. dx1 x  dt 1 dy 1 (7.16) uy  dt dz 1 u1z  dt Dosad´ıme sem z transformaˇcn´ıch vztah˚ u, kter´e plat´ı i pro elementy dx, dy, atd. a m´ame u1

155

b

dx1 vdt1

ux

 dt

1
vc2

b 1

2

v dx1 c2 2 1 vc2






dx1 dt1

vdt1 dt1 v 1. 1 dx 2 c dt

dx1 dt1

1

1

1

v v dx1 c2 dt1



u1x 1

v vu1x c2

(7.17)

obdobnˇe dostaneme u1x

 1ux

vuv

x

b

uy



uy .

1


1

vu1x c2

1

b

u1y



1


uy .

1


c2

v2 c2

v2 c2

vux c2

a vztahy pro uz a u1z jsou obdobn´e jako pro uy a u1y . Pozn´amka: pro mal´e rychlosti lze ˇcleny vux vux v2 , a rejdou v klasickou trans2 2 c c c2 zanedbat proti 1 a vztahy (7.17) pˇ formaci rychlosti. 1

7.5

Relativistick´ a dynamika

Z´akon zachov´an´ı hybnosti a energie v izolovan´ ych syst´emech pˇri popisu v libovoln´e inerci´aln´ı soustavˇe souˇradn´e (I. postul´at) vede k relativistick´e modifikaci tˇechto veliˇcin. Uvaˇzujme opˇet souˇradn´e soustavy S a S 1 . Se soustavou S 1 je spjato tˇeleso, kter´e m´a hmotnost m0 , tzv. klidovou hmotnost. Bez d˚ ukazu uvedeme, ˇze hmotnost tohoto tˇelesa mˇeˇren´a v soustavˇe S bude mb

m0 1


v2 c2

 γm0 ¡ m0

(7.18)

kde m je tzv. relativistick´a hmotnost vˇetˇs´ı neˇz hmotnost klidov´a. Relativistick´a hybnost tˇelesa (vzhledem k soustavˇe S) je pak definov´ana vztahem m0 p~  b 1


v2 c2

~v

Ze vztahu 7.19 m˚ uˇzeme ˇcasovou derivac´ı vypoˇc´ıtat s´ılu

156

(7.19)

F~

p d m0~v b  d~  dt dt 1
v c

(7.20)

2

2

Ze vztah˚ u (7.18) a (7.19) je zˇrejm´e, ˇze m a p by dos´ahly nekoneˇcnˇe velk´ ych hodnot v pˇr´ıpadˇe v  c. Nekoneˇcnˇe velk´a hodnota hybnosti nem˚ uˇze vˇsak b´ yt d˚ usledkem p˚ usoben´ı koneˇcn´e s´ıly v koneˇcn´em ˇcase. Odtud plyne, ˇze tˇelesa s nenulovou klidovou hmotnost´ı nemohou dos´ahnout rychlosti svˇetla. Relativistickou kinetickou energii z´ısk´ame jako dr´ahov´ y integr´al s´ıly Ek



»v

F~  d~r 

v 0

»v v 0

dp dx  dt

»v v 0

dp dvr dx  dvr dt

»v

dp vrdvr dvr

(7.21)

0

kde jsme pro jednoduchost ztotoˇznili smˇer rychlosti ~v s osou x a integraˇcn´ı promˇennou oznaˇcili v˜. Ze vztahu (7.19) plyne dp dv

 dvd b 1m0 1  b m0 3  b m0 3 v 3 v1
c1 1
vc v
c

(7.22)

2

2

2

2

2

2

a po dosazen´ı do (7.21) m´ame Ek



»v

m0 v˜d˜ v

b 0

1


v˜2

3 

c2



v

m0 c 2

b

1


v˜2 c2

2

 bm0c v
m0c2 0 1
c 2

(7.23)

2

Druh´ y ˇclen v (7.23) pˇredstavuje rychlostnˇe nez´avislou konstantu, kterou naz´ yv´ame klidovou energi´ı. Souˇcet klidov´e a kinetick´e energie m´a v´ yznam celkov´e relativistick´e energie E

 Ek

m0 c 2

 b m0 v 1
c

2

c2

 mc2

(7.24)

2

coˇz je vˇseobecnˇe zn´am´ y princip ekvivalence hmoty a energie. uv princip probran´ y v pˇredchoz´ı kapitole plat´ı i pro Pozn´amka: Doppler˚ svˇetlo ˇci elektromagnetick´e vlnˇen´ı obecnˇe, je vˇsak tˇreba uv´aˇzit 2. postul´at, tedy ˇze se ˇs´ıˇr´ı ve vˇsech inerci´aln´ıch syst´emech ve vakuu stejnou rychlost´ı c a nepotˇrebuje ke sv´emu ˇs´ıˇren´ı hmotn´e prostˇred´ı. I nejvˇetˇs´ı zn´am´e rychlosti nebesk´ ych tˇeles jsou vˇsak mal´e ve srovn´an´ı s rychlost´ı svˇetla, tedy wc nebo u emu v´ ysledku. Je totiˇz c ! 1 a pak vzorce (6.45) a (6.46) vedou ke stejn´ z (6.45)

157

vz c cpc wq cpc wq c w (7.25)    c2  c z c
w c2
w 2 coˇz odpov´ıd´a vztahu (6.47) modifikovan´emu pro pˇribliˇzov´an´ı pozorovatele ke klidn´emu zdroji. Prakticky lze tedy zjiˇst’ovat jen relativn´ı pohyby nebesk´ ych tˇeles vzhledem k Zemi.

158