Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Variace

1

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

3.2.2012 13:36:40

Powered by EduBase 2

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

1

1. Lineární funkce s absolutní hodnotou

Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu.

Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = |x - 1| Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x  1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x  1 Závěr:

Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = |2x - 1| Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x  0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x  0,5 Závěr: 3.2.2012 13:36:40


2


1

2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 1.

1423

Načrtněte graf funkce f: y = -|x - 2|

OK

2.

Načrtněte graf funkce f: y = 2 . |x + 1| - 3 . |x - 1|

1420

OK

3.

1422

Načrtněte graf funkce f: y = |x| - x

OK

3.2.2012 13:36:40


3


4.

Načrtněte graf funkce f: y = 2x - |x + 3| - 5 + |x - 1|

1 1428

OK

5.

Načrtněte graf funkce f: y = |2x - 1| + |x - 2| - x

1424

OK

6.

1419

Načrtněte graf funkce f: y = 3 - |2 - x|

OK

7.

1426

Načrtněte graf funkce f: y = -|x| + 2

OK

3.2.2012 13:36:40


4


8.

Načrtněte graf funkce f: y = |x + 1| - |1 - x|

1 1425

OK

9. OK

1421

Načrtněte graf funkce f: y = |x - 3| - 2 . |x + 1| + 2 . |x| - (x - 1)

1427

10. Načrtněte graf funkce f: y = |x| - 3 OK

11. Načrtněte graf funkce f: y = 2 - |2 - x| - 2 . |x + 4| - 3x

1429

OK

3.2.2012 13:36:40


5


1

3. Exponenciální funkce

Exponenciální funkce Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax, kde a > 0 a zároveň a  1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující:

Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující:

Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = ex. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2,718 28...

Vlastnosti exponenciální funkce:       

D(f) = (-; +); H(f) = (0; +) Není sudá, ani lichá. ax > 0, proto je funkce omezená zdola, shora omezená není. Je klesající pro 0 a < 1 a rostoucí pro a 1 Nemá maximum ani minimum. Je inverzní k logaritmické funkci. Je v R spojitá.

4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady 1.

Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 4x g(x) = 4x + 2 h(x) = 4x - 1

1380

OK

3.2.2012 13:36:40


6


2.

1 1364

Načrtněte graf funkce y = 2x + 1

OK

3.

1382

Načrtněte graf funkce f(x) = -(2-2x)

OK

4.

1378

Je dána funkce f: y = 0,5x - 3. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.

OK

5.

1377

Je dána funkce f: y = 0,5x - 3. Načrtněte graf funkce f(|x|).

OK

3.2.2012 13:36:40


7


6.

1 1376

Je dána funkce f: y = 0,5x - 3 Načrtněte graf funkce |f(x)|.

OK

7.

1381

Načrtněte graf funkce y = 32x - 2 - 1

OK

8.

1374

Načrtněte graf funkce y = 0,5x - 3

OK

9.

1365

Načrtněte graf funkce y = 2x - 1

OK

3.2.2012 13:36:40


8


1 1368

10. Načrtněte graf funkce y = 2x - 2-x OK

11.

OK

1370

Pro která čísla a je funkce klesající?

a>1

12. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(|x|)|

1373

OK

13. Načrtněte a porovnejte grafy funkcí y = 2x a y = 2-x

1366

OK

14.

OK

1369

Pro která čísla a je funkce rostoucí?

a>2

3.2.2012 13:36:40


9


1 1367

15. Načrtněte graf funkce y = 2x + 2-x OK

16.

1383

Načrtněte graf funkce

OK

17.

Načrtněte v téže kartézské soustavě souřadnic grafy těchto funkcí: f(x) = 0,4x g(x) = 0,4-x h(x) = f(|x|)

1379

OK

18. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce |f(x)|.

1371

OK

3.2.2012 13:36:40


10


19. Je dána funkce f: y = 2x + 1. Načrtněte graf funkce f(|x|).

1 1372

OK

1375

20. Načrtněte graf funkce y = 0,5x + 3 OK

5. Logaritmická funkce

Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = loga x vyjadřuje totéž jako zápis x = ay Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a:

3.2.2012 13:36:40


11


1

Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy.

Vlastnosti logaritmické funkce:        

Definiční obor D(f) =(0; +) Obor hodnot H(f) = R Není sudá, ani lichá Není zdola ani shora omezená. Pro 0 < a < 1 je klesající Pro a > 1 je rostoucí. Funkce nemá maximum ani minimum. Pro x  (0; +) je spojitá.

Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu.

6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady 1.

OK

2. OK

3.

OK

1460

Určete definiční obor funkce f:

D(f) = <10; +)

Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = |log4 x|

1451

D(f) = (0; +)

1462

Určete definiční obor funkce f:

D(f) = (-; -1)  ( 2; +)

3.2.2012 13:36:40


12


4. OK

5.

OK

6. OK

7. OK

8.

Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log4 x

1 1448

D(f) = (0; +)

1432

Urči definiční obor funkce: D(f) = (4; +); a > 0, a  1

Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf. f: y = log4 |x|

1452

D(f) = R \ {0}

Načrtněte graf funkce f: y = 2 . log x a určete definiční obor funkce.

1456

D(f) = (0; +)

1436

Načrtni graf funkce f: y = log2 (x + 2)

OK

3.2.2012 13:36:40


13


9.

OK

1 1439

Urči definiční obor funkce:

D(f) = (2; 9) 1435

10. Načrtni graf funkce f: y = log x 2 OK

11. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(x)|.

1445

OK

1455

12. Načrtněte graf funkce f: y = log x2. OK

13.

D(f) = R \ {0}

1444

Načrtni graf funkce:

OK

3.2.2012 13:36:40


14


14. Určete definiční obor funkce f: y = log (-x2 + 6x - 9) OK

15.

OK

1431

Urči definiční obor funkce

D(f) = (-; -3)  ( 5; +); a > 0, a  1 1457

D(f) = (-2; +)

17. Urči definiční obor funkce y = log (2x +3) a OK

1461

D(f) = { }

16. Načrtněte graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 a určete definiční obor funkce. OK

1

1430

D(f) = (-1,5; +); a > 0, a  1

18. Určete definiční obor funkce a načrtněte její graf.

1453

f: y = |log4 |x|| OK

D(f) = R \ {0}


1449

f: y = -log4 x OK

D(f) = (0; +)

3.2.2012 13:36:40


15


20.

Urči definiční obor funkce

OK

D(f) = (-1; 1); a > 0, a  1

1 1433

1441

21. Je dána funkce f: y = log2 (x - 4).

Načrtněte graf funkce |f(x)|.

OK

1440

22. Načrtněte graf funkce f: y = log (x - 4) 2 OK

23. Urči definiční obor funkce f: y = log (2x2 + 4x - 6) OK

1438

D(f) = (-; -3)  1; +

24. Načrtni graf funkce f: y = log (x + 2) - 3 2

1437

OK

25.

OK

1434

Urči definiční obor funkce:

D(f) = (0; 3); a > 0, a  1

3.2.2012 13:36:40


16


26. Načrtněte graf funkce f: y = |ln (x - 1) + 1|

1 1458

OK

1454

27. Načrtněte graf funkce f: y = 1 - log x OK

28.

OK

1459

Určete definiční obor funkce: D(f) = <1; +)

1443

29. Je dána funkce f: y = log (x - 4). 2

Načrtněte graf funkce |f(|x|)|.

OK

1442

30. Je dána funkce f: y = log (x - 4). 2

Načrtněte graf funkce f(|x|).

OK

3.2.2012 13:36:40


17


31. Je dána funkce f: y = log1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce |f(|x|)|.

1 1447

OK


1450

f: y = log4 (-x) OK

D(f) = (-; 0)

33. Je dána funkce f: y = log 1/3 (x + 2). Načrtni graf funkce f(|x|).

1446

OK

3.2.2012 13:36:40


18


1

Obsah 1. Lineární funkce s absolutní hodnotou

2

2. Funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady

3

3. Exponenciální funkce

6

4. Exponenciální funkce - procvičovací příklady

6

5. Logaritmická funkce

11

6. Logaritmická funkce - procvičovací příklady

12

3.2.2012 13:36:40


19

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Recommend Documents