4.2.11
Hledání úhlů se známou hodnotou goniometrické funkce
Předpoklady: 4210 Najdi všechny úhly x ∈ 0; 2π ) , pro které platí sin x =
Př. 1:
1 . 2
Postřeh: Obrácená úloha než dosud. Zatím jsme hledali pro úhly hodnoty goniometrických π 1 funkcí, teď hledáme k hodnotám úhly ⇒ stačí si pamatovat tabulku a víme, že sin = . 6 2 Hledané číslo je x =
π
. Je to jediná možnost? ⇒ sin x je y-ová hodnota souřadnice bodu na 6 jednotkové kružnici, vyznačíme ji na y-ové ose.
1
1
R S
-1
R
1
-1
-1
S
1
-1
1 1 ⇒ vodorovná přímka y = . 2 2 Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly, pro které platí 1 sin x = . 2 Vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice je
1 T
T x2 x1 -1
S
R 1
-1
1
π
1 je „malá“ tabulková hodnota funkce sinus, musí být x1 6 2 π 5 šestinová hodnota). Z obrázku je vidět, že platí x2 = π − = π . 6 6 1 π 5 V intervalu 0; 2π ) existují dvě čísla x, pro které platí sin x = : x1 = a x2 = π . 2 6 6 Již víme, že x1 =
(protože
Najdi všechny úhly x ∈ 0; 2π ) pro které platí cos x = −
Př. 2:
2 . 2
cos x je x-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji na x-ové ose. 1
1
R S
-1
1
R -1
-1
S
1
-1
2 2 ⇒ svislá přímka x = − . 2 2 Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly, pro které platí 2 cos x = − . 2 Vyznačíme všechny body, jejichž x-ová souřadnice je −
1 T
x2
x1 S
-1
R 1
T -1
2
2 je „střední“ tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x1 a x2 čtvrtinové 2 3 5 hodnoty. Z obrázku je vidět, že platí x1 = π a x2 = π . 4 4 2 3 5 V intervalu 0; 2π ) existují dvě čísla x, pro které platí cos x = − : x1 = π a x2 = π . 2 4 4 Protože
Př. 3:
Najdi všechny úhly, pro které platí sin x = −
3 . 2
Postřeh: Nehledáme hodnoty pouze v intervalu 0; 2π ) , ale v celém R. Stejně jako v předchozích příkladech najdeme nejdříve hodnoty v intervalu 0; 2π ) a pak využijeme periodicitu funkce sin x a určíme všechny možné hodnoty x. sin x je y-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji na y-ové ose.
1
1
R -1
S
R
1
-1
-1
S
1
-1
3 3 ⇒ vodorovná přímku y = − . 2 2 Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly, pro které platí 3 sin x = − . 2 Vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice je −
3
1
x1
R
S
-1
1
x2
T
-1
T
3 je „velká“ tabulková hodnota funkce sinus, musí být x1 a x2 třetinové hodnoty. 2 4 5 Z obrázku je vidět, že platí x1 = π a x2 = π . 3 3 3 4 5 V intervalu 0; 2π ) existují dvě čísla x, pro které platí sin x = − : x1 = π a x2 = π . 2 3 3 Protože
3 . Funkce y = sin x je periodická 2 s nejmenší periodou 2π ⇒ hodnoty funkce pro x1 jsou stejné jako hodnoty funkce pro
Hledáme všechna x ∈ R , pro která platí sin x = − x1 + k ⋅ 2π , k ∈ Z .
4 5 π + k ⋅ 2π a π + k ⋅ 2π , kde k ∈ Z . Tato 3 3 5 4 množina čísel se většinou zapisuje ∪ = π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π . 3 3 k∈Z
Požadovanou vlastnost mají všechna čísla
Př. 4:
Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí cos x =
3 ∧ sin x < 0 . 2
Příklad vyřešíme nejdříve v intervalu 0; 2π ) a pak najdeme ostatní řešení z R. 3 . 2 cos x je x-ová hodnota souřadnice bodu na kružnici, vyznačíme ji na x-ové ose.
Jako první hledáme x splňující podmínku cos x =
4
1
1
R -1
S
1
R -1
-1
S
1
-1
3 3 ⇒ svislá přímka x = . 2 2 Vyznačená přímka se protíná s kružnicí ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly, pro které platí 3 cos x = . 2 Vyznačíme všechny body, jejichž x-ová souřadnice je
1
T x1 -1
x2 S
R 1 T
-1 3 je „velká“ tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x1 a x2 šestinové 2 π 11 hodnoty. Z obrázku je vidět, že platí x1 = a x2 = π . 6 6 3 π 11 V intervalu 0; 2π ) existují dvě čísla x, pro které platí cos x = : x1 = a x2 = π . 2 6 6 Teď splníme druhou podmínku sin x < 0 . Dokreslíme do obrázku hodnoty funkce sin x pro oba úhly. Protože
5
1
T x1 x2 S
-1
R 1 T
-1 Z obrázku je zřejmé, že platí sin x1 = sin
π 6
> 0 a sin x2 = sin
11 π < 0. 6
3 11 ∧ sin x < 0 splňuje v intervalu 0; 2π ) pouze úhel x2 = π . 2 6 Obě funkce jsou periodické s nejmenší periodou 2π ⇒ řešením příkladu jsou všechna x 11 z množiny: ∪ = π + k ⋅ 2π . 6 k∈Z Zadání příkladu cos x =
Všechny předchozí příklady je možné řešit nejen pomocí jednotkové kružnice, ale i pomocí grafů funkcí y = sin x a y = cos x .
Př. 5:
Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí sin x = − y = sin x .
2 . Při řešení využij graf funkce 2
V obrázku s grafem funkce y = sin x vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice (hodnota funkce y = sin x ) je −
2 2 ⇒ přímka y = − . 2 2
1 x1
x2
-1
6
Vyznačená přímka se v intervalu 0; 2π ) protíná s grafem ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly z intervalu 0; 2π ) , pro které platí sin x = −
2 . 2
2 je „střední“ tabulková hodnota funkce sinus, musí být x1 a x2 čtvrtinové 2 5 7 hodnoty. Z obrázku je vidět, že platí x1 = π a x2 = π . 4 4 Funkce sinus je periodická s nejmenší periodou 2π ⇒ hledaná čísla tvoří množinu 7 5 ∪ = 4 π + k ⋅ 2π ; 4 π + k ⋅ 2π . k∈Z Protože
Př. 6:
1 Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí cos x = − ∧ sin x < 0 . Při řešení využij 2 grafy funkcí sinus a cosinus.
V obrázku s grafy funkcí y = cos x vyznačíme všechny body, jejichž y-ová souřadnice 1 1 (hodnota funkce y = cos x ) je − ⇒ přímka y = − . 2 2
1 x1
x2
-1
Vyznačená přímka se v intervalu 0; 2π ) protíná s grafem ve dvou bodech ⇒ existují dva úhly z intervalu 0; 2π ) , pro které platí cos x = −
1 , pouze pro druhou hodnotu x2 je hodnota 2
funkce y = sin x záporná. 1 Protože − je „malá“ tabulková hodnota funkce cosinus, musí být x1 a x2 třetinové hodnoty. 2 4 2 Z obrázku je vidět, že platí x2 = π (hodnota x1 = π nás nezájímá). 3 3 Funkce conus je periodická s nejmenší periodou 2π ⇒ hledaná čísla tvoří množinu 5 ∪ = 3 π + k ⋅ 2π . k∈Z
7
Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí cos x = 0 ∧ sin x > 0 .
Př. 7:
1 x2
x1
-1
Z obrázku s grafy funkcí y = sin x a y = cos x je vidět, že jediným úhlem v intervalu 0; 2π ) pro který platí podmínky ze zadání je úhel
π
π 2
⇒ hledaná čísla tvoří množinu
∪ = 2 + k ⋅ 2π .
k∈Z
Př. 8:
Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí cos x = 0,3 . Při řešení využij jednotkovou kružnici. Nalezené hodnoty vyjádři ve stupních s přesností na minuty.
Hodnota 0,3 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce cos x . Použijeme tlačítko cos −1 na kalkulačce. Platí: cos −1 ( 0,3) = 72°33′ . Zakreslíme situaci do jednotkové kružnice.
1
T
x1
R
x2 S
-1
1
-1
T
Z obrázku vidíme, že platí: • x1 = 72°33′ , •
x2 = 360° − x1 = 360° − 72°33′ = 287°27′ .
⇒ Hledaná čísla tvoří množinu
∪ = {72°33′ + k ⋅ 360°; 287°27′ + k ⋅ 360°} .
k∈Z
8
Př. 9:
Najdi všechny úhly x ∈ R , pro které platí sin x = −0, 2 . Při řešení využij graf funkce y = sin x . Nalezené hodnoty vyjádři ve stupních s přesností na minuty.
Hodnota -0,2 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce sin x . Použijeme tlačítko sin −1 na kalkulačce. Platí: sin −1 ( −0, 2 ) = −11°32′ (tento úhel není základní velikostí). Zakreslíme situaci do grafu.
1 x2
x1
x
-1
Z obrázku vidíme, že platí: • x1 = 180° − x = 180° − ( −11°32′ ) = 191°32′ , •
x2 = 360° + x = 360° + ( −11°32′ ) = 348°28′ .
⇒ Hledaná čísla tvoří množinu
∪ = {191°32′ + k ⋅ 360°;348°28′ + k ⋅ 360°} .
k∈Z
Př. 10: Petáková: strana 41/cvičení 10 strana 41/cvičení 11 strana 41/cvičení 12 strana 41/cvičení 13 strana 41/cvičení 14
b) c) c) b) c) c)
Shrnutí:
9
