České vysoké učení technické v Praze, Fakulta strojní
PRUŽNOST A PEVNOST II
PŘEDNÁŠKY (technická plasticita)
Jan Řezníček
Praha 2012
Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou
© Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2012
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE – FAKULTA STROJNÍ ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI
V BAKALÁŘSKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH
TEORETICKÝ ZÁKLAD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ A STROJÍRENSTVÍ A V MAGISTERSKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH
STROJNÍ INŽENÝRSTVÍ, INTELIGENTNÍ BUDOVY A JADERNÁ ENERGETICKÁ ZAŘÍZENÍ přednáší
Jan Řezníček akad emi cký ro k
2012/2013 Praha prosinec 2012
4
6. TECHNICKÁ PLASTICITA Úvod: Během celé dosavadní pružnosti jsme předpokládali „lineární“ chování materiálu – tedy že všechny probíhající děje jsou „vratné“ (po ukončení působení silových účinků se těleso vrátí do původního stavu). Poznámka: V celé této kapitole budeme používat „staré“ označení meze kluzu σK, i když podle „nové“ normy bychom měli používat pro mez kluzu označení Re . V případě tahu/tlaku resp. ohybu musela být splněna podmínka: |σ| ≤ σK resp. |σo max| ≤ σK . V případě krutu musela být splněna podmínka: τ max ≤ τK , kde τ K =σK/α (α = 2 nebo 3 ). V případě ztráty stability podle Eulera byla podmínka ještě přísnější: σ krit. ≤ σu (mez úměrnosti zaručuje ideální lineární závislost mezi napětím a deformací popsanou Hookovým zákonem). Tahový diagram běžné konstrukční oceli (budeme z něho dále vycházet): σ
ideální přímka
σK σu Eulerův vzpěr
Celá PP I a dosavadní PP II (tah/tlak, ohyb a krut, nádoby, kotouče a desky)
σPt
≈E 0
εu εK
ε K´
Dosavadní PP (bez plasticity) Rozšíření PP (s plasticitou)
Základní předpoklady úloh v technické plasticitě: 1. Zůstává v platnosti předpoklad malých deformací (systém je i v plasticitě stále geometricky lineární), 2. Materiál v plasticitě zůstává stále ideální (izotropní bez vnitřních imperfekcí, ...), 3. Tahový diagram aproximujeme ideálně elasticko-plastickým modelem (u tohoto modelu neuvažujeme po dosažení meze kluzu „zpevnění“).
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
ε
5 Nelineární chování materiálu – vznik trvalých deformací (při jednoosé napjatosti): σ
εel
elastické chování
σ
≈E 0
≈E
εpl
εel
ε
ε
Po překročení meze kluzu (u materiálů bez výrazné meze kluzu po překročení smluvní meze kluzu) se po odlehčení již soustava nevrátí do původní polohy. Odlehčení probíhá po přímce, která je rovnoběžná s přímkou elastického chování materiálu. Dosažená deformace ε se tak po odlehčení neztratí celá, ale pouze její elastická (vratná) část. Zbývající část deformace je již „trvalá“ a představuje plastickou (nevratnou) část deformace: ε = ε el + ε pl . Elastická složka deformace odpovídá deformaci, která by v soustavě nastala, pokud by se tato bez omezení chovala elasticky (viz zobrazení εel v horní části předchozího obrázku). Nás bude s ohledem na další výpočty spíše zajímat plastická složka deformace, kterou určíme jako: ε pl = ε − ε el .
Věta o zbytkových napětích (deformacích): Zbytková napětí (deformace) v součásti vzniklá po odlehčení lze vypočítat jako rozdíl výsledných napětí (deformací) a hodnot napětí (deformací) stanovených pro ideální elastické těleso v celém rozsahu zatěžování. Tuto větu můžeme např. pro napětí zapsat formálně ve tvaru:
σ zb = σ skut . − σ elfikt. . . Poznámky: 1. Předchozí věta funguje i v elastické oblasti, kde bude skutečná a fiktivní elastická hodnota napětí stejná, a tak zbytková napětí zde nebudou vznikat (odpovídá skutečnosti) 2. Připomeňme si jeden rozdíl: „Technik uvažuje skutečný stav a od něho odečítá fiktivní, který nemůže reálně nastat, zatímco ekonom počítá s fiktivními penězi, ze kterých se snaží financovat reálné věci. Model skutečného materiálu: Protože závislost mezi napětím a deformací získáváme z tahových zkoušek experimentálně, je snaha tuto závislost popsat matematicky. Nejčastěji se používá parabolická náhrada: ε = K ⋅σ m .
σ
Konstanty K a m se stanoví na základě experimentů. 0
ε
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
6 Náhrada skutečného pracovního diagramu: V technické praxi se velice často spokojíme s náhradou pracovního diagramu lomenou čarou. Protože předpokládáme zachování podmínky malých deformací, není třeba popisovat celý tahový diagram, kdy již deformace dosahují takových velikostí, že by bylo třeba uvažovat geometrickou nelinearitu v chování součásti. Lomená náhrada tak popisuje jen počáteční část tahového diagramu, kdy jsou deformace ještě malé, a proto nás tato oblast nejvíce zajímá. σ
σ
σK
σK
σ
≈E
≈E
≈E ε
εK
ε
εK
ε Materiál s lineárním zpevněním (elasticko-plastický model se zpevněním)
Materiál bez zpevnění (ideální elasticko-plastický model)
Pokud je σ ≤ σK (elastické chování) platí u obou modelů pro stanovení modulu pružnosti E vztah: E=
σ ε
resp.
E=
σK . εK
Modul zpevnění druhé části náhradního
Tento diagram nepředpokládá zpevnění.
diagramu můžeme určit ze vztahu:
E =0 .
E=
σ −σ K ε −εK
(dále budeme uvažovat tento diagram)
.
Mezní stav plasticity: Mezní stav plasticity nastane tehdy, dojde-li v důsledku zatížení ke kvalitativní změně v chování součásti – vznikne plastický mechanizmus. Mezní stav plasticity představuje možnou limitní hodnotu při dimenzování součástí, pokud pro provoz jsou přípustné malé plastické deformace. Protože zatížení při mezním stavu plasticity může být i výrazně vyšší než zatížení při mezním stavu pružnosti, umožňuje nám tento způsob dimenzování dosahovat vyšších dovolených zatížení nebo menších potřebných rozměrů. Poznámka: Povšimněte si, že na rozdíl od definice většiny předchozích mezních stavů (pružnosti, pevnosti, ...) není mezní stav plasticity vázán přímo na konkrétní napětí, ale na určitý typ změny v chování součásti. Obdobnou úvahu jsme již prováděli v PP I při popisu mezního stavu ztráty stability, kde také nebylo rozhodující napětí, ale změna v chování součásti (prutu). Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
7
Použití ideálně elasticko-plastického náhradního materiálového modelu: Elastická oblast (malá)
Elastická oblast (malá)
Plastická oblast (mnohonásobně větší)
σ
Plastická oblast (mnohonásobně větší)
σ
„∞“
Oblast „velkých“ deformací, které již neodpovídají základnímu předpokladu
≈E
≈E ε
ε
Teoreticky se ideální elasticko-plastický model může „nekonečně“ deformovat, ale toto „nekonečno“ musí zůstat v oblasti „malých“ deformací, což je základní předpoklad celé pružnosti a pevnosti.
6.1 TAH A TLAK V PLASTICITĚ Tento nejjednodušší typ namáhání se i v plasticitě nejjednodušeji řeší. Napětí v celém průřezu je totiž konstantní a je dáno jednoduchým vztahem (v elasticitě i v plasticitě):
σ=
N , A
kde N je osová síla (tahová – ven z plochy nebo tlaková – do plochy), A je plocha příčného průřezu kolmo k ose prutu a zatížení. Dosáhne-li tedy napětí v určitém průřezu meze kluzu σK, může se od tohoto okamžiku tento průřez libovolně („nekonečně“) deformovat a záleží na zbývajících částech konstrukce, do jaké míry mu v tom dokážou zabránit a převzít na sebe část rostoucího zatížení, které již zplastizovaný průřez není schopen přenést. Pak mohou nastat dva stavy: 1. Pokud zbývající části konstrukce jsou schopny „nekonečné“ deformaci zabránit, dochází k přerozdělení namáhání v konstrukci a zatěžování může pokračovat (konstrukce se dostala do elasticko-plastického stavu, kdy jsou některé části již na mezi kluzu, ale zbývající se ještě chovají elasticky). 2. Pokud zbývající části konstrukce nejsou schopny „nekonečné“ deformaci zabránit, dochází ke vzniku mechanizmu a daný stav je považován za mezní stav plasticity a zatížení, které ho vyvolalo za mezní zatížení.
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
8
6.2 KRUT V PLASTICITĚ Rozložení napětí: Tento druhý nejjednodušší typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše, a to zejména pro kruhový nebo mezikruhový profil. Smykové napětí v celém průřezu lze totiž popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí:
τ (ρ ) = kde: MK [N⋅mm] JP [mm4] ρ [mm] WK [mm3]
MK ⋅ρ JP
τ max =
resp.
MK , WK
je vnirřní krouticí moment působící v daném místě, je polární kvadratický moment průřezu, je vzdálenost místa průřezu od pólu průřezu, je průřezový modul v krutu.
Rozložení smykových napětí podle tohoto vztahu známe z PP I. Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu: MK
MK 2 = MK pl.
τK
τK
τK
τmax
∅D
MK el.-pl.
MK 1 = MK el.
∅a
∅D
∅D
∅D
elastický stav
konec elastického stav
elasticko-plastický stav
plastický stav
Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (τmax = τK) končí elastický stav průřezu a krouticí moment, který tento stav vyvolá značíme: MK 1 = MK el.:
M K el . = τ K ⋅ WK el . = τ K ⋅
π ⋅ D3 = MK1 . 16
Elasticko-plastický a plastický stav kruhového průřezu Při dalším růstu zatížení (MK > MK el.) již další nárůst napětí v krajních vláknech není podle předpokladu možný, a tak jsou vlákna průřezu na poloměru D/2 namáhána pouze napětím τK a postupně průřez od kraje ke středu plastizuje. Průřez se dostává do elasticko-plastického stavu (má ještě pružné jádro o průměru a a plastický obal na mezikruží a ÷ D). Matematicky můžeme tento stav popsat vztahem: M K = τ K ⋅ WK el .− pl . ,
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
9
Elasticko-plastický modul v krutu kruhového průřezu:
O
M K el .− pl . = M K el . jádra + M K pl .obalu
Moment přenášený elastickým jádrem MK el.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PPI: M K el . jádra = τ K ⋅ WK el . jádra
π ⋅ a3 =τK ⋅ . 16
MK el.-pl.
τK dT
Moment přenášený plastickým obalem MK pl.obalu určíme integrací přes celou zplastizovanou oblast: D 2
ρ3
M K pl .obalu = ∫ ρ ⋅τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 14243 3 a dA 1 4 424 4 3 2 144 42dT444 3
D 2
=τK ⋅
a 2
(
ρ
)
π ⋅ D3 − a3 . 12
dρ
dA
∅a ∅D
dM K
Sečtením obou částí dostáváme hledaný elasticko-plastický moment: M K el .− pl . = τ K ⋅
π 3 π π π ⋅ D3 ⋅ a + τ K ⋅ ⋅ D3 − a3 = τ K ⋅ ⋅ 4 ⋅ D3 − a3 = τ K ⋅ 16 12 48 12
(
)
(
)
1 a 3 ⋅ 1 − ⋅ . 4 D
A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse:
WK el .− pl . =
π ⋅ D3 1 a ⋅ 1 − ⋅ 12 4 D
3
a = D ⇒ WK el . =
⇒
π ⋅ D 3 elastický stav 16 .
a = 0 ⇒ WK pl . =
π ⋅ D 3 plastický stav 12
Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický (vznik tzv. plastické spojky). Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2: D 2
ρ
D 3 2
M K 2 = M K pl . = ∫ ρ ⋅ τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 14243 3 0 1442dA 44 3 144 42dT444 3
=τK ⋅
0
π ⋅ D 3 ⇒ WK 12
pl .
=
π ⋅ D3 . 12
dM K
Poznámka:
MK pl.
τK
D 2
ρ
D 3 2
M K pl . = ∫ ρ ⋅τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = τ K ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 14243 3 d dA 1 4 424 43 2 144 42dT444 3 dM K
d 2
=τ K ⋅
(
)
π ⋅ D3 − d 3 . 12
∅D
Pokud budeme stejným způsobem řešit trubku D/d - mezikruhový průřez namáhaný krutem, dostali bychom obdobný vztah:
∅d Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
10
Zbytková napětí při krutu: Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu kruhového průřezu (∅D) z elasticko-plastického stavu při zatížení momentem MK el.-pl. znamená nejprve popsat skutečná napětí v elastickoplastickém stavu τskut. a následně napětí fiktivní τ fikt., která by v průřezu vznikla při elastickém chování materiálu po celou dobu zatěžování. MK el.-pl.
τ skut.
τ fikt. τK
τ zb. 31 ⋅τ K 24
plast.obal
nebo −
τ zb.
7 ⋅σ K 24
∅D
elast. jádro
r1
∅a
Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny průměru kruhového průřezu (a = ½⋅D). Nejprve tedy vypočteme velikost elasticko-plastického momentu MK el.-pl., který tento stav způsobuje, jako: M K el .− pl . = τ K ⋅
3 3 π ⋅ D3 1 a π ⋅ D3 1 1 31 ⋅ π ⋅ D 3 ⋅ 1 − ⋅ = τ K ⋅ ⋅ 1 − ⋅ = τ K ⋅ . 12 4 D 384 12 4 2
Tento moment vyvolá skutečný průběh napětí τ skut. odpovídající elasticko-plastickému rozložení – kruhová část průřezu od osy až do vzdálenosti D/4 je ještě v elastickém stavu (elastické jádro) a rozložení se řídí Saint-Vénantovou teorií. Zbývající mezikruhová část průřezu od D/4 do D/2 je již plně zplastizovaná a smykové napětí je v nich konstantní rovnající se mezi kluzu (plastický obal). Extrémní hodnotu fiktivního napětí τ extfikt. . na vnějším okraji hřídele vypočteme pomocí elastického průřezového modulu v kroucení WK el., jako by se materiál choval elasticky během celého zatěžování:
τ extfikt. . =
M K el .− pl . WK el .
31⋅ π ⋅ D 3 31 = τ K ⋅ 3842 = ⋅τ K . π⋅D 24 16
Poznámka: Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí τ extfikt. . musí vyjít vyšší než mez kluzu τK, což je opravdu pouze fiktivní stav, protože základní předpoklad technické plasticity je ideální elasticko-plastický model, který při dosažení meze kluzu τK předpokládá „nekonečné“ zkosy a mez kluzu τK již dále nepřekračuje. Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
11 Zbytkové napětí τ zb. vypočteme jako rozdíl skutečného napětí τ skut. a fiktivního napětí τ
fikt .
.
1. Zbytkové napětí vznikající v krajních vláknech průřezu je: 31 7 . fikt . τ zb. okraj = τ skut ⋅τ K = − ⋅τ K . . − τ ext . = τ K − 24 24 2. Další lokální extrém vzniká na hraně elastického jádra, kde je skutečné napětí stále rovno mezi kluzu (τskut. = τK), ale fiktivní napětí τ fikt . je třeba dopočítat podle Saint-Vénantovy teorie za použití kvadratického momentu průřezu jako: 31⋅ π ⋅ D 3 M K el .− pl . D D 31 . τ elfikt. jádra = ⋅ = τ K ⋅ 3844 ⋅ = ⋅τ K . π⋅D J p el . 4 4 48 32 Výsledné zbytkové napětí v tomto místě bude: 31 17 . fikt . τ zb. el . jádra = τ skut ⋅τ K = + ⋅τ K . . − τ el . jádra = τ K − 48 48 3. Místo, kde budou zbytková napětí nulová (τzb. = 0), kromě středu profilu a které popíšeme souřadnicí r1, určíme z jednoduché podmínky:
τ skut . − τ fikt . ( r1 ) = 0 . Odkud dostáváme:
0 =τ K −
M K el .− pl . J p el .
31 ⋅ r1 = τ K ⋅ 1 − ⋅ r1 . 12 ⋅ D
Za předpokladu τK ≠ 0 musí platit: 31 0 = 1 − ⋅ r1 12 ⋅ D
12 ⋅D . 31
r1 =
⇒
Pokud bychom prováděli odlehčení z plně zplastizovaného stavu průřezu (stav odpovídající existenci plastické spojky), budou zbytková napětí na okraji a ve středu průřezu: . fikt . τ zb. okraj = τ skut . − τ max = τ K −
M K pl . WK el .
=τK −
π ⋅ D3 12 = τ − 4 ⋅τ = − 1 ⋅τ , K K K π ⋅ D3 3 3 16
τK ⋅
fikt . τ zb. stř . = τ skut . −τ osa =τ K − 0 =τ K .
MK pl.
τ skut.
τ fikt. τK
pln plast. stav
τ zb.
τ zb.
nebo 1 − ⋅τ K 3
4 ⋅τ K 3 +τK
1 − ⋅τ K 3 +τK
3 ⋅D 8
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
12
Využití vlastností funkce napětí F(y,z) pro řešení krutu v plasticitě: Při řešení krutu v plasticitě lze s výhodou využít některé vlastnosti, které byly zavedeny v kapitole „Krut nekruhových profilů“ a které jsou obecně platné pro jakýkoliv profil (kruh je „zvláštním“ případem nekruhového profilu). Z těchto vlastností využijeme zejména dvě: 1. Spád vrchlíku napětí je úměrný velikosti smykového napětí:
dF =τ , dn
2. Dvojnásobný objem vrchlíku napětí je roven velikosti krouticího momentu: 2 ⋅ ∫ dF = M K . ( A)
ϕ = konst.
ϕ
Z první podmínky pro plastickou spojku, kdy je v celém průřezu smykové napětí rovno mezi kluzu ve smyku τK, vyplývá, že spád vrchlíku napětí musí být konstantní a musí platit: tgϕ = τ K .
Podle druhé podmínky stačí vypočítat objem tělesa MK = 2⋅V sestrojeného nad příčným průřezem řešeného profilu Prandtlův Nádaiův za předpokladu konstantního spádu površek. vrchlík vrchlík Podle této teorie bude mít u kruhu vrchlík tvar kužele, u mezikruhu tvar komolého kužele, u čtverce tvar jehlanu a u dutého čtverce (jekl) bude mít tvar komolého jehlanu.
MK kruhový profil
MK
MK čtvercový profil
mezikruhový profil
MK
dutý čtvercový profil
6.3 OHYB V PLASTICITĚ Rozložení napětí: Tento typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše. Ohybové napětí v celém průřezu lze totiž popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí:
σ (η ) =
Mo ⋅η Jz
resp.
σ o max =
Mo , Woz
kde Mo je ohybový moment působící v daném místě, Jz je osový kvadratický moment průřezu k ose z, η je vzdálenost místa průřezu od neutrální osy průřezu (předpokládáme rovinný ohy on ≡ z), Woz je průřezový modul v ohybu k ose z. Rozložení ohybových napětí podle tohoto vztahu odvodil Bernoulli a známe ho z PP I a např. pro obdélník b×h bude podle prvního obrázku. Další postup plastizace je patrný z dalších obrázků: Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
13 Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu: y Mo 2 = Mo pl.
Mo el.-pl.
Mo 1 = Mo el.
h
a
Mo
z
elastický stav
σK
σK
σo max
b
konec elastického stavu
σK
elasticko-plastický stav
plastický stav
Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu (σo max = σK) končí elastický stav průřezu a ohybový moment, který tento stav vyvolá značíme: Mo1 = Mo el. M o el . = σ K ⋅ Woz el . = σ K ⋅
b ⋅ h2 . 6
Při dalším růstu zatížení (Mo > Mo el.) již další nárůst napětí není podle předpokladu možný, a tak vnější vlákna průřezu jsou namáhána pouze napětím σK a postupně plastizují. Průřez se dostává do elasticko-plastického stavu - má pružné jádro o výšce a a plastický obal na v oblasti od a/2 ÷ h/2 v horní i dolní části průřezu. Matematicky můžeme tento stav popsat vztahem: M o = σ K ⋅ Woz el .− pl . .
O
Elasticko-plastický modul průřezu v ohybu obdélníkového průřezu: Celkový elasticko-plastický moment je součtem momentu, který přenáší elastické jádro a momentu, který přenáší plastický obal řešeného obdélníkového průřezu: M o el .− pl . = M o el . jádra + M o pl .obalu , Moment přenášený elastickým jádrem Mo el.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PPI: M o el.jádra = σ K ⋅ Woz el.jádra = σ K ⋅
b ⋅ a2 . 6
Moment přenášený plastickým obalem Mo pl.obalu určíme integrací přes celou zplastizovanou oblast: σ K
Mo el.-pl.
a
M o pl .obalu = 2 ⋅ ∫ y ⋅ σ K ⋅ b{ ⋅ dy = a dA 1424 3 2 dN 14243
h
dN
h 2
dA
dM o
y2 =σ K ⋅2⋅b⋅ 2
h 2 a 2
(
)
b = σ K ⋅ ⋅ h2 − a2 . 4
b Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
14 Sečtením obou částí dostáváme hledaný celkový elasticko-plastický moment přenášený průřezem: b ⋅ a2 b b b ⋅ h2 + σ K ⋅ ⋅ h2 − a 2 = σ K ⋅ ⋅ 3 ⋅ h2 − a2 = σ K ⋅ M o el .− pl . = σ K ⋅ 6 4 12 4
(
)
(
)
1 a 2 ⋅ 1 − ⋅ . 3 h
A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse: b ⋅ h2 a = h ⇒ Wo el . = elastický stav 2 6 b ⋅ h2 1 a . Wo el .− pl . = ⋅ 1 − ⋅ ⇒ 4 3 h 2 b⋅h a = 0 ⇒ Wo pl . = plastický stav 4 Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický. Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2: h 2
M o 2 = M o pl . = 2 ⋅ ∫ y ⋅σ K ⋅ b ⋅ dy = σ K ⋅ 2 ⋅ b ⋅ 0
h 2 2
y 2
0
b b ⋅ h2 . = σ K ⋅ ⋅ h 2 ⇒ Wo pl . = 4 4
Výpočty pro jiné průřezy bychom prováděli obdobně. Obecně platí, že plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. stanovíme jako dvojnásobek statického momentu poloviny řešeného průřezu k neutrální ose v plasticitě on pl.. Protože musí platit silová rovnováha do osy prutu x i v plastickém stavu (∫dN = 0), nemusí nutně tato osa procházet těžištěm profilu T. Neutrální osa v plasticitě on pl. dělí průřez na dvě stejné části (Ahor. = Adol.), aby výsledná síla působící nad on pl. byla stejně velká jako výsledná síla působící pod on pl.:
σK⋅Ahor. = Fhor. = Fdol. = σK⋅Adol. .
Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
15 Plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. Přehled plastických průřezových modulů v ohybu Wo pl. a z nich plynoucí velikosti plastických momentů Mo pl., které způsobí vznik plastického kloubu je pro vybrané profily v následující tabulce:
h
on pl.
h h b ⋅ h2 Wo pl . = 2 ⋅ b ⋅ ⋅ = 2 4 4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
b ⋅ h2 4
on pl.
a a a3 Wo pl . = 2 ⋅ a ⋅ ⋅ = 2 4 4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
a3 4
⇒
M o pl . = σ K ⋅
b
a a
on pl.
Wo pl . = 2 ⋅
a2 1 2 2 ⋅ a3 ⋅ ⋅a⋅ = 2 3 2 6
a
a
Vzdálenost těžiště půlkruhu od průměru je:
on pl. ∅D
π ⋅ D 2 4 D D3 Wo pl . = 2 ⋅ ⋅ ⋅ = 8 3⋅ π 2 6
on pl. a t
Wo pl . = a ⋅ t ⋅
h t 1
4 D ⋅ . 3⋅ π 2
M o pl . = σ K ⋅
⇒
h je výška
celého profilu
t
t on pl.
a ⋅t ⋅ (a + t ) 2
Ahor . = Adol . = t ⋅ a .
h − t2 h t h Wo pl. = 2 ⋅ b ⋅ t2 ⋅ − 2 + t1 ⋅ − t2 ⋅ 2 = 2 2 2 2
t2
b
b
eT =
Profil je volen tak, aby pásnice měla stejnou plochu jako stojina:
on pl.
h
⇒
a t a ⋅t +t ⋅a⋅ = ⋅ (a + t ) 2 2 2
2 ⋅a . 6
D3 M o pl . = σ K ⋅ 6
Vzdálenost těžiště půlky čtverce od úhlopříčky je:
a
t
eT =
2 ⋅ a3 6
h = b ⋅ t2 ⋅ (h − t2 ) + t1 ⋅ − t2 2
2
⇒
2 h Mo pl. = σ K ⋅ b⋅ t2 ⋅ (h − t2 ) + t1 ⋅ − t2 2
h h h h2 Wo pl. = 2 ⋅ b ⋅ t ⋅ + t ⋅ ⋅ = t ⋅ b ⋅ h + 2 2 4 4
⇒
h2 M o pl . = σ K ⋅ t ⋅ b ⋅ h + 4
h je výška celého profilu tloušťka t << h, b
Všechny předchozí výpočty využívají fakt, že plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. je dvojnásobným statickým momentem poloviny plochy průřezu Son k neutrální ose v ohybu v plasticitě on pl., která nemusí procházet těžištěm ale musí dělit profil na dvě shodné plochy: Ahor. = Adol. (Ahor. + Adol. = A). Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
16
Zbytková napětí při ohybu: Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu obdélníkového průřezu (b×h) z elastickoplastického stavu při zatížení momentem Mo el.-pl. znamená nejprve popsat skutečná napětí v elasticko-plastickém stavu σo skut. a následně napětí fiktivní σofikt., která by v průřezu vznikla při elastickém chování materiálu po celou dobu zatěžování.
σo skut.
σofikt.
σo zb.
σo zb.
nebo
elast.jádro +
plast.obal σK
b
11 ⋅σ K 8
5 ⋅σ K 16
x1
e
a
h
plast.obal
3 − ⋅σ K 8
Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny obdélníkového průřezu (a = ½⋅h). Nejprve tedy vypočteme velikost elasticko-plastického momentu Mo el.-pl., který tento stav způsobuje, jako: M o el .− pl . = σ K ⋅
2 b ⋅ h2 1 1 11 ⋅ b ⋅ h 2 ⋅ 1 − ⋅ = σ K ⋅ . 4 3 2 48
Tento moment vyvolá skutečný průběh napětí σo skut. odpovídající elasticko-plastickému rozložení – od osy až do vzdálenosti ±h/4 je průřez ještě v elastickém stavu (elastické jádro) a rozložení se řídí Bernoulliho teorií. Zbývající části průřezu od ±h/4 do ±h/2 jsou již plně zplastizovány a ohybové napětí je v nich konstantní rovnající se mezi kluzu (plastický obal). Další výpočty všech napětí provedeme pro spodní – tedy tahovou – polovinu řešeného průřezu. Maximální fiktivní napětí σ ofiktmax. vypočteme pomocí elastického průřezového modulu v ohybu Wo el., jako by se materiál choval elasticky během celého zatěžování:
σ ofiktmax. =
M o el .− pl . Wo el .
11 ⋅ b ⋅ h 2 11 = σ K ⋅ 48 2 = ⋅ σ K . b⋅h 8 6
Poznámka: Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí σ ofiktmax. musí být vyšší než mez kluzu σK, což je opravdu pouze fiktivní stav, protože základní předpoklad technické plasticity je ideální elasticko-plastický model, který při dosažení meze kluzu σK předpokládá „nekonečné“ deformace a mez kluzu σK již dále nepřekračuje. Zbytkové napětí σ o zb. vypočteme jako rozdíl skutečného napětí σo skut. a fiktivního napětí σ ofikt . . Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
17 Zbytkové napětí vznikající v krajních vláknech průřezu je:
σ o zb. okraj = σ o. skut . − σ ofiktmax. = +σ K −
11 3 ⋅σ K = − ⋅σ K . 8 8
Další lokální extrém vzniká na hraně elastického jádra, kde je skutečné napětí stále rovno mezi kluzu (σo skut. = σK), ale fiktivní napětí σ ofikt . je třeba dopočítat podle Bernoulliho teorie za použití kvadratického momentu průřezu jako:
11 ⋅ b ⋅ h 2 M o el .− pl . a h 11 . σ ofikt ⋅ = σ K ⋅ 48 3 ⋅ = ⋅ σ K . el . jádra = J z el . 2 b⋅h 4 16 12 Výsledné zbytkové napětí v tomto místě bude:
σ o zb. el . jádra = σ o. skut . − σ ofiktel .. jádra = σ K −
11 5 ⋅σ K = + ⋅σ K . 16 16
Místo, kde budou zbytková napětí nulová (σo zb. = 0), kromě neutrální osy procházející těžištěm průřezu, určíme z jednoduché podmínky:
σ o skut . − σ ofikt . ( x1 ) = 0 . Odkud dostáváme: 0 =σ K −
M o el .− pl . J z el .
11 ⋅ x1 = σ K ⋅ 1 − ⋅ x1 4⋅h
11 ⋅ x1 0 = 1 − 4⋅h
⇒
⇒
x1 =
4 ⋅h . 11
Pokud bychom prováděli odlehčení z plně zplastizovaného stavu průřezu (stav odpovídající existenci plastického kloubu), budou zbytková napětí na okraji a ve středu průřezu: . σ o zb. okraj = σ o. skut . − σ ofikt max = σ K −
M o pl . Wo el .
=σK −
b⋅h2 4 = σ − 3 ⋅ σ = − 1 ⋅σ , K K K 2 b⋅h 2 2 6
σK ⋅
. σ o zb. stř . = σ o skut . − σ ofikt stř . = σ K − 0 = σ K .
σofikt.
σo zb.
+σK
plast.kloub
σK
3 ⋅σ K 2
nebo
σo zb.
2⋅h/3
σo skut.
1 − ⋅σ K 2
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
18
6.4 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI Všechny předchozí úvahy se týkaly jednoosé napjatosti při známé mezi kluzu v tahu/tlaku resp. napjatosti čistého smyku při volném krutu a známé mezi kluzu ve smyku. Za počátek plastizace byl považován stav, kdy jednoosá napjatost resp. napjatost čistého smyku dosáhne meze kluzu v tahu/tlaku σK (Re) resp. meze kluzu ve smyku τK. V případě víceosé napjatosti je třeba uvažovat „interakci“ jednotlivých složek a jejich podíl na celkovém stavu napjatosti řešeného místa. V těchto případech je třeba počátek plastického stavu určit pomocí PODMÍNKY PLASTICITY (obdoba teorie/hypotézy pružnosti). Stejně jako v elastickém stavu existuje i v plasticitě celá řada teorií, ale nejjednodušší a nejpoužívanější jsou dnes dvě hlavní.
Podmínky plasticity: 1. Saint-Vénantova podmínka Tato podmínka odpovídá známé Trescově hypotéze resp. hypotéze τMAX. Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li průměr největší Mohrovy kružnice roven mezi kluzu:
σ max − σ min = σ K . Pokud známe pořadí velikostí hlavních napětí σ1 > σ2 > σ3, můžeme Saint-Vénantovu podmínku psát:
σ1 − σ 3 = σ K . Opět si povšimněte faktu, že o počátku plastizace rozhodují jen dvě ze tří hlavních napětí – největší σ1 a nejmenší σ3. Prostřední napětí σ2 ve vztazích vůbec nevystupuje. Výhodou této podmínky je její jednoduchost, která nekomplikuje výpočty. 2. Energetická podmínka Tato podmínka je také nazývána podle svých autorů (Huber-Mieses-Hencky) a odpovídá známé energetické hypotéze resp. hypotéze H.M.H. Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li intenzita napětí σi rovna mezi kluzu:
σi = σK . Tento výraz můžeme zapsat podle známých vztahů z PP I ve tvaru:
(
)
2 ⋅ (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6 ⋅ τ x2 + τ y2 + τ z2 = σ K . 2 Známe-li velikostí hlavních napětí σ1,2,3 (na pořadí nezáleží), můžeme energetickou podmínku psát: 2 ⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 = σ K . 2 V tomto případě o počátku plastizace rozhodují všechna tři hlavní napětí – σ1, σ2 a σ3. Ovšem vzhledem ke komplikovanému tvaru se s touto podmínkou obtížněji počítá. Rozdíl mezi oběma teoriemi je obdobně jako v elastickém stavu cca 15% (St-Vénant je „konzervativnější“). Podklady pro přednášky z Pružnosti a pevnosti II a IIA (211 1002 a 211 A002) Zimní semestr akademického roku 2012/2013
19 Protože však v plastické oblasti neplatí Hookův zákon, je třeba ho při výpočtech nahradit něčím jiným – TEORIÍ PLASTICITY. Nejčastěji se používá Hencky-Nádayova teorie plasticity. Hencky-Nádayova teorie plasticity Tato teorie mezi sebou váže hlavní napětí σ1,2,3 a hlavní přetvoření ε1,2,3 (obdobně jako Hookův zákon):
ε1 =
εi σi
ε 1 ⋅ σ 1 − ⋅ (σ 2 + σ 3 ) , ε 2 = i 2 σi
ε 1 ⋅ σ 2 − ⋅ (σ 3 + σ 1 ) a ε 3 = i 2 σi
1 ⋅ σ 3 − ⋅ (σ 1 + σ 2 ) . 2
Obdoba s rozšířeným Hookovým zákonem je patrná. Modul pružnosti E je nahrazen podílem
εi/σi a Poissonovo číslo µ je nahrazeno konstantou ½ (ideální hodnota součinitele příčné kontrakce při platnosti zákona zachování objemu, který ideální plasticita předpokládá).
σi =
2 ⋅ (σ 1 − σ 2 ) 2 + (σ 2 − σ 3 ) 2 + (σ 3 − σ 1 ) 2 . 2
Intenzita deformací je: ε i =
2 ⋅ (ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2 . 3
Intenzita napětí je:
Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky
Jan Řezníček
PRUŽNOST A PEVNOST II – TECHNICKÁ PLASTICITA Podklad pro přednášky v bakalářských bakalářských studijních studijních programech: programech: „Teoretický „Teoretický základ strojního inženýrství“ inženýrství“ a „Strojírenství“ a pro navazující magisterské studijní programy: „Strojní inženýrství“, „Jaderná energetická zařízení“ zařízení“ a „Inteligentní budovy“. Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6, Vystaveno dne 4. PPROSINCE 2012 na: http://www.pruznost.unas.cz na: Vydání první 20 stran, 23 obrázky. obrázky.
