VŠB - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra elektrických strojů a přístrojů
Předmět:
Elektrické přístroje
Protokol č.7
Výpočet tepelných účinků elektrického proudu
Skupina: Datum:
Vypracoval:
-1-
Zadání:
1) Pojistkový vodič kruhového průřezu o délce l a průměru D se přetaví proudem - Vvyjádřete závislost tavného proudu na průměru vodiče I=f(D) - Jjakým proudem ID//D se přetaví dva takové paralelní vodiče umístěné těsně vedle sebe? Stanovte závislost ID//D=f (I) - Jakým proudem I2D se přetaví vodič o průměru 2D? Vyjádřete závislost I2D=f(D) a I2D=f(ID). - Jakým proudem InD se přetaví vodič o průměru n.D? Vyjádřete závislost InD=f(D) a InD/I = f(n)
mm2 s kontaktem,
2) Určete rozložení teploty podél vodiče kruhového průřezu S = který je protékán proudem I = 100A. Teplota okolí je ϑo =
O
C , měrná tepelná
vodivost vodiče je λ= 390W.m-1K-1, měrná chladivost povrchu vodiče α = 10 W.m2.K-1. Přítlačná kontaktní síla F = 125 N.. Stykový odpor kontaktu RS= k.F-n. Kontakt uvažujeme přímkový s čelním dotykem,kde n = 0.7 až 0.8.Materiál kontaktů volte měď s materiálovou konstantou k = 0,0005. Měrný odpor mědi ρ= 1/57 Ωmm2.m-1. 3) Určete rozložení tepla podél rovinné desky o třech vrstvách, platí-li λ1< λ2< λ3< λ4< α (hodnoty viz tabulka dle skupin vzadu) 4) Určete rozložení tepla podél izolace kabelu o třech vrstvách, platí-li λ1> λ2> λ3> λ4> α a určete náhradní součinitel přestupu tepla αon (hodnoty viz tabulka dle skupin vzadu)
-2-
1. Výpočty závislostí tavných proudů na průměru vodičů: Výpočet závislosti tavného proudu I na průměru vodiče D. Vycházíme z rovnice tepelné rovnáhy R.I 2 dt = α o . A.Θ.dt
kde
l l l = ρ. = 4ρ. 2 2 S π .D πD 4 A…….je povrch vodiče, A = π .D.l Dosazením do rovnice tepelné rovnováhy obdržíme vztah pro závislost tavného proudu na průměru vodiče. R…… je odpor vodiče,
R = ρ.
π α o .Θ.D 3 I= 2 ρ Výpočet závislosti tavného proudu ID//D na průměru vodičů umístěných těsně vedle sebe. Vycházíme z toho, že teplo je odváděno do okolí povrchem tvořeným elipsou.
A = (2.D + π .D ).l
a
odpor dvou paralelních vodičů
R = 2.ρ
l π .D 2
Tyto vztahy dosadíme do rovnice tepelné rovnováhy vyjádříme ID//D. V dalším kroku vyjádříme závislost ID//D = f(I) tak že provedeme I D // D a z toho vyjádříme ID//D I Výpočet závislosti tavného proudu I2D vodiče s průměrem 2D Do vztahu pro tavný proud vodiče o průměru D dosadíme průměr 2D. Obdobně jako v předchozím případě dále vyjádříme závislost I2D = f(I).
-3-
Výpočet tavného proudu InD vodiče o průměru n.D Zde opět do vztahu pro výpočet tavného vodiče o průměru D dosadíme za tento rozměr n.D a postupujeme v předchozích případech a vyjádříme a graficky znázorníme InD = f(I).
2. Určení rozložení teploty podél vodiče s kontaktem:
Průchodem proudu I místem styku (se stykovým odporem RS ) vzniká tepelný tok Φ1, který vstupuje do elementu dx ve vzdálenosti x od místa styku. Z elementu dx vystupuje tepelný tokΦ2. Průchodem proudu I elementem dx vzniká tepelný tok dΦ3. Povrchem elementu je odváděn do okolí tepelný tok dΦ4. Na počátku elementu dx je teplota Θ, na výstupu z elementu teplota Θ +dΘ. Musí platit podmínka tepelné rovnováhy
Φ 1 + dΦ 3 = Φ 2 + dΦ 4
kde můžeme jednotlivé toky a přírůstky vyjádřit:
tepelný tok vstupující do elementu
Φ 1 = −λ.S .
dΘ dx
tepelný tok vystupující z elementu
Φ 2 = −λ.S .
d (Θ + dΘ ) dx
(znaménko – je zde z důvodu toku od teplejšího místa k místu chladnějšímu).
-4-
tepelný tok vzniklý v elementu vodiče průchodem proudu I
dΦ 3 = I 2 dR = I 2
ρ dx S
tepelný tok odvedený povrchem elementu do okolí
dΦ 4 = α o .O.Θ.dx
kde O je obvod vodiče.
Dosazením do rovnice tepelné rovnováhy dostáváme
dΘ ρ d (Θ + dΘ ) + I 2 . dx = −λ .S + α o O.Θ.dx dx S dx dΘ d (Θ + dΘ ) 1 dx − α o O.Θ.dx − λ.S + λS =0 /. dx dx dx dΘ d (Θ + dΘ ) − α o O.Θ − λ.S 2 + λS = 0 no a dále dx dx 2
− λ.S . ρ S ρ I 2. S I 2.
ρ d 2Θ I . − α o O.Θ + λ.S 2 = 0 S dx 2
převedením a vynásobením / .
1 λ .S
dostaneme diferenciální rovnici
d 2 Θ α o .O.Θ ρ 2 − = − I . λ .S λ.S dx 2 Obecné řešení této diferenciální rovnice je ve tvaru
Θ = C1e − βx + C 2 .e βx + Θ ∞
α oO β= λ.S
a
kde
Θ∞ =
I 2ρ α o .O.S
Θ ∞ = oteplení v místě x→ ∞ Vzhledem k tomu, že teplota nemůže růst do nekonečna a β je kladné číslo, musí integrační konstanta C2 být rovna 0. a pak
Θ = C1e − βx + Θ ∞ Integrační konstantu C1 určíme z okrajové podmínky
-5-
Φ1 (0) =
1 R S .I 2 2
Neboli tepelný tok Φ1 v místě styku (x = 0) je vyvolán tepelnou energií vniklou průchodem proudu I kontaktním odporem RS. Tento tok se však šíří na obě strany vodiče, proto bereme v úvahu jen jeho polovinu. Porovnáním této podmínky se vzorcem pro tepelný Φ1 dostaneme
1 dΘ RS I 2 = −λ.S . 2 dx x =0
a z toho lze
RS I 2 dΘ =− 2λ.S dx x =0 Provedeme derivaci obecného řešení v bodě x = 0
dΘ = − β .C1 a porovnáním obdržíme integrační konstantu C1 dx x =0 RS I 2 C1 = 2β .λ.S A výsledné partikulární řešení je
RS I 2 −βx Θ( x ) = e + Θ∞ 2β .λ.S Dále vypočteme průměr vodiče D z průřezu vodiče S, obvod povrchu vodiče O, stykový odpor RS, velikost konstanty β a určíme ustálené oteplení
I 2 .ρ Θ(∞ ) = α o .O.S
a
maximální oteplení vodiče (v místě styku x = 0)
Θ max
RS I 2 = + Θ∞ 2 β .λ.S
Vyneseme graf rozložení teploty podél vodiče.
-6-
3. Určení rozložení tepla podél rovinné desky o třech vrstvách Musíme určit velikosti jednotlivých tepelných odporů na základě zadaných hodnot.
RT 1 =
1 l1 . λ1 S
RT 2 =
1 l2 . λ2 S
RT 3 =
1 l3 . λ3 S
Teplota na rozhraní jednotlivých desek (tepelný tok do stran desek považujeme za nulový).
ϑ1 = ϑ0 − Φ.RT 1 ϑ2 = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 ) = ϑ0 −
Φ l1 l2 + S λ1 λ2
ϑ3 = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 + RT 3 ) = ϑ0 − ϑokoli = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 + RT 3 +
Φ l1 l 2 l3 + + S λ1 λ2 λ3
l l 1 Φl 1 ) = ϑ0 − 1 + 2 + 3 + αoS S λ1 λ2 λ3 α o
Teplotní spád v jednotlivých deskách je přímo úměrný velikosti tepelného odporu jednotlivých desek.
Nakreslete rozložení teploty v deskách a okolí.
-7-
4.
Určení rozložení tepla podél izolace kabelu o třech vrstvách
RT 1 =
r 1 . ln 2 2π .l.λ1 r1
RT 2 =
r 1 . ln 3 2π .l.λ2 r2
RT 3 =
r 1 . ln 4 2π .l.λ3 r3
Teploty na rozhraní
ϑ1 = ϑ0 − Φ.RT 1 ϑ2 = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 ) ϑ3 = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 + RT 3 ) ϑokoli = ϑ0 − Φ.( RT 1 + RT 2 + RT 3 +
1 ) α o PV
kde PV je povrch vnější izolace (poloměr r4). Průběh teploty znázorněte graficky. Určení náhradního součinitele přestupu tepla αonahr. Náhradní součinitel přestupu tepla určíme z celkového tepelného odporu kabelu RTC =
1 α onahr .PV
RT 1 + RT 2 + RT 3 +
1 1 = α o .PV α onahr .PV
Po úpravě určíme náhradní součinitel přestupu tepla do okolí αonahr.
Závěr:
-8-
Tabulka zadaných hodnot: Bod 2. Skupina
I = [A]
S = [mm2]
1,6,11 2,7,12 3,8 4,9 5,10
100 110 120 120 100
50 50 60 60 55
ϑokoli = [ oC] 40 35 30 35 30
Bod 3. λ1 λ λ/2 λ λ/3 λ
Skupina 1,6,11 2,7,12 3,8 4,9 5,10
λ2 2λ λ 2λ λ/2 4/3λ
λ3 3λ 2λ 3λ 7/4λ λ
l1 l 2l l 3/2l l
l2 l/2 l l/2l 2/3l 2/3l
l3 l l/2 l/3 l 2l
Bod 4 Skupina
λ1
λ2
λ3
r1
r2
r3
r3
1,6,11 2,7,12 3,8 4,9 5,10
λ 3λ 2λ 7/2λ 3λ
1/4λ λ λ 3/2λ λ
2/9 λ λ/3 λ/5 λ λ/4
1/3r r r r/2 r/2
2/3r 2r 2r 3/4r r
r 5/2r 3r 7/5r 3/2r
5/3r 3r 4r 2r 5/3r
-9-
αo[Wm-2K-1] 10 7,5 10 15 12,5
