Diferenciální rovnice 1

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1

Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru , , , … ,   = 

Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému. Přitom je funkce, kterou budeme při řešení rovnice hledat,  je její argument. Diferenciální rovnice n-tého řádu v explicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru  = , , , … ,  

V explicitním tvaru je tedy přímo vyjádřena nejvyšší derivace neznámé funkce. Víme, že derivace funkcí lišících se pouze o konstantu jsou stejné, neboli +  = ′ kde 

Z toho je zřejmé, že pokud bude mít diferenciální rovnice řešení, bude jich nekonečně mnoho a budou se lišit o reálnou konstantu. Cauchyho úloha je diferenciální rovnice doplněná počátečními podmínkami. Jde o soustavu rovnic  = , , , … ,       =   …

  = 

Počáteční podmínky jednoznačně určují hodnotu konkrétních derivací nižších řádů. Tím určují jednoznačně i řešení diferenciální rovnice. Cauchyho úloha má tedy obvykle jedno nebo žádné řešení. Poznámka V dalším textu budou uváděny netriviální metody řešení konkrétních typů diferenciálních rovnic. Je třeba si uvědomit, že některé diferenciální rovnice mají i takzvané triviální řešení, kterým obvykle je nějaká konstantní funkce. Při řešení konkrétních úloh je tedy vhodné hned na začátku zjistit, zda nějaké takové triviální řešení existuje.

Diferenciální rovnice typu  =  

Diferenciální rovnice tohoto typu se řeší přímo integrací obou stran takto: =    =   

Při této integraci je dobré si uvědomit, že můžeme chápat jako  , které známe z běžné integrace. Dostaneme ∀∃

1

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 =    

Cauchyho úloha tohoto typu se řeší stejným způsobem. Počáteční podmínka se využije k nalezení integrační konstanty. Příklad 1 = 2 + 3 + 1 = 5  Nejprve budeme řešit diferenciální rovnici integrováním obou stran 1 % '  ′ =  2 + 3 +  = 2 + 3 + ln  +   4 2 Zde a v dalším textu řešení tohoto příkladu je . Odtud po úpravě % ' = + 3 + ln  +  2 2 Dostali jsme obecné řešení dané diferenciální rovnice. Nyní vyřešíme zadanou Cauchyho úlohu dosazením počáteční podmínky do obecného řešení. 1 = 5 1% 1' + 3 + ln 1 +  = 5 2 2 1 3 + +0+ =5 2 2 2+ =5 =3 Takto vypočtenou konkrétní integrační konstantu odpovídající dané počáteční podmínce dosadíme do obecného řešení a dostáváme tak řešení zadané Cauchyho úlohy. % ' = + 3 + ln  + 3 2 2 Řešení úlohy je ještě nutné doplnit oborem, ve kterém má toto řešení smysl. Jde o definiční obou funkce . V našem případě ,- = 0, +∞. Zkouška Všechny naše výpočty bychom měli kontrolovat zkouškou, je-li to možné. V tomto případě musíme ověřit jak správnost řešení diferenciální rovnice, tak shodu s počáteční podmínkou. Nalezené řešení Cauchyho úlohy tedy nejprve derivujeme

% ' 4 2 1 1 = / + 3 + ln  + 30 = + 3 + + 0 = 2 + 3 + 2 2 2 2   Vidíme, že řešení odpovídá zadané diferenciální rovnici. Nyní ověříme počáteční podmínku 1% 1' 1 3 1 = + 3 + ln 1 + 3 = + + 0 + 3 = 2 + 3 = 5 2 2 2 2 Vidíme, že naše řešení splňuje i zadanou počáteční podmínku. Můžeme tedy konstatovat, že námi nalezené řešení Cauchyho úlohy odpovídá zadání.

Separovatelné diferenciální rovnice

Separovatelné diferenciální rovnice jsou diferenciální rovnice, které umožňují oddělit neznámou od argumentu  na různé strany rovnice. Mají tedy obecný tvar ∀∃

2

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 =   ∙ 2 

′ =   2  Po tomto kroku se rovnice řeší přímo integrací obou stran. ′  =     2  Pokud se nám z výsledku podaří vyjádřit přímo neznámou funkci pomocí výrazu obsahujícího přímo argument , dostáváme řešení v explicitním tvaru. Pokud se nám to nepodaří, dostáváme řešení v implicitním tvaru. Příklad Určete množinu všech řešení diferenciální rovnice = 3 ' ' Separujeme ′ = 3 ' ' Integrujeme ′  ' =  3 '  Provedeme separaci proměnných

 ' ′ =  3 ' 

  =3 + −1 3 Zde a v dalším textu řešení tohoto příkladu je . 1 − = + Odtud můžeme hledanou funkci vyjádřit explicitně 1 =−  + Definičním oborem nalezeného řešení je množina, na které výraz na pravé straně dává smysl, neboli ,- = −∞, √  ∪ √ , +∞ 5

5

Zkouška Derivujeme obě strany řešení tak, aby levá strana odpovídala zadání.

1 0 ∙  +  − 1 ∙ 3 ' + 0 −3 ' 3 ' = 7− = − = 8 =−  + '  + '  + '  + Nyní dosadíme řešení a jeho derivaci do zadané rovnice = 3 ' ' ' 3 ' 1 ' = 3 7− 8  + '  + Po úpravě dostáváme 3 ' 3 ' =  + '  + ' Tím jsme ověřili správnost nalezeného řešení.

∀∃

3

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1

Diferenciální rovnice s homogenní funkcí Diferenciální rovnice s homogenní funkcí mají obecný tvar =  9 :  Tyto rovnice řešíme tak, že zavedeme substituci (pro jistotu je dobré uvědomit si, že ; je funkcí ) ; =  ∈  − =0>  V této substituci tedy platí = ; A po zderivování = ;  + ; Dosadíme do původní rovnice a dostaneme ;  + ; =  ; Vyjádříme rovnicí v explicitním tvaru 1 ; =  ; − ;  Je jasně patrné, že tato rovnice je separovatelná a umíme ji tedy řešit. Separujeme ;′ 1 =  ; − ;  Integrujeme ;′ 1  =    ; − ;  Po integraci pravé strany ;′ = ln  +  kde    ; − ; Po integraci levé strany provedeme zpětnou substituci a dojdeme k řešení. Příklad Určete množinu všech řešení diferenciální rovnice = 1 +  Zavedeme substituci ; =  ∈  − =0> = ; = ;  + ;  Dosadíme do původní rovnice ;  + ; = 1 + ; Upravíme ;  = 1 Separujeme 1 ; =  Integrujeme ; = ln|| +  kde  ∈  Provedeme zpětnou substituci = ln|| +   ∀∃

4

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1 =  ln|| + 

Po úpravě dostáváme obecné řešení

 ≥ 0:  ln  +   < 0:  ln − + 

Které můžeme zapsat i takto

Zkouška Obecné řešení a jeho derivaci (derivace součinu)

Dosadíme do zadané rovnice

= ln|| +  +

Tím je správnost řešení ověřena.

 +  ∙ 0 = ln || + 1 

  ln || ln || + 1 = 1 +  ln || + 1 = 1 + ln || = 1 +

Diferenciální rovnice typu  =  9

FGHGI

JGKGL

Rovnice tohoto typu má pět speciálních případů

Primitivní případ F = H = J = K = M V tomto případě je rovnice ve tvaru

Řešení je velmi jednoduché.

Separované proměnné H = K = M V tomto případě je rovnice ve tvaru

:

N =  7 8 O

=  7

Zde máme separované proměnné, řešení je jasné.

 + N 8 P + O

Provázané koeficienty HQ + KQ ≠ M ; FK − JH = M V tomto případě platí  P = T ;  ≠ 0  Část jmenovatele tedy můžeme vyjádřit takto  T P + T = T + T =  +     Rovnici tedy můžeme přepsat do tvaru

 +  + N V T  +   + O  Nyní si stačí uvědomit, že je-li řešením této rovnice, pak ; =  +  musí být řešením separovatelné rovnice =  U

∀∃

5

TEORIE K M1B

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1

;+N V T ;+O  Tuto rovnici umíme řešit. Pak pokračujeme zpětnou substitucí. Stejné úvahy jen s malou změnou bychom prováděli pro případ, že platí T ≠ 0 ; =  +  ∙  U

Homogenní případ I = L = M V tomto případě má naše rovnice tvar

 +  8 P + T Tento tvar snadno převedeme na (čitatele i jmenovatele zlomku vydělíme ) + V

= U P+T  Poslední tvar je diferenciální rovnice s homogenní funkcí. Tu umíme řešit.

Vše ostatní T − P ≠ 0 Diferenciální rovnice má tvar

Zavedeme transformaci

=  7

=  7

 +  + N 8 P + T + O

 = W + X ; = W + Y

X + Y + W +  W + N Y Y    =Z [ ∙ =Z [ ∙ = 7 8 X  \]\^ G_ X  \]\^ G_ X PX + TY + PW + T W + O Konstanty W , W zvolíme tak, aby W +  W + N = 0 PW + T W + O = 0 To je jistě možné, jde o řešení soustavy o dvou neznámých. Přitom je možnost více řešení vyloučena předchozími body. Tak dostaneme diferenciální rovnici X + Y Y′ =  7 8 PX + TY Tuto rovnici řešíme podle předchozí metody (homogenní případ). Je-li Y X řešením tohoto homogenního případu, pak  = W + Y  − W  je řešením původní rovnice a naopak. Potom je

∀∃

Y =

6