Z´apadoˇcesk´a univerzita v Plzni Fakulta aplikovan´ ych vˇed Katedra matematiky
Deskriptivn´ı geometrie 2 Pomocn´y uˇcebn´ı text - d´ıl I
Svˇetlana Tomiczkov´a
Plzeˇn – 12. u´nora 2016 – verze 2.0
2
Autoˇri
Obsah 1 Element´ arn´ı plochy a tˇ elesa 1.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Jehlanov´a plocha, jehlan . . . . . . . . . 1.1.2 Hranolov´a plocha, hranol . . . . . . . . . 1.1.3 Kuˇzelov´a plocha, kuˇzel . . . . . . . . . . 1.1.4 V´alcov´a plocha, v´alec . . . . . . . . . . . 1.1.5 Kulov´a plocha, koule . . . . . . . . . . . ˇ 1.1.6 Rezy na element´arn´ıch ploch´ach . . . . . 1.1.7 Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a element´arn´ı plochy . . 1.1.8 Pr˚ unik jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch 1.1.9 Teˇcn´a rovina . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kontroln´ı ot´azky . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2 Kˇ rivky 2.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Klasifikace kˇrivek . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Teˇcna a norm´ala kˇrivky . . . . . . . . . . 2.1.3 Klasifikace bod˚ u kˇrivky . . . . . . . . . . . 2.1.4 Rektifikace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Oskulaˇcn´ı rovina a oskulaˇcn´ı kruˇznice . . . 2.1.6 Ob´alka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7 Ekvidistanta . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.8 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.9 Evoluta a evolventa . . . . . . . . . . . . . ˇ ıd´ıc´ı kuˇzelov´a plocha . . . . . . . . . . . 2.1.10 R´ ˇ 2.2 Sroubovice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Parametrick´e vyj´adˇren´ı ˇsroubovice . . . . 2.2.3 Teˇcna ˇsroubovice a jej´ı pr˚ uvodn´ı trojhran . 2.3 Kontroln´ı ot´azky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
5 5 5 5 6 7 7 7 9 12 15 15
. . . . . . . . . . . . . . . .
17 17 17 18 18 18 19 20 20 20 21 21 22 22 23 23 25
3 Obecn´ e poznatky o ploch´ ach 26 3.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ´ 3.2 Ulohy na ploch´ach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Kontroln´ı ot´azky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3
Obsah
4 Rotaˇ cn´ı plochy 4.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . 4.2 Vlastnosti rotaˇcn´ıch ploch . 4.3 Klasifikace rotaˇcn´ıch ploch . ´ 4.4 Ulohy na rotaˇcn´ıch ploch´ach 4.5 Pr˚ uniky rotaˇcn´ıch ploch . . 4.6 Rotaˇcn´ı kvadriky . . . . . . 4.7 Kontroln´ı ot´azky . . . . . .
4
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
30 30 31 32 32 35 35 36
ˇ 5 Sroubov´ e plochy 5.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . 5.2 Vlastnosti ˇsroubov´ ych ploch . 5.3 Klasifikace ˇsroubov´ ych ploch . ´ 5.4 Ulohy na ˇsroubov´ ych ploch´ach 5.5 Kontroln´ı ot´azky . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
37 37 37 38 38 41
. . . . . . . . . . . . . .
42 42 43 44 45 47 48 51 52 52 53 55 55 55 56
6 Pˇ r´ımkov´ e plochy 6.1 Z´akladn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Zborcen´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Teˇcn´e roviny pod´el tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky zborcen´e plochy . . . 6.2.2 Zborcen´ y hyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Hyperbolick´ y paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Konoidy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 Dalˇs´ı pˇr´ımkov´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Rozvinuteln´e plochy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Typy rozvinuteln´ ych ploch . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Metody komplanace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Teˇcna kˇrivky v rozvinut´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Rozvinut´ı rozvinuteln´e ˇsroubov´e plochy . . . . . . . . . 6.3.5 Konstrukce a rozvinut´ı pˇrechodov´e rozvinuteln´e plochy 6.4 Kontroln´ı ot´azky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
Kapitola 1 Element´ arn´ı plochy a tˇ elesa 1.1
Z´ akladn´ı pojmy
Element´arn´ımi plochami budeme rozumˇet jehlanovou, hranolovou, kuˇzelovou, v´alcovou a kulovou plochu a element´arn´ımi tˇelesy jehlan, hranol, kuˇzel, v´alec a kouli. Element´arn´ı tˇelesa zn´ate z pˇredchoz´ıho studia na stˇredn´ı ˇskole. Zde je jen d´ame do souvislost´ı s novˇe definovan´ ymi pojmy.
1.1.1
Jehlanov´ a plocha, jehlan
Jehlanov´ a plocha je urˇcena rovinnou lomenou ˇc´arou - polygonem c (c ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe polygonu (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı polygon c a proch´azej´ı bodem V - obr. 1.1 a). Je-li polygon uzavˇren´ y, pak mnoˇzina pˇr´ımek, kter´e proch´azej´ı dan´ ym bodem V a prot´ınaj´ı vnitˇrek polygonu nebo polygon, se naz´ yv´a jehlanov´ y prostor. Pˇr´ımky urˇcen´e vrcholem V a vrcholy polygonu jsou hrany jehlanov´e plochy. Rovina, kter´a proch´az´ı vrcholem, se naz´ yv´a vrcholov´ a rovina. Jehlan je pr˚ unik jehlanov´eho prostoru a prostorov´e vrstvy urˇcen´e rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a vrcholov´e roviny σ 0 k σ - obr. 1.1 c). ) V´ yˇska jehlanu je vzd´alenost vrcholu V od roviny podstavy. M´a-li podstava stˇred S a leˇz´ı-li vrchol V na kolmici vztyˇcen´e v bodˇe S k rovinˇe podstavy, naz´ yv´ame jehlan kolm´ y a SV je jeho osa. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je jehlan kos´ y.
1.1.2
Hranolov´ a plocha, hranol
Hranolov´ a plocha je urˇcena rovinnou lomenou ˇc´arou - polygonem c (c ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nen´aleˇz´ı dan´e rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı polygon c a jsou smˇeru s obr. 1.1b). Je-li polygon uzavˇren´ y, pak mnoˇzina pˇr´ımek smˇeru s, kter´e prot´ınaj´ı polygon nebo vnitˇrek polygonu, se naz´ yv´a hranolov´ y prostor. Pˇr´ımky urˇcen´e vrcholy polygonu a smˇeru s jsou hrany hranolov´e plochy. V projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovsk´eho prostoru lze definovat hranolovou plochu jako speci´aln´ı pˇr´ıpad jehlanov´e plochy, jej´ımˇz vrcholem je nevlastn´ı bod. Vrcholovou rovinou je kaˇzd´a rovina smˇeru s.
5
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
6
Hranol je pr˚ unik hranolov´eho prostoru a prostorov´e vrstvy urˇcen´e rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a roviny σ 0 k σ - obr. 1.1d). V´ yˇska hranolu je vzd´alenost rovin podstav. Jsou-li poboˇcn´e hrany kolm´e na roviny podstav, naz´ yv´ame hranol kolm´ y a spojnice stˇred˚ u podstav je jeho osou (pokud existuje). V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je hranol kos´ y. Hranol, jehoˇz podstavou je rovnobˇeˇzn´ık, naz´ yv´ame rovnobˇ eˇ znostˇ en.
Obr´azek 1.1:
1.1.3
Obr´azek 1.2:
Kuˇ zelov´ a plocha, kuˇ zel
Kuˇ zelov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe dan´e kˇrivky (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı kˇrivku k a proch´azej´ı bodem V - obr. 1.2 a). Je-li kˇrivka k uzavˇren´a, pak mnoˇzina pˇr´ımek, kter´e proch´azej´ı dan´ ym bodem V a prot´ınaj´ı kˇrivku nebo vnitˇrek kˇrivky, se naz´ yv´a kuˇ zelov´ y prostor. Pˇr´ımka urˇcen´a vrcholem V a bodem kˇrivky k je povrˇska kuˇzelov´e plochy. Rovina, kter´a proch´az´ı vrcholem, se naz´ yv´a vrcholov´ a rovina. Kuˇ zel je pr˚ unik kuˇzelov´eho prostoru a prostorov´e vrstvy urˇcen´e rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a vrcholov´e roviny σ 0 k σ - obr. 1.2 c). Je-li ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou kuˇzelov´e plochy kruˇznice (ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice), kuˇzelov´a plocha se naz´ yv´a kruhov´ a. Jestliˇze je spojnice stˇredu S ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice k a vrcholu V kolm´a na rovinu σ, pak naz´ yv´ame kuˇzelovou plochu kolmou nebo rotaˇ cn´ı a pˇr´ımku SV osou kuˇzelov´e plochy. Rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu m˚ uˇzeme tak´e z´ıskat rotac´ı pˇr´ımky, kter´a prot´ın´a osu ot´aˇcen´ı a nen´ı k n´ı kolm´a. Nen´ı-li pˇr´ımka SV kolm´a na rovinu ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice, naz´ yv´a se kuˇzelov´a plocha kos´ a. Podobnˇe kolm´ y nebo rotaˇ cn´ı kuˇ zel m´a osu kolmou k rovinˇe podstavy na rozd´ıl od kos´ eho kuˇ zele.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
1.1.4
7
V´ alcov´ a plocha, v´ alec
V´ alcov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivkou k (k ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nen´aleˇz´ı dan´e rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı kˇrivku k a jsou smˇeru s - obr. 1.2 b). Je-li kˇrivka k uzavˇren´a, pak mnoˇzina pˇr´ımek smˇeru s, kter´e prot´ınaj´ı kˇrivku nebo proch´azej´ı vnitˇrn´ım bodem kˇrivky, se naz´ yv´a v´ alcov´ y prostor. Pˇr´ımka urˇcen´a bodem kˇrivky k a smˇeru s je povrˇska. Podobnˇe jako u hranolov´e plochy, m˚ uˇzeme v projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovsk´eho prostoru definovat v´alcovou plochu jako speci´aln´ı pˇr´ıpad kuˇzelov´e plochy, jej´ımˇz vrcholem je nevlastn´ı bod. Vrcholovou rovinou je kaˇzd´a rovina smˇeru s. V´ alec je pr˚ unik v´alcov´eho prostoru a prostorov´e vrstvy urˇcen´e rovinou σ ˇr´ıd´ıc´ıho polygonu a roviny σ 0 k σ - obr. 1.2 d). Je-li ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou v´alcov´e plochy regul´arn´ı kuˇzeloseˇcka, z´ısk´ame eliptickou, parabolickou ˇci hyperbolickou v´alcovou plochu. Jestliˇze je ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou kruˇznice, naz´ yv´a se v´alcov´a plocha kruhov´ a. Jestliˇze jsou povrˇsky kolm´e na rovinu ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice, dost´av´ame kolmou kruhovou neboli rotaˇ cn´ı v´alcovou plochu, v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je plocha kos´ a. Pozn´ amka 1.1 Kaˇzd´a kˇrivka (podle naˇs´ı definice rovinn´a) na v´alcov´e nebo kuˇzelov´e ploˇse ˇ m˚ uˇze b´ yt ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou t´eto plochy. Rezem rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy rovinou m˚ uˇze b´ yt, podle polohy roviny ˇrezu, i jin´a kuˇzeloseˇcka. To znamen´a, ˇze zvol´ıme-li tuto kuˇzeloseˇcku jako ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivku, dostaneme opˇet rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu. Nem´a tedy smysl, na rozd´ıl od v´alcov´ ych ploch, rozliˇsovat hyperbolickou nebo parabolickou kuˇzelovou plochu od eliptick´e kuˇzelov´e plochy.
1.1.5
Kulov´ a plocha, koule
Kulov´ a plocha je mnoˇzina vˇsech bod˚ u, kter´e maj´ı od dan´eho bodu S vzd´alenost rovnu dan´emu kladn´emu ˇc´ıslu r. Koul´ı rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u, kter´e maj´ı od dan´eho bodu S vzd´alenost menˇs´ı nebo rovnu dan´emu kladn´emu ˇc´ıslu r.
1.1.6
ˇ Rezy na element´ arn´ıch ploch´ ach
V n´asleduj´ıc´ı podkapitole budeme ˇreˇsit ˇrezy na element´arn´ıch ploch´ach. Pl´aˇstˇem element´arn´ıho tˇelesa je pˇr´ısluˇsn´a element´arn´ı plocha, tzn. pokud prov´ad´ıme ˇrez na tˇelese, mus´ıme sestrojit ˇrez plochou a popˇr. doplnit pr˚ unik roviny ˇrezu s podstavou tˇelesa. ˇ • Rez hranolovou a jehlanovou plochou, popˇ r. hranolu a jehlanu Je d´an hranol nebo jehlan s podstavou v rovinˇe σ a rovina ˇrezu ρ. Postup ˇ reˇ sen´ı: 1. Urˇc´ıme pr˚ useˇcnici rovin σ a ρ. (o = σ ∩ ρ) 2. Najdeme jeden bod ˇrezu jako pr˚ unik jedn´e hrany s rovinou ρ. 3. a) Pro hranol vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu osovou afinitu, kter´a je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, smˇerem afinity, kter´ y je d´an hranou hranolu a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedn´e hranˇe (obr.1.3).
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.3:
8
Obr´azek 1.4:
b) Pro jehlan vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu stˇredovou kolineaci, kter´a je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, stˇredem kolineace, kter´ ym je vrchol jehlanu a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedn´e hranˇe (obr.1.4). ˇ • Rez v´ alcovou a kuˇ zelovou plochou, popˇ r. v´ alce a kuˇ zele Je d´an v´alec nebo kuˇzel s podstavou v rovinˇe σ a rovina ˇrezu ρ. Postup ˇ reˇ sen´ı: V pˇr´ıpadˇe obecn´e v´alcov´e nebo kuˇzelov´e plochy sestroj´ıme dostateˇcn´ y poˇcet bod˚ u ˇrezu n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem a proloˇz´ıme jimi kˇrivku. Pokud v´ıme, ˇze ˇrezem dan´e plochy je zn´am´a kˇrivka, kterou um´ıme sestrojit ze zadan´ ych prvk˚ u, m˚ uˇzeme naj´ıt tyto prvky a ˇrez dokonˇcit jinou konstrukc´ı (napˇr. ˇrezem rotaˇcn´ıho kuˇzele bude kuˇzeloseˇcka, kter´a je podle Pascalovy vˇety urˇcena napˇr. pˇeti body nebo tˇremi body a dvˇema teˇcnami apod.) ˇ setrojujeme podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, jen m´ısto hran pouˇzijeme povrˇsky. Rez 1. Urˇc´ıme pr˚ useˇcnici rovin σ a ρ = o. (o = σ ∩ ρ) 2. Najdeme jeden bod ˇrezu jako pr˚ unik jedn´e povrˇsky s rovinou ρ. 3. a) Pro v´alec vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu osovou afinitu, kter´a je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, smˇerem afinity, kter´ y je rovnobˇeˇzn´ y s osou v´alce a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedn´e povrˇsce. b) Pro kuˇzel vyuˇzijeme k sestrojen´ı dalˇs´ıch bod˚ u ˇrezu stˇredovou kolineaci, kter´a je urˇcena osou o = σ ∩ ρ, stˇredem kolineace, kter´ ym je vrchol kuˇzele a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u, kter´ ymi jsou bod podstavy a bod ˇrezu leˇz´ıc´ı na jedn´e povrˇsce. ˇ • Rez kulov´ e plochy Je d´ana kulov´a plocha se stˇredem S a polomˇerem r a rovina ˇrezu ρ.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
9
Obr´azek 1.5: Postup ˇ reˇ sen´ı: ˇ Rezem kulov´e plochy rovinou ρ je kruˇznice l leˇz´ıc´ı v t´eto rovinˇe. Je tˇreba naj´ıt jej´ı stˇred O a polomˇer R. 1. Stˇred O kruˇznice l leˇz´ı na pˇr´ımce k kolm´e k rovinˇe ρ: k ⊥ ρ, S ∈ k. 2. O = k ∩ ρ. 3. Urˇc´ıme vzd´alenost |OS|. Podle Pythagorovy vˇety R =
p r2 − |OS|2 .
4. Kruˇznice ˇrezu l ≡ (O; R). Pˇ r´ıklad 1.1 Sestroj´ıme ˇrez jehlanu, kter´ y m´a podstavu v rovinˇe xy a vrchol V rovinou ρ obr. 1.6. ˇ sen´ı: (obr.1.7) Reˇ 1. Podstava jehlanu leˇz´ı v rovinˇe xy, pr˚ useˇcnic´ı roviny ˇrezu a roviny podstavy je p˚ udorysn´a stopa pρ . 2. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A0 hrany AV s rovinou ρ pomoc´ı kryc´ı pˇr´ımky s (A01 = A1 V1 ∩ s1 ). 3. S vyuˇzit´ım kolineace se stˇredem V , osou pρ a p´arem odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u A, A0 , sestroj´ıme dalˇs´ı body ˇrezu (napˇr. D0 ∈ DV a DA ∩ D0 A0 ∈ pρ ).
1.1.7
Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky a element´ arn´ı plochy
Postup ˇ reˇ sen´ı: 1. Proloˇz´ıme pˇr´ımkou rovinu ρ. 2. Najdeme ˇrez plochy rovinou ρ. 3. Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky a ˇrezu.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.6:
10
Obr´azek 1.7:
V pˇr´ıpadˇe kulov´e plochy vol´ıme libovolnou rovinu, sestroj´ıme ˇrez (ˇrezem je vˇzdy kruˇznice) a najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky s kruˇznic´ı ˇrezu. Speci´alnˇe je moˇzn´e volit rovinu proch´azej´ıc´ı stˇredem kulov´e plochy. Stˇred kruˇznice ˇrezu je potom totoˇzn´ y se stˇredem kulov´e plochy a jej´ı polomˇer je shodn´ y s polomˇerem kulov´e plochy. V ostatn´ıch pˇr´ıpadech je vhodn´e volit vrcholovou rovinu. Pro kuˇzelovou a jehlanovou plochu proch´az´ı vrcholov´a rovina vrcholem plochy. Pokud pˇr´ımka prot´ın´a plochu, pak jsou ˇrezem vrcholovou rovinou r˚ uznobˇeˇzn´e pˇr´ımky. Pro v´alcovou a hranolovou plochu je vrcholov´a rovina rovnobˇeˇzn´a s povrˇskami nebo hranami ˇ plochy (proch´az´ı nevlastn´ım vrcholem plochy). Rezem vrcholovou rovinou jsou, v pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇr´ımka plochu prot´ın´a, rovnobˇeˇzky. Pˇ r´ıklad 1.2 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s pl´aˇstˇem v´alce, kter´ y m´a podstavu v rovinˇe xy obr. 1.8. ˇ sen´ı: (obr.1.9) Reˇ 1. Vrcholov´a rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkou p a je rovnobˇeˇzn´a s osou v´alce. (Vedeme pˇr´ımku n r˚ uznobˇeˇznou s pˇr´ımkou p a rovnobˇeˇznou s osou o - ρ(p, n). 2. Sestroj´ıme ˇrez v´alce vrcholovou rovinou: a) Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici roviny ˇrezu a roviny podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe xy, sestroj´ıme p˚ udorysnou stopu pρ roviny ρ (sestroj´ıme p˚ udorysn´e stopn´ıky pˇr´ımek p, n). b) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X 0 , Y 0 stopy pρ a podstavy v´alce. ˇ c) Rezem v´alcov´e plochy vrcholovou rovinou ρ jsou pˇr´ımky r, q proch´azej´ıc´ı body X 0 , Y 0 a rovnobˇeˇzn´e s osou o v´alce. 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky p s ˇrezem v´alcov´e plochy vrcholovou rovinou (pˇr´ımky r, q).
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
11
Obr´azek 1.8:
Obr´azek 1.9:
Pˇ r´ıklad 1.3 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s pl´aˇstˇem jehlanu ABCDV , kter´ y m´a podstavu ABCD v rovinˇe yz - obr. 1.10. ˇ sen´ı: (obr.1.11) Reˇ 1. Vrcholov´a rovina ρ je urˇcena pˇr´ımkou p a vrcholem V jehlanu. (vedeme pˇr´ımku n rovnobˇeˇznou (m˚ uˇzeme v´est i r˚ uznobˇeˇzku) s pˇr´ımkou p a proch´azej´ıc´ı vrcholem V - ρ(p, n). 2. Sestroj´ıme ˇrez jehlanu vrcholovou rovinou: a) Sestroj´ıme pr˚ useˇcnici roviny ˇrezu a roviny podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe yz, sestroj´ıme bokorysnou stopu mρ roviny ρ (sestroj´ıme bokorysn´e stopn´ıky pˇr´ımek p, n). b) Urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X 0 , Y 0 stopy mρ a podstavy jehlanu. ˇ c) Rezem jehlanov´e plochy vrcholovou rovinou ρ jsou pˇr´ımky r, q proch´azej´ıc´ı body X 0 , Y 0 a vrcholem V jehlanu. 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky p s ˇrezem jehlanov´e plochy vrcholovou rovinou (pˇr´ımky r, q). Pˇ r´ıklad 1.4 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s kulovou plochou κ. Kulov´a plocha je urˇcena stˇredem S a polomˇerem r - obr. 1.12. ˇ sen´ı: (obr.1.13) Reˇ
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.10:
12
Obr´azek 1.11:
1. Sestroj´ıme ˇrez rovinou ρ, kter´a je urˇcena pˇr´ımkou p a stˇredem S kulov´e plochy κ. (bodem S vedeme horizont´aln´ı hlavn´ı pˇr´ımku h, r˚ uznobˇeˇznou s pˇr´ımkou p - ρ(p, h). 2. Sestroj´ıme ˇrez kulov´e plochy κ rovinou ρ (ˇrezem je kruˇznice k se stˇredem S a polomˇerem r) a najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky p s ˇrezem: a) Otoˇc´ıme rovinu ρ kolem hlavn´ı pˇr´ımky h do polohy rovnobˇeˇzn´e s p˚ udorysnou (sestroj´ıme otoˇcenou pˇr´ımku p a ˇrez). V otoˇcen´ı se ˇrez zobraz´ı jako kruˇznice k0 (jej´ı stˇred je bod S1 = S0 , kter´ y pˇri ot´aˇcen´ı z˚ ustane na m´ıstˇe, protoˇze leˇz´ı na ose ot´aˇcen´ı a polomˇer je shodn´ y s polomˇerem kulov´e plochy). b) V otoˇcen´ı urˇc´ıme pr˚ useˇc´ıky X0 , Y0 pˇr´ımky p0 a kruˇznice ˇrezu k0 . c) Pr˚ useˇc´ıky otoˇc´ıme zpˇet do p˚ udorysu a odvod´ıme po ordin´al´ach do n´arysu. 3. Urˇc´ıme viditelnost.
1.1.8
Pr˚ unik jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch
Hled´ame mnoˇzinu vˇsech bod˚ u spoleˇcn´ ych stˇen´am obou ploch. V´ ysledkem je jeden nebo v´ıce polygon˚ u (nemus´ı b´ yt rovinn´e). Vrcholy polygonu jsou pr˚ useˇc´ıky hran jedn´e plochy se stˇenami druh´e plochy. Strany polygonu jsou pr˚ useˇcnicemi stˇen polygon˚ u. Tyto strany m˚ uˇzeme sestrojit jako spojnice vrchol˚ u, ale jen tˇech, kter´e leˇz´ı ve stejn´e stˇenˇe obou ploch. Postup ˇ reˇ sen´ı: Protoˇze pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky s jehlanem nebo hranolem hled´ame pomoc´ı vrcholov´e roviny, m˚ uˇzeme tuto metodu vyuˇz´ıt pˇri hled´an´ı pr˚ uniku jehlanov´ ych a hranolov´ ych ploch. 1. Sestroj´ıme spojnici r vrchol˚ u ploch (u hranolu pracujeme s nevlastn´ım vrcholem). 2. Najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky r s rovinami podstav.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
Obr´azek 1.12:
13
Obr´azek 1.13:
3. Sestroj´ıme roviny, kter´e jsou urˇceny pˇr´ımkou r a jednotliv´ ymi vrcholy podstav. 4. Urˇc´ıme pr˚ unik kaˇzd´e roviny s podstavami tˇeles a urˇc´ıme pr˚ unik hrany s druh´ ym tˇelesem. 5. Spoj´ıme z´ıskan´e body lomenou ˇca´rou. Pˇ r´ıklad 1.5 Sestrojte pr˚ unik dvou jehlan˚ u s podstavami v rovin´ach xy a xz. - obr. 1.15. ˇ sen´ı: (obr.1.15) Reˇ 1. Sestroj´ıme spojnici r vrchol˚ u U a V jehlan˚ u. 2. Najdeme pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky r s rovinami podstav. Pr˚ useˇc´ıky P a N jsou p˚ udorysn´ y a n´arysn´ y stopn´ık, protoˇze podstavy leˇz´ı v rovin´ach xy a xz. 3. Sestroj´ıme vrcholov´e roviny, kter´e jsou urˇceny pˇr´ımkou r a jednotliv´ ymi vrcholy podstav. 4. Urˇc´ıme pr˚ unik kaˇzd´e roviny s podstavami tˇeles a urˇc´ıme pr˚ unik hrany s druh´ ym tˇelesem. 5. Spoj´ıme z´ıskan´e body lomenou ˇca´rou.
1.1. Z´ akladn´ I pojmy
14
Obr´azek 1.14:
Obr´azek 1.15:
1.2. Kontroln´ I ot´ azky
1.1.9
15
Teˇ cn´ a rovina
Teˇ cn´ a rovina kuˇzelov´e nebo v´alcov´e plochy je urˇcena povrˇskou p a teˇcnou t ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznice k v bodˇe T = p ∩ t. Pˇ r´ıklad 1.6 Je d´an kuˇzel s vrcholem V a podstavou v rovinˇe xy. Bodem B sestroj´ıme teˇcn´e roviny k zadan´emu kuˇzeli - obr. 1.16. ˇ sen´ı: (obr.1.17) Reˇ 1. Teˇcn´a rovina se dot´ yk´a kuˇzele pod´el jeho povrˇsky, proto tak´e vrchol V (a pˇr´ımka BV ) leˇz´ı v teˇcn´e rovinˇe. 2. Sestroj´ıme pˇr´ımku BV a najdeme jej´ı pr˚ useˇc´ık P s rovinou podstavy. Protoˇze podstava leˇz´ı v rovinˇe xy, je pr˚ useˇc´ıkem P p˚ udorysn´ y stopn´ık pˇr´ımky BV . ρ σ 3. Sestroj´ıme teˇcny p a p z bodu P k podstavˇe kuˇzele. Dotykov´e body oznaˇc´ıme R a Q. 4. Teˇcn´a rovina je urˇcena pˇr´ımkou pρ popˇr. pσ (coˇz je z´aroveˇ n jej´ı p˚ udorysn´a stopa, protoˇze bod P i podstava kuˇzele leˇz´ı v p˚ udorysnˇe) a povrˇskou RV popˇr. QV .
Obr´azek 1.16:
1.2
Obr´azek 1.17:
Kontroln´ı ot´ azky
1.1 Definujte kos´ y kruhov´ y v´alec. 1.2 Uved’te, jak vyuˇz´ıv´ame afinitu a kolineaci pˇri urˇcov´an´ı ˇrez˚ u. ˇ ım je urˇcena teˇcn´a rovina k v´alcov´e resp. kuˇzelov´e ploˇse? 1.3 C´ 1.4 Kolik teˇcn´ ych rovin m˚ uˇzeme v´est vnˇejˇs´ım bodem k rotaˇcn´ı kuˇzelov´e ploˇse? 1.5 Vyznaˇcte spoleˇcn´e body pˇr´ımky p a dan´e plochy na obr. 1.18 a), b), c).
1.2. Kontroln´ I ot´ azky
16
Obr´azek 1.18:
Kapitola 2 Kˇ rivky 2.1
Z´ akladn´ı pojmy
Kˇ rivkou rozum´ıme dr´ahu pohybuj´ıc´ıho se bodu. Kˇrivka je jednoparametrick´a mnoˇzina bod˚ u. (Protoˇze pohyb je z´avisl´ y na jedin´em parametru ˇcase).
2.1.1
Klasifikace kˇ rivek
• Rovinn´ e jsou kˇrivky, jejichˇz vˇsechny body leˇz´ı v jedn´e rovinˇe. V pravo´ uhl´e souˇradnicov´e soustavˇe {O; x, y} je parametrick´ e vyj´adˇren´ı rovinn´e kˇrivky (pokud existuje): x = x(t), y = y(t), t ∈ I. Napˇr. elipsa m´a parametrick´e vyj´adˇren´ı x = a cos ϕ, y = b sin ϕ,
ϕ ∈ h0, 2πi; a, b > 0.
• Kˇrivky, jejichˇz body neleˇz´ı v jedn´e rovinˇe, naz´ yv´ame prostorov´ e. V pravo´ uhl´e souˇradnicov´e soustavˇe {O; x, y, z} je parametrick´ e vyj´adˇren´ı prostorov´e kˇrivky (pokud existuje): x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I Napˇr. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = 2ϕ, ϕ ∈ h−π, πi je vyj´adˇren´ım ˇc´asti ˇsroubovice. I rovinnou kˇrivku m˚ uˇzeme zapsat jako kˇrivku v prostoru napˇr. x = 1 + t, y = t, z = 2 − 0.5t, t ∈ h5, 6i je vyj´adˇren´ım u ´seˇcky v prostoru.
17
2.1. Z´ akladn´ I pojmy
2.1.2
18
Teˇ cna a norm´ ala kˇ rivky
Na kˇrivce zvol´ıme bod T a v jeho okol´ı bod A. Teˇ cna kˇ rivky je limitn´ı polohou pˇr´ımky AT pro A → T (obr.2.1). Pomoc´ı vektoru prvn´ı derivace m˚ uˇzeme definovat teˇ cnu kˇ rivky jako pˇr´ımku urˇcenou bodem kˇrivky a teˇcn´ ym vektorem. P´ıˇseme X = T +s~u, kde ~u = (x0 (t), y 0 (t), z 0 (t)), ~u 6= ~o je teˇcn´ y vektor a T [T1 , T2 , T3 ] dotykov´ y bod. Seˇ cna je spojnice dvou bod˚ u kˇrivky. Asymptota je teˇcna v nevlastn´ım bodˇe. Norm´ ala v bodˇe T je pˇr´ımka kolm´a k teˇcnˇe v bodˇe T . Norm´ alov´ a rovina je mnoˇzina vˇsech norm´al v bodˇe kˇrivky. Je to rovina kolm´a k teˇcnˇe. ´ Uhel kˇ rivek k1 , k2 (prot´ınaj´ıc´ıch se) je u ´hel jejich teˇcen v jejich pr˚ useˇc´ıku (obr.2.2).
Obr´azek 2.1:
Obr´azek 2.2:
Rovnobˇeˇzn´ ym nebo stˇredov´ ym pr˚ umˇetem prostorov´e kˇrivky je rovinn´a kˇrivka. Pr˚ umˇetem teˇcny je teˇcna nebo bod.
2.1.3
Klasifikace bod˚ u kˇ rivky
Bod, ve kter´em m´a kˇrivka jedinou teˇcnu urˇcenou jedin´ ym nenulov´ ym vektorem, naz´ yv´ame regul´ arn´ı bod; v opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe bod nazveme singul´ arn´ı. R˚ uzn´e typy singul´arn´ıch bod˚ u vid´ıme na obr. 2.3. Bod A v obr´azku 2.3a) se naz´ yv´a uzlov´ y bod, body B a C v obr´azku 2.3b) a c) jsou body vratu a bod D v obr´azku 2.3d) je inflexn´ı bod.
2.1.4
Rektifikace
Rektifikace oblouku kˇ rivky je rozvinut´ı oblouku kˇrivky na pˇr´ımku, tj. sestrojen´ı u ´seˇcky stejn´e velikosti, jako je d´elka oblouku kˇrivky. Nejjednoduˇsˇs´ı rektifikace je zaloˇzena na n´ahradˇe kˇrivky lomenou ˇcarou (line´arn´ı interpolace) - obr. 2.4. Na kˇrivce zvol´ıme vhodn´ y poˇcet bod˚ u (na obr. 2.4 jsou oznaˇceny A1 , A2 , . . ., spoj´ıme lomenou ˇcarou a jednotliv´e u ´seˇcky pˇreneseme na pˇr´ımku. Je zˇrejm´e, ˇze ˇc´ım v´ıce bod˚ u zvol´ıme, t´ım pˇresnˇeji m˚ uˇzeme zjistit d´elku kˇrivky.
2.1. Z´ akladn´ I pojmy
19
Obr´azek 2.3:
Obr´azek 2.4:
Obr´azek 2.5:
D´elku oblouku kˇrivky, pro kterou zn´ame jej´ı parametrick´e vyj´adˇren´ı, m˚ uˇzeme vypoˇc´ıtat pomoc´ı integr´alu Z t2 p x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt, t1
kde t1 a t2 jsou krajn´ı body kˇrivky. K rektifikaci oblouku kruˇznice se ˇcasto uˇz´ıvalo pˇribliˇzn´ ych konstrukc´ı jako napˇr. konstrukce Kochaˇ nsk´eho, d’Ocagneova nebo Sobotkova. Pouˇzit´ı poˇc´ıtaˇc˚ u v technick´ ych oborech n´am umoˇzn ˇuje zjistit d´elku oblouku mnohem pˇresnˇeji, proto i zde budeme pouˇz´ıvat bud’ v´ ypoˇctu, nebo line´arn´ı interpolace. Obr´acenˇe m˚ uˇzeme tak´e navinout u ´seˇcku na kˇrivku, tj. na dan´e kˇrivce najdeme oblouk, jehoˇz d´elka se rovn´a velikosti dan´e u ´seˇcky.
2.1.5
Oskulaˇ cn´ı rovina a oskulaˇ cn´ı kruˇ znice
Je d´an bod T a teˇcna t v tomto bodˇe, na kˇrivce zvol´ıme v okol´ı bodu T bod A. Rovina α, je urˇcen´a bodem A a teˇcnou t. Limitn´ı poloha t´eto roviny pˇri A → T se naz´ yv´a oskulaˇ cn´ı rovina. V oskulaˇcn´ı rovinˇe leˇz´ı jedna z norm´al kˇrivky v dan´em bodˇe. Tuto norm´alu nazyv´ame hlavn´ı norm´ ala. Na kˇrivce k zvol´ıme libovoln´ y regul´arn´ı bod A. D´ale na kˇrivce zvol´ıme jeˇstˇe dalˇs´ı dva body A1 , A2 . Body A, A1 , A2 je urˇcena kruˇznice l. Oskulaˇ cn´ı kruˇ znice kˇrivky k v bodˇe A je
2.1. Z´ akladn´ I pojmy
20
limitn´ı polohou kruˇznice l(A, A1 , A2 ), jestliˇze A1 → A a A2 → A (obr.2.5). Stˇred t´eto kruˇznice ˇ ıslo ρ = 1 naz´ yv´ame stˇ red kˇ rivosti a polomˇer t´eto kruˇznice naz´ yv´ame polomˇ er kˇ rivosti. C´ r naz´ yv´ame prvn´ı kˇrivost´ı kˇrivky k v bodˇe A. Pozn´ amka 2.1 Oskulaˇcn´ı kruˇznice se v mal´em okol´ı bodu A velmi m´alo liˇs´ı od kˇrivky k, a proto m˚ uˇzeme v okol´ı bodu A nahradit kˇrivku jej´ı oskulaˇcn´ı kruˇznic´ı. Toto nahrazen´ı se pouˇz´ıv´a napˇr. u kuˇzeloseˇcek, kde zn´ame jednoduch´e konstrukce oskulaˇcn´ıch kruˇznic ve vrcholech. Kˇrivky se dot´ ykaj´ı v dan´em bodˇe, maj´ı-li v nˇem spoleˇcnou teˇcnu. Kˇrivka m˚ uˇze b´ yt d´ana i jin´ ym zp˚ usobem, neˇz jako dr´aha bodu, napˇr. jako ob´alka jednoparametrick´e soustavy kˇrivek, ekvidistanta, evoluta, evolventa, cykloida nebo jako pr˚ unik ploch. Nˇekter´e z tˇechto kˇrivek si uk´aˇzeme a potom se v´ıce zamˇeˇr´ıme na kˇrivku d˚ uleˇzitou pro technickou praxi - ˇsroubovici.
Obr´azek 2.6:
2.1.6
Obr´azek 2.7:
Ob´ alka
Je d´ana jednoparametrick´a soustava kˇrivek v rovinˇe. Kˇrivka u, kter´e se dot´ ykaj´ı vˇsechny kˇrivky soustavy se naz´ yv´a ob´ alka soustavy kˇ rivek. Dotykov´ y bod ob´alky a kˇrivky dan´eho syst´emu se naz´ yv´a charakteristick´ y bod. Na obr´azku 2.6a) je kˇrivka u ob´alkou soustavy pˇr´ımek, na obr´azku 2.6b) je dvojice kˇrivek u, u0 ob´alkou soustavy elips. Na kaˇzd´e ob´alce je vyznaˇceno nˇekolik charakteristick´ ych bod˚ u.
2.1.7
Ekvidistanta
M´ame d´anu kˇrivku k. Okolo kaˇzd´eho bodu t´eto kˇrivky op´ıˇseme kruˇznici o polomˇeru r. Jestliˇze existuje ob´alka t´eto soustavy kruˇznic naz´ yv´ame ji ekvidistantou kˇ rivky k- obr. 2.7. Body ekvidistanty m˚ uˇzeme z´ıskat tak´e jin´ ym zp˚ usobem: v kaˇzd´em bodˇe A kˇrivky k sestroj´ıme norm´alu a naneseme na ni od bodu A u ´seˇcku o velikosti r.
2.1.8
Cykloida
Pˇri odvalov´an´ı kˇrivky k po pevn´e kˇrivce p, op´ıˇse kaˇzd´ y bod roviny kˇrivku, kterou naz´ yv´ame trajektorie (dr´aha).
2.1. Z´ akladn´ I pojmy
21
h c e
k
p
Obr´azek 2.8:
Obr´azek 2.9:
Pˇri odvalov´an´ı kruˇznice k po pˇr´ımce p op´ıˇse kaˇzd´ y bod kruˇznice (prostou) cykloidu. Bod uvnitˇr kruˇznice k op´ıˇse zkr´acenou cykloidu a bod vnˇe kruˇznice op´ıˇse prodlouˇzenou cykloidu. Na obr´azku 2.8 je zn´azornˇena cykloida c, zkr´acen´a cykloida e a prodlouˇzen´a cykloida h.
2.1.9
Evoluta a evolventa
Jestliˇze existuje ob´alka norm´al kˇrivky, naz´ yv´ame ji evolutou. Evolventu kˇrivky p z´ısk´ame n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: Na kˇrivce p zvol´ıme bod A, na kˇrivce vol´ıme dalˇs´ı body, v kaˇzd´em bodˇe A1 sestroj´ıme teˇcnu a naneseme na ni d´elku oblouku A1 A. Takto z´ıskan´ y bod je bodem evolventy kˇrivky p. M˚ uˇzeme tak´e ˇr´ıct, ˇze jestliˇze odvalujeme pˇr´ımku po kˇrivce p, bod pˇr´ımky opisuje evolventu. Na obr´azku 2.9 je ˇca´st evolventy kruˇznice. Kˇrivka q je evolventou kruˇznice p (kruhovou evolventou). Kruˇznice p je evolutou kˇrivky q.
2.1.10
ˇ ıd´ıc´ı kuˇ R´ zelov´ a plocha
ˇ ıd´ıc´ı kuˇ R´ zelov´ a plocha prostorov´e kˇrivky je mnoˇzina vˇsech pˇr´ımek, veden´ ych pevn´ ym bodem V rovnobˇeˇznˇe se vˇsemi teˇcnami kˇrivky (teˇcna kˇrivky je rovnobˇeˇzn´a s povrchovou pˇr´ımkou ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelov´e plochy) (obr.2.10).
Obr´azek 2.10:
ˇ 2.2. Sroubovice
2.2 2.2.1
22
ˇ Sroubovice Z´ akladn´ı pojmy
ˇ Definice 2.1 Sroubov´ y pohyb vznik´a sloˇzen´ım rovnomˇern´eho ot´ aˇ civ´ eho pohybu kolem pevn´e pˇr´ımky (osy) a rovnomˇern´eho posuvn´ eho pohybu ve smˇeru t´eto pˇr´ımky.
Obr´azek 2.11:
Obr´azek 2.12:
Obr´azek 2.13:
ˇ Sroubovice je dr´aha bodu A pˇri ˇsroubov´em pohybu, kde ω je u ´hel otoˇcen´ı a p posunut´ı bodu A (obr. 2.11). V´ yˇ ska z´ avitu v je velikost posunut´ı bodu pˇri otoˇcen´ı o 2π radi´an˚ u. Jestliˇze otoˇc´ıme bod o 1 radi´an, oznaˇc´ıme velikost posunut´ı v0 a naz´ yv´ame redukovanou v´ yˇ skou z´ avitu. Plat´ı v v0 = 2π . ˇ Sroubovice (o, A, v0 , {±}) je urˇcena osou o, bodem A, redukovanou v´ yˇskou z´avitu v0 a informac´ı o pravotoˇcivosti nebo levotoˇcivosti ˇsroubovice (+ nebo −). ˇ Sroubovice leˇz´ı na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse. Jestliˇze rozvineme tuto v´alcovou plochu do roviny, ˇsroubovice se rozvine do pˇr´ımky. Pokud zavedeme souˇradnicov´ y syst´em tak, aby stopn´ık ˇsroubovice (bod ve kter´em ˇsroubovice prot´ın´a p˚ udorysnu) leˇzel v poˇca´tku a osa ˇsroubovice byla
ˇ 2.2. Sroubovice
23
rovnobˇeˇzn´a s osou y, je toto rozvinut´ı ˇsroubovice grafem z´avislosti posunut´ı na d´elce oblouku (neboli u ´hlu otoˇcen´ı) (obr.2.12).
2.2.2
Parametrick´ e vyj´ adˇ ren´ı ˇ sroubovice
Parametrick´e rovnice pravotoˇciv´e ˇsroubovice, jej´ıˇz osou je osa z, r je polomˇer v´alcov´e plochy, na n´ıˇz ˇsroubovice leˇz´ı, redukovan´a v´ yˇska z´avitu je v0 a bod A[r, 0, 0], jsou x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ,
z = v0 ϕ,
ϕ ∈ h0, 2πi.
Jestliˇze ˇsroubovici um´ıst´ıme tak, aby osa ˇsroubovice byla kolm´a na p˚ udorysnu, pak p˚ udorysem ˇsroubovice je kruˇznice a n´arysem ˇsroubovice je zobecnˇen´a sinusoida (kˇrivka odpov´ıdaj´ıc´ı sinusoidˇe v afinitˇe).
2.2.3
Teˇ cna ˇ sroubovice a jej´ı pr˚ uvodn´ı trojhran
Teˇcny ˇsroubovice sv´ıraj´ı konstantn´ı u ´hel s rovinou kolmou k ose ˇsroubovice, resp. s osou ˇ ˇsroubov´eho pohybu. R´ık´ame, ˇze ˇsroubovice je kˇ rivka konstantn´ıho sp´ adu.
Obr´azek 2.14:
Obr´azek 2.15:
P˚ udorysn´e stopn´ıky teˇcen ˇsroubovice leˇz´ı na kruhov´e evolventˇe kruˇznice, kter´a je p˚ udorysem ˇsroubovice. ˇ ıd´ıc´ı kuˇ R´ zel ˇ sroubovice (ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelov´a plocha) je rotaˇcn´ı kuˇzel s v´ yˇskou v0 a polomˇerem podstavy r; teˇcny ˇsroubovice jsou rovnobˇeˇzn´e s povrˇskami ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele. Hlavn´ı norm´ ala ˇsroubovice je norm´ala kolm´a k ose a osu prot´ın´a. Oskulaˇ cn´ı rovina je urˇcena hlavn´ı norm´alou a teˇcnou ˇsroubovice. Binorm´ ala je norm´ala kolm´a na oskulaˇcn´ı rovinu. Frenet˚ uv pr˚ uvodn´ı trojhran je tvoˇren teˇcnou, hlavn´ı norm´alou a binorm´alou. ˇ Pozn´ amka 2.2 Sipkou budeme v p˚ udorysu vyznaˇcovat smˇer kles´an´ı ˇsroubovice.
ˇ 2.2. Sroubovice
24
Pˇ r´ıklad 2.1 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık ˇsroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou α k o - obr. 2.14. ˇ sen´ı: (obr.2.15) Reˇ 1. Najdeme p˚ udorys pr˚ useˇc´ıku A1 ˇsroubovice s rovinou α. 2. Pomoc´ı velikost´ı v0 a r sestroj´ıme graf z´avislosti v´ yˇsky na d´elce oblouku. 3. Ze znalosti d´elky oblouku x = A1 A1 odeˇcteme z grafu velikost v´ yˇsky vx a tuto v´ yˇsku naneseme od bodu A2 ve smˇeru stoup´an´ı. Na ordin´ale pak najdeme bod A2 .
Obr´azek 2.16:
Obr´azek 2.17:
Pˇ r´ıklad 2.2 Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık ˇsroubovice (o, A, v0 , +) s rovinou β ⊥ o - obr. 2.16. ˇ sen´ı: (obr.2.17) Reˇ 1. V n´arysu zjist´ıme vzd´alenost vx bodu A ˇsroubovice od roviny β. 2. Pomoc´ı velikost´ı v0 a r sestroj´ıme graf z´avislosti v´ yˇsky na d´elce oblouku. 3. Ze znalosti zmˇeny v´ yˇsky, o kterou mus´ı vystoupat bod A, odeˇcteme z grafu d´elku oblouku x, tento oblouk naneseme od bodu A1 ve smˇeru stoup´an´ı. Na ordin´ale pak najdeme v rovinˇe β bod A (rozum´ı se jeho n´arys). Pˇ r´ıklad 2.3 Sestroj´ıme teˇcnu ˇsroubovice (o, A, v0 , +) v bodˇe A - obr. 2.18. ˇ sen´ı: (obr.2.19) Reˇ 1. Urˇc´ıme p˚ udorys t1 teˇcny t v bodˇe A. 2. Sestroj´ıme p˚ udorys povrˇsky t ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele, kter´a je rovnobˇeˇzn´a s teˇcnou (jej´ı stopn´ık najdeme na p˚ udorysu ˇsroubovice o u ´hel 90o ve smˇeru kles´an´ı od bodu A). 3. Odvod´ıme n´arys P2 stopn´ıku P a n´arys povrˇsky t. 4. Teˇcna proch´az´ı bodem A a je rovnobˇeˇzn´a s t.
2.3. Kontroln´ I ot´ azky
Obr´azek 2.18:
2.3
25
Obr´azek 2.19:
Kontroln´ı ot´ azky
2.1 Definujte hlavn´ı norm´alu prostorov´e kˇrivky. 2.2 Definujte ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelovou plochu prostorov´e kˇrivky. 2.3 Uved’te definici ˇsroubov´eho pohybu. ˇ ım je urˇcen ˇsroubov´ 2.4 C´ y pohyb? 2.5 Definujete parametr v0 ˇsroubov´eho pohybu? 2.6 Uved’te vztah mezi v´ yˇskou z´avitu ˇsroubovice a redukovanou v´ yˇskou z´avitu.
Kapitola 3 Obecn´ e poznatky o ploch´ ach 3.1
Z´ akladn´ı pojmy
Plocha je • jednoparametrick´a soustava kˇrivek (plocha vznik´a pohybem kˇrivky, kter´a nen´ı dr´ahou pohybu - kˇrivka se m˚ uˇze bˇehem pohybu mˇenit) • dvouparametrick´a soustava bod˚ u
Obr´azek 3.1:
Obr´azek 3.2:
Klasifikace ploch Plocha vznik´a pohybem kˇrivky, proto n´as zaj´ımaj´ı dva zp˚ usoby klasifikace ploch: podle druhu pohybu a podle tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. V n´asleduj´ıc´ıch dvou tabulk´ach jsme plochy roztˇr´ıdili podle tˇechto dvou hledisek. Podle druhu pohybu N´ azev Pohyb Pˇ r´ıklad translaˇcn´ı posunut´ı v´alec, rovina rotaˇcn´ı rotace rot. v´alec, rot. kuˇzel, rot. hyperboloid ˇsroubov´e ˇsroubov´ y pohyb cyklick´a ˇsroubov´a plocha, v´ yvrtkov´a plocha
26
´ 3.2. Ulohy na ploch´ ach
Podle tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivky N´ azev Kˇ rivka pˇr´ımkov´e pˇr´ımka cyklick´e kruˇznice jin´e jin´a kˇrivka
27
Pˇ r´ıklad kuˇzelov´a plocha, hyperbolick´ y paraboloid v´alec, Archim´edova serpentina kvadriky, obalov´e, grafick´e
Rovnice plochy • Parametrick´e vyj´adˇren´ı: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), u ∈ I, v ∈ J (napˇr. parametrick´e vyj´adˇren´ı rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy je x = 3 cos u, y = 3 sin u, z = v, u ∈ h0, 2πi, v ∈ R nebo z´apis pomoc´ı vektorov´e funkce: ~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) jestliˇze u = konst. dost´av´ame: x = x(u0 , v), y = y(u0 , v), z = z(u0 , v) pˇr´ımky)
v-kˇrivky, (pro uveden´ y v´alec jsou v-kˇrivkami
jestliˇze v = konst. dost´av´ame: x = x(u, v0 ), y = y(u, v0 ), z = z(u, v0 ) kruˇznice)
u-kˇrivky, (pro uveden´ y v´alec jsou u-kˇrivkami
• Explicitn´ı tvar: z = f (x, y) (napˇr. z = 3x + 7y − 9) • Implicitn´ı vyj´adˇren´ı: F (x, y, z) = 0 (napˇr. 3x2 + y 2 + 4z − 2x = 0) Kˇ rivka na ploˇ se je kˇrivka, jej´ıˇz body vyhovuj´ı rovnici plochy. Teˇ cn´ a rovina plochy je mnoˇzina teˇcen kˇrivek plochy v dan´em bodˇe. Teˇ cna plochy je pˇr´ımka teˇcn´e roviny, kter´a proch´az´ı dotykov´ ym bodem. Norm´ ala plochy je kolmice k teˇcn´e rovinˇe plochy v bodˇe dotyku. Dvˇe plochy se dot´ ykaj´ı v dan´em bodˇe, jestliˇze v nˇem maj´ı spoleˇcnou teˇcnou rovinu. Pr˚ unikov´ a kˇ rivka je mnoˇzina spoleˇcn´ ych bod˚ u dvou ploch.
Bod na ploˇse je regul´ arn´ı, jestliˇze v nˇem existuje pr´avˇe jedna teˇcn´a rovina a singul´ arn´ı v ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Pˇr´ımky na ploˇse rozdˇelujeme na regul´ arn´ı, kdy v kaˇzd´em bodˇe pˇr´ımky existuje jin´a teˇcn´a rovina - teˇcn´e roviny tvoˇr´ı svazek rovin (napˇr. pˇr´ımky na rotaˇcn´ım jednod´ıln´em hyperboloidu) a torz´ aln´ı, kdy existuje jedin´a teˇcn´a rovina pod´el cel´e pˇr´ımky (napˇr. pˇr´ımky na kuˇzelov´e ploˇse).
3.2
´ Ulohy na ploch´ ach
• Teˇ cn´ a rovina τ v bodˇ e T: 1. zvol´ıme dvˇe kˇrivky k1 , k2 na ploˇse proch´azej´ıc´ı bodem T (vhodn´e jsou napˇr. tvoˇr´ıc´ı kˇrivka a dr´aha pohybu), 2. urˇc´ıme teˇcny t1 a t2 k tˇemto kˇrivk´am (pˇredpokl´ad´ame, ˇze jsou r˚ uzn´e), 3. teˇcn´a rovina τ je urˇcena teˇcnami t1 a t2 (obr. 3.2).
´ 3.2. Ulohy na ploch´ ach
Obr´azek 3.3:
28
Obr´azek 3.4:
ˇ • Rez plochy rovinou % a teˇ cna ˇ rezu: 1. zvol´ıme kˇrivku k plochy 2. pr˚ unikem kˇrivky k s rovinou % je bod K (jeden bod ˇrezu) 3. opakov´an´ım bod˚ u 1) a 2) dost´av´ame jednotliv´e body ˇrezu (obr. 3.3). 4. teˇcna ˇrezu je pr˚ useˇcnic´ı teˇcn´e roviny a roviny ˇrezu (obr. 3.4). • Pr˚ useˇ c´ık pˇ r´ımky p s plochou κ: 1. proloˇz´ıme rovinu % pˇr´ımkou p, 2. urˇc´ıme ˇrez plochy κ rovinou %, dostaneme pr˚ unikovou kˇrivku k, 3. pr˚ unik pˇr´ımky p a kˇrivky k je hledan´ y pr˚ useˇc´ık X (obr. 3.5).
Obr´azek 3.5:
Obr´azek 3.6:
• Pr˚ unik dvou ploch α a β: 1. zvol´ıme pomocnou rovinu %, 2. najdeme pr˚ unikovou kˇrivku k1 roviny % s plochou α, 3. najdeme pr˚ unikovou kˇrivku k2 roviny % s plochou β,
3.3. Kontroln´ I ot´ azky
29
4. pr˚ useˇc´ık P kˇrivek k1 a k2 je bodem pr˚ uniku ploch α a β (obr. 3.6), 5. opakov´an´ım bod˚ u 1)-4) najdeme poˇzadovan´ y poˇcet bod˚ u pr˚ uniku ploch α a β, 6. teˇcna pr˚ unikov´e kˇrivky v dan´em bodˇe je pr˚ useˇcnic´ı teˇcn´ ych rovin obou ploch v dan´em bodˇe (jin´a moˇznost urˇcen´ı teˇcny pr˚ unikov´e kˇrivky spoˇc´ıv´a v konstrukci kolmice k rovinˇe dan´e norm´alami dan´ ych ploch v dan´em bodˇe). Skuteˇ cn´ y obrys plochy tvoˇr´ı body plochy, v nichˇz jsou prom´ıtac´ı pˇr´ımky teˇcnami plochy. Zd´ anliv´ y obrys plochy je pr˚ umˇet skuteˇcn´eho obrysu plochy.
3.3
Kontroln´ı ot´ azky
3.1 Popiˇste, jak lze obecnˇe urˇcit teˇcnou rovinu a norm´alu plochu. 3.2 Popiˇste, jak lze zkonstruovat teˇcnu ˇrezu plochy. 3.3 Uved’te dva zp˚ usoby urˇcen´ı teˇcny pr˚ unikov´e kˇrivky dvou ploch (n´avod: pomoc´ı teˇcn´ ych rovin nebo pomoc´ı norm´al ploch).
Kapitola 4 Rotaˇ cn´ı plochy 4.1
Z´ akladn´ı pojmy
Rotaˇ cn´ı plocha vznik´a rotac´ı kˇrivky k kolem pˇr´ımky o. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze kˇrivka k nespl´ yv´a s pˇr´ımkou o a neleˇz´ı v rovinˇe kolm´e na pˇr´ımku o (obr. 4.1, 4.2). Pˇri ˇreˇsen´ı u ´loh v Mongeovˇe prom´ıt´an´ı budeme volit osu o zpravidla kolmou k p˚ udorysnˇe. Kˇrivku k naz´ yv´ame tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka rotaˇcn´ı plochy, pˇr´ımku o osou rotaˇ cn´ı plochy.
Obr´azek 4.1:
Obr´azek 4.2:
Rovnobˇ eˇ zkov´ a kruˇ znice (rovnobˇeˇzka) rA je kruˇznice, kter´a vznikne rotac´ı libovoln´eho bodu A tvoˇr´ıc´ı kˇrivky kolem osy o. Meridi´ an (poledn´ık) je ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou, proch´azej´ıc´ı osou rotaˇcn´ı plochy; hlavn´ı meridi´ an m je meridi´an leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovnobˇeˇzn´e s pr˚ umˇetnou. Teˇ cnou rovinu rotaˇcn´ı plochy urˇcujeme teˇcnami dvou kˇrivek plochy proch´azej´ıc´ıch dan´ ym bodem. Obvykle je teˇcn´a rovina urˇcena bud’ teˇcnou meridi´anu (tm ) a teˇcnou rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice (tr ), nebo teˇcnou tvoˇr´ıc´ı kˇrivky (tk ) a teˇcnou rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice (tr ). Norm´ ala n rotaˇcn´ı plochy je kolmice na teˇcnou rovinu v bodˇe dotyku.
30
4.2. Vlastnosti rotaˇ cn´ Ich ploch
4.2
31
Vlastnosti rotaˇ cn´ıch ploch
• Rotaˇcn´ı plocha je soumˇ ern´ a podle sv´e osy a podle roviny kaˇzd´eho meridi´anu. • Teˇ cn´ a rovina rotaˇcn´ı plochy je kolm´ a k rovinˇe meridi´anu proch´azej´ıc´ı dotykov´ ym bodem. • Teˇ cn´ e roviny rotaˇcn´ı plochy v bodech t´eˇze rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice obaluj´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı v´alcovou plochu nebo rovinu. • Teˇ cny meridi´anu v bodech t´eˇze rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice tvoˇr´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı v´alcovou plochu nebo rovinu (obr. 4.3, 4.4). • Norm´ ala rotaˇcn´ı plochy prot´ın´a osu nebo je s n´ı rovnobˇeˇzn´a. • Norm´ aly rotaˇcn´ı plochy v bodech t´eˇze rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice tvoˇr´ı bud’ rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu, nebo rotaˇcn´ı v´alcovou plochu nebo rovinu.
2,5 2,5 2 2
1,5
1,5
1
-1
1
0,5 -1
-0,5 00 0
0,5
-0,5 0,5
0,5
1
-1
-0,5
0 0
0,5
1
1
Obr´azek 4.3:
Obr´azek 4.4:
Rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice se naz´ yv´a hrdlo, jestliˇze teˇcny pod´el t´eto rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rotaˇcn´ı v´alcovou plochu a polomˇer je lok´aln´ım minimem, tj. ze vˇsech okoln´ıch rovnobˇeˇzek je tento polomˇer nejmenˇs´ı, rovn´ık, jestliˇze teˇcny pod´el t´eto rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rotaˇcn´ı v´alcovou plochu a polomˇer je lok´aln´ım maximem, tj. ze vˇsech okoln´ıch rovnobˇeˇzek je tento polomˇer nejvˇetˇs´ı, kr´ ater, jestliˇze teˇcny pod´el t´eto rovnobˇeˇzky tvoˇr´ı rovinu. Skuteˇcn´ ym obrysem rotaˇcn´ı plochy pˇri pravo´ uhl´em prom´ıt´an´ı na rovinu rovnobˇeˇznou s osou je
4.3. Klasifikace rotaˇ cn´ Ich ploch
32
hlavn´ı meridi´an a hraniˇcn´ı kruˇznice plochy. V pˇr´ıpadˇe kolm´eho pr˚ umˇetu na rovinu kolmou k ose jsou skuteˇcn´ ym obrysem hrdeln´ı, rovn´ıkov´e a hraniˇcn´ı kruˇznice plochy. Zd´anliv´ ym obrysem rotaˇcn´ı plochy je pr˚ umˇet skuteˇcn´eho obrysu.
4.3
Klasifikace rotaˇ cn´ıch ploch
podle tvoˇr´ıc´ı kˇrivky: N´ azev Pˇr´ımkov´e
Tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka pˇr´ımka p k o pˇr´ımka p r˚ uznobˇeˇzn´a s o pˇr´ımka p mimobˇeˇzn´a s o kruˇznice k ⊂ β, o ⊂ β kruˇznice k ⊂ β, o 6⊂ β kruˇznice k ⊂ β, o ⊂ β a S ∈ o elipsa e ⊂ β, o ⊂ β parabola p ⊂ β, o ⊂ β hyperbola (rotace okolo vedlejˇs´ı osy) hyperbola (rotace okolo hlavn´ı osy)
Cyklick´e
Rotaˇcn´ı kvadriky
Rotaˇ cn´ı plocha v´alcov´a kuˇzelov´a jednod´ıln´ y rot. hyperboloid anuloid globoid kulov´a plocha rotaˇcn´ı elipsoid rotaˇcn´ı paraboloid jednod´ıln´ y rot. hyperboloid dvojd´ıln´ y rot. hyperboloid
Obecn´e
o2
4.4m2 A2 rA2
´ Ulohy na rotaˇ cn´ıch ploch´ ach
k2 S2
o1 A1
o2
x12 m1
o2
k2
t2´
k2
rA1
t2
k1
M2
rM2
M2 x12
x12
o1
o1
k1
k1 M1
Obr´azek 4.5:
t1´
M1
rM1 t1
Obr´azek 4.6:
´ 4.4. Ulohy na rotaˇ cn´ Ich ploch´ ach
33
Pˇ r´ıklad 4.1 Rotaˇcn´ı plocha je d´ana osou o a tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou k. Sestrojte teˇcnou rovinu v bodˇe M ∈ k - obr. 4.5. ˇ sen´ı: (obr. 4.6) Reˇ 1. 2. 3. 4.
Sestroj´ıme n´arys a p˚ udorys rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice r proch´azej´ıc´ı bodem M . Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t k rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t0 ke kˇrivce k. Teˇcn´a rovina τ je urˇcena teˇcnami t a t0 .
o2
o2
m2
m2 M2
t2´
rM2
M2
M2
x12 m1
t2
x12 m1
o1
o1
M1 rM1
M1 t1
Obr´azek 4.7:
t1´
Obr´azek 4.8:
Pˇ r´ıklad 4.2 Rotaˇcn´ı plocha je d´ana osou o a hlavn´ım meridi´anem m. Sestroj´ıme teˇcnou rovinu plochy v bodˇe M ∈ k, je-li d´ano M2 - obr. 4.7. ˇ sen´ı: (obr. 4.8) Reˇ 1. Sestroj´ıme n´arys a p˚ udorys rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice r proch´azej´ıc´ı bodem M a odvod´ıme p˚ udorys bodu M . 2. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t k rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici. 3. Najdeme bod M hlavn´ıho meridi´anu, leˇz´ıc´ı na stejn´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznici jako bod M . 4. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu tM k meridi´anu. 5. Pouˇzit´ım vlastnosti, ˇze teˇcny meridi´anu v bodech t´eˇze rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice se prot´ınaj´ı na ose, sestroj´ıme teˇcnu t0 meridi´anu v bodˇe M . 6. Teˇcn´a rovina τ je urˇcena teˇcnami t a t0 .
´ 4.4. Ulohy na rotaˇ cn´ Ich ploch´ ach
Obr´azek 4.9:
34
Obr´azek 4.10:
D˚ uleˇzitou u ´lohu pˇredstavuje urˇcen´ı ˇrezu rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ. Pouˇzijeme obecn´ y postup zu ´vodn´ı kapitoly o ploch´ach, ale provedeme modifikaci pro rotaˇcn´ı plochy. Nejprve najdeme vhodnou kˇrivku na ploˇse. Touto vhodnou kˇrivkou je na rotaˇcn´ı ploˇse rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice, kterou dostaneme jako ˇrez pomocnou rovinou kolmou na osu rotaˇcn´ı plochy. Tuto rovinu vyuˇzijeme i pˇri hled´an´ı pr˚ useˇc´ık˚ u kˇrivky s rovinou ρ. Pˇ r´ıklad 4.3 Rotaˇcn´ı plocha je d´ana osou o a meridi´anem m. Sestroj´ıme ˇrez rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ, kter´a je urˇcena stopami - obr. 4.9. ˇ sen´ı: (obr. 4.10) Reˇ 1. Zvol´ıme pomocnou rovinu α kolmou k ose o rotaˇcn´ı plochy. V n´arysu se tato rovina prom´ıtne do pˇr´ımky kolm´e k ose o. 2. Sestroj´ıme pr˚ unik roviny α s rotaˇcn´ı plochou. Pr˚ unikem je rovnobˇeˇzkov´a kruˇznice k α , jej´ıˇz polomˇer najdeme v n´arysu ve skuteˇcn´e velikosti (je to vzd´alenost pr˚ useˇc´ıku roviny α s meridi´anem od osy). N´arysem t´eto kruˇznice je u ´seˇcka, p˚ udorysem kruˇznice. 3. Urˇc´ıme pr˚ unik roviny α s rovinou ρ. Pr˚ unikem je hlavn´ı pˇr´ımka hα roviny ρ, odvod´ıme ji do p˚ udorysu. 4. v p˚ udoryse najdeme pr˚ useˇc´ıky A, A hlavn´ı pˇr´ımky hα s rovnobˇeˇzkovou kruˇznic´ı k α . Tyto body jsou z´aroveˇ n pr˚ useˇc´ıky kruˇznice k α s rovinou ρ. Z p˚ udorysu je odvod´ıme na hlavn´ı α pˇr´ımku h do n´arysu. 5. Body A, A jsou dva body ˇrezu rotaˇcn´ı plochy rovinou ρ. 6. Postup opakujeme volbou dalˇs´ı roviny kolm´e k ose. Na obr. 4.10 jsou sestrojeny ˇctyˇri body pr˚ uniku roviny % s touto plochou. Body A, A jsme sestrojili v pomocn´e rovinˇe α (α ⊥ o), body B, B v pomocn´e rovinˇe β (β ⊥ o). T´ımto zp˚ usobem najdeme dostateˇcn´ y poˇcet bod˚ u, kter´ ymi pak proloˇz´ıme kˇrivku ˇrezu.
4.5. Pr˚ uniky rotaˇ cn´ Ich ploch
35
Pozn´ amka 4.1 Jestliˇze je rotaˇcn´ı plochou rotaˇcn´ı kvadrika, je ˇrezem kuˇzeloseˇcka. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme ˇrez sestrojit pˇresnˇeji.
4.5
Pr˚ uniky rotaˇ cn´ıch ploch
Pouˇzijeme algoritmus pro urˇcen´ı pr˚ uniku ploch, pouze pouˇzijeme speci´aln´ı typ plochy % pro jednotliv´e vz´ajemn´e polohy (obr. 4.11). a) Pokud osy rotaˇcn´ıch ploch spl´ yvaj´ı, jsou pr˚ unikov´ ymi kˇrivkami spoleˇcn´e rovnobˇeˇzkov´e kruˇznice. b) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch rovnobˇeˇzn´e, vol´ıme jako plochu % rovinu kolmou na osy. c) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch r˚ uznobˇeˇzn´e, vol´ıme jako plochu % kulovou plochu se stˇredem v pr˚ useˇc´ıku os. d) Pokud jsou osy rotaˇcn´ıch ploch mimobˇeˇzn´e, pouˇzijeme obecn´ y algoritmus.
Obr´azek 4.11:
4.6
Rotaˇ cn´ı kvadriky
• singul´arn´ı (vzniknou rotac´ı singul´arn´ı kuˇzeloseˇcky) a) rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha
x2 a2
b) rotaˇcn´ı kuˇzelov´a plocha
+
x2 a2
y2 a2
+
=1
y2 a2
−
z2 c2
=0
• regul´arn´ı (vzniknou rotac´ı regul´arn´ı kuˇzeloseˇcky)
4.7. Kontroln´ I ot´ azky
36
a) kulov´a plocha x2 + y 2 + z 2 = r2 b) elipsoid
x2 a2
b) paraboloid
+ x2 2p
y2 a2
+
+
y2 2q
z2 c2
=1
±z =0
b) hyperboloid 2 2 x2 + ay2 − zc2 = a2 2 2 2 − xa2 − ay2 zc2 = 1
jednod´ıln´ y dvojd´ıln´ y
1
ˇ Rezem rotaˇcn´ı kvadriky je kuˇzeloseˇcka. Konstrukce ˇrezu: - naj´ıt 5 prvk˚ u (5 bod˚ u, 3 body a 2 teˇcny ve dvou z nich, apod.) a pouˇz´ıt Pascalovu vˇetu - nebo v konkr´etn´ıch pˇr´ıpadech naj´ıt urˇcuj´ıc´ı prvky ˇrezu (napˇr. hlavn´ı osy elipsy). Pr˚ unikem rotaˇcn´ıch kvadrik je kˇrivka 4. stupnˇe. Vˇ eta 4.1 Pr˚ unik dvou rotaˇcn´ıch kvadrik se rozpadne na dvˇe kuˇzeloseˇcky pr´avˇe tehdy, kdyˇz existuje kulov´a plocha souˇcasnˇe vepsan´a obˇema kvadrik´am.
4.7
Kontroln´ı ot´ azky
4.1 Uved’te, jak´ ym postupem se konstruuje pr˚ unik dvou rotaˇcn´ıch ploch v z´avislosti na poloze jejich os. 4.2 Popiˇste dva zp˚ usoby vytvoˇren´ı rotaˇcn´ıho jednod´ıln´eho hyperboloidu. 4.3 Vyjmenujte rotaˇcn´ı kvadriky a rozdˇelte je na singul´arn´ı a regul´arn´ı. 4.4 Uved’te nutnou a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku pro rozpad pr˚ uniku dvou rotaˇcn´ıch kvadrik na dvˇe kuˇzeloseˇcky.
Kapitola 5 ˇ Sroubov´ e plochy 5.1
Z´ akladn´ı pojmy
Obr´azek 5.1:
5.2
ˇ Sroubov´ a plocha vznik´a ˇsroubov´ ym poˇ hybem kˇrivky k. Sroubov´ y pohyb je d´an osou o, redukovanou v´ yˇskou z´avitu v0 a orientac´ı {±} (o, v0 , {±}). Kˇrivku k naz´ yv´ame tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivkou. Teˇ cn´ a rovina τ je obvykle urˇcena teˇcnou ke ˇsroubovici ts a teˇcnou k tvoˇr´ıc´ı kˇrivce tk . Norm´ ala ˇsroubov´e plochy je kolmice k teˇcn´e rovinˇe v bodˇe dotyku. Osov´ y ˇ rez (pod´eln´ y profil) je ˇrez ˇsroubov´e plochy rovinou σ, proch´azej´ıc´ı osou ˇsroubov´e plochy. Meridi´ an je osov´ y ˇrez na jednom z´avitu plochy. Polomeridi´ an je osov´ y ˇrez polorovinou s hraniˇcn´ı pˇr´ımkou o na jednom z´avitu plochy. ˇ Celn´ ıˇ rez (pˇr´ıˇcn´ y profil, norm´aln´ı ˇrez) je ˇrez ˇsroubov´e plochy rovinou %, kolmou na osu.
Vlastnosti ˇ sroubov´ ych ploch
• Kaˇzd´ ym bodem ˇsroubov´e plochy proch´az´ı ˇsroubovice sA , kter´a leˇz´ı na t´eto ˇsroubov´e ploˇse (obr. 5.1). • Kaˇzd´ ym bodem ˇsroubov´e plochy proch´az´ı (alespoˇ n) jedna poloha tvoˇr´ıc´ı kˇrivky. • Vˇsechny polomeridi´any jedn´e ˇsroubov´e plochy jsou shodn´e. 37
5.3. Klasifikace ˇ sroubov´ ych ploch
38
• Vˇsechny ˇceln´ı ˇrezy jedn´e ˇsroubov´e plochy jsou shodn´e. • Existuje pouze jedin´a rozvinuteln´a ˇsroubov´a plocha - plocha teˇcen ˇsroubovice.
5.3
Klasifikace ˇ sroubov´ ych ploch
podle tvoˇr´ıc´ı kˇrivky: N´ azev Tvoˇ r´ıc´ı kˇ rivka Pˇr´ımkov´a plocha Pˇr´ımka p
Pˇr´ımka p
Cyklick´a plocha
5.4
Kruˇznice k
ˇ Sroubov´ a plocha Otevˇren´a - p, o mimobˇeˇzky -pravo´ uhl´a -koso´ uhl´a – speci´alnˇe rozvinuteln´a ˇsroubov´a plocha Uzavˇren´a - p, o r˚ uznobˇeˇzky -pravo´ uhl´a -koso´ uhl´a – v´ yvrtkov´a plocha) - vinut´ y sloupek (k ∈ β, β je kolm´a na o) - osov´a (k ∈ β, o ∈ β) - Archim´edova serpentina (k ∈ β, β je kolm´a k teˇcnˇe t) - ostatn´ı
´ Ulohy na ˇ sroubov´ ych ploch´ ach
Pˇ r´ıklad 5.1 Sestroj´ıme 2 body ˇrezu cyklick´e ˇsroubov´e plochy polorovinou α, proch´azej´ıc´ı osou o. - obr. 5.2. ˇ sen´ı: (obr. 5.3) Reˇ 1. 2. 3. 4.
Na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce zvol´ıme bod A. Bodem A proloˇz´ıme ˇsroubovici, kter´a leˇz´ı na ˇsroubov´e ploˇse (zakresl´ıme p˚ udorys). Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A t´eto ˇsroubovice s rovinou α. Tot´eˇz opakujeme pro bod B.
Uvˇedomte si , ˇze graf z´avislosti je nutn´e konstruovat pro kaˇzd´ y bod znovu, nebot’ pro ˇsroubovice se mˇen´ı polomˇer pˇr´ısluˇsn´e v´alcov´e plochy. Teˇckovanˇe je vyznaˇcen tvar cel´eho ˇrezu.
´ 5.4. Ulohy na ˇ sroubov´ ych ploch´ ach
Obr´azek 5.2:
39
Obr´azek 5.3:
´ 5.4. Ulohy na ˇ sroubov´ ych ploch´ ach
Obr´azek 5.4:
40
Obr´azek 5.5:
Pˇ r´ıklad 5.2 Sestroj´ıme bod ˇrezu osov´e cyklick´e ˇsroubov´e plochy rovinou α (α ⊥ o). - obr. 5.4. ˇ sen´ı: (obr. 5.5) Postup je podobn´ Reˇ y jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe, pouze z v´ yˇsky odvozujeme d´elku oblouku. 1. Na tvoˇr´ıc´ı kˇrivce zvol´ıme bod A. 2. Bodem A proloˇz´ıme ˇsroubovici sA , kter´a leˇz´ı na ˇsroubov´e ploˇse (zobraz´ıme v p˚ udorysu). 3. Sestroj´ıme pr˚ useˇc´ık A t´eto ˇsroubovice s rovinou α. (Sestroj´ıme graf z´avislosti v´ yˇsky na oblouku (rozvinut´a ˇsroubovice sA - zn´ame v0 a rA ). V n´arysu zjist´ıme vzd´alenost vA bodu A od roviny α. Z grafu odvod´ıme d´elku xA oblouku pˇr´ısluˇsnou k v´ yˇsce vA . D´elku oblouku xA naneseme na p˚ udorys ˇsroubovice ve smˇeru stoup´an´ı (protoˇze bod sA je pod rovinou α). N´arys bodu A najdeme v rovinˇe α.) Dalˇs´ı body bychom sestrojovali stejn´ ym zp˚ usobem. Uvˇedomte si , ˇze graf z´avislosti je nutn´e konstruovat pro kaˇzd´ y bod znovu (mˇen´ı se polomˇer). Teˇckovanˇe je vyznaˇcen tvar cel´eho ˇrezu.
5.5. Kontroln´ I ot´ azky
Obr´azek 5.6:
41
Obr´azek 5.7:
Pˇ r´ıklad 5.3 Sestroj´ıme teˇcnou rovinu a norm´alu ˇsroubov´e plochy, kter´a je urˇcena tvoˇr´ıc´ı kˇrivkou k a ˇsroubov´ ym pohybem (o, v0 , +). - obr. 5.6. ˇ sen´ı: (obr. 5.7) Reˇ 1. Sestroj´ıme v bodˇe A teˇcnu r ke kˇrivce k (n´arys i p˚ udorys). 2. Sestroj´ıme p˚ udorys ˇsroubovice s proch´azej´ıc´ı bodem A. 3. Sestroj´ıme v bodˇe M teˇcnu t ke ˇsroubovici s (jej´ı n´arys odvod´ıme pomoc´ı povrˇsky p ˇr´ıd´ıc´ıho kuˇzele). 4. Teˇcn´a rovina τ je urˇcena teˇcnami t a r. 5. Norm´ala n je kolm´a k teˇcn´e rovinˇe τ (sestroj´ıme hlavn´ı pˇr´ımky - v naˇsem pˇr´ıpadˇe je front´aln´ı hlavn´ı pˇr´ımka totoˇzn´a s pˇr´ımkou r).
5.5
Kontroln´ı ot´ azky
5.1 Popiˇste vznik tzv. Archim´edovy serpentiny. 5.2 Popiˇste konstrukci norm´aly ˇsroubov´e plochy a porovnejte moˇznosti jej´ı konstrukce se stejnou u ´lohou pro rotaˇcn´ı plochy.
Kapitola 6 Pˇ r´ımkov´ e plochy 6.1
Z´ akladn´ı pojmy
Pˇ r´ımkov´ e plochy lze vytvoˇrit pohybem pˇr´ımky p, kter´a prot´ın´a (st´ale) tˇri ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivky (nebo se dot´ yk´a tˇr´ı ˇr´ıd´ıc´ıch ploch). Speci´alnˇe: Pokud leˇz´ı jedna z ˇr´ıd´ıc´ıch kˇrivek v nevlastn´ı rovinˇe, plocha je urˇcena ˇr´ıd´ıc´ı kuˇzelovou plochou (tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky plochy jsou rovnobˇeˇzn´e s povrˇskami t´eto kuˇzelov´e plochy. Pokud je nevlastn´ı ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivka pˇr´ımkou, pak jsou tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky plochy rovnobˇeˇzn´e s tzv. ˇr´ıd´ıc´ı rovinou, plochy se naz´ yvaj´ı Catalanovy plochy. Pˇr´ımkov´e plochy lze urˇcit i dalˇs´ımi zp˚ usoby - napˇr. pohybem (rotac´ı pˇr´ımky - JRH, ˇsroubov´ ym pohybem pˇr´ımky). Rozdˇelen´ı pˇr´ımkov´ ych ploch: • rozvinuteln´ e (viz obr.6.1) - vˇsechny tvoˇric´ı pˇr´ımky jsou torz´aln´ı (pod´el tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky existuje jedin´a teˇcn´a rovina), • zborcen´ e (viz obr.6.2) - obsahuje regul´arn´ı pˇr´ımky (pod´el tvoˇric´ı pˇr´ımky tvoˇr´ı teˇcn´e roviny svazek rovin).
Obr´azek 6.1: Rozvinuteln´a plocha, torz´aln´ı Obr´azek 6.2: Zborcen´a plocha, regul´arn´ı pˇr´ımka pˇr´ımka
42
6.2. Zborcen´ e plochy
6.2
43
Zborcen´ e plochy
Konstrukce tvoˇric´ı pˇr´ımky zborcen´e plochy (viz obr. 6.3): Plocha Φ je urˇcena ˇr´ıdic´ımi kˇrivkami a, b, c. Kaˇzd´ ym bodem A ∈ a a ˇr´ıdic´ımi kˇrivkami b, c jsou urˇceny dvˇe kuˇzelov´e plochy se spoleˇcn´ ym vrcholem A. Pokud jsou jejich pr˚ unikem pˇr´ımky (na obr. p, q), pak jsou tvoˇric´ımi pˇr´ımkami plochy Φ.
Obr´azek 6.3: Konstrukce tvoˇric´ı pˇr´ımky Zborcen´a plocha m˚ uˇze m´ıt i izolovanou torz´aln´ı pˇr´ımku.
1
Pˇ r´ıklad 6.1 Sestrojte nˇekolik tvoˇric´ıch pˇr´ımek nerozvinuteln´e pˇr´ımkov´e plochy Φ urˇcen´e kˇrivkami k, m a rovinou κ. K bod˚ um A, B leˇz´ıc´ım na ploˇse Φ najdˇete druh´ y pr˚ umˇet. - obr. 6.4. ˇ sen´ı: (obr.6.5) V tomto pˇr´ıpadˇe je jedna z ˇr´ıdic´ıch kˇrivek nevlastn´ı a leˇz´ı v rovinˇe κ rovReˇ nobˇeˇzn´e s p˚ udorysnou. Vˇsechny hledan´e tvoˇric´ı pˇr´ımky plochy Φ jsou tedy rovnobˇeˇzn´e s rovinou κ (a s p˚ udorysnou). Sestroj´ıme pˇr´ımky a resp. b proch´azej´ıc´ı body A resp. B 1. P˚ udorys a1 pˇr´ımky a proch´az´ı bodem A1 a prot´ın´a m1 . 2. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky a1 s kˇrivkou k1 odvod´ıme do n´arysu na kˇrivku k2 . 3. Pˇr´ımka a2 je rovnobˇeˇzn´a s x12 (a je rovnobˇeˇzn´a s rovinou κ) a proch´az´ı odvozen´ ym pr˚ useˇc´ıkem. 4. N´arys A2 bodu A leˇz´ı na pˇr´ımce a2 . 5. N´arys b2 pˇr´ımky b proch´az´ı bodem B2 a je rovnobˇeˇzn´ y s x12 (b je rovnobˇeˇzn´a s rovinou κ). 6. Pr˚ useˇc´ık pˇr´ımky b2 s kˇrivkou k2 odvod´ıme do p˚ udorysu na kˇrivku k1 . 1
Torz´ aln´ı pˇr´ımka spolu se soumeznou pˇr´ımkou urˇcuj´ı torz´ aln´ı rovinu a jejich pr˚ useˇc´ık se naz´ yv´a kuspid´ aln´ı bod. Obrysov´e kˇrivky nerozvinuteln´ ych ploch proch´azej´ı kuspid´aln´ımi body. Vlastn´ı teˇcnou rovinu v nevlastn´ım bodˇe tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky naz´ yv´ ame asymptotickou rovinou. Rovina proch´azej´ıc´ı tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımkou kolmo k asymptotick´e rovinˇe se naz´ yv´ a centr´ aln´ı rovina a jej´ı dotykov´ y bod centr´ aln´ı bod tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky. Mnoˇzina centr´ aln´ıch bod˚ u vˇsech tvoˇr´ıc´ıch pˇr´ımek se naz´ yv´ a strikˇ cn´ı kˇrivka (kˇrivka z´ uˇzen´ı).
6.2. Zborcen´ e plochy
44
7. P˚ udorys b1 pˇr´ımky b proch´az´ı odvozen´ ym pr˚ useˇc´ıkem a prot´ın´a pˇr´ımku m1 8. P˚ udorys B1 bodu B leˇz´ı na pˇr´ımce b1 . 9. Dalˇs´ı pˇr´ımky bychom sestrojili analogick´ ym zp˚ usobem.
Obr´azek 6.4: Pˇr´ıklad 6.1
6.2.1
Obr´azek 6.5: Pˇr´ıklad 6.1 - ˇreˇsen´ı
Teˇ cn´ e roviny pod´ el tvoˇ r´ıc´ı pˇ r´ımky zborcen´ e plochy
Teˇcn´e roviny v kaˇzd´em bodˇe tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky p zborcen´e plochy tvoˇr´ı svazek o ose p. Vztah mezi ˇalova) viz obr. 6.6 dotykov´ ymi body a teˇcn´ ymi rovinami vyjadˇruje Chaslesova vˇ eta (ˇcti S´ Vˇ eta 6.1 Pˇr´ım´a ˇrada dotykov´ych bod˚ u na obecn´e tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımce p nerozvinuteln´e pˇr´ımkov´e plochy je projektivn´ı se svazkem pˇr´ısluˇsn´ych teˇcn´ych rovin. Plat´ı (α, β, γ, δ) = (A, B, C, D).
Obr´azek 6.6: Chaslesova vˇeta Jsou-li zn´amy teˇcn´e roviny α, β, γ ve tˇrech bodech A, B, C pˇr´ımky p zborcen´e plochy Φ, lze sestrojit teˇcnou rovinu v dalˇs´ım bodˇe D pˇr´ımky p.
6.2. Zborcen´ e plochy
45
Pˇ r´ıklad 6.2 Sestroj´ıme teˇcnou rovinu v bodˇe D nerozvinuteln´e pˇr´ımkov´e plochy Φ, kde p je tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka t´eto plochy a pˇr´ımky a, b, c jsou jej´ı teˇcny v bodech A, B, C. - obr. 6.7. ˇ sen´ı: (obr. 6.8) Reˇ 1. Teˇcn´a rovina α v bodˇe A, resp. β v bodˇe B, resp. γ v bodˇe C je urˇcena pˇr´ımkami a, p resp. b, p resp. c, p. Sestroj´ıme p˚ udorysn´e stopy rovin α, β, γ (jejich p˚ udorysy proch´azej´ı p˚ udorysn´ ym stopn´ıkem P1 ). 2. K pˇrenesen´ı dvojpomˇeru bod˚ u A, B, C, D pouˇzijeme prouˇzek pap´ıru (v n´aryse pˇreneseme body na prouˇzek pap´ıru, odpov´ıdaj´ıc´ı body oznaˇc´ıme 1, 2, 4, 3. 2 3. Prouˇzek pap´ıru um´ıst´ıme v p˚ udoryse tak, aby body 1, 2, 4 leˇzely na stop´ach pα1 , pβ1 , pγ1 . 4. P˚ udorysn´a stopa pδ1 hledan´e roviny δ je urˇcena p˚ udorysn´ ym stopn´ıkem P1 a bodem 3 na prouˇzku pap´ıru. 5. Rovina δ je urˇcena p˚ udorysnou stopou pδ a bodem D.
Obr´azek 6.7: Pˇr´ıklad 6.2
6.2.2
Obr´azek 6.8: Pˇr´ıklad 6.2 - ˇreˇsen´ı
Zborcen´ y hyperboloid
Jednod´ıln´ y rotaˇ cn´ı hyperboloid je rotaˇcn´ı kvadrika, kter´a vznikne rotac´ı pˇr´ımky k kolem osy o, kde pˇr´ımky k, o jsou mimobˇeˇzn´e. Mnoˇzinu pˇr´ımek, kter´e vznikly rotac´ı pˇr´ımky k naz´ yv´ame regulem K rotaˇcn´ıho hyperboloidu. Pokud sestroj´ıme ke kaˇzd´e pˇr´ımce regulu K, pˇr´ımku soumˇernˇe sdruˇzenou podle roviny proch´azej´ıc´ı osou o - napˇr´ıklad roviny hlavn´ıho meridi´anu (nebo sestroj´ıme pˇr´ımku k 0 soumˇernou ke k a tu nech´ame rotovat kolem osy o), z´ısk´ame pˇr´ımky druh´eho regulu K0 . Plocha m´a tedy dvˇe soustavy pˇr´ımek (reguly): 2
Tento zjednoduˇsen´ y zp˚ usob pˇrenesen´ı dvojpomˇeru je pouˇzit, protoˇze v´ yklad korektn´ı konstrukce nen´ı souˇc´ ast´ı uˇciva tohoto pˇredmˇetu.
6.2. Zborcen´ e plochy
Obr´azek 6.9: Jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid
46
Obr´azek 6.10: Zborcen´ y hyperboloid
• Pˇr´ımky jednoho regulu jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e. • Kaˇzd´a pˇr´ımka jednoho regulu prot´ın´a vˇsechny pˇr´ımky druh´eho regulu. Afinitou v prostoru se pˇr´ımky zobraz´ı na pˇr´ımky, vlastn´ı body na vlastn´ı body a nevlastn´ı body na nevlastn´ı body. Jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid se v afinitˇe zobraz´ı na zborcen´ y hyperboloid. Ten bude m´ıt opˇet dva reguly pˇr´ımek (pˇr´ımky jednoho regulu jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e a kaˇzd´ ym bodem jednoho regulu proch´az´ı pˇr´ımka druh´eho regulu). Zborcen´ y hyperboloid je opˇet kvadrika (nerotaˇcn´ı). ˇ ıd´ıc´ımi kˇrivkami jsou tˇri mimobˇeˇzn´e pˇr´ımky a, b, c. Konstrukce tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımky - bodem na R´ jedn´e pˇr´ımce ( napˇr. a ) sestroj´ıme pˇr´ıˇcku mimobˇeˇzek (b, c) mimobˇeˇzek. Pˇri speci´aln´ı poloze pˇr´ımek dost´av´ame op2t jednod´ıln´ y rotaˇcn´ı hyperboloid. Pˇ r´ıklad 6.3 Jsou d´any tˇri ˇr´ıd´ıc´ı pˇr´ımky a, b, c jednoho regulu zborcen´eho hyperboloidu. Sestrojte nˇekolik pˇr´ımek druh´eho regulu. - obr. 6.11. ˇ sen´ı: (obr. 6.12) Na jedn´e z pˇr´ımek zvol´ıme bod a u Reˇ ´lohu pˇrevedeme na u ´lohu sestrojen´ı pˇr´ıˇcky mimobˇeˇzek (zb´ yvaj´ıc´ıch dvou pˇr´ımek) dan´ ym bodem. Zde je pˇr´ımka a rovnobˇeˇzn´a s n´arysnou, a proto jsou konstrukce jednoduˇsˇs´ı neˇz v obecn´em pˇr´ıpadˇe. 1. Pˇr´ımku q vol´ıme rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou a (pr˚ useˇc´ık pˇr´ımek a a q je nevlastn´ı bod). P˚ udorysem pˇr´ımky q je tedy bod q1 , kter´ y leˇz´ı na pˇr´ımk´ach b1 a c1 (tedy v jejich pr˚ useˇc´ıku). N´arys pˇr´ımky q je rovnobˇeˇzn´ y s n´arysem pˇr´ımky q (q1 k a1 ). 2. Pˇr´ımka s prot´ın´a pˇr´ımku a a tedy jej´ı p˚ udorys s1 proch´az´ı bodem a1 (do kter´eho se zobraz´ı vˇsechny body pˇr´ımky a). Pr˚ useˇc´ıky pˇr´ımky s1 s pˇr´ımkami b1 , c1 odvod´ıme do n´arysu a sestroj´ıme n´arys pˇr´ımky s. 3. Pˇr´ımku r sestroj´ıme podobn´ ym zp˚ usobem jako pˇr´ımku s, pˇr´ımka je volena tak, aby byla rovnobˇeˇzn´a s n´arysnou (r1 k x12 ).
6.2. Zborcen´ e plochy
Obr´azek 6.11: Pˇr´ıklad 6.3
6.2.3
47
Obr´azek 6.12: Pˇr´ıklad 6.3 - ˇreˇsen´ı
Hyperbolick´ y paraboloid
Obrazem jednod´ıln´eho zborcen´eho hyperboloidu ve stˇredov´e kolineaci, jej´ıˇz u ´bˇeˇznicovou rovinou je teˇcn´a rovina hyperboloidu je plocha, kter´a se naz´ yv´a hyperbolick´ y paraboloid. Hyperbolick´ y paraboloid je opˇet kvadrika (nerotaˇcn´ı). Jedna pˇr´ımka kaˇzd´eho regulu se zobraz´ı do nevlastn´ı pˇr´ımky. Tˇremi mimobˇeˇzkami je urˇcena zborcen´a kvadrika a jestliˇze je jedna z nich nevlastn´ı, pak pˇr´ıˇcky zb´ yvaj´ıc´ıch dvou mimobˇeˇzek tuto nevlastn´ı pˇr´ımku prot´ınaj´ı. To znamen´a, ˇze jsou rovnobˇeˇzn´e s rovinou, kter´a nevlastn´ı pˇr´ımku obsahuje (spr´avnˇe: nevlastn´ı pˇr´ımka je ze zamˇeˇren´ı t´eto roviny). Tato rovina se naz´ yv´a ˇ r´ıdic´ı rovina hyperbolick´ eho paraboloidu. Hyperbolick´ y paraboloid m´a dvˇe ˇr´ıdic´ı roviny (vˇsechny pˇr´ımky jednoho regulu jsou rovnobˇeˇzn´e s jednou z ˇr´ıdic´ıch rovin. Jestliˇze zvol´ıme dvˇe pˇr´ımky jednoho regulu a dvˇe pˇr´ımky druh´eho regulu, je tˇemito pˇr´ımkami resp. jejich pr˚ useˇc´ıky urˇcen zborcen´ yˇ ctyˇ ru ´ heln´ık. Zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık urˇcuje hyperbolick´ y paraboloid jednoznaˇcnˇe. Pˇ r´ıklad 6.4 Sestrojte nˇekolik pˇr´ımek obou regul˚ u hyperbolick´eho paraboloidu urˇcen´eho zborcen´ ym ˇctyˇru ´heln´ıkem ABCD. Sestrojte ˇrez plochy rovinou α rovnobˇeˇznou s rovinou xz - obr. 6.13. ˇ sen´ı: (obr.6.14) Reˇ 1. Protˇejˇs´ı strany zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıka rozdˇel´ıme na stejn´ y poˇcet d´ıl˚ u. (Rozdˇel´ıme strany ˇctverce AB1 CD1 a odvod´ıme body na strany ˇctyˇru ´heln´ıka ABCD, v naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme rozdˇelili strany na ˇctyˇri d´ıly). 2. Povrˇsky plochy z´ısk´ame spojen´ım odpov´ıdaj´ıc´ıch si bod˚ u na protˇejˇs´ıch stran´ach zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıka. Kaˇzd´a dvojice stran zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıka urˇcuje pˇr´ımky jednoho regulu. 3. Pr˚ useˇc´ıky povrˇsek s rovinou α urˇcuj´ı ˇrez plochy rovinou α, ˇrezem je parabola.
6.2. Zborcen´ e plochy
Obr´azek 6.13:
Obr´azek 6.15: Hyperbolick´ y paraboloid
6.2.4
48
Obr´azek 6.14:
Obr´azek 6.16: Pˇr´ım´ y kruhov´ y konoid
Konoidy
Plochy urˇcen´e ˇr´ıdic´ı kˇrivkou (popˇr. plochou) a dvˇema pˇr´ımkami z nichˇz jedna je nevlastn´ı se naz´ yvaj´ı konoidy (konoidy jsou tedy urˇceny kˇrivkou, pˇr´ımkou a ˇr´ıdic´ı rovinou). Speci´aln´ım pˇr´ıpadem je hyperbolick´ y paraboloid (viz obr. 6.15 ), kde i ˇr´ıdic´ı kˇrivka je pˇr´ımkou. Jestliˇze je ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka (vlastn´ı) kolm´a k ˇr´ıdic´ı rovinˇe, pak se konoid naz´ yv´a pravo´ uhl´ y (pˇr´ım´ y). Nˇekter´e konoidy jsou pojmenov´any podle ˇr´ıdic´ı kˇrivky, napˇr. pˇ r´ım´ y kruhov´ y konoid (viz obr. 6.16 ) jehoˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivkou je kruˇznice, parabolick´ y konoid (viz obr. 6.19 ) jehoˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivkou je parabola nebo pˇ r´ım´ y ˇ sroubov´ y konoid (viz obr. 6.18 ) jehoˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivkou je ˇ ˇsroubovice. Sroubov´ y konoid se tak´e naz´ yv´a plocha hlavn´ıch norm´al ˇsroubovice, jeho tvoˇric´ı kˇrivky jsou pˇr´ımky kolm´e na osu ˇsroubovice a jsou to jej´ı hlavn´ı norm´aly. Dalˇs´ım z´astupcem konoid˚ u je Pl¨ ucker˚ uv konoid jehoˇz ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou je povrˇska rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy, ˇr´ıdic´ı kˇrivkou jej´ı eliptick´ y ˇrez a ˇr´ıdic´ı rovina je kolm´a k ˇr´ıdic´ı pˇr´ımce (viz obr. 6.17 ). Konoid, kter´ y je na obr. 6.20 se naz´ yv´a Whitney umbrela a jej´ımi ˇr´ıdic´ımi prvky je parabola, pˇr´ımka rovnobˇeˇzn´a s osou paraboly a ˇr´ıdic´ı rovina kolm´a na ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku.
6.2. Zborcen´ e plochy
49
Obr´azek 6.17: Plucker˚ uv konoid
Obr´azek 6.18: Pˇr´ım´ y ˇsroubov´ y konoid
Obr´azek 6.19: Parabolick´ y konoid
Obr´azek 6.20: Whitney umbrella
Teˇ cn´ a rovina konoidu Teˇcnou rovinu konoidu m˚ uˇzeme sestrojit vyuˇzit´ım hyperbolick´eho paraboloidu, kter´ y je urˇcen povrˇskou konoidu, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou a ˇr´ıdic´ı rovinou konoidu. Tyto dvˇe plochy pak maj´ı v kaˇzd´em bodˇe povrˇsky spoleˇcnou teˇcnou rovinu (viz obr. 6.21). Pˇ r´ıklad 6.5 V obecn´e axonometrii sestrojte nˇekolik povrˇsek pˇr´ım´eho kruhov´eho konoidu, jehoˇz ˇr´ıdic´ı kˇrivkou je p˚ ulkruˇznice k leˇz´ıc´ı v rovinˇe xy, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou pˇr´ımka a v rovinˇe xz a ˇr´ıdic´ı rovinou rovina yz. Sestrojte teˇcnou rovinu v bodˇe T konoidu zn´ame-li jeho p˚ udorys T1 . - obr. 6.22. ˇ sen´ı: (obr.6.23) Reˇ 1. Sestroj´ıme tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımku p:
6.2. Zborcen´ e plochy
50
Obr´azek 6.21: Spoleˇcn´a teˇcn´a rovina konoidu a hyperbolick´eho paraboloidu
a) Bodem T1 sestroj´ıme rovinu α rovnobˇeˇznou s ˇr´ıdic´ı rovinou konoidu (pα k y, nα k z). b) Body R a V jsou pr˚ useˇc´ıky roviny α s ˇr´ıdic´ımi kˇrivkami a a k (R = nα ∩a, V = pα ∩k). c) Tvoˇr´ıc´ı pˇr´ımka p konoidu proch´az´ı body R, V . Bod T konoidu leˇz´ı na pˇr´ımce p (a na rovnobˇeˇzce s osou z veden´e bodem T1 ). d) Podobn´ ym zp˚ usobem sestroj´ıme pˇr´ımky d, c. 2. Sestroj´ıme zborcen´ y ˇctyˇru ´heln´ık, kter´ y urˇcuje dotykov´ y hyperbolick´ y paraboloid (m´a s konoidem spoleˇcnou povrˇsku p, ˇr´ıdic´ı pˇr´ımku a a ˇr´ıdic´ı rovinu yz. Pˇr´ımky zborcen´eho ˇctyˇru ´heln´ıka jsou: • povrˇska p, sestrojen´a v bodˇe T , • teˇcna t0 k ˇr´ıdic´ı kˇrivce k v bodˇe V , • ˇr´ıdic´ı pˇr´ımka a, • pˇr´ıˇcka mimobˇeˇzek t0 a a rovnobˇeˇzn´a s ˇr´ıdic´ı rovinou yz (U je pr˚ useˇc´ık pˇr´ıˇcky s a, W 0 je pr˚ useˇc´ık pˇr´ıˇcky s t ). Body R, V, W, U jsou vrcholy hledan´eho ˇctyˇru ´heln´ıka. 3. Druhou ˇr´ıdic´ı rovinou hyperbolick´eho paraboloidu (urˇcen´eho R, V, W, U ) je rovina xy. Sestroj´ıme povrˇsku t hyperbolick´eho paraboloidu leˇz´ıc´ı v rovinˇe β (β k xy a tedy nβ k x) a proch´azej´ıc´ı bodem T . 4. Pˇr´ımky t a p urˇcuj´ı spoleˇcnou teˇcnou rovinu konoidu a hyperbolick´eho paraboloidu.
6.2. Zborcen´ e plochy
Obr´azek 6.22:
6.2.5
51
Obr´azek 6.23:
Dalˇ s´ı pˇ r´ımkov´ e plochy
Cylindroidy jsou plochy urˇcen´e dvˇema ˇr´ıdic´ımi kˇrivkami a nevlastn´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou. Na obr´azku 6.24 je Frezier˚ uv cylindroid urˇcen´ y dvˇema kruˇznicemi v r˚ uzn´ ych rovin´ach a rovinou kolmou k rovinˇe xy. Tato plocha se pouˇz´ıv´a k zastˇreˇsen´ı schodiˇstˇe. Na obr´azku 6.25 je cylindroid urˇcen´ y parabolou, sinusoidou a ˇr´ıdic´ı rovinou xz.
Obr´azek 6.24: Frezier˚ uv cylindroid
Obr´azek 6.25: Cylindroid
Konusoidy jsou plochy urˇcen´e dvˇema ˇr´ıdic´ımi kˇrivkami a vlastn´ı ˇr´ıdic´ı pˇr´ımkou. Na obr´azku ˇ 6.26 je konusoid, kter´ y naz´ yv´ame Strambersk´ a tr´ uba. Je urˇcen´ y kruˇznic´ı (lze i elipsou nebo parabolou) a dvˇema pˇr´ımkami, kter´e jsou navz´ajem mimobˇeˇzn´e, kolm´e a obˇe rovnobˇeˇzn´e s ˇ ast t´eto plochy je pouˇzita k zastˇreˇsen´ı vˇeˇze hradu ve Stramberku. ˇ rovinou ˇr´ıdic´ı kˇrivky. C´ ˇ ıdic´ı ploDalˇs´ı zaj´ımavou plochou z matematick´eho hlediska je M¨ obi˚ uv list (obr. 6.27). R´ chou kˇrivkou t´eto plochy je kruˇznice, jej´ı tvoˇric´ı pˇr´ımka prot´ın´a ˇr´ıdic´ı kruˇznici a pohybuje se tak, ˇze se bˇehem sv´e dr´ahy otoˇc´ı o π rad. Tato plocha je zaj´ımav´a svou neorientovatelnost´ı.
6.3. Rozvinuteln´ e plochy
ˇ Obr´azek 6.26: Strambersk´ a tr´ uba
6.3
52
Obr´azek 6.27: M¨obi˚ uv list
Rozvinuteln´ e plochy
Torz´ aln´ı povrˇ skou pˇr´ımkov´e plochy rozum´ıme pˇr´ımku p, pro kterou plat´ı, ˇze v kaˇzd´em jej´ım bodˇe je stejn´a teˇcn´a rovina τ , tj. teˇcn´a rovina τ se dot´ yk´a plochy pod´el torz´aln´ı povrˇsky p. Pˇr´ımkov´a plocha je rozvinuteln´ a, jestliˇze vˇsechny jej´ı povrˇsky jsou torz´aln´ı. Rozvinuteln´a plocha je obalovou plochou pohybuj´ıc´ı se roviny.
6.3.1
Typy rozvinuteln´ ych ploch
Rozvinuteln´ ymi plochami jsou pouze n´asleduj´ıc´ı plochy a jejich ˇca´sti: rovina, v´ alcov´ e plochy – obr. 6.28, kuˇ zelov´ e plochy – obr. 6.29 a plochy teˇ cen prostorov´ ych kˇ rivek – obr. 6.30.
Obr´azek 6.28:
Obr´azek 6.29:
V´ alcov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a smˇerem s, kter´ y nen´aleˇz´ı dan´e rovinˇe (s 6k σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı kˇrivku k a jsou smˇeru s. Kuˇ zelov´ a plocha je urˇcena rovinnou kˇrivku k (k ⊂ σ) a bodem V , kter´ y neleˇz´ı v rovinˇe dan´e kˇrivky (V 6∈ σ), a je tvoˇrena pˇr´ımkami, kter´e prot´ınaj´ı kˇrivku k a proch´azej´ı bodem V .
6.3. Rozvinuteln´ e plochy
53
V projektivn´ım rozˇs´ıˇren´ı euklidovsk´eho prostoru lze definovat v´alcovou a kuˇzelovou plochu jednou definic´ı, a to jako mnoˇzinu pˇr´ımek, kter´e prot´ınaj´ı danou kˇrivku k a proch´azej´ı dan´ ym vrcholem V . Oba typy ploch se liˇs´ı t´ım, zda vrchol V je vlastn´ı, pak jde o kuˇzelovou plochu, nebo je nevlastn´ı, pak jde o v´alcovou plochu.
Obr´azek 6.30:
Obr´azek 6.31:
Plocha teˇ cen prostorov´ e kˇ rivky je urˇcena prostorovou kˇrivkou k a je tvoˇrena jej´ımi teˇcnami. Na obr. 6.30 jsou uvedeny dva pˇr´ıklady takov´e plochy. Pˇr´ıkladem plochy teˇcen je ˇ rozvinuteln´a ˇsroubov´a plocha, kter´a je tvoˇrena teˇcnami ˇsroubovice – obr. 6.31. Rezem t´eto plochy rovinou kolmou k ose ˇsroubov´eho pohybu je kruhov´ a evolventa, tj. kˇrivka, kter´a vznik´a jako trajektorie bodu pˇr´ımky odvaluj´ıc´ı se po kruˇznici.
6.3.2
Metody komplanace
Komplanac´ı neboli rozvinut´ım rozum´ıme zobrazen´ı ϕ rozvinuteln´e plochy do roviny, kter´e zachov´av´a d´elky a u ´hly. Obecn´e metody pro rozvinut´ı jsou d´any n´asleduj´ıc´ı tabulkou. Typ rozvinuteln´ e plochy Metoda rozvinut´ı Obecn´a v´alcov´a plocha Norm´alov´ y ˇrez Obecn´a kuˇzelov´a plocha Triangulace Plocha teˇcen prostorov´e kˇrivky Triangulace Metoda norm´ alov´ eho ˇ rezu Norm´ alov´ ym ˇ rezem v´ alcov´ e plochy rozum´ıme ˇrez rovinou kolmou na povrchov´e pˇr´ımky plochy. Takov´ y ˇrez se pˇri rozvinut´ı zobraz´ı na pˇr´ımku kolmou na obrazy povrˇsek. Pˇri rozvinut´ı v´alcov´e plochy postupujeme takto: 1. Vedeme libovolnou rovinu % kolmou na povrchov´e pˇr´ımky v´alcov´e plochy. 2. Urˇc´ıme ˇrez k dan´e v´alcov´e plochy rovinou %. 3. V rozvinut´ı se kˇrivka k zobraz´ı do u ´seˇcky 0 k. D´elka obrazu se rovn´a d´elce vzoru, tj. d´elku u ´seˇcky 0 k urˇc´ıme pomoc´ı rektifikace kˇrivky k.
6.3. Rozvinuteln´ e plochy
54
Pokud chceme v rozvinut´ı zobrazit dalˇs´ı kˇrivku leˇz´ıc´ı na dan´e obecn´e v´alcov´e ploˇse, staˇc´ı na povrchov´e pˇr´ımky vyn´aˇset u ´seky povrˇsky mezi norm´alov´ ym ˇrezem a danou kˇrivkou. Norm´alov´ ym ˇrezem na rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse je napˇr. jej´ı podstava. Oblouk ˇsroubovice leˇz´ıc´ı na dan´e rotaˇcn´ı v´alcov´e ploˇse se rozvine do u ´seˇcky.
Obr´azek 6.32:
Obr´azek 6.33:
Pˇ r´ıklad 6.6 Na obr. 6.32 je provedeno rozvinut´ı poloviny pl´aˇstˇe rotaˇcn´ıho v´alce s ˇrezem rovinou σ. Norm´alov´ ym ˇrezem je podstava k. Vzd´alenost x povrˇsek v rozvinut´ı se rovn´a d´elce oblouku na podstavˇe. Pˇ r´ıklad 6.7 Na obr. 6.33 je provedeno rozvinut´ı poloviny pl´aˇstˇe kruhov´eho (kos´eho) v´alce. Rovina % norm´alov´eho ˇrezu je zobrazena v n´arysu (vol´ıme jednu z rovin kolm´ ych na povrˇsky). Norm´alov´ ym ˇrezem je elipsa, jej´ıˇz hlavn´ı poloosa se rovn´a polomˇeru kruˇznice podstavy. Norm´alov´ y ˇrez je vyznaˇcen ve sklopen´ı. D´elky oblouk˚ u elipsy ve sklopen´ı urˇcuj´ı vzd´alenosti jednotliv´ ych povrˇsek v rozvinut´ı (napˇr. d´elky x a y). V dan´em pˇr´ıpadˇe maj´ı v rozvinut´ı vˇsechny povrˇsky stejnou d´elku. Pomˇer, v nˇemˇz dˇel´ı bod norm´alov´eho ˇrezu povrˇsku, zjist´ıme z n´arysu, nebot’ povrˇsky jsou rovnobˇeˇzn´e s n´arysnou. Metoda triangulace Podstatou t´eto metody je n´ahrada plochy mnohostˇenem, kter´ y m´a troj´ uheln´ıkov´e stˇeny. V pˇr´ıpadˇe kuˇzelov´ ych ploch vol´ıme troj´ uheln´ıky tak, ˇze maj´ı vˇzdy jeden vrchol ve vrcholu kuˇzelov´e plochy. Pro rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu plat´ı, ˇze podstava k se rozvine do oblouku kruˇznice, jehoˇz d´elka se mus´ı rovnat obvodu kruˇznice k. Polomˇer oblouku v rozvinut´ı se rovn´a d´elce u ´seku povrˇsky mezi vrcholem a podstavou. Pˇ r´ıklad 6.8 Na obr. 6.34 je zobrazeno rozvinut´ı ˇc´asti rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy. Pro urˇcen´ı skuteˇcn´ ych d´elek u ´sek˚ u povrˇsek plochy je vyuˇzito rotace povrˇsky do roviny obrysov´e povrˇsky. Pˇ r´ıklad 6.9 Na obr. 6.35 je zobrazeno rozvinut´ı ˇca´sti kruhov´e kuˇzelov´e plochy. Pouˇzita je triangulace a cel´ y postup spoˇc´ıv´a v urˇcov´an´ı skuteˇcn´ ych d´elek u ´seˇcek (´ usek˚ u povrˇsek plochy). K tomu je vyuˇzito otoˇcen´ı do polohy rovnobˇeˇzn´e s n´arysnou. Povrˇsky urˇcen´e bodem 1, resp. 7, na podstavˇe se zobrazuj´ı v n´arysu ve skuteˇcn´e velikosti.
6.3. Rozvinuteln´ e plochy
Obr´azek 6.34:
6.3.3
55
Obr´azek 6.35:
Teˇ cna kˇ rivky v rozvinut´ı
Obrazem teˇcny kˇrivky na ploˇse je teˇcna kˇrivky v rozvinut´ı. Vzhledem k tomu, ˇze rozvinut´ı je zobrazen´ı, kter´e zachov´av´a u ´hly, je moˇzn´e urˇcit teˇcnu kˇrivky v rozvinut´ı pomoc´ı urˇcen´ı u ´hlu povrˇsky a teˇcny kˇrivky na ploˇse. Pˇ r´ıklad 6.10 Na obr. 6.34 je zkonstruov´ana teˇcna kˇrivky ˇrezu v rozvinut´ı. K urˇcen´ı u ´hlu teˇcny ¯ a povrˇsky je vyuˇzito troj´ uheln´ıka 3P1 3, pro nˇejˇz je urˇcena skuteˇcn´a velikost pomoc´ı skuteˇcn´ ych d´elek jeho stran. Bod ¯3 je bodem ˇrezu, bod 3 leˇz´ı na podstavˇe a bod P1 je pr˚ useˇc´ıkem teˇcny s podstavnou rovinou. Pˇr´ımka 3P1 je teˇcnou podstavy.
6.3.4
Rozvinut´ı rozvinuteln´ eˇ sroubov´ e plochy
Rozvinutelnou ˇsroubovou plochu lze rozvinout tak, ˇze urˇc´ıme obraz hrany vratu, tj. urˇcuj´ıc´ı ˇsroubovice. Plat´ı, ˇze ˇsroubovice vratu se v rozvinut´ı zobraz´ı do kruˇznice, pro jej´ıˇz polomˇer ρ plat´ı r2 + v02 ρ= . r Pˇ r´ıklad 6.11 Na obr. 6.36 je zobrazeno rozvinut´ı ˇc´asti rozvinuteln´e ˇsroubov´e plochy. Pro ˇsroubovici vratu je urˇcen polomˇer ρ, kter´ y je polomˇerem pˇr´ısluˇsn´eho oblouku v rozvinut´ı. Obrazem kruhov´e evolventy, kter´a je ˇrezem dan´e plochy p˚ udorysnou, je opˇet kruhov´a evolventa. Pro zobrazen´ı dan´ ych povrˇsek v rozvinut´ı byla urˇcena k otoˇcen´ı, kter´e odpov´ıd´a oblouku ω, d´elka oblouku ˇsroubovice ω ¯.
6.3.5
Konstrukce a rozvinut´ı pˇ rechodov´ e rozvinuteln´ e plochy
Uvaˇzujme dvˇe rovinn´e kˇrivky a a b leˇz´ıc´ı v rovin´ach α a β – obr. 6.37. V ˇradˇe technick´ ych aplikac´ı vznik´a poˇzadavek na urˇcen´ı rozvinuteln´e plochy Ω, kter´a obsahuje obˇe dan´e kˇrivky (a ⊂ Ω, b ⊂ Ω). Plochu Ω naz´ yv´ame pˇrechodov´a plocha mezi dan´ymi kˇrivkami. Postup konstrukce pˇrechodov´e plochy:
6.4. Kontroln´ I ot´ azky
56
Obr´azek 6.36: 1. Na jedn´e z kˇrivek zvol´ıme bod – napˇr. A ∈ a a urˇc´ıme teˇcnu tA kˇrivky a v bodˇe A. 2. Na druh´e kˇrivce, tj. na kˇrivce b, urˇc´ıme bod B tak, aby teˇcna tB v tomto bodˇe nebyla v teˇcnou tA mimobˇeˇzn´a. Tento krok realizujeme takto: tA k β – vedeme teˇcnu tB kˇrivky b rovnobˇeˇznou s pˇr´ımkou tA – obr. 6.38, tA 6k β – oznaˇcme p pr˚ useˇcnici rovin α a β; z pr˚ useˇc´ıku tA ∩ p vedeme teˇcnu tB kˇrivky b – obr. 6.37. 3. Pˇr´ımka AB je torz´aln´ı pˇr´ımkou – teˇcn´a rovina v bodech A a B je stejn´a a tato rovina se dot´ yk´a vytv´aˇren´e plochy i ve vˇsech bodech t´eto povrˇsky. Zkonstruovan´a pˇrechodov´a plocha je vˇzdy bud’ plochou teˇcen prostorov´e kˇrivky (zpravidla nezn´am´e ˇci neurˇcovan´e), nebo ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech plochou v´alcovou nebo kuˇzelovou. Rozvinut´ı pˇrechodov´e plochy se provede zpravidla pomoc´ı triangulace.
6.4
Kontroln´ı ot´ azky
6.1 Uved’te dva zp˚ usoby vytvoˇren´ı hyperbolick´eho paraboloidu (jako pˇr´ımkovou plochu a jako kvadriku jej´ımiˇz ptvoˇr´ıc´ımi kˇrivkami jsou regul´arn´ı kuˇzeloseˇcky). 6.2 Definujte konoid a uved’te pˇr´ıklad konoidu.
6.4. Kontroln´ I ot´ azky
Obr´azek 6.37:
57
Obr´azek 6.38:
6.3 Uved’te pˇr´ıklady tˇr´ı zborcen´ ych ploch: rotaˇcn´ı, ˇsroubovou a plochu, kter´a nen´ı ani rotaˇcn´ı ani ˇsroubov´a. 6.4 Definujte torz´aln´ı povrˇsku plochy. 6.5 Definujte rozvinuteln´e plochy a uved’te vˇsechny typy rozvinuteln´ ych ploch. 6.6 Uved’te dva zp˚ usoby vytvoˇren´ı rozvinuteln´e ˇsroubov´e plochy (n´avod: jako obalovou plochu a jako jeden z typ˚ u rozvinuteln´ ych ploch). 6.7 Popiˇste metodu norm´alov´eho ˇrezu pro rozvinut´ı. Pro kter´e rozvinuteln´e plochy se tato metoda d´a aplikovat?
Literatura [1] Bohne, E. – Klix, W.D.: Geometrie – Grundlagen f¨ ur Anwendungen. Leipzig, Fachbuchverlag 1995. [2] Glaeser, G.: Geometry and its Applications. Springer Wien New York, 2012. ˇ 2003. [3] Jeˇzek, F. – M´ıkov´a, M.: Maticov´a algebra a analytick´a geometrie. Plzeˇ n, ZCU [4] Pottmann, H.–Asperl, A.–Hofer, M.– Kilian, A.: Architectural Geometry. Bentley Institute Press, 2007. [5] Rogers, D.F. – Adams, J.A.: Mathematical Elements for Computer Graphics. New York, Mc Graw–Hill 1990. [6] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie I. Praha, SNTL 1965. [7] Urban, A.: Deskriptivn´ı geometrie II. Praha, SNTL 1967.
58
