PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
An-2 DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak
Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue secara konstruktif yaitu bentuk integral Lebesgue sebagai limit jumlah. Selanjutnya dikaji sifat-sifat terkait diantaranya adalah sifat ketunggalan hasil dan sifat kelinearan, teorema Cauchy dan teorema ekivalensi. Kata kunci : integral Riemann, integral Lebesgue. 1. PENDAHULUAN
Bentuk integral konstruktif pertama kali dikenalkan oleh matematikawan Jerman yaitu Riemann (1826-1866) yang selanjutnya dikenal dengan integral Riemann. Setiap fungsi kontinu
pada
dijamin terintegral Riemann. Kenyataan menunjukkan
bahwa masih terdapat banyak fungsi yang tidak terintegral secara Riemann. Salah satu fungsi yang tidak terintegral secara Riemann adalah fungsi Dirichlet dengan . Berkat ide matematikawan Perancis yaitu Henry Leon Lebesgue (1875-1941), ia berhasil menyusun tipe integral untuk mengatasi permasalahan yang muncul, yaitu banyaknya fungsi yang tidak terintegral secara Riemann. Integral yang dibangun Lebesgue banyak mendasarkan pada teori ukuran. Dengan konsep integral Lebesgue ini maka dapat ditunjukkan bahwa fungsi Dirichlet tersebut terintegral secara Lebesgue. Integral konstruktif Riemann dibangun melalui konsep partisi pada daerah integrasi (domain fungsi), sedangkan dalam tulisan ini penulis bertujuan untuk membahas integral Lebesgue dengan pendekatan secara konstruktif sebagaimana halnya pada pembahasan integral konstruktif Riemann, namun pembahasan sedikit berbeda karena partisi yang dibangun adalah pada daerah hasil (range) fungsi. Selanjutnya bentuk integral ini dikenal =============================================================
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
38
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
1. Disampaikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika di UNY Yogyakarta pada tanggal 5 Desember 2009. 2. Adalah mahasiswa S-1 Jurusan Matematika FMIPA UNS Surakarta. 3. Adalah dosen Jurusan Matematika FMIPA UNS Surakarta. dengan definisi tipe Riemann untuk integral Lebesgue atau juga dikenal dengan integral Lebesgue sebagai limit jumlah.
2. KAJIAN PUSTAKA 2.1. Integral Jumlah Riemann
Diberikan
fungsi
terbatas
Himpunan
pada disebut partisi pada
. Jika
maka partisi
dengan dan
terurut
berhingga
untuk setiap
adalah partisi-partisi pada
dengan
disebut partisi penghalusan (refinement partition) dari partisi
Selanjutnya
disebut selang bagian ke-i, notasi
merupakan panjang selang bagian ke-i dan norma suatu partisi
pada
disebut
. Diambil sebarang titik
dan dibentuk
jumlahan
Kemudian diambil nilai limitnya untuk
maka
dan berakibat
dan jika nilai
maka fungsi
dikatakan terintegral Riemann pada
. Lee dan Vyborny [2]
mendefinisikan integral jumlah Riemann sebagai berikut.
Definisi 2.1.
Fungsi ditulis untuk setiap partisi
terbatas dikatakan terintegral Riemann ke suatu nilai jika untuk setiap bilangan pada
dengan
terdapat bilangan
pada sehingga
berakibat
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
39
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
disebut nilai integral Riemann atau integral-
Bilangan
fungsi
pada
yang biasa dinotasikan dengan lim S ( f , P) = lim P →0
Δi x →0
n
∑ f ( x )Δ x = ( R)∫ * i
i =1
i
b
a
f ( x)dx = A.
2.2. Integral Lebesgue Sebagai Limit Jumlah
Pada prinsipnya integral Lebesgue dibangun atas teori ukuran. Integral Riemann dari suatu fungsi terbatas
pada pada
disusun berdasarkan atas konsep partisi . Menurut Lifton [3] dan Spiegel [4], bahwa
penyusunan integral Lebesgue sebagai limit jumlah atau disebut sebagai definisi tipe Riemann untuk integral Lebesgue dari suatu fungsi terbatas dan terukur himpunan terukur pada
pada
disusun berdasarkan konsep partisi Dengan
interval
ketentuan
dan
β > sup{ f ( x); x ∈ E} dimana nilai β cukup dekat dengan nilai sup{ f ( x); x ∈ E}. Namun sebaliknya menurut Enrique [1], penyusunan partisi
pada
bisa juga
diambil dengan ketentuan α < inf{ f ( x); x ∈ E} dan β ≥ sup{ f ( x ); x ∈ E}. Notasi adalah himpunan semua partisi
pada
. Selanjutnya untuk setiap
dikonstruksikan himpunan-himpunan
,
karena f terukur maka menurut Spiegel [4], Ek juga terukur . Dibentuk jumlahanjumlahan
dengan
adalah ukuran Lebesgue himpunan
adalah sebarang partisi pada
dan
maka berlaku Integral
Lebesgue
Menurut Spiegel [4], jika
adalah partisi penghalusan dari partisi dan
bawah
fungsi
pada
dan integral Lebesgue atas fungsi dengan
pada
dinotasikan pada
dengan
dinotasikan
Masih menurut Spiegel [4], untuk setiap fungsi
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
40
PROSIDING
terbatas dan terukur
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
berlaku
Selanjutnya fungsi terbatas
dikatakan terintegral Lebesgue pada
dan terukur
jika
Definisi 2.2.
Fungsi
terbatas dan terukur pada
dinotasikan
dikatakan terintegral Lebesgue pada
jika nilai
Di lain pihak menurut Lifton [3] dan Springer Online Reference [5], untuk setiap fungsi terbatas dan terukur
pada himpunan terukur pada
interval
dan untuk setiap partisi diambil
sebarang
titik
dan dibentuk jumlahan
Jika nilai
maka fungsi
dikatakan terintegral Lebesgue sebagai limit jumlah pada
dengan
notasi
Definisi 2.3.
Diberikan fungsi terbatas dan terukur terintegral Lebesgue ke nilai untuk
setiap
pada
pada himpunan terukur jika untuk setiap
partisi
Fungsi
terdapat pada
dikatakan sehingga dengan
berakibat
Sebagaimana halnya pada definisi integral tipe Riemann maka berdasarkan pada Definisi 2.3 di atas akan dibahas beberapa teorema terkait. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
41
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
3. PEMBAHASAN
Dengan mengacu pada persamaan 2.1 dan Definisi 2.2 terlebih dahulu diberikan contoh fungsi yang terintegral Lebesgue seperti dalam Contoh 3.1 berikut.
Contoh 3.1.
Diberikan fungsi Dirichlet
dengan
adalah terintegral Lebesgue pada
Fungsi
sebab jika dibentuk sebarang partisi
pada
dengan
dan
diperoleh
asumsi
-
himpunan-himpunan
untuk
dan Dengan
untuk
dan
Berakibat dan Sehingga
didapat dan
Diperoleh Jadi,
fungsi
Dirichlet
tersebut
terintegral
Lebesgue
. dengan
pada
Berdasarkan pada persamaan 2.1 yaitu konsep jumlah Lebesgue atas dan jumlah Lebesgue bawah diperoleh Teorema 3.2 sebagai berikut.
Teorema 3.2.
Diberikan fungsi terbatas dan terukur Lebesgue pada
pada himpunan terukur
jika dan hanya jika untuk setiap pada
Fungsi
terintegral
terdapat partisi
sehingga berlaku
Bukti. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
42
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
1). Syarat perlu : Diketahui
maka terdapat bilangan
setiap
dan
sehingga
Jadi untuk
dengan menggunakan sifat supremum dan infimum, terdapat partisi
dan
pada
Diambil
sehingga pada
partisi
maka
berlaku
dan berakibat
2). Syarat cukup : terdapat partisi
Diketahui untuk setiap
pada
sehingga
Karena selalu berlaku diperoleh
maka
Karena diambil sebarang bilangan Dengan demikian, diperoleh kesimpulan bahwa fungsi
maka berlaku
terintegral Lebesgue pada Jadi, teorema terbukti. ■ Berdasarkan pada Definisi 2.3 yang berhubungan dengan konsep integral Lebesgue sebagai limit jumlah diperoleh beberapa teorema sebagai berikut.
Teorema 3.3
Diberikan fungsi terbatas dan terukur Lebesgue pada
pada himpunan terukur
Jika
terintegral
maka nilai integralnya tunggal.
Bukti.
Misalkan
terintegral Lebesgue ke nilai
Diberikan
sebarang
dan
maka terdapat
akan diperlihatkan bahwa sehingga untuk setiap partisi
pada
dengan berakibat
dan terdapat
sehingga untuk setiap partisi
dengan Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
pada berakibat
43
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
sehingga
Didefinisikan
untuk
setiap
pada
partisi dengan
berlaku
maka
Karena berlaku untuk sebarang pada
Jadi, nilai integral Lebesgue fungsi
adalah tunggal.
Dengan demikian teorema terbukti. ■ Teorema 3.4
Diberikan fungsi terbatas dan terukur terintegral Lebesgue pada
dan
dan
pada himpunan terukur
Jika
adalah sebarang bilangan real maka
dan dan
terintegral Lebesgue dan berlaku a). ( L) ∫ ( f ( x) + g ( x))dx = ( L) ∫ f ( x)dx + ( L) ∫ g ( x)dx. E
E
E
b). ( L) ∫ cf ( x)dx = c ( L ) ∫ f ( x)dx. E
E
Bukti.
Diberikan sebarang bilangan a). Karena
dan
terintegral Lebesgue pada maka terdapat
dengan
α f = inf{ f ( x); x ∈ E}
sebut
dan
sehingga untuk setiap partisi
dan
β f > sup{ f ( x); x ∈ E}
pada
dengan
berlaku
dan terdapat
sehingga untuk setiap partisi
α g = inf{g ( x); x ∈ E} dan β g > sup{g ( x); x ∈ E} dengan Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
pada
dengan berlaku
44
PROSIDING
Didefinisikan
maka untuk setiap partisi
terintegral Lebesgue pada
atau pada
dan berlaku
b). Demikian juga berlaku untuk setiap partisi maka
Berarti
pada
berlaku
dengan
Berarti
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
terintegral Lebesgue pada
pada
dengan
dan berlaku
( L) ∫ cf ( x)dx = cA = c ( L ) ∫ f ( x)dx. E
E
Jadi, teorema terbukti. ■
Teorema 3.5 [Teorema Cauchy]
Diberikan fungsi terbatas dan terukur Lebesgue pada setiap partisi
pada himpunan terukur
jika dan hanya jika untuk setiap dan
pada
dengan
terdapat dan
Fungsi
terintegral
sehingga untuk berlaku
Bukti.
1). Syarat perlu : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
45
PROSIDING
Diketahui nilai
terintegral Lebesgue pada
pada
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Misalkan fungsi
maka untuk setiap bilangan
sedemikian hingga untuk setiap partisi berlaku
dan
terintegral Lebesgue ke terdapat bilangan
pada
dengan
dan
dan
. Sehingga berakibat
2). Syarat cukup : Diketahui untuk setiap bilangan setiap partisi
dan
terdapat bilangan
pada
dengan
Diambil bilangan partisi
dan
berlaku
>0 tetap dan dimisalkan
dengan norma lebih kecil dari
adalah koleksi semua partisi P pada suatu
sehingga untuk
tetap
dan
sebarang
Untuk berlaku
Dengan kata lain berlaku tak
Hal tersebut menunjukkan bahwa himpunan hingga dan terbatas, maka menurut Teorema Weierstrass, himpunan mempunyai paling sedikit satu titik limit, misal partisi
sehingga
kesimpulan bahwa fungsi
Jadi, untuk setiap
terdapat
Dengan demikian, diperoleh
terintegral Lebesgue ke nilai
pada
Jadi, teorema terbukti. ■
Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa Definisi 2.2 ekuivalen dengan Definsi 2.3 seperti pada Teorema 3.6 berikut.
Teorema 3.6
Diberikan fungsi terbatas dan terukur Definisi 2.2 jika dan hanya jika fungsi
pada himpunan terukur
Fungsi
memenuhi
memenuhi Definisi 2.3.
Bukti.
1). Syarat perlu :
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
46
PROSIDING
Diketahui fungsi terdapat
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
terintegral Lebesgue pada
bilangan
berdasarkan Definisi 2.2, maka
dan
sehingga
nilai Diberikan
menurut sifat supremum dan infimum, maka terdapat partisi
sebarang pada
dengan
dan
sehingga
pada
Dibentuk partisi
dan didefinisikan
maka
dan berlaku
Sehingga Karena nilai
akan berlaku Dengan demikian, untuk setiap setiap partisi
pada
dan
dengan
Menurut Definisi 2.3 fungsi
maka didapat
terdapat
sehingga untuk setiap
berlaku terintegral Lebesgue ke nilai
pada
2). Syarat cukup : Diketahui fungsi
terintegral Lebesgue ke nilai
maka untuk setiap
terdapat
pada
berdasarkan Definisi 2.3,
sehingga untuk setiap partisi pada
dengan berakibat
atau sebarang
Hal ini berlaku untuk Jadi, jika diambil
dengan
maka berlaku
dan jika diambil
dengan
maka berlaku
Diperoleh
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
47
PROSIDING
ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2
Dengan demikian, untuk setiap
terdapat
partisi
pada
dan untuk setiap dengan
berlaku Karena
selalu
maka
berlaku Karena bilangan
Menurut Definisi 2.2 fungsi
diperoleh
sebarang, maka
terintegral Lebesgue pada
Jadi, teorema terbukti. ■
4. KESIMPULAN
Integral Lebesgue sebagai limit jumlah adalah merupakan definisi tipe Riemann untuk integral Lebesgue. Beberapa hasil pembahasan integral Lebesgue sebagai limit jumlah ini antara lain teorema ketunggalan hasil, berlakunya sifat kelinearan, teorema Cauchy dan teorema ekivalensi.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Enrique A.G. and Velaso, 1986. “The Lebesgue Integral as a Riemann Integral“, Internet. J. Math. & Math. Sci. 1987, Vol. 10 N0. 4, 693-706, Massachusetts, USA. [2]. Lee, P. Y. and Vyborny, R., 2000. “Integral : An Easy Approach after Kurzweil and Henstock”, Cambridge, University Press, United Kingdom. [3]. Lifton, J. H., 2004. “Measure Theory and Lebesgue Integration”, Swarthmore College Mathematics Senior Conference, Pensylvania, United Stated. http://web.media.mit.edu/~lifton/snippets/measure_theory.pdf. [4]. Spiegel, M. R., 1969. “Theory and Problems of real Variables”, McGraw-Hill, United Stated of America. [5]. Springer Online Reference Works. http://eom.springer.de/1/i051840.
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009
48
