Jurnal Barekeng Vol. 6 No. 1 Hal. 37 – 44 (2012)
SIFAT-SIFAT DASAR PERLUASAN INTEGRAL LEBESGUE (Basic Properties Of Extended Lebesgue Integral) Yopi Andry Lesnussa, Henry Junus Wattimanela, Mozart Winston Talakua Jurusan Matematika, FMIPA,Universitas Pattimura Email :
[email protected]
ABSTRACT EL-Integral is extended of Lebesgue integral,
b
a
k 1
EL f d L f d .
Ik Lebesgue integral is defined with early arrange measure theory that famous with Lebesgue measure. A function f : a, b is said EL-integrable on a, b , if there
I k
exist series interval that no piled up
in
a, b
so that a, b
Ik 0 ,
f L Ik
for every k and A
L f k 1
d finite. Value A is called value of EL-
Ik
Integral function f on a, b . Extended of Lebesgue integral (EL-Integral) is notated b
a
k 1
by : EL f d f d L f d . E
Keywords:
Ik
Measure Space, Lebesgue Measure, Lebesgue Integral, Sifat-sifat Dasar EL-Integral.
PENDAHULUAN Perkembangan analisis dimulai dengan penemuan Kalkulus oleh Newton dan Leibniz yang berhasil mengembangkan teorema fundamental yaitu mengenai antiderivatif. Salah satu konsep dasar dalam analisis adalah integral. Teori integral klasik dikembangkan oleh Cauchy dan Riemann pada pertengahan abad ke-19. Namun kekurangan dari integral Riemann ini muncul ketika proses integrasi dikenakan pada fungsi yang diskontinu, misalnya fungsi Dirichlet yang tidak terintegral Riemann. Untuk mengatasi kekurangan ini, pada tahun 1902, Lebesgue seorang matematikawan Perancis mendefinisikan integral Lebesgue dengan terlebih dahulu menyusun teori ukuran yang dikenal dengan Ukuran Lebesgue (pada garis lurus). Denjoy (1912) membangun teori integral dengan mencermati karakteristik kekontinuan fungsi primitifnya menghasilkan suatu integral yang disebut Integral Denjoy khusus. Perron (1914) membangun teori integralnya dengan mendasarkan pada pengertian fungsi mayor dan fungsi minor yang disebut Integral Perron . Pada tahun 1957-1960 Henstock dan Kurzweil secara terpisah dalam waktu hampir bersamaan mengembangkan integral jenis Riemann dengan mengubah peran konstanta positif
pada konstruksi integral Riemann menjadi fungsi positif yang disebut dengan integral Riemann kontinu lengkap atau integral Henstock-Kurzweil (Integral-HK) (Soeparna 1999). Telah diketahui bahwa meskipun integral Denjoy khusus, integral Perron dan integral-HK mengitlakan sifat yang berbeda dari integral Lebesgue tetapi ketiga integral ini ekuivalen dan juga merupakan pengitlakan dari integral Lebesgue. Soeparna (1996) menyatakan bahwa posisi integral Lebesgue dalam integral-HK adalah rapat (dense) terkendali, ini berarti bahwa untuk setiap fungsi f yang terintegral-HK terdapat barisan fungsi terintegral Lebesgue f n yang konvergen terkendali ke fungsi f. Selanjutnya dengan mencermati sebuah fungsi yang tidak terintegral Lebesgue pada selang tertutup 0,1 tetapi terintegral Lebesgue pada setiap selang bagiannya. Soeparna (1999) mendefinisikan sebuah integral baru yang disebut Perluasan integral Lebesgue (integral-EL). Berdasarkan pada uraian di atas maka peneliti tertarik untuk mendalami dan menganalisis secara mendetail mengenai bentuk dan sifat dasar dari integral-EL. Dalam penelitian ini, peneliti akan menggunakan definisi dan
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
38
teorema serta teori matematika lain untuk menjelaskan permasalahan ini.
TINJAUAN PUSTAKA Dalam perkembangan teori integral, sekitar abad ke20, Lebesgue mengembangkan teori ukuran dengan mengitlakan konsep panjang selang-selang ke dalam ukuran himpunan pada bilangan nyata (real). Ia mengembangkan teori integral dengan menggunakan ukuran Lebesgue (pada garis lurus), yang ditulis dalam naskah publikasinya yang berjudul Integral Longueur aire pada tahun 1902 (Jain, 1986). Selanjutnya integral tersebut dikembangkan menjadi integral Lebesgue yang bekerja pada ruang ukuran. Sejalan dengan perkembangan teori integral, didalam pendefinisian secara deskriptif integral Lebesgue yang dibangun oleh Lebesgue memerlukan fungsi yang kontinu mutlak. Pada tahun 1912, A. Denjoy mendefinisikan integral Denjoy khusus dengan menggunakan fungsi kontinu yang sekaligus kontinu
titik pangkal a dan titik ujung b (a
b.
A 0 ,
c.
Jika
x a, b , ditulis
F AC* x
Terbukti
bahwa
fungsi
f : a, b
terintegral
Lebesgue pada selang a, b jika dan hanya jika terdapat fungsi F : a, b yang bersifat kontinu mutlak pada
a, b dan
F
'
x f x h.d. pada a, b .
Fungsi f : a, b terintegral-HK pada a, b jika
dan hanya jika terdapat fungsi F : a, b yang bersifat kontinu dan ACG* pada a, b dan
F x f x h.d. '
pada a, b . Oleh karena itu setiap fungsi yang terintegral Lebesgue pada selang
a, b
akan terintegral-HK juga
pada selang yang sama. Telah diketahui bahwa Integral Denjoy khusus, integral Perron dan integral-HK adalah berbeda dan ketiganya merupakan pengitlakan dari integral Lebesgue. Barisan fungsi f n dikatakan konvergen terkendali ke fungsi f pada selang a, b jika memenuhi syarat berikut : (i). fn terintegral-HK pada a, b dengan primitif Fn untuk setiap n dan barisan fn konvergen ke f bersifat
ACG*
h.d. pada
a, b ,
seragam
pada
(ii). Barisan
a, b
dan
Fn
terukur
fungsi : A
AA
Ek A
dan
k l berakibat Ek k 1
dan F
dikatakan kontinu mutlak teritlak ditulis F ACG* x .
ruang
disebut ukuran pada X (measure) jika memenuhi aksiomaaksioma berikut : a. 0
mutlak teritlak. Fungsi F : a, b dikatakan kontinu mutlak pada
X ,A
Definisi 4 Ruang terukur
X ,A
Ek El ,
E . k
k 1
diperlengkapi dengan suatu
ukuran disebut Ruang Ukuran (measure space) dan ditulis dengan X , A , . Definisi 5 Diberikan himpunan A dan menyatakan koleksi semua barisan selang terbuka
I n sehingga
A
In . n
Ukuran luar himpunan A, ditulis * A adalah bilangan
l I
* A inf
n
: I n
Berikut ini disajikan beberapa sifat ukuran luar suatu himpunan. n
Teorema 1 (i). Jika A, B dengan A B , maka * A * B (ii). Jika A dan A singleton, maka * A 0 Akibat Teorema 1
(ii), jika
(countable), maka
*
A dan A terhitung
A 0 .
(iii).
fn konvergen, katakan ke F pada. Selanjutnya posisi integral Lebesgue dalam integral-HK adalah rapat (dense) terkendali. Ini berarti bahwa untuk setiap fungsi f yang terintegral-HK terdapat barisan fungsi yang terintegral Lebesgue f n yang konvergen terkendali ke fungsi f. Ukuran Lebesgue Definisi 1 (Ukuran Lebesgue) Panjang suatu selang terbatas I baik terbuka, tertutup, setengah terbuka atau setengah tertutup dengan
Teorema 2 Jika A berupa selang, maka * A l A . Definisi 6 Himpunan E dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap himpunan A berlaku : * A * A E * A E c Telah diketahui bahwa A A E A E c dan * bersifat
sub
aditif,
yaitu
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
* A * A E * A E c , karena itu definisi 6 di atas cukup ditulis sebagai : Himpunan E dikatakan terukur Lebesgue jika untuk setiap himpunan A berlaku * A * A E * A E c .
39 disebut fungsi karakteristik (characteristic function) pada E. Definisi 10 Diberikan : a, b disebut fungsi langkah (step
Untuk selanjutnya dengan himpunan terukur dimaksudkan adalah himpunan terukur Lebesgue.
function) jika ada selang-selang I1 , I 2 ,...., I n yang saling asing
Ii I j
Teorema 3 (i). Jika E merupakan himpunan terukur, maka Ec juga himpunan terukur. (ii). dan masing-masing himpunan terukur.
c1 , c2 ,
, cn sehingga :
(iii) Jika * A 0 , maka A himpunan terukur. (iv)
Jika E1, E2 masing-masing merupakan himpunan terukur, maka E1 E2 juga himpunan terukur.
x
Jadi
n
*
Ai
i 1
) himpunan pada E, terlihat bahwa E . Definisi 7 Ukuran Lebesgue adalah suatu fungsi dari ke dengan A * A untuk setiap A . Suatu sifat “P” dikatakan berlaku h.d. pada himpunan X jika untuk setiap himpunan A X dengan A 0 sehingga “P” berlaku pada X-A. Definisi 8 Suatu fungsi bernilai riil yang diperluas f, yaitu f : A dikatakan terukur Lebesgue pada A atau terukur pada A jika himpunan
x A : f x
terukur untuk setiap bilangan riil .
Integral Lebesgue Definisi 9 Misalkan E suatu himpunan sebarang fungsi
E : dinamakan fungsi karakteristik dari E jika : 1, x E 0, x E
c
k
Ik .
Sehingga
untuk
n
sehingga x Ii ,
I k , maka ada tepat I k 1
Berdasarkan pada Teorema 2.2.1.3 (i) dan (iv) diperoleh bahwa , yaitu koleksi semua himpunan terukur (Lebesgue), merupakan aljabar himpunan pada . Lebih lanjut dapat dibuktikan bahwa merupakan suatu aljabar (aljabar-sigma) himpunan pada . Jika aljabar (aljabar-) himpunan pada X dan E maka E E A : A merupakan aljabar (aljabar-
E x
n
i 1
n
c
k
k 1
himpunan-himpunan terukur yang
n * Ai i 1
x
I k ada, k 1
maka x
Teorema 5 Jika A1 , A2 , ... , An saling asing, maka
ck , x I k 0, x I k
n
a, b
x a, b
Teorema 4 Setiap interval adalah terukur.
untuk i j dan terdapat bilangan
I k x ci Ii x ci .1 ci .
Definisi 11 Jika X , A , ruang ukuran, fungsi : X disebut fungsi sederhana (simple function) pada X, jika terdapat bilangan dan himpunan terukur c1 , c2 , , cn
E1 , E2 ,
, En , sedemikian sehingga : n
X
Ek
x
dan
n
c
k
k 1
k 1
Jika E A maka x
n
c
k
k 1
Ek
E Ek , juga
merupakan fungsi sederhana pada E. Lebih lanjut jika Ek El , k l , maka fungsi sederhana
x
n
c
k
k 1
Ek x disebut fungsi sederhana bentuk
kanonik. Definisi 12 Diberikan :
fungsi
sederhana
dengan
n
c
Ei
dan E . Integral Lebesgue fungsi
sederhana
pada E didefinisikan sebagai bilangan
i
i 1
n
L L d ci Ei E . E
i 1
E
Definisi 13 Diberikan f : fungsi terbatas dan E himpunan terukur. Integral Lebesgue atas dan bawah fungsi f pada E didefinisikan oleh f inf : f , fungsi sederhana E E
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
40
f sup : f , fungsi sederhana E E Jika kedua integral ini bernilai sama dan hingga, maka dikatakan bahwa fungsi f terintegral Lebesgue pada E dan
nilainya ditulis dengan
f
E
bilangan
f d . Jika E a, b ,
E b
f
biasa ditulis
E
f,
b
jadi
a
Definisi 14 Diberikan f : a, b
a, b didefinisikan
pada b
b
fungsi terukur nonnegatif.
fungsi terukur nonnegatif yang a , b , serta A dan B merupakan
himpunan bagian terukur di dalam a, b . Dipenuhi :
kf k f
b.
Berlaku
f
g
a
k f k f ,
Selanjutnya
E
a
a
a
d
a, b
dan
b
b
f g
jika f g h.d. pada a, b , maka
f.
b
b
a
a
f
berlaku
a b
b
A
dan
f
f f . A
f g a
f
jika
B
saling
asing,
maka
B
a
f
d
HASIL DAN PEMBAHASAN Perluasan Integral Lebesgue Pada bagian ini akan disajikan pengertian Perluasan Integral Lebesgue atau disebut Integral-EL dan beberapa sifat yang berlaku padanya. Integral-EL merupakan suatu perluasan integral Lebesgue. Untuk selanjutnya
f L Ik
dimaksudkan bahwa f terintegral Lebesgue
pada I k dan
E
f x max f x , 0
L
f d menyatakan nilai integral
Ik
dan
f
bagian negatif fungsi f didefinisikan sebagai fungsi f x max f x , 0 . Jika f terukur maka f dan
f
b
A B
f bagian positif fungsi f didefinisikan
sebagai fungsi
d.
f g
dan f masing-masing terintegral Lebesgue pada E dan didefinisikan : E
b
jika f g h.d. pada a, b , maka
b
Definisi 15 Fungsi terukur f dikatakan terintegral Lebesgue pada himpunan terukur E, jika fungsi-fungsi nonnegatif f
terintegral Lebesgue pada
b
a
e.
Lebih lanjut, jika f dan g terintegral Lebesgue pada a, b maka f g terintegral pada a, b .
f d f
a
f g
a
a
dan
untuk setiap k.
a
b
b
a, b
b
a
Lebih lanjut, jika f terintegral Lebesgue pada [a,b] maka k f terintegral pada a, b . b
d
f g f g c.
a
terintegral Lebesgue pada
b
a
Untuk semua k 0,
f a
k f
pada [a,b].
a.
d
serta A dan B merupakan himpunan bagian terukur dari a, b , dipenuhi :
hingga maka f dikatakan terintegral Lebesgue
b
a
b.
Teorema 6 Diberikan f, g didefinisikan pada
sebagai
b
f d f
f
f
Teorema 7 Diberikan f dan g fungsi terintegral Lebesgue pada a, b
a
b
Jika
f dan
Dalam hal ini
terintegral Lebesgue pada a, b dan intgeral Lebesgue f
Integral Lebesgue fungsi f pada [a,b] didefinisikan oleh : a. b b f =sup u : 0 u f , u fungsi terukur terbatas pada [a, b] a a
a, b .
Lebesgue pada
a
f f . E
Lebesgue pada a, b jika dan hanya jika f terintegral
juga terukur. Diperoleh bahwa f f f dan
f f f . Fungsi terukur f : a, b terintegral
Lebesgue fungsi f pada I k , ukuran Lebesgue dan I k suatu selang Definisi 16 Suatu fungsi f : a, b dikatakan terintegral-EL pada
a, b
jika terdapat barisan selang yang tidak tumpang
tindih {Ik} di dalam a, b sehingga
a, b
I k 0,
f L Ik
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
L
A
untuk setiap k dan
k 1
41
f d
berhingga.
f d
k 1
f
L f d k 1
Ik
L
Ik
Bilangan A tersebut disebut nilai integral-EL fungsi pada a, b , ditulis :
EL
A
Untuk selanjutnya bilangan
f d
di
Ik
dalam Definisi 16 disebut nilai integral-EL fungsi f pada b
a, b dan ditulis EL f ,
jadi
a
b
L
a
Ik
EL f
Ik
k 1
f d
Teorema 8 (Ketunggalan) Jika f terintegral-EL a, b , maka nilai integral A yang
Himpunan semua fungsi yang terintegral-EL pada a, b ditulis EL a, b . Akibat langsung dari Definisi 16
dimaksud di dalam Definisi 16 adalah tunggal. Bukti : Andaikan ada dua nilai A1 dan A2 seperti di dalam Definisi 16 berarti : 1. Terdapat barisan selang yang tidak tumpang tindih {Ik } di dalam a, b sehingga
adalah bahwa setiap fungsi f yang terintegral Lebesgue pada a, b adalah terintegral-EL pada a, b . Seperti
a, b
untuk setiap k dan
I k 0, f L I k
f d L
A1 EL
k 1
Ik
2.
Ik
A2 EL
J l 0, f L J l untuk setiap k dan
f d
k 1
Ik
L
f d
Jl
H kl dengan H kl I k Jl Jelas bahwa H kl merupakan
barisan himpunan terukur yang tidak tumpang tindih, sebab a, b H kl a, b Ik Jl k l k l
a, b a, b
k
Ik
k
Ik 0
l
Jl
A1 A2
L k 1
L k 1 l 1
Ik Jl
f d
f d
Jl
a
k 1
f L Ik
untuk setiap b
f d L f d a
Ik
berhingga. Jadi fungsi terintegral-EL pada a, b ■ Teorema 10 Jika fungsi f terintegral-EL pada a, b dan f = g h.d. pada
a, b ,
maka g
b
b
a
a
a, b
terintegral-EL pada
dan
EL g EL f .
I k 0,
b
a
k 1
EL f L Karena g = f
L k 1 l 1
I k 0,
b
EL f L
dan
a, b
l 1
Diperoleh a, b
a, b
berarti ada barisan selang
yang tidak tumpang tindih {Ik} di dalam a, b sehingga
L f d
Ik
a, b .
Dibentuk barisan {Ik} dengan cara sebagai berikut ba ba untuk setiap k =1,2, …… I k a , a k 1 k
Bukti : F terintegral-EL pada
Diperoleh :
terintegral-EL pada a, b .
k
Dibentuk barisan selang untuk setiap k dan l.
Teorema 9 Jika fungsi f terintegral Lebesgue pada a, b , maka f Bukti : Diberikan fungsi f terintegral Lebesgue pada
f d
Terdapat barisan selang yang tidak tumpang tindih {Jl} di dalam a, b sehingga
a, b
dinyatakan dalam teorema berikut ini.
f d 0
Ik Jl
Jadi A1 = A2 . Sehingga diperoleh bahwa nilai A adalah tunggal . ■
untuk setiap k dan
f d berhingga.
Ik
h.d. pada a, b dan f L I k
setiap k maka g = f sehingga
f L Ik
Ik
untuk setiap k,
g L Ik
diperoleh
L g d L
Ik
h.d. pada
untuk
f d
untuk
setiap
dan k.
Jadi
Ik b
a
k 1
b
EL g L g d L f d EL f . ■ Ik
k 1
Ik
a
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
42
Fungsi nonnegatif yang terintegral-EL ternyata juga terintegral Lebesgue pada selang yang sama, seperti dinyatakan dalam teorema berikut ini.
diperoleh
b
EL
f
k 1
a
Teorema 11 Jika f terintegral-EL pada a, b dan f 0
a, b
b
a
k 1
EL f L
f L Ik
L a
a, b dan
h.d. pada
a, b ,
fn L I k
b
n
a
k 1
setiap l dan
EL g L g
b
a, b dan
pada
a
a
b
f EL g
I k 0,
b
a
k 1
f L Ik
untuk
setiap k dan EL f L f d berhingga. Untuk setiap k , Ik
Ik
f L I k f L I k dan
f d L f d
g d
f
g d
Ik Jl
L f d L f d l 1 I k Jl I k Jl
L k 1 l 1
k 1
f d
L k 1 l 1
Ik Jl
g d
Ik Jl
l 1
Ik
b
b
a
a
Jl
b
EL f g EL f EL g Jadi
a
selang yang tidak tumpang tindih I k di dalam a, b
a, b
L
a
b
f
H kl
L f d L g d
Bukti : 1. Jika f terintegral-EL pada a, b berarti ada barisan
L
b
EL f g EL
sehingga
k 1 l 1
k 1
f EL f
b
k 1 l 1
a, b dan
pada
d berhingga.
Jl
L
a
terintegral-EL
a
l 1
g
f g terintegral-EL
2.
a
.
Teorema 12 Jika f, g terintegral-EL pada a, b dan R , maka : b
untuk
H kl 0 , k l f , g L Hkl f g L H kl untuk setiap k dan l
EL
b
g L Jl
a, b
Dalam Teorema berikut ini dinyatakan bahwa integral-EL memenuhi sifat linear.
f
J l 0,
Dibentuk barisan selang yang tidak tumpang tindih H kl dengan H kl I k Jl seperti pada Teorema 8
Ik
berhingga. Jadi f L a, b . ■
a, b
EL f
f d lim L f n d L f d
1.
sehingga
Ik
untuk setiap k. Menurut Teorema Kekonvergenan Monoton Lebesgue maka f L a, b dan b
selang yang tidak tumpang tindih {Jk} di dalam a, b
untuk setiap k dan
Untuk setiap n dibentuk fungsi fn dengan rumus : f x , untuk x I k fn x untuk x I k 0 Terlihat bahwa {fn} naik monoton h.d. pada n
■
2. Jika g terintegral-EL pada a, b berarti ada barisan
f d berhingga.
lim f n x f x
f
berarti ada barisan selang
I k 0,
d
Ik
b
berhingga. Jadi f EL a, b.
yang tak tumpang tindih {Ik} di dalam a, b sehingga
a, b
k 1
a
a, b , maka f terintegral Lebesgue pada a, b .
Bukti : f terintegral-EL pada
L f
f d
Ik
EL
h.d. pada
L
f g EL a, b .
a
■
Teorema 13 Jika f, g terintegral-EL pada a, b dan f g h.d. pada
a, b ,
Bukti : f g h.d. pada
a, b ,
b
b
a
a
maka EL f EL g .
a, b berakibat
f, g terintegral-EL pada
g f 0
h.d. pada
a, b berakibat
g f
Ik
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
terintegral-EL
a, b ,
pada
b
EL g f 0
43
sehingga
diperoleh
b
Karena c, b a, b diperoleh f EL c, b
a
a
Diambil barisan {Ak} dan {Bk} dengan Ak I k a, c
atau EL f EL g . ■
a
Karena a, c a, b diperoleh f EL a, c
b
Teorema 14 Jika f terintegral-EL pada a, b dan u, v a, b , maka f terintegral-EL pada u, v .
dan Bk I k c, b sehingga I k Ak Bk untuk setiap k
dan
c, b
b
a
k 1
EL f L
untuk setiap k dan
Dibentuk barisan {Jk} dengan
I N I N' I N'' untuk suatu N, u, v I k 0 dan a, b
untuk setiap k berakibat
Karena f L I k
N
L f k 1
b
a
k 1
b
a
L f k 1
Ik
k 1
berhingga,
b
a
a
c
I N'
I N''
L f
diperoleh
k N 1
d
L f
k N 1
d
Jk
berhingga, sehingga
Jk
EL f
berlaku bahwa
Teorema 15 Jika f EL a, b dan a c b , maka c
b
a
a
c
Bukti : f terintegral-EL pada
.
a, b berarti
I k 0, f L I k
b
a
k 1
EL f L f d Ik
Bukti : f terintgeral-EL pada
a, b
berarti terdapat barisan
selang yang tidak tumpang tindih {Ik} di dalam
sehingga a, b
k
Ik 0 ,
f terintegral Lebesgue b
a
k 1
untuk setiap k dan
berhingga.
Ik
berhingga. sebarang
bilangan
L f
0,
d
Ik
berhingga berarti terdapat bilangan asli n0 sehingga untuk setiap k n0 berlaku
L f
k n0
d
Ik
2
.
f terintegral Lebesgue pada Ik untuk setiap k, berarti terdapat bilangan k 0 sehingga jika Ak I k dengan
L
f d
Ak
ada barisan selang
a, b
EL f L f d
pada Ik untuk setiap k dan
Ak k berakibat
yang tidak tumpang tindih {Ik} di dalam a, b sehingga
a, b
.
k 1
Jadi dari (i) dan (ii), maka dapat diperoleh f EL a, b . ■
b
. ■
A
Diambil
f terintegral-EL pada u, v .
EL f EL f EL f
Bk
maka
d L f d L f d
k 1
c
bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk setiap himpunan A a, b dengan A
N 1
L f d
f d L f d
Teorema 16 Jika f fungsi terintegral-EL pada a, b , maka untuk setiap
diperoleh
Ik
f d
f d L f d Bk
Ak
Ak
Ak Bk
f L Jk
d berhingga
k 1
k 1
Ik
b
Ik
dan
Jk .
f L u, v EL u, v Jika {Jk} barisan tak berhingga, maka ada bilangan asli N sehingga
ii)
k 1
EL f EL f EL f
J k 0 , seba
I k u , v
untuk setiap k. Terdapat dua kemungkinan : i) Jika {Jk} barisan
a
f d L
EL f L
J k I k u, v untuk
setiap k, J k atau J k I k atau J k I N'' dengan
u, v
EL f L
f d berhingga.
Ik
b
EL f L
yang tidak tumpang tindih {Ik} di dalam a, b sehingga
I k 0, f L I k
Bk 0
Ak 0
f L Ak dan f L Bk
Bukti : f terintegral-EL pada a, b berarti ada barisan selang
a, b
a, c
diperoleh
Dipilih min 1 , 2 ,..., n0
A a, b
L
dengan A
f d
Ak
2 n0
.
dan diambil sembarang sehingga diperoleh
2 n0
Diperoleh Lesnussa | Wattimanela | Talakua
Barekeng Vol. 6 No.2 Hal 37 – 44 (2012)
A I k sehingga
L
44
f d
2 n0
A I k
a, b , maka nilai integral-EL fungsi f pada a, b tunggal. b). Fungsi f terintegral-EL pada a, b jika dan hanya jika f terintegral-HK pada a, b . c). Jika fungsi f terintegral-EL pada a, b dan f g h.d pada a, b maka g terintegrala). Jika f terintegral-EL pada
.
Jadi :
EL f A
L k 1
n0
L k 1
2n
A
Teorema
2
f d
L
k n0 1
0
2
berikut
L
k n0 1
A I k
n0
k 1
EL f
f d
A I k
ini
f d
EL pada a, b dan
A I k
b
b
a
a
EL f EL g .
d). Jika f terintegral-EL pada a, b dan
f d
pada a, b .
■
menunjukan
bahwa
L a, b
merupakan himpunan bagian sejati di dalam EL a, b .
e). Jika f, g terintegral-EL pada a, b dan f g h.d pada a, b maka
b
b
EL f EL g . a
Teorema 17 f EL a, b Jika
c, d a, b
dan
f L a, b ,
f). Jika maka
ada
sehingga f EL c, d dan f L c, d .
x, y a, b berlaku f L x, y akan ditunjukan bahwa f L a, b ambil sebarang c, d a, b Diperoleh f L c, d Karena a, c a, b , d , b a, b diperoleh juga f L a, c dan f L d , b Berarti f L a, b Ini kontradiksi dengan f L a, b . ■ Dengan demikian diperoleh bahwa f EL c, d dan f L c, d . KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan dari bab-bab sebelumnya dapat disimpulkan bahwa 1. Integral-EL merupakan perluasan dari integral Lebesgue yang dinotasikan dengan : b
a
2.
3.
d
L f k 1
d .
Ik
Jika f terintegral Lebesgue maka f terintegral-EL, tetapi sebaliknya belum pasti . Secara umum sifatf L a , b f EL a , b sifat dasar yang berlaku pada integral Lebesgue berlaku juga pada integral-EL. Beberapa sifat-sifat dasar yang berlaku pada integralEL, sebagai berikut :
a, b
f terintegral-EL pada
u , v a, b u, v .
a
dan
maka f terintegral-EL pada
f EL a, b dan a c b , maka
g). Jika
Bukti : Andaikan untuk setiap
EL f
f 0
h.d pada a, b maka f terintegral lebesgue
Ik
b
c
b
a
a
c
EL f EL f EL f
.
DAFTAR PUSTAKA De, Barra, G., (1981), Measure Theory And Integration., Third Avenue., John Wiley and Sons. Inc., New York. Gordon, R, A., (1994), The Integrals Of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock., Graduate Studies In Mathematics 4, Volume 4., American Mathematical Society.,USA. Hutahaean, E., (1989), Analisis Real II, Penerbit Karunika, Universitas Terbuka, Jakarta. Jain, P. K. and Gupta, V. P., (1986), Lebesgue Measure and Integration. Wiley Eastern Limited, New Delhi. Royden, H, L., (1989), Real Analysis, Third Edition, Macmillan Publishing Company, New York. Rudin, W., (1976), Principles Of Mathematical Analysis, Third Edition, Mc Graw-Hill Book Company., Ltd, Singapore. Soeparna, D., (1999), An Extension of General Lebesgue Integral, Proceeding of the SEAMS-Gadjah Mada Univercity Conference, Yogyakarta. Wheeden, R, L and Zygmund, A., (1977), Measure and Integral; An Introduction to real Analysis., Marcel Dekker. Inc., New York.
Lesnussa | Wattimanela | Talakua
